深圳武汉大学深圳外国语学校数学三角形填空选择达标检测(Word版 含解析)
三角形填空选择检测题(WORD版含答案)
三角形填空选择检测题（WORD 版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．在ABC 中，BAC α∠=，边AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，边AC 的垂直平分线交边BC 于点E ，连结AD ，AE ，则DAE ∠的度数为______.(用含α的代数式表示)【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B =∠BAD ，∠C =∠CAE ，进而得到∠BAD +∠CAE =∠B +∠C =180°－a ，再根据角的和差关系进行计算即可． 解：有两种情况：①如图所示,当∠BAC ⩾90°时，∵DM 垂直平分AB ，∴DA =DB ，∴∠B =∠BAD ，同理可得，∠C =∠CAE ，∴∠BAD +∠CAE =∠B +∠C =180°−α，∴∠DAE =∠BAC −(∠BAD +∠CAE )=α−(180°−α)=2α−180°；②如图所示,当∠BAC <90°时，∵DM 垂直平分AB ，∴DA =DB ，∴∠B =∠BAD ，同理可得，∠C =∠CAE ，∴∠BAD +∠CAE =∠B +∠C =180°−α，∴∠DAE =∠BAD +∠CAE −∠BAC =180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2．如图，在ABC ∆中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠：1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=________________．【答案】20202α【解析】【分析】 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知21211112222a A A A A a ∠=∠=∠=∠=，，…，依此类推可知2020A ∠的度数． 【详解】解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴11118022A ACD ACB ABC ∠=︒-∠-∠-∠ 1118018022ABC A A ABC ABC =︒-∠+∠-︒-∠-∠-∠（）（） 1122a A =∠=， 同理可得221122a A A ∠=∠=， …∴2020A ∠=20202α． 故答案为：20202α. 【点睛】 本题是找规律的题目，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时也考查了角平分线的定义．3．如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n+1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC 的好角.（1）如图2，在△ABC 中，∠B>∠C ，若经过两次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C 的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。
三角形填空选择检测题(Word版 含答案)
三角形填空选择检测题（Word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα∠的度数为______.(用含α的代数式表示)交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可．解：有两种情况：①如图所示,当∠BAC⩾90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°；②如图所示,当∠BAC<90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF=900，B为AE上一点，BG⊥AE于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60０，则∠AFG的度数是___________。
【答案】20°【解析】根据平行线的性质，可知∠A=∠AFG ，∠EBF=∠BFG＝60０，然后根据等腰三角形的性质，可知∠BDF=2∠A ，∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF ，因此可得∠AFG=20°. 故答案为：20°.3．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________．【答案】6【解析】∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和=1080°−360°=720°，设多边形的边数是n ，∴(n−2)×180°=720°，解得n=6.故答案为6.点睛：先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．4．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______．【答案】30°【解析】【分析】设较小的锐角是x ,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.【详解】设较小的锐角是x ，则另一个锐角是2x ，由题意得，x ＋2x ＝90°，解得x ＝30°，即此三角形中最小的角是30°.故答案为：30°.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.5．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ． 【答案】135【解析】解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°．点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．6．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD ＝__________.【答案】119°【解析】【分析】连接BD ，构△BCD 根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD 的度数.【详解】如图所示，连接BD ，∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°，∴∠BCD =180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°.故答案为：119°.【点睛】本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD ，构△BCD 是解题的关键.7．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×50°=100°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.8．如图，直线a∥b，∠l＝60°，∠2＝40°，则∠3＝______．【答案】80°．【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠4，再根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∵a∥b，∴∠4=∠l=60°，∴∠3=180°-∠4-∠2=80°，故答案为80°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．9．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．【答案】40°【解析】【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．故答案为40°．【点睛】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．10．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB,BC,AC的距离相等，连接BO，CO，则∠BOC=________．【答案】125°【解析】【分析】根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，即可求出答案．：∵点O到AB、BC、AC的距离相等，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴12OBC ABC∠=∠，12OCB ACB∠=∠，∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴1110552OBC OCB∠+∠=⨯︒=︒，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；故答案为：125．【点睛】本题主要考查平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）11．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F是BE的中点，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20【点睛】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用.12．一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．x>5B ．x<7C ．2<x<12D ．1<x<6【答案】D【解析】如图所示:AB=5，AC=7，设BC=2a ，AD=x ，延长AD 至E ，使AD=DE ，在△BDE 与△CDA 中，∵AD=DE ，BD=CD ，∠ADC=∠BDE ，∴△BDE ≌△CDA ，∴AE=2x ，BE=AC=7，在△ABE 中，BE-AB ＜AE ＜AB+BE ，即7-5＜2x ＜7+5，∴1＜x ＜6．故选D ．13．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点落到'C 、'D 处.已知20DAC ∠=，且''//C D AC ，则AEF ∠的度数为( )A ．20B ．35C ．50D ．70【答案】B【解析】【分析】依据C'D'//AC ，即可得到∠AHG=∠C′=90°，进而得出AGH 70∠=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，依据三角形外角性质得到1AEF GFE AGH 352∠∠∠===．【详解】如图，C'D'//AC ，，又DAC 20∠=，AGH 70∠∴=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，1AEF GFE AGH 352∠∠∠∴===， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．14．已知如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠BAC=60°，BO 、AO 分别平分∠ABC 和∠BAC ，求∠BCO 的大小（）A ．35°B ．40°C ．55°D ．60°【答案】A【解析】 分析:先根据三角内角和可求出∠ACB =180°-50°-60°=70°,根据角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等可得:点O 到AB 和BC 的距离相等,同理可得:点O 到AC 和BC 的距离相等,然后可得: 点O 到AC 和BC 的距离相等,再根据角平分线的判定可得:OC 平分∠ACB ,所以∠BCO =12∠ACB=35°.详解: 因为∠ABC=50°,∠BAC=60°,所以∠ACB=180°-50°-60°=70°,,因为BO，AO分别平分∠ABC和∠BAC,所以点O到AB和BC的距离相等,同理可得:点O到AC和BC的距离相等,所以点O到AC和BC的距离相等,所以OC平分∠ACB,所以∠BCO =12∠ACB=35°.点睛:本题主要考查三角形内角和和角平分线的性质和判定,解决本题的关键是要熟练掌握三角形内角和性质和角平分线的性质和判定.15．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则3的度数等于（）A．50°B．30°C．20°D．15°【答案】C【解析】【分析】根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．【详解】如图所示，∵AB∥CD∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，∴∠3=∠4-30°=20°，故选C.16．在下列图形中，正确画出△ABC的AC边上的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段，根据定义即可作出判断．【详解】解：△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段．根据定义正确的只有C．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，理解定义是关键．17．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米B．150米C．160米D．240米【答案】B【解析】【分析】由题意可知小华走出了一个正多边形，根据正多边形的外角和公式可求解.【详解】已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，可得多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故答案选B．【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟记公式是关键.18．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）．A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】A．∵2+3=5，∴不能组成三角形，故本选项错误；B．∵5+6=11＞10，∴能组成三角形，故本选项正确；C．∵1+1=2＜3，∴不能组成三角形，故本选项错误；D．∵3+4=7＜9，∴不能组成三角形，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．19．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．20．若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【解析】【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B．【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．。
深圳市外国语学校数学全等三角形单元复习练习(Word版 含答案)
深圳市外国语学校数学全等三角形单元复习练习(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）∥，1．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC++=____cm．∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PFPF AC【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．【详解】∥解：∵PD AB，PE BC∴四边形HBDP是平行四边形∴PD=HB∵ABC为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∥∵PE BC∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE是等边三角形，∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.3．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。
深圳深圳外国语学校数学三角形填空选择单元试卷(word版含答案)
深圳深圳外国语学校数学三角形填空选择单元试卷（word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．【答案】1980【解析】【详解】解：设多边形的边数为n，多加的角度为α，则（n-2）×180°=2005°-α，当n=13时，α=25°，此时（13-2）×180°=1980°，α=25°故答案为1980．2．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________．【答案】6【解析】∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和=1080°−360°=720°，设多边形的边数是n，∴(n−2)×180°=720°，解得n=6.故答案为6.点睛：先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．3．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．【答案】22【解析】【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.【详解】试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.4．等腰三角形一边长是10cm ，一边长是6cm ，则它的周长是_____cm 或_____cm ．【答案】22cm, 26cm【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10cm 和6cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】（1）当腰是6cm 时，周长＝6+6+10＝22cm ；（2）当腰长为10cm 时，周长＝10+10+6＝26cm ，所以其周长是22cm 或26cm ．故答案为：22，26．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．【答案】7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是奇数求出c 的值．【详解】∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，∴a ﹣7=0，b ﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．6．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．【答案】2【解析】由D 是AC 的中点且S △ABC =12，可得1112622ABD ABC S S ∆∆==⨯=；同理EC=2BE 即EC=13BC ，可得11243ABE S ∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S △ADF －S △BEF =27．已知一个三角形的三边长为3、8、a ，则a 的取值范围是_____________．【答案】5＜a ＜11【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a ＜8+3，再解即可．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a ＜8+3，解得：5＜a ＜11，故答案为：5＜a ＜11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．8．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，AE 平分BAC ∠，若130∠=，220∠=，则B ∠=__________．【答案】50°【解析】【分析】由角平分线的定义和已知可求出∠BAC ，由AD 是BC 边上的高和已知条件可以求出∠C，然后运用三角形内角和定理，即可完成解答.【详解】解：∵AE 平分BAC ∠，若130∠=∴BAC ∠=2160∠=；又∵AD 是BC 边上的高，220∠=∴C ∠=90°-270∠= 又∵BAC ∠+∠B+∠C=180°∴∠B=180°-60°-70°=50°故答案为50°.【点睛】本题考查了角平分线、高的定义以及三角形内角和的知识，考查知识点较多，灵活运用所学知识是解答本题的关键.9．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．【答案】360°．【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【详解】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．10．如图所示，请将12A ∠∠∠、、用“＞”排列__________________.【答案】21A ∠∠∠＞＞【解析】【分析】根据三角形的外角的性质判断即可．【详解】解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A∴∠2＞∠1＞∠A ，故答案为：∠2＞∠1＞∠A ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）11．