随机过程报告——马尔可夫链
随机过程报告——马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。
它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。
这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上改变它的状态。
随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ⋯其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。
定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足}i {},...,i X i {1n 10001n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。
实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。
如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。
或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。
这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。
假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。
定义1.2 条件概率}{P 1)(i X j X p n n n ij ===+称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转移概率。
一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。
当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。
若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫链Xn,n ∈T}的转移概率)(P n ij 与n 无关，则称马尔可夫链是齐次的。
随机过程中的马尔可夫链理论
随机过程中的马尔可夫链理论随机过程是概率论中的一个重要分支，研究时间上的变化不确定性。
马尔可夫链是随机过程中的一种特殊形式，它具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
在本文中，我们将深入探讨随机过程中的马尔可夫链理论。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散随机过程，它由一系列的状态和状态转移概率组成。
设S={S1, S2, ...}为状态空间，P={Pij}为状态转移概率矩阵，其中Pij表示从状态Si到状态Sj的概率。
马尔可夫链满足以下两个条件：1) 转移概率只与当前状态有关；2) 对于任意状态Si，状态转移概率之和等于1。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质由定义可知，马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链在建模和分析中具有较大的灵活性。
2. 随机游走马尔可夫链可以看作是一种随机游走的过程。
在状态空间S中，根据状态转移概率进行转移，从而实现状态之间的随机变动。
通过研究随机游走的路径和特性，可以揭示马尔可夫链的一些重要特性。
3. 平稳分布对于某些马尔可夫链，存在一个平稳分布使得在长时间模拟中，状态分布趋于稳定。
这一性质在实际应用中广泛使用，例如在排队论、金融风险管理等领域。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中得到广泛应用，特别是在文本生成和语音识别方面。
通过学习语料库中的转移概率，可以生成新的语句或者识别语音中的词组。
2. 生物信息学在DNA和蛋白质序列的分析中，马尔可夫链可以用于模拟和预测相关的状态变化。
通过构建转移矩阵，可以研究序列中的概率事件和模式。
3. 市场分析马尔可夫链在市场分析中具有较大的潜力。
通过研究股票价格或者交易策略的状态转移，可以辅助投资决策和风险管理。
四、马尔可夫链的改进为了更好地描述现实世界中复杂的系统和过程，研究者们对传统的马尔可夫链进行了改进。
例如，高阶马尔可夫链能够捕捉更长期的状态依赖性；隐马尔可夫模型则能够处理观测序列的概率计算问题。
随机过程-第五章-连续时间的马尔可夫链
第五章 连续时间的马尔可夫链5.1连续时间的马尔可夫链考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有})(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++=})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链.由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关.记(5.1)式条件概率一般形式为),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率.定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij =其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程.假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有},{}{t h P s h t s h P i i i >=>+>可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布.由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;(2) 当过程离开状态i 时,接着以概率ij p 进行状态j,1=∑≠ij ij p .上述性质也是我们构造连续时间马尔可夫链的一种方法.当∞=i v 时,称状态i 为瞬时状态,因为过程一旦进入此状态立即就离开.0=i v 时,称状态i 为吸收状态,因为过程一旦进入状态就永远不再离开了.尽管瞬时状态在理论上是可能的,但以后假设对一切i, ∞<≤i v 0.因此,实际上一个连续时间的马尔可夫链是一个这样的随机过程,它按照一个离散时间的马尔可夫链从一个状态转移到另一个状态,但在转移到下一个状态之前,它在各个状态停留的时间服从指数分布.此外在状态i 过程停留的时间与下一个到达的状态必须是相互独立的随机变量.因此下一个到达的状态依赖于i h ,那么过程处于状态i 已有多久的信息与一个状态的预报有关,这与马尔可夫性的假定相矛盾.定理5.1 齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性质:;0)1(≥ij p (2);1=∑∈ij Ij p(3) ∑∈=+Ik kj ik ij s p t p s t p )()()(.其中(3)式即为连续时间齐次马尔可夫链的切普曼—柯尔哥洛夫方程. 证明 只证(3).由全概率公式及马尔可夫性可得 ===+=+)})0()({)(i X j s t X P s t p ij =∑∈===+Ik i X k t X j s t X P })0()(,)({=})()({})0()({k t X j s t X P i X k t X P Ik ==+==∑∈∑∈=Ik kj ik s p t p )()(.对于转移概率)(t p ij ,一般还假定它满足:⎩⎨⎧≠==→.,0,1)(lim 0j i ji t p ij t(5.3)称(5.3)式为正则条件.正则条件说明,过程刚进入某状态不可能立即又跳跃到另一状态.这正好说明一个物理系统要在有限时间内发生限多次跳跃,从而消耗无穷多的能量这是不可能的.定义5.3 对于任 一0≥t 记 },)({)(j t X P t p j ==,},)0({)0(I j j X P p p j j ∈===分别称}{},),({,I j p I j t p j j ∈∈ 齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概率分布.定理5.2齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有下列性质: (1) ,0)(≥t p j (2),1)(=∑∈t p j Ij(3) )()(t p p t p ij Ii i j ∑∈=;(4) );()()(h p t p h t p ij Ii i j ∑∈=+(5)).()...(})(,...,)({112111211-∈--====-∑n n i i i i ii Ii i n n t t p t t p p p i t X i t X p n n例5.1试证明泊松过程}0),({≥t t X 为连续时间齐次马尔可夫链. 证明 先证泊松过程具有马尔可夫性,再证明齐次性.