2018高中数学竞赛试题

2018年全国高中数学竞赛试题

2018年全国高中数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共24分）函数f(x)=4−x2的定义域是（）.A. [−2,2]B. (−2,2)C. [0,2]D. (0,2)下列命题中，正确的是（）.A. 若α⊂β，则α∩β=αB. 若直线l与平面α平行，则l与α内的所有直线平行C. 若直线l与平面α相交，则l与α内的无数条直线垂直D. 若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β若x,y∈R，且xy=0，则“x>y”是“x1<y1”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件已知tanα=21，则sin2α=（）.A. 51B. 52C. 54D. 53设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3,S9−S3,S15−S9成等差数列，则公比q为（）.A. 2B. −2C. 21D. −21在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,b=4,cosC=41，则sinB=（）.A. 815B. 16315C. 23D. 415二、填空题（每题5分，共20分）函数y=log2(x2−2x−3)的定义域是_______.若直线l与平面α垂直，则l与α内所有直线所成的角中（）.A. 必有一个是直角B. 必有一个是锐角C. 必有一个是钝角D. 都是直角已知函数f(x)=x3−3x2+2x，则f′(x)= _______.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB:sinC=3:5:7，则cosC= _______.三、解答题（共56分）（12分）求函数f(x)=x+1x2−1在x=2处的导数值.（12分）已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2,b=3,cosC=31。

（1）求sinB的值；（2）求△ABC的面积。

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。

2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**）对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是（用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。

[实用参考]2018年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc

2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100l g l g 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +==；（2）122016y y y +++是奇数．求122016x x x +++的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠QGPD CBA四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,aa +>故24 6.a a +=另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a q a q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRSMNPQ S S-=⨯-⨯⨯=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知，222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23b a a =±+于是，满足条件的复数z 的积为33 3.22⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g +=①()()22818190.f g +=++=②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+=③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯=另解：因为()()391x f x g x x +=++，①所以()()2290.f g +=②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =-③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =---④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -=⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为．答案：2450.x y -+= 解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-2故12,C C 12O O 7.是侧棱 xA建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ----由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此311442,,,,,.222333AM BN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos 11AM BN AM BNθ⋅-===⋅ 8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故 .x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168. 二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．解对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a --=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ （1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解（1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==同理得，222222,.22a cb a b cBA BC CA CB +-+-⋅=⋅=故已知条件化为()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2236a b a ba b c C ab ab a b b a+-++-===+≥ 等号成立当且仅当因此cos C 11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,PQ 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知00002PQ R S ===，解得a这意味着符合条件的a 下面验证a =事实上，当12,l l中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==-≠ 注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）．联立1l 与C 的方程知，(22210,x k x ---=即()22221210,k xx k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +==⋅-用1k -代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS= 综上所述，a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +==；（2）122016y y y +++是奇数．求122016x x x +++的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤=于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤则201611,2016.m kk k k m ym y m ==+≤-≤-∑∑若11m k k y m =>-∑，并且201612015,k k m y m =+->-∑令2016111,2015,m kk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤-∑，或者201612015,k k m y m =+-≤-∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ==========时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2kd k '≤<，故,d A '∈从而B ≤ABD 直线.PAQCB此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知.PM MQ GM MC ⋅=⋅①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG ==因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<<是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>>它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<<它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-是个17元集合．。

2018年全国高中数学联赛试题

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D和 J分别为 Δ/BCr的外接阈姒町和 BC∶ 的中点 ,F为乙犭 BC的内 ,则 DF⊥ JC.(笞饿时泔将国画在笛卷纸上冫
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(本趑满分 ⒛ 分)在平面直角坐标系豸勿中,设 /B是抛物线
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2018年全国高中数学联合竞赛加试试题《 A卷冫
-、 (本题满分 00分 )设刀是正貉数 ,〃 I,曰 2,¨ Ⅱ %。 DlⅡ 2,¨ 、慨,彳 ,B均为 1「
⒛18年全国高中数学联合竞赛一试试题 (A卷 )
-、填空题 :本大题共
1。
8小题 ,每小题 8分 ,满分 “ 分。
设集合 /=[,2,3,… ,991,B=仫豸 u∈
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2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。