如果线段AB =3cm ，BC =1cm ，那么A 、C 两点的距离d 的长度为（ ）A ．4cmB ．2cmC ．4cm 或2cmD ．小于或等于4cm ，且大于或等于2cm【答案】D【解析】试题分析：①当A ，B ，C 三点在一条直线上时，分点B 在A 、C 之间和点C 在A 、B 之间两种情况讨论；②当A ，B ，C 三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论.解：当点A 、B 、C 在同一条直线上时，①点B 在A 、C 之间时：AC =AB +BC =3+1=4；②点C 在A 、B 之间时：AC =AB -BC =3-1=2，当点A 、B 、C 不在同一条直线上时，A 、B 、C 三点组成三角形，根据三角形的三边关系AB -BC ＜AC ＜AB +BC ，即2＜AC ＜4，综上所述，选D.故选D.点睛：本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键，12．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( ) A ． B ． C ． D ．不能确定【答案】B 【解析】 如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×333= S △ABC =1111••••2222BC AH AB PD BC PE AC PF ==+ ∴11113?3?3?3?2222AH PD PE PF ⨯=⨯+⨯+⨯ ∴PD+PE+PF=AH=332即点P 到三角形三边距离之和为33. 故选B.13．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中C 90∠=，F 90∠=，D 30∠=，A 45∠=，则12∠∠+等于( )A ．270B ．210C ．180D ．150【答案】B【解析】【分析】 利用三角形的外角等于不相邻的两内角和，和三角形内角和为180︒，可解出答案.【详解】如图，AB与DE交于点G，AB与EF交于点H，∵∠1=∠A+∠DGA，∠2=∠B+∠FHB，∠DGA=∠BGE，∠FHB=∠AHE，在三角形GEH中，∠BGE+∠AHE =180︒-∠E=120︒,∴∠1+∠2=∠A+∠B+∠BGE+∠AHE=90︒+120︒=210.【点睛】本题考查了三角形的外角性质,内角和定理,熟练掌握即可解题.14．一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1:3，则这个多边形为（）A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形【答案】D【解析】【分析】一个外角与一个内角的比为1 : 3，则内角和是外角和的3倍，根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．【详解】解：多边形的内角和是：360°×3=1080°．设多边形的边数是n，则（n-2）•180=1080，解得：n=8．即这个多边形是正八边形．故选D．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．15．如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是（）A．八边形B．十四边形C．十边形D．十二边形【答案】D【解析】【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【详解】这个正多边形的边数是n，根据题意得：（n﹣2）•180°=1800°解得：n=12．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=12∠A．解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC，又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．17．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（）A．75°B．135°C．120°D．105°【答案】D【解析】根据三角板的特点，可知∠3=45°，∠1=60°，因此可知∠2=45°，再根据三角形的外角的性质，可求得∠α=105°.故选18．在ΔABC 中，AB 3=，AC 5=，第三边BC 的取值范围是( )A ．10BC 13<<B ．4BC 12<< C ．3BC 8<<D ．2BC 8<<【答案】D【解析】【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边的边长的取值范围．【详解】∵AB=3，AC=5，∴5-3<BC<5+3，即2<BC<8，故选D.【点睛】考查了三角形三边关系，一个三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.19．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）A ．7B ．8C ．6D ．5【答案】B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【详解】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．20．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70º【答案】D【解析】【分析】 依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG ＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【详解】∵DF ∥EG ，∴∠1＝∠DFG ＝40°，又∵∠A ＝30°，∴∠2＝∠A +∠DFG ＝30°+40°＝70°，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．。
深圳深圳外国语学校数学全等三角形单元试卷(word版含答案)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ∆和ABC ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.（1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形；（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，如图2所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析. 【解析】【分析】()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可．()2延长ED 交AC 于F ，求出12DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA 推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可．()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出MDE ≌MFC ，求出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案．【详解】()1证明：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===点M 为EC 的中点，12BM EC ∴=，12DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =，BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=，2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=，同理2DME ACM∠∠=，22224590 BMD BCM ACM BCA∠∠∠∠∴=+==⨯= BMD∴是等腰直角三角形．()2解：如图2，BDM是等腰直角三角形，理由是：延长ED交AC于F，ADE和ABC△是等腰直角三角形，45BAC EAD∠∠∴==，AD ED⊥，ED DF∴=，M为EC中点，EM MC∴=，12DM FC∴=，//DM FC，45BDN BND BAC∠∠∠∴===，ED AB⊥，BC AB⊥，//ED BC∴，DEM NCM∠∴=，在EDM和CNM中DEM NCMEM CMEMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩EDM∴≌()CNM ASA，DM MN∴=，BM DN∴⊥，BMD∴是等腰直角三角形．()3BDM是等腰直角三角形，理由是：过点C作//CF ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得MDE ≌MFC ，DM FM ∴=，DE FC =，AD ED FC ∴==，作AN EC ⊥于点N ，由已知90ADE ∠=，90ABC ∠=，可证得DEN DAN ∠∠=，NAB BCM ∠∠=，//CF ED ，DEN FCM ∠∠∴=，BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=+=， BCF ∴≌BAD ，BF BD ∴=，DBA CBF ∠∠=，90DBF DBA ABF CBF ABF ABC ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==，DBF ∴是等腰直角三角形，点M 是DF 的中点，则BMD 是等腰直角三角形，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AE=AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．（1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求∠FAE 的度数；（3）求证：CD=2BF+DE ．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，∵AF ⊥BG ，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB 和△AFG 中，BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFB ≌△AFG （SAS ），∴AB=AG ，∠ABF=∠G ，∵△BAC ≌△DAE ，∴AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，∴AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，∴∠G=∠CDA ，在△CGA 和△CDA 中，GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CGA ≌△CDA ，∴CG=CD ，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ，∴CD=2BF+DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF 到G ，使得FG=FB ，证得△CGA ≌△CDA 是解题的关键．3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．（1）填空：ABC S ∆=______2cm ；（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍，请你求出时间x 的值．【答案】（1）8;(2)见解析；（3）45或4. 【解析】【分析】（1）直接可求△ABC 的面积；（2）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD ，且BE=CF ，即可证△CDF ≌△BDE ，可得DE=DF ；（3）分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x 的值．解：（1）∵S△ABC=12⨯AC×BC∴S△ABC=12×4×4=8（cm2）故答案为：8（2）如图：连接CD∵AC=BC，D是AB中点∴CD平分∠ACB又∵∠ACB=90°∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°∴CD=BD依题意得：BE=CF∴在△CDF与△BDE中BE CFB DCABD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDF≌△BDE（SAS）∴DE=DF（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°∴△ADN≌△BDM（AAS）∴DN=DM当S△ADF=2S△BDE．∴12×AF×DN=2×12×BE×DM∴x 1=4，x 2=45综上所述：x=45或4 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．4．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．5．如图1，在长方形ABCD 中，AB=CD=5 cm ， BC=12 cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示)（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53v =【解析】【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值．【详解】解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =∵12BC cm =∴()122PC BC BP t cm =-=-故答案为：()122t -（2）∵ABP DCP ∆≅∆∴BP CP =∴2122t t =-解得3t =．（3）存在，理由如下：①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得2v =．②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm = ∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t =解得3t =∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm ==∴35v = 解得53v =． 综上所述，当2v =或53v =时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．6．（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形ABC ∆中，90BAC ︒∠=,AB AC =,直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点,D E ，试写出线段,BD DE 和CE 之间的数量关系为_________________．（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在ABC ∆中, ,,,AB AC D A E =三点都在直线l 上，并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图（3），,D E 是,,D A E 三点所在直线m 上的两动点，（,,D A E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ∆与ACF ∆均为等边三角形，连接,BD CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF ∆的形状并说明理由．【答案】（1）DE=CE+BD ；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF 为等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而根据AAS 证明△ABD 与△CAE 全等，然后进一步求解即可；（2）根据BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，得出∠CAE=∠ABD ，在△ADB 与△CEA 中，根据AAS 证明二者全等从而得出AE=BD ，AD=CE ，然后进一步证明即可；（3）结合之前的结论可得△ADB 与△CEA 全等，从而得出BD=AE ，∠DBA=∠CAE ，再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°，然后进一步证明△DBF 与△EAF 全等，在此基础上进一步证明求解即可.【详解】（1）∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠ABD ，在△ABD 与△CAE 中，∵∠ABD=∠CAE ，∠BDA=∠AEC ，AB=AC ，∴△ABD ≌△CAE(AAS)，∴BD=AE ，AD=CE ，∵DE=AD+AE ，∴DE=CE+BD ，故答案为：DE=CE+BD ；（2）（1）中结论还仍然成立，理由如下：∵BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD ，在△ADB 与△CEA 中，∵∠ABD=∠CAE ，∠ADB=∠CEA ，AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA(AAS)，∴AE=BD ，AD=CE ，∴BD+CE=AE+AD=DE ，即：DE=CE+BD ，（3）DEF ∆为等边三角形，理由如下：由（2）可知：△ADB ≌△CEA ，∴BD=EA ，∠DBA=∠CAE ，∵△ABF 与△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF ，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF ，∴∠DBF=∠FAE ，在△DBF 与△EAF 中，∵FB=FA ，∠FDB=∠FAE ，BD=AE ，∴△DBF ≌△EAF(SAS)，∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF 为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.7．（1）如图（a ）所示点D 是等边ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明．（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ．【详解】（1）AF BD =证明如下：ABC 是等边三角形，BC AC ∴=，60BCA ︒∠=．同理可得：DC CF =，60DCF ︒∠=．BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠．即BCD ACF ∠=∠．BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=．（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF BD =依然成立．（3）①AF BF AB '+=证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．BD AF ∴=．同理BCF ACD '△≌△．BF AD '∴=．AF BF BD AD AB '∴+=+=．②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+；BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，BCF ACD '∴△≌△．BF AD '∴=．又由（2）知，AF BD =．AF BD AB AD AB BF '∴==+=+．即AF AB BF '=+．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．8．如图，ABC∆是等腰直角三角形，090BAC∠=，点D是直线BC上的一个动点（点D与点B C、不重合），以AD为腰作等腰直角ADE∆，连接CE.（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出,BC CE的位置关系，线段,BC CD，CE之间的数量关系；（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，试判断线段BC，CE的位置关系，线段,,BC CD CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点D在线段CB的延长线上时，试判断线段,BC CE的位置关系，线段,,BC CD CE之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）BC CE⊥，CE BC CD=+，理由见解析；（3）,BC CE CD BC CE⊥=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），利用两角的和即可得出BC CE⊥；利用线段的和差即可得出BC CE CD=+；（2）同（1）的方法根据SAS证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，∠ACE=∠ABD，从而得出结论；（3）先根据SAS证明△ABD≌△ACE，得出ADB AEC∠=∠，BD CE=，从而得出结论．