由泊松过程的定义 它是独立增量过程,且X(0)=0.11,...0+<<<n n t t t ,有})(,...,)()({1111n n n n i t X i t X i t X P ===++= ,.)0()()()({1111i X t X i i t X t X P n n n n =--==-++ =,111212)()(,...)()(---=--=-n n n n i i t X t X i i t X t X } = })()({11n n n n i i t X t X P -=-++ . 另一方面,因为})()({11n n n n i t X i t X P ==++=})0()()()({11n n n n n n i X t X i i t X t X P =--=-++ =})()({11n n n n i i t X t X P -=-++所以})(,...,)()({1111n n n n i t X i t X i t X P ===++=})()({11n n n n i t X i t X P ==++. 即泊松过程是一个连续时间马尔可夫过程.以下证明齐次性. 当i j ≥ 时,由泊松过程的定义})()({i s X j t s X P ==+= })()({i j s X t s X P -=-+=)!()(i j t eij t---λλ j<i.时,由于过程的增量只取非负整数,故,0),(=t s p ij 所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==--i j ij i j t e t p t s p i j t ij ij ,0,)!()()(),(λλ, 即转移概率只与t 有关,泊松过程具有齐次性.5.2柯尔莫哥洛夫微分方程对于连续时间齐次马尔可夫链转移概率)(t p ij 的求解一般比较复杂.下面首先讨论)(t p ij 的可微性及)(t p ij 满足的柯尔莫哥洛夫微分程.引理5.1 设齐次马尔可夫过程满足正则性条件(5.3),则对于任意固定的)(,,t p I j i ij ∈是t 的一致连续函数.证明 设h>0,由定理5.1得)()()()()(t p t p h p t p h t p ij rj Ir ir ij ij -=-+∑∈)()()()()(t p t p h p t p h p ij ij ii rj ir ir -+=∑≠=)()](1[)()(t p h p t p h p ij ii rj ir ir --=∑≠故有)],(1[)()](1[)()(h p t p h p t p h t p ii ij ii ij ij --≥--=-+ ),(1)()()()()(h p h p t p h p t p h t p ii ir ir rj ir ir ij ij -=≤≤-+∑∑≠≠因此).(1)()(h p t p h t p ii ij ij -≤-+对于h<0,同样有).(1)()(h p t p h t p ii ij ij --≤-+ 综上所述得到).(1)()(h p t p h t p ii ij ij -≤-+ 由正则性条件知,0)()(lim 0=-+→t p h t p ij ij h 即)(t p ij 关于t 是一致连续的.以下我们恒设齐次马尔可夫过程满足正则性条件(5.3)式.定理5.3 设)(t p ij 是齐次马尔可夫过程的转移概率,则下列极限存在 (1);)(1lim 0∞≤==∆∆-→∆ii i ii t q v t t p (2).,)(lim 0j i q tt p ij ij t ≠∞<=∆∆→∆我们称ij q 为齐次马尔可夫过程从状态i 到状态j 的转移概率或跳跃强度.定理中的极限的概率意义为:在长为t ∆的时间区间内,过程从状态i 转移到另一其他状态的转移概率为)(1t p ii ∆-等于t q ii ∆加一个比t ∆高阶的无穷小量,而过程从状态i 转移到状态j 的转移概率为)(t p ij ∆等于t q ij ∆加一个比t ∆高阶的无穷小量. 推论 对有限齐次马尔可夫过程,有 ∞<=∑≠ij ij ii q q证明 由定理5.1 ,有)()(1,1)(t p t p t pij ij ii Ij ij∆=∆-=∆∑∑≠∈由于求和是在有限集中进行,故有.)(lim )(1lim 00∑∑≠≠→∆→∆=∆∆=∆∆-=ij ij ij i j t ii t ii q t t p t t p q (5.4)对于状态空间无限的齐次马尔可夫过程,一般只有 ∑≠≥ij ij ii q q .若连续时间齐次马尔可夫是具有有限状态空间I={0,1,2,…,n},则其转移速率构成以下形式的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=nn n n n n q q q q q qq q q Q .....................11111000100 (5.5) 由(5.4)式知,Q 矩阵的每一行元素之和为0,对角线元素为负或0,其余.0,≥ij q 利用Q 矩阵可以推出任意时间间隔t 的转移概率所满足的方法组,从而可以求解转移概率.由切普曼---柯尔莫哥洛夫方程有 ),()()(t p h p h t p Ik kj ik ij ∑∈=+或等价地)()](1[)()()()(t p h p t p h p t p h t p ij ii kj ik ik ij ij --=-+∑≠两边除以h 后令0→h 取极限,应用定理5.3得到 )()()(lim )()(lim 00t p q t p hh p ht p h t p ij ii kj ik ik h ij ij h -=-+∑≠→→ (5.6) 假定在(5.6)式的右边可交换极限与求和,再运用定理5.3,于是得到以下结论: 定理5.4 (柯尔莫哥洛夫向后方程)假设,ii ik ik q q =∑≠则对一切i,j 及0≥t ,有,)()(ij ii ik kj ik ijp q t p q t p -='∑≠ (5.7) 证明 只要证明(5.6)式右边极限与求和可交换次序.现在对于任意固定的N,有≥∑≠→)()(inflim 0t p hh p kj ik ik h )()()(inf lim ,,0t p q t p h h p kj Nk i k ik kj Nk i k ik h ∑∑<≠<≠→= 因为上式对一切N 成立,所以)()()(inflim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→≥ (5.8) 为了倒转不等式,注意对于N>i,由于,1)(≤t p kj 所以 ≤∑≠→)()(sup lim ,0t p hh p kj i k ik h ≤+≤∑∑≥<≠→])()()(sup[lim ,0Nk ik kj Nk i k ik h h h p t p h h p ≤--+≤∑∑<≠<≠→])()(1)()(sup[lim ,,0Nk i k ik ii kj Nk i k ik h h h p h h p t p h h p ,)(,,∑∑<≠<≠-+≤Nk i k ikii kj Nk i k ikqq t p q令∞→N ,由定理5.3和条件得)()()(sup lim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→≤. 上式连同(5.8)可得 )()()(lim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→=.定理5.4中)(t p ij 满足的微分方程组以柯尔莫可洛夫向后方程著称.称它们为向后方程,是因为在计算时刻t+h 的状态的概率分布时我们对退后到时刻h 的状态取条件,即我们从)()(})0()({..})(,)0()({)(h p t p i X k h X P k h X i X j h t X P h t p ik Ik kj Ik ij ∑∑∈∈======+=+开始计算.对时刻t 的状态取条件,我们可以导出另一组方程,称为柯尔莫哥洛夫向前方程.可得),()()(h p t p h t p kj Ik ik ij ∑∈=+)()()()()(t p h p t p t p h t p ij kj Ik ik ij ij -=-+∑∈=)()](1[)()(t p h p h p t p ij jj kj jk ik --=∑≠,所以 )}.()(1)()({lim )()(lim 00t p h h p h h p t p ht p h t p ij jj kj jk ik h ij ij h --=-+∑≠→→假定我们能交换极限与求和,则由定理5.3便得到),()()(t p q q t p t p ij ii jk kj ik ij-='∑≠ 令人遗憾的是上述极限与求和的交换不是恒成立,所以上式并非总是成立.然而在大多数模型中----包括全部生灭过程与全部有限状态的模型,它们是成立的. 定理5.5(柯尔莫哥洛夫向前方程) 在适当的正则条件下,,)()()(jj ij kj ik ik ijq t p q t p t p -='∑≠ (5.9) 利用方程组(5.7)或(5.9)及初始条件 .,0)0(,1)0(j i p p ij ii ≠==我们可以解得)(t p ij .柯尔莫哥洛夫向后和向前方程虽然形式不同,但是可以证明它们所求得的解)(t p ij 是相同的.