随机过程第4章离散部分复习题与参考答案

大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案

主讲教师：何松华 教授

30．设X(n)为均值为0、方差为

2

的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线

性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：

2

[()()](0)E X n Y n h σ=，22

20

()Y n h n σσ

∞

==∑

证：根据离散白噪声性质，220

()[()()]()0

X m R m E X n m X n m m σ

σδ⎧==+==⎨

≠⎩ 0

()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞

==⊗=-∑

220

[()()]{()()()][()()]()

()()()()(0)

m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞

==∞∞

===-=-===∑∑∑∑

1212122

2

11220

2

1

2

1

2

212100

00

[()]{()()()()]

[()()]()()[()()]()

Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσ

δ∞∞

==∞∞∞∞

======--=

--=-∑∑∑∑∑∑

(对于求和区间的每个m 1,在m 2的区间存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)

12

2

2110

()()()m n h m h m h n σ

σ

∞

∞

====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为

2

的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及

h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求W

2。

解：该级联系统的单位脉冲响应为

121

2

1

1

1

00()()()()()()()

1(/)()

1/n m

m m m m

n n n n

n

n m m n n

m m h n h n h n h n m h m a

u n m b u m b b a a

b

a b a a u n a b a a b

∞∞

-=-∞=-∞+++-===⊗=

-=---⎛⎫

====

⎪--⎝⎭

∑∑∑∑

参照题30的结果可以得到

2

11

22

22

2211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)

n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞

∞

∞

+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑

32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为

2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。

解：根据离散时间随机过程通过离散时间线性系统理论，有

122

1

12121200

2122100

()()()()

[()]Y X

m m m m

X

m m R m R

m m m h m h m m m m m a m a σ

δ∞∞

==∞

∞

--===

-+=

-+∑∑∑∑

注：对比因果连续系统的输出过程与输入过程相关函数的关系

12120

()()()()Y X R R h h ττττττ∞

∞

=-+⎰

⎰

不妨设0m ≥，则只有当m 1

m 时，求和区间存在脉冲点21m m m =-，因此

1

1

11111()2

11

222211()()[]

m m m Y X m m m m m X m m

m m

R m m m m a a a m a m m a σσ∞

---=∞

∞

--===

-=-∑∑∑

令：1

1

1121

1

()m m m m

m m

x m a

m q

∞

∞

-===

=

∑∑，则

111

2

(1){}{}1(1)

m m m m m m d d q mq m q x q q q dq dq q q +∞=--=⨯=⨯=--∑ 令：1

1112

221

1

()

m m m m

m m

y m

a m

q ∞

∞

-===

=

∑∑，则

1

111222122

3

(1){}{}

(1)(221)(21)(1)m m m m m m m m d d mq m q y q m q q dq dq q m q m m q m m q

q +∞=++--=⨯=⨯----+-+=

-∑

2212221

2

32

1

2

42

223

23

(221)(21)(1)()[](1)(1)(1)(1)(1)(1)

(1)(1)m m m m m m

Y X m m m

m

X X m q m m q m m q m q m m q R m a q q m q

m q

a m a m a a q a σσσ+++++----+-+--=---+--+--==--