西安交大概率论试题三套
交大概率统计2008-2009-1期末考试含答案
一。
单项选择题（每题3分，共18分）1．设A 与B 为随机事件，且1)(0<<A P ，0)(>B P ，)|(1)|(A B P A B P -=则必有 （ ）（Ａ）)|()|(B A P B A P =； （Ｂ）)|()|(B A P B A P ≠； （Ｃ）)()()(B P A P AB P =； （Ｄ）)()()(B P A P AB P ≠。
2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则X e Y 21-=服从 （ ）（A ）泊松分布； （B ）指数分布； （C ）正态分布； （D ）均匀分布。
3．设)(321X X X ，，是取自总体)10(~，N X 的样本，以下数学期望)(X E 的点估计中最有效的是（ ）(A)321313131X X X ++； (B) 321414121X X X ++； (C) 321412121X X X ++； (D) 321414141X X X ++。
4．设二维随机变量)0;9,2;4,1(~),(N Y X ，则)2(22Y X E -=（ ）（Ａ）21； （Ｂ）－21； （Ｃ）5； （Ｄ）－7。
5．设),(~2σμN X ，且2σ未知，则μ的置信度为95.0的置信区间为 （ ）(A) )(025.0t nS X ±； (B) )(025.0t nX σ±；(C) )(025.0Z nS X ±； (D) )(025.0Z nX σ±。
6．设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均匀分布)1,0(U , 则以下随机变量中仍服从均匀分布的随机变量是 （ ）)(A Y X Z +=； )(B Y X Z -=； )(C ),(Y X ； )(D ),(2Y X 。
二．填空题（每题3分，共18分）7．已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则)(--B A P = 。
8．已知n X X X ,,,21 是取自于总体X 的样本，则ini i Xk Y ∑==1是)(X E 的无偏估计的充分必要条件为 。
历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案资料
2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。
共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。
选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。
分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为 分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。
西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 习题课
12. 条件概率
设 A, B 是 两 个 事 件,且 P(B) 0, 称 P( A | B) P( AB) P(B)
为 在 事 件B 发 生 的 条 件 下 事 件A发 生 的条 件 概 率.
A AB B
13. 乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A). 设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
2 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件
① A与 B；
② A 与 B；
③ A 与 B.
18. 独立试验序列概型
设{Ei }(i=1,2,…)是一列随机试验,Ei的样本空 间为i ,设Ak 是Ek 中的任一事件,Ak k , 若Ak出
现的概率都不依赖于其它各次试验Ei (ik)的结果,
则称{Ei } 是相互独立的随机试验序列,简称独立试 验序列.
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解 设 Ai {第i个元件正常工作}, 则 P( Ai ) r
i 1,2,n 设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
j 1
称此为贝叶斯公式.
i 1,2,, n.
16.四个公式之间的联系
条件概率 P(B A) P( AB) P( A)
全概率公式
乘法定理
P( AB) P( A)P(B A)
P(A) P(B1)P(A B1) P(B2 )P(A B2) P(Bn)P(A Bn)
贝叶斯公式
P ( Bi
A)
西安交大概率论试题三套.
4页第 1页共 4 页第 2 页共 4 页第3 页共 4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准()f x=⎨⎩共页第1 页(0,2)N (,1)N μ，12512X ++共 页 第 2 页共页第3 页共页第 4 页一、1、解、()0.09,()()()()0.18,()0.27,p AB p BA p B AB P B p AB p B ==-=-==1()3p A B ⇒=2、解、101121()()112535()844f x dx ax b dx a b ax b dx a b +∞-∞⎫=+=⇒+=⎪⎪⎬⎪+=⇒+=⎪⎭⎰⎰⎰，11,2a b ⇒== 3、解、所以4、解、2222()2,()0.4,() 4.16(3)(69) 1.16E X D X E X E X E X X =-=∴=⇒+=++=5、解、, (1,2)Z X Y ZN =+∴(1)(1)(1)(0)0.5P X Y P Z F +≤=≤==Φ=Φ=6、解、由已知得 1234(0,8), (0,8),X X N X X N +- 2221(2) 8Y C χ∴=+⇒=7、解、1123112ˆ()()() 333E E aX bX X a b a b μμμ=++=++=⇒+= 212351511ˆ()(())() 1241243E E a b X X X a b a b μμμ=-++=-++=⇒-= 11,26a b ∴==二、解、设,1,2,3i A i =分别表示居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者，B 表示患有高血压病，123()=0.1()=0.82()=0.08P A P A P A ，，，123()0.2,()0.1,()0.05,P B A P B A P B A === 由全概率公式31()()()0.106i ii P B P A P B A ===∑ 由逆概率公式11()()10()0.1887()53P A P B A P A B P B === 三、解、0()(,) 0y x x X x e dy e f x f x y dy x o +∞--+∞-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩⎰⎰ 00()(,) 0y y y Y y e dx ye f y f x y dx y o --+∞-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩⎰⎰ 11112201(1)(,)12x y x x y P X Y f x y dxdy dx e dy e e ----+≤+≤===+-⎰⎰⎰⎰四、解、随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 3 i p ⋅1 0 61 121 142 61 61 61 123 121 61 0 14 j p ⋅ 14 12 14(1,1)(1)(1)P X Y P X P Y ==≠==，所以不独立234611113663XYP ， 111123()234636636E XY =⨯+⨯+⨯+⨯= 1111232, 2,424EX EY =⨯+⨯+⨯==(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-≠， 0XY ρ≠，所以相关五、解、(100,0.2), ()1000.220, ()1000.20.816X b E X D X =⨯==⨯⨯=(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ(2.5)( 1.5)=Φ-Φ- (2.5)(1.5)10.99380.933210.927=Φ+Φ-=+-=六、解、+11()()1E X xf x dx x dx x ββββ+∞∞+-∞==⋅=-⎰⎰，ˆ 11X X X βββ=⇒=-- 似然函数(1)11()()()n n n i i i i L f x x βββ-+===∏=∏，取对数1()(1)()ni i LnL nLn Ln x βββ==-+∏，1()()0n i i dLnL n Ln x d βββ==+∏=，11ˆ()()n n i ii i n n Ln x Ln x β====∏∑。
西交大数学试题及答案解析
西交大数学试题及答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3解析：函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$可以通过因式分解为$f(x) = (x-1)(x-3)$，因此函数有两个零点，即$x=1$和$x=3$。
正确答案为C。
2. 以下哪个选项是$\sin(\frac{\pi}{6})$的值：A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$解析：根据三角函数的定义，$\sin(\frac{\pi}{6})$等于$\frac{1}{2}$。
正确答案为A。
3. 直线$y = 2x + 3$与x轴的交点坐标是：A. $(-\frac{3}{2}, 0)$B. $(\frac{3}{2}, 0)$C. $(0, 3)$D. $(0, -3)$解析：要找到直线与x轴的交点，需要令$y=0$，解方程$0 = 2x +3$得到$x = -\frac{3}{2}$。
因此，交点坐标为$(-\frac{3}{2}, 0)$。
正确答案为A。
4. 以下哪个选项是$e^{\ln 2}$的值：A. 1B. 2C. $\ln 2$D. $\ln e$解析：根据对数的定义，$e^{\ln 2}$等于2。
正确答案为B。
二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x) = \sqrt{x}$的定义域是 $[0, +\infty)$。
2. 函数$f(x) = \cos x$的周期是 $2\pi$。
3. 函数$f(x) = \log_2 x$的反函数是 $f^{-1}(x) = 2^x$。
4. 函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$的导数是 $f'(x) = 3x^2 - 6x$。
三、解答题（每题15分，共40分）1. 求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$的极值点。
历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案
2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。
共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。
选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。
