2018年浙江省高中数学联赛试题及参考答案
2018年浙江省高中数学联赛试题
2018年浙江省高中数学联赛试题一．填空题1. 已知a 为正实数，且11()1xf x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为______________. 2. 设数列{}n a 满足11151(12)n n a a a n +==+= ，，，，则20181n n a ==∑______________.3. 已知3()4παβπ∈，，，412cos()sin()5413παβα+=-=，，则cos()4πβ+=______________. 4. 在八个数字24678111213，，，，，，，中任取两个组成分数，则这些数中有_______文化既约分数. 5. 已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭_____________.6. 设||10AB = ，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有||3AP t AB -≥，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，||PA PB +=____________.7. 在ABC ∆中，7AB AC +=，且其面积4ABC S ∆=，则sin A 的最小值为____________. 8. 设()|1||||2|f x x x x =++--，则(())10f f x +=有__________个不同的解.9. 设x y R ∈，满足120x -=，则x 的取值范围为____________.10. 四面体P ABC -，PA BC ==PB AC ==PC AB ==则该四面体P ABC - 外接球的半径为____________. 二．解答题11. 已知动直线l 与圆221O x y +=：相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A B ，.求原点到线段AB 的中垂线的最大距离.12. 设a R ∈，且对任意实数b 均有2[01]max ||1x x ax b ∈++≥，，求a 的取值范围.13. 设实数122018x x x ，，，满足212(122016)n n n x x x n ++≤= ，，，和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14. 将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1212n n a a a b b b ，，，；，，，. 证明：111||(||||)ij i j i j i ni j nj nab a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15. 如图所示将同心环均匀分成(3)n n ≥格，在内环中固定数字1~n .问能否将数字1~n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？。
高中数学2018杭州市2018年高考命题比赛试题12 Word版含答案
试卷命题双向细目表2018年高考模拟试卷 数学卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2球的体积公式 V =43πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高数学试题选择题部分（共40分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1. 【原创】设集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D.2. 【原创】双曲线116922=-y x 的离心率是（ ） A.37 B. 35 C. 45 D. 473. 【原创】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）正视图 侧视图俯视图 A. 34π+B. π+4C. 324π+D. π+2 4. 【原创】若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥0100y x y x x ，则z ＝x ＋3y 的取值范围是（ ）A. (]2,∞-B. []3,2C. [)+∞,3D. [)+∞,25. 【原创】从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，记下颜色然后放回，如此摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )等于（ ） A.58 B. 56 C. 54 D. 52 6. 【改编】已知等比数列{}n a 的公比为q ，且1≠q ，前n 项和为n S ，则“1>q ”是“2342S S S >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【本题改编自2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）第6题】7. 【改编】函数)(x f y =的导函数)('x f y =图像如图所示，则函数)(x f y =的图像可能是（ ）A. B. C. D.【本题改编自2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）第7题】8. 【原创】点A 是单位圆O 上的点，21=→OB ，且→OA 与→OB 夹角为︒120，点C 满足→→→+=OB OA OC μλ,22=+μλ，MN 是圆O 的一条直径,则→→⋅CN CM 的取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4541，B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡245，C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡141，D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-043，9. 【原创】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，CD ＝EB ＝1，AB ＝4.分别记二面角A-DE-C ，A-CE-B ，A-BE-C 的平面角为α，β，γ，则（ ） A. α<β<γ B. α<γ<βC. γ<α<βD. α=γ<β10. 【原创】设函数x x f 1)(=，）（221≤≤x 记),(b a H 为函数图像上的点到直线b ax y +=距离的最大值，则),(b a H 的最小值是（ ） A. 82 B. 162 C. 42D.43非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第11-14题每小题6分，第15-17题每小题4分，共36分。