在实际应用中,当固定最后所处状态j,研究)(t p ij 时(i=0,1,2,…,n),采用向后方程比较方便;当固定状态i,研究)(t p ij 时(j=0,1,2,…,),则采用向前方程较方便.向后方程和向前方程可以写成矩阵形式),()(t QP t P =' (5.10) ,)()(Q t P t P =' (5.11) 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---= (222120121110)020100q q q q q qq q q Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=............ (222120121110)020100p p p p p pp p p P 这样,连续时间马尔可夫链的转移概率的求解问题就是矩阵微分方程的求解问题,其转移概率由其转移速率矩阵Q 决定.特别地,若Q 是一个有限维矩阵,则(5.10)和(5.11)的解为 .!)()(0∑∞===j jQtj Qt et P定理5.6 .齐次马尔可夫过程在t 时刻处于状态I j ∈的绝对概率)(t p j 满足下列方程:.)()()(kj jk k jj j j q t p q t p t p ∑≠+-=' (5.12)证明 由定理5.2,有)()(t p p t p ij Ii i j ∑∈=t将向前方程(5.9)式两边乘以,i p 并对i 求和得.)())(()(kj jk ikiIi jj ijiIi ijIi iq t pp q t pp t p p ∑∑∑∑≠∈∈∈+-='故 .)()()(kj jk k jj j j q t p q t p t p ∑≠+-=' .与离散马尔可夫链类似,我们讨论转移概率 )(t p ij 当 ∞→t 时的极限分布与平稳分布的有限性质.定义5.4 设)(t p ij 为连续时间马尔可夫链的转移概率,若存在时刻 21,t t ,使得 ,0)(1>t p ij ,0)(2>t p ij则称状态i 和j 是互通的.若所有状态都是互通的,则称此马尔可夫链为不可约的.定理5.7 设连续时间的马尔可夫是不可约的,则有下列性质:(1) 若它是正常返的,则极限)(lim t p ij t ∞→存在且等于.,0I j j ∈>π这里.,0I j j ∈>π是方程组1,==∑∑∈≠Ij j kj jk k jj j q q πππ (5.13)的唯一非负解.此时称.,0{I j j ∈>π是该过程的平稳分布,并且有 .)(lim j j t t p π=∞→ (2) 若它是零常返的或非常返的,则.,,0)(lim )(lim I j i t p t p j t ij t ∈==∞→∞→在实际问题中,有些问题可以用柯尔莫哥洛夫方程直接求解,有些问题虽然不能求解但是可以用方程(5.13)求解.例5.2 考虑两个状态的连续时间马尔可夫链,在转移到状态1之前链在状态0停留的时间是参数为λ的指数变量,而在回到状态0之前它停留在状态1的时间是参数为μ的指数变量,显然该链是一个齐次马尔可夫过程,其状态转移概率为 ),()(01h o h h p +=λ),()(10h o h h p +=μ由定理5.3知由柯尔莫哥洛夫向前方程得到)()()(000100t p t p t p λμ-='=,)()(00μμλ++-t p 其中最后一个等式来自).(1)(0001t p t p -=因为,1)0(00=p 由常数变易法得 ,)()(00t e t p μλμλλμλμ+-+++=若记,,00μλμμμλλλ+=+=则,)()(0000t e t p μλλμ+-+=类似地由向前方程)()()(010001t p t p t p μλ-=' ,)()(lim )(1lim 1001010011011q h p dhdhh p h h p q h h h ====-==→→μ,)()(lim )(1lim 0100101000000q h p dhdhh p h h p q h h h ====-==→→λ可解得 ,)()(0001t e t p μλλλ+--= 由对称性知,)()(0011t e t p μλμλ+-+= ,)()(0010t e t p μλμμ+--= 转移概率的极限为),(lim )(lim 10000t p t p t t ∞→∞→==μ),(lim )(lim 11001t p t p t t ∞→∞→==λ 由此可见,当∞→t 时, )(t p ij 的极限存在且与i 无关.定理5.6知,平稳分布为 0100,λπμπ== 若取初始分布为平稳分布,即,}0)0({00μ===p X P ,}1)0({01λ===p X P 则过程在时刻t 的绝对概率分布为 )()()(1010000t p p t p p t p +==0)(000)(00]1[][μμλμλμμλμλ=-+++-+-t t e e=0)(000)(00][]1[λμλλλμμλμλ=++-+-+-t t e e .例5.3 机器维修问题.设例5.2中状态0代表某机器正常工作状态1代表机器出故障.状态转移概率与例5.2相同,即在h 时间内,机器从正常工作变为出故障的概率为),()(01h o h h p +=λ在h 时间内,机器从有故障变为经修复后正常工作的概率为),()(10h o h h p +=μ试求在t=0时正常工作的机器,在t=5时为正常工作的概率. 解 由例5.2已求得该过程的Q 矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=μμλλQ .根据题意,要求机器最后所处的状态为正常工作,只需计算)(00t p 即可. 由例5.2知,)()(0000t e t p μλλμ+-+=,,00μλμμμλλλ+=+=故 ,)5(5)(0000μλλμ+-+=e p 因为P{X(0)=0}=1=,0p 所以)()()(1010101t p p t p p t p +=====)5()5(}0)5({0000p p p X P .)5(5)(0000μλλμ+-+=e p5.3 生灭过程连续时间马尔可夫链的一类重要特殊情形是生灭过程,它的特征是在很短的时间内,系统的状态只能从状态i 转移到状态i-1或i+1或保持不变,确切定义如下. 定义5.5 设齐次马尔可夫过程}0),({≥t t X 的状态空间为I={0,1,2,…},转移概率为)(t p ij ,如果,0),()(1,>+=+i i i i h o h h p λλ,0,0),()(01,=>+=-μμμi i i i h o h h p),()(1)(,h o h h p i i i i ++-=μλ则称 }0),({≥t t X 为生灭过程,i λ为出生率, i μ为死亡率.若,λλi i =μλμμ,(,i i =是正常数),则称}0),({≥t t X 为线性生灭过程. 若0≡i μ,则称}0),({≥t t X 为纯生过程. 若0≡i λ,则称}0),({≥t t X 为纯灭过程. 生灭过程可作如下概率解释:若以X(t)表示一个生物群体在t 时刻的大小,则在很短的时间h 内(不计高阶无穷小),群体变化有三种可能,状态由i 变到i+1,即增加一个个体,其概率为h i λ;.状态由i 变到i-1,即减少一个个体,.其概率为h i μ;群体大小保持不变,其概率为.)(1h i i μλ+-由定理5.3得到,0,)()(,0≥+=-==i h p dhd t q i i h ii ii μλ ⎩⎨⎧≥-=≥+====,1,1,,0,1,)()(0i i j i i j h p dh d t q ii h ij ij μλ ,2,0≥-=j i q ij故柯尔莫哥洛夫向前方程为.,),()()()()(1,11,1I j i t p t p t p t p j i j ij j j j i j ij∈++-='++--μμλλ 故柯尔莫哥洛夫向后方程为.,),()()()()(,11,I j i t p t p t p t p j i i ij j j j i i ij∈++-='+-λμλμ 因为上述方程组的求解较为困难,我们讨论其平稳分布.由(5.13)式,有 ,2),()(,≥-=j i h o h p j i,1100πμπλ=.1,)(1111≥+=+++--j j j j j j j j πμπλπμλ逐步递推得,0101πμλπ=…, ,11--=j jj j πμλπ 再利用11=∑∞=j j π,得平稳分布,11211100)......1(-∞=-∑+=j j j μμμλλλπ, 112111021110)......1(......-∞=--∑+=j jj j j j μμμλλλμμμλλλπ 例5.4 生灭过程例子M/M/S 排队系统.假设顾客按照参数为λ的泊松过程来到一个有s 个服务员的服务站,即相继来到之间的时间是均值为λ1的独立指数随机变量,每一个顾客一来到,如果有服务员空闲,则直接进行服务,否则此顾客加入排队系列.当一个服务员结束对一位顾客的服务时顾客就离开服务系统,排队中的下一顾客进入服务. 假定相继的服务时间是独立的指数随机变量,均值为μ1.如果我们以X(t)记时刻t 系统中的人数,则}0),({≥t t X 是生灭过程⎩⎨⎧>≤≤=,,,1,s n s s n n n μμμ .0,≥=n n λλM/M/s 排队系统中M 表示马尔可夫过程,s 代表s 个服务员.特别在M/M/1排队系统中,μμλλ==n n ,,若1<μλ,则由(5.14)可得 .0),1()()(1)(1≥-=+=∑∞=n n n nnn μλμλμλμλπ。
