九年级数学第二章单元备课
北师大版九年级数学下册第二章二次函数(同步+复习)精品串讲课件
解： (1) y x(20 2 x)
2 x 20 x (o<x<10)
2
(2) y 2 3 20 3 42m
2
【练习】矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是 BC上一点（P不与B重合），M是DB上一 点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积 为y，求 y 与x之间的函数关系。
x＞ 0 y随x的增
x＜ 0 y随x的增
大而增大
y=x2
向上
当x＝0， y最小＝0
大而减小
左减
右增
y轴
（0，0）
y随x的增 y=-x2
向下 当x＝0， y最大＝0 大而增大
y随x的增
大而减小
左增
右减
联系
二者关于x轴对称.
【例2】变式训练，巩固提高
1．在二次函数y=x2的图象上，与点A(-5，25) 对称的点的坐标是（ 5，25 ）． 2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y= -x2上， 且x1 ＞ x2＞0，则y1_ _y2 . 3．设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的 函数，该函数的图象是下列各图形中（ C ）
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
2
(2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时 y是x的二次函数
【练习2】 关于x的函数 y (m 1) x 次函数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m
是二
解得，m 2
m2 m 2 m 1 0
当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
思索归纳 定义中应该注意的几个问题:
2021-22学年江苏九年级数学上册单元复习第二章 圆 【单元复习课件】
知识 大 全
例：如图所示，在正六边形ABCDEF中，已知AB ＝10，求这个正六边形的半径、周长、面积.
3
正多边形的画法
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3
正多边形的画法
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1 弧长公式
2.7 弧长及扇形面积
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2 扇形及扇形面积
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1 圆锥的侧面展开图
2.8 圆锥的侧面积
若作一个圆，使点A、C在圆上，点B在圆内； 若作一个圆，使点B、C在圆上，点A在圆外. 综上，故选B.
2 三角形的外接圆
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经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示：
2 三角形的外接圆
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锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三
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2 圆周角定理及圆周角定理的推论
1. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 2. 同弧或等弧所对的圆周角相等； 3. 在同一个圆中，同弦所对的圆周角相等或互补； 4. 直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径； 5. 相等的圆周角所对的弧相等.
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1 直线与圆的位置关系
知识 大 全
判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法： （1）根据直线与圆的公共点的个数判断；
（2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关 系判断.
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2 切线的判定定理与切线的性质定理
1. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法： （1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； （2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切； （3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
北师大版九年级数学上册：第二章《一元二次方程》教案
第二章一元二次方程1认识一元二次方程第1课时一元二次方程的定义1．理解和掌握一元二次方程的定义，会判断一个方程是不是一元二次方程．2．了解一元二次方程的一般形式、二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数．3．能根据具体情境，列出一元二次方程．重点理解和掌握一元二次方程的相关概念．难点能根据具体情境，列出一元二次方程．一、情境导入课件出示教材第31页图2－1，提出问题：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？教师：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？让学生指出对应的三部分，引导学生分析所提问题满足的条件，列出相应的方程．二、探究新知1．教师：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？学生独立完成，找出等式．教师：观察等式102＋112＋122＝132＋142，你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？学生尝试解决，在难以找到的情况下，归结为方程去解决．2．课件出示教材第31页图2－2，提出问题：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m．那么梯子的底端滑动多少米？引导学生设未知数，列出适合条件的方程．3．教师：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8－2x)(5－2x)＝18，x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2，(x＋6)2＋72＝102.教师：这些方程有哪些共同特点？类比一元一次方程的定义，你能总结出一元二次方程的定义吗？学生小组讨论，派代表陈述观点，教师进一步讲解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数为2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项，a为二次项的系数，b为一次项的系数．三、举例分析例1把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．例2从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．学生独立完成，教师点评．四、练习巩固教材第32页“随堂练习”第1题．五、小结1．通过本节课的学习，你学会了什么？还有哪些困惑？2．一元二次方程的定义是什么？六、课外作业教材第32页习题2.1第1，2题．本节课通过丰富的问题情境引入一元二次方程的定义，学习中注意深刻理解定义的内涵：一元二次方程的组成；一元二次方程的成立条件等．在教学中，让学生经历提出问题到解决问题的过程，体会其中的数学思想方法．教学中有意识地提高学生对实际问题和方法的理解，鼓励学生从多角度思考问题，这有利于提高学生的思维能力和解决问题的能力．第2课时用估算法求一元二次方程的近似解1．能根据实际问题求一元二次方程的近似解．2．经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力．3．进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，体验学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识．重点经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解．难点探索一元二次方程的近似解．一、情境导入教师：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：(8－2x)(5－2x)＝18，即2x2－13x＋11＝0；(x＋6)2＋72＝102，即x2＋12x－15＝0.上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中x的值吗？这节课我们一起来研究一元二次方程的解．二、探究新知教师：对于前一节课第一个问题，你能设法估计四周末铺地毯部分的宽度x(m)吗？课件出示一元二次方程(8－2x)(5－2x)＝18，提出问题：(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．(2)根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？(3)(4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．分析：因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0；学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4或当x大于2.5时，将分别使地毯的长或宽小于0，不符合实际情况；学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x＝1时，代数式2x2－13x＋11的值等于0；所求的宽度为1 m.教师：在前一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，把这个方程化为一般形式为x2＋12x－15＝0.引导学生思考以下问题：(1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？(4)x的整数部分是几？十分位是几？学生思考后指名回答，教师进一步讲解：在此题中，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC＝6 m，而BD＜10 m，因此CD＜4 m．所以x的取值范围是0＜x＜4.学生完成下面的表格：教师：，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是－2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大．因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间．从而确定x的整数部分是1.教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解．学生可能有以下的做法．甲同学的做法：所以1＜x＜1.5.进一步计算：所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.注意：对于这两种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较．教师：在解决某些实际问题的时候，可以根据实际情况确定出方程的解的大致范围，进而估算出一元二次方程的近似根．一般采用“夹逼法”．采用“夹逼法”求近似值的一般步骤：(1)将方程变为一元二次方程的一般形式；(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围；(3)根据方程的解的大致范围，在这个范围内取一个整数值，然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证，看是否能使方程左边代数式的值为0，如果为0，则这个数是方程的解；如果不为0，则再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数，这个数就是方程的解的整数部分；(4)保留整数部分不变，小数部分可参照整数部分的方法进行，以此类推可得出该方程更准确的近似根．