2017-2018学年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题 Word版含答案

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吉林省吉林大学附属中学2017-2018学年高三第二次模拟考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、已知{|12}{|3}U M x x N x x ==-=R ，≤≤，≤，则()U M N =ð（）（A ）{|23}x x ≤≤（B ）{|23}x x <≤（C ）{|1x x -≤或23}x ≤≤ （D ）{|1x x <-或23}x <≤ 【答案】D 【解析】试题分析：{}1,2U C M x x =<->或，(){}1,23U C M N x x ⋂=<-<≤或．考点：集合交集、并集和补集.【易错点晴】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．注意区间端点的取舍. 2、已知复数2i1iz +=+，则复数z 在复平面内对应的点在（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】D 【解析】试题分析：()()()()21231112i i i iz i i i +-+-===++-，故在第四象限. 考点：复数运算．3、在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =（）（A ）11 （B ）10（C ）7（D ）3【答案】B 【解析】试题分析：依题意，有11148,37a a d a d ++=+=，解得1512,3,410a d a a d =-==+=.考点：等差数列．4、下列说法中正确的是（）（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:10p x x x ∃∈-->R ，，则2:10p x x x ⌝∀∈--<R ，（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” 【答案】D 【解析】试题分析：A 是不充分不必要条件；B 应该是≤；C 是,p q 至少有一个假命题，故D 正确. 考点：命题与充要条件.5、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）（A ）27（B ）63 （C ）15 （D ）31【答案】B考点：算法与程序框图.6、下列函数既是奇函数，又在区间(01)，上单调递减的是（）（A ）3()f x x = （B ）()|1|f x x =-+ （C ）1()ln 1x f x x-=+（D ）()22x x f x -=+【答案】C 【解析】试题分析：()3f x x =为增函数.()1f x x =-+为非奇非偶函数.()22xxf x -=+为偶函数.考点：函数的单调性与奇偶性.7、11)d x x -=⎰（）（A ）4π （B ）2π （C ）3π （D ）12π+ 【答案】B 考点：定积分.8、设x y ，满足约束条件32021x y y x y x +-⎧⎪-⎨⎪--⎩，，，………则2z y x =-的最大值（）（A ）72（B ）2 （C ）3 （D ）112【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知31,22A ⎛⎫-⎪⎝⎭为最优解，17322z =+=．考点：线性规划.9、已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点，若1ABF △是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是（）（A）1e >（B）01e << （C11e <<（D11e <【答案】C考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.椭圆离心率.10、一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）（A）32π（B）1π+（C）16π+（D）π侧视图俯视图【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，这是半个圆柱和三棱柱组成的几何体，所以体积为21111212122ππ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+.考点：三视图.11、一个五位自然数12345{012345}12345ia a a a a a i∈=，，，，，，，，，，，，当且仅当123a a a>>，345a a a<<时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（）（A）110（B）137（C）145（D）146【答案】D考点：排列组合．【思路点晴】本题考查排列组合基础知识，意在考查学生分类讨论思想、新定义数学问题的理解运用能力和基本运算能力.有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略.在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步.首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤.这样才会不重复、不遗漏地解决问题.12、已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b+的取值范围（）（A ）1(0)2，（B ）(01)，（C ）(0)+∞，（D ）[1)+∞，【答案】A 【解析】试题分析：'11,1,10,1,01y x b y b a b a a x b===-=--==-<<+，2223a a b a =+-，令()23a g a a =-，()()()26'03a a g a a -=>-，()g a 为增函数，所以210,22a b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭．考点：1.函数导数；2.切线问题；3.不等式.【思路点晴】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.