随机过程课件-马尔可夫链
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
随机过程_C4马尔可夫链
0.5丿 当初始分布为P{ X 0 = 1} =P{X 0 =2} = 0, P{ X 0 = 3} = 1时经三步转移后处于状态 3的概率。
7 .已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：1•设质点在区间［0 , 4］的整数点作随机游动，到达 0点或4点后以概率1停留在原处, 1 —向左、右移动一格或停留在原处。
求质点随机游动的一 3在其它整数点分别以概率 步和二步转移的概率矩阵。
2.独立地重复抛掷一枚硬币， 1, 2或3,这些值分别对应于第 n -1次和第n 次抛掷的结果为(正，正)，(正，反)， (反，正)或(反，反)。
求马尔可夫链{X n ,n 0,1,2,…}的一步和二步转移的概 率矩阵。
设{X n , n _0}为马尔可夫链，试证： (1 ) P{X n.1=i n1,X n.2=i n.2, ,X n^ ~lnm |X 0 - i 0,X ^i 1, ,X n=i n }= P{X n ・1 =in1,X n 2 - i n 2 , , X n m - i n m | X n - i n }(2) P{X 0 =i°,X 1 , X n - i n , Xn 2 ~ i n 2 , , X n ~ i n m | Xn ~ i n 1}= P{X ° = i°,X 1 二「…，X n -i n |X n^^i n-1} P{X n-2 ~ i n 2 / , Xn m i n m | Xn 1 _ i n 1}设{X n , n _1}为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 每次抛掷出现正面的概率为 p ,对于n 一 2求，令X n =0, 3. 4. P i 二 P{X 。
5. P{X 2=4|X 设{X(t),r T}为随机过程 立同分布随机变量序列，令 {Y n , n _0}是马尔可夫链。
1/4 1/4 1/4 1/4"1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/8 1/4 3/8J/4 1/4 1/4 1/4』0=1, 1 <X 1<4^ P{X ，且 X 1 =X(t 1),X 2，试证 1 「4"3,4，八 2 = 4 |1 :： X r :： 4}= X(t 2),…，X n = X(tJ …为独 Y 0 -0,Y ^-Y(t 1W X 1,Y ncY n 4^X n, n 一2，试证0.5 0.56.已知随机游动的转移概率矩阵为0.5 0.5 ,求三步转移概率矩阵 P (3)及0.5(1) P T(O) =(0.4, 02 0.4), P 二0.80.80.1 0.10.70.2 020.20.60.7 0.1 0.1 0.1?0.1 0.6 0.2 0.1(2) P T(0)=(02 02 0.3, 0.3) , p =0.1 0.1 0.6 0.230.1 0.2 0.5」求下一、二个月的销售状态分布。
随机过程 马尔可夫链 常返 解题技巧
随机过程是概率论中的一个重要概念，它描述了一组随机变量在时间上的演化规律。
其中，马尔可夫链是一种重要的随机过程，具有许多重要的应用。
本文将对随机过程、马尔可夫链以及其中的常返性进行介绍，并探讨解题技巧。
一、随机过程随机过程是指一组随机变量的集合，它是对一组随机事件进行建模的数学工具。
随机过程在统计学、金融工程、生态学等领域具有广泛的应用。
在随机过程中，我们通常关注的是随机变量在时间上的演化规律，即随机变量随着时间的推移如何变化。
二、马尔可夫链马尔可夫链是一种随机过程，它具有马尔可夫性质，即在已知当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
马尔可夫链通常用状态空间和转移概率矩阵来描述，其中状态空间表示随机变量可能的取值，转移概率矩阵表示在当前状态下转移到下一状态的概率分布。
在马尔可夫链中，我们通常关注的问题包括平稳分布、收敛性、常返性等。
平稳分布是指当马尔可夫链收敛时，存在一个分布使得随机变量收敛到该分布。
收敛性描述了马尔可夫链的状态在时间推移中是否会趋于稳定。
常返性是衡量马尔可夫链状态转移的一个重要性质，它描述了马尔可夫链是否在有限时间内会回到某个状态。
三、常返性在马尔可夫链中，常返性是一个重要的性质。
常返性描述了马尔可夫链在有限时间内回到某个状态的概率。
如果马尔可夫链从某个状态出发，最终会以概率1回到该状态，则称该状态是常返的。
否则，该状态是暂态的。
对于一个马尔可夫链，如果所有状态都是常返的，则称该链是常返的。
常返性是马尔可夫链收敛性的一个重要条件。
若一个马尔可夫链是常返的，且满足一定的条件，那么该链将会收敛到一个平稳分布。
解题技巧在研究随机过程和马尔可夫链时，我们常常需要解决一些与状态转移、概率分布、收敛性等相关的问题。
以下是一些解题技巧，可以帮助我们更好地理解和应用随机过程和马尔可夫链。
1. 注意状态空间的选择：在解题时，我们需要注意选择合适的状态空间，以便清晰地描述随机变量的取值范围。
随机过程-9马尔科夫链的状态分类
1 2
P
0 1
1 0
0 1
2 0
1
2 0
1 0 1
P2
2 0
1
2 0
1 2
1
1
1 2
2
3
1 2
1
由1出发，经过一步首次回到1：无
由1出发，经过两步首次回到1：1→2→1
由1出发，经过三步首次回到1：无
由1出发，经过四步首次回到1：1→2→3→2→1
f (1) 0 11
f (2) 1
11
2
f (3) 0 11
f (4) 1
11
4
f (5) 0 11
f (6) 1
马尔科夫链状态的分类
1、周期性
• 例：从状态1出发，再回到状态1，可能的步数为 3,6,9，...，例如：1→3→6→1，或 1→4→6→2→5→6→1，等等。
• 步数的最大公约数，称为周期。周期为3.
4.2 马尔可夫链的状态分类
例4.6 设马尔可夫链的状态空间 I={1,2,,9}，转移概率如下图
• 定义4.3 状态i的周期d： d=G.C.D{n: p(n) >0}
ii
(最大公约数greatest common divisor) • 如果d>1，就称i为周期的， • 如果d=1，就称i为非周期的
4.2 马尔可夫链的状态分类
注(1)如果i有周期d，则对一切非零的n,
n0 mod d，有 p(n) 0
同理可得
4.2 马尔可夫链的状态分类
f (n) 13
( (
p1q2 p1q2
随机过程的马尔可夫性与平稳性
随机过程的马尔可夫性与平稳性在概率论与数理统计中，随机过程是一种描述随机事件随时间变化的数学模型。
随机过程的马尔可夫性与平稳性是两个重要的概念，对于理解和分析随机过程的特性具有重要意义。
一、马尔可夫性马尔可夫性是指在一个随机过程中，当前状态的概率分布只与前一个状态有关，与过去的状态或未来的状态无关。
马尔可夫性可以用以下的数学表达式来表示：P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n,X_{n-1}=x_{n-1},...,X_0=x_0) =P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n)其中，X_n表示随机过程的第n个状态，x_n表示状态X_n的取值。
马尔可夫性的特点是简化了随机过程的描述，使得问题的求解更加方便。
通过假设当前状态只与前一个状态有关，我们可以使用转移概率矩阵来描述状态之间的转移情况。
具体而言，转移概率矩阵P定义如下：P_{ij} = P(X_{n+1}=j|X_n=i)其中，P_{ij}表示从状态i到状态j的转移概率。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无穷的集合。
马尔可夫链可以通过转移概率矩阵的迭代来描述其状态的演化过程。
对于任意k，我们可以计算出转移概率矩阵P^k，表示经过k步转移后的状态分布。
通过马尔可夫性，我们可以研究各种与状态转移概率相关的问题，例如平稳分布、转移概率的收敛性等。
二、平稳性在马尔可夫链中，若存在一个概率向量π，满足以下条件：π = πP其中，π是一个行向量，P是转移概率矩阵。
则称π为平稳分布。
平稳分布的意义在于，它表示了马尔可夫链在长时间演化后的状态分布。
通过求解πP=π，我们可以得到平稳分布π的数值解。
在实际应用中，平稳分布常常具有稳定性和唯一性。
平稳性的研究对于了解一些随机过程的基本性质具有重要作用。
通过平稳分布，我们可以计算一些与状态相关的统计量，例如平均值、方差等，从而进一步分析随机过程的性质。
三、应用实例马尔可夫性与平稳性在许多领域有着广泛的应用，例如：1. 金融市场分析：使用马尔可夫链模型可以描述金融资产的价格或收益率的变化趋势，从而对市场走势进行预测和风险评估。
第四章-马尔可夫链-随机过程
计算 n 步转移概率的方法。
切普曼一柯尔莫哥格夫方程：对一切n,m 0，一切 i，j，有(4.2.1)
P nm ij
Pikn Pkmj
k0
证明：
P nm ij
P{ X nm
j|
X0
i}
P{Xn k | X0 i}P{Xnm j | Xn k, X0 i}
顾客数构成一个泊松过程。所以，
Pi, j
e t (t )i1 j dG(t ), j 1,
0
(i 1 j)!
