拉伸、压缩超静定问题
材料力学教案 第2章 拉伸、压缩与剪切
第2章拉伸压缩与剪切教学目的：了解材料的力学性质；掌握轴向拉伸、压缩、剪切和挤压的概念；掌握轴向拉压时构件的内力、应力、变形的计算；熟练掌握剪切应力及挤压应力的计算方法并进行强度校核；掌握拉压杆的超静定问题。
教学重点：建立弹性杆件横截面上内力、内力分量的概念；运用截面法画轴力图；掌握低碳钢的力学性质；掌握轴向拉伸和压缩时横截面上正应力计算公式及其适用条件；掌握拉压杆的强度计算；熟练掌握剪切和挤压的实用计算。
教学难点：低碳钢类塑性材料在拉伸过程中反映出的性质；许用应力的确定和使用安全系数的原因；强度计算问题；剪切面和挤压面的确定；剪切和挤压的实用计算；拉压杆超的静定计算。
教具：多媒体。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
举例掌握轴向拉伸、压缩和剪切变形概念，通过例题、作业，加强辅导熟练运用截面法，掌握轴力图的画法；建立变形、弹性变形、应变、胡克定律和抗拉压刚度的概念；教学内容：轴向拉伸和压缩的概念；强度计算；材料的力学性能及应力应变图；许用应力与安全系数；超静定的计算；剪切概念；剪切实用计算；挤压实用计算。
教学学时：8学时。
教学提纲：2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例1．实例（1）液压传动中的活塞杆（2）内燃机的连杆（3）起吊重物用的钢索（4）千斤顶的螺杆（5）桁架的杆件2．概念及简图这些杆件虽然外形各异，受力方式不同，但是它们有共同的特点：（1）受力特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
（如果两个F 力是一对离开端截面的力，则将使杆发生纵向伸长，这样的力称为轴向拉力； 如果是一对指向端截面的力，则将使杆发生纵向缩短，称为轴向压力）。
（2）变形特点：主要变形是纵向伸长或缩短。
（3）拉（压）杆的受力简图：（4）说明：本章所讲的变形是指受压杆没有被压弯的情况下，不涉及稳定性问题。
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力1．截面法求内力(1)假想沿m-m 横截面将杆切开(2)留下左半段或右半段(3)将弃去部分对留下部分的作用用内力代替(4)对留下部分写平衡方程，求出内力（即轴力）的值。
刘鸿文版材料力学第二章
A 1
45°
图示结构，试求杆件AB、CB的 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B
C
2
FN 1
FN 2 45°
y
B F
F
解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） 用截面法取节点B为研究对象
x
∑F ∑F
x y
=0
目录
§2.4 材料拉伸时的力学性能
力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方 面所表现出的力学特性。 一 试 件 和 实 验 条 件
常 温 、 静 载
目录
§2.4 材料拉伸时的力学性能
目录
§2.4 材料拉伸时的力学性能
二 低 碳 钢 的 拉 伸
目录
§2.4 材料拉伸时的力学性能
σ
e
b
σb
f
2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力）
目录
FRCy
W
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
B d
由三角形ABC求出
0.8m
C 1.9m
α
sin α =
A
Fmax
BC 0.8 = = 0.388 AB 0.82 + 1.92 W 15 = = = 38.7kN sin α 0.388
Fmax
斜杆AB的轴力为
FN = Fmax = 38.7kN
F
a
a′ b′
c
c′ d′
F
b
d
平面假设—变形前原为平面的横截面， 变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
材料力学第4讲 拉伸与压缩2-8_2-11(考前复习突击)
[σ ] =
σu
n
n — 安全系数（factor of safety） 安全系数（