2018年全国高中数学联赛一试A卷试题及参考答案评分标准
1,
3 2
,
2,,99 2 Nhomakorabea2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
数 x 1 3 满足①、②，故 z 1满足条件．
若 b 0 ，则由②知 x {0, 2} ，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代
入①解得 a 1 ，进而 b 15 ，相应有 z 1 15 i ．
4
4
4
综上，满足条件的所有复数 z 之和为1 1 15 i 1 15 i 3 ．
2
取 AC 的中点 M ，则 OM AC ，结合①知 OM BO ，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧．于是 cosBOC cos (90 MOC) sin MOC MC 1 ．
OC 4
在 BOC 中，由余弦定理得 BC OB2 OC2 2OBOC cosBOC 10 ，
．
答案： 15 ．
解：由对称性，不妨设 P(xP, yP ) 在第一象限，则由条件知
xP
1 PT
2
PS 2,
yP
1 PV
2
PU
1，
1
即 P(2, 1) ．进而由 xP PU 1, PS 2 得U (2, 2), S(4, 1) ，代入椭圆 C 的方程知
4
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
a1a2a3a4a5 的值为
．
答案：32 ．
解：易知直线 l 的方程是 3x y 0 ．因此对任意正整数 n ，有 3an1 an 0 ，
1
1
1
即 an1 3 an ，故{an}是以 3 为公比的等比数列．于是 a3 3 a2 2 ．由等
比数列的性质可得， a1a2a3a4a5 a35 (2)5 32 ．
…………………16 分
10.（本题满分 20 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 为
解得 Re w r2 3 ． 2
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9.（本题满分
16
分）已知数列 {an } ： a1
7
， an1 an
an
2,
n
1,2,Βιβλιοθήκη 3,．求 满足 an 42018 的最小正整数 n ．
解：由
an1 an
an
2
可知
an1
k
2
将 MN 与 C 联立，得方程 y2 2 y 1 0 ，于是 k
yM yN
( yM yN )2 4 yM yN
4 k2
4
2
，
结合 l 与 MN 平行，可知
SKMN
SBMN
SBAM SBAN
1 AB 2
yM yN
112 1 ． 22 2
7. 设 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 [1, 2]上严格递减，
2018 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
2018年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题+答案
|m|
l
O
O
l
1√
= 1.
5
1+ k2
y = kx + m
A(x1, y1), B(x2, y2)
x2 + 9y2 − 9 = 0
(1 + 9k2)x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0
第3页
(
)
18km
9km m
x1 + x2 = − 1 + 9k2
AB
(
− 1 +)9k2 , 1 + 9k2 .
f (x) = −2
x = −1 f (x) = 0
1
x = −3, x =
3
3
9. x, y ∈ R
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
x
√
√
答案 14 − 2 13 ≤ x ≤ 14 + 2 13.
解析
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
⇒
√ (x
−
y
−
2)2
+
(√y
−
3)2
=
1
.
. . √ x − y − 2 = cos θ
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n
证明
∑
∑
Tn =
|ai − bj| −
(|aj − ai| + |bj − bi|)
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n
(完整版)2018年高考浙江卷数学试题解析(精编版)(解析版)(可编辑修改word版)
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其
运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如
复数
的实部为 、虚部为 、模为
、对应点为 、共轭复数为 .
5. 函数 y= sin2x 的图象可能是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择.
【答案】 (1).
(2). 3
【解析】分析:根据正弦定理得 sinB,根据余弦定理解出 c.
详解：由正弦定理得
,所以
由余弦定理得
（负值舍去）.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和
角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
14. 二项式
的展开式的常数项是___________．
当 时， ___________， ___________．
【答案】 (1). 8 (2). 11 【解析】分析:将 z 代入解方程组可得 x,y 值. 详解： 点睛：实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．
12. 若 满足约束条件
则
的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第 r+1 项，再根据项的次数为零解得 r，代入即得结果.
详解：二项式
的展开式的通项公式为
,
令
得 ，故所求的常数项为
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第 项，由特定项得出 值， 最后求出特定项的系数.