分两步走，第一步处理切线的问题，既然直线和曲线相切，那么关键点就在于切点和斜率，有已知可知，斜率为1，此时切点的纵坐标求得0，进而求出1a b +=，这样我们就可以消去其中一个，解析中消去b ，同学们也可以尝试消去a ，同样也可以求出22a b+的取值范围. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13、2532()x x -展开式中的常数项为 . 【答案】40 【解析】试题分析：()()52105155322rrr r r rr T Cx C x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，1050,2r r -==，故常数项为()225240C -=.考点：二项式定理.14、已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__________. 【答案】2 【解析】试题分析：()14222AE BD AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-=-= ⎪⎝⎭.考点：向量运算.15、已知数列{}n a 满足11332n n a a a n +=-=，，则na n的最小值为．【答案】212考点：数列.【思路点晴】本题主要考查数列累加法和简单的最值问题.累加法的公式是112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+211()a a a +-+，所以我们第一步要将已知条件的12n n a a n +-=退一项，变为()121n n a a n --=-，然后再代入公式计算，得到233n a n n =+-.第二步求得331n a n n n=+-，这个可以看作对钩函数，利用基本不等式，可以求得当5n =或6时，()f n 有最小值.16、如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a BC b CD c ===，，，则21c ab + 的最小值为 .ABD【答案】2 【解析】试题分析：设AD a =，CB b =，DC c =，∵2AB =，∴2222||4a b c a b c ++=⇒+++2()4a b b c c a ⋅+⋅+⋅=，又∵3A CB D ⋅=-，∴2()()33a c bc a b b c c a +⋅--=-⇒⋅+⋅+， ∴22222222(3)=42a b c c c a b +++-⇒=++，∴22222211a b ab ab ab +++≥=++，当且仅当a b =时，等号成立，即21c ab +的最小值是2．考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．本题中，向量和立体几何结合在一起，突破口在于利用2||a b c ++. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分12分）已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值；（Ⅱ）若1a c ==，ABC △的面积.【答案】（I ）2ba=；（II 【解析】试题分析：（I ）利用两角和的正弦、余弦公式，化简sin(2)22cos()sin A B A B A+=++，得到sin 2sin B A =，利用正弦定理得到2ba=；（II ）由（I ）可求得2b =，先求出一个角的余弦值，再求其正弦值，最后利用三角形面积公式求面积.考点：三角函数与解三角形. 18、（本小题满分12分）为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.（Ⅰ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；（Ⅱ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望()E X . 【答案】（I ）16；（II ）分布列见解析，2．【解析】试题分析：（I ）3人选择的项目所属类别互异的概率：33123A ()P P A B C =；（II ）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：30102.603P +==且符合二项分布2(3)3XB ，，根据二项分布分布列公式即可求得.试题解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件 i i A B ，，123i C i =，，，.由题意知123123123A A A B B B C C C ，，，，，，，，，均相互独立.则301201101()()()(123).602603606i i i P A P B P C i =======，，，，（Ⅰ）3人选择的项目所属类别互异的概率：331231111A ()6.2366P P ABC ==⨯⨯⨯= （Ⅱ）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：30102.603P +== 由33222(3)()C ()(1)(0123)333k kk XB P X k k -∴==-=，，，，，.X ∴的分布列为其数学期望为2()3 2.3E X =⨯= 考点：1.相互独立事件求概率；2.二项分布的分布列和期望. 19、（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=︒，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD将ABD △折起，使90BDC ∠=︒（如图2所示）．图1 图2（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E M ，分别为棱BC AC ，的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN BM ⊥，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．【答案】（I ）1BD =；（II ）N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点，大小为60．