高斯小学奥数四年级上册含答案第11讲_整数数列计算

第十一讲整数数列计算
在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识， 如等差数列2, 5,
8, 11, 14, 17, ? •在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数 2为首项， 最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差 3, 3称为公
差.
你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗? 第m 项和第n 项相差
m n
个公差（m> n ）；
项数公式： 项数 末项首项 公差 1;
求和公式： 和 首项末项
项数
2 ；
项数为奇数时有：和 中间项 项数.
在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想•事 实上，“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中 也能够发挥作用.
例题1
匚的作用 ▼的作用
羊族和狼族发生了一场惊 天动地的大混战.战斗打得天 昏地暗*同梭内部偶尔也会出 现口和號杀-战场上，▲和▼这 两种武器被广迂使用，它们的 作用却不相同.
战场的某个肃落里*有这样 串争斗（顺序从左至右）.
这场争斗最后幸存卜来的是羊还足狼?
计算：100 98 96 94 92 90 L 8 6 4 2 .
「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？
练习1
计算：100 99 98 97 96 95 L 2 1 .
例题2
计算：50 49 48 47 46 45 44 43 L 4 3 2 1 .
「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？最后一组是否包含4、3、2、1这4个数呢？
计算：95 93 91 89 87 85 83 81 L 7 5 3 1.
除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种.
乘法是加法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为6 5 .乘方是乘法的简便运算，例如我们可以把6 6 6 6 6简写为65，读作“ 6的5次方”.再举几个例子：10 10可以记为102，读作“10的2次方”或“10的平方”；10 10 10 可以记为103，读作“ 10的3次方”或“ 10的立方”；10 10 10 10可以记为104，读作“ 10的4次方”.对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如a2 a a，b4 b b b b 等.
已知平方差公式：a2b2a b a b （把等式右边的乘法运算采用乘法分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试）.
可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘以差，简记为“平方差等于和乘差”.
已知平方差公式：『b2 a b a b.
计算：（1 ）66623342;
（2）50 1 50 1 ；
2 2 2 2 2 2
(3) 20 19 18 17 16 15 2 L 2
2 1 .
「分析」对于202192我们可以写为20 19
20
19 20 19，是不是整个算式中的数
都可以这样转化呢？
练习3
计算：1 12 1 0292 8272 62 52423222 12.
本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的和是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过•在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样.
规定运算“ @”为：a@b a 1 b 2 .计算：6@ 5@3 .
「分析」算式中涉及到两次“ @”运算，那么应该先算哪一个呢？
练习4
规定运算为：a b 2 a b，计算：(1) 6 5 4 ； (2) 6 5 4 .
计算:123456789L 97 98 99 .
「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？
例题6
计算：100 99 99 98 98 97 97 96 L 4 3 3 2 2 1 .
「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？
平方和公式
计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：
122232L n2n n 1 2n 1 6
平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识.
平方数列求和：
2 2 2 2
1 2 3 L n 121 231 341L nn11
=1 2 2 3 3 4 L nn1 1 2 3 L n
其中，等差数列
1 2 3 L n n n 1 2 ；...................................... ①
剩下的部分1 2 2 3 3 4 L n n1 1 2 3 L n则是最基本的整数裂项, 我们进行如下操作：3 1 2 1 2 4 0 1 2
323234123
3 3
4 3 4
5 2 3 4
3nn1nn1 n2 n1nn1
相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有:
3 1 2 2 3 3
4 L n n 1 = n n 1 n 2
所以， 1 2 2 3 3 4 L n n 1 = n n 1 n 2 3 ............ ........... ②
②减①，得平方和公式：
2 2
1 2 32L n 2=n n 1 n 2 3 n n 1 2
=n n 1 n 2 3 1 2
=n n 1 2n 4 6 3 6
=n n 1 2n 1 6
作业
1. 计算：99 97 95 93 91 89 L 3 1
2. 计算：（1）552452；（2）632372．
3. 计算：1002992982972962952L 2212
4. 规定运算“ ?”为：a b a b+2 ．计算5 4 2
5．计算：1+2 3 4 5 6 7 8 9 L 28 29 30 ．
第十一讲 整数数列计算
1.
例题 1 答案： 50
详解：原式共有 50项，两个一组，共有 25组，每一组都是 2，所以这个算式的结果是 25 2 50. 2.
例题 2 答案： 51
8. 练习 2 答案： 96 简答：原式 (95 93 91 89) (87 85 83 81) L (7 5 3 1) ，1~95 连续奇数共有 48 个， 所以共分了 12 组，原式 12 8 96 . 9.
练习 3
原式 (50
49 48 47) (46 45 44 43) L
(6 5 4 3) 2 1
，
3~50 共 48 个数，所以一共分了 12 组，原式 12 4 2 1 51 .
例题 3
答案：(1) 332000；(2)2499； (3)210
详解：
(1)原式 (666 334)(666-334) 332000 ；
(2)原式 =502 12 2500 1 2499 ；
(3)原式
20 19
20 19
18 17
18 17 L 2 1
2 1
20 19 18 17 L 2 1 210.
详解： 3.
4
例题 答案： 28
4.
详解：先算括号里面的： 5@3 (5 1) (3 2) 6，
5.
6@(5@3) 6@6 (6 例题 5 答案： 1584 1) (6 2) 28 .
详解：
6.
原式 (1 2 3) (4 5 6) L
(97 98 99)
0 3 6L 96 (3 例题 6 答案： 5000
96) 32
1584 .
详解： 原式 =(100 99 99 98)
(98 97 97 96)
(4 3 3 2) 2 1
99 2 97 2 L 3
(99 1) 50 2 5000 .
7.
练习 1 答案： 50
简答：原式共有 100 项，两个一组， 共有 50 组，每一组都是 1，所以这个算式的结果是 50 1 50 .
答案： 66
12. 作业 2
答案： 1000 ；2600
简答：（ 1）原式 = 55 45 55
45 100 10
1000 ；
（ 2）原式 = 63 37 63
37
100 26 2600 ．
13. 作业 3
答案： 5050
简答：平方差公式，原式
=100
99 98
97 L
321
，和为 5050．
14. 作业 4
答案： 52
简答：根据运算规定： 4 2 4
22
10， 5
4 2
5 10 5
10 2
52
15. 作业 5
答案： 135
简答：三项为一组，共
有
10 组：
原式 = 1 2 3 4 5 67 89 L 28 29 30 03 6L 27 可以看成首项为 3，末项为 27，公差为 3 的等差数列，和为 3+27 9 2=135 ．
简答： 原式
11 10 11 10 9 8 9
11 10 9 8 L 2
1 66
10. 练习 4
答案： 10；6
简答：
（1） 65
4 2 6
5 4 742
（2） 65
4
6 2 5 4
662
11. 作业 1
答案： 50
简答： 原式
= 99 97 95 93 L3
99 1 21
50 项， 每两项为一组，共有
7 4 10； 6 6 6 ．
1 ，从 1 至 99，公差为
2 的等差数列共 有
25 组，和 = 2 25 50 ．。