【详解】（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，在△△ABD和△ACE中90AB ACBAC DAEAD AE⎧⎪∠∠=︒⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，BD=CE,又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B+∠ACB=90︒,∴∠ACE+∠ACB=90︒,即BC CE⊥，∵BC=BD+CD, BD=CE ，∴BC CE CD =+；（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由如下：∵ABC ∆、ADE ∆是等腰直角三角形，∴0,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠,在ABD ∆和ACE ∆中 AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝＝ ∴()ABD ACE SAS ∆≅∆∴BD CE =∵BD BC CD =+∴CE BC CD =+，∴ABD ACE ∠=∠，∵090ABD ACE ∠+∠=∴090ACE ACB ∠+∠=∴BC CE ⊥.（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由如下：∵ABC ADE ∆∆、是等腰直角三角形，∴0,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中 AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝＝ ∴()ABD ACE SAS ∆≅∆，∴ADB AEC ∠=∠，BD CE =，∵CD BD BC =+，∴CD CE BC =+，∵090ADE AED ∠+∠=，即090ADB CDE AED ∠+∠+∠=∴090AEC CDE AED ∠+∠+∠=，∴090DCE ∠=，即BC CE ⊥.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解题关键是根据利用两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定三角形全等．9．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE=BD+CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，求证:△DEF 是等边三角形．【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析【解析】【分析】（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.【详解】证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m∴∠BDA ＝∠CEA=90°，∵∠BAC ＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD ，又AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC∴△ADB ≌△CEA ，∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF ，∴△DBF ≌△EAF∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF 为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.10．如图1，已知CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，D 为CF 上一点，且DA ＝DB ．（1）求证：∠ACB ＝∠ADB ；（2）求证：AC +BC ＜2BD ；（3）如图2，若∠ECF ＝60°，证明：AC ＝BC +CD ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明Rt △DAM ≌Rt △DBN ，得出∠DAM=∠DBN ，则结论得证；（2）证明Rt △DMC ≌Rt △DNC ，可得CM=CN ，得出AC+BC=2BN ，又BN ＜BD ，则结论得证；（3）在AC 上取一点P ，使CP=CD ，连接DP ，可证明△ADP ≌△BDC ，得出AP=BC ，则结论可得出．【详解】（1）证明：过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，∴DM ＝DN ，在Rt △DAM 和Rt △DBN 中，DA DB DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN （HL ），∴∠DAM ＝∠DBN ，∴∠ACB ＝∠ADB ；（2）证明：由（1）知DM＝DN，在Rt△DMC和Rt△DNC中，DC DCDM DN=⎧⎨=⎩，∴Rt△DMC≌Rt△DNC（HL），∴CM＝CN，∴AC+BC＝AM+CM+BC＝AM+CN+BC＝AM+BN，又∵AM＝BN，∴AC+BC＝2BN，∵BN＜BD，∴AC+BC＜2BD．（3）由（1）知∠CAD＝∠CBD，在AC上取一点P，使CP＝CD，连接DP，∵∠ECF＝60°，∠ACF＝60°，∴△CDP为等边三角形，∴DP＝DC，∠DPC＝60°，∴∠APD＝120°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCD＝120°，在△ADP和△BDC中，APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP≌△BDC（AAS），∴AP＝BC，∵AC＝AP+CP，∴AC＝BC+CP，∴AC＝BC+CD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．。
武汉数学三角形填空选择达标检测卷(Word版 含解析)
武汉数学三角形填空选择达标检测卷（Word版含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|=__________．【答案】2b-2a【解析】【分析】【详解】根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．故答案为2b﹣2a【点睛】本题考查了绝对值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.2．如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_______°.【答案】65【解析】如图，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠1=12∠DAC，∠2=12∠ACF，∴∠1+∠2=12（∠DAC+∠ACF），又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠BAC+∠ACB），且∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，∴∠1+∠2=12（360°-130°）=115°，∴在△ACE中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°.3．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF=1 2（∠BAF+∠C）；③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F=12（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是_____．【答案】①②③④【解析】【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据垂直的定义和同角的余角相等的性质证明结论正确；④证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确.【详解】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，∴∠BEF=12(∠BAF+∠C)，故②正确；③∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=90︒-∠DFH，∠AEB=90︒-∠DFH，∴∠FGD=∠AEB∴∠FGD=∠ABE+∠C.故③正确；④∠ABD=90°-∠BAC，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，∵∠CBD=90°-∠C，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE，∴∠F=12(∠BAC-∠C)；故④正确，故答案为①②③④.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键4．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数．5．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x=________.【答案】3【解析】①当x+1=2x+3时，解得x=−2(不合题意,舍去)；②当x+1=9时，解得x=8，则等腰三角形的三边为:9、19、9，因为9+9=18<19，不能构成三角形，故舍去；③当2x+3=9时，解得x=3，则等腰三角形的三边为:4、9、9，能构成三角形。
三角形填空选择单元综合测试(Word版 含答案)(1)
【答案】5:4:3
【解析】
试题解析：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，
则x+2x+3x=180，
6x=180，
x=30，
∴三个内角分别为30°、60°、90°，
相应的三个外角分别为150°、120°、90°，
则三个外角的度数比为：150°：120°：90°=5：4：3，
【答案】30
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.
【详解】
∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，
∵∠PBC+∠P=∠PCM，
∴∠P=∠PCM-∠P【解析】
∠A＝52°，
∠ABC+∠ACB=128°，
∠XBC+∠XCB=90°，
∠ABX＋∠ACX=128°-90°=38°.
3．已知三角形的两边的长分别为2cm和8cm，设第三边中线的长为 cm，则 的取值范围是_______
【答案】3＜x＜5
【解析】
【分析】
延长AD至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围.
【详解】
解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴该正多边形的边数为n=360°÷15°=24，
则一共走了24×5=120米，
故答案为：120．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接用360°除以一个外角度数．
深圳市外国语学校八年级数学上册第一单元《三角形》测试题(含答案解析)
一、选择题1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ）A ．1，2，4B ．5，6，11C ．3，3，3D ．4，8，12 2．将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1∠的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25° 3．若一个三角形的三边长分别为3，7，x ，则x 的值可能是（ ） A ．6B ．3C ．2D ．11 4．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 5．将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．以上均有可能 6．如图，在ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AC ⊥，若40,60B C ︒︒∠=∠=，则ADE ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒ 7．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（ ）三角形 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3，3，4 B ．7，4，2 C ．3，4，8 D ．2，3，5 9．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°10．如图，△ABC 中AC 边上的高是哪条垂线段．（ ）A ．AEB ．CDC ．BFD ．AF11．如图，直线//,65,30AB CD A E ∠=︒∠=︒，则C ∠等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45° 12．如图，在ABC 中，70B ∠=，D 为BC 上的一点，若ADC x ∠=，则x 的度数可能为（ ）A ．30°B ．60°C ．70°D ．80°二、填空题13．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．14．设三角形三内角的度数分别为,,x y z ︒︒︒，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．15．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．16．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G ＝_____．17．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A点经B→C→D→E，一直到F时，他在行程中共转过了_____度．18．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，BD：DC=2：3，△ABC的面积为10，则△ABD 的面积是_________________19．如图，在ABC中，E、D、F分别是AD、BF、CE的中点，若DEF的面积S=______．是1，则ABC20．如图，线段AD，BE，CF两两相交于点H，I，G，分别连接AB，CD，∠+∠+∠+∠+∠+∠=____．EF．则A B C D E F三、解答题21．如图，已知△ABC中，∠B=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠DAE=10°，求∠C的度数．22．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，且AD AC =，连结CD ．请在下面空格中用“>”，“<”或“=”填空．（1）AB________AC BC +；（2）2AD________CD ；（3）BDC ∠________A ∠．23．如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE ⊥BC 于点E ．（1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE 的度数；（2）若∠C ＞∠B ，试说明∠DAE=12(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A 在AD 上移动到A′处，A′E ⊥BC 于点E ．此时∠DAE 变成∠DA′E ，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？24．如图所示，已知AD ，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB =3cm ，AC =4 cm ，BC=5 cm ，∠CAB =90°．(1)求AD 的长．(2)求△ABE 的面积．25．如图，在ABC 中，60,80,BAC C AD ︒︒∠=∠=是ABC 的角平分线，点E 是边AC 上一点，且12ADE B ∠=∠，求CDE ∠的度数．26．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A、1+2<4，不能构成三角形；B、5+6=11，不能构成三角形；C、3+3>3，能构成三角形；D、8+4=12，不能构成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于最大的数．2．B解析：B【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，由平行线的性质可得∠2=30°，∠1=∠3-∠2=45°-30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．3．A解析：A【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围，得到答案．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，x，∴7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10，四个选项中，A中，4＜6＜10，符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．D解析：D【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．【详解】解：设多边形有n条边，由题意得：180（n﹣2）＝360×4，解得：n＝10，故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．5．D解析：D【分析】将一个多边形纸片剪去一个内角可以多三种情况比原多边形边数少1，不变，多1，利用内角和公式求出内角的和与外角关系即可求出．【详解】如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，多边形的边数和原多边形边数相同为n，()21804360n-⨯︒=⨯︒，n=10，如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，多边形的边数比原多边形边数少1为n-1，()121804360n--⨯︒=⨯︒，n=11，如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠GCF后，多边形的边数比原多边形边数多1为n+1，()+121804360n-⨯︒=⨯︒，n=9，原多边形的边数为9,10,11．故选择：D ．【点睛】本题考查多边形剪去一个角问题，掌握剪去一个角后对多边形的边数分类讨论是解题关键．6．C解析：C【分析】根据三角形内角和180︒求出∠BAC ，再由AD 是ABC ∆的角平分线求得∠DAC ，最后利用直角三角形的两个锐角互余求出∠ADE ，问题得到解决．【详解】解：∵40,60B C ︒︒∠=∠=，∴BAC=180B-C=80∠︒-∠∠︒，∵AD 是ABC ∆的角平分线， ∴1DAC=BAC=402∠∠︒， ∵DE AC ⊥，∴90DAC=50ADE ∠=︒-∠︒，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，正确理解三角形中角之间的关系是解本题的关键．7．B解析：B【分析】由B 与C ∠互余，结合180A B C ∠+∠+∠=︒，求解A ∠，从而可得答案．【详解】 解：B 与C ∠互余，90B C ∴∠+∠=︒，180A B C ∠+∠+∠=︒，∴∠=︒，A90∴是直角三角形，ABC故A、C、D不符合题意，B符合题意，故选：B．【点睛】本题考查的是两个角互余的概念，三角形的内角和定理的应用，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．A解析：A【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】解：A、3+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；B、4+2＜7，不能构成三角形，故此选项错误；C、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；D、2+3=5，不能构成三角形，故此选项错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．D解析：D【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴必有一个内角等于90°，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．10．C解析：C【分析】根据三角形的高的定义，△ABC中AC边上的高是过B点向AC作的垂线段，即为BF．【详解】解：∵BF ⊥AC 于F ，∴△ABC 中AC 边上的高是垂线段BF ．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．11．