三、练习巩固五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和．你能求出这五个整数分别是多少吗？四、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．利用“夹逼法”求近似解的一般步骤是什么？五、课外作业教材第35页习题2.2第1～3题．本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型，体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念．学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯．本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，在此过程中，教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学．2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程1．理解配方法的意义，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．让学生在独立思考与合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．重点用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程． 难点了解并掌握用配方求解一元二次方程．一、复习导入1．如果一个数的平方等于4，则这个数是________，若一个数的平方等于7，则这个数是________．2．一个正数有几个平方根？它们具有怎样的关系？ 3．用字母表示完全平方公式．二、探究新知1．课件出示问题：(1)你能解哪些特殊的一元二次方程？(2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x 2＝5； 2x 2＋3＝5； x 2＋2x ＋1＝5； (x ＋6)2＋72＝102.(3)上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x(m )满足方程x 2＋12x －15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x 的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程困难在哪里？(合作交流)学生独立完成，讨论交流后发现第(3)问等号的左端不是完全平方式，不能直接化成(x ＋m)2＝n (n ≥0)的形式，教师引导学生思考如何解决这样的方程问题．2．课件出示：填上适当的数，使下列等式成立：x 2＋12x ＋________＝(x ＋6)2； x 2－6x ＋________＝(x －3)2；x 2＋8x ＋________＝(x ＋________)2； x 2－4x ＋________＝(x －________)2. 学生思考后指名回答．教师：上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x 2＋ax 的式子如何配成完全平方式？学生小组讨论交流，引导学生发现：要把形如x 2＋ax 的式子配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方，即加上⎝⎛⎭⎫a 22.三、举例分析例1 解方程：x 2＋8x －9＝0.(师生共同解决) 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x 2＋8x ＝9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得 x 2＋8x ＋42＝9＋42， 即(x ＋4)2＝25.两边开平方，得x ＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.例2解决梯子底部滑动问题：x2＋12x－15＝0.(仿照例1，学生独立解决)解：移项，得x2＋12x＝15.两边同时加上62，得x2＋12x＋62＝15＋36，即(x＋6)2＝51.两边开平方，得x＋6＝±51.所以x1＝51－6，x2＝－51－6，但因为x表示梯子底部滑动的距离，所以x2＝－51－6 不合题意舍去．所以梯子底部滑动了(51－6)米．教师：用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？小组合作交流，引导学生归纳：我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．四、练习巩固解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1；(4)x2＋2x＋2＝8x＋4.五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．什么叫配方法？3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？(1)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(2)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x＋h)2＝k(k>0)的形式；(3)用直接开平方法解变形后的方程．六、课外作业教材第37～38页习题2.3第1～3题．本节课在教学过程中，采用了由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比、合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究并发现结论，教师作为学生学习的引导者、合作者、促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅要教给学生知识，还要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程1．经历配方法求解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．2．经历用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．3．能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力．重点会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．难点能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．一、复习导入1．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么？ 2．填上适当的数，使下列等式成立： (1)x 2＋2x ＋________＝(x ＋________)2； (2)x 2－4x ＋________＝(x －________)2； (3)x 2＋________＋36＝(x ＋________)2； (4)x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2； (5) x 2－x ＋________＝(x －________)2.3．比较下列两个一元二次方程的联系与区别．(1)x 2＋6x ＋8＝0； (2)3x 2＋18x ＋24＝0.教师：同学们可以发现方程(2)的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，那么如何解这类方程呢？这节课我们一起来探究．二、探究新知 课件出示：解方程：3x 2＋8x －3＝0.教师：如何把这个方程转化为符合上节课解题的基本形式？学生：根据等式的性质，将方程两边同除以3就可以把这个方程化为二次项系数为1的一元二次方程．学生尝试解这个方程，教师板书规范解答过程． 解：方程两边都除以3，得x 2＋83x －1＝0.移项，得 x 2＋83x ＝1，配方，得x 2＋83x ＋⎝⎛⎭⎫432＝1＋⎝⎛⎭⎫432， 即⎝⎛⎭⎫x ＋432＝259. 两边开平方，得 x ＋43＝±53， 所以x 1＝13，x 2＝－3.三、举例分析例 一个小球从地面以15 m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10 m 高？解：根据题意得 15t －5t 2＝10.方程两边都除以－5，得 t 2－3t ＝－2， 配方，得t 2－3t ＋⎝⎛⎭⎫322＝－2＋⎝⎛⎭⎫322， ⎝⎛⎭⎫t －322＝14.两边开平方，得 t －32＝±12. 所以t 1＝2，t 2＝1.四、练习巩固1．教材第39页“随堂练习”．2．印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题．解：设猴子的总数是x ，由题意可得⎝⎛⎭⎫18x 2＋12＝x. 解得x 1＝16，x 2＝48.答：这群猴子可能是16只，也可能是48只． 五、小结1．用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？ 2．利用一元二次方程解决实际问题的思路是什么？六、课外作业1．教材第40页习题2.4第1，3题．2．一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p(毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系：p ＝0.01x 2＋0.05x ＋107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？3．用配方法探究方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)的解法．本节课作为用配方法求解一元二次方程的第二节课，主要是以习题训练为主．所以我依照书上的例题为重点展示了用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤；将书上的“做一做”转化成一个例题，让学生体会利用一元二次方程解决实际问题的意义；另外在作业中配套了一道血压方面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关．3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程1．能正确地推导出一元二次方程的求根公式，会用公式法解一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关的实际问题．2．理解判别式的概念，会用判别式判断方程的根的情况．3．体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风．重点用公式法解一元二次方程． 难点用配方法推导求根公式的过程．一、复习导入用配方法解下列方程：(1)2x 2＋3＝7x ；(2)3x 2＋2x ＋1＝0. 学生独立完成，指名板演．(1)2x 2＋3＝7x.解：将方程化成一般形式2x 2－7x ＋3＝0. 两边都除以一次项系数2，得x 2－72x ＋32＝0.配方，得x 2－72x ＋(74)2－4916＋32＝0，即(x －74)2－2516＝0.移项，得(x －74)2＝2516.两边开平方，得x －74＝±54，即x ＝74±54.所以x 1＝3，x 2＝12.(2)3x 2＋2x ＋1＝0.解：两边都除以一次项系数3，得x 2＋23x ＋13＝0.配方，得x 2＋23x ＋(13)2－19＋13＝0，即(x ＋13)2＋29＝0.移项，得(x ＋13)2＝－29.因为－29<0，所以原方程无解． 二、探究新知1．一元二次方程的求根公式课件出示：用配方法解方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 学生独立完成，并针对自己在推导过程中出现的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出一元二次方程的求根公式．解：两边都除以一次项系数a ，得x 2＋b a x ＋ca ＝0.教师：为什么可以两边都除以二次项系数a?学生：因为a ≠0.