i 1
这是因为若一个来客发现有 i 个人在系统中，那么下一个来客将
发现人数为 i+1 减去已服务完毕的人数，易知有 i+1-j 个人被服
务完毕的概率(对相继来到之间的时间取条件)等于上式的右端。
0
0
0 P43
例 4．1(b) G/M/1 排队系统。假设顾客 依照一个任意的更新过
程来到一个单服务台的服务中心，来到间隔分布为 G。进一步
假设服务分布是指数分布，参数为。若以 Xn 记第 n 个顾客来
到时见到系统中的顾客数，以 Yn 记第 n 个顾客与第(n+1)个顾客
不可被 d 整除的 n 有 Piin 0，且 d 是具有此性质的最大整数(d 是
{n : Piin 0}的最大公约数)。(若对一切 n>0， Piin 0，则定义 i 的周 期是无穷大。)具有周期 1 的状态称为非周期的(aperiodic)。以 d(i)记 i 的周期。
例设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}， 转移概率如下图
P nm ij
随机过程的马尔可夫链与转移矩阵
随机过程的马尔可夫链与转移矩阵马尔可夫链与转移矩阵是随机过程中重要的概念，它们能够描述系统在不同状态之间转移的概率。
本文将详细介绍马尔可夫链的概念和性质，并解释转移矩阵的作用和计算方法。
一、马尔可夫链的概念马尔可夫链是指一个具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质是指一个系统在给定当前状态下的未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
例如，假设有一个赌徒每天可以处于三种状态之一：赢钱、亏钱或者保持不变。
如果该赌徒在第n天状态改变的概率只与第n-1天的状态有关，而与之前的状态无关，那么该赌徒的行为就可以用马尔可夫链来描述。
二、转移概率与转移矩阵在马尔可夫链中，转移概率是指系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
转移概率可以用一个矩阵表示，这个矩阵称为转移矩阵。
转移矩阵的行和列分别对应系统的状态，矩阵中的元素表示系统从某个状态转移到另一个状态的概率。
每行的元素之和应等于1，表示在某个状态下，系统一定要转移至另一个状态。
三、转移矩阵的计算计算转移矩阵需要获取系统在不同状态之间的转移概率。
通常通过观察大量的历史数据或者统计样本数据来估计这些概率。
例如，假设有一个天气马尔可夫链，状态可以是晴天、多云或者雨天。
通过对过去一年的天气数据进行分析，可以计算出系统在不同天气状态之间转移的概率。
根据这些计算结果，可以构建出转移矩阵。
例如：晴天多云雨天晴天 0.7 0.2 0.1多云 0.4 0.3 0.3雨天 0.2 0.4 0.4四、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有一些特殊的性质，这些性质在实际应用中具有重要意义。
1. 长期稳定性：马尔可夫链经过足够长的时间后，系统的状态分布会趋于一个稳定状态。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，最终都能够到达其他所有状态。
3. 不可约性：系统的状态空间中的所有状态都可以互相转换。
4. 周期性：系统中的某些状态可能会进入一个周期循环，无法转移到其他状态。
通过研究马尔可夫链的性质，可以更好地理解系统的演化规律，并且对系统进行预测和控制。
随机过程-马尔可夫链4.3-4.4
∑ 下面证明对任一 j ∈ Gr , 有 k∈G
p jk = 1
r +1
。
实际上
1 = ∑ p jk =
k∈C
k∈Gr +1
∑
p jk +
k∉Gr +1
∑
p jk =
k∈Gr +1
∑
p jk
r+1
p i(jn d + r ) > 0 , 故当 k ∉ G 最后一个等式是因设
( ( piimd + s + h ) ≥ pijmd + s ) p(jih ) > 0.
由此可见 r+h 及 s+h 都能被 d 除 从而其差(r+h)-( s+h)=r-s 也可被 d 尽， 从而其差 除尽，但 0 ≤ r , s ≤ d − 1 ，故只能 r-s=0， 除尽， ， 因 而 Gr = Gs , 这 说 明 当 r ≠ s 时 ，
试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。 试分解此链并指出各状态的常返性及周期性。
解
由图 4.8 知
∞ n =1
( ( f113) =1, f11n ) =0,n≠3。所以 ≠ 。
( u1 = ∑ n f11n ) = 3
1
3
1
可见1 可见1为正常返状态且 周期等于3 周期等于3。含1的基本 常返闭集为
d −1
( nd + r ) ij
> 0}
其 次 ， 如 存 在 j ∈ Gr ∩ Gs ， 由 上 式 必 存 在 n 及 m 使 ( nd + r ) ( md + s ) p (jih ) > 0, 于是 pij > 0, pij > 0, 又因 j ↔ i, 故必存在 h,使 使
随机过程中的马尔可夫链模型
随机过程中的马尔可夫链模型马尔可夫链是一种描述随机过程的数学模型，它具有“无记忆性”的特点，即未来状态仅受当前状态的影响，与过去状态无关。
在这篇文章中，我们将探讨随机过程中的马尔可夫链模型及其应用。
一、什么是马尔可夫链模型马尔可夫链是一种随机过程，指的是一系列的随机事件，其中每个事件的发生仅依赖于前一个事件的状态。
这种“无记忆性”使得马尔可夫链具有简洁的数学描述和计算特性。
马尔可夫链由五个基本要素组成：状态空间、状态转移概率、初始概率分布、时间步长和转移矩阵。
1. 状态空间：马尔可夫链的状态空间表示系统可能处于的所有状态的集合。
例如，掷骰子的状态空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 状态转移概率：状态转移概率表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
通常用转移矩阵表示，其中每个元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
3. 初始概率分布：初始概率分布表示系统在初始时刻处于各个状态的概率分布。
通常用向量形式表示，其中每个元素表示系统处于对应状态的概率。
4. 时间步长：时间步长表示系统从一个状态转移到下一个状态所经过的时间。
5. 转移矩阵：转移矩阵是一个方阵，其中的每个元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