塑性材料 (ductile materials) 脆性材料 ( brittle materials)
[σ ] =
σs σb
n n
[σ ] =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3、强度条件（Strength condition)： 强度条件（ condition)：
α α ∆l 1 A2
A″ A' A1
以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A″， 即为A点的新位置.AA″ 即为A点的新位置.AA″ 就是A点的位移. 点的位移. 因变形很小，故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A′ 分别做两杆的垂线， 因变形很小， 可认为
Fl AA′ = AA′′ ∆A = AA′ = ∆l1 = = 2 cosα 2EAcos α m (↓) 1.293m
F2
Ⅰ l1 A
F1
R
FN3 FN2
F2
F1
FN3 − R = 0 FN3 = −50kN (−)
F − F2 − FN2 = 0 1 FN2 = −15kN (−)
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
R
《材料力学》课程教案2
《材料力学》课程教案2（二）拉伸、压缩的超静定问题设教学安排 ● 新课引入如图所示的两杆组成的桁架结构受力，由于是平面汇交力系，可由静力平衡方程求出两杆内力。
如果为了提高构件安全性，再加一个杆，三杆内力还能由静力平衡方程求出吗？● 新课讲授一、 静定结构（一）提出问题1和2两杆组成桁架结构受力如图所示，角度已知，两杆抗拉刚度相同，2211A E A E =，求两杆中内力的大小。
（二）分析：求内力⇒截面法（1截2代3列平衡方程）⇒=∑0x 021=-ααSin F Sin F N N ⇒=∑0y 0321=-++F F Cos F Cos F N N N αα 两个方程，两个未知数，可以求解。
引出静定结构：约束反力(轴力）可以由静力平衡方程完全求出。
二、 超静定结构和超静定次数（一）继续提问在现实中为了增加构件的安全性，往往可以多加一个杆，在问题一的基础上在中间再加一个3杆，抗拉刚度为33A E ，如图所示，求3杆中内力的大小。
（二）分析：求内力⇒截面法（1截2代3列平衡方程） ①静平衡方程：平面汇交力系，只能列两个平衡方程⇒=∑0x21=-ααSin F Sin F N N⇒=∑0y 0321=-++F F Cos F Cos F N N N αα 两个方程，三个未知数，解不出。
引出超静定结构：约束反力(轴力）不能由静力平衡方程完全求出。
超静定次数：约束反力（轴力）多余平衡方程的个数。
上述问题属于一次超静定问题。
三、超静定结构的求解方法（一）继续提问，引导学生深入思考：超静定到底能不能求解？实际上F 一定，作用于每个杆上的力都是确定的。
还需再找一个补充方程，材料力学是变形体，受力会引起变形，力和力的关系看不出， 先把变形关系找到，再转化成力的关系。
（重点）②几何方程——变形协调方程：要找变形关系，关键是画变形图（难点）。
节点在中间杆上，左右两杆抗拉刚度相同，角度相同，即对称，因此中间杆仅沿竖直方向产生伸长，确定最终位置。
材料力学 第2章杆件的拉伸与压缩
第2章 杆件的拉伸与压缩提要：轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法——截面法。
为了判断材料是否会发生破坏，还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。
由试验观察得到的现象做出平面假设，进而得出横截面上的正应力计算公式。
根据有些构件受轴力作用后破坏形式是沿斜截面断裂，进一步讨论斜截面上的应力计算公式。
为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。
本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，一个目的是分析拉压杆的刚度问题，另一个目的就是为解决超静定问题做准备，因为超静定结构必须借助于结构的变形协调关系所建立的补充方程，才能求出全部未知力。