配方，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2－b 24a 2＋ca＝0，即(x ＋b 2a )2－b 2－4ac4a 2＝0.移项，得(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2.教师：现在可以两边开平方吗？ 学生：不可以，因为不能保证b 2－4ac4a 2≥0.教师：什么情况下可以两边开平方？学生讨论后回答：因为a ≠0，所以4a 2>0.要使b 2－4ac 4a2≥0，只要 b 2－4ac ≥0即可． 所以当b 2－4ac ≥0时，两边开平方，得 x ＋b2a＝±b 2－4ac4a 2. 所以x ＝－b2a ±b 2－4ac 2a ，x ＝－b±b 2－4ac2a.归纳：x ＝－b±b 2－4ac2a 称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．2．一元二次方程的判别式教师：如果b 2－4ac<0时，会出现什么问题？学生：方程无解．教师：如果b 2－4ac ＝0呢？学生：方程有两个相等的实数根．归纳：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)， 当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac<0时，方程没有实数根．教师：由以上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．三、举例分析例1 解方程：(1)x 2－7x －18＝0；(2)4x 2＋1＝4x.引导学生根据以下步骤解方程：①确定a ，b ，c 的值；②判断方程是否有根；③写出方程的根．例2 判断下列方程的根的情况： (1) 2x 2＋3＝7x ；(2)x 2－7x ＝20；(3)3x 2＋2x ＋1＝0；(4)9x 2＋6x ＋1＝0； (5)16x 2＋8x ＝3；(6) 2x 2－9x ＋8＝0.学生迅速演算或口算出b 2－4ac ，从而判断出根的情况．教师：第(3)题的判断，与第一环节中的第(2)题对比，哪种方法更简捷？ 教师：上述方程如果有解，请求出方程的解． 学生独立完成，教师板书第(1)题．解方程：2x 2＋3＝7x.先将方程化成一般形式，得2x 2－7x ＋3＝0. 确定a ，b ，c 的值 a ＝2, b ＝－7, c ＝3.判断方程是否有根 ∵b 2－4ac ＝(－7)2－4×2×3＝25>0， ∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝7±252×2＝7±54.写出方程的根 即x 1＝3，x 2＝12.教师：与第一环节中的第(1)题对比，哪种解法更简捷？ 四、练习巩固教材第43页“随堂练习”第1～3题． 五、小结1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是什么？ 2．如何判断一元二次方程的根的情况？ 3．用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4．你在解方程的过程中有哪些小技巧？六、课外作业1．教材第43页习题2.5第1～4题．2．一张桌子长4 m ，宽2 m ，台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌子上时，各边下垂的长度相同，求台布的长和宽．教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．本节课教师就根据学生的实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题．本节课不能仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力，帮助学生形成积极主动的求知态度．第2课时 用公式法解决一元二次方程的实际问题1．会用公式法解决一元二次方程的实际问题．2．通过一元二次方程的建模过程，体会方程的根必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法．3．通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性．重点会用公式法解决一元二次方程的实际问题． 难点能根据具体情境列出一元二次方程，体会方程的根必须符合实际意义．一、复习导入 教师：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫． 二、探究新知课件出示：在一块长16 m 、宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品．在学生展示作品后，教师提出问题：(1)怎样知道你的设计是符合要求的？请说明理由？(2)以上哪些图形可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？ 引导学生重点分析图⑤，图⑥，图⑦. 教师：如何设未知数？怎样列方程？ 学生独立思考，教师板书规范解题过程． 图⑤的解答：解：设小路的宽为x m ，由题意得 (16－2x)(12－2x)＝16×12×12.整理，得x 2－14x ＋24＝0. x 2－14x ＋49＝－24＋49， (x －7)2＝25. x 1＝12，x 2＝2.教师：你认为小路的宽为12 m 和2 m 都符合实际意义吗？ 图⑥的解答：解：设扇形的半径为x m ，由题意得 πx 2＝16×12×12πx 2＝96.x＝±96π≈±5.5.x1≈5.5，x2≈－5.5( 舍去)．指名板演图⑦的解题过程，教师点评．三、练习巩固在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？出示图②和图③提出问题：你认为哪一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？解：设金边的宽为x m，由题意得(90＋2x )(40＋2x) ×72%＝90 ×40.解得x1＝5，x2＝－70(舍去)．四、小结通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？五、课外作业教材第45页习题2.6第2～4题．本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题，以引导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识．在探究新知时，提出了这样的问题：在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进.4用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的概念．2．会用因式分解法求解一元二次方程．3．通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想．重点用因式分解法求解一元二次方程．难点理解因式分解法求解一元二次方程的基本思想．一、复习导入1．用配方法求解一元二次方程的关键是什么？2．用公式法求解一元二次方程应先将方程化为什么形式？3．选择合适的方法解下列方程：(1)x2－6x＝7；(2)3x2＋8x－3＝0.二、探究新知1．课件出示：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？学生独自完成，教师巡视指导，选择不同解法的学生板演． 学生A ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ，∴x 2－3x ＝0.∵a ＝1，b ＝－3，c ＝0， ∴ b 2－4ac ＝9. ∴ x 1＝0，x 2＝3.∴这个数是0或3.学生B ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ， ∴ x 2－3x ＝0. x 2－3x ＋(32)2＝(32)2，(x －32) 2＝94，∴ x －32＝32或x －32＝－32.∴ x 1＝3，x 2＝0.∴这个数是0或3.学生C ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ，∴x 2－3x ＝0. 即x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0. ∴x 1＝0，x 2＝3.∴这个数是0或3.学生D ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ，两边同时约去x ，得 ∴x ＝3，∴这个数是3. 教师：同学们用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题？你认为哪种方法更合适？为什么？学生讨论交流后回答，教师点评，明确学生C 的方法更合适，并进一步讲解： 如果a·b ＝0，那么a ＝0或b ＝0.这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x －3)＝0得到x ＝0和x －3＝0时，中间应写上“或”字．我们再来看学生C 解方程x 2＝3x 的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用因式分解法来解。
二次函数单元集体备课
九年级下册第二章《二次函数》单元备课【单元分析】课标要求：1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
3. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k=2)（-ahxy+的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
5.知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
教材分析：“二次函数”这章主要要求学生在掌握好原来的一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，进一步学习二次函数的初步知识。
本章采用由简入繁的方式对各种形式的二次函数进行了系统的学习。
尤其与旧教材不同的是，加入了函数的平移，从而对函数的图像进行了更深入的理解。
对二次函数的表达式问题中，要求了三种形式，而且对二次函数表达式的确定要求的也非常具体。
对二次函数与一元二次方程的关系中，也与旧教材有鲜明的对比。
在这一节中，一直采用探究的形式对一元二次方程的根的情况和二次函数进行对比、研究。
最后，对二次函数的应用部分，题目的设计充分体现了“数学源于生活又服务于生活”的这一原则。
【学情分析】学生知识与技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
【单元目标】1.知识与技能：要让学生掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。
北师大版九年级数学下册：第二章2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节实践活动课。
本节课通过实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材中给出了两个实例：制作轴对称图案和确定顶点式二次函数的图象，教师可以在此基础上进行拓展，让学生更好地理解二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有了初步的了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题时，往往因为不能将实际问题与数学知识很好地结合起来而遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
2.使学生掌握利用二次函数解决实际问题的方法，提高学生的数学素养。
3.培养学生合作学习、交流分享的习惯，增强学生的团队意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，如何利用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数在实际生活中的应用。
2.利用多媒体课件展示实例，直观地展示二次函数的图象与性质。
3.学生进行小组讨论，培养学生合作学习的能力。
4.教师进行适时点拨，帮助学生突破思维瓶颈。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的实例，引发学生对二次函数应用的思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：让学生自主探究教材中的实例，理解二次函数在实际生活中的应用。