分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为 分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。
西安交通大学概率论与数理统计考试及答案
2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于第 1 页1(1,F n -(24,19)=0.429,221.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。
选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。
分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ=第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n ，则X ,n X 相互独立，1,2,i n = ()E X =()D X : (1)0x y <<<⎰⎰ 10000,X 独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页,,X是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：55,,)X 的数学期望和方差。
西安交大概率论试题及答案080709概率论B
西安交通大学考试题 B课 程 概 率 论学 院 考 试 日 期 2021 年 7月 9 日 专业班号姓 名 学 号 期中期末一、填空题(每题6分，共30分)1.一个产品须经过两道独立工序，每道工序产生次品的概率分别为3.0和2.0，那么一 个产品出厂后是次品的概率为 . 2.随机变量T 在[0，6]上服从均匀分布，那么方程 012=++x T x 有实根的概率为 .3.假设Y X 、的分布列为：Y X 、相互独立，那么α= 。
4.设随机事件~(0.5)X P ，那么=-)23(2X E ____________________.5. D ( X ) = 4, D (Y ) = 9, D ( X Y ) = 12, 那么X+Y 与Y 间的相关系数为=+Y Y X ,ρ___________..二、单项选择题(每题5分，共25分) 1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其他,020,10,)(),(y x y x a y x f ，那么常数=a(A) 31 (B) 3 (C) 2 (D) 21成绩X Y 1 2 31 61 91 181 2 31 α β√共 3 页第2 页课 程 概 率 论学 院 考 试 日 期 2021 年 7月 9 日一、；2.32；3.92；4.0.25；5.14619. 二、1.A ；2.D ；3.B ；4.D ；5.C三、解：设事件 A 表示“答复是〞，1B 表示骰子掷出1，2，3，4点，2B 表示掷出5或6点。
那么(1分)〔1〕 由全概率公式)()()()()(2211B A P B P B A P B P A P +=6132213132+=⋅+⋅=θθ (4分)〔2〕由Bayes 公式144613232)()()()(111+=+==θθθθA P B A P B P A B P(4分) 四、解：1.011()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰1201111(0)(0)()12222P z X P X Y X P Y dy ≤==+≤==≤==⎰(2分)2. 当2z ≥时，()1F z =当1z <-时，()0F z =当12z -≤<时，()()()F z P Z z P X Y z =≤=+≤(1)(1)(0)(0)(1P X Y z X P X P X Y z X P X P X Y z X =+≤=-⋅=-++≤=⋅=++≤=[]1(1)()(1)3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- (2分)当10z -≤<时，1011()1(1)33z F z dy z +==+⎰当01z ≤<时，011()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰当12z ≤<时，1011()111(1)33z F z dy z -⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰ (2分)所以 0 11()(1) 1231 z 2z F z z z <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩，那么1,12()30,z f z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(1分) 五、2,S R =π由题意得则联合密度函数为22221,(,)0,x y Rf x y R⎧+≤⎪=π⎨⎪⎩其它 (1分)()(,)X f x f x y dy R x R +∞-∞==-≤≤⎰(2分)()(,)Y f y f x y dy R y R +∞-∞==-≤≤⎰(221()(),X Y f x f y R =≠π所以不独立 (1分)2RR EX x dx R -==π⎰0 (1分)RR EY -==⎰0 (1分)2222x y R xyEXY dxdy R +≤==π⎰⎰0 (1分) (,)Cov X Y EXY EX EY =-⋅=0，那么X,Y 不相关 (1分)六、设赴约前t 分钟离开，那么花费⎩⎨⎧>-≤-==tX t X k t X X t c X f C ),(),()(，(3分)⎰==3010)()()(dxx p x f X Ef EC〔2分〕)45050()3010()22(201)(201)(23010k c t k c t kc dx t x k dx x t c t t+++-+=-+-=⎰⎰〔2分〕EC 最小，kc kc t ++=3010*〔2分〕七、 解 设一年中死亡等人数是X 人，X=,3000,,1,0 死亡的概率P=0.001，把考虑3000个人在一年中是否死亡看成3000重伯努力试验，故X 服从二项分布，即X~B(3000,0.01). 保险公司每年收入3000,3000010=⨯付去2000X 元。
概率论与数理统计试题2013.1.9(A卷)[2]
![概率论与数理统计试题2013.1.9(A卷)[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/ed8099ccd5bbfd0a79567350.png)
一 填空题（每题 3 分，共 24 分） 1 设 P( A) 0.2, ， P( AB) 0.3 ，则 P( AB) _________ ； 2.某同学在网上购买了 6 本数学书，4 本英语书，不知何故途中丢失了 一本，他不打开包装从收到的书中任取一本，则取出的是数学书的概 率为 __________ ____ ； 3.设随机变量 X ~ N (2,4) ,则 Y | X 2 | 的概率密度为_____________； 4.设随机变量 X ~ P(6) ， Y 3 X 2 ，则 P{Y 7} _________ ；
D(XY) ___________；
7. 设 E( X ) 10, D( X ) 0.04, 用切比雪夫不等式估计 P{9.2 X 11} ______； 8. 设 X 1 , X 2 ,, X 9 是取自总体 X ~ N (, 2 ) 的样本， Y1
Y2
2 (Y1 Y2 ) 1 9 1 9 。 X i ， S 2 ( X i Y2 ) 2 ，则 ~ _______ S 3 i 7 2 i 7
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1 6 Xi ， 6 i 1
二（10 分）甲、乙、丙三位同学同时独立参加面试，面试通过的概 率分别为 0.5，0.6 及 0.4。 (1) 求恰有 2 位同学面试通过的概率； (2) 已知 3 位同学中有 2 位通过面试， 求其中一位是同学乙的的概率。
ax(1 x), 0 x 1, f ( x ) 三 （12 分） 设随机变量 X 的概率密度为 0, 其他 （1 ） 确定常数 a 的值； （2） 求 X 的分布函数； （3） 求 P{0.5 X 1.5} 。
西安交大概率论试题三套要点
4页第 1页共 4 页第 2 页共 4 页第3 页共 4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准()f x=⎨⎩共页第1 页(0,2)N (,1)N μ，12512X ++共 页 第 2 页共页第3 页共页第 4 页一、1、解、()0.09,()()()()0.18,()0.27,p AB p BA p B AB P B p AB p B ==-=-==1()3p A B ⇒=2、解、101121()()112535()844f x dx ax b dx a b ax b dx a b +∞-∞⎫=+=⇒+=⎪⎪⎬⎪+=⇒+=⎪⎭⎰⎰⎰，11,2a b ⇒== 3、解、所以4、解、2222()2,()0.4,() 4.16(3)(69) 1.16E X D X E X E X E X X =-=∴=⇒+=++=5、解、, (1,2)Z X Y ZN =+∴(1)(1)(1)(0)0.5P X Y P Z F +≤=≤==Φ=Φ=6、解、由已知得 1234(0,8), (0,8),X X N X X N +- 2221(2) 8Y C χ∴=+⇒=7、解、1123112ˆ()()() 333E E aX bX X a b a b μμμ=++=++=⇒+= 212351511ˆ()(())() 1241243E E a b X X X a b a b μμμ=-++=-++=⇒-= 11,26a b ∴==二、解、设,1,2,3i A i =分别表示居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者，B 表示患有高血压病，123()=0.1()=0.82()=0.08P A P A P A ，，，123()0.2,()0.1,()0.05,P B A P B A P B A === 由全概率公式31()()()0.106i ii P B P A P B A ===∑ 由逆概率公式11()()10()0.1887()53P A P B A P A B P B === 三、解、0()(,) 0y x x X x e dy e f x f x y dy x o +∞--+∞-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩⎰⎰ 00()(,) 0y y y Y y e dx ye f y f x y dx y o --+∞-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩⎰⎰ 11112201(1)(,)12x y x x y P X Y f x y dxdy dx e dy e e ----+≤+≤===+-⎰⎰⎰⎰四、解、随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 3 i p ⋅1 0 61 121 142 61 61 61 123 121 61 0 14 j p ⋅ 14 12 14(1,1)(1)(1)P X Y P X P Y ==≠==，所以不独立234611113663XYP ， 111123()234636636E XY =⨯+⨯+⨯+⨯= 1111232, 2,424EX EY =⨯+⨯+⨯==(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-≠， 0XY ρ≠，所以相关五、解、(100,0.2), ()1000.220, ()1000.20.816X b E X D X =⨯==⨯⨯=(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ(2.5)( 1.5)=Φ-Φ- (2.5)(1.5)10.99380.933210.927=Φ+Φ-=+-=六、解、+11()()1E X xf x dx x dx x ββββ+∞∞+-∞==⋅=-⎰⎰，ˆ 11X X X βββ=⇒=-- 似然函数(1)11()()()n n n i i i i L f x x βββ-+===∏=∏，取对数1()(1)()ni i LnL nLn Ln x βββ==-+∏，1()()0n i i dLnL n Ln x d βββ==+∏=，11ˆ()()n n i ii i n n Ln x Ln x β====∏∑。
