一次函数知识点复习(详解加练习)

j

距离(km)

时间1513

121110.5O 15

30一次函数复习

一、 变量与函数

①函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与

其对应，那么x 是自变量，y 是x 的函数 ②函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法 ③会求函数自变量的取值范围。

④函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于实际，又服务于实际，学会利用函数图象研究函数的性质。

【例题讲解】

例1、学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费，现乙复印社表示，若学校先按月付给200元的承包费，则可按每100页15元收费。设复印页数为x 页。 （1）分别写出甲复印社收费y 1（元）、乙复印社收费y 2（元）与x 的函数关系式。 （2）请你选择：

①复印页数是多少时，选择甲、乙复印社收费相同？ ②复印页数是多少时，选择甲复印社收费较少？ ③复印页数是多少时，选择乙复印社收费较少？

例2、学校阅览室有能坐4 人的方桌，如果多于4 人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6 人，如图所示，

请你结合这个规律，填写下表：

例4、地壳的厚度约为8到40km ，在地表以下不太深的地方，温度可按y ＝3.5x ＋t 计算，其中x 是深度，t 是地球表面温度，y 是所达深度的温度．

（１）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （２）如果地表温度为2℃，计算当x 为5km 时地壳的温度．

例5、下列各曲线中不能表示y 是x 的函数是（ ）。

y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家。根据这个图象，请你回答下列问题： ①小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ ②何时开始第一次休息？休息时间多长？ ③小强何时距家21㎞？（写出计算过程）

O x(吨)

y(元)

856.33.6例7、某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某市居民每月交水费y （元）与水量x （吨）的函数关系如图所示，请你通过观察函数图象，回答自来水公司收费标准：若用水不超过5吨，水费为 元／吨；若用水超过5吨，超过部分的水费为 元／吨。

例8、某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），

并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出.那么该倒置啤酒瓶内水面 高度h 随水流出的时间t 变化的图象大致是 （ ）

A. B. C. D.

例9、如图，在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从B 点运动到C 点，设BP=x ，四边形APCD 的

面积为y .

⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围；

⑵ 说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5？

例10、一次函数y=kx+4的图象经过点（－3，－2）. （1）求这个函数表达式； （2）画出该函数的图象．

（3）判断（－5，3）是否在此函数的图象上；

1、从A 地向B 地打长途电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若通话t 分钟（t ≥3），则需付电话费y （元）与t （分钟）之间的函数关系式是 。

2、函数

y=

x -2

自变量x 的取值范围是_________. 3、在43

2

-=

x y 中，当y=-6时，x ＝ 4、有边长为1的等边三角形卡片若干张,使用这些三角形卡片拼出边长分别是2、3、4…的等边三角形(如图).根据图形推断每个等边三角形卡片总数S 与边长n 的关系式 .

P x

O

5、）

A ．

B ．．

6、如图，一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，聪明的乌鸦沉思一会后，便衔来一个个小石子（大小不一样）放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x ，瓶中水位的高度为y.下列图象中最符合故事情景的是( )

7、由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万米3)与干旱的时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A ．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米3

B ．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3

C ．干旱开始时，蓄水量为200万米3

D ．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3

8、某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。

（1）分段写出该单位水费y （元）与每月用水量x （吨）之间的函数关系式： ①用水量小于等于3000吨 ；

②用水量大于3000吨 。 （2）某月该单位用水2800吨，水费 元。 （3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？

9、.随着网络时代的到来，很多家庭都接入了网络，电信局规定了拨号入网两种收费方式，用户可以任选其一：A ：计时制：0.05元／分；B ：全月制：54元／月（限一部个人住宅电话入网）。此外B 种上网方式要加收通信费0.02元／分。

①某用户某月上网的时间为x 小时，两种收费方式的费用分别为1y （元）、2y （元），写出1y 、2y 与x 之间的函数关系式。

②在上网时间相同的条件下，请你帮该用户选择哪种方式上网更省钱？

10、在右图中作出函数y ＝2x ＋6的图象，利用图象解答下列问题： ①求方程2x ＋6＝0的解； ②求不等式2x ＋6＞0的解； ③若－1≤y ≤3，求x 的取值范围。

11、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）． (1)小强让爷爷先上多少米？

(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？

(3)小强经过多少时间追上爷爷?