3.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的想法，培养学生的合作意识。
4.教师讲解：针对学生的讨论，教师进行讲解，引导学生正确运用二次函数解决实际问题。
北师大版初中九年级数学下册第二章集体备课教案教学设计含教学反思
第二章二次函数1 二次函数【知识与技能】使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围. 【过程与方法】复习旧知识，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力.【情感态度】通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心.【教学重点】对二次函数概念的理解.【教学难点】由实际问题确定函数解析式.一、情景导入，初步认知1.什么叫函数？它有几种表示方法？2.什么叫一次函数？（y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有的条件？k值对函数性质有什么影响？【教学说明】复习这些问题是为引入一元二次函数做铺垫，帮助学生加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a 进行比较.二、思考探究，获取新知问题1某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些树，以提高产量.但是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的阳光就会减少.根据经验，估计每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.①哪些是变量？哪些是自变量？哪些是因变量？②如果设多种x棵树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？③如果果园橙子的总产量为y，请你写出y与x之间的关系式.问题2教材29页的“做一做”设年利率为x，本息和为y.请你写出y与 x之间的关系式.教师提问：以上两个例子所列出的函数有什么特点，学生观察并讨论. 【教学说明】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察、思考、对比一次函数，归纳出二次函数的定义.【归纳结论】我们把形如y=ax2 +bx + c (其中a，b，c是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.三、运用新知，深化理解下列关系式中，一定属于二次函数的是（x为自变量）（）解析：紧抓二次函数的概念.答案：A2.m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2 + mx + (m+1)是以x为自变量的二次函数？分析：若函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，须满足的条件是m2-m≠0.解：若函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，则m2-m≠0.解得m≠0，且m≠1.因此，当m≠0，且m≠1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.3.(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm) 之间的函数关系.分析：（1)根据正方体表面积公式可得.(2)面积与半径有关，所以根据周长表示出半径就可求出面积.解：(1)S=6a2(a>0);2x（2）（0）y=x>4【教学说明】学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中.四、师生互动，课堂小结叙述二次函数的定义.二次函数定义：形如y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，叫作常数项.1.布置作业：教材“习题2.1”中第3、题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数. 通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！第1课时二次函数y=ax2的图象与性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解拋物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情景导入，初步认知(k≠0)图象是什么形状？有哪些一次函数y=kx+b和反比例函数xy=k性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知(1)试着画出y=x2的图象【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.(2)探究y=x2的性质【教学说明】让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.【归纳结论】它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点.拋物线顶点概念：拋物线与它的对称轴的交点叫做拋物线的顶点.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？【归纳结论】1.抛物线y=ax2（a≠0)的对称轴是狔轴，顶点是原点；a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；a<0时，抛物线y=ax2的开口向下.顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．三、运用新知，深化理解1.已知函数()27=-是二次函数且开口向下，则m=_____.2my m x-解析：它是二次函数，所以m2-7=2，得m=±3，且开口向下，所以m- 2<0，得m<2. 即:m=-3 答案：-3.2.已知拋物线y=ax2经过点A（-2，-8).(1)求此拋物线的函数解析式；(2)判断点B（-1，-4)是否在此拋物线上.分析：（1)把a的值求出即可；(2)把B的坐标代入，等式成立则在此抛物线上，否则不在.解：（1)把（-2，-8 )代入y=ax2中得：a=-2.∴解析式为：y=-2x2（2）把（-1，-4)代入y=-2x2中得-2×（-1）2=-2≠-4，∴等式不成立•点B（-1，-4)不在此拋物线上.【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调.四、师生互动，课堂小结1.拋物线y= ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点；2.a>0时，拋物线y = ax2的开口向上，顶点是拋物线的最低点a越大，拋物线的开口越小；3.a<0时，拋物线y = ax2的开口向下，顶点是拋物线的最高点a越大，拋物线的开口越大．1.布置作业：教材“习题2.2”中第1、2题.2.成练习册中本课时的练习.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.第2课时二次函数y=ax2+c的图象与性质【知识与技能】1.使学生能利用描点法正确作出函数y=x2+2与y=x2-2的图象.2.理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系.【过程与方法】让学生经历二次函数y=ax2+c性质探究及性质应用的过程.【情感态度】培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力.【教学重点】理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系【教学难点】理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系一、情景导入，初步认知1.二次函数y=x2的图象是，它的开口向，顶点坐标是；对称轴是，在对称轴的左侧y 随x的增大而，在对称轴的右侧y随工的增大而，函数y=x2在x= 时，取最值，其最值是 .2.二次函数y=x2十2的图象与二次函数y=x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？【教学说明】巩固旧知，引出新知识.二、思考探究，获取新知问题1对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？问题2你能在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=x2+2的图象吗？【教学说明】先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数图象.观察所画图象，有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？【归纳结论】函数y=x2+2的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向上移动了两个单位.完成下表：三、运用新知，深化理解1.（1）函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向平移单位得到；（2）y=4x2-11的图象向平移个单位得到.2.将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向平移个单位得到可y=2x2的图象；将y=x2-7的图象向平移个单位可得到y=x2+2的图象.3.拋物线y=-3x2+5的开口向，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧y随x的增大而，当x= 时，取得最值，这个值等于 .4.拋物线y=7x2-3的开口向，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x = 时，取得最值，这个值等于 .5.拋物线y =ax2+c与y=3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为 .解：1.（1）上 5 （2）下 112.下 4 上 7 上 93.下 y轴（0，5）增大减小 0 大 54.上 y轴（0，-3）减小增大 0 小 -35.y=3x2+1【教学说明】以上5题，是对本节课的知识点的复习巩固，让学生自主完成，教师做强调.四.师生互动，课堂小结本节课你有何收获？本节课你有何疑问1.布置作业：教材“习题2.3”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.函数的教学，尤其二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，除了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象的了解，加深他们对函数性质的了解外，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去.要利用一切可以利用的材料来帮助学生理解所学的知识.本节中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，给学生留下较深刻的印象，普遍能较好的掌握图象的平移规律.第3课时 二次函数y=a （x-h ）2的图象与性质【知识与技能】会画出y=a(x-h)2这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2的性质.一、情景导入，初步认知我们已经了解到，函数y=ax 2+c 的图象, 可以由函数y=ax 2的图象上下平移所得，那么函数2122y x =-（）的图象，是否也可以由函数212y x = 平移而得到呢？ y=a(x-h)2的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1:在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21+12y x =（），21-12y x =（）并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.观察并归纳，它们的图象有什么规律？【归纳结论】由抛物线212y x =向左、向右平移一个单位得到的抛物线分别是21+12y x =（），21-12y x =（） 【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.