2018全国高中数学联赛模拟试题1及参考答案

⎫ ⎩ ⎭

⎪ + 2

高中联赛模拟试题 1

一试部分

考试时间：80 分钟

满分：120 分

一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）

1. 设集合 A = {x -2 ≤ x < 5}， B = ⎧x 3a > 1

．若 A B ≠∅ ，则实数 a 的取值范围是 ．

⎨ x - 2a ⎬

2. 已知甲、乙两只盒子中装有相同规格的乒乓球，其中，甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅有

三 个白球．若从甲盒中任取三个放入乙盒中，则从乙盒中任取一个是红球的概率是

．

2 c os 2 ⎛ 1 x - 1 ⎫

- x

3. 函数 f ( x )

= ⎝ 2 2 ⎭ 的对称中心的坐标为 ．

x - 1

V + V 4. 已知四棱锥 S - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，O 是四棱锥内任意一点．则 四面体OSAB 四面体

OSCD

=

V 四面体OSBC + V 四面体OSDA

．

5. 在椭圆 x

2

= 1(a > b > 0) 中，记右顶点、上顶点、右焦点分别为 A , B , F ．若 ∠AFB = ∠BAF + 90 ， a b

则椭圆的离心率为 ．

6. 平面上 n 个三角形最多把平面分成

部分．

sin

2π ⋅ sin 8π

7. 计算：

15 15

= ．

cos π

⋅ cos 2π ⋅ cos 4π 5

5

5

8. 设复数 α, β ,γ , z 满足 α + β + γ = αβ + βγ + γα = αβγ = 1．则 α - z + β - z + γ - z 的最小值为

．

2

y 2

BB 1

CC 1 ( )

二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）

9. 已知动直线 l 过定点 A (2, 0) 且与抛物线 y = x 2 + 2 交于不同的两点

B ,

C ．设 B , C 在 x 轴上的射影分别 PB 为 B 1 ,C 1 ． P 为线段 BC 上的点，且满足

PC

= ，求 ∆POA 的重心的轨迹方程．

10. 设 f ( x ) = sin x ．已知当 x ∈[0,π ]时，有 sin x + 1 ≥ 2

x + cos x ．

π

证明： f ⎛ π ⎫ + f ⎛ 2π ⎫ + + f ⎛ (n + 1)π ⎫ ≥ 3 2 (n + 1) ． 2n + 1⎪

2n + 1⎪

2n + 1 ⎪ 4(2n + 1) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭

p

11. 已知 p 为大于 3 的素数．求 ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数．

k =1

高中联赛模拟试题 1

加试部分

考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）

已知a, b, c∈，且3 9a + 3 3b + c = 0 ．证明：a = b = c = 0

二、（本题满分 40

分）a2b2 b2c2 c2 a2 3( 3 -1)

已知正实数a, b, c满足a2 + b2 + c2 = 1．证

明：

++≥．

abc + c4abc + a4abc + b4 2

三、（本题满分 50 分）

已知圆Γ 内有两定点A 、B ，过A 作一动弦CD ，延长CB 、DB ，与圆Γ 分别交于点E 、F ．证明：弦EF 通过一个与C 、D 无关的定点．

四、（本题满分 50 分）

在80 座城市之间执行如下两种方式的飞行航线：

（1）任意一座城市至少与七座城市有直航；

（2）任意两座城市可以通过有限次直航来连接．

求最小的正整数n ，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到其他城市均最多可以经过n 次直航到达．

C

3 3

高中联赛模拟试题 1

解答

一试部分

考试时间：80 分钟

满分：120 分

一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）

1. 0 < a < 5

或 -1 < a < 0 ．

2

解析：由题意可知 B = {x 2a < x < 5a , a > 0}⋃{x 5a < x < 2a , a < 0}． 又因为 A ⋂ B ≠ ∅ ， ⇒ 0 < 2a < 5或 - 2 < 2a < 0 ．

2.

1

． 4

C k C 3-k

解析：由题设知乙盒中红球个数的可能值 ξ =0，1，2，3 ．故 P (ξ = k ) = 3 3

(k = 0,1, 2,3)．从而得出

6

P ( A ) = ∑P (ξ = k )P ( A ξ = k ) = 1

．

k =0

4 3.

(1, -1) ．

解析：由题设知 f ( x ) = cos ( x -1) - 1 ．因为 g ( x ) = cos x

为奇函数，其对称中心为 (0, 0) ，故 f ( x ) 的对

称中心为 (1, -1) ．

x -1 x

4. 1．

解析：延长 SO 与底面 ABCD 交于点 X ．由底面 ABCD 是平行四边形，

⇒ S ∆XAB + S ∆XCD = S ∆XBC + S ∆XDA ⇒ V 四面体OSAB + V 四面体OSCD = V 四面体OSBC + V 四面体OSDA

5. 5 -1 ．

2

解析：设左焦点为 F '．则由 ∠AFB = ∠BAF + 90

⇒ ∠AF ' B + ∠BAF ' = 90

⇒ AB ⊥ BF ' ．

又 AB 2

= a 2 + b 2 , BF ' 2

= a 2 , AF ' 2

= (a + c )2

．由勾股定理知 a 2 + b 2 + a 2 = (a + c )2

，由此， ⇒ c = 5 - 1 ．

a 2