上海 解析几何综合测试题附答案
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简解：将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值
4．若圆 与抛物线 有两个公共点。则实数 为.
4．答案： 或
简解：将圆 与抛物线 联立，消去 ，
得
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
或 解之
5．若曲线 与直线 +3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是.
5．答案：
（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当 =λ 时，求λ的最大值.
（17题图）（18题图）
18．（满分10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足 （如上图）．
（Ⅰ）求 得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
20．（满分12分）设A、B是椭圆 上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定 的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的 ，使得A、B、C、D四点在同一ห้องสมุดไป่ตู้圆上？并说明理由.
解析几何综合题
1． 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则 的最大值是．
4．若圆 与抛物线 有两个公共点。则实数 的范围为.
5．若曲线 与直线 +3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是.
6．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.
7．经过两圆（x+3）2+y2=13和x+2（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程为____________
11．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）
A.椭圆B.AB所在直线
C.线段ABD.无轨迹
12．若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则 的最小值为（）
A.1B.－1
C.－ D.以上都不对
13已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆 + ＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝ 时，△F1PF2的面积最大，则有（）
（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0.
令Δ<0得m2+n2<3.
又m、n不同时为零，
∴0<m2+n2<3.
由0<m2+n2<3，可知|n|< ，|m|< ，
再由椭圆方程a= ，b= 可知公共点有2个.
3.P是抛物线y2=x上的动点，Q是圆(x-3)2+y2=1的动点，则｜PQ｜的最小值
为.
3．答案： -1
（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.
（1）求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.
16．（满分10分）如下图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.
∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上.
又已知圆心在直线2x－y－7=0上，
（1）证明： + = ；（2）当a=2p时，求∠MON的大小.
（15题图）（16题图）
17．（满分10分）已知椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），双曲线 － =1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）
A.m=12，n=3B.m=24，n=6
C.m=6，n= D.m=12，n=6
14.P为双曲线C上一点，F1、F2是双曲线C的两个焦点，过双曲线C的一个焦点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是( ) 12.
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线
三、解答题
15．（满分10分）如下图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）
1． 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则 的最大值是．
2．若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；
以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆 + =1的公共点有_______个.
3.P是抛物线y2=x上的动点，Q是圆(x-3)2+y2=1的动点，则｜PQ｜的最小值为.
19．（满分12分）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.
（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0>3p；
（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0<p<1时，求 + +…+ 的值.
8.双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是___________.
9．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是___________.
10．设P1（ ， ）、P2（－ ，－ ），M是双曲线y= 上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=2 ；②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于 |MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.
1答案：4
简解： ≤
2．若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆 + =1的公共点有____________个.
2答案：0<m2+n2<3；2
简解：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得
简解：将曲线 转化为 时考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线 平行的直线与双曲线的位置关系。
6．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.
6．答案：（x－2）2+（y+3）2=5 5．
简解：∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），
4．若圆 与抛物线 有两个公共点。则实数 为.
4．答案： 或
简解：将圆 与抛物线 联立，消去 ，
得
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
或 解之
5．若曲线 与直线 +3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是.
5．答案：
（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当 =λ 时，求λ的最大值.
（17题图）（18题图）
18．（满分10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足 （如上图）．
（Ⅰ）求 得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
20．（满分12分）设A、B是椭圆 上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定 的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的 ，使得A、B、C、D四点在同一ห้องสมุดไป่ตู้圆上？并说明理由.
解析几何综合题
1． 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则 的最大值是．
4．若圆 与抛物线 有两个公共点。则实数 的范围为.
5．若曲线 与直线 +3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是.
6．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.
7．经过两圆（x+3）2+y2=13和x+2（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程为____________
11．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）
A.椭圆B.AB所在直线
C.线段ABD.无轨迹
12．若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则 的最小值为（）
A.1B.－1
C.－ D.以上都不对
13已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆 + ＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝ 时，△F1PF2的面积最大，则有（）
（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0.
令Δ<0得m2+n2<3.
又m、n不同时为零，
∴0<m2+n2<3.
由0<m2+n2<3，可知|n|< ，|m|< ，
再由椭圆方程a= ，b= 可知公共点有2个.
3.P是抛物线y2=x上的动点，Q是圆(x-3)2+y2=1的动点，则｜PQ｜的最小值
为.
3．答案： -1
（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.
（1）求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.
16．（满分10分）如下图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.
∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上.
又已知圆心在直线2x－y－7=0上，
（1）证明： + = ；（2）当a=2p时，求∠MON的大小.
（15题图）（16题图）
17．（满分10分）已知椭圆C的方程为 + =1（a>b>0），双曲线 － =1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）
A.m=12，n=3B.m=24，n=6
C.m=6，n= D.m=12，n=6
14.P为双曲线C上一点，F1、F2是双曲线C的两个焦点，过双曲线C的一个焦点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是( ) 12.
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线
三、解答题
15．（满分10分）如下图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）
1． 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则 的最大值是．
2．若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；
以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆 + =1的公共点有_______个.
3.P是抛物线y2=x上的动点，Q是圆(x-3)2+y2=1的动点，则｜PQ｜的最小值为.
19．（满分12分）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.
（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0>3p；
（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0<p<1时，求 + +…+ 的值.
8.双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是___________.
9．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是___________.
10．设P1（ ， ）、P2（－ ，－ ），M是双曲线y= 上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=2 ；②以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于 |MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.
1答案：4
简解： ≤
2．若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆 + =1的公共点有____________个.
2答案：0<m2+n2<3；2
简解：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得
简解：将曲线 转化为 时考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线 平行的直线与双曲线的位置关系。
6．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________.
6．答案：（x－2）2+（y+3）2=5 5．
简解：∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），