函数y=ax 2与y=a(x —2)（a <0）函数在同一坐标系里的图象大致是 .解析：根据a 的正负性确定它们的性质.答案：D2.二次函数y=2(x —1)2的图象可由y=2x 2的图象（ ）得到A.向左平移1个单位长度B.向左平移2个单位长度C.向右平移1个单位长度D.向右平移2个单位长度解析：左右平移是A的值发生改变.答案：C【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质.2.平移的方法.1.布置作业：教材“习题2. 4”中第1题（2)、(6)2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.第4课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质【知识与技能】会画出y=a(x-h)2+k这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.一、情景导入，初步认知上一节课，我们已经了解到，函数y=a(x-h)2的图象，可以由函数y=ax 2的图象左右平移所得，那么y=a(x-2)2+2的图象，是否也可以由函数y=ax 2平移得到呢？y=a(x-h)2+k 的图象是如何得到的呢？画图试一试， 你能从中发现什么规律？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21-12y x =（），21-1-22y x =（），并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.观察三个图象之间的关系.【归纳结论】由抛物线212y x =向右平移一个单位可得到抛物线21-12y x =（），再向下平移2个单位可得到21-1-22y x =（）. 探究2:请依据探究1中的发现，说说拋物线y=a(x-h)2+h 是由拋物线y=ax 2通过怎样的平移得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【归纳结论】 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+h 中k 的值；左右平移，只影响h 的值.在y=a(x-h)2+h 中：（1）当a >0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h ；（3）顶点坐标为（h ，k ）.【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.拋物线y=-3(x-2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为（ ）A.开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,4)B.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2，4)C.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）D.开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）解析：根据y=a(x-h)2+k 的性质可得出结果.答案：D2.把拋物线212y x 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得拋物线为（ ）解析：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+k 中k的值；左右平移，只影响h的值.答案：B【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.2.平移的方法.1.布置作业：教材“习题2.4”中第1题的(1)、(3)、(4)、(5)小题和第3题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象.2.使学生掌握用图象法或配方法确定拋物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，理解二次函数y=ax2+bx+c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质.【情感态度】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生运用数学的意识.【教学重点】通过配方确定拋物线的对称轴、顶点坐标.【教学难点】理解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质.一、情景导入，初步认知由前面的知识，我们知道函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？函数y=2(x-3)2+2具有哪些性质？【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用. 这几个问题可找层次较低的学生回答，由其它同学给予评价.二、思考探究，获取新知探究：你能确定y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质？学生讨论得到：通过配方把二次函数y=ax 2+bx+c 转化成y=a （x-h ）2+c 的形式，确定拋物线y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y=-2x 2+4x+6=-2(x 2—2x)+6=-2(x 2-2x+1-1)+6=-[2(x-1)2—2]+6=-2(x —1)2+8因此，拋物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，8). 你能从上图中总结出二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的性质吗？【归纳结论】 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴是2b x a=-,顶点坐标是24(24b ac b a a --，）【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论.三、运用新知，深化理解1.函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是（ ）A.（1，-4）B.（-1，2）C.（1，2）D.（0，3）解析：方法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.方法二：将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x- h)2+k 的形式，顶点坐标即为（h ，k ），y = x 2 - 2x + 3=（x-1）2+2，所以顶点坐标为（1，2).答案：C.2.抛物线2144y x x =-+-的对称轴是（ ）A. x=-2B. x=2C. x=-4D. x=4解析：直接利用公式.答案：B3.已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A. ab ＞0，c ＞0B. ab ＜0，c ＜0C. ab ＜0，c ＞0D. ab ＜0，c ＜0解析：由图象知，抛物线开口向下，∴a ＜0，抛物线对称轴在y 轴右侧，∴2b a- ＞0，又∵a ＜0，∴b ＞0，∴ab ＜0，抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）点，由图知，该点在x 轴上方，∴c ＞0. 答案选C.4.把拋物线y=-2x 2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A. y=-2(x-1)2+6B. y=-2(x-1)2-6C. y=-2(x+1)2+6D. y=-2(x+1)2-6解析：二次函数图象的变化.抛物线y=-2x 2+4x+1=-2(x-1)2+3的图象向左平移2个单位得到y=-2(x+1)2+3，再向上平移3个单位得到y=-2(x+1)2+ 6.答案 选C.【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知四、师生互动，课堂小结二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴是2b x a=-,顶点坐标是24(24b ac b a a --，）.1.布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的重点是用配方法确定拋物线的顶点和对称轴.为了学生能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路.这样这个重点和难点也就得到了自然地突破.3 确定二次函数的表达式【知识与技能】经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.【过程与方法】会用待定系数法求二次函数的表达式.【情感态度】逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.【教学重点】求二次函数的解析式.【教学难点】求二次函数的解析式.一、情景导入，初步认知问题1如何求一次函数的解析式？至少需要几个点的坐标？问题2 你能求二次函数的解析式吗？如果要求二次函数的解析式需要几个点的坐标？【教学说明】通过类比的思想，猜想求二次函数的解析式需要坐标点的个数.二、思考探究，获取新知问题已知二次函数的图象的顶点坐标为(1，-3)，且与y轴交于点（0,1），求该二次函数的表达式.分析：根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y=a(x-h) 2+k，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值.【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为顶点式.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标为〖JP〗（1，-3），则二次函数对应的表达式为（）A.y=x2-2x+2B.y=x2-2x-2C.y=-x2-2x+1D.y=x2-2x+1答案：B2.已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（-1，-2），求这个二次函数的表达式.分析：根据二次函数的顶点坐标设二次函数的表达式为y=a（x+1）2-2，再把（1，10）代入，求出a的值，即可得出二次函数的表达式.解：设二次函数的表达式为：y=a（x+1）2-2，把（1，10）代入表达式得10=4a-2，解得a=3，则二次函数的表达式为：y=3（x+1）2-2=3x2+6x+1.3.已知二次函数图象的顶点坐标是(2，-4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求二次函数的表达式.分析：根据顶点坐标公式可列出两个方程.解法1：设所求的函数表达式为y=a(x-h)2+k，依题意，得y=a(x-2)2-4因为二次函数图象与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以二次函数图象过点(0，4)，于是a(0-2)2-4＝4，解得a＝2.所以，所求二次函数的表达式为y＝2(x-2)2-4，即y＝2x2-8x ＋4.【教学说明】凡是能用“顶点式”确定的,一定可用“一般式”确定，进一步明确两种表达式只是形式的不同而没有本质的区别;在做题时,不仅会使用已知条件,同时要养成挖掘和运用隐含条件的习惯.四、师生互动，课堂小结二次函数y=ax2+bx+c可化成y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.1.布置作业：教材“习题2.6”中第1题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时从确定二次函数的表达式需要几个条件这个问题展开讨论，类比确定一次函数表达式的方法，引导学生思考、归纳确定二次函数表达式的方法.3 确定二次函数的表达式【知识与技能】学会运用待定系数法求二次函数表达式，熟练应用已知图象上三个点确定二次函数表达式.【过程与方法】进一步讨论确定二次函数表达式的方法，总结、归纳确定二次函数表达式的条件.【情感态度】培养学生合作学习、大胆创新的意识.【教学重点】求二次函数的解析式.【教学难点】求二次函数的解析式.