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题(解析版)
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题一、填空题1 1= 一-；—1 .已知a 为正实数，且 “1是奇函数，则⑷的值域为.1111 1 1 ― --- ----------- =- - + f （x ）=--— 由小）为奇函数可知a - + 19「+ 1,解得a= 2,即 22、由此得f （x ）的值域为। 2 2'.2018「2%1.3 ) 鼻二1 3- 5a +1£ 南满足］一 ，n*i- a (n=1, 2,…)，则 n = 1520198077【答案】16 16 【解析】【详解】1 / 八■ +［二5皆十1小二1+『5阿+1=%由4" 4"56故答案为：.2.设数列所以 2018V Lu1<-2c201S=不5 +5 +... + S20185x c 2018 1t=—行 口-162018 S 2019£07 71616(3n \小 4风0 E —cos(a + p)=3.已知 '4",56I 4.J 13,则【解析】【详解】%£ E (彳再)孙3 +位二Mi 7Tcos\p + —I = cos (a + 所以 sin(a + B)——，得.J71 a—4亡叫cr 一: 6二 - 13, 5665【解析】【详解】加索-34.在八个数字2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数.【答案】36【解析】【详解】在7, 11, 13中任取一个整数与在2, 4, 6, 8, 12中任取一个整数构成既约分数，共有3 5 种；在7, 11, 13中任取两个整数也构成既约分数，共有A3,6中.合计有36种不同的既约分数./ 1 ^2018 + (1/01S _5,已知虚数z满足P+1=Q,则上』H .【答案】I【解析】【详解】1 2018 上r , 3^72 2.1 之上[/ 1 \2018 + ( 1 JOIS _ 工 ,1 _(Z)- _ . . I _ 1I? - 1 l z _ 1 _ t2,2018 - t3,1345 _ z-所以^ .6.设明=1。
2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析
2018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8 分和0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9 小题4 分为一个档次，第10、11 小题5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分．1. 设集合A 1, 2, 3, , 99 , B {}2x x A∈, C {}2x x A∈，则B C 的元素个数为．答案：24 ．解：由条件知，B C 2, 4, 6, ,198 12, 1, 32,2, ,9922, 4, 6, , 48 ，故B C 的元素个数为24 ．2. 设点P 到平面Q 在平面 上，使得直线PQ 与 所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．解：设点 P 在平面 上的射影为O．由条件知，tan[3OPOPQOQ=∠∈即OQ [1, 3]，故所求的区域面积为 32 12 8 ．3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为a, b, c, d,e, f ，则abc +def是偶数的概率为答案：9 10解：先考虑abc +def 为奇数的情况，此时abc, def 一奇一偶，若abc 为奇数，则a, b, c 为1, 3, 5的排列，进而d , e, f 为2, 4, 6的排列，这样有3! ×3! = 36 种情况，由对称性可知，使abc +def 为奇数的情况数为36 ×2 = 72 种．从而abc +def 为偶数的概率为72729116!72010-=-=1 / 64. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :22221x y a b += (a b 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已 知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则 PF 1F 2 的面积为 ．解：由对称性，不妨设 P ( x P , y P ) 在第一象限，则由条件知x 1()2PT PS - 2, y 1()2PV PU - 1即 P (2, 1) ．进而由 x P PU 1, PS 2 得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知111144161a b a b ⋅+⋅=⋅+=，解得a 220, b 2 5 ．从而121212PF F P P S F F y y ∆===5. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1] 上严格递减，且满足 f ( ) 1 f (2 ) 2 ，则不等式组121()2x f x ⎧⎨≤≤⎩的解集为 ． 答案：[ 2, 8 2 ] ．解：由 f ( x ) 为偶函数及在[0, 1] 上严格递减知， f ( x ) 在[ 1, 0] 上严格递增， 再结合 f ( x ) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f ( x ) 的严格递增区间． 