2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。

2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。

进而可得 U2,2 ， S 4,1 ，代入椭圆方程解得： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ，从而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。

高三数学-2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案(word版) 精品

2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。

若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。

2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析

2018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8 分和0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9 小题4 分为一个档次，第10、11 小题5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分．1. 设集合A 1, 2, 3, , 99 , B {}2x x A∈, C {}2x x A∈，则B C 的元素个数为．答案：24 ．解：由条件知，B C 2, 4, 6, ,198 12, 1, 32,2, ,9922, 4, 6, , 48 ，故B C 的元素个数为24 ．2. 设点P 到平面Q 在平面上，使得直线PQ 与所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．解：设点 P 在平面上的射影为O．由条件知，tan[3OPOPQOQ=∠∈即OQ [1, 3]，故所求的区域面积为 32 12 8 ．3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为a, b, c, d,e, f ，则abc +def是偶数的概率为答案：9 10解：先考虑abc +def 为奇数的情况，此时abc, def 一奇一偶，若abc 为奇数，则a, b, c 为1, 3, 5的排列，进而d , e, f 为2, 4, 6的排列，这样有3! ×3! = 36 种情况，由对称性可知，使abc +def 为奇数的情况数为36 ×2 = 72 种．从而abc +def 为偶数的概率为72729116!72010-=-=1 / 64. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :22221x y a b += (a b 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则 PF 1F 2 的面积为．解：由对称性，不妨设 P ( x P , y P ) 在第一象限，则由条件知x 1()2PT PS - 2, y 1()2PV PU - 1即 P (2, 1) ．进而由 x P PU 1, PS 2 得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知111144161a b a b ⋅+⋅=⋅+=，解得a 220, b 2 5 ．从而121212PF F P P S F F y y ∆===5. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1] 上严格递减，且满足 f ( ) 1 f (2 ) 2 ，则不等式组121()2x f x ⎧⎨≤≤⎩的解集为．答案：[ 2, 8 2 ] ．解：由 f ( x ) 为偶函数及在[0, 1] 上严格递减知， f ( x ) 在[ 1, 0] 上严格递增，再结合 f ( x ) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f ( x ) 的严格递增区间．注意到f ( 2) f ( ) 1, f (8 2 ) f ( 2 ) f (2 ) 2 ，所以1 f ( x )2 f ( 2) f ( x ) f (8 2 ) ，而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2 ] ．6. 设复数 z 满足z 1 ，使得关于 x 的方程 zx 2 2 z x 2 0 有实根，则这样的复数 z 的和为．答案：32-解：设 z a b i (a , b R , a 2 b 2 1) ．将原方程改为 (a b i) x 2 2(a b i) x 2 0 ，分离实部与虚部后等价于 ax 2 2ax 2 0 ， ① bx 2 2bx 0 ．②若b 0 ，则 a 2 1 ，但当 a 1 时，①无实数解，从而 a 1 ，此时存在实数 x 1 z 1 满足条件．若 b 0 ，则由②知 x {0, 2} ，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代入①解得 a 14=-，进而b ，相应有 z综上，满足条件的所有复数 z 之和为 1=32- 7. 设O 为 ABC 的外心，若AO AB 2 AC ，则sin BAC 的值为．解：不失一般性，设 ABC 的外接圆半径 R 2 ．由条件知， 2 AC AO AB -① 故 AC12BO 1 ．取 AC 的中点 M ，则 OM AC ，结合①知 OM BO ，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧．于是 cos BOC cos (90 MOC ) sin MOC MOOC14=-在 BOC 中，由余弦定理得BC =进而在 ABC 中，由正弦定理得sin BAC2BC R =8. 设整数数列 a 1 , a 2 , , a 10 满足 a 10 3a 1 , a 2 a 8 2a 5 ，且 a i 1 {1 a i ,2 a i }, i 1, 2, , 9 ，则这样的数列的个数为．答案：80 ．解：设b i a i 1 a i {1, 2}(i 1, 2, , 9) ，则有 2a 1 a 10 a 1 b 1 b 2 b 9 ， ① b 2 b 3 b 4 a 5 a 2 a 8 a 5 b 5 b 6 b 7 ．