第2章 递归与分治策略知识点
第2章 递归与分治_作业答案讲解
具体执行过程：求最大值
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5 0 1 2 3 4 5 6 24 -13 29 113 87 65 -9 0 1 2 3 24 -13 29 113 0 1 24 -13 2 3 29 113 4 5 6 87 65 -9 7 8 9 10 11 12 13 36 14 76 44 83 67 5 7 8 9 10 36 14 76 44 7 8 36 14 7 36 9 10 76 44 11 12 13 83 67 5 11 12 83 67 11 83 12 67 13 5
课后练习
• 练习2：分析如下时间函数的复杂度，并说明 原因。 1. 利用递归树说明以下时间函数的复杂度：
O(1) T ( n) 3T ( n ) O( n) 4 n1 n1
2. 利用主定理说明以下时间函数的复杂度：
T(n) = 16T(n/4) + n
T(n) = T(3n/7) + 1
课后练习
• 练习1：给定数组a[0:n-1]， 1. 试设计一个分治法算法，找出a[0:n-1]中元素最 大值和最小值； 2. 写出该算法时间函数T(n)的递推关系式； 3. 分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5
• 递归公式：
– 设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由 m个非空子集组成的集合。 F(n,m) = 1, when n=0, n=m, n=1, or m=1 F(n,m) = 0, when n<m 否则 F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)
算法分析与设计习题集整理
算法分析与设计习题集整理第一章算法引论一、填空题：1、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂度和空间复杂度。
2、多项式10()m m A n a n a n a =+++的上界为O(n m )。
3、算法的基本特征：输入、输出、确定性、有限性 、可行性 。
4、如何从两个方面评价一个算法的优劣：时间复杂度、空间复杂度。
5、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 3) 。
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){c[i][j]=0;for(k=1;k<=n;k++)c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}6、描述算法常用的方法：自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD 图。
7、算法设计的基本要求：正确性 和 可读性。
8、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 2) 。
for （i ＝1；i<n; i++）{ y=y+1;for （j ＝0；j <=2n ；j++ ）x ＋＋；}9、计算机求解问题的步骤：问题分析、数学模型建立、算法设计与选择、算法表示、算法分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制。
10、算法是指解决问题的 方法或过程 。
二、简答题：1、按照时间复杂度从低到高排列：O( 4n 2)、O( logn)、O( 3n )、O( 20n)、O( 2)、O( n 2/3),O( n!)应该排在哪一位？答：O( 2)，O( logn)，O( n 2/3)，O( 20n)，O( 4n 2)，O( 3n )，O( n!)2、什么是算法？算法的特征有哪些？答：1）算法：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。
通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。
2）特征：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)确定性 ； ４)有穷性3、给出算法的定义？何谓算法的复杂性？计算下例在最坏情况下的时间复杂性？for(j=1;j<=n;j++) (1)for(i=1;i<=n;i++) (2) {c[i][j]=0; (3)for(k=1;k<=n;k++) (4)c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } (5)答：1）定义：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。
递归和分治法