试题解析：解析：（Ⅰ）方法一：在图1所示的ABC △中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-. 由AD BC ⊥，45ACB ∠=︒知，ADC △为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知，折起后(如图2)，AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BDDC D =.所以AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=︒，所以11(3)22BCD S BD CD x x =⋅=-△.于是11(33A B V A -=⋅△31[]1233x x x+-+-=≤，当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，故当1x =，即1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．方法二：同方法一，得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+△.令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =.当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(13)x ∈，时，()0f x '<. 所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．（Ⅱ）方法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，12BD AD CD ===，.于是可得(000)(100)(020)(002)D B C A ，，，，，，，，，，，，1(011)(10)2M E ，，，，，，且(111)BM =-，，．设(00)N λ，，，则1(10)2EN λ=--，，，因为E N B M ⊥等价于0E N B M =，解得12λ=，1(00)2N ，，．所以当12DN = (即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN BM ⊥.设平面BMN 的一个法向量为()x y z =，，n ，由BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，n n ，及1(10)2BN =-，，，得2.y x z x =⎧⎨=-⎩，可取(121)=-，，n ．设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(0)22EN =--，，，(121)=-，，n可得1|1|sin =||||||EN EN θ--⋅==⋅n n 60θ=︒.故EN 与平面BMN 所成角的大小为60︒.图a 图b图c 图d即当12DN =(即N是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN BM ⊥. 连结MN ME ，，由计算得NB NM EB EM === 所以NMB △与EMB △是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG NG ，，则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H ，则EH ⊥平面BMN ，故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角．在EGN △中，易得EG GN NE ===，所以EGN △是正三角形，故60ENH ∠=︒，故EN 与平面BMN 所成角的大小为60︒. 考点：空间向量与立体几何. 20、（本小题满分12分）已知点(01)F ，，直线:1l y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P Q F FP FQ ⋅=⋅．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知圆M 过定点(02)D ，，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A B 、两点，设12DA l DB l ==，，求1221l l l l +的最大值．【答案】（I ）24x y =；（II）．【解析】试题解析：（Ⅰ）设()()1P x y Q x -，，，，()()()2101FQ x FP x y QP y ∴=-=-=+，，，，，，代入已知可得，轨迹C 的轨迹方程为24x y =． -------------4分（Ⅱ）设()M a b ，，则24a b =，()22222MD r a b ==+-， ∴圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-． ---------6分令0y =，则()224442x a a b x a -=-+=∴-=±，．不妨设()()2020A a B a -+，，，，12l l ∴=．22212122112l l l l l l l l +∴+===分①0a =时，12212l ll l ∴+=；②0a ≠时，1221l l l l +==当且仅当a =±综上，1221l l l l +的最大值为． -----------12分考点：1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.基本不等式.【方法点晴】本题第一问主要考查了用定义法求轨迹方程，题目中的轨迹定义是QP QF FP FQ ⋅=⋅，我们只需要将各点的坐标求出来，然后化简，就可以得到所求的轨迹方程.第二问利用第一问的结论，设出()M a b ，，这样圆M 的方程就球出来了，进而求出,A B 的坐标，然后可求得12,l l 的值，化简1221l l l l +，观察发现可以利用基本不等式来求最大值，注意基本不等式等号成立的条件. 21、（本小题满分12分）函数ln ()a xf x x+=，若曲线()f x 在点(e (e))f ，处的切线与直线2e e 0x y -+=垂直（其中e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）若()f x 在(1)m m +，上存在极值，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求证：当1x >时，1()2e e 1(1)(e 1)x x f x x x ->+++. 