在超静定问题中还介绍了温度应力和装配应力的概念及计算。
不同的材料具有不同的力学性能，本章介绍了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能。
2.1 轴向拉伸和压缩的概念在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架第2章 杆件的拉伸与压缩 ·9··9·2.2 拉(压)杆的内力计算2.2.1 轴力的概念为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。
下面讨论杆件横截面上内力的计算。
取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反、作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图2.2(a)所示。
为了显示拉杆横截面上的内力，取横截面把m m −拉杆分成两段。
杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为N F ，如图2.2(b)和2.2(c)所示。
由于外力P 的作用线与杆轴线相重合，所以N F 的作用线也与杆轴线相重合，故称N F 为轴力(axial force)。
由左段的静力平衡条件0X =∑有：()0+−=N F P ，得=N F P 。
工程力学课件 第6章 轴向拉伸与压缩
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学实验报告答案
一、实验目的1. 了解工程力学实验的基本方法和步骤。
2. 通过实验，掌握力学基本理论在工程实际中的应用。
3. 培养实验操作技能，提高实验数据分析能力。
二、实验内容1. 材料力学实验：拉伸试验、压缩试验、弯曲试验。
2. 建筑力学实验：静力平衡实验、超静定结构受力分析实验。
三、实验步骤1. 实验一：拉伸试验（1）将试样固定在拉伸试验机上，调整试验机至预定位置。
（2）缓慢加载，记录加载过程中的力值和位移值。
（3）观察试样变形情况，记录断裂位置。
（4）分析试验数据，绘制拉伸曲线，计算弹性模量、屈服强度等指标。
2. 实验二：压缩试验（1）将试样固定在压缩试验机上，调整试验机至预定位置。
（2）缓慢加载，记录加载过程中的力值和位移值。
（3）观察试样变形情况，记录断裂位置。
（4）分析试验数据，绘制压缩曲线，计算抗压强度、弹性模量等指标。
3. 实验三：弯曲试验（1）将试样固定在弯曲试验机上，调整试验机至预定位置。
（2）缓慢加载，记录加载过程中的力值和位移值。
（3）观察试样变形情况，记录断裂位置。
（4）分析试验数据，绘制弯曲曲线，计算抗弯强度、弹性模量等指标。
4. 实验四：静力平衡实验（1）搭建静力平衡实验装置，调整实验参数。
（2）观察实验现象，记录实验数据。
（3）分析实验数据，验证静力平衡原理。
5. 实验五：超静定结构受力分析实验（1）搭建超静定结构实验装置，调整实验参数。
（2）观察实验现象，记录实验数据。
（3）分析实验数据，验证超静定结构受力分析原理。
四、实验结果与分析1. 拉伸试验根据实验数据，绘制拉伸曲线，计算弹性模量E=...（单位：MPa），屈服强度σs=...（单位：MPa），抗拉强度σb=...（单位：MPa）。
2. 压缩试验根据实验数据，绘制压缩曲线，计算抗压强度σc=...（单位：MPa），弹性模量E=...（单位：MPa）。
3. 弯曲试验根据实验数据，绘制弯曲曲线，计算抗弯强度σb=...（单位：MPa），弹性模量E=...（单位：MPa）。
拉伸与压缩试题
拉伸与压缩试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第二章 拉伸与压缩一、是非题2-１ 、当作用于杆件两端的一对外力等值反向共线时则杆件产生轴向拉伸或压缩变形。
( ） 2-2 、关于轴力有下列几种说法: 1、轴力是作用于杆件轴线上的载荷( ） 2、轴力是轴向拉伸或压缩时杆件横截面上分布内力系的合力（ ）３、轴力的大小与杆件的横截面面积有关( ）4、轴力的大小与杆件的材料无关( ）２-3、 同一材料制成的阶梯杆及其受力如图2-1CD 段的横截面面积为ＡBC 和DE 段均为２A 分别用和表示截面上的轴力和正应力则有１、轴力321N N N F F F >> 。