递归和分治法摘要：1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文：递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。
它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但在具体实现上却有所不同。
下面，我们来详细了解一下递归和分治法。
1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。
递归函数在执行过程中，会将原问题分解成规模更小的相似子问题，然后通过调用自身的方式，解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法在解决问题时，通常需要设计一个主函数（master function）和一个子函数（subfunction）。
主函数负责将问题分解，子函数负责解决子问题。
2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但它们在实现上存在以下区别：（1）函数调用方式不同：递归法是通过调用自身来解决问题，而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。
（2）递归法必须有递归出口，即必须有一个基线条件，而分治法不一定需要。
3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛，例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。
分治法也有很多实际应用，例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。
4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂，但缺点是容易产生大量的重复计算，导致时间复杂度较高。
分治法的优点是时间复杂度较低，但缺点是代码实现相对复杂，需要设计主函数和子函数。
总之，递归和分治法都是解决问题的有效方法，具体应用需要根据问题的特点来选择。
递归算法知识点总结
递归算法知识点总结一、基本概念递归算法的基本概念是基于递归函数的思想。
递归函数是一个调用自身的函数。
递归算法通常可以分为两种类型：简单递归和复杂递归。
简单递归是指在递归函数中直接调用自身，而复杂递归则是指在递归函数中可能会有多个递归调用。
递归算法通常用于解决可以分解为若干子问题的问题，这种方法通常可以更加简洁地解决问题，但同时也可能会带来一些计算复杂度的问题。
递归算法的设计通常包括以下几个步骤：1. 确定基本情况：在设计递归函数时，通常需要确定一个或多个基本情况。
基本情况通常是指在递归函数中不需要再次调用自身的情况。
2. 确定递归情况：在设计递归函数时，需要确定一个或多个递归情况。
递归情况通常是指在递归函数中需要调用自身的情况。
3. 确定递归方式：当确定了递归函数的基本情况和递归情况之后，就需要确定递归函数的调用方式。
通常有两种方式：直接递归和间接递归。
4. 编写递归函数：根据确定的基本情况、递归情况和递归方式，编写递归函数。
5. 测试递归函数：编写递归函数后，需要对递归函数进行测试，确保递归函数能够正确地解决问题。
二、递归算法的原理递归算法的原理是基于递归函数的调用。
当一个递归函数被调用时，它会将自身的执行环境保存到栈中，并且在栈中分配一些空间。
在递归函数中，如果有一些局部变量，这些变量会在栈中分配空间。
随着递归函数的深入调用，栈中的空间也会不断增加。
在递归函数的执行过程中，通常需要考虑递归栈的压栈和出栈操作。
在递归函数被调用时，会执行一些初始化操作，并将递归参数保存到栈中。
在递归函数中，如果遇到递归情况，会再次调用自身，并且将自身的执行环境保存到栈中。
在递归函数的执行过程中，如果遇到基本情况，就会结束当前递归调用，并且从栈中释放空间。
递归算法的原理是基于递归函数的深度调用的。
当递归函数被调用时，会执行一些初始化过程，并将递归参数保存到栈中。
当递归函数执行完毕后，会从栈中释放空间。
在递归函数的执行过程中，栈中的空间会不断增加和释放。
递归策略
常见错误
明确递归关系后，在编写程序时加入循环之类的语 句以“帮助”程序完成本应由递归调用来实现的功 能，以致画蛇添足，造成程序出错。 这时不论递归关系复杂与否，在编写递归程序时都 应牢记以下原则： 首先，递归调用时问题的性质应相同； 其次，对过程中的递归调用只需看成一个简单的操 作，切勿想得过深、过远。 应确信只要严格定义递归函数或过程的功能和接口， 就必然能实现相应的功能。
例如：求斐波那契数列第n项转为递推算法时用循环迭代来实现。
var f0,f1,f2:real; i,n:byte; begin readln(n); f0:=1;f1:=2; for i:=2 to n do begin f2:=f0+f1; f0:=f1; f1:=f2 end; writeln(f2:1:0) end.