②用t 表示b 2 , b 3 , b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 b 5 , b 6 , b 7 中值为 2 的项数，其中t {0, 1, 2, 3} ．因此 b 2 , b 3 , , b 7 的取法数为 (03C )2 (13C ) 2 (23C ) 2 (33C ) 2 20取定b 2 , b 3 , , b 7 后，任意指定 b 8 , b 9 的值，有 22 4 种方式．最后由①知，应取 b 1 {1, 2} 使得b 1 b 2 b 9 为偶数，这样的 b 1 的取法是唯一的，并且确定了整数 a 1 的值，进而数列 b 1 , b 2 , , b 9 唯一对应一个满足条件的数列 a 1 , a 2 , , a 10 ．综上可知，满足条件的数列的个数为 20 4 80 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R上的函数 f ( x )为3log 109()49x x f x x⎧-≤⎪=⎨-⎪⎩设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，求 abc 的取值围．解：不妨假设 a b c ．由于 f ( x ) 在 (0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，在[9, ) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知 a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，并且 f (a ) f (b ) f (c ) (0, 1) ． …………………4 分由 f (a ) f (b ) 得 1 l og 3 a log 3 b 1 ，即 log 3 a log 3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ． …………………8 分又0 f (c ) 4 1， …………………12 分故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．所以， abc 的取值范围是 (81, 144) ． …………………16 分注：对任意的 r (81, 144) ，取09r c =，则0c ∈ (9, 16) ，从而 f (0c ) ∈ (0, 1) ．过点 (c 0 , f (c 0 )) 作平行于 x 轴的直线 l ，则 l 与 f ( x ) 的图像另有两个交点 (a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中 a (0, 3), b (3, 9) ），满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，并且 ab 9 ，从而 abc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 a 1 , a 2 , a 3 , 满足：对任意正整数 n ，有 a n (2S n a n ) 1 ，其中 S n 表示数列的前 n 项和．证明：(1) 对任意正整数 n ，有 a n (2) 对任意正整数 n ，有 a n a n 1 1 ．证明： (1) 约定 S 0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有1 a n (2S n a n ) (S n S n -1)(S n S n -1) S n2 S n -12 ，S n n S 0 n ，即 S n n 0 时亦成立）． …………………5 分显然， a n S n S n 1 …………………10 分 (2) 仅需考虑 a n , a n 1 同号的情况．不失一般性，可设 a n , a n 1 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则 S n 1 S n S n 1 此时从而a n a n 1 () 1． …………………20 分1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 211.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 2 4 x 的过点 F (1, 0) 的弦， AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分 APB ，求 PF 的所有可能值．解：设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，233(,)4y P y ，由条件知 y 1 , y 2 , y 3 两两不等且非零．设直线 AB 的方程为 x ty 1 ，与抛物线方程联立可得 y 2 4ty 4 0 ，故y 1 y 2 4 ． ①注意到 AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 x 2 y 2 dx ey 0 ，与x 24y 联立得，42(1)0164y d y ey +++=．该四次方程有 y y 1 , y 2 , y 3,0 这四个不同的实根，故由韦达定理得 y 1 y 2 y 3 0 0 ，从而y 3 ( y 1 y 2 ) ．②…………………5 分因 PF 平分 APB ，由角平分线定理知，12PA FA y PB FB y ==，结合①、②，有 222312231122322232232()()44()()44y y y y PA y y y y PB y y -+-==-+-222212112222212221[()]16(2)[()]16(2)y y y y y y y y y y +-++=+-++ 422142126419264192y y y y +-=+- 即 y 6 64 y 2 y 2 192 y 2 y 6 64 y 2 y 2 192 y 2，故( y 2 y 2 )( y 4 y 2 y 2 y 4192) 0 ．当 y 2 y 2 时， y y ，故 y 0 ，此时 P 与 O 重合，与条件不符．当 y 4 y 2 y 2 y 4 192 0 时，注意到①，有 (y 2 y 2 )2=192+(y y ) 2=208y 2 y 28 212y y ，故满足①以及 y 1 y 2的实数 y 1 , y 2 存在，对应可得满足条件的点 A , B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF +++-=+==== …………………20 分。