（ )２、正应力1σ>2σ>3σ。
（ ）2-４、 轴力越大,杆件越容易拉断,因此轴力的大小可以用来判断杆件的强度。
（ ）2-5 、一轴向拉伸的钢杆材料弹性模量E ＝20０GP ａ,比例极限p σ=2０0MP a ,今测得其轴向线应变ε=0．0015,则由胡克定律得其应力εσE =＝300MP a 。
（ ) ２－6 、关于材料的弹性模量Ｅ,有下列几种说法：1、E 的量纲与应力的量纲相同。
( )2、E 表示弹性变形能力的大小。
（ )３、各种牌号钢材的E 值相差不大。
（ )4、橡皮的E 比钢材的Ｅ值要大。
( )５、从某材料制成的轴向拉伸试样，测的应力和相应的应变,即可求的其εσ=E 。
（ ） ２－7 、关于横向变形系数(泊松比）μ,有下列几种说法：1、为杆件轴向拉、压时,横向应变ε'与纵向应变ε之比的绝对值。
（ )2、 μ值越大,其横向变形能力越差。
( )3、各种材料的μ值都满足：0<μ≤０．5。
( )2-8、 受轴向拉、压的等直杆，若其总伸长为零,则有1、杆内各处的应变必为零。
( ）2、杆内各点的位移必为零。
( ）3、杆内各点的正应力必为零。
第四章 杆件的变形 · 简单超静定问题
A1
、物理方程－变形与受力关系
FN 1 L1 FN 3 L3 cos E1 A1 E3 A3 补 充 方 程 (3)
F
FN1
A
FN3 FN2
、联立方程(1)、(2)、(3)可得:
x
FN1 FN 2 E3 A3 F E1 A1F cos2 ; FN 3 3 2E1 A1 cos E3 A3 2E1 A1 cos3 E3 A3
0.02 2 160 106
[ FN ] AD sin 50.24 1 0.75 / 0.752 1 [F ] 12.06 KN 2.5 AB
C 0.75m A 1m D D
(2)、B点位移
lCD
B lCD
[ FN ]lCD EA
D1 1.5m
l l
虎克定律 实验证明： 引入比例常数E,则
Fl l A FN l （虎克定律） Fl l EA EA
E——表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹 性模量，亦称杨氏模量。单位：MPa、GPa. 例如一般钢材: E=200GPa。
EA——杆件的抗拉/压刚度
1）
O
1
B 4F
B
1
α α
2
FNAB FNAC
C
F F
X
0 0
FNAC sin FNAB sin 0
Y
A
LAB
FNAC cos FNAB cos F 0 F FNAC FNAB 2 cos F L FL LAC NAC EA 2 EA cos
轴向拉伸或压缩时的变形 刚度条件 超静定问题
轴向拉伸或压缩时的变形
材料力学第2章答案
（2）若设计时取试验机的安全因数 n = 2 ，则杆 CD 的横截面面积为多少？
8
（3）若试样直径 d = 10 mm ，今欲测弹性模量 E ，则所加载荷最大不能超过多少？
解（1） σ
2-5 何谓失效？极限应力、安全因数和许用应力间有何关系？何谓强度条件？利用强度 条件可以解决哪些形式的强度问题？
答 失效（包括强度失效、刚度失效和稳定性失效）是指构件不能正常工作。 许用应力=极限应力/安全因数。 利用强度条件可以解决强度校核、截面设计和确定许用载荷等。
2-6 试指出下列概念的区别：比例极限与弹性极限；弹性变形与塑性变形；延伸率与正 应变；强度极限与极限应力；工作应力与许用应力。
α = 90° τ 90° = 0
2-5 图 示 拉 杆 沿 斜 截 面 m − m 由 两 部 分 胶 合 而 成 ， 设 在 胶 合 面 上 许 用 拉 应 力 [σ ] = 100 MPa ，许用切应力[τ ] = 50 MPa 。并设胶合面的强度控制杆件的拉力。问：
（1）为使杆件承受最大拉力 F ，角α 的值应为多少？ （2）若杆件横截面面积为 4 cm2，并规定α ≤ 60° ，确定许用载荷[F ] 。
∑ Fx = 0 ， FCx = 0
图（c）
∑ M D = 0 ， FC'y = 0
图（b）
∑ M B = 0 ， FN1 = 10 kN （拉）
∑ Fy = 0 ， FN2 = 20 kN （拉）
6
σ1
=
FN1 A1
=
4FN1 πd12
=
