高中三角函数知识点总结《精华版》

三角函数知识点总结

1.角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3.终边相同的角的表示：

α终边与θ终边相同⇔2()k k αθπ=+∈Z

4.α与2

α的终边关系：例题：若α是第二象限角，则

2

α

是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式R l S ⋅=2

1

6.任意角的三角函数的定义：

设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离

是0r =

>，那么sin ,cos y x r r αα=

=，()tan ,0y

x x

α=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 7.三角函数在各象限的符号

8.特殊角的三角函数值：

9.同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 1cos sin 2

2

=+αα （2）商数关系：α

α

αcos sin tan =

（3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 例题：已知

11tan tan -=-αα，则α

αααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2

++ααα＝_____。

10.三角函数诱导公式(主要作用：简化角，方便化简计算)

(1)απαsin )2sin(=+k (2)ααsin )sin(-=- απαcos )2cos(=+k ααcos )cos(=- απαtan )2tan(=+k ααtan )tan(-=- (3)（

2

k

πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数） 符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）. 诱导公式运用步骤：(1)负角变正角，再写成)20(2πααπ<≤+k ； (2)转化为锐角三角函数。

常用重要结论：①若πβα=+，则βαsin sin =，βαcos cos -=； ②若2

πβα=+，则βαcos sin =，βαsin cos =。

11.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±−−−→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝

＝

αβ

αβαβαβααα

αααβααβααβα

αα

αα

=±=−−−→=-↓=-=-±±=

⇒-↓=

-12.合一公式（辅助角公式）：()sin cos a x b x x θ+=

+

（a b =

θtan ，2

2πθπ<<-） 13.正弦函数x y sin =及余弦函数x y cos =的图象及性质 （1）图象

（2）性质：

定义域：R x ∈ 定义域：R x ∈ 值域：]1,1[-∈y 值域：]1,1[-∈y 当)(2

2Z k k x ∈+=π

π时，1max =y 当)(2Z k k x ∈=π时，1max =y 当)(2

2Z k k x ∈-

=π

π时，1min -=y 当)(2Z k k x ∈-=ππ时，1min -=y

单调性：Z k k k ∈+

-

],2

2,2

2[π

ππ

π上递增 单调性：Z k k k ∈-],2,2[πππ上递增

Z k k k ∈++],2

32,22[π

πππ上递减 Z k k k ∈+],2,2[πππ上递减

奇偶性：奇函数)()(x f x f -=- 奇偶性：偶函数)()(x f x f =- 图象关于原点中心对称 图象关于y 轴轴对称 周期性：最小正周期π2=T 周期性：最小正周期π2=T ()sin()f x A x ωϕ=+， 2||T πω=

()cos()f x A x ωϕ=+，2||

T π

ω= 对称性： 对称性： 对称中心：()(),0k k Z π∈ 对称中心：))(0,2

(Z k k ∈+π

π

对称轴：()2

x k k Z π

π=+

∈ 对称轴： ()x k k Z π=∈

特别提醒，别忘了k Z ∈！

14.正切函数x y tan =的图象及性质 （1）图象

（2）性质： 定义域：},2

|{Z k k x x ∈+≠π

π

值域：R y ∈ 单调性：Z k k k ∈+-

),2

,2(π

ππ

π上递增 奇偶性：奇函数)()(x f x f -=-，图象关于原点中心对称 周期性：最小正周期π=T )tan()(ϕω+=x A x f ，|

|ωπ

=

T 对称性：对称中心：Z k k ∈),0,2

(

π

15.解三角形中的有关公式：

(1)内角和定理： A B C π++=,,sin()sin ,sin cos 22

A B C

A B C A B C π++=-+==； (2)正弦定理：

2sin sin sin a b c R A B C

===(R 为三角形外接圆的半径).

代换公式：①⎪⎩⎪⎨⎧

===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 ②⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

=

=

=R

c C R b B R a

A 2sin 2sin 2sin (3)余弦定理：bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a

B 2cos 222-+=；ab

c b a C 2cos 2

22-+=