转移矩阵的每一行之和为1。
二、马尔可夫链模型的应用马尔可夫链模型在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、金融市场分析、生物信息学、网络传播模型等。
1. 自然语言处理：在自然语言处理中，马尔可夫链模型被用于文本生成、机器翻译和语音识别等任务。
通过建立一个马尔可夫链模型，可以根据已知的文本数据生成具有相似特征的新文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链模型被广泛应用于金融市场的分析和预测。
通过分析历史数据，建立一个马尔可夫链模型，可以预测未来的市场变化趋势，帮助投资者做出决策。
3. 生物信息学：在生物信息学中，马尔可夫链模型被用于基因序列分析、蛋白质结构预测等任务。
通过构建一个马尔可夫链模型，可以识别基因序列中的编码区域和非编码区域，进而对基因功能进行推断。
随机过程 第4章 马尔可夫链
一步转移概率矩阵
p11 P p 21 p12 p 22 p1n p2n
性质： (1) p ij 0 , i , j I
(2)
j I
p ij 1 , i I
（随机矩阵）
n 步转移概率
[定义] 称条件概率
p q q p
0 1
p, i j pij q, i j (i , j 0,1)
二步转移概率矩阵：
P
( 2)
2 2 p q P2 2 pq
2 pq 2 2 p q
[例2] （例4.4）具有吸收壁和反射壁的随机游动
设质点在线段 [1,4] 上作随机游动。假设ห้องสมุดไป่ตู้只能在时刻 nT 发生移动，且只能停留在1,2,3,4点上。当质点转移 到2,3点时，它以1/3的概率向左或向右移动一格，或停 留在原处。当质点移动到点 1 时，它以概率 1 停留在原 处。当质点移动到点4时，它以概率1移动到点3。若以 Xn 表示质点在时刻 n 所处的位置，则{ Xn , n T }是一 个齐次马尔可夫链。
f
(n) 12
( q1 p 3 ) m 1 q1 q 3 , m ( q1 p 3 ) p1 ,
n 2m, m 1 n 2 m 1, m 0
(n) f13
( p1 q 2 ) m 1 p1 p 2 , n 2 m , m 1 m n 2 m 1, m 0 ( p1 q 2 ) q1 ,
pij(n) 不仅与状态 i , j 有关，而且与时刻 n 有关。
当 pij(n) 与时刻 n 无关时，表示马尔可夫链具有平稳 转移概率。
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是指一种具有随机性质的过程，而马尔可夫链是随机过程中的一种基本模型。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程。
所谓马尔可夫性质，是指在一个随机过程中，当前状态的概率分布仅依赖于当前状态，而不依赖于历史状态。
马尔可夫链广泛应用于各个领域，如物理学、生物学、计算机科学等。
一、马尔可夫链的定义与性质马尔可夫链是一种随机过程，其状态空间可以是一个有限集合或可数集合。
若设Xn表示马尔可夫链在时间n的状态，则马尔可夫链具有以下性质：1.满足马尔可夫性质：在给定现在状态下，未来状态的概率分布与过去状态无关。
2.具有无后效性：状态的转移只受当前状态影响，与之前的状态无关。
3.具有Markov性：任意时刻t，下一状态Xt+1只与当前状态Xt有关，与过去状态无关。
二、转移矩阵转移矩阵是马尔可夫链中的重要概念。
假设状态集合为{1，2，3，...，N}，若Xn=j，则转移矩阵Pij表示从状态j转移到状态i的概率。
即在马尔可夫链的当前状态为j时，下一时刻转移至状态i的概率为Pij。
满足下列条件：1.所有元素的值都是非负数；2.每行元素的和等于1。
3.初始转移概率矩阵为pc，则$t\in N^{*}$时，$i, j\in{1,2,3,...,N}$$ P_{ij} P_{j1}=P_{i1}$$ P_{ij} P_{j2}=P_{i2}$$ P_{ij} P_{jr}=P_{ir}$也就是说，转移矩阵是一个n阶方阵，矩阵中的元素为非负实数并且每行的和为1。
三、平稳分布在马尔可夫链中，若转移矩阵满足一定条件，那么存在一个平稳分布，在链条经过足够多的转移后，状态分布不再增长或减少，变得稳定，称之为稳态或平稳分布。
平稳分布是指当马尔可夫链在经过一定转移后，概率分布已经趋于稳定，不再发生变化的状态分布。
平稳分布的计算是求解方程$P_\infty=P_\infty P$。
其中$P_\infty$为平稳分布，$P$为转移矩阵。
随机过程-7马尔科夫链的概念和转移概率1
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫链的性质 P{X0=i0, X1=i1, , Xn=in}
=P{Xn=in|X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1} P{X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1}
= P{Xn=in|Xn-1=in-1} P{Xn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
用泛函中二元函数的范数进行研究）
4.1 马尔可夫链与转移概率
随机过程{Xn，nT }， 参数T={0, 1, 2, },状态空间I={i0, i1, i2, }
定义 若随机过程{Xn，nT }，对任意nT和 i0,i1,,in+1 I，条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}， 则称{Xn，nT }为马尔可夫链，简称马氏链。
• 可以用状态转移图和转移概率矩阵表示 齐次马尔科夫链：
• 例1 某地只有甲、乙、丙三家公司的产品在 该地销售，据统计一个月后，使用甲产品 的用户有10%转向乙，20%转向丙；使用 乙产品的用户有10%转向甲，20%转向丙； 使用丙产品的用户有8%转向甲，4%转向乙。 已知甲、乙、丙现在的市场占有率是 30%,20%,50%,问四个月后的各自市场占有 率是多少？经过足够长的时间，市占率是 否会稳定？稳定到多少？
= P(X0=2)P22 P22 P23 P34 =0.420.32 若 P(X0=2)=P0,则2→2→2→3→4的概率为：P00.420.32
例2(蜘蛛和苍蝇)
转移矩阵：
1
0
0
随机过程 第三章 马尔科夫连
1 2
,
pi,i1
1 2
,
pi0
1 2
,i
I , 分析其遍历性.