4 ×10 ×103 π ×102 ×10−6
= 127 MPa
工程力学7.轴向拉伸和压缩
2
力学模型如图
P
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
3
§1–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图 一、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分 之间分布内力系的合成。
4
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性
L E EA
EA
4、泊松比（或横向变形系数）
或 :
27
例4 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？
A
B
L1
C L2
L2 P L1 C' C"
求各杆的变形量△Li ，如图 变形图严格画法，图中弧线 变形图近似画法，图中弧之
切线。
28
2、写出图中B点位移与两杆变形间的关系
x0 x
5、杆的横向变形： ac ac ac
6、x点处的横向线应变：
ac
ac
26
3、单向应力状态下的弹性定律(胡克定律)
1 ; E
E
在轴向拉伸和压缩情况下，根据应力及应
变的计算公式，胡克定律可以用轴力和变形之
间的关系式来表达。式中EA称为杆的抗拉压刚
度。
L 1 1 P L PL
当a = ± 45°时，
| a |max
0
2
(45 °斜截面上剪应力达到最大)
23
1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点 的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。
2.单元体：构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质： a）平行面上，应力均布；
轴向拉伸与压缩习题及解答
轴向拉伸与压缩习题及解答一、判断改错1、构件内力的大小不但与外力大小有关，还与材料的截面形状有关。
答：错。
静定构件内力的大小之与外力的大小有关，与材料的截面无关。
2、杆件的某横截面上，若各点的正应力均为零，则该截面上的轴力为零。
答：对。
3、两根材料、长度都相同的等直柱子，一根的横截面积为1A ，另一根为2A ，且21A A >。
如图所示。
两杆都受自重作用。
则两杆最大压应力相等，最大压缩量也相等。
答：对。
自重作用时，最大压应力在两杆底端，即max max N All A Aνσν=== 也就是说，最大应力与面积无关，只与杆长有关。
所以两者的最大压应力相等。
最大压缩量为 2max max22N Al l l l A EA Eνν⋅∆===即最大压缩量与面积无关，只与杆长有关。
所以两杆的最大压缩量也相等。
4、受集中力轴向拉伸的等直杆，在变形中任意两个横截面一定保持平行。
所以宗乡纤维的伸长量都相等，从而在横截面上的内力是均匀分布的。
答：错 。
在变形中，离开荷载作用处较远的两个横截面才保持平行，在荷载作用处，横截面不再保持平面，纵向纤维伸长不相等，应力分布复杂，不是均匀分布的。
5、若受力物体内某电测得x 和y 方向都有线应变x ε和y ε，则x 和y 方向肯定有正应力x σ和y σ。
答：错， 不一定。
由于横向效应作用，轴在x 方向受拉（压），则有x σ；y 方向不受力，但横向效应使y 方向产生线应变，y x εενε'==-。
A 1(a) (b)二、填空题1、轴向拉伸的等直杆，杆内的任一点处最大剪应力的方向与轴线成（45o）2、受轴向拉伸的等直杆，在变形后其体积将（增大）3、低碳钢经过冷做硬化处理后，它的（比例）极限得到了明显的提高。
4、工程上通常把延伸率δ>（5%）的材料成为塑性材料。
5、 一空心圆截面直杆，其内、外径之比为0.8，两端承受力力作用，如将内外径增加一倍，则其抗拉刚度将是原来的（4）倍。
工程力学(材料力学)1_3轴向拉伸与压缩
BC
D
PB PC N3 C
PC N4
5P +
–
PD D
PD D
PD
P
x
P8-9 例题
A 3F
1
2
B
C
F
2F
1
2
1
2
3F
F
1
2
3.应力
应力的表示：
（1）平均应力
(A上平均内力集度)
p平均
ΔP ΔA
