人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二）
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z
第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z
终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z
3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z
4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n
α
终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r
α=
． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180
π
=，180157.3π⎛⎫
=≈
⎪⎝⎭
． 8、若扇形的圆心角为()α
α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，
211
22
S lr r α==．
9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是(
)
0r r =>，
则sin y r α=
，cos x r α=，()tan 0y
x x
α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．
12、同角三角函数的基本关系：()22
1sin cos 1αα+=
()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()
sin 2tan cos α
αα
= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛
⎫== ⎪⎝
⎭．
13、三角函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
口诀：函数名称不变，符号看象限．{符号看象限，就是把α看作是某一个锐角（例如30°、45°、60°之类），然后π+α、π-α、-α就看作是π与这个锐角相加减或者相反后的角，然后根据这个角在第几象限，来判断三角函数的正负。

例如把α看作是30°，所以π+α为210°第三象限角，所以sin 为负、cos 为负、tan 为正，也就是诱导公式二了。

结论：当把把α看作是某一个锐角时，π+α、π-α、-α就分别为第三、第二、第四象限角了，又例如：sin （3π+α）先化成sin 【2π+（π+α）】，再化成sin （π+α），因为π+α第三象限角，而第三象限角的sin 为负，所以sin （π+α）=-sin α，用等式表示为sin （3π+α）=sin 【2π+（π+α）】=sin （π+α）=-sin α}
()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．（这里的符号看象限，跟上面的一样道理，不同的是π减小到一半而已，其他没变，同样把α看作是某一个锐角，然后来判断） 14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移
ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数
()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数
()sin y x ωϕ=A +的图象．
函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移
ϕ
ω
个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+
的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．
函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2π
ω
T =
；③频率：12f ω
π
=
=
T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则
()max min 12y y A =
-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T
=-<． sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域
R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当22
x k π
π=+
()k ∈Z 时，
max 1y =；当22
x k π
π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．
当()2x k k π=∈Z 时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k ∈Z 时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性
2π 2π π 奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在2,222k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z 上是增函数；在
32,222k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z 上是减函数．
在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数．
在,22k k ππππ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数．
函 数
性 质。