递归可以转化为非递归
递归转化为非递归的方法有很多，最标准的 方法就是利用栈来实现。关键在于我们要掌 握递归算法的实质：重复执行相同的算法， 但其处理的数据发生了变化，因此对许多递 归程序，我们可以用循环结构来完成，只要 处理好变量、地址等关系就可以将递归转化 为非递归。
递归的基本思想
一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归 返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条 件满足时，递归返回。因此，在考虑使用递归算法编 写程序时，应满足两点： 1）该问题能够被递归形式描述；(且是有限次的） 2）存在递归结束的边界条件。
请比较以下程序段（求第n个斐波那契数）
var f:array[0..1500] of integer; i,n:byte; begin readln(n); f[0]:=0;f[1]:=1; for i:=2 to n do f[i]:=f[i-1]+f[i-2]; wrrite(‘fi(‘,n,’)=‘, f[i]) end. Var m,p:integer;
分治法和动态规划
分治法和动态规划⼀.分治法 1.分治法的设计思路是，将⼀个难以直接解决的⼤问题，分割成⼀些规模⽐较⼩的相同的⼩问题，以便各个击破，分⽽治之。
2.分治法所能解决的问题的⼀般有以下的特征： （1）该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易解决（绝⼤多数的问题都满⾜） （2）该问题是可以分解为若⼲个规模较⼩的相同的问题，即改问题具有最优⼦结构性质（前提，也是绝⼤多数的问题都满⾜的） （3）利⽤该问题分解出的字问题的解可以合并该问题（关键） （4）该问题分解出来的各个⼦问题是相互独⽴的（分治法的效率） （如果具备⼀⼆条，但不具备第三条，可以考虑使⽤贪⼼算法或动态规划） 3.分治法的基本步骤： （1）分解：将原问题分解为若⼲个规模较⼩、互相独⽴、与原问题形式相同的⼦问题。
（2）解决：若⼲问题规模较⼩⽽容易被解决则直接解，否则递归地解各个⼦问题 （3）合并：将各个⼦⽂题的解合并成原问题的解 (记住不是所有的分治法逗逼简单的蛮⼒法简单) 4.分治法的时间性能的与直接计算最⼩问题的时间、合并⼦⽂题解的时间以及⼦问题的个数有关： c n=1T(n)= aT(n/b)+cn^k n>1（其中a,b.c.k都是常数。
这个递推描述了⼤⼩为n的原问题分解为若⼲⼤⼩为n/b的⼦问题，其中a个⼦问题需求求解，⽽cn^k是合并各个⼦问题的解所需要的⼯作量） 当⼦问题的规模之和⼩于原问题的规模时，算法的时间复杂度可达到0(n).⼆.动态规划1.简单的说就是在解决多阶决策的过程中动态的选择最优的过程的⽅法就是动态规划。
2.与分治法的区别：⼀般来说⼦问题不是互相独⽴的，可以理解为是分治法的⼀种改进，不需要求解已有解的⼦问题（已有解的⼦问题⽤表来记录）3.适⽤条件：（1）最优化原理（最优⼦结构）：⼀个最优策略的⼦策略总是最优的---->局部最优，整体最优（2）⽆后效性：每个状态都是过去历史的⼀个完整的总结（3）⼦问题的重叠性：⾼效性（最优⼦结构：当问题的最优解包含其⼦问题的最优解时，称该问题具有最有⼦结构；重叠⼦问题是⼀个递归解决⽅案⾥包含的⼦问题虽然很多，但不同⼦问题很少。
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
计算机专业课《算法》_第二章 递归与分治策略
“Hanoi 塔”问题演示 a 初始 a 步骤1 a
c
b
c
“Hanoi 塔”问题程序
void hanoi(int n,a,b,c)
{ if n == 1 move( 1, a, b );
else { hanoi( n-1, a, c, b );
move(n, a, b ); hanoi( n-1, c,b, a) ;
• 递归优点：结构清晰，可读性强
• 递归缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗 费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算 法要多。
整数划分问题的递归关系q(n,m)
如设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系 • q(n,m):正整数n的不同的划分中，最大加数不 大于m的划分个数个数 q(n,m)=
1 q(n,n) 1+q(n,n-1) q(n,m-1)+q(n-m,m) n=1, m=1 n<m n=m n>m>1
递归函数举例(5)
学习要点
理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。
通过典型范例，学习分治策略设计技巧。
2.1 递归的概念
• 递归算法：一个直接或间接地调用自身的算法 • 递归方程：对于递归算法，一般可把时间代 价表示为一个递归方程 • 递归函数：使用函数自身给出定义的函数 • 解递归方程最常用的方法是进行递归扩展
递归函数举例(1)
• 阶乘函数 n ！=
1 n(n-1)！ n=1 n>1
• Fibonacci数列
1 n=0
F(n)=
1 F(n-1)+F(n-2)
n=1 n>1
初始条件与递归方程是递归函数的二个要素
2.分治法
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
二次取中间值
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
算法时间复杂度分析
最坏情况下
T(n)cn if n24
T(n)T(n/5)+T(3n/4)+cn T(n) 20cn
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
summary
Divide-and-Conquer
A problem’s instance is divided into several smaller instances of the same problem, ideally of about the same size. The smaller instances are solved. If necessary, the solutions obtained for the smaller instances are combined to get a solution to the original problem.