注意到f ( 2) f ( ) 1, f (8 2 ) f ( 2 ) f (2 ) 2 ， 所以1 f ( x )2 f ( 2) f ( x ) f (8 2 ) ，而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2 ] ．6. 设复数 z 满足z 1 ，使得关于 x 的方程 zx 2 2 z x 2 0 有实根，则这样 的复数 z 的和为．答案：32-解：设 z a b i (a , b R , a 2 b 2 1) ．将原方程改为 (a b i) x 2 2(a b i) x 2 0 ，分离实部与虚部后等价于 ax 2 2ax 2 0 ， ① bx 2 2bx 0 ．②若b 0 ，则 a 2 1 ，但当 a 1 时，①无实数解，从而 a 1 ，此时存在实数 x 1 z 1 满足条件．若 b 0 ，则由②知 x {0, 2} ，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代入①解得 a 14=-，进而b ，相应有 z综上，满足条件的所有复数 z 之和为 1=32- 7. 设O 为 ABC 的外心，若AO AB 2 AC ，则sin BAC 的值为．解：不失一般性，设 ABC 的外接圆半径 R 2 ．由条件知， 2 AC AO AB -① 故 AC12BO 1 ． 取 AC 的中点 M ，则 OM AC ，结合①知 OM BO ，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧．于是 cos BOC cos (90 MOC ) sin MOC MOOC14=-在 BOC 中，由余弦定理得BC =进而在 ABC 中，由正弦定理得sin BAC2BC R =8. 设整数数列 a 1 , a 2 , , a 10 满足 a 10 3a 1 , a 2 a 8 2a 5 ，且 a i 1 {1 a i ,2 a i }, i 1, 2, , 9 ， 则这样的数列的个数为 ．答案：80 ．解：设b i a i 1 a i {1, 2}(i 1, 2, , 9) ，则有 2a 1 a 10 a 1 b 1 b 2 b 9 ， ① b 2 b 3 b 4 a 5 a 2 a 8 a 5 b 5 b 6 b 7 ．②用t 表示b 2 , b 3 , b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 b 5 , b 6 , b 7 中值为 2 的项数，其中t {0, 1, 2, 3} ．因此 b 2 , b 3 , , b 7 的取法数为 (03C )2 (13C ) 2 (23C ) 2 (33C ) 2 20取定b 2 , b 3 , , b 7 后，任意指定 b 8 , b 9 的值，有 22 4 种方式．最后由①知，应取 b 1 {1, 2} 使得b 1 b 2 b 9 为偶数，这样的 b 1 的取法是 唯一的，并且确定了整数 a 1 的值，进而数列 b 1 , b 2 , , b 9 唯一对应一个满足条 件的 数列 a 1 , a 2 , , a 10 ．综上可知，满足条件的数列的个数为 20 4 80 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R上的函数 f ( x )为3log 109()49x x f x x⎧-≤⎪=⎨-⎪⎩设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，求 abc 的取值围． 解：不妨假设 a b c ．由于 f ( x ) 在 (0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增， 在[9, ) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知 a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，并且 f (a ) f (b ) f (c ) (0, 1) ． …………………4 分由 f (a ) f (b ) 得 1 l og 3 a log 3 b 1 ，即 log 3 a log 3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ． …………………8 分又0 f (c ) 4 1， …………………12 分 故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ． 所以， abc 的取值范围是 (81, 144) ． …………………16 分注：对任意的 r (81, 144) ，取09r c =，则0c ∈ (9, 16) ，从而 f (0c ) ∈ (0, 1) ．过 点 (c 0 , f (c 0 )) 作平行于 x 轴的直线 l ，则 l 与 f ( x ) 的图像另有两个交点 (a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中 a (0, 3), b (3, 9) ），满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，并且 ab 9 ，从 而 abc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 a 1 , a 2 , a 3 , 满足：对任意正整数 n ，有 a n (2S n a n ) 1 ，其中 S n 表示数列的前 n 项和．证明：(1) 对任意正整数 n ，有 a n (2) 对任意正整数 n ，有 a n a n 1 1 ．