一、情景导入，初步认知问题已知二次函数y=ax2+bx+c图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？【教学说明】采用启发性教学模式引导学生思考.二、思考探究，获取新知问题1.已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2），求这个二次函数的表达式分析：可设函数关系式为y=ax2+bx+c，根据二次函数的图象经过三个已知点，可得出一个关于a,b,c的三元一次方程组，从而可以求出a,b,c的值.【归纳结论】求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是确定a、b、c的值.由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数a,b,c.这种方法称为待定系数法.2.若二次函数的图象经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，求此二次函数的表达式.分析：由于已知二次函数的图象与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-1），然后把（0，1）代入求出a的值即可解：设二次函数表达式为y=a（x+1）（x-1），把（0，1）代入得a×1×（-1）=1，解得a=-1，所以二次函数表达式为y=-（x+1）（x-1），即y=-x2+1.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数的图象过点A（2，0），B（-1，0），与y轴交于点C，且OC=2.则二次函数的表达式为A.y=x2-x-2B.y=-x2+x+2C.y=x2-2-2或y=-x2+x+2D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2答案：C2.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A 点坐标为(-1，0)，点B(0，5)，另外二次函数的图象经过点(1，8)，求二次函数的表达式.分析：应用待定系数法求出a，b，c的值.解:依题意：二次函数的表达式为y=-x2+4x+53.已知二次函数图象的对称轴是直线x=2，且经过(3，1)和(0，-5)两点，求二次函数的表达式.分析：可设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，已知两点的坐标，可列两个方程，再根据对称轴x=2，列出一个方程，则可求出a,b,c的值.因已知对称轴，故也可直接设二次函数表达式为y=a（x-2）2+k，再代入两点，即可求出a、b、c的值.解法1：设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，因为二次函数的图象过点（0，5），可求得c=-5，又由于二次函数的图象过点（3，1)，且对称轴是直线x=2，可以得解法2:设所求二次函数的关系式为y=a(x-2)2+k，由于二次函数的图象经过（3，1）和（0，-5）两点，可以得到所以，所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3，即y=-2x2+8x-5.四、师生互动，课堂小结求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是确定a、b、c的值.由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数a,b,c.1.布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.4二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积问题和抛物线形问题【知识与技能】经历探究解决图形的最大面积问题与抛物线形问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.【过程与方法】经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.【情感态度】通过动手实践及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力.【教学重点】。
北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》复习教案
一、教学内容
北师大：
1.一元二次方程的定义与一般形式；
2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；
3.一元二次方程根的判别式及其应用；
4.一元二次方程的根与系数的关系；
5.实际问题中的一元二次方程及其应用。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体的高度，通过一元二次方程来计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数关系的问题？”（如面积和边长关系等）这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾一元二次方程的奥秘。
此外，小组讨论环节中，学生们能够积极参与，相互交流，分享自己的观点。但在讨论过程中，我也观察到有些学生过于依赖他人，缺乏独立思考。为了培养学生的独立思考能力，我将在今后的教学中，多设置一些开放性问题，引导学生自主探究，提高他们的问题解决能力。
在实践活动方面，学生们对实验操作表现出浓厚兴趣，能够积极参与。但在操作过程中，部分学生还显得有些手忙脚乱，对实验原理的理解不够深入。针对这一问题，我将在后续的教学中，加强对实验原理的讲解，让学生们在操作前能够充分理解实验的目的和步骤。
（二）新课讲授（用时10分钟）
九年级数学上册第二章复习(新北师大)全面版
第三环节：情境中合作学习
3、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B
两点出发分别沿AC，BC方向向点C A
匀速运动，已知点P移动的速度是
P
20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，
几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB
C
QB
5
面积的 8 ？
第三环节：情境中合作学习
共送了1640张照片，如果设全班有x名学生，则根据题
意，可列方程( B )
A.x(x+1)=1640
B. x(x－1)=1640
C.2x(x+1)=1640
D.x(x－1)=2×1640
第四环节：巩固提高
5、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批 商品，若每件商品售价为x元，则每天可卖出 (350－10x)件，但物价局限定每件商品加价不 能超过进价的20%，商店要想每天赚400元，需 要卖出多少件商品？每件商品的售价应定为多 少元？ 6、用一块面积为888cm2的矩形材料做一个无 盖的长方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽为 高的2倍，盒子的宽和高应为多少？
第三环节：情境中合作学习
1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔， 根据市场调查，如果以20元/支的价格销售， 每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上 涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种 钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？ 此时店主该进货多少？
分析
解答
第三环节：情境中合作学习
.
第四环节：巩固提高
3、王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有
到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手435
次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同 学共有x人，则根据题意，可列方程： x(x1) 435 . 4、初三、三班同学在临近毕业时，每一个2同学都将自
九年级上数学第二章知识点
九年级上数学第二章知识点数学是一门智力训练的学科，通过学习数学可以培养我们的逻辑思维能力和分析问题的能力。
九年级上数学的第二章主要包括了一些重要的知识点，下面我将逐一介绍和探讨。
1. 一元一次方程与一元一次方程组一元一次方程是数学中最基础的形式之一，形如 ax + b = 0。
在解一元一次方程时，我们可以通过移项、相消和代入等方法，找到方程的解。
而在解一元一次方程组时，我们需要将两个或多个方程联立，通过消元、代入和加减法等运算找到方程组的解。
2. 二元一次方程组二元一次方程组是由两个形如 ax + by = c 的方程组成，求解二元一次方程组有多种方法，包括消元法、代入法和加减法等。
通过解二元一次方程组，我们可以得到方程组的解集，通常是一个有序对。
3. 直角三角形和勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其两条边与直角的关系是十分重要的。
勾股定理是描述直角三角形边长之间关系的定理，即a² + b² = c²。
通过勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长，判断三角形是否为直角三角形。
4. 平行线和平行四边形平行线是指在同一个平面内不相交且不重合的线段，平行四边形则是由两组平行线所围成的四边形。
平行四边形有着一些特殊的性质，其中包括对角线的长度相等、对角线互相平分等角度等。
5. 梯形和等腰梯形梯形指的是两条平行边不等长的四边形，等腰梯形则是指有两边长度相等的梯形。
求解梯形和等腰梯形的面积时，我们需要根据梯形的性质利用底边长度和高的关系，通过公式计算出面积。
6. 圆的周长和面积圆是数学中的一个重要概念，它是由一个确定的中心点和到中心点的距离都相等的所有点组成的。
计算圆的周长时，我们需要利用圆的半径或直径与周长的关系；计算圆的面积时，则需要利用圆的半径或直径与面积的关系。
7. 圆内角和扇形面积圆内角是指圆上任意两条弦所夹的角，扇形是指由圆心和圆上两点所围成的面积。
计算圆内角的时候，我们需要利用弧所对应的圆心角与圆内角的关系；计算扇形的面积时，我们需要利用扇形的圆心角与圆的面积的关系。
初三数学备课组教研活动(3篇)
第1篇一、活动背景随着新课程改革的不断深入，初三数学教学面临着前所未有的挑战。
为了提高初三数学教学质量，加强备课组之间的交流与合作，我校初三数学备课组于2021年10月20日开展了教研活动。
本次活动旨在通过集体备课、教学研讨、经验分享等形式，提升备课组教师的教学水平和业务能力。
二、活动内容1. 集体备课（1）明确教学目标：本次集体备课以《九年级数学下册》第二章“圆”为例，要求备课组教师共同研讨本章节的教学目标、重难点，确保教学内容的科学性和合理性。
（2）优化教学设计：备课组教师针对本章节的教学内容，从导入、新课讲解、巩固练习、课堂小结等方面进行教学设计，力求使教学过程生动有趣、易于学生理解。
（3）资源共享：备课组教师将优秀的教学设计、课件、练习题等资源共享，为其他教师提供借鉴和参考。
2. 教学研讨（1）教学方法探讨：备课组教师针对本章节的教学方法进行研讨，分享各自的教学经验和心得，共同探讨如何提高课堂教学效果。
（2）教学手段创新：备课组教师探讨如何运用多媒体、网络等现代教育技术手段，丰富教学内容，激发学生学习兴趣。
（3）课堂管理策略：备课组教师交流课堂管理经验，探讨如何营造良好的课堂氛围，提高学生的学习积极性。
3. 经验分享（1）优秀教师经验分享：邀请具有丰富教学经验的教师分享他们的教学心得，为其他教师提供借鉴。
（2）优秀教学案例展示：展示备课组教师的教学案例，分析案例中的亮点和不足，为其他教师提供参考。
（3）教学反思与改进：备课组教师针对自身教学进行反思，总结经验教训，为今后的教学工作提供改进方向。
三、活动总结本次教研活动取得了圆满成功，达到了预期目标。
以下是本次教研活动的几点收获：1. 提高了备课组教师的教学水平和业务能力，为初三数学教学工作奠定了坚实基础。
2. 加强了备课组之间的交流与合作，促进了教师之间的共同成长。
3. 优化了教学设计，丰富了教学内容，提高了课堂教学效果。
4. 培养了教师的教学反思能力，为今后的教学工作提供了改进方向。
北师大版九年级上册数学课件 第二章 2
方程有两个不等的实数根
新课讲解
即
（2）a＝2，b＝
，c＝1.