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甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
五、 选择问题
方案一： 先用排序算法排序，然后输出第k个元素 算法复杂度O(nlog2n) 要排序整个l-5-21
- 计算机算法基础 -
方案二： 不必排序整个list，只需排序包含kth最小元的子集
A[j] A[j]
平均情况下(和下面递归式有相同的复杂度)
T(n)=T(n/2)+(n+1) T(n)=(n)
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甘靖
2014-5-21
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
递归
17
n
n-1 n-1
n-1
……
n-2 n-2
n-2
n-2 n-2
n-2
…… 例4 排列问题
1
n0
F
(n)
1
n 1
F (n 1) F (n 2) n 1
边界条件 递归方程
非递归定义：
F(n)
1 5
1
2
5 n1
1
2
5
n1
7
第n个Fibonacci数可递归地计算如下： int fibonacci(int n)
{ if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
q(6,1) q(6,2) q(6,3) q(6,4) q(6,5) q(6,6)
28
用栈模拟q(6,6)的递归计算过程。
q(4,1) q(4,2) q(6,2) q(6,3) q(6,4) q(6,5) q(6,6)
29
用栈模拟q(6,6)的递归计算过程。
q( q(6,5) q(6,6)
第2章 递归与分治策略
学习要点: • 理解递归的概念。 • 掌握设计有效算法的分治策略。 • 通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 （1）二分搜索技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法； （4）棋盘覆盖； （5）合并排序和快速排序； （6）线性时间选择； （7）最接近点对问题； （8）循环赛日程表。
算法设计与分析(霍红卫)-第2章-分治法
第2章 分 治 法
我们可以很容易解决这个问题。利用这样一个事实：渐近 表示法只要求对n≥n0，T(n)≤cn lb n成立，其中n0是一个可以选择 的常数。由于对于n>3，递归方程并不直接依赖T(1)，因此可设 n0=2，选择T(2)和T(3)作为归纳证明中的边界条件。由递归方程 可得T(2)=4和T(3)=5。此时只要选择c≥2，就会使得T(2)≤c·2·lb 2 和 T(3)≤c·3·lb 3 成 立 。 因 此 ， 只 要 选 择 n0=2 和 c≥2 ， 则 有 T(n)≤cn lb n成立。
3ic(n/4i)2=(3/16) icn2 i=0，1，…，log4n-1
深度为log4n的最后一层有3log4 n nlog4 3 个结点，每个结点的
开销为T(1)，该层总开销为 nlog4 3T (1) ，即 Θ(nlog4 3)。
第2章 分 治 法
将所有层的开销相加得到整棵树的开销：
T (n) cn2
T(n)=2T(n/2)+n ≤2(c［n/2］lb［n/2］)+n =cn lb n/2+n =cn lb n-cn lb 2+n =cn lb n-cn+n =cn lb n-(c-1)n
最后一步在c≥1时成立。≤cn lb n
第2章 分 治 法
下面证明猜测对于边界条件成立， 即证明对于选择的常 数c，T(n)≤cn lb n对于边界条件成立。 这个要求有时会产生 一些问题。 假设T(1)=1是递归方程的惟一边界条件，那么对 于n=1，T(1)≤c·1·lb 1=0与T(1)=1发生矛盾。因此，归纳法中 的归纳基础不成立。
3
cn2
3
2
cn2
3
二分治专题座PPT课件
时间复杂度
令t(n)表示MaxMin需要的元素比较次数, 存在下列递推关系
0
n1
t(n)
1
n2
t(n/2)t(n/2)2 n2
当n是2的幂时, 即对于某个正整数k, n=2k, 有