27
状态空间的分解
定义： 状态空间I的子集C称为闭集，如果对任意 i C 及 k C 都有 pik 0
定义： 闭集C称为不可约的，如果C的状态互通。 定义： 马尔可夫链称为不可约的，如果其状态空间不可约。
28
例：设马氏链{X n}的状态空间I {1, 2,3, 4,5}，转移矩阵为
P{X1 i1, , X n in} pi pii1 pin1in iI
证明
14
例：某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计 算机的运行状态，收集了24个小时的数(共作97次观察)，用1表示正常状态， 用0表示不正常状态，所得的数据序列如下： 11100100111111100111101111110011111111100011 01101111011011010111101110111101111110011011 111100111
ij
jj
f p (nk ) ( k )
ij
jj
k 1
k 0
fij
f
(n) ij
n1
表示质点由i出发，经有限步终于到达j 的概率。
称状态i为常返的，如fii=1；称状态i为非常返的，如fii<1。
对于常返态i，由定义知{fii(n),n≥1}构成一概率分布
i nfii(n) n 1
表示由i出发再返回i的平均返回时间。
马尔可夫链的状态分类
❖ 周期、非周期 ❖ 常返、非常返 ❖ 正常返、零常返 ❖ 遍历状态
20
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，状态间的概率转移图如下 图
随机过程与马尔可夫链
随机过程与马尔可夫链随机过程是概率论中研究随机系统演化的一种数学模型。
在随机过程中，状态会随着时间的推移而发生变化，而这些状态的变化是由概率决定的。
马尔可夫链是随机过程的一种特殊形式，具有重要的理论和应用价值。
一、随机过程的基本定义与特点随机过程是指一个描述随机现象随着时间的变化而变化的数学模型。
它的基本定义如下：定义1：设(t,ω)∈R×Ω，Ω是样本空间，则对于每个固定的t，X(t,ω)是定义在Ω上的随机变量。
在随机过程中，每个随机变量都代表着某个特定时间点的系统状态。
随机过程的演化过程是通过在随机变量之间建立联系来描述的。
随机过程的特点之一是时间的不可预测性。
由于随机过程具有随机性质，未来的状态是不可完全预测的。
但是，通过概率论的方法，我们可以对未来的状态做出一定程度的概率估计。
二、马尔可夫链的定义与性质马尔可夫链是一种特殊的随机过程，具有“无记忆性”的特点。
在一个马尔可夫链中，当前状态的概率分布只依赖于其前一个状态的概率分布，与前面的状态无关。
定义2：设{X(t), t≥0}为一个随机过程，若对任意的n≥1，任意的0≤t1<t2<...<tn，以及对任意的实数B1, B2, ..., Bn，有：P{X(t1)∈B1, X(t2)∈B2, ..., X(tn)∈Bn} =P{X(t1)∈B1}P{X(t2)∈B2|X(t1)∈B1}...P{X(tn)∈Bn|X(tn-1)∈Bn-1}其中，B1, B2, ..., Bn是状态空间S的子集。
马尔可夫链的无记忆性使得其具有许多有趣的性质。
例如，给定当前状态，未来的演化是与过去的历史无关的，这使得马尔可夫链可以用来对一些时间无关的随机系统进行建模和分析。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在很多领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用例子：1. 马尔可夫链在自然语言处理中的应用马尔可夫链被广泛用于自然语言处理中的语言模型。
通过对大量文本数据的分析，可以建立马尔可夫链模型，以预测下一个词语出现的概率。
随机过程-第五章 马尔可夫链
0.95 0.02 0.02 0.01 0.3 0.6 0.06 0.04 P 0.2 0.1 0.7 0 0.2 0.2 0.1 0.5
P
jS
ij
1, i S 。则称该矩阵为随机矩阵。
显然，随机矩阵的各行元素之和都等于 1。
例 5.1 赌徒输光问题 ：考虑一赌徒，在每局赌博中他以概率 p 赢得 1 元，以概率
q 1 p 输掉 1 元，假设各局赌博是相互独立的，赌徒开始有 i （ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ i n ）元，且他在赌
显然， Markov 链的统计特征由其初始分布 P{ X 0 i0 } 和转移概率 P{ X k i X k 1 ik 1} （ k 1, 2,, n ）决定。
定义 5.3 时齐 Markov 链： 当 Markov 链的转移概率 P{ X n1 j X n i} 只与状态 i, j 有
m n m, n 0 使得 P ij 0, Pjk 0 ，利用 C-K 方程（1）可知
n n Pikm n Pirm Prk Pijm Pjk 0 rS
K 类似地可以证明存在 K 0 使得 Pki 0 。
称互通的两个状态属于同一个类，且由命题 5.1 可知，任何一个状态不能同时属于两个 不同的类，即任意两个不同的类不相交。 思考：对例 5.1 中的赌徒问题的状态分类？ 定义 5.7 可约：若 Markov 链只存在一个类，则称它为不可约的；否则称为可约的。 在不可约的 Markov 链中，一切状态都是彼此互通的。
随机过程中的马尔可夫链强近似理论
随机过程中的马尔可夫链强近似理论在随机过程中的马尔可夫链强近似理论中，马尔可夫链是一个重要的概念。
马尔可夫链是指具有马尔可夫性质的离散事件的随机模型。
所谓马尔可夫性质是指在给定当前状态的条件下，未来的状态只与当前状态相关，而与过去的状态无关。
马尔可夫链的强近似理论研究的是其在长时间尺度下的行为。
通过对马尔可夫链的状态转移概率进行分析，可以得到关于状态的稳定性、收敛性以及平稳分布等重要性质的结论。
马尔可夫链的强近似理论主要包括两个方面的内容，即平稳性和收敛性。
首先，平稳性是指在马尔可夫链达到稳定状态后，其状态分布将保持不变。
也就是说，在长时间尺度下，马尔可夫链的状态将以一定的概率分布出现，且该概率分布与初始状态无关。
平稳性是马尔可夫链理论中的基本性质，对于分析和应用马尔可夫链模型具有重要的意义。
其次，收敛性是指在马尔可夫链中，随着时间的推移，马尔可夫链的分布趋向于某个稳定分布。
当马尔可夫链的状态转移概率满足一定条件时，马尔可夫链将收敛到一个唯一的平稳分布。
收敛性是马尔可夫链强近似理论中的一个重要结果，它使得我们能够通过对马尔可夫链的有限观测数据进行推断和预测。
马尔可夫链强近似理论的研究方法主要包括两个方面的内容，即状态转移概率的估计和马尔可夫链模型的识别。
状态转移概率的估计是指通过有限观测数据对马尔可夫链的状态转移概率进行估计。
通常情况下，我们无法直接观测到马尔可夫链的状态转移概率，因此需要通过利用马尔可夫链的样本轨迹进行估计。
常用的方法包括频率估计法和最大似然估计法等。
马尔可夫链模型的识别是指对给定的观测数据，确定最合适的马尔可夫链模型。
对于已知模型参数的情况下，识别问题可以转化为模型比较问题。
常用的模型比较准则包括AIC准则和BIC准则等。
除了平稳性和收敛性，马尔可夫链强近似理论还包括其他一些重要的理论结果，例如马尔可夫链的易混性、遍历性和细致平稳条件等。
这些理论结果为我们理解和应用马尔可夫链提供了有力的理论支持。
随机过程Ch4 马尔可夫链
Markov过程
有P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,X2=i2,…,Xn=in}=P{Xn+1=in+1| Xn=in}. 5. 条件概率pij(m)=P{Xm+1=j|Xm=i}称为马氏链{Xn,n∈T} 在时刻m的一步转移概率. 条件概率pij(k)(m)=P{Xm+k=j|Xm=i}称为马氏链{Xn,n∈ T}在时刻m的k步转移概率. 6.马尔可夫链{Xn,n∈T}的转移概率pij(k)(m)具有性质: (1) pij(k)(m)≥0, i,j∈I; (k)(m)=1, i,j∈I且规定p (0)(m)= 1, i=j, (2) pij ij 0, i≠j. 7. 如果对于任意的i,j∈I,马尔可夫链{Xn,n∈T}的转移 概率只与i,j有关,而与时刻n无关,则称{Xn,n∈T}是时齐 的或齐次的,并记pij(m)=pij.