【答案】（I ）(01)，；（II ）证明见解析.【解析】试题解析：（Ⅰ）因为21ln ()a x f x x --'=，由已知21(e)e f '=-，所以221e ea -=-，得1a =. 所以1ln ()x f x x +=，2ln ()(0)xf x x x'=->，当(01)x ∈，时，()0f x '>，()f x 为增函数，当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 为减函数. 所以1x =是函数()f x 的极大值点，又()f x 在(1)m m +，上存在极值，所以11m m <<+，即01m <<，故实数m 的取值范围是(01)，. （Ⅱ）1()2e e 1(1)(e 1)x x f x x x ->+++等价于11(1)(ln 1)2e e 1e 1x xx x x x -++>++. 令(1)(ln 1)()x x g x x++=，则2ln ()x x g'x x -=，再令()ln h x x x =-，则11()1x h'x x x-=-=，因为1x >，所以()0h'x >，所以()h x 在(1)+∞，上是增函数，所以()(1)10h x h >=>，所以()0g'x >，所以()g x 在(1)+∞，上是增函数，所以1x >时，()(1)2g x g >=，故()2e 1e 1g x >++. 令12e ()e 1x x m x x -=+，则122e (1e )()(e 1)x x x m'x x --=+，因为1x >，所以1e 0x -<，所以()0m'x <，所以()m x 在(1)+∞，上是减函数. 所以1x >时，2()(1)e 1m x m <=+，所以()()e 1g x m x >+，即1()2e e 1(1)(e 1)x x f x x x ->+++. 考点：1.函数与导数；2.不等式的证明.【方法点晴】利用导数方法证明不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()h x f x g x =-，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0h x >，其中一个重要技巧就是找到函数()h x 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.利用导数解不等式的基本方法是构造函数，通过研究函数的单调性，从而解不等式. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交于B C ，两点，且13AB AC =，作直线AF 与圆E相切于点F ，连结EF 交BC 于点D ，已知圆E 的半径为2，30EBC ∠=︒. （Ⅰ）求AF 的长；（Ⅱ）求EDAD的值.CA【答案】（I ）3AF =；（II ）13ED AD =．【解析】试题分析：（I ）延长BE 交圆E 于点M ，连结CM ，则90BCM ∠=︒，结合已知条件可得AC =，利用切割线定理得29A F A B A C =⋅=；（II ）过E 作EH BC ⊥于H ，则EDH ADF △∽△，对应边成比例ED EH AD AF =，由此求得13ED AD =.试题解析：（Ⅰ）延长BE 交圆E 于点M ，连结CM ，则90BCM ∠=︒，又2430BM BE EBC ==∠=︒，，所以BC =，又13AB AC=，可知12AB BC ==，所以AC =.根据切割线定理得29AF AB AC =⋅，即3AF =. （Ⅱ）过E 作EH BC ⊥于H ，则EDH ADF △∽△，从而有ED EHAD AF=，又由题意知122CH BC EB ===，所以1EH =，因此13ED AD =. 考点：几何证明选讲.23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩，，(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（其中002ρθπ<≥≤,）．【答案】（I ）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（II）)4π，(2)2π,．试题解析：（Ⅰ）将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即221:810160C x y x y +--+=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，代入22810160x y x y +--+=，得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（Ⅱ）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩．所以1C 与2C交点的极坐标分别为)4π，(2)2π,．考点：坐标系与参数方程.24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲（Ⅰ）求不等式||22x x +≥（Ⅱ）已知实数00m n >>，，求证：222()a b a b m n m n +++….【答案】（I）)21|log 1,2x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭；（II ）证明见解析．试题解析：（Ⅰ）①当0x ≥时，有22xx+≥1222x≥，解得12x ≥.②当0x <时，有22x x -+≥2(2)210x x -+≥．解得21x 或21x ，又0x <，∴2log 1)x ≤，∴原不等式解集为为1{|2x x ≥或2log 1)}x ≤．（Ⅱ）∵222222222()()()()()()a b a b na mb a b m n na mb mn a b m n m n mn m n mn m n +++++-++-=-=+++22222()n a m b mnab mn m n +-=+2()0()na mb mn m n -=+≥，∴222()a b a b m n m n +++≥，当且仅当na mb =时等号成立. 考点：不等式选讲.。