2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)

则(�� + ��)��2 + 2(�� − ��)�� + 2 = 0，
整理得：(��2 + 2�� + 2) + (��2 − 2��)�� = 0
由图结合对称性得：
��1 = �� − 2, ��2 = 2�� − [4 + 2(2�� − 6)] = 8 − 2�� 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ��(��) ≤ 2在[1，2]内
分析：�� + ��为偶数，则��与��奇偶性相同，
故当�� ≥ 2 时，
�� = √�� ± √�� − 1 ≤ √�� + √�� − 1 < 2√�� (2) ��与��+1异号时结论显然成立，
当��与��+1同号时：由(1)得�� = ±√��，不妨得：�� = √�� − √�� − 1
6. 设复数��满足|��|=1，使得关于�� 的方程z��2 + 2��̅�� +
2 = 0有实根，则这样的复数��的和为

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中， A 、 B 与 C 、 D 分别是椭圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ

2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷

2
o 二二 f(x ）三1 仲！（却一6）三 f(x ）三／（4－的，
（用含有r的式子表示〉．
z, ＝一，Z2 ＝一，Z3 =-,
因此 W= Z1 �2 ＋毛毛＋勾引·于是
2
Z1
Z2
Z3
r = (z1 十Z2 + Z3 ）（王＋三十三） =lz.1 十lzJ + lz3 l + w十二＝3+2Rew,
2 2
解得Rew＝三三 2 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出立字说明、证明过程或演算步骤． 9. （本题满分16分）己知数列｛a，，｝：α，＝7，满足 a. >4
川生土L =
的最小正整数 n.
2
α
a，，十2 , n = 1, 2, 3, · · · .求
故。”＝2 3烛
解：由生土L ＝ α，，＋2可知 G川＋1＝（α，，＋ 1) .因此 α，2 时 ”I 3x2"-1, α，，＋l=(a1 +1)2 ＝82 = 2
AD BC ，以 AB 为直径的圆与线段 DE 交于一点 F． DC 2CE
A
证明：B，C，F，D 四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上）
D
F
B
C
E
三、（本题满分 50 分）设集合 A {1, 2,
, n} ，X，Y 均为 A 的非空设空子集（允许 X = Y）．X
中的最大元与 Y 中的最小元分别记为 maxX，minY 求满足 maxX > minY 的有序集合对（X , Y）的数目．
四、（本题满分 50 分）给定整数 a 2 . 证明：对任意正整数 n，存在正整数 k，使得连续 n 个数 ak 1， ak 2 ，， a k n 均是合数．

2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷

K，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M，N，则△KMN 的面积为 7．设 f ( x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足 f ( ) 1 ，
1 x 2 f (2 ) 1 ，则不等式组的解集为_________ ． 1 f ( x) 2
y
R M
A
O
C
P
Q
B
x
D
2018 年全国高中数学联合竞赛加试试题（B 卷）
一、（本题满分 40 分）设 a,b 是实数，函数 f ( x) ax b 证明：存在 x0 [1,9] ，使得 f ( x0 ) 2
9 ． x
二、（本题满分 40 分）如图所示，在等腰△ABC 中，AB=AC，边 AC 的上一点 D 及 BC 延长线上一点 E 分满足
பைடு நூலகம்
8．己知复数 z1 ，z2 ，z3 满足 z1 z2 z3 1 ，z1 z2 z3 1 ．其中 r 是给定实数，则的实部是_________ ．（用含有 r 的式子表示）．
z1 z2 z3 z2 z3 z1
二、解答题：本大题共 3 小题．满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分 16 分）己知数列 {an } ： a1 7 ，最小正整数 n． 10．（本题满分 20 分）己知定义在 R+上的函数 f x 为
解：因锥顶点P在底面上的投影即为底面中心，记之为 o. 由条件知，
OQ
率为
3.将1,2, 3, 4, 5,6随机排成一行，记为α， b,c,d,e,f，则αbc+d矿·是奇数的概

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面的距离为 3 ，点 Q 在平面上，使得直线 PQ 与所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面上的射影为 O ．由条件知，OP OQ

tan
OQP

3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1

an
(2Sn