t(n)=2t(n/2)+2 = 2(2t(n/4)+2)+2 = 4t(n/4)+4+2
=2k-1t(2)+
2i
=2k-1+2k-2 1ik 1
else b[k++]=a[h++]; } if(l>mid)
while (h<=high) b[k++]=a[h++]; /* 转储剩余部分 */ else
while(l<=mid) b[k++]=a[l++]; a[low : high]=b[low : high]; /* 将b数组转储到a */ }
已分类的部分
未分类的部分
a[1] … a[j-1] a[j] a[j+1] … a[n]
插入分类算法
InsertSort(int n) { for(j=1; j<n; j++)
{ for( unsorted=a[j], k=j-1; (k>=0)&&(unsorted <a[k]); k-- ) a[k+1]=a[k];
a[k+1]= unsorted; } }
时间复杂度
考虑内层for循环中元素比较的次数T(n)
最好情况： 最坏情况：
T(n)=O(n) T(n)==1+2+…n-1==O(n2)
分治策略
分治过程
比较过程
分析
• 从图例可以看出，当有8个金块的时候，方法1需 要比较15~16次，方法2只需要比较10次,那么形成 比较次数差异的根本原因在哪里? • 其原因在于方法2对金块实行了分组比较。 • 对于N枚金块，我们可以推出比较次数的公式： 假设n是2的次幂，c(n)为所需要的比较次数。 方法1： c(n)=2n-1 方法2：c(n) = 2c(n/2 ) + 2。 由c(2)=1, 使用迭代方法可知c(n) = 3n/2 - 2。在本 例中，使用方法2比方法1少用了2 5％的比较次数。
问题1：找出伪币
• 给你一个装有1 6枚硬币的袋子。1 6枚硬币中 有一个是伪造的，并且那个伪造的硬币比真 的硬币要轻一些。你的任务是找出这枚伪造 的硬币。 • 为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用 来比较两组硬币重量的仪器，比如天平。利 用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否 相同。
方法1
• 任意取1枚硬币，与其他硬币进行比较，若发现 轻者，这那枚为伪币。最多可能有15次比较。
二分过程
procedure Merge_Sort(var A: ListType; P, R: Integer); var Q: Integer; begin if P <> R then begin {若子序列A中不止一个元素} Q := (P + R - 1) div 2; {计算中间下标Q} Merge_Sort(A, P, Q); {继续对左子序列递归排序} Merge_Sort(A, Q +, Q, R) {对左右子序列归并} end; end;
分治策略
• 所谓分治法就是将问题分而治之。有将问题一 分为二，也有将问题一分为三或一分为N 等份。 对每一等份分别进行解决后，原问题就可以很 快得以解决。因此一个问题能否用分治法解决， 关键是看该问题是否能将原问题分成 n 个规模 较小而结构与原问题相似的子问题。递归的解 决这些子问题，然后合并其结果就得到原问题 的解。当n=2时的分治法又称二分法。 • 使用分治策略的问题常常要借助递归的结构， 逐层求解，当问题规模达到某个简单情况时， 解容易直接得出，而不必继续分解。
递归、分治、动态规划、回溯
n = 1, m = 1 n<m n=m n > m >1
递归举例
Hanoi塔问题 例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座.开始时,在塔座a上有一叠共n个圆 盘,这些圆盘自下而上,由大到小地叠在一起.各圆 盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一 叠圆盘移到塔座b上,并仍按同样顺序叠置.在移动圆 盘时应遵守以下移动规则: 规则1:每次只能移动1个圆盘; 规则2:任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘 之上; 规则3:在满足移动规则1和2的前提下,可将圆盘移至 a,b,c中任一塔座上.