2017高中数学全国联赛试题及答案B卷

2017高中数学全国联赛试题及答案B卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，求第5项a5的值。

A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A3. 计算复数z = 3 + 4i的模。

A. 5B. √41C. 7D. √49答案：A4. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，求圆心到直线2x + 3y- 12 = 0的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C5. 计算定积分∫(0到1) (3x^2 - 2x + 1) dx。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 已知函数y = sin(x) + cos(x)，求y'的值。

A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -cos(x) + sin(x)D. -cos(x) - sin(x)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(2)的值。

答案：58. 计算二项式(3x - 2)^5的展开式中含x^3的系数。

答案：-809. 若直线y = 2x + 1与抛物线y^2 = 4x相交于点A和点B，求AB的长度。

答案：√510. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。

答案：2三、解答题（每题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)和f''(x)。

答案：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，f''(x) = 6x - 612. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = 2an + 1，求证：数列{an}是递增的。

答案：略13. 已知圆心在原点，半径为r的圆与直线y = x + b相切，求b的值。

2017年高中数学联赛一二试及详解高清word版

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.6.7.9.10.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二、三.四。

2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)

5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，2a，3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY.四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a a b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-。

2017高中数学全国联赛试题及答案B卷

2017高中数学全国联赛试题及答案B卷一、选择题（每题10分，共60分）1. 若函数f(x)=x^2+2x+3，求f(-1)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为多少？A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A3. 若复数z满足|z|=1，且z的实部为1/2，则z的虚部为多少？A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2答案：A4. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)的值。

A. 3x^2-6x+2B. 3x^2-6x+1C. 3x^2-6x+3D. 3x^2-6x-2答案：A5. 若直线l的方程为y=2x+1，且与圆x^2+y^2=4相切，则直线l与圆的切点坐标为多少？A. (1, 3)B. (1, 1)C. (-1, 1)D. (-1, 3)答案：B6. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求三角形ABC的形状。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B二、填空题（每题10分，共40分）7. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值。

答案：08. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b5的值为多少？答案：4869. 若复数z满足|z|=2，且z的实部为1，则z的虚部为多少？答案：±√310. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)的值。

答案：3x^2-12x+11三、解答题（每题20分，共40分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)>0，解得x>2；令f'(x)<0，解得x<2。

因此，函数f(x)的单调增区间为(2, +∞)，单调减区间为(-∞, 2)。

2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文

可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。

2017高中数学全国联赛试题及答案B卷

2017高中数学全国联赛试题及答案B卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin x \)D. \( y = \cos x \)答案：B2. 已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，那么 \( f(1) \) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B3. 计算下列极限：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B4. 已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正数，且 \( a + b = 1 \)，那么 \( a^2 + b^2 \) 的最小值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：D5. 一个圆的半径是 \( r \)，那么它的面积 \( A \) 与半径 \( r \) 之间的关系是什么？A. \( A = \pi r \)B. \( A = 2\pi r \)C. \( A = \pi r^2 \)D. \( A = 4\pi r^2 \)答案：C6. 已知 \( \log_2 8 = 3 \)，那么 \( \log_2 16 \) 的值是多少？A. 4B. 2C. 3D. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是 _______。

答案：\( \frac{1}{3} \)2. 如果 \( \sin \theta = \frac{1}{2} \)，那么 \( \cos 2\theta \) 的值是 _______。

答案：\( \frac{1}{2} \)3. 一个等差数列的前三项分别是 2，5，8，那么它的第五项是_______。

2018 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛

2 3 sin x cos x 2cos2 x 1 1 a 3 sin 2 x cos 2 x 1 a
p d2 p ，所以 an （常数），即 {an } 为常数列． d 2d
三、解答题
13．【解析】（Ⅰ） f x 4cos x sin x

3 1 sin x cos x a 4cos x a 6 2 2
1
二、填空题
7． 1, 2 8．
4,5
4
2 2
【解析】因为圆 C 的方程可化为 x 4 y 1 ，所以圆 C 的圆心为 4, 0 ，半径为 1 ．若 y kx 2 上至少存在一点 A x0 , kx0 2 ，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则存在 x0 R ，使得 AC 1 1 2 成立，即 AC min 2 ．又因为 AC min 为点 C 到直线 y kx 2 的距离
1 ． 2
| sin x | | sin x | | x | | 2 cos x |
x x x x y x2 1 【解析】由已知 y ，所以 z ， 2 x 1 2 x x 1 xy 1 x x 1 1 1 1 1 x x2 x 1 1 3 1 1 4 因为 x 1 ，即 0 1 ，所以 1 2 1 ，故 1 z ． x 4 x x 3
8 4 4． 3 3
1 1 , 2 5
【解析】注意到两直线是平行的，故点 M 的轨迹为与两直线距离相等，且平行于两直线的直线，其方程为 x 2 y 1 0 ，即 M x0 , y0 满足 x0 2 y0 1 0 ．而满足不等式 y0 x0 2 的点在直线 y x 2 的左上方．问题转化为求射线 x0 2 y0 1 0 （ x0 而