B解析：B【分析】根据平行线和三角形外角的性质即可求出C ∠的大小．【详解】如图，设AE 和CD 交于点F ，∵//AB CD ，∴65A DFE ∠=∠=︒（两直线平行同位角相等），∵DFE ∠是CEF △的外角，∴653035C DFE E ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线和三角形外角的性质．熟练利用两个性质证明和求解是解答本题的关键． 12．D解析：D【分析】根据三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD ，得到x ＞70°，根据平角的概念得到x ＜180°，计算后进行判断得到答案．【详解】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD ，∴x ＞70°，又x ＜180°，∴x 的度数可能为80°，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．二、填空题13．102°【分析】首先根据∠DFC ＝3∠B ＝117°可以算出∠B ＝39°然后设∠C ＝∠D ＝x°根据外角与内角的关系可得39＋x ＋x ＝117再解方程即可得到x ＝39再根据三角形内角和定理求出∠BED 的度解析：102°【分析】首先根据∠DFC ＝3∠B ＝117°，可以算出∠B ＝39°，然后设∠C ＝∠D ＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x ＋x ＝117，再解方程即可得到x ＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED 的度数．【详解】解：∵∠DFC ＝3∠B ＝117°，∴∠B ＝39°，设∠C ＝∠D ＝x°，39＋x ＋x ＝117，解得：x ＝39，∴∠D ＝39°，∴∠BED ＝180°−39°−39°＝102°．故答案为：102°．【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．（3876）（3381）【分析】根据和谐数对的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时当时当时三种情况讨论从而得出结论【详解】解：当时180-66=114则114÷3=3838×2=76此时和谐数对解析：（38，76），（33，81） 060x ︒<<︒【分析】根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当060x ︒<<︒时，当60120x ︒<︒时，当120180x ︒<︒时，三种情况讨论，从而得出结论．【详解】解：当66x =时，180-66=114，则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），若对应的和谐数对(,)y z 有三个，当060x ︒<<︒时，它的和谐数对有(1803,2)x x ︒-，3(,180)22x x ︒-，180(3x ︒-，2(180))3x ︒-；当60120x ︒<︒时，它的和谐数对有3(,180)22x x ︒-，180(3x ︒-，2(180))3x ︒-， 当120180x ︒<︒时，它的和谐数对有180(3x ︒-，2(180))3x ︒-， ∴对应的和谐数对(,)y z 有三个时，此时x 的范围是060x ︒<<︒，故答案为：（38，76），（33，81）；060x ︒<<︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．15．1800【分析】设多边形边数为n 根据n 边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9计算出n 的值再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案【详解】设多边形边数为n 由题意得：n-3=9n解析：1800【分析】设多边形边数为n ，根据n 边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9，计算出n 的值，再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案．【详解】设多边形边数为n ，由题意得：n-3=9，n=12，内角和：()1221801800-⨯︒=︒．故答案为：1800．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n 边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，多边形内角和公式(n-2)•180°．16．540°【分析】连接GD 根据多边形的内角和定理可求解∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA ＝540°再利用三角形的内角和定理结合对顶角的性质可求得∠FGD+∠EDG ＝∠E+∠F 进而可求解【详解】解：连解析：540°【分析】连接GD ，根据多边形的内角和定理可求解∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA ＝540°，再利用三角形的内角和定理结合对顶角的性质可求得∠FGD+∠EDG ＝∠E+∠F ，进而可求解．【详解】解：连接GD ，∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA ＝（5﹣2）×180°＝540°，∵∠1+∠FGD+∠EDG ＝180°，∠2+∠E+∠F ＝180°，∠1＝∠2，∴∠FGD+∠EDG ＝∠E+∠F ，∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F+∠FGA ＝540°，故答案为540°．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，掌握相关定理是解题的关键． 17．275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数由多边形的外角和即可求解【详解】解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数∵多边形的外角和为360°∴解析：275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，由多边形的外角和即可求解．【详解】解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，∵多边形的外角和为360°，∴他在行程中共转过了()36018095275︒-︒-︒=︒，故答案为：275．【点睛】本题考查多边形的外角和，明确王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数是解题的关键．18．4【分析】利用面积公式可得出△ABD 与△ABC 等高只需求出BD 与BC 的比值即可求出三角形ABD 的面积【详解】解：∵BD ：DC=2：3∴BD=BC △ABD 的面积=BD•h ＝× BC•h=△ABC 的面积解析：4【分析】利用面积公式可得出△ABD 与△ABC 等高，只需求出BD 与BC 的比值即可求出三角形ABD 的面积．【详解】解：∵BD ：DC=2：3，∴BD=25BC ． △ABD 的面积=12BD•h ＝12× 25BC•h=25△ABC 的面积=25×10=4． 故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形面积公式以及根据公式计算三角形面积的能力．19．7【分析】连接CDBEAF由三角形中线等分三角形的面积求得S△AEC=2S△DEFS△ABD=2S△DEFS△BFC=2S△DEF由S△ABC=S△AEC+S△ABD+S△BFC+S△DEF即可得出解析：7【分析】连接CD，BE，AF，由三角形中线等分三角形的面积，求得S△AEC=2S△DEF，S△ABD=2S△DEF，S△BFC=2S△DEF，由S△ABC=S△AEC+S△ABD+S△BFC+S△DEF即可得出结果．【详解】解：连接CD，BE，AF，如图所示：∵AE=ED，由三角形中线等分三角形的面积，可得S△AEF=S△DEF，同理S△AEF=S△AFC，∴S△AEC=2S△DEF；同理可得：S△ABD=2S△DEF，S△BFC=2S△DEF，∴△ABC=S△AEC+S△ABD+S△BFC+S△DEF=2S△DEF+2S△DEF+2S△DEF+S△DEF=7S△DEF=7cm2，故答案为：7．【点睛】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，解答关键是通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积得出结果．20．360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可【详解】解：∵∠BHI=∠A+∠B∠DIF=∠C+∠D∠FGH=∠E+∠F∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B +∠C+∠D+∠E+∠解析：360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可．【详解】解：∵∠BHI=∠A+∠B，∠DIF=∠C+∠D，∠FGH=∠E+∠F，∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，∵∠BHI+∠DIF+∠FGH=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于360°．三、解答题21．∠C=40°【分析】根据三角形内角和定理，求出∠BAC即可解决问题．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠B=60°，∴∠BAD=30°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=40°，∠BAC=80°，∴∠C=180°-∠B-∠BAE=40°．【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的性质．高的性质等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理，学会转化的思想思考问题，属于中考常考题型．22．（1）<；（2）>；（3）>【分析】（1）根据三角形的三边关系解答；（2）根据三角形的三边关系解答；（3）根据三角形的外角性质解答．【详解】（1）在△ABC中，AB<AC+BC，故答案为：<；（2）在△ACD中，AD+AC>CD,,∵AD AC∴2AD>CD，故答案为：>；（3）∵∠BDC是△ACD的外角，∴∠BDC>∠A，故答案为：>．【点睛】此题考查三角形的三边关系：两边之和大于第三边，三角形的外角性质三角形的外角大于每一个与它不相邻的内角．23．（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确．【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD的度数，在△ABE中，利用直角三角形的性质求出∠BAE的度数，从而可得∠DAE的度数．（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=12(∠C-∠B)．【详解】（1）∵∠C=80°，∠B=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；（2）理由：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12(180°-∠B-∠C)= 90°-12∠B-12∠C，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=90°-∠B，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°-∠B) -(90°-12∠B-12∠C )=12∠C-12∠B=12(∠C-∠B)；（3）（2）中的结论仍正确．∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+12∠BAC=∠B+12(180°-∠B-∠C) = 90°+12∠B-12∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE=180°-90°-(90°+12∠B-12∠C)=12(∠C-∠B)．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．24．（1）125cm ；（2）3cm 2 【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD 的长度；（2）△AEC 与△ABE 是等底同高的两个三角形，它们的面积相等【详解】解：∵∠BAC=90°，AD 是边BC 上的高， ∴12AB•AC=12BC•AD ， ∴341255AB AC AD BC ⋅⨯===（cm ），即AD 的长度为125cm ； （2）如图，∵△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm ，AC=4cm ， ∴S △ABC =12AB•AC=12×3×4=6（cm 2）． 又∵AE 是边BC 的中线，∴BE=EC ， ∴12BE•AD=12EC•AD ，即S △ABE =S △AEC ， ∴S △ABE=12S △ABC =3（cm 2）． ∴△ABE 的面积是3cm 2．【点睛】本题考查了中线的性质．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD ． 25．50︒【分析】根据角平分线的性质求出∠BAD 的度数，利用三角形内角和求出∠B 的度数，由此得到∠ADE 的度数，利用三角形外角性质求出∠ADC ，即可得到答案．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠， ∴1302BAD DAC BAC ∠=∠=∠=︒， ∵180180608040B BAC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴403070ADC B BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴1202ADE B ∠=∠=︒， ∴702050CDE ADC ADE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】此题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角定理，正确分析图形掌握各角直角的位置关系是解题的关键．26．（1）33°；（2）123°【分析】（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．【详解】解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：∵MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，∴设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，∵∠BEM 是△ABE 和△MCE 的外角，∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，即：∠M+b=24°+a①，又∵∠MFD 是△MAF 和△CDF 的外角，可得∠M+a=42°+b②，①式＋②式得2∠M=24°+42°，解得：∠M=33°，∴=33AMC ∠︒．（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:∵NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，∴设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ，∵∠BFD 是△ABF 和△FCD 的外角，∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，可得m+n=81°①，又∵∠AGC 是△NGC 和△ABG 的外角，可得∠N+n=24°+(180°-m ），得∠N=204°-（m+n ）②，①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，∴123ANC ∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．。
深圳深圳外国语学校数学全等三角形单元试卷(word版含答案)
深圳深圳外国语学校数学全等三角形单元试卷（word 版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．2．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．【答案】4【解析】【分析】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD ，且∠BDC=140°，∴∠DBC=∠DCB=20°，∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，同理可得∠NCD=90°，∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，在△BDM 和△CDE 中，BM CE MBD ECD BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△BDM ≌△CDE （SAS ），∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ，∴∠MDE=∠BDC=140°，∵∠MDN=70°，∴∠EDN=70°=∠MDN ，在△MDN 和△EDN 中，MD ED MDN EDN DN DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△MDN ≌△EDN （SAS ），∴MN=EN=CN+CE ，∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ，∴AN ⊥BE ，FN=EN ，在△ABN 与△GBN 中， ∵90ABN GBN BN BN ANB GNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN ≌△GBN （ASA ），∴AN=GN ，又∵FN=EN ，∠ANE=∠GNF ，∴△ANE ≌△GNF （SAS ），∴∠NAE=∠NGF ，∴GF ∥AE ，即GF ∥AC ，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．4．如图，已知等边ABC∆的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF∆，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5CM CN==，则MN的长为_________．【答案】6【解析】【分析】作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出124CG BC==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．【详解】解：如图示：作CG⊥MN于G，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，即∠ACE=∠BCF，在△ACE与△BCF中AC BCACE BCFCE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△BCF（SAS），又∵AD是三角形△ABC的中线∴∠CBF=∠CAE=30°，∴124 CG BC==，在Rt△CMG中，2222543MG CM CG=-=-=，∴MN=2MG=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．5．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．6．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB ，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，∴BD=DC ，在△BDF 和△CDA 中，∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ，∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF=AC ，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE ⊥AC ，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF ，故③正确．作GM ⊥AB 于M ．如图所示： ∵∠GBM=∠GBH ，GH ⊥BC ，∴GH=GM ＜DG ，∴S △DGB ＞S △GHB ，∵S △ABE =S △BCE ，∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．7．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.【答案】7【解析】【分析】由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF === ∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC +=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.8．如图，△ABC 中，AB =AC =12厘米，BC =9厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以v 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。