西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 第一部分 随机事件及其概率(带答案)
第一部分 随机事件及其概率基础练习一． 填空1 设====)(,7.0)(,5.0)(,4.0)(B A P B A P B P A P 则若 答案：0.552 三次独立重复射击中，至少有一次击中的概率为则每次击,6437中的概率为 答案：1/43箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________。
答案：8144 任取两个正整数，则它们之和为偶数的概率是_______ 答案：1/25 设10件产品中有3件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为__________答案：2/96已知P （A ）=0.8,P(A-B)=0.5,且A 与B 独立，则P （B ）= 答案：3/87从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________ 答案：9876104⨯⨯⨯=0.3024 8箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________ 答案：8149平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。
答案：12010设样本空间U={1，2， 10}，A={2，3，4，}，B={3，4，5，}，C={5，6，7}，则()C B A 表示的集合=______________________。
答案：{1,2,5,6,7,8,9,10} 二． 计算题1 一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解 以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式 ,)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p.)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--= 2 某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只. (1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解 以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A ，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P(2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A取到1只至2只二级品,其它的为一级品.于是.5441027234103713)|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P(3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P3 一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图13-1),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.ab解 “系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P)}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4 甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解 以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为}{}{531 A A A P P =甲胜+++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜+++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=5 将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解 将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故 .36/7)(=AB P今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P === 按定义B A ,相互独立.6 B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解 A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. 12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- .)1(122--=n p np注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p.)2(1])1(1[1)1(2222p pP p p --=---(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,11<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.) 若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件 “B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. )1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np.)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---= 因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp --= 7 有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性. 解 以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和： 321321321321A A A A A A A A A A A A G = 因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-= 8 甲、乙、丙三部机床独立工作由一名工人照看，某段时间内甲、乙、丙三部机床不需要照看的概率依次为3/4、2/3、1/2，求在这段时间内有机床需要工人照看的概率及恰有1台机床需要工人照看的概率。
西交概率统计习题集char 8
试问在显著水平 0.05 下， 检验各因子的效应与交互作用对得率的影响是否著？ 12.一化工厂生产某种产品，需要找出影响收率的因素。根据经验和分析，认为 反应温度的高低， 加碱量的多少和催化剂种类的不同，可能是造成收率波动的 较主要原因。对这三个因素各取三种水平，列于下表： 因素 1 水平 2 水平 3 水平 温度（℃） 80 85 90 加碱量（公斤） 35 48 55 催化剂种类 甲 乙 丙
8
yi
115 160 145 155 140 155 100 125
y
i 1
i
1095
26.某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg 且强 力服从正态 分布，改用新原料后，从新产品中抽取 25 件作强力试 验， 算得 s = 9.5 kg ， 问新产品的强力标准差是否有显著变化？(=0.05，0.01 )
17.作水稻栽培试验，考虑三个因素：秧龄、插值基本苗数、肥料。为了检验它 们对产量的影响，每个因素取两种水平，具体水平见下表： 因素 1 水平 2 水平 用 秧龄 小苗 大苗 苗数 15 万株/亩 25 万株/亩 氮肥 8 斤/亩 12 斤/亩
表安排 8 次试验。试验结果如下： 秧龄 1 1 1 1 2 2 苗数 1 1 2 2 1 1 氮肥 1 2 1 2 1 2 亩产量（斤） 600 613．3 600.6 606.6 674 746．6
( 1 )如何提出零假设和配择假设？
2 ( 2 )从甲厂取容量 16 的样本，测得 x 2. 225, s 0. 2686667 检验( 1 )的假设。
= 0.05。 ( 已 知 t0.95 ( 15 ) = 1.7531 ) 29.为考察气候条件对海冰重力脱盐的效果的影响，用正交表 L9（34）安排正式 试验，实验指标为盐度（越低越好） 。实验设计如下，使用方差分析法确定各 因素的影响情况。 A 堆积时数 （h） 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 3 B 进冰盐度 （%） 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C 日平均气 温（ ） 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1.38 1.95 2.44 1.2 1.67 2.05 1.07 1.43 1.73 e 实验结果 盐度（%）
西安交通大学城市学院考试卷(概率统计)
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（每小题3分，共15分）
1.设事件 相互独立，且 ，则
共4页第1页
2.设随机变量 的分布函数为 ，则
共4页第3页
八、（18分）设二维随机变量 的概率密度为 ，求：（1）常数 的值；（2） ；（3） 与 的边缘概率密度，并判断 与 是否独立？(4) 。
九、（12分）甲、乙两台机床加工同一种轴，已知甲、乙两台机床加工的轴的直径（单位：mm）都服从正态分布，现从这两台机床加工的轴中分别随机抽取样本，测得统计数据为：
成绩
西安交通大学城市学院考试卷
课程概率论与数理统计（信息类）
类别班号信息班考试日期年月日
姓名学号期中期末
一、选择题（每小题3分，共15分）
1.设 ，则 （）
（A） （B） （A） （A）
2.设随机变量 的分布律为 ，则 （）
（Ａ） （B） （C） （D）
3.设随机变量 与 相互独立，且 ，则 （）
（A） （B） （C）14（D）10
四、（6分）设随机变量 的分布函数为 ，求（1） ，
（2） 的概率密度函数
五、（6分）某车间有 机床独立工作着，设每台机床开动的概率为 ，试用中心极限定理求至少有 台机床同时开动的概率（结果用标准正态函数表示）。
六、（10分）设随机变量 ，求 的概率密度函数。
七、（10分）设总体 ， 为来自总体 的样本，求参数 的矩估计量与最大似然估计量。
甲机床：
乙机床：
试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著性差异（ ， ）.