P
M
A
（2）实际应力 (M点内力集度)
lim p
ΔP dP
ΔA0 ΔA dA
应力分解
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
平杆BC为2杆）用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 Fy 0
N1 cos 45 N2 0 N1sin 45 P 0
N1 28.3kN (拉力) N2 20kN (压力)
45° B C
p
N1
y
N2 45° B x
P
(2)计算各杆件的应力
1
N1 A1
28.3103 202 106
轴力的正负规定: N 与外法线同向,为正轴力(拉力)； N
N与外法线反向,为负轴力(压力)。 N
轴力图—— N (x) 的图象表示。
N N>0 N
N<0
意 （1）轴力与截面位置的变化关系，较直观；
义
（2）最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位
置，为强度计算提供依据。 N
P
+
x
例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 1P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
材料力学第二章轴向拉伸与压缩习题答案
解：
设每个螺栓承受的剪力为 ，则由
可得
螺栓的切应力
MPa MPa
∴螺栓满足剪切强度条件。
3-11图示矩形截面木拉杆的接头。已知轴向拉力 ，截面的宽度 ，木材顺纹的许用挤压应力 ，顺纹的许用切应力 。试求接头处所需的尺寸l和a。
解：
1．求支反力，作剪力图和弯矩图。
，
2．按正应力强度条件选择工字钢型号
由 ≤ ，得到
≥
查表选 14工字钢，其
， ，
3．切应力强度校核
满足切应力强度条件。
∴选择 14工字钢。
5-17图示木梁受移动载荷 作用。已知木材的许用正应力 ，许用切应力 ， ，木梁的横截面为矩形截面，其高宽比 。试选择此梁的横截面尺寸。
≤
可得 ≤ ①
D点受力如图(b)所示，由平衡条件可得：
CD杆受压，压力为 ，由压杆的强度条件
≤
可得 ≤ ②
由①②可得结构的许用载荷为 。
3-8图示横担结构，小车可在梁AC上移动。已知小车上作用的载荷 ，斜杆AB为圆截面钢杆，钢的许用应力 。若载荷F通过小车对梁AC的作用可简化为一集中力，试确定斜杆AB的直径d。
截面上的剪力和弯矩为： ，
2．求1-1横截面上a、b两点的应力
5-10为了改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。若主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为 和 ，材料相同，试求a的合理长度。
解：
1．作主梁AB和辅助梁CD的弯矩图
2．求主梁和辅助梁中的最大正应力
主梁：
辅助梁：
3．求 的合理长度
材料力学第二章总结
第2章拉伸、压缩与剪切§2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例ACF以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力F N以1－1截面的右段为研究对象：F N沿轴线方向，所以称为轴力。
F N+直观反映轴力与截面位置变化关系；确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
F N 1A B CF AF B F C F D O OA 段内力F N 1：设截面如图=X 01=−+−+N A B C D F F F F F 05841=−+−+N F F F F FF N 21=∴A B C D F AF BF CF DF N 2F N 3D F DF N 4A B C F AF B F C F D O ：段内力：0=−D C F 03=−−D C F F F ，F N 4= FB C D F B F C F D C D F CF D F N 2= –3F ，F N 4= FA B CF A F B F C F D O2F3F 5FF2、变形规律：横向线——仍为平行的直线，且间距增大。
纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面沿杆轴线作相对平移。
轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式σA or =σANor =σAC 45°12B45°AC45°12B 1NF y45°§2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力ασααcos cos cos ==A F A F αp ααxF N F N α§2-4 材料拉伸时的力学性能常温、静载两个塑性指标：%100%5>δ为塑性材料§2-5 材料压缩时的力学性能σbL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性§2-7 失效、安全因素和强度计算§2-8 轴向拉伸或压缩时变形（胡克定律的另一种表达方式）1L 1a a1b伸长为正，缩短为负。
材料力学第2章-拉压4
Ab s =
h——平键高度 l——平键长度
hl 2
F
b
l
F
h
拉伸与压缩/连接部分的强度计算 2、柱面接触（如铆钉）：挤压面面积为实际的承压面积在其直径 平面上的投影。 挤压强度条件：
bs
Fb A bs
F
[
bs
]
F
Ab s = d d
d——铆钉或销钉直径，
——接触柱面的长度
拉伸与压缩/连接部分的强度计算
A´
l2 l3
物理关系
l3 F N 3 l3 E 3 A3 l1 l 2 F N 1 l1 E 1 A1
FP
,
拉伸与压缩/拉压超静定问题
将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为：
解：地桩所受外载为轴载，且在F和摩擦力共同 作用下平衡。 即：
F y ky d y F k
2 0
l
l
3
F 0
3
则：
FN ( y )
k
3F l
3
f
y 0
3F l
3
y
2
轴力方程为： 求地桩的缩短量δ：
l
FN ( y )
f dy
Fy l
3
3
y
l AB l AC 整理得 A y A A tan 3 0 co s 4 5 co s 3 0
1 tan 3 0 1 .3 6 6 m m
2-9 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿 地桩单位长度的摩擦力为 f，且 f =k y2，式中，k为常数。试求地桩的缩短量δ 。已知地桩的 横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸与压缩的特点：
◆ 受力特点：
◆ 变形特点：
F
F
F
F
承受轴向变形的杆件称为拉杆或压杆。
外力合力的作用线与杆轴线重合
主要是沿轴线方向伸长或缩短
第二节 轴力与轴力图 一、内力与截面法 内力 —— 外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力。 ◆ 内力为作用于整个截面上的连续分布力。今后，内力一般被用来特指截面上的分布内力的合力、或合力偶矩、或向截面形心简化所得到的主矢和主矩。
塑性材料为塑性屈服；脆性材料为脆性断裂
极限应力 ——
材料强度失效时所对应的应力，记作 u ，有
塑性材料（拉压相同）
脆性材料（拉压不同）
2.许用应力与安全因数
材料安全工作所容许承受的最大应力，记 作 [ ]，规定
许用应力 ——
02
其中，n 为大于 1 的因数，称为安全因数 。
对于塑性材料，压缩与拉伸的许用应力基本相 同，无需区分；对于脆性材料，压缩与拉伸的许 用应力差异很大，必须严格区分。
（2）计算两杆应力
解得
AB 杆：
（2）计算两杆应力
AB 杆： AC 杆：
拉（压）杆斜截面上的应力 斜截面的方位角 ： 以 x 轴为始边，以外法线轴 n 为终边，逆时针转向的 角为正，反之为负 。 斜截面上的全应力
将 p 沿斜截面的法向和切向分解，即得 斜截面上的正应力、切应力分别为 —— 横截面的面积 —— 横截面上的正应力 切应力的正负号规定：围绕所取分离体顺时针转向的切应力为正，反之为负。
[例 2-3] 试作出图示拉压杆的轴力图。
解：省略计算过程，直接作出轴力图如上图所示。
第三节 拉压杆的应力
一、应力的概念 应力是指截面上分布内力的集度 如图 为分布内力在 k 点的集度，称为 k 点的应力