深圳市福田区外国语学校数学三角形填空选择单元测试卷附答案
深圳市福田区外国语学校数学三角形填空选择单元测试卷附答案 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=︒,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则1A =_____︒；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________︒．【答案】（2m ） （1024m ） 【解析】【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题．【详解】解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2m °． 依此类推∠A 2=224m m ︒︒=，∠A 3=328m m ︒︒=，…，∠A 10=1021024m m ︒︒=． 故答案为：()2m ；()1024m ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．2．一机器人以0.3m/s 的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s ．【答案】160.【解析】试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．试题解析：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m，则所用时间是：48÷0.3=160s．考点：多边形内角与外角．3．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________【答案】10【解析】【分析】【详解】解：本题根据题意可得：（n－2）×180°=4×360°，解得：n=10．故答案为：10 ．考点：多边形的内角和定理.4．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=3cm2，则S△ABC=_____cm2．【答案】12cm2．【解析】【分析】根据三角形的面积公式，得△ACE的面积是△ACD的面积的一半，△ACD的面积是△ABC 的面积的一半．【详解】解：∵CE是△ACD的中线，∴S△ACD=2S△ACE=6cm2．∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ACD=12cm2．故答案为12cm2．【点睛】此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．5．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD＝__________.【答案】119°【解析】【分析】连接BD，构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数.【详解】如图所示，连接BD，∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°，∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°.故答案为：119°.【点睛】本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD，构△BCD是解题的关键.6．如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．【答案】8【解析】【分析】根据多边形内角和公式180°（n-2）和外角和为360°可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可．【详解】解：由题意得：180（n-2）=360×3，解得：n=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．【答案】240.【解析】【详解】试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．8．如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______m．【答案】120．【解析】【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．【详解】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴该正多边形的边数为n=360°÷15°=24，则一共走了24×5=120米，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接用360°除以一个外角度数．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为_____．【答案】10°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°，∵折叠后点A落在边CB上A′处，∴∠CA ′D ＝∠A ＝50°，由三角形的外角性质得，∠A ′DB ＝∠CA ′D ﹣∠B ＝50°﹣40°＝10°．故答案为：10°．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．10．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2-∠1=____.【答案】90°【解析】【分析】【详解】如图：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠2．∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°﹣∠2．∵∠4+∠1=90°，∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．故答案为90°.二、八年级数学三角形选择题（难）11．如图，ABC ∆中，100ABC ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则EFD ∠ 的度数为( )A ．80°B ．60°C ．40°D ．20°【答案】C【解析】【分析】 连接FB ，根据三角形内角和和外角知识，进行角度计算即可．【详解】解：如图连接FB ，∵AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，∴AEF AFE EFB EBF ∠=∠=∠+∠，CFD CDF BFD FBD ∠=∠=∠+∠∴AFE CFD EFB EBF BFD FBD ∠+∠=∠+∠+∠+∠，即AFE CFD EFD EBD ∠+∠=∠+∠，又∵180AFE EFD DFC ∠+∠+∠=︒，∴2180EFD EBD ∠+∠=︒，∵100ABC ∠=︒，∴180100=402EFD ︒-︒∠=︒， 故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和和外角定义，掌握三角形内角和为180°，三角形一个外角等于不相邻两内角之和是解题关键．12．如图，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，M 、N 分别是BA 、CD 延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，∠F 的度数为（ ）A．120°B．135°C．150°D．不能确定【答案】B【解析】【分析】先根据∠1+∠2=90°得出∠EAM+∠EDN的度数，再由角平分线的定义得出∠EAF+∠EDF的度数，根据AE⊥DE可得出∠3+∠4的度数，进而可得出∠FAD+∠FDA的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°．故选B．【点睛】本题查的是三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．13．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（）A．104条B．90条C．77条D．65条【答案】C【解析】【分析】n 边形的内角和是(2)180n -︒，即内角和一定是180度的整数倍，即可求解，据此可以求出多边形的边数，在根据多边形的对角线总条数公式()32n n -计算即可．【详解】解：22100180113÷=，则正多边形的边数是11+2+1=14． ∴这个多边形的对角线共有()()314143==7722n n --条． 故选：C ．【点睛】 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理；要注意每一个内角都应当大于0︒而小于180度．同时要牢记多边形对角线总条数公式()32n n -．14．如图，三角形ABC 内的线段,BD CE 相交于点O ,已知OB OD =,2OC OE =.若BOC ∆的面积=2，则四边形AEOD 的面积等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】【分析】 连接AO ，利用等高不等底的三角形面积比等于底长的比，可求出△COD 与△BOE 的面积．列出关于△AOE 与△AOD 的面积的方程即可求出四边形AEOD 的面积．【详解】连接OA ，∵OB=OD ，∴S △BOC =S △COD =2，∵OC=2OE ，∴S △BOE =12S △BOC =1， ∵OB=OD ，∴S △AOB =S △AOD ，∴S △BOE +S △AOE =S △AOD ，即：1+S △AOE =S △AOD ①，∵OC=2OE ，∴S △AOC =2S △AOE ，∴S △AOD +S △COD =2S △AOE ，即：S △AOD +2=2S △AOE ②， 联立①和②：解得：S △AOE =3，S △AOD =4，S 四边形AEOD =S △AOE +S △AOD =7，故选D ．【点睛】本题考查三角形面积问题，涉及方程组的解法，注意灵活运用等高不等底的三角形面积比等于底长的比这一结论．15．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点落到'C 、'D 处.已知20DAC ∠=，且''//C D AC ，则AEF ∠的度数为( )A ．20B ．35C ．50D ．70【答案】B【解析】【分析】依据C'D'//AC ，即可得到∠AHG=∠C′=90°，进而得出AGH 70∠=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，依据三角形外角性质得到1AEF GFE AGH 352∠∠∠===．【详解】如图，C'D'//AC ，，又DAC 20∠=，AGH 70∠∴=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，1AEF GFE AGH 352∠∠∠∴===， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．16．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c = ⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5,25,5a b c === A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】 根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能够成直角三角形；根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a2=5，b2=20，c2=25，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.17．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】B【解析】如图，满足条件的点C共有4个．故选B．18．已知正多边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数为()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．【详解】正多边形的一个外角等于40，且外角和为360，÷=，则这个正多边形的边数是：360409故选D．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．19．如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）A．110︒B．115︒C．120︒D．125︒【答案】A【解析】【分析】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠A+∠C=65°，∠DFE=∠B+∠AEC，进而可得答案．【详解】解：∵∠A=27°，∠C=38°，∴∠AEB=∠A+∠C=65°，∵∠B=45°，∴∠DFE=65°+45°=110°，故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．20．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．。
三角形填空选择检测题(Word版 含答案)
=(a+b-c)+(a-b- c)+(a-b+c) =a+b-c+a-b- c+a-b+c =3a-b-c． 故答案为：3a-b-c． 【点睛】 本题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简，利用三角形的三边 关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键．
7．如图，A、B、C 三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD 垂直平分 AE，垂足为 D，则∠EBC 的度数为_____．
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD 为∠EAC 的平分线，
过 D 点作 DG⊥AC 于 G 点，
在
Rt△ADE
与
Rt△ADG
中，
AD DE
AD DG
，
∴△ADE≌△ADG（HL）， ∴DE＝DG， ∴DG＝DF．
CD CD 在 Rt△CDG 与 Rt△CDF 中， DG DF ，
∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL）， ∴CD 为∠ACF 的平分线， ∠ACB＝74°， ∴∠DCA＝53°， ∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°． 故答案为：30° 【点睛】 本题考查了多边形的外角和内角，能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此 题的关键，注意：三角形的内角和等于 180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和．
设少加的 2 个内角和为 x 度，边数为 n．
则（n-2）×180=830+x，
即（n-2）×180=4×180+110+x，
因此 x=70，n=7 或 x=250，n=8．
故该多边形的边数是 7 或 8．
故选 C．
【点睛】
深圳武汉大学深圳外国语学校八年级数学上册第十一章《三角形》测试题(培优提高)
一、选择题1．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 2．已知长度分别为3cm ，4cm ，xcm 的三根小棒可以摆成一个三角形，则x 的值不可能是（ ）A ．2.4B ．3C ．5D ．8.5 3．如图，ABC 中，55,B D ∠=︒是BC 延长线上一点，且130ACD ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．65︒C ．75︒D ．85︒4．下列命题是真命题的个数为（ ）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形的内角和是180°．③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．④相等的角是对顶角．⑤两点之间，线段最短．A ．2B ．3C ．4D ．5 5．在下列长度的四根木棒中，能与2m 、5m 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）A ．2mB ．3mC ．5mD ．7m 6．如图，线段BE 是ABC 的高的是( )A ．B ．C ．D ．7．在△ABC 中，∠A ＝x °，∠B ＝(2x ＋10)°，∠C 的外角大小(x ＋40)°，则x 的值等于（ ） A ．15B ．20C ．30D ．40 8．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（ ）A ．3B ．4C ．11D ．12 9．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°10．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝47°，则∠β的度数是（ ）A ．43°B ．47°C ．30°D ．60°11．如图，直线//,65,30AB CD A E ∠=︒∠=︒，则C ∠等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°12．小红有两根长度分别为4cm 和8cm 的木棒，他想摆一个三角形，现有长度分别为3cm ，4cm ，8cm ，15cm 四根木棒，则他应选择的木棒长度为（ ）．A ．3cmB ．4cmC ．8cmD ．15cm 13．设四边形的内角和等于,a 五边形的外角和等于,b 则a 与b 的关系是（ ） A ．a b = B ．120a b =+C ．180b a =+︒D ．360b a =+︒ 14．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．长方形的对称性C ．长方形四个角都是直角D ．三角形的稳定性15．下列说法正确的个数为（ ） ①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④ B ．①②③ C ．①④⑤ D ．②④⑤二、填空题16．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．17．如果三角形的三边长分别为5，8，a ，那么a 的取值范围为__．18．如图，将纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点P 处，已知12124+∠=∠︒，A ∠=___________．19．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．20．如图，若∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．21．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．22．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条． 23．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE 的长为_________．24．已知等腰三角形的一边长等于11cm ，一边长等于5cm ，它的周长为______． 25．如图，ABC 面积为1，第一次操作：分别延长,,AB BC CA 至点111,,A B C 使111,,A B AB B C BC C A CA ===顺次结111,,A B C ，得到111A B C △，第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222A B C ，使211121112111,,A B A B B C B C C A C A ===，顺次连结222,,A B C ，得到222A B C △…，按此规律，则333A B C △的面积为_______．26．如图，线段AD ，BE ，CF 两两相交于点H ，I ，G ，分别连接AB ，CD ，EF ．则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____．三、解答题27．已知AB ∥CD ，CF 平分∠ECD ．（1）如图1，若∠DCF =25°，∠E =20°，求∠ABE 的度数．（2）如图2，若∠EBF =2∠ABF ，∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，求∠ABE 的度数．28．如图，AF ，AD 分别是ABC 的高和角平分线，且34B ∠=︒，76C ∠=︒，求DAF ∠的度数．29．如图，在ABC 中，40B ∠=，80C ∠=．（1）求BAC ∠的度数；（2）AE 平分BAC ∠交BC 于E ，AD BC ⊥于D ，求EAD ∠的度数．30．如图，AB ∥CD ，点E 是CD 上一点，连结AE ．EB 平分∠AED ，且DB ⊥BE ，AF ⊥AC ，AF 与BE 交于点M ．（1）若∠AEC ＝100°，求∠1的度数；（2）若∠2＝∠D ，则∠CAE ＝∠C 吗？请说明理由．。