3.设随机向量 的联合概率密度为 ， 为其联合分布函数，则
西安交大西工大 考研备考期末复习概率论与数理统计 区间估计
解 10, n 12,
计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10时, 1 0.95,
2 查表得 u / 2 u0.05 1.645,
x
n u / 2
502.92
10 1.645 498.17, 12
E(ˆ ) 为估计量 ˆ 的偏差。
例1 设总体 X 的k 阶矩k E( X k ) (k 1)存在,
又设 X1, X2 ,, Xn 是 X 的一个样本，试证明不论
总体服从什么分布, k 阶样本矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
是
k 阶总体矩k的无偏估计.
证 因为 X1, X2 ,, Xn 与 X 同分布，
则 称 随 机 区 间[ˆ1,ˆ2 ]是 的 置 信 度 为1 的 置 信 区 间,ˆ1和ˆ2分 别 称 为 置 信 度 为1 的 双 侧 置 信 区 间 的置 信下 限和 置信 上限, 1 为置 信度.
关于定义的说明
被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间[ˆ1,ˆ2 ]是随机的.
例5 若总体 X 的 E( X ) 和D( X ) 存在,则样
本均值 X 是总体均值的相合估计.
解：E( X ) E( X )
D( X )
lim D( X ) lim
0
n
n n
一般地,样本的 k 阶原点矩
Ak
1 n
n
X
k i
i 1
是总体 X
的 k 阶原点矩 E(X k ) 的相合估计.由此可见,矩
由 P(-1.75≤U≤2.33)=0.95
西交概率统计习题集char 5
问两地区小麦的蛋白质含量有无显著性差异？ 26.某厂宣称自己产品的合格率达到 99%, 检验人员从该厂的一批产品中抽查了
100 件, 发现有 2 件次品. 在 0.10 下, 能否断定该厂谎报合格率。 注: 本题可以用非正态总体的参数检验方法. 27.在数 3.14159 的前 800 位小数中, 数字 0、1、2、…、9 出现的次数记录 如下表: 数字 频数 0 74 1 92 2 83 3 79 4 80 5 73 6 77 7 75 8 76 9 91
19.下表列出某一地区在夏季的一个月中由 100 个气象站报告的雷暴雨的次数 i fi 0 22 A0 1 37 A1 2 20 A2 3 13 A3 4 6 A4 5 2 A5 >=6 0 A6
其中，fi 是报告雷暴雨次数为 i 的气象站数.请检验雷暴雨的次数 X 是否服从均 20.一农场 10 年前在一个鱼塘中按比例 20:15:40:25 投放了四种鱼：鲑鱼、鲈鱼、 竹夹鱼和鲇鱼的鱼苗，现在在鱼塘里获得一样本如下： 序号 种类 1 鲑鱼 2 鲈鱼 3 竹夹鱼 4 鲇鱼 值为λ=1 的泊松分布（取显著性水平为α = 0.05）
试问这个分布能否看作均匀分布. 28.为了研究慢性气管炎与吸烟量的关系, 调查了 385 人, 统计数字由下表所示. 烟量 人数 类型 患病者人数 健康者人数 求和 26 30 56 147 123 270 37 22 59 210 175 385 a 支/日 b 支/日 c 支/日 求和
试问慢性气管炎与吸烟量是否有关? 给定显著性水平 0.05 。 29.对某工段 8 名工人进行的技能培训前后的产量数据如下表所示 工人 培训后 培训前 甲 86 80 乙 87 87 丙 56 58 丁 93 91 戊 84 77 己 93 82 庚 75 74 辛 79 66
西安交通大学数理统计研究生试题
2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体和相互独立，且都服从正态分布，而和是分别来自和的样本，则服从的分布是_______ .解：．2，设与都是总体未知参数的估计，且比有效，则与的期望与方差满足_______ .解：．3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ .解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计是_______ .解：．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设为来自总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则____D___ .（A）； （B）；（C）； （D）.2，若总体，其中已知，当置信度保持不变时，如果样本容量增大，则的置信区间____B___ .（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法中正确的是____C___ .（A）减小时也减小； （B）增大时也增大；（C）其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ .（A）； （B）；（C）； （D）与相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为，则___B____ .（A）接近0时回归效果显著； （B）接近1时回归效果显著；（C）接近时回归效果显著； （D）前述都不对.三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明，其中.证明：易知， ．由定理可知， ．由独立性和分布的可加性可得．由与得独立性和分布的定义可得．四、（本题10分）已知总体的概率密度函数为其中未知参数, 为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1），用代替，所以．（2），所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体的概率密度函数为，其中未知参数，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：当时，，令，得．六、（本题10分）设总体的密度函数为 未知参数，为总体的一个样本，证明是的一个UMVUE．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得，的的无偏估计方差的C-R下界为．另一方面，，即得方差达到C-R下界，故是的UMVUE．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为公斤, 试问：（1）在显著性水平下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平，结果会怎样？参考数据: , , , ．解：（1），则应有：，具体计算得：所以拒绝假设，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设由则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设分别表示总体的样本方差，由抽样分布定理可知， ，由分布的定义可得．对于置信度，查分布表找和使得，即，所求的置信度为的置信区间为．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009(上)《数理统计》考试题(B卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体服从正态分布，而是来自的样本，则服从的分布是_______ .解：．2，是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_______ .解：．3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___.解：检验、柯尔莫哥洛夫检验．4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计的协方差矩阵_______ .解：．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体，是的样本，则___B___ .（A）； （B）；（C）； （D）．2，若总体，其中已知，当样本容量保持不变时，如果置信度减小，则的置信区间____B___ .（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ .（A）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ .（A）； （B）；（C）； （D）与相互独立.5，在多元线性回归分析中，设是的最小二乘估计，是残差向量，则___B____ .（A）； （B）；（C）是的无偏估计； （D）（A）、（B）、（C）都对.三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明，其中.证明：易知， ．由定理可知， ．由独立性和分布的可加性可得．由与得独立性和分布的定义可得．四、（本题10分）设总体的概率密度为其中参数 未知，是来自总体的一个样本，是样本均值，（1）求参数（2）证明不是的无偏估计量．解：（1），令，代入上式得到的矩估计量为．（2），因为，所以．故不是的无偏估计量．五、（本题10分）设总体服从上的均匀分布，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：的密度函数为似然函数为显然时，是单调减函数，而，所以是的极大似然估计．六、（本题10分）设总体服从分布，为总体的样本，证明是参数的一个UMVUE．证明：的分布律为．容易验证满足正则条件，于是．另一方面，即得方差达到C-R下界的无偏估计量，故是的一个UMVUE．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布，由以前的观n α=0.1α=0.05α=0.02514 1.3450 1.7613 2.144815 1.3406 1.7531 2.131516 1.3368 1.7459 2.1199n α=0.1α=0.05α=0.0251421.06423.68526.1191522.30724.99627.4881623.34224.29628.845测可知．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得,问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t分布表χ2分布表解：设：．构造检验统计量，确定拒绝域的形式．由，定出临界值，从而求出拒绝域．而，从而 ，接受假设，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设，则，所求的置信度为的置信区间为 ．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．2011-2012（下）研究生应用数理统计试题（A）1设为正态总体的样本，令，试证，。
西安交通大学考试题003【精选文档】
(
x)
0
,
其它
，
ey , y 0
fY ( y)
0
,
y0
求随机变量 Z X Y 的分布函数及概率密度
七、（9分）假定生产线上组装每件成品的时间服从指数分布,统计资料表明，该 生产线每件成品的组装时间,平均为10分钟，各件产品的组装时间相互独立，
(1) 试求组装100件需要15~20小时的概率； (2) 以 95%的概率在 16 小时之内最多可以组装多少件成品。
西安交通大学考试题 003【 选文档】
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3、设相互独立的随机变量序列 X1，X2，…，Xn，…服从相同的概率分布，且 E（Xi）=μ，
D（Xi）=σ2,记
Xn
1 n
n i 1
Xi
，Φ（x）为标准正态分布函数，则
lim
n
P
(D) 若 P(AB) P(A) ，则 A , B 互斥；
三、(8 分) 设甲袋中有 5 只白球,4 只红球,乙袋中 4 只白球,3 只红球.现从甲袋任取 2 只放
入乙袋,然后从乙袋中取一只,问取到白球的概率是多少?