拉伸、压缩超静定问题
2
FN1l EA
5、求解方程组得
l1
FN1l EA
,
l2
FN 2l
EA cos
FN1
3F 4 cos3 1,
FN 2
6F cos2 4 cos3 1
目录
材料力学
材料力学
材料力学
拉伸、压缩超静定问题
静定结构：
约束反 力（轴力） 可由静力平 衡方程求得
材料力学
目录
材料力学
拉伸、压缩超静定问题
超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高 约束反力不能
由平衡方程求得 超静定度（次）数：
约束反力多于 独立平衡方程的数 独立平衡方程数： 平面任意力系：
3个平衡方程
平面共点力系：
图示结构，1 、2杆抗拉刚度为E1A1 ，3杆抗拉刚 度为E3A3 ，在外力F 作用下，求三杆轴力？
5、求解方程组，得
4、补充方程 FN1l FN 3l cos
E1A1 cos E3 A3
FN1
FN 2
F cos2
2cos3
E3 A3 E1 A1
,
FN 3
1
2
F E1 A1 E3 A3
cos3
材料力学
目录
材料力学 拉伸、压缩超静定问题
例题2.8
材料力学
在图示结构中，设横梁AB的 变形可以省略，1，2两杆的横截 面面积相等，材料相同。试求1，
1 2 l
2两杆的内力。
解： 1、列出独立的平衡方程
3F 2FN 2 cos FN1 0
2、变形几何关系
l2
cos
2l1
3、物理关系
A
l1
aa 4、补充方程
拉伸与压缩试题
第二章 拉伸与压缩一、是非题2-1 、当作用于杆件两端的一对外力等值反向共线时则杆件产生轴向拉伸或压缩变形。
〔 〕 2-2 、关于轴力有以下几种说法： 1、轴力是作用于杆件轴线上的载荷〔 〕 2、轴力是轴向拉伸或压缩时杆件横截面上分布内力系的合力〔 〕3、轴力的大小与杆件的横截面面积有关〔 〕4、轴力的大小与杆件的材料无关〔 〕2-3、 同一材料制成的阶梯杆及其受力如图2-1CD 段的横截面面积为ABC 和DE 段均为2A 分别用和表示截面上的轴力和正应力则有1、轴力321N N N F F F >> 。
〔 〕2、正应力1σ>2σ>3σ。
〔 〕2-4、 轴力越大，杆件越容易拉断，因此轴力的大小可以用来判断杆件的强度。
〔 〕2-5 、一轴向拉伸的钢杆材料弹性模量E=200GP a ，比例极限p σ=200MP a ，今测得其轴向线应变ε=0.0015，则由胡克定律得其应力εσE ==300MP a 。
〔 〕2-6 、关于材料的弹性模量E ，有以下几种说法：1、E 的量纲与应力的量纲相同。
〔 〕2、E 表示弹性变形能力的大小。
〔 〕3、各种牌号钢材的E 值相差不大。
〔 〕4、橡皮的E 比钢材的E 值要大。
〔 〕5、从某材料制成的轴向拉伸试样，测的应力和相应的应变，即可求的其εσ=E 。
〔 〕 2-7 、关于横向变形系数〔泊松比〕μ，有以下几种说法：1、为杆件轴向拉、压时，横向应变ε'与纵向应变ε之比的绝对值。
〔 〕2、 μ值越大，其横向变形能力越差。
〔 〕3、各种材料的μ值都满足：0<μ≤0.5。
〔 〕2-8、 受轴向拉、压的等直杆，假设其总伸长为零，则有1、杆内各处的应变必为零。
〔 〕2、杆内各点的位移必为零。
〔 〕3、杆内各点的正应力必为零。
〔 〕4、杆的轴力图面积代数和必为零。
〔 〕2-9、 打入土内的木桩如图2-2沿轴线单位长度的摩擦力2ky f =〔k 为常数〕，木桩横截面面积为A 弹性模量为E 则木桩总变形的计算式为()()EA pl EA ky y p EA dy y N l l l4020=⋅-==∆⎰⎰。
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定结构的变形受到部分或全部约束, 温度变化时,
在图中, AB杆代表蒸汽锅炉与原动机间的管道。
与锅炉和原动机相比, 管道刚度很小, 故可把A, B两端简化成固定端。
固定于枕木或基础上的钢轨也类似于这种情况。
当管道中通过高压蒸汽, 或因季节变化引起钢轨温度变化时, 就相当于上述两端固定杆的温度发生了变化。
因为固定端限制杆
件的膨胀或收缩, 所以
势必有约反力F R A和
F R B作用于两端。
这将
引起杆件内的应力, 这
种应力称为热应力或
温度应力。
必须再补充一个变形协调方
这就是补充的变形协调方程。