证明： (1) 约定 S 0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有1 a n (2S n a n ) (S n S n -1)(S n S n -1) S n2 S n -12 ，S n n S 0 n ，即 S n n 0 时亦成立）． …………………5 分显然， a n S n S n 1 …………………10 分 (2) 仅需考虑 a n , a n 1 同号的情况．不失一般性，可设 a n , a n 1 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则 S n 1 S n S n 1 此时从而a n a n 1 () 1． …………………20 分1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 211.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 2 4 x 的 过点 F (1, 0) 的弦， AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平 分 APB ，求 PF 的所有可能值．解：设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，233(,)4y P y ，由条件知 y 1 , y 2 , y 3 两两不等且非零． 设直线 AB 的方程为 x ty 1 ，与抛物线方程联立可得 y 2 4ty 4 0 ，故y 1 y 2 4 ． ①注意到 AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 x 2 y 2 dx ey 0 ，与x 24y 联立得，42(1)0164y d y ey +++=．该四次方程有 y y 1 , y 2 , y 3,0 这四个不同的实根，故由韦达定理得 y 1 y 2 y 3 0 0 ，从而y 3 ( y 1 y 2 ) ．②…………………5 分因 PF 平分 APB ，由角平分线定理知，12PA FA y PB FB y ==，结合①、②，有 222312231122322232232()()44()()44y y y y PA y y y y PB y y -+-==-+-222212112222212221[()]16(2)[()]16(2)y y y y y y y y y y +-++=+-++ 422142126419264192y y y y +-=+- 即 y 6 64 y 2 y 2 192 y 2 y 6 64 y 2 y 2 192 y 2，故( y 2 y 2 )( y 4 y 2 y 2 y 4192) 0 ．当 y 2 y 2 时， y y ，故 y 0 ，此时 P 与 O 重合，与条件不符． 当 y 4 y 2 y 2 y 4 192 0 时，注意到①，有 (y 2 y 2 )2=192+(y y ) 2=208y 2 y 28 212y y ，故满足①以及 y 1 y 2的实数 y 1 , y 2 存在，对应可得满足条件的点 A , B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF +++-=+==== …………………20 分。
2018年4月杭州市重点高中2018高考数学命题比赛参赛试题3及答案 精品
浙江省杭州市重点高中2018年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-2试卷设计说明本试卷设计是在通过对《2018年考试说明》与前三年高考试卷的学习与研究前提下，精心编撰形成。
总体题目可分为二类：原创题、改编题。
整个试卷的结构与高考试卷结构一致，从题型，分数的分布与内容的选择力求与高考保持一致。
对知识点力求全面但不追求全面，做到突出主干知识，强化基础知识，着力于能力考查，对相关知识联系设问。
从了解、理解、掌握三个层次要求学生。
对能力考查做到多层次、多方位，选题以能力立意，侧重对知识的理解与应用，考查他们知识的迁移及学生思维的广度与深度。
检验学生对知识理解上更高层次的数学思想方法的掌握程度，其中对函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化及整体思想都有一定的涉及。
同时也注重学生的通性通法的掌握，但不追求解题的技巧。
其中原创题有15道，改编题有7道。
2018年高考模拟数学(文科)试题注意：本卷共22题，满分l50分，考试时间l20分钟。
参考公式：球的表面积公式：24S R π=，其中R 表示球的半径；球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径； 棱柱体积公式：V Sh =，其中S 为棱柱底面面积，h 为棱柱的高；棱锥体积公式：13V Sh =，其中S 为棱柱底面面积，h 为棱柱的高；棱台的体积公式：1213V h(S S )=+，其中1S 、2S 分别表示棱台的上、下底面积，h 为棱台的高如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+第I 卷(选择题 共50分)一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（原创）1．已知集合{}R x x x x A ∈=+=,02，则满足{}1,1,0-=B A 的集合B 的个数是A ．2B ．3C ．4D ．8（原创）2．复数ii3243-+对应的点落在 A ．