四、(8 分)设随机变量 X~E(2)，求 Y 1 e2X 的概率密度.
五、（10
(2) 0.9772,(1) 0.8413,(1.645) 0.95
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西安交通大学考试题
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X
西安交通大学第二附属中学南校区九年级数学上册第二十五章《概率初步》经典测试题
一、选择题1．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．掷一枚硬币，正面朝上B ．三角形任意两边之差小于第三边C ．一个三角形三个内角之和大于180°D ．在只有红球的盒子里摸到白球2．现有三张正面分别标有数字1-，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m ，n ，则点()P m n ,在第二象限的概率为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．293．在“众志成城，共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中，小晴和小霞分别从“A ，B ，C 三个社区”中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率是（ ） A ．13B ．23C ．19D ．294．下列事件中，是必然事件的是( ) A ．购买一张彩票，中奖 B ．打开电视，正在播放广告C ．抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1~6的骰子，朝上一面的数字小于7D ．一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球 5．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15．和0.45，则该袋子中的白色球可能有( )A ．6个B ．16个C ．18个D ．24个6．下列问题中是必然事件的有（ ）个（1）太阳从西边落山；（2）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（3）221a b +=-（其中a 、b 都是实数）；（4）水往低处流． A ．1B ．2C ．3D ．47．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（ ）个． A ．20B ．16C ．12D ．158．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（ ）A ．34B ．13C ．12D ．149．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．若3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（ ） A ．23B ．58C ．38D ．1610．“明天的降水概率为90%”的含义解释正确的是( ) A ．明天90%的地区会下雨 B ．90％的人认为明天会下雨C ．明天90%的时间会下雨D ．在100次类似于明天的天气条件下，大约有90次会下雨11．现有两个可以自由转动的转盘，每个转盘分成三个相同的扇形，涂色情况如图所示，指针的位置固定，同时转动两个转盘，则转盘停止后指针指向同种颜色区域的概率是（ ）A ．19B ．16 C ．23 D ．1312．同时抛掷完全相同的,A B 两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），两个立方体朝上的数字分别为,x y ，并以此确定(,)P x y ，那么点P 落在函数29y x =-+上的概率为（ ） A ．118B ．112C ．19D ．1613．某校学生小明每天上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，那么他遇到绿灯的概率为（ ） A ．13B ．23C ．49D ．5914．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ） A ．19B ．16C ．13D ．2315．在1，2，3，4四个数中，随机抽取两个不同的数，其乘积大于4的概率为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．16二、填空题16．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果．试验种子数n（粒）1550100200500100020003000…发芽频率m04459218847695119002850…发芽频率mn00.80.90.920.940.9520.9510.950.95…则下列推断：①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95；②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952；③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951；其中合理的是____________（填序号）17．有一个转盘如图所示，转动该转盘两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是________．18．—个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是______．19．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．20．有四张不透明卡片，分别写有实数14，﹣1-1-515，除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是__．21．某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中黄球的个数约为_____．22．新冠疫情期间，甲乙丙丁四人负责某小区门口的值岗，现在需要从4人中抽调2人进行流动执勤，请问抽中的两人恰好为甲乙的概率是_______．23．一个不透明的盒子中装有9个大小相同的乒乓球，其中3个是黄球，6个是白球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率是_________．24．在一个不透明的口袋中，有大小、形状完全相同的红、绿两种颜色的球共15个，从中摸出红球的概率为13，则袋中绿球的个数为__________个．25．在一个不透明的盒子中，装有红、黄、绿三种只有颜色不同、其余均相同的小球各2个，从中任取一个球，取出的球为红色的概率为_____．26．如图，这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知AE=5，BE=3，若向正方形ABCD内随意投掷飞镖（每次均落在正方形ABCD内，且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等），则恰好落在正方形EFGH内的概率为__________．三、解答题27．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球5个，黑球7个．()1先从袋子中取出()1m m>个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：事件A必然事件随机事件m的值()2先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于34，求m的值．28．自2009年以来，“中国•兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如表：批次123456油菜籽粒数100400800100020005000发芽油菜籽粒数a31865279316044005发芽频率0.8500.7950.8150.793b0.801（1）分别求a和b的值；（2）请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）；（3）农业部门抽取的第7批油菜籽共有6000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数．29．有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B （乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是度，请补全条形统计图；（2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．30．一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标(,)x y．（1）小红摸出标有数3的小球的概率是_______；（2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点(,)P x y所有可能的结果．并求点(,)P x y在函数4yx图象上的概率．。
概率论
e , x ≥ 0; f X ( x) = 0, x < 0. …………………………………….2 分 六、解： （1） f X ( x) =e dy =
x −y fY ( y ) = ye − y , y > 0; fY ( y ) = 0, y ≤ 0 ……………………………………..4 分 ∫ e dx = 0 y
= P ( B A)
=
P( A B) P( B) P ( AB) 。……………………………………………….6 分 = P ( A) P( A B) P( B) + P( A B) P( B)
0.8 × 0.3 0.24 12 = = ≈ 0.2553 …………………………………………………………..7 分 1× 0.7 + 0.8 × 0.3 0.94 47
3 2 x , 0 < x <θ f ( x ) = θ 3 其他 0,
，其中 θ
> 0 是未知参数，
X 1 , , X n 为来自总体 X 的样本，求 θ 八、(7 分)设随机变量 X
与 Y ，且
的矩估计量和极大似然估计量.
