2018年浙江省高中数学联赛试题及参考答案

2 1, 2,, 2016) 和 13.（本题满分 20 分） 设实数 x1 , x2 , , x2018 满足 xn +1 ≤ xn xn +2 ( n =
2018 n =1
∏x
n
= 1 ，证明： x1009 x1010 ≤ 1 。
证明：由条件 xn , xn +2 同号。反证法，假设 x1009 x1010 > 1 。 （1）若 x1009 , x1010 同为正数，由 xn , xn +2 同号可知 x1 , x2 , , x2018 同号。……5 分
2 由 xn +1 ≤ xn xn +2 ⇒
x n +1 x n + 2 x x x ≤ ⇒ 1009 ≤ 1010 ≤ 1011 xn xn +1 x1008 x1009 x1010
⇒ x1009 x 1010 ≤ x1011 x1008 ⇒ x1011 x1008 > 1 …………………………………………10 分
四面体外接球的半径为_________________。
解
将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为 a, b, c ，则
a 2 + b2 = 10 2 2 2 2 2 b + c = 8 ⇒ a + b + c = 12 ，所以四面体外接球的半径为 3 。 a 2 + c 2 = 6
2018 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案
1 1 是奇函数，则 f ( x) 的值域为_______。 − x a a +1 1 1 1 1 1 1 解 由 f ( x) 为奇函数可知 − x ， = − + −x = − x , 解得 a = 2 ，即 f ( x ) 2 2 +1 a a +1 a a +1 1 1 由此得 f ( x) 的值域为 ( − , ) 。 2 2
n =1 2018
> 1 。……………………15 分
（2）若 x1009 , x1010 同为负数，由 xn , xn +2 同号可知 x1 , x2 , , x2018 均为负数，仍然有
2 xn +1 ≤ xn xn +2 ⇒
x n +1 x n + 2 ≤ ，类似（1）可证得。…………………………20 分 xn xn +1
综上 a ≥ 1 或 a ≤ −3 。……………………………………………………………20 分 解2 设 = m max x 2 + ax + b ，则有
x∈[0,1]
m ≥ b , m ≥ 1 + a + b ⇒ 2m ≥ b + 1 + a + b ≥ 1 + a 依题意，
a ≤ −3 。
1+ a ≥ 1 ⇒ a ≥ 1, 或 2
解
3π 4 3 π 5 由α, β ∈ − ,cos(α − ) = − ，所以 , π ， cos(α + β ) = , 得 sin(α + β ) = 5 5 4 13 4
π π π 56 cos β + = − 。 cos(α + β ) cos(α − ) + sin(α + β )sin(α − ) = 4 4 4 65
1 。令 由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2) 2 + ( y − 3) 2 =
x − y − 2 = cos θ , y − 3 = sin θ ⇒ x = (2 + cos θ ) 2 + (3 + sin θ ) 2
2 = 14 + 52 sin(θ + ϕ )(sin ϕ = ) ，所以 14 − 2 13 ≤ x ≤ 14 + 2 13 。 13 10. 四面体 P − ABC ， PA = BC = 6 ， PB = AC = 8 ， PC = AB = 10 ，则该
所以，当 k = , | m |=
10 时， 3
原点到 AB 的中垂线的最大距离为 。…………………………………20 分
4 3
12.（本题满分 20 分）设 a ∈ R ，且对任意实数 b 均有 max x 2 + ax + b ≥ 1 ，求 a 的
x∈[0,1]
取值范围。 解1 设 f ( x ) = x 2 + ax + b ，对于 b ≥ 1 ⇒ f (0) ≥ 1 ，
且三角形的面积为 4， 则 sin ∠A 的最小值为______。 7. 在△ ABC 中， AB + AC = 7， 解
7 ⇒ AB × AC ≤ 由 AB + AC =
49 ，又 4
1 32 7 AB × AC sin ∠ A = 4 ⇒ sin ∠ A ≥ , AB = AC = 时取等号。 2 49 2
a 1 ≤ 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f ( x ) 的最值在抛物线的顶点和右 2 2
a −a 2 端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f ( − ) = < 1。 2 4
（3）当
1 a < − ≤ 1 时，即 −2 ≤ a < −1 ，此时函数 f ( x ) 的最值在抛物线的顶点和 2 2
计有 36 种不同的既约分数。 z 0 ，则 5. 已知虚数 z 满足 z + 1 = z −1
3
2018
1 + z −1
2018
______________。 =
解百度文库
z 3 + 1 = 0 ⇒ ( z + 1)( z 2 − z + 1) = 0 ⇒ z 2 − z + 1 = 0 ，所以 z z −1
同理
x 1009 x 1009 x 1008 x 1011 x 1012 x 1012 = • ≤ • = ⇒ x1007 x 1012 > 1 。 x1007 x1008 x1007 x1010 x1011 x1010
2018
类似可证明： x1006 x 1013 > 1, x1005 x 1014 > 1,, x1 x 因此 ∏ xn > 1 ，矛盾。