第一象限 （B ）第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（原创）3．2-=a 是直线1l ：02=+y ax 与直线2l ：032=++ay x 平行的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（原创）4．已知x 是三角形的最小内角，则x x cos sin +的取值范围是A ．(]2,0B ．[]2,2- C ．⎥⎦⎤⎝⎛+213,1 D ．(]2,1（原创）5．已知直线、m 与平面α、β，βα⊂⊂m l ,，则下列命题中正确的是A ．若m l //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m（改编）6．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =A ．2450B ．2500C ．2550D ．2652（原创）7．已知数列{}n a 为等差数列，,11=a 公差0≠d ，1a 、2a 、5a 成等比，则2013a 的值为A ．4023B ．4025C ．4027D ．4029（改编）8．若0,0>>b a ，且点),(b a 在过点)1,1(-，)3,2(-的直线上，则)4(222b a ab s +-=的最大值是A ．12+B ．221+ C ．12- D ．212-（改编）9．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BN AM ,的斜率分别为21,k k ，若4121=⋅k k ，则椭圆的离心率为A．12BCD（原创）10．设函数)10)(10)(10)(10()(42322212c x x c x x c x x c x x x f +-+-+-+-=-2(x x10)5c +，设集合*921},,,{}0)(|{N x x x x f x M ⊆=== ，设54321c c c c c ≥≥≥≥，则=-51c cA ．20B ．18C ．16D ．14第II 卷(非选择题，共l00分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)_PDF压缩
等式得
f (u) + f (v) ≥ f (u) − f (v) ≥ 4 ，
故 f (u) ≥ 2 与 f (v) ≥ 2 中至少有一个成立．
注意到 f (4 ) f ( 4) f () 1, f (2 6) f (2) 0 ，
所以
0 f (x) 1 f (2 6) f (x) f (4 ) ，
而 0 2 6 4 1 ，故原不等式组成立当且仅当 x [2 6, 4 ] ．
4 7
，即
tan
2
4 7
，从而
tan(
)
cot
2
7 4
．
6. 设抛物线 C : y2 2x 的准线与 x 轴交于点 A ，过点 B (1, 0) 作一直线 l 与
抛物线 C 相切于点 K ，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M , N ，则 KMN
…………………5 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
即 log3 a log3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ． 又
…………………10 分
0 f (c) 4 c 1，
…………………15 分
故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ
高中数学2018杭州市2018年高考命题比赛试题9 Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学模拟卷姓名______________ 准考证号______________本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式)()()(B P A P B A P +=+ V =Sh如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高)()()(B P A P B A P ∙=∙ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高),2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n ∙∙∙=-=- 球的表面积公式台体的体积公式 S =4πR 2V =31h (S 1+21S S +S 2) 球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =34πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1、（改编）已知a ，b ∈R ， i z 432+=（i 是虚数单位）则z 为 （ ） A.5 B.7 C.5 D. 72、（原创）已知集合{}|0P x x =>， {}11<≤-∈=x Z x Q ，那么Q P C R ⋂= （ ）A ．[)+∞-,1B ．[]0,1-C ．{}0,1-D ．(1,1)-3、（原创）双曲线1422=-y x 的渐近线方程是 （ ）A.x y 4±=B.x y 41±= C. x y 2±= D. x y 21±= 4、（原创）下列函数中周期为π且为奇函数的是 （ ） A ．)22sin(π-=x y B ．)22cos(π-=x yC ．)2sin(π+=x yD ．)2cos(π+=x y5、（改编）已知R b a ∈,,则“b a 2121log log <”的一个必要不充分条件是 ( )A. ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3141 B.b a 11> C. 0)ln(>-b a D. 13<-ba 6、（原创）一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()n n N *∈个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．47、(改编) 已知直线12=+by ax (其中a ，b 是实数)与圆122=+y x 相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是正三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( )A . 1332+B ．34 C. 332 D. 1332-8、(改编) 函数的导函数在区间上的图像大致是（ ）()cos f x x x =()f x '[,]ππ-C D9、（改编）如图，在四面体ABC P -中，PC PB PA ,,两两相互垂直且3===PC PB PA ，22任意实数x 都成立，且a 的最小值为3，则)(x f 可能为 （ ）A B第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，共36分，将答案填在答题纸上）11、（原创）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
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最新-2018年全国高中数学联赛试题及参考答案精品
最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。
（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
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14.（本题满分 30 分） 将 2n （ n ≥ 2 ）个不同整数分成两组 a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn 。证明
计有 36 种不同的既约分数。 z 0 ，则 5. 已知虚数 z 满足 z + 1 = z −1
3
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1 + z −1
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______________。 =
解
z 3 + 1 = 0 ⇒ ( z + 1)( z 2 − z + 1) = 0 ⇒ z 2 − z + 1 = 0 ，所以 z z −1
所以只要考虑 b < 1 。……………………………………………………5 分 （1）当 −
a ≤ 0 时，即 a ≥ 0, 此时函数 f ( x ) 的最值在抛物线的左右端点取得，对 2
任意 b < 1 有 f (1) =1 + a + b > f (0) = b, 所以 f (1) =1 + a + b ≥ 1 ， 解得 a ≥ 1 。………………………………………………………………10 分 （2）当 0 < −
1. 已知 a 为正实数，且 f ( x) =
2. 设数列 {an } 满足= ，则 ∑ an =___________。 a1 1, a= 5an + 1 （ n = 1, 2, ） n +1
n =1
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解
1 1 5n 1 − ，所以 由 an +1 = 5an + 1 ⇒ an +1 + = 5( an + ) ⇒ an = 4 4 4 4
二、解答题
x2 11. （本题满分 20 分）已知动直线 l 与圆 O ： x + y = 1 相切，与椭圆 + y 2 = 1 9
2 2
相交于不同的两点 A, B 。求原点到 AB 的中垂线的最大距离。 解 依题意可设 l : y = kx + m(k ≠ 0) ． 因为直线 l 与圆 O 相切，所以，O 到直线 l 的距离为 1，即
a −a 2 左端点取得，而对 b = 0 有 f ( 0 ) = b < 1, f ( − ) = < 1 。………………15 分 2 4
（4）当 −
a ≥ 1 时，即 a ≤ −2 ，此时函数 f ( x ) 的最值在抛物线的左右端点取得， 2
= b < 1, 所以 f (1) = 1 + a + b ≤ −1 ，解得 a ≤ −3 。 对任意 b < 1 有 f ( 0 )
同理Βιβλιοθήκη x 1009 x 1009 x 1008 x 1011 x 1012 x 1012 = • ≤ • = ⇒ x1007 x 1012 > 1 。 x1007 x1008 x1007 x1010 x1011 x1010
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类似可证明： x1006 x 1013 > 1, x1005 x 1014 > 1,, x1 x 因此 ∏ xn > 1 ，矛盾。
1 。令 由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2) 2 + ( y − 3) 2 =
x − y − 2 = cos θ , y − 3 = sin θ ⇒ x = (2 + cos θ ) 2 + (3 + sin θ ) 2