= X + Y 的概率密度函 X N ( µ ,σ 2 ) ，Y U [ −π ,π ] ，求 Z
则 g ( x ) 必可充当某一连续型随机变量的密度函数。 （ （ （ （ （ （ ） ） ） ） ） ）
∫
b
a
g ( x )dx = 1 。
（ ）
8．设 P( AB ) > 0 ,则事件 A 和 B 相互独立的充要条件为 P ( A | B ) + P ( A | B ) = 1 。 9．假设检验中犯第 II 错误的概率是指 β = P ( 接受H 1 H 1为伪 ) 。
【单元练】西安交通大学第二附属中学南校区九年级数学上册第二十五章《概率初步》经典测试题
一、选择题1．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放动画片B．2022年世界杯德国队一定能夺得冠军C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖D．在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一定是红球D解析：D【分析】根据随机事件和必然事件定义一一判定即可，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【详解】解：A. 打开电视机，正在播放动画片，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故此项错误；B. 2022年世界杯德国队一定能夺得冠军，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故此项错误；C. 某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故此项错误；D. 在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一定是红球，一定发生，所以是必然事件．故选：D．【点睛】该题考查的是对必然事件的概念的理解；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．在不透明的布袋中，装有三个颜色分别为红色、白色、绿色的小球，所有小球除颜色外其他都相同，若分别从两个布袋中随机各取出一个小球，则所取出的两个小球颜色相同的概率是（）A．13B．12C．23D．1A解析：A【分析】先画出树状图，从而可得从两个布袋中各取出一个小球的所有可能结果，再找出所取出的两个小球颜色相同的结果，然后利用概率公式进行计算即可得．【详解】由题意，画树状图如下：由此可知，从两个布袋中各取出一个小球的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，所取出的两个小球颜色相同的结果共有3种，则所求的概率为3193P==，故选：A．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．3．下列事件：①打开电视机，正在播广告；②从只装红球的口袋中，任意摸出一个球恰好是白球；③同性电荷，相互排斥；④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上．其中为随机事件的是（）A．①②B．①④C．②③D．②④B解析：B【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件的定义逐个判断即可得．【详解】①打开电视机，正在播广告，是随机事件；②从只装红球的口袋中，任意摸出一个球恰好是白球，是不可能事件；③同性电荷，相互排斥，是必然事件；④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上，是随机事件；综上，为随机事件的是①④，故选：B．【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件，掌握理解各定义是解题关键．4．一位批发商从某服装制造公司购进60包型号为L的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中混进了型号为M的衬衫，每包混入的M号衬衫数及相应的包数如表所示．一位零售商从60包中任意选取一包，则包中混入M号衬衫数不超过3的概率是（）A．120B．115C．920D．427C解析：C 【解析】由题意得760+2060=920，所以选C.5．有A，B两只不透明口袋，每只品袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”、“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”、“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是（）A．13B．14C．23D．34B解析：B【分析】利用树形图进行分析可得到所有情况从而得出答案．【详解】解：画树形图如下：共有4种情况，刚好能组成“细心”字样的情况有一种，所以概率是14，故选B．6．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．16B．14C．13D．12C解析：C【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，∴它有6种路径，∵获得食物的有2种路径，∴获得食物的概率是：21=，63故选：C．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环186882168327823以上”的次数“射中九环以上”的频0.900.850.820.840.820.82率（结果保留两位小数）A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84B解析：B【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．故选：B．【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 8．有一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是 （ ）A ．415B ．15C ．13D ．215C 解析：C 【分析】先求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵图中共有15个方格，其中黑色方格5个， ∴黑色方格在整个方格中所占面积的比值=515=13， ∴最终停在阴影方砖上的概率为13． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解答此题的关键．9．在一个不透明的口袋中装有5个黑棋子和若干个白棋子，它们除颜色外完全相同，小明与他的朋友经过多次摸棋子试验后，发现摸到白色棋子的频率稳定在80%附近，则口袋中白色棋子的个数可能是（ ） A ．25个 B ．24个C ．20个D ．16个C解析：C 【分析】首先设口袋中白色棋子有x 个，再结合题目已知可得口袋中摸到白色棋子的概率为80%，然后利用白色棋子的个数除以棋子的总个数列方程求解即可，注意分式方程要验根． 【详解】解：设口袋中白色棋子有x 个，因为摸到白色棋子的频率稳定在80%附近，所以从口袋中摸到白色棋子的概率为80%，所以，80%5xx =+ 解得：x=20经检验，x=24是原方程的解， 所以口袋中白色棋子的个数可能是20个 故选：C 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，解答此类题目的关键是熟练掌握利用频率估计概率的知识，由题目信息得到口袋中摸到白色棋子的概率为80%，这是解题的突破口． 10．下列说法正确的是（ ）．A ．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次B ．天气预报“明天降水概率10％，是指明天有10％的时间会下雨”C ．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖D ．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上D 解析：D 【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A 、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，故A 错误； B 、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故B 错误； C 、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故C 错误；D 、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是概率的意义，熟知一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率mn 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率是解答此题的关键．二、填空题11．从1-,0,1,2,3这五个数中，随机取出一个数，记为a ，那么使关于x 的方程21x ax+=有解，且使关于的一元二次方程230x x a -+=有两个不相等的实数根的概率为___________．【分析】由题意得使关于x 的方程有解且使关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根的a 的值有3个由概率公式即可得出答案【详解】解：∴∴要使有解其化成的整式方程有解且此解不为增根故取123∵一元二次方程有解析：35【分析】由题意得使关于x 的方程21x ax+=有解，且使关于x 的一元二次方程230x x a -+=有两个不相等的实数根的a 的值有3个，由概率公式即可得出答案． 【详解】解：21x ax+=，∴2x a x+=，∴x a=，要使21x ax+=有解，其化成的整式方程有解且此解不为增根，故0a≠，a∴取1-,1,2,3，∵一元二次方程230x x a-+=有两个不相等的实数根，2(3)41940a a∴∆=--⨯⨯=->，解得：94a<，即 2.225a<，a∴取1-，1，2三个数，故所求概率为：35．故答案为：35．【点睛】此题考查了概率公式的应用、根的判别式以及分式方程的解．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．小明、小虎、小红三人排成一排拍照片，小明站在中间的概率是____________．