Δ＝b2－4ac＝
方程有两个相等的实数根
－4×2×1＝0.
新课讲解
（3）方程化为5x2－4x－1＝0. a＝5，b＝－4，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0. 方程有两个不等的实数根
即
（4）方程化为x2－8x＋17＝0. a＝1，b＝－8，c＝17. Δ ＝ b2 － 4ac ＝ ( － 8)2 －
拓展与延伸
如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点出发沿边 AB向点B以1 cm/s的速度移Байду номын сангаас；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2
D
cm/s的速度移动，问几秒时△PDQ的面积为35 cm2?
谢谢 大家
新课讲解
知识点2 求根公式的应用
用求根公式解一元二次方程的一般步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式；
(2)确定公式中a，b，c的值； (3)求出b2－4ac的值； (4)若b2－4ac≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根
公式求解，当b2－4ac＜0时，方程无实数解．
新课讲解
典例分析
例
解方程：
即 x1＝x2＝
新课讲解
例2 用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0； （2） 2x2－2 2x ＋1＝0； （3） 5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x.
解：（1）a＝1，b＝－4，c＝－7.
确定a，b， c的值时，
要注意它 们的符号.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.
4×1×17＝－4<0. 方程无实数根．
(青岛版)九年级上册数学第二章《解直角三角形》教案：解直角三角形
教学顺序
能用锐角三角函数解直角三角形 直接存在直角三角形的解法 三角函数在解直角三角形中的灵敏运用 指点探求、协作交流 教具 学具 三角板
教员活动
先生活动
激
1、三角比的表示方法
情
导
入
认
出示学习目的
定
目
标
先生口答
终身口述目的， 其他生静听、体会
自学导航
快速高效阅读
派代表说明应用那 两个量可求另外三 个量。
师生互动
1、 在 Rt△ABC 中，∠C＝900,a＝12，c＝24，
解这个直角三角形。
1 题 5 号生板演完
成
拓
2〔1〕题 4 号生板
展
2 在 Rt△ABC 中，∠C＝900，
演完成
应
（1） c＝15，∠B＝600，求 a；
2〔2〕题 3 号生板
用
（2） ∠A＝300，a＝24，求 b，c
演完成
1、2 号生点评、互
改
各组针对出现效果
讨论、剖析
小结：指点生小结
生回忆浅谈收获
板书 课题 设计
2.4 解直角三角形 自学导航
教学 反思
板演
板演
板演
知识单一先生掌握的较好，能灵敏运用。但是边角之间转化先生灵
敏运用不太好。
自
1、在 Rt△ABC 中，共有六个量，三条边
主
a，b，c，三个角∠A，∠B，∠C，其中∠C 是 思索
探
的，其它的五个量都是未知的。
究
（1） ∠A，∠B，能求出其它的三个量 a，b， 探求
c 吗？
（2） 两条边的长，能求出其它的三个量吗？ 试写出解答格式
（3） 一角和一边，能求出其它的三个量吗？
九年级数学上册第二章复习教案
第二章一元二次方程(复习)教材的重点、难点重点：1、能从问题情境中提炼出有效的信息，并根据其中的关键数量关系建立起一元二次方程，并从中体会方程的模型思想。
2、在解决问题过程中，能运用所学知识探索多样化的解题策略，同时能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
难点：1、能独立寻某某际情景问题中各数据间所蕴涵的等量关系，并用代数式表示这些关系，从而找出解决问题的方法。
2、在用配方法、公式法、分解因式法解方程中，真正体会领悟“转化”这一数学思想方法。
教学过程：第3节公式法教学目标：1．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
2．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
教学分析及需要说明的地方：1、公式法实际上是配方法的一般化和程式化，它可以更为便捷的解一元二次方程。
由于学生已经有了一定的利用配方法解一元二次方程的经验，教学中可以引导学生自主探索一元二次方程的求解公式，若学生有一定的困难，可以适时地给予指导。
2、用公式法解方程时，步骤一定要详细，先写出a、b、c，防止会有一部分学生在把a、b、c带入求根公式时会把未知数x一同带入；再求b2﹣4ac的值，这时有三种情况，应给予学生必要的讨论和分析。
第4节分解因式法教学目标：1．会用分解因式法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题策略的多样化。
教学分析及需要说明的地方：1、在分析三个同学方法以前可以设置一个情境作为引例，以引起学生的好奇心和求知欲：一天，爸爸带5岁的小松去海豚表演馆看海豚表演，小松好奇的问爸爸正在表演的海豚几岁了，爸爸说：“你的年龄加某某豚的年龄的总数的平方恰好是你和海豚年龄和的9倍”．坐在旁边的一名中学生听到后，略加思考，就帮小松解决了这一问题，你知道那名中学生是怎样想的吗？第5节为什么是教学目标：1.通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.6 应用一元二次方程教案 (新版)北师大版
课题：2.6应用一元二次方程●教学目标：一、知识与技能目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
二、过程与方法目标：经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义。
三、情感态度与价值观目标：在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
●重点：能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
●难点：利用数学语言进行有条理的表达。
●教学流程：一、导入新课1、列方程解应用题的一般步骤要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是528cm3的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？列方程解应用题的一般步骤：（1）“审”，即审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；（2）“设”，即设 _______，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；（3）“列”，即根据题中的______关系列方程；（4）“解”，即求出所列方程的解；（5）“检验”，即验证是否符合题意；（6）“答”，即回答题目中要解决的问题.2、还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？（1）在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子低端下滑的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离与它相等呢？（2）如果梯子的长度是13米，梯子顶端与地面的垂直距离是12米，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？二、 新课讲解1、例题解析例1：如图2-8,某海军基地位于点A 处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B 的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D 位于AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向.一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航,一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1) 小岛D 和小岛F 相距多少海里?(2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里,例2、新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?三、学以致用如图，一艘巡洋舰从点A 出发，沿正南方向航行了半小时到达点B ，再沿南偏西60°方向航行了半小时到达点C ，此时测得码头D 在C 的正东方向，该巡洋舰的速度为80海里/时．（1）求点B 、D 之间的距离；（2）试判断CD 与AC 的数量关系.2.449利群商场销售某种洗衣机，每台进价为2500元，市场调研表明，当售价为2900元时，平均每天能售出16台，而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出8台，商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到10000元，每台洗衣机的定价应为多少元？四、课堂小结本节课选取了一些几何和现实生活中的题材,让同学们经历列一元二次方程解决问题的过程.当我们在建构方程数学模型,刻画现实世界、解决实际问题时,应注意哪些重要环节?1、整体地、系统地审清问题2、把握问题中的等量关系3、正确求解方程并检验解的合理性你还有哪些新的、有价值的收获吗?