边界条件
递归方程
A(1,0) = 2 A(0, m) = 1 m≥0 n≥2 A(n,0) = n + 2 A(n, m) = A( A(n 1, m), m 1) n, m ≥ 1
递归举例
例3 Ackerman函数 函数 当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这 个函数是双递归函数 双递归函数. 双递归函数 Ackerman函数A(n,m) A(n, Ackerman A(n m)定义如下:
递归举例
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为:
边界条件
n=0 1 n!= n(n 1)! n > 0
递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函 数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出 结果.
递归举例
Fibonacci数列 例2 Fibonacci数列 无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,被 称为Fibonacci数列.它可以递归地定义为:
A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数: M=0时,A(n,0)=n+2 M=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故 A(n,1)=2*n M=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和 A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)= 2^n .
递推-递归-分治-回溯
递推算法在程序编辑过程中，我们可能会遇到这样一类问题，出题者告诉你数列的前几个数，或通过计算机获取了数列的前几个数，要求编程者求出第N项数或所有的数列元素（如果可以枚举的话），或求前N项元素之和。
这种从已知数据入手，寻找规则，推导出后面的数的算法，称这递推算法。
典型的递推算法的例子有整数的阶乘，1，2，6，24，120…，a[n]=a[n-1]*n(a[1]=1)；前面学过的2n，a[n]=a[n-1]*2(a[1]=1)，菲波拉契数列：1，2，3，5，8，13…，a[n]=a[n-1]+a[n-2](a[1]=1,a[2]=2)等等。
在处理递推问题时，我们有时遇到的递推关系是十分明显的，简单地写出递推关系式，就可以逐项递推，即由第i项推出第i+1项，我们称其为显示递推关系。
但有的递推关系，要经过仔细观察，甚至要借助一些技巧，才能看出它们之间的关系，我们称其为隐式的递推关系。
下面我们来分析一些例题，掌握一些简单的递推关系。
例如阶梯问题：题目的意思是：有N级阶梯，人可以一步走上一级，也可以一步走两级，求人从阶梯底走到顶端可以有多少种不同的走法。
这是一个隐式的递推关系，如果编程者不能找出这个递推关系，可能就无法做出这题来。
我们来分析一下：走上第一级的方法只有一种，走上第二级的方法却有两种（两次走一级或一次走两级），走上第三级的走法，应该是走上第一级的方法和走上第二级的走法之和（因从第一级和第二级，都可以经一步走至第三级），推广到走上第i级，是走上第i-1级的走法与走上第i-2级的走法之和。
很明显，这是一个菲波拉契数列。
到这里，读者应能很熟练地写出这个程序。
在以后的程序习题中，我们可能还会遇到菲波拉契数列变形以后的结果：如f(i)=f(i-1)+2f(i-2)，或f(i)=f(i-1)+f(i-2)+f(i-3)等。
我们再来分析一下尼科梅彻斯定理。
定理内容是：任何一个整数的立方都可以写成一串连续的奇数和，如：43=13+15+17+19=64。
递归和分治法
递归和分治法摘要：一、递归与分治法的概念1.递归：函数调用自身的思想2.分治法：把一个大问题分解成若干个小问题二、递归与分治法的联系与区别1.递归通常作为分治法的实现方式2.分治法不一定要用递归实现三、递归与分治法的应用实例1.快速排序算法2.归并排序算法3.汉诺塔问题正文：递归和分治法是两种在计算机科学中经常使用的解决问题的方法。
递归是一种函数调用自身的思想，即函数在执行过程中，会调用自身来完成某些操作。
而分治法则是把一个大问题分解成若干个小问题，然后逐个解决这些小问题，最后再把它们的解合并，得到大问题的解。
这两种方法在某些情况下可以相互转化，递归通常作为分治法的实现方式，但分治法不一定要用递归实现。