深圳武汉大学深圳外国语学校八年级数学上册第十二章《全等三角形》测试题(培优提高)
一、选择题1．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）A ．40°B ．35C ．30°D ．45°2．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°3．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA4．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒ 5．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（ ）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm 6．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．SSAD ．AAS7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF 8．下列说法正确的是（ ）①近似数232.610⨯精确到十分位；②2()2--38-2--38-③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-；④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；⑤如图，在ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点．A．1 B．2 C．3 D．49．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 10．如图所示，已知∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，那么给出的条件不能得到△≌△是（）ADF CBEA．∠B＝∠D B．EB=DF C．AD=BC D．AE=CF11．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对12．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．A ．0.5B ．1C ．0.5或1.5D ．1或1.5 13．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104°14．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b 15．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ．若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，则B 的度数为______．17．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．18．如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____19．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．20．如图，AD 为∠CAF 的角平分线，BD=CD ，∠DBC=∠DCB ，∠DCA=∠ABD ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE=AB+AE ；③∠DAF=∠CBD ．其中正确的结论有_____．（填序号）21．如图，9cm AB =，3cm AC =，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点B 向点A 运动，同时点Q 在射线BD 上以x cm/s 的速度由点B 沿射线BD 的方向运动，它们运动的时间为t （s ）（1）如图①，若AC AB ⊥，BD AB ⊥，当ACP BPQ △≌△，x =________；CPQ ∠=________．（2）如图②，CAB DBA ∠=∠，当ACP △与BPQ 全等，x =________； 22．如图，AB ＝8cm ，AC ＝5cm ，∠A ＝∠B ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向B 运动，同时，点Q 以x cm/s 的速度从点B 出发在射线BD 上运动，则△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为_____________23．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．24．如图，已知△ABC 的面积为18，BP 平分∠ABC ，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是_____．25．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．26．如图，在ABC 中，AB AC =，BD CD =，点E ，F 是AD 上的任意两点、若8BC =，6AD =，则图中阴影部分的面积为__________．三、解答题27．如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE ，FD=FE ．（1）如图2，将仪器放置在△ABC 上，使点O 与顶点A 重合，D 、E 分别在边AB 、AC 上，沿AF 画一条射线AP ，交BC 于点P ．则AP 就是∠BAC 的平分线吗？请给出判断并说明理由．（2）如图3，在（1）的前提下，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，已知PQ=4，AC=7，△ABC 的面积是32，求AB 的长．28．已知：如图，120AOB ∠=︒，过点O 作射线OP ，若OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，AOP α∠=（1）如图1，补全图形，直接写出MON ∠=____________︒（2）如图2，若4BOM BON ∠=∠，求α的值．29．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB ＞AC 时，∠C ＞∠B ．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图2，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”） 证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ，∴ （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD ∠CAD ．（2）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图3，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”） 证明：30．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，CA CB =，D 是AC 上一点，E 在BC 的延长线上，且CE CD =，BD 的延长线与AE 交于点F ．求证：BF AE ⊥．。
深圳武汉大学深圳外国语学校数学三角形解答题达标检测(Word版 含解析)
深圳武汉大学深圳外国语学校数学三角形解答题达标检测（Word版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【解析】【分析】(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=12(∠B+∠C)，然后将∠B=100º，∠C=120º代入计算即可；③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.【详解】解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：以点O为交点的“8字型”有4个：②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝12（∠B+∠C）=12（100°+120°）＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，∴∠BAP＝23∠CAB，∠BDP＝23∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝13（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝23（∠CDB﹣∠CAB）．∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．2．数学活动课上，老师提出了一个问题：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：如图所示，已知∠DBC和∠BCE分别为△ABC的两个外角，试探究∠A和∠DBC，∠BCE之间的数量关系.解：⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交于点F（如图所示），那么∠A与∠F之间有何数量关系？请写出解答过程.【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180º（2）12∠A+∠F=90º【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理计算即可.（2）根据角平分线可知∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠BCE，）再根据三角形内角和定理，结合（1）即可解答.【详解】⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180º.∠DBC+∠BCE=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A=180°+∠A即∠DBC+∠BCE－∠A=180º.（2）12∠A+∠F=90°∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，∴∠CBF=12∠CBD，∠BCF=12∠BCE.∴∠CBF+∠BCF=12(∠CBD+∠BCE).∵∠CBF+∠BCF=180º－∠F，∠DBC+∠BCE=180º+∠A.∴180º－∠F =12（∠CBD+∠BCE）=12(180º+∠A)∴12∠A+∠F=90º.【点睛】本题考查了三角形外角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.3．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140【解析】【分析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．【详解】(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180(3)140【点睛】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．4．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E= °；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=12y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+452y+=∠F+12y，由此即可求得答案；（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=22.53α+，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=12 y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+12y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=452y+②，把②代入①得：45°+452y+=∠F+12y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF平分∠EAB，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=13∠AFC=13×67.5°=22.5°，∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，∴∠FCH=α﹣22.5①，∵∠AHN=13∠AHC=13（∠B+∠BCH）=13（90+2∠FCH）=30+23∠FCH，∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，∴α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH，②把①代入②得：∠FPH=22.53α+，∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，α﹣22.5=mα+n22.5·3α+，解得：m=2，n=﹣3．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.5．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点Ｅ、Ｄ，且AD为∠BAC的平分线，∠B=300，∠ADE=150.（1）求∠BDN的度数；（2）求证：CD=CE.【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可；（2）结合（1）的关系，由“等角对等边”得出结论.试题解析：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB=900，∠B=300,∴∠BAC=600,又AD平分∠BAC，∴∠CAD=300,又∠ACD=900,∴∠CDA=600又∠ADE=150，∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450∴∠BDN=∠CDE=450（2）在△CED中，∠ECD=900，∠CDE=450∴∠CED=450∴ CD=CE点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.6．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。
深圳市外国语学校数学三角形填空选择单元复习练习(Word版 含答案)
深圳市外国语学校数学三角形填空选择单元复习练习(Word 版 含答案)一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．【答案】80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA ，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.2．如图，在∆ABC 中， ∠A =80︒， ∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1； ∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；……； ∠A 7BC 与∠A 7CD 的平分线相交于点A 8，得∠A 8，则∠A 8的度数为_________..【答案】516【解析】【分析】 利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A 1=12∠A ，再依此类推得，∠A 2= 212∠A ，……，∠A 8= 812∠A ，即可求解.【详解】 解：根据三角形的外角得： ∠ACD=∠A+∠ABC.又∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴1111222A ABC A ABC ∠+∠=∠+∠ ∴∠A 1=12∠A 依此类推得，∠A 2= 212∠A ，……，∠A 8= 812∠A=180256⨯=516 故答案为516. 【点睛】 本题考查三角形外角、角平分线的性质，解答的关键是弄清楚角之间的关系..3．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°．【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6， 所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n ﹣2）•180 （n≥3）且n 为整数）；多边形的外角和等于360度．4．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×50°=100°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.5．中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为_______.【答案】45°【解析】【分析】根据正多边形的外角度数等于外角和除以边数可得.【详解】∵硬币边缘镌刻的正多边形是正八边形，∴它的外角的度数等于360÷8=45°.故答案为45°.【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．6．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A=60°，则∠BFC=______．【答案】120【解析】【分析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=12∠ABC、∠BCF=12∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．【详解】∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∴∠CBF=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB．∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=120°．故答案为120°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．7．如图，直线a∥b，∠l＝60°，∠2＝40°，则∠3＝______．【答案】80°．【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠4，再根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∵a∥b，∴∠4=∠l=60°，∴∠3=180°-∠4-∠2=80°，故答案为80°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．8．将直角三角形（ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B '处，若50ACB '︒∠=，则ACD ∠度数为________.【答案】20°.【解析】【分析】根据翻折的性质可知：∠BCD=∠B′CD ，又∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，继而即可求出∠BCD 的值，又∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，继而即可求出∠ACD 的度数．【详解】解：∵△B′CD 时由△BCD 翻折得到的，∴∠BCD=∠B′CD ，又∵∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，∴∠BCD=70°，又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，∴∠ACD=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查翻折变换的知识，难度适中，解题关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2-∠1=____.【答案】90°【解析】【分析】【详解】如图：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠2．∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°﹣∠2．∵∠4+∠1=90°，∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．故答案为90°.10．如图，小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30°，再沿直线前进50米，又向左转30°，…照这样下去，小新第一次回到出发地A点时，一共走了__米．