12、小明的父亲饭后散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟的报纸后，用15分钟返回家中，下列图形中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是（ ）

13、.将长为30cm ，宽为10cm 的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部分的宽为3cm .设x 张白纸粘合后的总长度为ycm ,

二、 正比例函数与一次函数图象及性质

1、正比例函数定义：形如y ＝kx (k ≠0)的函数；性质;当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时，

y 随x 的增大而减小；图象：经过原点的一条直线。

2、一次函数定义：形如y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)的函数；性质：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大， 当k ＜0时，y 随x 的增大而减小

注 ① 一次函数一般式中：k 决定图象的上升还是下降；（k ＞0上升，k ＜0下降）（从左往右）

b 决定与y 轴的交点。b ＞0交正半轴，b ＜0交负半轴。

②若果两个函数的k 值相同，但b 不同，那么这两个函数图象互相平行，反之亦然。

3、学会用待定系数法求函数关系式法解一次函数解析式。

【例题讲解】

例1、若函数y=（2m+1）x 2

+（1-2m ）x （m 为常数）是正比例函数，则m 的值为______________。

例2、下列函数（1）y ＝x ；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝kx ；(4)y ＝x 2－1; x 中，是正比例函数的有___________个。 例3、若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个正比例函数的解析式是__________________________。

例4、若函数2

8

(3)m y m x -=-是正比例函数，则常数m 的值是_________________。

例5、已知11+-x y 与成正比例关系，且当51==y x 是，。

（1） 求x y 与的函数关系式；（2）画出此函数的图象。

例6、一次函数y=2x-3的图象不经过的象限是_______________________。 例7、写出一次函数y=-2x+3的图象上的一个点的坐标是：____________. 例8、如果一次函数y=kx+b 的图象如右图所示，那么k______0，b______0.

例9、把直线y=-2x 沿y 轴向上平移2个单位长度，所得直线的函数关系式为___________. 例10、点A （a ，b ），Ｂ（ｃ，ｄ）在一次函数y=－2x ＋b 图象上，且a ＜b ，那么c ＿＿b(“＜”、“＞”或“＝”). 例11、如果直线b ax y +=经过一、二、三象限，那么ab ____0 (“＜”、“＞”或“＝”). 例12、已知直线y=kx+b 不经过第三象限则下列结论正确的是（ ）

A ．k ＞0, b ＞0;

B ．k ＜0, b ＞0;

C ．k ＜0, b ＜0;

D ．k ＜0, b ≥0 例13、下列函数中，y 随x 的增大而减小的有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

例14、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )

(A) (B) （C ）

A ．

B ．

C ．

D ．

例15、当00>

A. B. C. D.

例16、已知一次函数)4()36(-++=n x m y

（1） 当m_______时，y 随x 的增大而减小；

（2） 当m_____，n________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴的下方。 （3） 当m_______，n______时，函数图像过原点。

例17、已知直线y kx b =+经过点（1，2）和点（1-，4），求这条直线的解析式

例18、. 有一条直线y=kx+b ，它与直线1

32

y x =+交点的纵坐标为5，而与直线y =3x -9的交点的横坐标也是5.求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.

例19、已知，直线y =2x +3与直线y =-2x -1. （1）求两直线与y 轴交点A ，B 的坐标; （2）求两直线交点C 的坐标; （3）求△ABC 的面积.

x y )21(-=1x

y +-=x

y -=612+-=x

y

例20、某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示曲线: (1)分别求出21≤t 和2

1

≥t 时,y 与t 之间的函 数关系式；

(2)据测定:每毫升血液中含药量不少于4微克 时治疗疾病有效,假如某病人一天中第一次服药 为7:00,那么服药后几点到几点有效?

例21、2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港． （1）哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ （2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？

【相关练习】

1、若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是______________。

2、若函数y= －2x

m+2

是正比例函数，则m 的值是 .

3、已知一次函数y ＝kx －5，请你补充一个条件 ，使y 随x 的增大而减小。

4、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是

5、点（－3，a ）在一次函数y ＝－2x －6图象上，则a= .

6、一次函数y ＝4－x 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 .

7、.函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范是______________。 8、若直线y=kx+b 平行直线y=3x+2，且过点（2，-1），则k=______ ,b=______ . 9、两直线y=x-1与y=-x+2的交点坐标

10、将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y ＝-x -5向上平移5个单位，

得到直线 .