2018 n =1
∑a
n
1 2018 5 2018 2018 52019 8077 。 = (51 + 52 + + 52018 ) − = (5 − 1) − = − 4 4 16 4 16 16
3π 4 π 12 π 3. 已知 α , β ∈ , 则 cos β + =__________。 , π ， cos(α + β ) = , sin α − = 5 4 13 4 4
4. 在八个数字 2,4,6,7,8,11,12,13 中任取两个组成分数。这些分数中有 个既约分数。 解 在 7,11,13 中任取一个整数与在 2,4,6,8,12 中任取一个整数构成既约分数，共
1 1 2 有 2C3 C5 = 30 种；在 7,11,13 中任取两个整数也构成既约分数，共有 A3 = 6 中。合
2018
1 + z −1
2018
z 2018 + 1 ( z 3 )672 z 2 + 1 z 2 + 1 = = = = −1 。 ( z 2 )2018 ( z 3 )1345 z −z
6. 设 AB = 10 。 若平面上点 P 满足， 对于任意 t ∈ R ， 有 AP − t AB ≥ 3 ， 则 PA ⋅ PB 的最小值为______________，此时 PA+ PB = _______________。 解 由 AP − t AB ≥ 3 可知点 P 到直线 AB 的距离为 3。
8. 设 f ( x) =| x + 1| + | x | − | x − 2 | , 则 f ( f ( x)) + 1 = 0 有__________个不同的解。
− x − 3, x ≤ −1 x − 1, −1 < x ≤ 0 因 为 f ( x ) =| x + 1 | + | x | − | x − 2 |= 3x − 1,0 < x ≤ 2 x + 3, x > 2
解
由 f ( f ( x)) + 1 = 0 得到
f ( x ) = −2, 或 f ( x ) = 0 。 由 f ( x ) = −2, 得 一 个 解 x = −1 ； 由 f ( x ) = 0 得 两 个 解
1 x= −3, x = ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。 解
二、解答题
x2 11. （本题满分 20 分）已知动直线 l 与圆 O ： x + y = 1 相切，与椭圆 + y 2 = 1 9
2 2
相交于不同的两点 A, B 。求原点到 AB 的中垂线的最大距离。 解 依题意可设 l : y = kx + m(k ≠ 0) ． 因为直线 l 与圆 O 相切，所以，O 到直线 l 的距离为 1，即
a −a 2 左端点取得，而对 b = 0 有 f ( 0 ) = b < 1, f ( − ) = < 1 。………………15 分 2 4
（4）当 −
a ≥ 1 时，即 a ≤ −2 ，此时函数 f ( x ) 的最值在抛物线的左右端点取得， 2
= b < 1, 所以 f (1) = 1 + a + b ≤ −1 ，解得 a ≤ −3 。 对任意 b < 1 有 f ( 0 )
所以只要考虑 b < 1 。……………………………………………………5 分 （1）当 −
a ≤ 0 时，即 a ≥ 0, 此时函数 f ( x ) 的最值在抛物线的左右端点取得，对 2
任意 b < 1 有 f (1) =1 + a + b > f (0) = b, 所以 f (1) =1 + a + b ≥ 1 ， 解得 a ≥ 1 。………………………………………………………………10 分 （2）当 0 < −
1. 已知 a 为正实数，且 f ( x) =
2. 设数列 {an } 满足= ，则 ∑ an =___________。 a1 1, a= 5an + 1 （ n = 1, 2, ） n +1
n =1
2018
解
1 1 5n 1 − ，所以 由 an +1 = 5an + 1 ⇒ an +1 + = 5( an + ) ⇒ an = 4 4 4 4
设 AB 的中点为 O 。由极化恒等式得
1 1 1 PA ⋅ PB = {( PA + PB ) 2 − ( PA − PB ) 2 } = {(2 PO ) 2 − 102 } ≥ {36 − 100} = −16 。 4 4 4 此时 PA+ PB = 6。
O 到直线中垂线的距离 d =
8km 1 + 9k 2 1+ k2
8km 1 + 9k 2 1+ k2
。……………………………………15 分
将
d≤
m 1+ k2
= 1 代入 d =
，得 d =
8k ．由均值不等式，1 + 9k 2 ≥ 6 k ，故 1 + 9k 2
4 1 ，当且仅当 k = 时取等号。 3 3 1 3
m 1+ k2 = 1 ………………………………………………………………5 分
这样的直线必与椭圆交于不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，联立 得 (1 + 9k 2 ) x 2 + 18 kmx + (9m 2 − 9) = 0 ，得到 x1 + x2 = − 所以 AB 的中点坐标为 ( −
14.（本题满分 30 分） 将 2n （ n ≥ 2 ）个不同整数分成两组 a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn 。证明
18km 。 1 + 9k 2
y kx + m, =
2 2 0 x + 9 y − 9 =
，
9km m , ) ，…………………………10 分 2 1 + 9k 1 + 9k 2 m 1 9km 8km AB 的中垂线方程为 y − = − (x + ) ，化简得 x + ky + = 0． 2 2 1 + 9k k 1 + 9k 1 + 9k 2