递归与分治法之间的联系在于，递归通常是分治法的实现方式。
在分治法中，我们会把一个大问题分解成若干个小问题，然后通过递归的方式，逐个解决这些小问题。
最后，再把它们的解合并，得到大问题的解。
在这个过程中，递归函数的调用栈会随着问题规模的减小而减小，最终回到原点，从而完成问题的求解。
然而，分治法并不一定要用递归实现。
在一些情况下，我们可以通过迭代的方式，逐个解决小问题，然后把它们的解合并。
这种方式虽然不是通过递归函数调用自身来实现的，但它仍然符合分治法的思想，即把大问题分解成小问题，逐个解决。
递归和分治法在实际问题中有很多应用。
例如，快速排序算法和归并排序算法都是基于分治法的思想设计的。
在快速排序算法中，我们选择一个基准元素，然后把数组中小于基准的元素放在左边，大于基准的元素放在右边，再对左右两个子数组递归地执行相同的操作，直到数组有序。
而在归并排序算法中，我们同样把数组分成左右两个子数组，然后递归地对它们进行排序，最后再把排序好的子数组合并成一个有序的数组。
另一个例子是汉诺塔问题。
在这个问题中，有三个柱子和一个大小不同的圆盘。
要求把圆盘从第一个柱子移动到第三个柱子，每次只能移动一个圆盘，并且大盘不能放在小盘上。
通俗易懂读懂递归
通俗易懂读懂递归什么是递归？如果按照字面意义来解释，递归就是自我从属的行为。
在计算机科学中，递归是指一个函数或者算法调用自身的过程。
这个过程通常通过将任务分解成更小的子问题来实现。
那么，为什么需要递归？递归可以提高代码的可读性和可维护性。
它通常用于解决复杂的问题，这些问题可以被分成较小的，相似的子问题。
递归代码比非递归代码更少，也更容易理解。
同时，递归可以通过多种方式优化。
递归的基本原则递归的基本原则是将一个问题分解成更小的问题，直到问题可以被直接解决。
然后将所有子问题的结果组合起来，解决原始问题。
这个过程可以归结为三个步骤：1. 找到递归基例（base case）。
递归基例是指问题可以被直接解决的情况。
如果问题不能被分解到更小的问题，就需要一个递归基例来停止递归调用。
2. 找到递归规则（recursion rule）。
递归规则是指如何将原始问题分解成更小的问题。
递归规则必须使得问题规模减小，并且必须最终达到递归基例。
3. 讲递归规则和递归基例转化为代码。
这个过程需要定义递归函数，并在函数中调用自己。
当递归达到递归基例时，函数停止调用自己并返回结果。
递归的优缺点递归的优点包括代码易于编写和理解，它能简化解决复杂问题的过程，并且利用起来非常方便。
递归的缺点包括效率较低，容易受限于调用堆栈深度的限制，以及时间和空间的成本高。
使用递归的场合递归函数通常用于解决树形结构或图形结构的问题，也可用于处理迭代子程序，或者使代码更简洁易懂。
递归还可以用于组合问题，例如迷宫问题和八皇后问题。
总结递归是计算机科学中的基本概念，它可以被用于解决复杂的问题，并且被广泛应用在许多领域中。
但是，使用递归需要注意其效率和调用堆栈深度的限制。
算法分析与设计试题答案
算法分析与设计习题第一章算法引论一、填空题：1、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂度和空间复杂度。
2、多项式10()m m A n a n a n a =+++的上界为O(n m )。
3、算法的基本特征：输入、输出、确定性、有限性。
4、如何从两个方面评价一个算法的优劣：时间复杂度、空间复杂度。
5、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 3) 。
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){c[i][j]=0;for(k=1;k<=n;k++)c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}6、描述算法常用的方法：自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD 图。
7、算法设计的基本要求：正确性 和 可读性。
8、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 2) 。
for （i ＝1；i<n; i++）{ y=y+1;for （j ＝0；j <=2n ；j++ ）x ＋＋；}9、计算机求解问题的步骤：问题分析、数学模型建立、算法设计与选择、算法表示、算法分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制。