11、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k 、b 的符号是( )

(A) k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0

12、下面函数图象不经过第二象限的为 （ ）

(A) y=3x+2 (B) y=3x －2 (C) y=－3x+2 (D) y=－3x －2 13、已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=- 1

2

x+2上，则y 1 y 2大小关系是( )

（A ）y 1 >y 2 （B ）y 1 =y 2 （C ）y 1

A 、±3

B 、3

C 、±4

D 、

4

时间/时

16

4020

)

15、已知一次函数y =（m +2）x +（1－m ），若y 随x 的增大而减小，且此函数图象与y 轴的交点在x

轴的上方，则m 的取值范围是（ ）

A. m >－2

B. m <1

C. m <－2

D. m <1且m ≠-2

16、．若一个函数b kx y +=中, y 随x 的增大而增大,且0

17、函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

A. B. C. D.

18、如图，OA 、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数， 图中S 和t 分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者比 慢者每秒快 （ ） A. m 1 B. m 5.1 C. m 2 D. m 5.2

19、.已知函数y=(2m+1)x+m -3

(1)若函数图象经过原点,求m 的值

(2) 若函数图象在y 轴的截距为－2，求m 的值 （3）若函数的图象平行直线y=3x –3，求m 的值

（4）若这个函数是一次函数,且y 随着x 的增大而减小,求m 的取值范围.

20、已知一次函数图象经过（3，5）和（-4，-9）两点，（1）求此一次函数解析式；（2）若点在（a ，2）函数图象上，求a 的值。

21、将函数y ＝2x ＋3的图象平移，使它经过点(2,－1)．求平移后得到的直线的解析式．

22、已知直线l 与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=－x+2?的交点的纵坐标为1，求直线l 的

函数关系式

23、已知一次函数y =k x +b 的自变量的取值范围是―3≤x ≤6，相应的函数值的范围是―5≤y ≤―2，求这个函数的解析式.

24、如图，已知直线1:23l y x =+，直线2:5l y x =-+，直线1l 、2l 分别交x 轴于B 、C 两点，1l 、2l 相交于点A 。 (1) 求A 、B 、C 三点坐标；

(2) 求△ABC 的面积。

25某医药研究所开发了一种新药，?在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y(ug )随时间x(h)?的变化情况如图所示．

(1) 当成人按规定剂量服药后_______h ，血液中含药量最高，达每 毫升______ug ，接着逐步衰减．

(2)当成人按规定剂量服药后5h ，血液中含药量为每毫升________ug ． (3)求当x ≤ 2时，y 与x 之间的函数关系式． (4)求当x ≥ 2时，y 与x 之间的函数关系式是．

(5)若每毫升血液中含药3ug 或3ug 以上时，治疗疾病有效，?求有效时间共有多长．

三、用函数观点看一次方程与一次不等式（组）

1、函数与方程(组)、不等式之间的关系：当函数值是一个具体数值时，函数关系式就转化为方程(组)：当函数值是一个范围时，函数关系式就转化为不等式；两直线的交点坐标就是二元一次方程组的解

2、一次函数的实际应用 【例题讲解】

例1、一次函数y ＝4－x 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 .

例2、画出函数26y x =+的图象，利用图象：（1）求方程260x +=的解；（2）求不等式26x +＞0的解；（3）若

13y -≤≤，求x 的取值范围。

例3、如图，直线与y 轴的交点是（0，－3）,则当x<0时，

A. y<0

B. y<－3

C. y>0

D. y>－3

例4、已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组30

220

x y x y --=??

-+=?的解是________．

例5、已知一次函数y ＝－3x ＋6。

(1)x______时，y ＜0；x______时，y ＝0；x______时，y ＞0。 (2)若－3≤ x ≤ 3,则y 的范围是______ ___。

例6、如图，是一次函数123-=x y 的图像，观察图像思考：

当0=y 时，=x 。由此可知方程0123=-x 的解为 。 例7、如图，直线l 是一次函数b kx y +=的图象，观察图象，可知 （1）=b ；=k 。（2）当2>y 时，x 。 例8、右图中的两条直线1l 、2l 的交点坐标是 ， 可以看作方程组: 的解。

例9、已知直线y ＝x －3与y ＝2x ＋2的交点为（－5，－8），则方程

组30220x y x y --=??-+=?

的解是________．

例10、如图14－105所示，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3

P (－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是 ．

例11、利用函数的图象，说明方程组?

??+-=-=12

2x y x y 的解。

例12、用画函数图象的解法解不等式：5x ＋4＜2x ＋10

例13、下图中，1l 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，

2l 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图中信息求出：

（1）直线1l 对应的函数表达式是 ； 直线2l 对应的函数表达式是 。

（2）若该公司要赢利（收入大于成本），则x ；

若公司亏损（收入小于成本），则x 。 (3) 若该公司要赢利2000 元，则销售量至少要＿＿＿＿吨。

例14、某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶，解答下列问题：

（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；

（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？