【分析】列举出所有情况让小明站在中间的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】解：根据题意得：设三名同学为ABC小明为A；则可能的情况有：ABCACBBACBCACABCBA∴共6种情况小明在中间的解析：1 3【分析】列举出所有情况，让小明站在中间的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：根据题意得：设三名同学为A、B、C，小明为A；则可能的情况有：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，∴共6种情况，小明在中间的有BAC，CAB这两种情况；∴小明站在中间的概率是13．故答案为：13．【点睛】本题考查列表法与树状图法．13．在一次数学活动课上，老师将全班同学分成5个小组进行摸球试验，试验规则如下：在一个不透明的盒子中装有6个黄球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，这样连续摸球200次，试验结束后，5个小组分别计算出摸出黄球的频率(如下表所示)，由此估计，盒子中红球的个数为___________．24【分析】根据摸到红球的频率可以得到摸到黄球的概率从而可以求得总的球数从而可以得到红球的个数【详解】由题中表格可知摸出黄球的频率稳定在020左右所以估计摸一次球摸出黄球的概率为02所以盒子中小球约解析：24【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黄球的概率，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数．【详解】由题中表格可知,摸出黄球的频率稳定在0.20左右,所以估计摸一次球,摸出黄球的概率为0.2,所以盒子中小球约有6÷0.2=30(个),所以估计红球的个数为30-6=24.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．14．重庆市某校初二（3）班同学，在学校组织的语文作文选拔考试中，有三名同学满分，其中有一名男生和两名女生，现在从三名满分同学中随机抽取两名同学参加重庆市优秀作文比赛，则选出来的两名同学刚好是一男一女的概率是_____．【分析】利用列表法或树状图法列举出所有可能出现的结果数进而求出该事件发生的概率【详解】解：利用列表法可以得出所有可能的结果：∴P（两名同学是一男一女）＝【点睛】考查等可能事件发生的概率用列表法或树状解析：2 3【分析】利用列表法或树状图法列举出所有可能出现的结果数，进而求出该事件发生的概率．【详解】解：利用列表法可以得出所有可能的结果：∴P （两名同学是一男一女）＝4263=， 【点睛】考查等可能事件发生的概率，用列表法或树状图法列举出等可能出现的结果数是正确解答的关键，同时注意每一种结果出现的可能性一定要均等.15．新冠疫情期间，甲乙丙丁四人负责某小区门口的值岗，现在需要从4人中抽调2人进行流动执勤，请问抽中的两人恰好为甲乙的概率是_______．【分析】画树状图得出所有等可能的情况数找出甲乙两人被抽中的情况数即可确定所求的概率【详解】所有等可能的情况有12种其中甲乙两人被抽中的情况有2种则P （甲乙两人被抽中）=故答案为：【点睛】此题考查了列解析：16【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人被抽中的情况数，即可确定所求的概率． 【详解】所有等可能的情况有12种，其中甲乙两人被抽中的情况有2种， 则P （甲乙两人被抽中）=21=126故答案为：16【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．从112-，两个数中随机选取一个数记为,a 再从301-，，三个数中随机选取一个数记为b ，则a b 、的取值使得直线y ax b =+不过第二象限的概率是______．【分析】由直线不过第二象限可得a ＞0b≤0画出树状图可得出所有可能的结果找出a ＞0b≤0的结果数利用概率公式即可得答案【详解】∵直线不过第二象限∴a ＞0b≤0画树状图如下：∵共有6种等可能的结果使得解析：13【分析】由直线y ax b =+不过第二象限可得a ＞0，b≤0，画出树状图可得出所有可能的结果，找出a ＞0，b≤0的结果数，利用概率公式即可得答案． 【详解】∵直线y ax b =+不过第二象限， ∴a ＞0，b≤0， 画树状图如下：∵共有6种等可能的结果，使得直线y ax b =+不过第二象限的结果有2种， ∴a b 、的取值使得直线y ax b =+不过第二象限的概率是26=13， 故答案为：13【点睛】本题考查了一次函数的性质及列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．为了解某校九年级学生每周的零花钱情况，随机抽取了该校100名九年级学生，他们每周的零花钱x （元）统计如下： 组别（元） 40x <4060x ≤<6080x ≤<80100x ≤<人数6374017根据以上结果，随机抽查该校一名九年级学生，估计他每周的零花钱不低于80元的概率是_________．【分析】先计算出样本中零花钱不低于80元的频率然后根据利用频率估计概率求解【详解】解：每周的零花钱不低于80元的概率是：故答案为：【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时事件发生的频率在某 解析：17100【分析】先计算出样本中零花钱不低于80元的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：每周的零花钱不低于80元的概率是：1717 6374017100=+++，故答案为：17 100．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．18．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是310，摸到白球的概率是12，那么摸到黑球的概率是____．【分析】根据摸出三种球的概率的和是1列式计算即可得解【详解】∵摸到红球的概率是摸到白球的概率是∴摸出黑球的概率是：故答案为：【点睛】本题考查了概率的意义理解总概率之和是1是解题的关键解析：1 5【分析】根据摸出三种球的概率的和是1列式计算即可得解．【详解】∵摸到红球的概率是310，摸到白球的概率是12，∴摸出黑球的概率是：3111--=1025故答案为：15．【点睛】本题考查了概率的意义，理解总概率之和是1是解题的关键．19．有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则y＝mx+n不经过第三象限的概率为_____．【分析】根据题意列表然后根据表格求得所有等可能的结果与直线y＝mx+n不经过第三象限的的情况数根据概率公式求解即可【详解】列表得：mn-2-112-2(-2-2)(-2-1)(-2解析：1 4【分析】根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与直线y＝mx+n不经过第三象限的的情况数，根据概率公式求解即可.【详解】列表得：m n-2-112 -2(-2，-2)(-2，-1)(-2，1)(-2，2)-1(-1，-2)(-1，-1)(-1，1)(-1，2)1(1，-2)(1，-1)(1，1)(1，2)2(2，-2)(2，-1)(2，1)(2，2)∴一共有16种等可能的结果，其中使得直线y＝mx+n不经过第三象限有(-2，1)、(-2，2)、(-1，1)、(-1，2)共4种情况，所以直线y＝mx+n不经过第三象限的概率为：41 164，故答案为：1 4 .【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概念，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.20．如图，小明和小亮两人在玩转盘游戏，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘，停止后指针所指的两个数字之和为奇数时，小明胜；数字之和为偶数时，小亮胜.那么小明获胜的概率是__________.【分析】列举出所有情况根据概率公式即可得到小明获胜的概率【详解】共9种情况和为奇数的情况数有5种小明获胜的概率为故答案为：【点睛】本题考查了列表格或画树状图求概率正确画出树状图是解答本题的关键解析：5 9【分析】列举出所有情况，根据概率公式即可得到小明获胜的概率．【详解】共9种情况，和为奇数的情况数有5种，小明获胜的概率为59．故答案为：59．【点睛】本题考查了列表格或画树状图求概率．正确画出树状图是解答本题的关键．三、解答题21．为贯彻落实全市城乡“清爽行动”暨生活垃圾分类攻坚大会精神，积极创建垃圾分类示范单位，我校举行了一次“垃圾分类”模拟活动. 我们将常见的生活垃圾分为四类：可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾，且应分别投放于4种不同颜色的对应垃圾桶中. 若在这次模拟活动中，某位同学将两种不同类型的垃圾先后随意投放于2种不同颜色的垃圾桶．（1）请用列表或画树状图表示所有可能的结果数；（2）求这位同学将两种不同类型的垃圾都正确投放的概率.解析：（1）答案见解析；（2）1 12.【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有情况数即可；（2）根据（1）中的数据，求出概率即可．【详解】解：（1）根据题意，画树状图得：由列表可知，一共有12种结果.（2）跟据（1）中的数据可知，正确的投放，只有一种，所以这位同学将两种不同类型的垃圾都正确投放的概率为112．【点睛】考查用列树状图的方法解决概率问题，熟悉相关性质是解决本题的关键．22．有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3，另有一个不透明的口袋中装有2个完全相同的小球，分别标有数字1，2（如图所示），小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一个人转动圆盘，另一人从口袋中摸出一个小球，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．（1）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率；（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由．解析：（1）12；（2）公平，理由见解析【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率；（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平．