10、算法是指解决问题的 方法或过程 。
二、简答题：1、按照时间复杂度从低到高排列：O( 4n 2)、O( logn)、O( 3n )、O( 20n)、O( 2)、O( n 2/3),O( n!)应该排在哪一位？答：O( 2)，O( logn)，O( n 2/3)，O( 20n)，O( 4n 2)，O( 3n )，O( n!)2、什么是算法？算法的特征有哪些？答：1）算法：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。
通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。
2）特征：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)确定性 ； ４)有穷性3、给出算法的定义？何谓算法的复杂性？计算下例在最坏情况下的时间复杂性？for(j=1;j<=n;j++) (1)for(i=1;i<=n;i++) (2) {c[i][j]=0; (3)for(k=1;k<=n;k++) (4)c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } (5)答：1）定义：指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。
(算法分析设计)第2章递归与分治策略
分治法的基本思想
分治法的基本思想
将一个规模为n的问题分解为a个规模较小的子 问题，这些子问题互相独立并且与原问题相同。 通过递归地求解这些子问题，然后再将各个子问 题的解合并，就可以实现对原问题的求解。
分治法的求解过程
分治法的求解过程
表示以塔座b为辅助塔座，将塔座ａ 上自下而上，由大到小叠在一起的 ｎ-1个圆盘按规则移至塔座ｃ上并 按同样顺序叠放。
将塔座a上的圆盘移动 到塔座b上去
Hanoi塔问题的复杂性分析
ｎ=1
移动次数Ｔ（１）＝１
ｎ＝２
移动次数Ｔ（２）＝３
ｎ＝３
移动次数Ｔ（３）＝７
ｎ＝４
移动次数Ｔ（４）＝１５
divide-and-conquer(P) {
if(|P|<=n0) adhoc(P);
n0：阀值
如果问题P的规模不超过n0，说明 问题已经容易求解，不要再继续 分解。利用adhoc(P)直接求解。
divide P into smaller subinstances P1,P2,…,Pa;
for(i=1,i<=a,i++)
T ( n ) ( n lo g b a ) O ( n lo g b a ) ( n lo g b a )
T ( n ) ( n l o g b a ) ( n l o g b a l g n ) ( n l o g b a l g n )
T ( n )( n lo g b a )(f( n ) )(f( n ) )
二分搜索技术 大整数的乘法 Strassen矩阵乘法 合并排序 快速排序 线性时间选择
二分搜索技术
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第2章递归与分治策略
1、什么是递归?
2、掌握和理解求n!函数的递归程序。
该递归的终止边界条件是什么？
3、掌握和理解Fibonacci数列的递归程序，并能编写辅助空间为3个单元的非递归算法。
该递归的终止边界条件是什么？
4、掌握和理解求数列全排列的递归程序。
该递归的终止边界条件是什么？
5、掌握和理解整数划分问题的递归程序。
该递归的终止边界条件是什么？
6、掌握和理解Hanoi塔问题的递归程序。
该递归的终止边界条件是什么？
7、深刻理解分治法的基本思想。
8、掌握和理解分治法的时间复杂度求解的递归和非递归方程，并理解方程中，各个参数的含义，对于给定的分治算法，能够运用方程，求出其时间复杂度。
9、理解和掌握二分搜索技术的实现及时间复杂度的计算。
10、理解大整数乘法和矩阵乘法的分治策略，体会简单的分治也许并不能得出更好地方案，还需加上适当的技巧，才能切实提高算法效率。
11、理解和掌握棋盘覆盖问题的分治算法及时间复杂度的计算。
12、理解和掌握合并排序分治算法的递归实现，并能改造实现求数列逆序对数量的分治算法。
13、能够写出合并排序分治算法的非递归实现，并能改造实现求数列逆序对数量的分治算法。
14、掌握和理解快速排序分治算法的实现。
15、掌握和理解求第k小元素的仿快排算法。
16、掌握和理解求第k小元素时间复杂度为O(n)的改进算法
17、掌握和理解最接近点对问题的算法。