【答案】600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30º，再沿直线前进50米，又向左转30º，……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º，所以这个正多边形的边数是12，小新一共走了12×50=600米，故答案为：600．二、八年级数学三角形选择题（难）11．如图，∠ABC =∠ACB ，BD 、CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP ，BE平分外角∠MBC 交 DC 的延长线于点 E ，以下结论：①∠BDE =12∠BAC ；② DB⊥BE ；③∠BDC +∠ACB= 90︒；④∠BAC + 2∠BEC = 180︒ .其中正确的结论有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、判断即可．【详解】① ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，∴∠ACP=2∠DCP，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACP=∠BAC+∠ABC，∠DCP=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDE，∴∠BDE =12∠BAC∴①正确；②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥DB，故②正确，③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确，④∵∠BEC=180°−12 (∠MBC+∠NCB) =180°−12 (∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC) =180°−12(180°+∠BAC) ∴∠BEC=90°−12∠BAC， ∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确，即正确的有4个，故选D【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定理12．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，点O 在AD 上，如果3AOB S ∆=，2BOD S ∆=，1ACO S ∆=，那么COD S ∆=（ ）A ．13B ．12C ．32D ．23【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积公式结合3AOB S ∆=，2BOD S ∆=求出AO 与DO 的比，再根据1ACO S ∆=，即可求得COD S ∆的值．【详解】∵3AOB S ∆=，2BOD S ∆=，且AD 边上的高相同，∴AO ：DO=3：2．∵△ACO 和△COD 中，AD 边上的高相同，∴S △AOC ：S △COD = AO ：DO=3：2，∵1ACO S ∆=，∴COD S ∆= 23.故选D ．【点睛】本题考查了三角形的面积及等积变换，利用同底等高的三角形面积相等是解题的关键．13．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若S △CEF ＝5，则△ABC 的面积为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30【答案】B【解析】【分析】 根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F 是BE 的中点，S △CFE ＝S △CFB ＝5，∴S △CEB ＝S △CEF +S △CBF ＝10，∵E 是AD 的中点，∴S △AEB ＝S △DBE ，S △AEC ＝S △DEC ，∵S △CEB ＝S △BDE +S △CDE∴S △BDE +S △CDE ＝10∴S △AEB +S △AEC ＝10∴S △ABC ＝S △BDE +S △CDE +S △AEB +S △AEC ＝20故选：B ．【点睛】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用.14．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A．30B．40︒C．50︒D．60︒【答案】C【解析】【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB∥CD，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．15．如图，直线a∥b，若∠1＝50°，∠3＝95°，则∠2的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．55°【答案】C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【详解】解：如图，根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，∵a∥b，∴∠2=∠4=45°．故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．16．已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（）A．9 B．4 C．5 D．13【答案】A【解析】【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【详解】设这个三角形的第三边为x．根据三角形的三边关系定理，得：9-4＜x＜9+4，解得5＜x＜13．故选A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理．一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．17．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A．45︒B．60︒C．72︒D．90︒【答案】C【解析】【分析】n-•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定根据多边形的内角和公式()2180的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572＝＝．÷︒故选C．本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．18．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B．【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.19．如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）A．110︒B．115︒C．120︒D．125︒【答案】A【解析】【分析】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠A+∠C=65°，∠DFE=∠B+∠AEC，进而可得答案．【详解】解：∵∠A=27°，∠C=38°，∴∠AEB=∠A+∠C=65°，∵∠B=45°，∴∠DFE=65°+45°=110°，故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个20．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70º【答案】D【解析】【分析】 依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG ＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【详解】∵DF ∥EG ，∴∠1＝∠DFG ＝40°，又∵∠A ＝30°，∴∠2＝∠A +∠DFG ＝30°+40°＝70°，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．。
深圳武汉大学深圳外国语学校九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测(包含答案解析)
一、选择题1．由世界知名建筑大师摩西·萨夫迪设计的重庆新地标“来福士广场”，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑—“朝天扬帆”．来福士广场T3N塔楼核芯简于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线．小李为了测量T3N塔楼的高度，他从塔楼底部B出发，沿广场前进185米至点C．继而沿坡度为1:2.4i=的斜坡向下走65米到达码头D，然后在浮桥上继续前行110米至趸船E，在E处小李操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得码头D的俯角为58°，楼项A的仰角为30°，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内．则T3N塔楼AB的高度约为（）（结果精确到1米，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈，3 1.73≈）A．319米B．335米C．342米D．356米2．在ABC中，若21cos|1tan|02A B⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，则C∠的度数是（）A．45︒B．60︒C．75︒D．105︒3．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为（）A．5B．5C．33D．14．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点,C画射线OC，则tan AOC∠的值为（）A ．12B ．33C ．32D ．35．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ∠ACB 值为（ ）A ．355B ．175C ．35D ．456．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα7．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）A ．tan a b α+B ．sin a b α+C ．tan b a α+D ．sin b a α+ 8．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()2323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A 21B 2﹣1C 2D ．129．如图，Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，F 、A 、B 在同一直线上，正方形ADEF 向右平移到点F 与B 重合，点F 的平移距离为x ，平移过程中两图重叠部分的面积为y ，则y 与x 的关系的函数图象表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，为测量瀑布AB 的高度，测量人员在瀑布对面山上的D 点处测得瀑布顶端A 点的仰角是30，测得瀑布底端B 点的俯角是10︒，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得27.0CG m =，17.6GF m =（注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF AB ⊥于点F ），斜坡20.0CD m =，坡角40ECD ∠=︒，那么瀑布AB 的高度约为（ ）．（精确到0.1m ，参考数据：3 1.73≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）A ．44.8mB ．45.4mC ．47.4mD ．114.6m 11．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）A ．78.6米B ．78.7米C ．78.8米D ．78.9米 12．如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，AD ∥BC ，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD 的面积是（ ）A ．3B ．32C ．3D ．934二、填空题13．计算：02cos 45|13|(3)π︒+---＝_____．14．如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，以B 为圆心，BD 为半径画弧，交BC 延长线于M 点，以D 为圆心，CD 为半径画弧，交AD 于点N ，则图中阴影部分的面积是________．15．如图，在ABC ∆中，AB=AC=10，3tan 4B =，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B ，C 重合），以D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ，若BD=4，则AE= __________．16．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号)．17．如图，长方形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C’处，BC’交AD 于点E ，则线段DE 的长为____.18．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=__．19．如图，已知直线l ：3y x =，过点()0,1A 作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点1A ；过点1A 作y 轴的垂线交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交y 轴于点2A ；…；按此作法继续下去，则点2020A 的坐标为__________．20．如图，已知2AB a =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ．点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为_______．三、解答题21．小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36a =︒，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm ）（参考数据：360.60︒≈sin ，360.80cos ≈，360.75tan ≈）22．已知：如图所示，ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别()0,3A ，()3,4B ，()2,2C ，(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)． ()1画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，点1C 的坐标是____；tan _____.BAC ∠=()2以点B 为位似中心，在网格内画出222A B C△，使222A B C △与ABC 位似，且位似比为2:1，点2C 的坐标是_____； ()2223A B C 的周长为_______ ．23．计算：（1）|-2|-2cos60°+(π-2020)0；（2）(13)-1+18+|-2|-4sin45°24．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B 地位于A地北偏东67︒方向，距离A地390km，C地位于B地南偏东30方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：12sin6713︒≈，5cos6713︒≈，12tan675︒≈，3 1.73≈）．25．如图，某乡村有一块菱形空地ABCD，∠A＝60°，AB＝40米，现计划在内部修建一个四个顶点分别落在菱形四条边上的矩形鱼池EFGH，其余部分种花草，园林公司修建鱼池，设AE为x米．(1)填空：ED＝米，EH＝米，(用含x的代数式表示)；(2)若矩形鱼池EFGH的面积是3003m2，求EF的长度；(3)若草坪的造价为每平方米60元，鱼池造价为每平方米50元，EF的长度为多少时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为多少元？26．已知等边三角形ABC．（1）用尺规作图找出ABC∆外心O．（2）设等边三角形的边长为4，求外接圆的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据题意可知CD 的垂直高度和水平宽度，即知道了BO 和OD 的长，从而得出OE 的长度，再根据正切函数和DE 长度可求出EF 长度， 正切函数和OE 长度可求出A 到F 的垂直高度，即可求出AB 的长度，即：tan30AB EF OE BO =+⨯︒-．【详解】由题意得：185BC m =，65CD m =，110DE m =，根据斜坡CD 的坡度1:2.4i =得CD 的垂直高度为25m ，水平宽度为60m ， ∴25BO m =，11060185355OE m =++=．根据tan tan58110 1.6110176EF EDF ED m =∠⨯=︒⨯=⨯=，所以176tan30176355 1.73325356AB OE BO m =+⨯︒-=+⨯÷-≈故选D【点睛】本题考查解直角三角形，根据题意结合正切函数是解答本题的关键．2．C解析：C【分析】 根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】 解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭， 1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．3．B解析：B【分析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得出BC＝2231+=10，AB＝2211+＝2，由△ABC的面积求出AD＝105，由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：作AD⊥BC于D，如图所示：由勾股定理得：BC2231+10，AB2211+2，∵△ABC的面积＝12BC×AD＝12×3×1−12×1×1，∴1210×AD＝12×3×1−12×1×1，解得：AD＝105，∴sin∠ABC＝ADAB 10525；故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．4．D解析：D【分析】由题意可以得到∠AOC的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值可以得解．【详解】解：如图，连结BC，则由题意可得OC=OB ，CB=OB ，∴OC=OB=BC ，∴△BOC 是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴tan ∠AOC=tan60°=3，故选D ．【点睛】本题考查尺规作图与三角形的综合应用，由尺规作图的作法得到所作三角形是等边三角形是解题关键．5．C解析：C【分析】如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．利用勾股定理求出AC 即可解决问题．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，4AH =，3CH =，2222435AC AH CH ∴=+=+=，3cos 5CH ACH AC ∴∠==， 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 6．B解析：B【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，∵cotαAC BC=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.7．A解析：A【分析】延长CE 交AB 于F ，得四边形CDBF 为矩形，故CF=DB=b ，FB=CD=a ，在直角三角形ACF 中，利用CF 的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF 的长，从而可求出旗杆AB 的长．【详解】延长CE 交AB 于F ，如图，根据题意得，四边形CDBF 为矩形，∴CF=DB=b ，FB=CD=a ，在Rt △ACF 中，∠ACF=α，CF=b ，tan ∠ACF=AF CF∴AF=tan tan CF ACF b α∠=,AB=AF+BF=tan a b α+，故选：A ．【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．8．B解析：B【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值.【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ， ()22.5==211+2AC C tan ta D x n D =∠=-︒故选：B.