【详解】解：（1）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，∴P（和小于4）＝36＝12，∴小颖参加比赛的概率为：12；（2）公平，∵P（小颖）＝12，P（小亮）＝12．∴P（小颖）＝P（小亮），∴游戏公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．23．A、B、C、D四个队进行接力比赛，他们对比赛的四个跑道1，2，3，4进行抽签（四个跑道按1，2，3，4的先后顺序依次排列），（1）让A队先抽签，求A队抽到2跑道的概率；（2）求A 、B 两队抽到相邻跑道的概率． 解析：（1）14；（2）12【分析】（1）A 队先抽签，抽到2跑道的情况只有1种，即可求得概率. （2）根据题意用列表法或树状图法列举出所有情况即可求解. 【详解】解：(1) 让A 队先抽签，抽到2跑道的情况只有1种， ∴A 队抽到2跑道的概率为14. (2)如图共12种情形，其中相邻的有6种61(AB )=122P ∴=相邻 ∴A 、B 两队抽到相邻跑道的概率为12【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是知道概率＝所求情况数与总情况数之比．注意掌握放回试验与不放回实验的区别．24．电影《我和我的家乡》和《姜子牙》分别夺得国庆档8天票房的冠、亚军．周末，小明和爸爸一起去看电影，但是小明想看《姜子牙》爸爸想看《我和我的家乡》，于是他们决定采用摸牌的办法决定去看哪部电影．摸牌规则如下：把一副新扑克牌中的红桃2，3，4，5四张背面朝上洗匀后放置在桌面上，小明从中随机摸出一张牌，记下数字后放回，爸爸再从中摸出一张牌，记下数字若两次数字之和为奇数，则看《我和我的家乡》，若两次数字之和为偶数，则看《姜子牙》．（1）请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能的结果； （2）请判断这个游戏是否公平．解析：（1）答案见解析；（2）这个游戏公平． 【分析】（1）利用树状图展示所有16种等可能的等可能的结果数；（2）找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：（1）画树状图如下：共16种等可能的结果．（2）由（1）得共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，两次数字之和为奇数的结果有8种．∴看《我和我的家乡》的概率为81 162=．两次数字之和为偶数的结果有8种，∴看《姜子牙》的概率为81 162=．1122=∴这个游戏公平．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．25．交大附中各班举行了“垃圾分类，从我做起”的主题班会，九年级三班的同学在班会课上进行了一个有关垃圾分类知识竞答的活动，他们上网查阅了相关资料，收集到如下四个图标，并将其制成编号为,,,A B C D的四张卡片(除编号和内容外，其余完全相同) ，他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）从中随机抽取一张，恰好抽到“可回收物”的概率是（2）从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“其他垃圾”和“有害垃圾”的概率(这四张卡片分别用它们的编号,,,A B C D表示)解析：（1）14；（2）16．【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）根据题意先画出树状图列出所有等可能结果数，根据概率公式求解即可．【详解】解：（1）有其他垃圾、可回收物、有害垃圾、厨房垃圾，共四张卡片，∴恰好抽到“可回收物”的概率是14；（2）根据题意画图如下：共12种等可能的结果数，其中抽到“其他垃圾”和“有害垃圾”的结果数为2，∴抽到的两张卡片恰好是“其他垃圾”和“有害垃圾”的概率21 126 ==．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题时放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．一个口袋中放有16个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色外没有任何区别．小明通过大量反复的试验（每次将球搅匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回）发现，取出黑球的频率稳定在14附近，请你估计袋中白球的个数解析：6【分析】取出黑球的频率稳定在14左右，即可估计取出黑球的概率稳定为14，乘以球的总数即为所求的球的数目；【详解】黑球个数：16×14=4白球个数：16-6-4=6（个）答：白球有6个；【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．部分的具体数目=总体数目×相应频率．27．已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共5个，小明进行多次摸球实验，并将数据记录如下表：摸球次数10204060100150200。
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西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)
西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准
()
f x=⎨
⎩
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(0,2)N (,1)N μ，12512X ++共 页 第 2 页
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一、
1、解、()0.09,()()()()0.18,()0.27,p AB p BA p B AB P B p AB p B ==-=-==
1()3
p A B ⇒=
2、解、
10112
1()()112535()844f x dx ax b dx a b ax b dx a b +∞
-∞
⎫
=+=⇒+=⎪
⎪
⎬⎪+=⇒+=⎪⎭
⎰
⎰⎰，11,2a b ⇒== 3、解、
所以
4、解、
222
2
()2,()0.4,() 4.16(3)(69) 1.16
E X D X E X E X E X X =-=∴=⇒+=++=
5、解、, (1,2)Z X Y Z
N =+∴
(1)(1)(1)(0)0.5P X Y P Z F +≤=≤==Φ=Φ=
6、解、由已知得 12
34
(0,8), (0,8),
X X N X X N +- 22
21
(2) 8
Y C χ∴=+⇒=
7、解、1123112
ˆ()()() 333E E aX bX X a b a b μ
μμ=++=++=⇒+= 212351511
ˆ()(())() 1241243
E E a b X X X a b a b μ
μμ=-++=-++=⇒-= 11
,26a b ∴==
二、解、设,1,2,3i A i =分别表示居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者，B 表示患有高血压病，
123()=0.1()=0.82()=0.08P A P A P A ，，，123()0.2,()0.1,()0.05,P B A P B A P B A === 由全概率公式3
1()()()0.106i i
i P B P A P B A ===∑ 由逆概率公式11()()10()0.1887()53
P A P B A P A B P B === 三、解、0()(,) 0y x x X x e dy e f x f x y dy x o +∞--+∞
-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩
⎰⎰ 00()(,) 0y y y Y y e dx ye f y f x y dx y o --+∞-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩⎰⎰ 111122
01(1)(,)12x y x x y P X Y f x y dxdy dx e dy e e ----+≤+≤=
==+-⎰⎰⎰⎰
四、解、随机向量X ,Y 的联合分布为:
X Y 1 2 3 i p ⋅
1 0 61 121 14
2 61 61 61 12
3 12
1 61 0 14 j p ⋅ 14 1
2 14
(1,1)(1)(1)P X Y P X P Y ==≠==，所以不独立
2346
1
1113663XY
P ， 111123()234636636E XY =⨯+⨯+⨯+⨯= 1111232, 2,424
EX EY =⨯+⨯+⨯==(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-≠， 0XY ρ≠，所以相关
五、解、(100,0.2), ()1000.220, ()1000.20.816X b E X D X =⨯==⨯⨯=
(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ(2.5)( 1.5)=Φ-Φ- (2.5)(1.5)10.99380.933210.927=Φ+Φ-=+-=
六、解、+11()()1E X xf x dx x dx x ββββ+∞∞+-∞==⋅=-⎰
⎰，ˆ 11X X X βββ=⇒=-- 似然函数(1)11()()()n n n i i i i L f x x βββ-+===∏=∏，取对数1()(1)()n
i i LnL nLn Ln x βββ==-+∏，
1()()0n i i dLnL n Ln x d βββ==+∏=，11ˆ()()n n i i
i i n n Ln x Ln x β====∏∑。
七、解、（1
）置信区间为22
((((9.7868,10.2132)X t n X t n αα--+-= （2）假设20:0.1H σ≤，构造02
222
(1)(1)n S n χχσ-=-
22{(1)}P n αχχα>-=，20.05(15)24.996χ=，拒绝域(24.996,)+∞，
而224χ=，落入接受域，接受0H 。
八、证：{()}{}()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ⋃=⋃=+-
()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+-
{()()()()}()()()P A P B P A P B P C P A B P C =+-=⋃，
所以，A B ⋃与C 相互独立。