2 = 14 + 52 sin(θ + ϕ )(sin ϕ = ) ，所以 14 − 2 13 ≤ x ≤ 14 + 2 13 。 13 10. 四面体 P − ABC ， PA = BC = 6 ， PB = AC = 8 ， PC = AB = 10 ，则该
解
由 f ( f ( x)) + 1 = 0 得到
f ( x ) = −2, 或 f ( x ) = 0 。 由 f ( x ) = −2, 得 一 个 解 x = −1 ； 由 f ( x ) = 0 得 两 个 解
1 x= −3, x = ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。 解
2 由 xn +1 ≤ xn xn +2 ⇒
x n +1 x n + 2 x x x ≤ ⇒ 1009 ≤ 1010 ≤ 1011 xn xn +1 x1008 x1009 x1010
⇒ x1009 x 1010 ≤ x1011 x1008 ⇒ x1011 x1008 > 1 …………………………………………10 分
所以，当 k = , | m |=
10 时， 3
原点到 AB 的中垂线的最大距离为 。…………………………………20 分
4 3
12.（本题满分 20 分）设 a ∈ R ，且对任意实数 b 均有 max x 2 + ax + b ≥ 1 ，求 a 的
x∈[0,1]
取值范围。 解1 设 f ( x ) = x 2 + ax + b ，对于 b ≥ 1 ⇒ f (0) ≥ 1 ，
a 1 ≤ 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f ( x ) 的最值在抛物线的顶点和右 2 2
a −a 2 端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f ( − ) = < 1。 2 4
（3）当
1 a < − ≤ 1 时，即 −2 ≤ a < −1 ，此时函数 f ( x ) 的最值在抛物线的顶点和 2 2
四面体外接球的半径为_________________。
解
将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为 a, b, c ，则
a 2 + b2 = 10 2 2 2 2 2 b + c = 8 ⇒ a + b + c = 12 ，所以四面体外接球的半径为 3 。 a 2 + c 2 = 6
设 AB 的中点为 O 。由极化恒等式得
1 1 1 PA ⋅ PB = {( PA + PB ) 2 − ( PA − PB ) 2 } = {(2 PO ) 2 − 102 } ≥ {36 − 100} = −16 。 4 4 4 此时 PA+ PB = 6。
2 1, 2,, 2016) 和 13.（本题满分 20 分） 设实数 x1 , x2 , , x2018 满足 xn +1 ≤ xn xn +2 ( n =
2018 n =1
∏x
n
= 1 ，证明： x1009 x1010 ≤ 1 。
证明：由条件 xn , xn +2 同号。反证法，假设 x1009 x1010 > 1 。 （1）若 x1009 , x1010 同为正数，由 xn , xn +2 同号可知 x1 , x2 , , x2018 同号。……5 分
且三角形的面积为 4， 则 sin ∠A 的最小值为______。 7. 在△ ABC 中， AB + AC = 7， 解
7 ⇒ AB × AC ≤ 由 AB + AC =
49 ，又 4
1 32 7 AB × AC sin ∠ A = 4 ⇒ sin ∠ A ≥ , AB = AC = 时取等号。 2 49 2
解
3π 4 3 π 5 由α, β ∈ − ,cos(α − ) = − ，所以 , π ， cos(α + β ) = , 得 sin(α + β ) = 5 5 4 13 4
π π π 56 cos β + = − 。 cos(α + β ) cos(α − ) + sin(α + β )sin(α − ) = 4 4 4 65
4. 在八个数字 2,4,6,7,8,11,12,13 中任取两个组成分数。这些分数中有 个既约分数。 解 在 7,11,13 中任取一个整数与在 2,4,6,8,12 中任取一个整数构成既约分数，共
1 1 2 有 2C3 C5 = 30 种；在 7,11,13 中任取两个整数也构成既约分数，共有 A3 = 6 中。合
m 1+ k2 = 1 ………………………………………………………………5 分
这样的直线必与椭圆交于不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，联立 得 (1 + 9k 2 ) x 2 + 18 kmx + (9m 2 − 9) = 0 ，得到 x1 + x2 = − 所以 AB 的中点坐标为 ( −
8. 设 f ( x) =| x + 1| + | x | − | x − 2 | , 则 f ( f ( x)) + 1 = 0 有__________个不同的解。
− x − 3, x ≤ −1 x − 1, −1 < x ≤ 0 因 为 f ( x ) =| x + 1 | + | x | − | x − 2 |= 3x − 1,0 < x ≤ 2 x + 3, x > 2
综上 a ≥ 1 或 a ≤ −3 。……………………………………………………………20 分 解2 设 = m max x 2 + ax + b ，则有
x∈[0,1]
m ≥ b , m ≥ 1 + a + b ⇒ 2m ≥ b + 1 + a + b ≥ 1 + a 依题意，