2018年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题+答案

2 f (x)
.
解析 1
(
)
(√
)
7π
3
1
f (x) = 4 cos x · sin
x+ 6
+ a = 4 cos x · − 2 sin x − 2 cos x + a
√
√
= −2 3 sin x cos x − 2 cos2 x + 1 − 1 + a = − 3 sin 2x − cos 2x − 1 + a
1
|AC|min ≤ 2.
y = kx − 2
d = √|4k − 2| k2 + 1
C
√|4k − 2| ≤ 2 k2 + 1
4 0≤k≤ 3
9.
ABC
∠AC B
=
π , AC
=
BC
=
2
P
AB
−C−→P · −C→A + −C−→P · −C−→B =
2 .
BP = 2P A
答案 4.
解法一
C−−→P = −C→A + −A→P = −C→A + 1 A−−→B = −C→A + 1 (A−→C + −C−→B) = 2 C−→A + 1 C−−→B
2018
6
5
30
1.
A = {x ∈ Z| log2 x ≤ 2}
A： 7
B： 8
C： 15
D： 16
2.
P − ABC
△ABC
3
P A = 3, P B = 4, P C = 5
P − ABC
A： 3
B：
√ 10

全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案word版

全国⾼中数学联赛A卷和B卷试题和答案word版2017年全国⾼中数学联赛A 卷⼀试⼀、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-?+x f x f .⼜当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满⾜1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，椭圆C 的⽅程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第⼀象限内的动点，则四边形OAPF 的⾯积的最⼤值为__________.4.若⼀个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是。

5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平⾯α将其体积平分，则棱PC 与平⾯α所成⾓的余弦值为________.6.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K.在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ?中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ?的⾯积为3，则的最⼩值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满⾜：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.⼆、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成⽴.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是⾮负实数，满⾜1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最⼩值和最⼤值.11.设复数21,z z 满⾜0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表⽰复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最⼩值；（2）求212122z z z z --+++的最⼩值.2017年全国⾼中数学联赛A 卷⼆试⼀.如图，在ABC ?中，AC AB =，I 为ABC ?的内⼼，以A 为圆⼼，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆⼼，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥⼆.设数列{}n a 定义为11=a ，Λ,2,1,,,,1=??>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满⾜20173≤r 的个数.三.将3333?⽅格纸中每个⼩⽅格染三种颜⾊之⼀，使得每种颜⾊的⼩⽅格的个数相等.若相邻连个⼩⽅格的颜⾊不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最⼩值.四.设n m ,均是⼤于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21Λ是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21Λ互素.证明：对任意实数x ，均存在⼀个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这⾥y表⽰实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国⾼中数学联赛A 卷⼀试答案1.2.3. 4.5.6.7.8.9. 10. 11.2017年全国⾼中数学联赛A 卷⼆试答案⼀. ⼆. 三.四.2017年全国⾼中数学联合竞赛⼀试（B 卷）⼀、填空题：本⼤题共8个⼩题,每⼩题8分,共64分.1.在等⽐数列{}n a 中，22a =，333a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满⾜91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ?中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等⽐数列，则cos A 的值为 .5.在正四⾯体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满⾜3BE =，4EF =，且EF 与平⾯BCD 平⾏，则DEF ?的⾯积为 . 6.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}Kx y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为⾮零实数，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，⼆次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满⾜2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，共56分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成⽴，求实数a 的取值范围. 10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}nb 满⾜212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =L . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最⼩值.11.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上⼀点P 作⼀条倾斜⾓为45o的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ?的取值范围.2017年全国⾼中数学联合竞赛加试（B 卷）⼀、（本题满分40分）设实数,,a b c 满⾜0a b c ++=，令max{,,}da b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-⼆、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的⼦集12,,,k A A A L ，每个⼦集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满⾜ab cdm -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐⾓ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最⼤值.⼀试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公⽐为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，⽐较两边实虚部可得9101022a ab b +=??=-+?，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进⽽||z =3.答案：74-。

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