第四章 马尔可夫链
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义 设 {X(t)，t T }为随机过程，若对任意 正整数n及t1< t2<< tn， P{X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}>0，且条件分布 P{X(tn)xn|X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1} = P{X(tn) xn|X(tn-1)=xn-1}， 则称{X(t)，t T }为马尔可夫过程。 ☆若t1,t2,,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn表示 将来，马尔可夫过程表明：在已知现在状态 的条件下，将来所处的状态与过去状态无关。
随机过程{Xn，nT }， 参数T={0, 1, 2, },状态空间I={i0, i1, i2, } 定义 若随机过程{Xn，nT }，对任意nT和 i0,i1,,in+1 I，条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}， 则称{Xn，nT }为马尔可夫链，简称马氏链。
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马尔可夫链
马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。
它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为
,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。
这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上
改变它的状态。
随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ⋯其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。
定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的
,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足
}i {},...,i X i {1n 100
01n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。
实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。
如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。
或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。
这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。
假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。
定义1.2 条件概率
}{P 1)(i X j X p n n n ij ===+
称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转
移概率。
一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。
当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。
若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫
链Xn,n ∈T}的转移概率)(P n ij 与n 无关，则称马尔可夫链是齐次的。
定义1.3 设p 表示一步转移概率p ，所组成的矩阵，且状态空间1={1,2，…n}，则
称为马尔可夫链的一步转移概率矩阵。
它具有如下性质： （1）;.,0P ij I j i ∈≥，
I
i P I
j ij ∈=∑∈,1)2(
定理1.1 设}{T n ∈,X n 为马尔可夫链，则对任意的≥∈n ,....2,1和I i i i n 1，有。
这表明马尔可夫链的有限维分布完全由它的初始概率和一部转移概率所决定。
因此，只要知道初始概率和一部转移概率，就可以知道马尔可夫链的统计特性。
定义1.4 假设{Xn ，n ≥0}是齐次马尔可夫链，其状态空间为I ，转移概率为Pij ，
称概率分布{I
j j
∈,π }为马尔可夫链的平稳分布，若它满足
对于不可约马尔可夫链，若它的状态是非周期，正常返的，则它是遍历的； 对 于不可约马尔可夫链，若它的状态是有限且非周期的，则它是遍历的。
值得注意 的是，对于一个马尔可夫链，并不是一定存在）（n n p lim ∞
→。
例如设马尔可
夫链的一部转移矩阵为：
易知I p 2n =）（(单位矩阵)，p p 12n =+）（ ，所以）
（n n p lim ∞
→ 不存在。
在随机过程理论中，马尔可夫链是一类占有重要地位，具有普遍意义的随机 过程。
它广泛应用于现代社会的各个领域，尤其在预测领域有着广泛的应用。
马尔可夫链的预测方法分为很多种。
根据指标值序列分组有3种。
1）数据序列约定俗成的分组方法：根据 人 们 长久的经验进行分组:由于人们在现实生活中积累了生活经验，人们对认识的事物有了感性的了解，就可以对现象进行分组。
2）样本均值一均方差分组法：对于数据序列n x x x ,...,,21，可看作是一个时间序列的前n 个观测值，算出样本均值x 和样本均方差s ，根据具体情况以样本均值为中心，s 为标准进行分组。
3）有序聚类分组法：有序聚类是对有序样品进行分类的一种方法，更加充分地考虑序列的数据结构，使划分的区间更加合理。
有序聚类实现的经典算法是Fisher 算法，其基本原理为:设时间序列n x x x ,...,,21的某一归类是
定义其均值向量为
将公式
定义为{n x x x ,...,,21} 的直径，其含义表示该变量段内部各变量之间的差异情况。
其值越小，表示该段内变量之间差异越小，或说相互间越接近;反之，表示该段 内变量之间差异越大，或说相互间越分散。
三种马氏链预测方法：
1）基于绝对分布的马尔可夫链预测 步骤1 对历史数据进行分组;
步骤2 确定观测值的状态，写出频数矩阵，）（，E j i ij n ∈和一步转移矩阵E j i ij f ∈，）（，
其中1
-n n f ij ij =
，其中n 为样本容量，当时∞→n ，可用频数估计概率ij ij f p =∧
，从
而得到一步转移概率矩阵∧
∧=ij 1p p 。
步骤3 “马氏性”检验
步骤4 已知时刻l 时系统取各个状态的概率可视为马尔可夫链的初始分布， 比如x1取状态2, m=5，则始分布(0)P =（0，1，0，0，0），于是l+1时的绝对分布
)P ,P ,P ,P ,(P P P P (5)
5(4)4(3)3(2)2(1)1(0)1==）（，可认为时刻1+1时系统所取的状态j 满足}P {max P i 15
i 1j 1）（≤≤=，从而预测1+ t 时刻的状态。
步骤5 还可以用马氏链的平稳性，遍历性对系统分析。
2）叠加马氏链预测
步骤1 对历史数据进行分组;
步骤2 计算各阶的一步转移矩阵},...2,1{P ...P P k 21k I =，，
，，其中E j i ij f P ∈=,22)(，=2ij f
2
-n n (2)
ij
，其他类推。
步骤3“马氏性”检验
步骤4 如果要预测时刻1+1的状态，可分别利用1, 1-1,⋯，1-k+1作为初始态，，l+1所处的状态j 满足}P {max P i 5
i 1j ）
（）（≤≤=。
列表分析
图1 叠加马氏链预测分析表 步骤5 重复步骤1-4递推预测;
步骤6 进行平稳性，遍历性及其他分析。
3）加权马氏链预测
步骤1 对历史数据进行分组;
步骤2 计算各阶的一步转移矩阵},...2,1{P ...P P k 21k I =，，
，，其中E j i ij f P ∈=,22)(，
2ij
f
2
-n n (2)ij
，其他类推。
步骤3 “马氏性”检验; 步骤4 计算各阶相关系数：
计算规范的相关系数:
步骤5 预测n+1时刻的状态
步骤6 重复1-5，预测n+2时刻的状态，其余类推 步骤7 讨论其他性质。
马尔可夫预测方法是马尔可夫链在预测领域的一种应用方法。
最初这种方法在水文，气象，地震等方面有广泛的应用，之后经济学家将其应用于研究市场占有率，预测经营利润等方面。
在马尔可夫预测方法中，一个非常重要的问题就是对一步状态转移概率矩阵的估算。
下面以实例分析马尔可夫链在现实生活中的应用。
下面给出长江水域6类水质所占的比例。
现在要对长江未来10年的水质污染的发展趋势做一个总体的预测。
为此可建立长江水质污染的马尔可夫链趋势预测的一步转移概率矩阵估计的最优化模型。
设枯水期长江全流域水质在第t 年属于Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类这6类状态的比例向量分别为
9,....2,1,0,)6(P ),...2(P ),1(P t t t t ==t ）（）（α.设66)(⨯=ij p P 为6类状态矩阵的一步转移概率，根据误差平方和达到最小的准则，建立如下最优化模型：
用matlab 软件求解得
由下式
可以对长江未来10年的水质污染属于Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类这6类状态的比例向量作出预测，预测结果见下表
从预测计算结果可以看出：枯水期长江全流域水质属于Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类这3类状态的比例并没有发生根本性的减少，水质污染程度依然十分严重。
因此我们要采取积极措施，例如要严加控制企业废水和城市生活垃圾乱排乱放，政府要大力推进城市发展生态农业和有机农业，综合防治面源污染。
加大宣传力度，使群众能够清醒地认识到水资源危机和保护环境的意识等。
只有这样才能保护我们的长江。
马尔可夫链预测模型，关键在于转移概率矩阵的可靠性，因此该预测模型要求足够多足够准确的统计数据，才能保证预测精度。
如何利用马氏链做出更符合实际的预测结果是我们今后研究的课题，影响预测结果的因素很多，比如分组情况，分组不同有时候会得出不同的预测结果，有没有更科学的分组方法? 这些都是值得探讨的问题。