举例浅谈斜坐标系的应用

举例浅谈斜坐标系的应用

少二（1）邱天异

平面上的斜坐标系不同于平面直角坐标系，组成它的两条数轴不一定互相垂直。下面将从两个例子来看斜坐标系的应用。

一：六边形镶嵌

在如图的正六边形组成的平面镶嵌中，假定六边形对边中点连线长度为2。

解：

如图，建立一个坐标系，其中的坐标轴夹30°角。

定义一个点P的坐标为：

过点P作x轴的平行线，与y轴交于点A。

记点A在y轴（y轴看成是数轴）上的对应数值是a；

用类似的方法，做y轴平行线，与x轴交于B，B在x轴上的对应数值是b。

那么，P的坐标记作(a,b)。

如图，过A作两坐标轴平行线，分别交另一坐标轴于P , Q。

易知AP=4,AQ=4

∴A(-4,4)

易知B在y轴上，OB=2

∴B(0,2)

往上走一格，横坐标减4，纵坐标加4；

往右上走一格，纵坐标加2。

所以，此人的位置是(-12,16)

如果使用平面直角坐标系解决这个问题，需要了解特殊三角形的三边之比，还需要进行带根号的计算。在这个例子中，我们看到，利用斜坐标系来贴合题目的特征，某些时候可以避免分数、实数计算，大大减小计算的复杂性和难度。

二：目视确定位置 人眼观察物体的原理，是从两个不同方向（左右眼）观察同一个物体，综合所得结果而找到最终实际位置。其实，从一个方向观察一个物体，相当于用平行光作出它的一个投影。我们逆向研究这个问题，抽象后如下:

在前一个问题中，我们考虑了往某一个方向前进1单位时，坐标的增量，例如，往六边形的上方前进一单位的增量是(-4,4)，右上方则是(0,2)。我们也发现这个“增量”是可以叠加的，例如往上前进1单位，再往右上前进1单位，总的增量就是(-4,6)。

直接求在OA 、OB 组成的斜坐标系中的“增量”较为困难，尝试逆向求解。

考虑在平面直角坐标系中的“增量”，则读图易知：

往OB 方向前进个单位(从P 到P')的增量是(1,b)

往OA 方向前进个单位(从P 到P'')的增量是(1,a)

那么可以看作P 从原点O 开始，沿OA 走了BP 单位，沿OB 走了AP 单位，到达(c,d)。所以可以列方程求解AP 、BP 。

解：设AP=x ，BP=y ，记k 1=, ,k 2= 。

由题意得

解得

答句略去。

x

其实，第一个问题（六边形镶嵌）实质上就是把平面直角坐标系下的坐标，转化为斜坐标系下的坐标；第二个问题（目视确定位置）则恰恰相反。可以看到，两种问题中，最核心的部分就是求出“增量”，利用斜坐标系与直角坐标系之间的转化关系求解。