五、课堂拓展某省为解决农村用水问题，省财政部共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2009年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2011年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程的年平均增长率；（2）从2009年到2011年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？六、达标测评1、（2014年山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=152.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等于96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，若点P 从A 点出发，沿射线AC 方向以2cm/s 的速度匀速移动，点Q 从点B 出发沿射线BC 方向以1cm/s 的速度匀速移动，问几秒后，△PCQ 的面积为△ABC 的面积的4. 如图，某花园小区，准备在一块长为22m ，宽为17m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的人行小路（两条小路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2，求要修建的小路宽为多少米5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9cm ，BC=7cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 方向运动，如果点P ，Q 的运动速度均为1cm/s ．那么运动几秒时，它们相距5cm ？七、布置作业教材55页习题第1、2题。
九年级数学第二章知识点
九年级数学第二章知识点概述数学是一门既抽象又实际的学科，它拥有严密的逻辑和精确的计算方法。
九年级数学的第二章知识点是基础知识的拓展与延伸，包括了平面几何、立体几何，以及代数方面的相关内容。
在这一章中，学生将进一步探索几何形状和几何变换的性质，也会学习如何应用代数知识求解问题。
下面将介绍本章的几个重要知识点。
一、平面几何平面几何是几何学的基本分支，主要研究平面上的图形和性质。
本章涉及的平面几何知识点主要包括：1. 角的性质：包括角的定义、角的分类、角的度量等。
学生需要掌握角的度量方法，如度、弧度和角度符号。
此外，还要熟悉与角度有关的术语，如互补角、对顶角和余角等。
2. 三角形的性质：三角形是平面几何研究的重点之一。
本章主要涉及三角形的分类、角的性质、边的关系等。
学生需要熟练掌握等边三角形、等腰三角形和直角三角形的性质，以及三角形内角和外角的性质。
3. 相似三角形：相似三角形是几何学中的一个重要概念。
学生需要理解相似三角形的定义，以及相似三角形的判定、性质和应用。
对于相似三角形的比例关系和比值定理，学生需要掌握如何利用这些关系解决实际问题。
二、立体几何立体几何是研究空间内立体图形的形状、体积和表面积等性质的学科。
本章涉及的立体几何知识点主要包括：1. 立体图形的分类：学生需要了解不同种类的立体图形的特点和性质，如正方体、长方体、棱锥、棱台等。
重点掌握它们的平面展开图和视图。
2. 立体图形的体积和表面积：学生要学会计算不同形状立体图形的体积和表面积，掌握相关计算公式的推导过程并能熟练运用。
3. 空间几何变换：本章还包括了平移、旋转、镜像和拉伸等空间几何变换的概念和性质。
学生需要理解这些变换对图形的影响，并学会进行变换后的图形的判断和画出。
三、代数方面代数是数学的核心内容之一，也是数学中应用较为广泛的一门学科。
九年级数学第二章涉及的一些代数方面的知识点包括：1. 代数式的展开和因式分解：学生需要了解多项式的定义和性质，掌握多项式的加减和乘法运算法则。
北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》
北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》第5节．一元二次方程的根与系数的关系《教学设计》一、学生知识状况分析“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。
基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
二、教学任务分析本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。
根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。
这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。
同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
三、学习目标1、知识与技能：了解一元二次方程根与系数的关系。
2、过程与方法：通过一元二次方程根与系数关系的发现与推导，进一步培养分析、观察、归纳、猜想能力和推理论证的能力。
3、情感态度与价值观：激发学习兴趣，培养热爱数学、热爱生活的乐观人生态度。
四、学习重难点及方法学习重点：一元二次方程根与系数关系的推导。
学习难点：一元二次方程根与系数关系的灵活应用。
学习方法：小组互学——答疑导学——总结思学。
五、学习过程(一)、温故知新1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？2.如何用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？想一想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？(二）、探究新知阅读课本P49-P50的内容，并完成下列问题.1.算一算，解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.一元二次方程x1x2x1+x2x1·x2x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0（2）观察表中x1+x2与x1·x2的值，它们与一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？2.从上表中可以发现：如果 ax2+bx+c=0(a≠0)中，当Δ_________时,两个根分别为x1、 x2，那么这个一元二次方程的根与系数的关系是12cx xa(三)、形成性练习1. 已知一元二次方程 x2+3x+2=0 有两个实数根.则 a＝，b＝，c＝，且Δ= __________所以x1+x2＝＝；x1.x2= ＝ .2.若x1,x2是方程2x2+6x=8的两个根，求x1+x2与x1.x2的值(四)、巩固性练习1.若x1，x2是一元二次方程2x2-7x+4=0的两个根，则：x1+x2=_____,x1·x2=_____ .2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为 2 和 1 ，则：p =______, q=______.(五)、综合性练习1.已知一元二次方程x2-2x+k=0 的两个根互为倒数，求 k 的值.2.已知一元二次方程x2+2x+k+1=0有两实根为x1，x2..(1)求 k 的取值范围；(2)若x1+x2.-x1x2＜-1，且 k 为整数，求 k 的值.3.已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。
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第二章一元二次方程
教材分析
学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次的分式方程等知识，感受了方程模型的作用和价值，积累了一些利用方程解决问题的经验。
但方程模型是丰富多彩的，一元二次方程是以前学过的方程知识的延续和深化，它在数学中同样有着广泛的应用，它也是以后学习其他数学知识的基础。
本章总体设计思路，遵循了“问题情境——建立模型——拓展、应用”的模式，课本在内容上安排三部分：
1．从问题到方程：紧密联系实际，创设具有时代气息以及学生感兴趣的问题情境，通过丰富的实例，引出一元二次方程，展现一元二次方程是刻画现实世界的有效模型，让学生体会一元二次方程与现实世界的密切联系。
2．解方程：解决数学内部问题——解方程，主要让学生探索一元二次方程的解法，使学生在尝试、比较、探索等活动中，发现解一元二次方程的基本方法——直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，体会一元二次方程与一元一次方程知识的联系与转化，体会几种解法之间的相互联系。
3．用方程解决问题：设置了一些有一定挑战性和思考性的现实问题情境，通过解决这些丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，强化方程的模型思想，而且通过学生的自主探索研究，培养学生的分析问题、解决问题的能力，获得更多的解决问题的方法和经验，更好地体会数学的价值，同时也进一步使学生掌握好解方程的技能。
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．课时安排
本单元教学时间约需12课时，具体分配如下：
1 认识一元二次方程2用配方法解一元二次方程
3 用公式法解一元二次方程
4 用因式分解法解一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
6 应用一元二次方程
回顾与思考章节测试。