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.9．B解析：B【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA'M ；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN ；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN ．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．【详解】设AD 交AC 于N ，A D ''交AC 于M ，当0＜x ≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA 'M ，∵Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，AA x '=，∴tan ∠CAB =A M BC AA AB =''， ∴A 'M =12x ， 其面积y=12AA A M ''=12x •12x =14x 2， 故此时y 为x 的二次函数，排除选项D ；当2＜x ≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'A 'MN ，AA x '=，2AF x '=-，同理：A 'M =12x ，()122F M x ='-， 其面积y=12AA A M ''-12AF F M ''=12x •12x ﹣12（x ﹣2）•12（x ﹣2）=x ﹣1， 故此时y 为x 的一次函数，故排除选项C ．当4＜x ≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'BCN ，AF '=x ﹣2，F 'N =12（x ﹣2），F 'B =4﹣（x ﹣2）=6﹣x ，BC =2， 其面积y =12 [12（x ﹣2）+2]×（6﹣x ）=﹣14x 2+x +3， 故此时y 为x 的二次函数，其开口方向向下，故排除A ；综上，只有B 符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象以及三角函数的知识，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．10．B解析：B【分析】如图，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥EF 于N ，在Rt △DCN 中，求出CN 即可得到FN 的长，由四边形DMFN 是矩形可得DM 的长，然后分别在Rt △ADM 和Rt △DMB 中，解直角三角形求出AM ，BM 即可解决问题．【详解】解：如图，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥EF 于N ，在Rt △DCN 中，CN ＝CD•cos40°≈20.0×0.77＝15.4（米），∵CF ＝CG ＋GF ＝44.6（米），∴FN ＝CN ＋CF ＝60.0（米），易得四边形DMFN 是矩形，∴DM ＝FN ＝60.0（米），在Rt △ADM 中，AM ＝DM•tan30°＝31.7360.060.0=34.63（米），在Rt△DMB中，BM＝DM•tan10°≈60.0×0.18＝10.8（米），∴AB＝AM＋BM＝45.4（米），即瀑布AB的高度约为45.4米，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是灵活运用三角函数解决问题，属于中考常考题型．11．C解析：C【分析】如下图，先在Rt△CBF中求得BF、CF的长，再利用Rt△ADG求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点G∵BC的坡度为1:0.75∴设CF为xm，则BF为0.75xm∵BC=140m∴在Rt△BCF中，()222+=，解得：x=112x x0.75140∴CF=112m，BF=84m∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG是直角三角形∵DE=55m，CE=FG=36m∴DG=167m，BG=120m设AB=ym∵∠DAB=40°∴tan40°=1670.84120DGAG y==+解得：y=78.8故选：C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.12．A解析：A【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．设AB=AD=x．又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，∴AD=EF=x．在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，∴BE=12AB=12x，∴22AB BE-32x，在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=32 x．又∵BC=6，∴BE+EF+CF=6，即12x+x+32x=6，解得 x=2∴△ACD的面积是：12AD•DF=123323故选：A．【点睛】此题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形．解题的关键是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度．二、填空题13．﹣1【分析】原式利用特殊角的三角函数值绝对值的代数意义以及零指数幂法则计算即可得到结果【详解】解：原式＝＝故答案为：﹣1【点睛】此题考查了实数的运算特殊角的三角函数值以及零指数幂熟练掌握运算法则是解1【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】112+-11【点睛】此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值,以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．【分析】先根据矩形的性质勾股定理可得再利用正弦三角函数可得然后根据即可得【详解】四边形ABCD 是矩形在中则即图中阴影部分的面积是故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质正弦三角函数扇形的面积公式等知识解析：712π-【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得1,2,90CD BD ADC BCD ==∠=∠=︒，再利用正弦三角函数可得30CBD ∠=︒，然后根据RtBCD DCN BDM S S S S =+-阴影扇形扇形即可得．【详解】四边形ABCD 是矩形，1AB =，BC =，1,2,90CD AB BC ADC BCD ∴====∠=∠=︒，在Rt BCD 中，1sin 2CD CBD BD ∠==， 30CBD ∴∠=︒， 则Rt BCDDCN BDM S S S S =+-阴影扇形扇形， 22901302113603602ππ⨯⨯=+-⨯712π=，即图中阴影部分的面积是73122π-， 故答案为：7312π-． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、正弦三角函数、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．15．【分析】先求出CD 的长再证明△ABD ∽△DCE 得代入即可求解【详解】解：如图1作AH ⊥BC 于H ∵∴∴BH=ABcosB=10×=8∵AB=AC ∴BC=2BH=16∠B=∠C ∴CD=16-4=12∵∠ 解析：265【分析】 先求出CD 的长，再证明△ABD ∽△DCE ，得CE CD BD AB =，代入即可求解. 【详解】解：如图1，作AH ⊥BC 于H ，∵3tan 4B =∴cos 45B = ∴BH=ABcosB=10×45=8， ∵AB=AC ，∴BC=2BH=16，∠B=∠C ，∴CD=16-4=12，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B ，∵∠ADE=∠B ，∴∠EDC=∠BAD ，∴△ABD ∽△DCE ，∴CE CD BD AB =， ∴12410CE =，∴245CE =. ∴26105AE CE =-=故答案是：265. 【点睛】 本题考查的是三角形综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形，等腰三角形的性质等． 16．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH 表示出AHBH 的长然后计算出AB 的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C解析：)12001 【解析】【分析】在Rt ACH 和Rt HCB 中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH 、BH 的长，然后计算出AB 的长．【详解】由于CD//HB ， CAH ACD 45∠∠∴==，B BCD 30∠∠==，在Rt ACH 中，CAH 45∠∴=，AH CH 1200∴==米，在Rt HCB ，CH tan B HB∠=， CH 1200HB tan B tan3033∠∴====米)， )AB HB HA 120012001∴=-==米，故答案为)12001. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．17．375【分析】首先根据题意得到BE=DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x 则AE=6﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB=∠DBC 由题意得解析：3.75【分析】首先根据题意得到BE =DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题．【详解】设ED =x ，则AE =6﹣x ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB =∠DBC ．由题意得：∠EBD =∠DBC ，∴∠EDB =∠EBD ，∴EB =ED =x ．由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2，即x 2=9+（6﹣x ）2，解得：x =3.75，∴ED =3.75．故答案为3.75．【点睛】本题考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．18．【分析】连接BC 可得∠ACB=90°根据同弧对等角有∠D=∠A 在△ABC 中根据正切定义可求出tanD 【详解】如图所示连接BC 因为AB 是直径所以∠ACB=90°在Rt △ABC 中BC=tanA=而BC 弧 解析：22 【分析】 连接B 、C ，可得∠ACB=90°，根据同弧对等角有∠D=∠A ，在△ABC 中根据正切定义可求出tanD.【详解】如图所示，连接B 、C ，因为AB 是直径，所以∠ACB=90°在Rt △ABC 中BC=2222AB AC =62=42--，tanA=BC 42==22AC 2， 而BC 弧所对的∠D=∠A ，所以tanD= tanA=22.【点睛】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、勾股定理，连接BC 构造直角三角形是解题的关键.19．【分析】先求出点B 的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B （1）∴OA=1OB=∴tan ∠A解析：()20200,4【分析】先求出点B 31），得到OA=1，3∠AOB=60°，再求出∠130OA B =得到133AA =，求出1A (0，4)；同理得到1143A B =121112A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案.【详解】将y=1代入y x =中得 ∴B ，1），∴OA=1，∴tan ∠AOB=AB OA=， ∴∠AOB=60°，∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =,∴13AA =,∴14OA =,∴1A (0，4)；同理：11A B =121112A AB =， ∴2OA =1624=，∴2A （0，24）； ，∴点2020A 的坐标为()20200,4，故答案为：()20200,4. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键. 20．【分析】连接PMPN 根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x 则PB=2a －x 然后利用锐角三角函数求出PM 和P【分析】连接PM 、PN ，根据菱形的性质求出∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x ，则PB=2a －x ，然后利用锐角三角函数求出PM 和PN ，然后利用勾股定理求出MN 2与x 的函数关系式，化为顶点式即可求出MN 2的最小值，从而求出结论．【详解】解：连接PM 、PN∵四边形APCD 和四边形PBFE 为菱形，60DAP ∠=︒∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM ⊥AC ，PN ⊥EB ，AC 平分∠DAP ，PM 平分∠APC ，PN 平分∠EPB∴∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30° ∴∠MPN=∠MPC ＋∠EPN=90°设AP=x ，则PB=2a －x ∴PM=AP·sin ∠CAP=12x ，PN=PB·cos ∠32a －x ） 在Rt △MON 中MN 2= PM 2＋PN 2=214x ＋34（2a －x ）2=（x －32a ）2＋34a 2 当x=32a 时，MN 2取最小值，最小为34a 2 ∴MN 的最小值为32a 3． 【点睛】 此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．三、解答题21．200mm【分析】求ABCD 的周长就是求AB 和AD 的长，可分别过B 、D 作垂线垂直于l ，通过构造直角三角形根据α=36°和ABCD 的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽12mm 等条件来求出AB 、AD 的长．【详解】作BE ⊥m 于点E ，DF ⊥m 于点F ，∵α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF =α=36°，根据题意，得 BE=24mm ，DF=48mm ，在Rt △ABE 中，BE sin AB α=， ∴2440sin 360.60BE AB ===︒( mm)， 在Rt △ADF 中，DF cos ADF AD ∠=， ∴4860cos360.80DF AD ===︒( mm)， ∴矩形ABCD 的周长=2(40+60)=200( mm)．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．22．（1）画图见解析；1C 的坐标是（2，-2）；tan BAC ∠=1；（2）画图见解析；2C 的坐标是（1，0）；（3）45210【分析】（1）将△ABC 关于x 轴对称得到△A 1B 1C 1，如图所示，找出所求点坐标；证明ABC 是等腰直角三角形即可求出tan BAC ∠的值；（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．（3）先求出△ABC 的周长，再根据222A B C 与ABC 的位似比为2:1，即可求出222A B C 的周长．【详解】解：（1）111A B C 如图所示，点C 1的坐标是（2，-2）；∵222125AC =+=，222125BC =+=，2221310AB =+=，∴222AC BC AB +=，AC BC =，∴ABC 是等腰直角三角形，∴45BAC ∠=，∴tan BAC ∠= tan 45=1；故答案是：（2，-2）；1；（2）△A 2B 2C 2如图所示，2C 的坐标是（1，0）；故答案是：（1，0）；（3）∵△ABC 的周长55102510222A B C 与ABC 的位似比为2:1，∴222A B C 的周长为2(2510)=4510 故答案为：510【点睛】此题考查了作图-位似变换与对称变换及三角函数值的求法，熟练掌握位似变换与对称变换的性质是解本题的关键．23．（1）2；（2）52【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式、特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：（1）原式12212=-⨯+， 211=-+，2=．解：原式233224=++-⨯ 332222=++- 52=+．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．24．447km【分析】过点B 作BD ⊥AC 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出AD 及CD 的长，进而可得出A 地到C 地之间高铁线路的长．【详解】解：如图所示，过点B 作BD AC ⊥于点D ，则//BD AE ，由题意得：390km AB =，30CBD ∠=︒，//BD AE ，则67ABD BAE ∠∠==︒，BD AC ⊥，∴在Rt △ABD 中，sin AD ABD AB ∠=，cos BD ABD AB∠=， 1239036013AD ∴=⨯=，539015013BD =⨯=， 又在Rt BCD 中，30CBD ∠=︒，12CD BC ∴=， 由勾股定理得：222CD BD BC +=，222150(2)CD CD ∴+=，解得：3CD =，3 1.73≈，50 1.7387CD ∴≈⨯=，AC AD CD ∴=+36087=+447=，答：A 地到C 地之间高铁线路长为447km ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 25．（1）40x -，()340x -；（2）EF 的长度10m 或30m ；（3）EF 的长度为20m 时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价440003．【分析】（1）根据菱形的性质及锐角三角函数的应用求解可得；（2）连接DB ，知EF ∥DB ，由AE AF AD AB=知AF=AE=x ，证△AEF 是等边三角形得EF=AE=x ，由EF•EH=3003，列方程解之可得；（3）根据菱形的面积计算公式以及二次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，且AB=40，∴AD=AB=40，∵AE=x ，则DE=40-x ，如图，过点D 作DP ⊥EH 于点P ，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，则∠DEH=∠DHE=30°，∴EH=2EP=2DEcos30°=2×(40-x)×332=(40-x)； 故答案为：40x -，()340x -；（2）如图，连接DB ，则EF ∥DB ，∴AE AF AD AB=， ∵AD=AB ，∴AF=AE=x ，又∠A=60°， ∴△AEF 是等边三角形，∴EF=AE=x ，由（1）可知EH =，∴EF•EH x =•，整理，得：2403000x x -+=，解得121030x x ==，经检验均符合题意，答：EF 的长度10m 或30m ；（3）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=40m ，∴BD=40，∴菱形ABCD 的面积是：1402⨯⨯=2m )，∵矩形EFGH 的面积是：EF•EH )240x x =-=+，∴草坪的面积是：()22+=-+，∴总造价为：()225060++-+2=-+)220x =-+ ∵0>，∴当20x =时，总造价最小，最小值为答：EF 的长度为20m 时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的应用，菱形的性质，矩形的性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．（1）见解析；（2【分析】（1）作AB ，BC 的垂直平分线交于点O ，则点O 即为所求；（2）根据正三角形的每个内角为60°和三角形外接圆的相关知识解答.【详解】（1）如图所示，点O 即为所求ABC ∆外心.（2）如图，O是等边△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，延长AO交BC于D，∵OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵ABC是等边三角形，4AB BC AC===，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AO是BC的垂直平分线，∴OD⊥BC，BD=BC=2，∴190602ODB BODBOC∠=︒∠=∠=︒，，∴43sin60332BDOB===︒.【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，解答此题要明确两点：（1）正多边形的中心和外接圆圆心重合；（2）正三角形每个内角每条边都相等.。
武汉外国语学校八年级数学上册第一单元《三角形》检测(答案解析)
一、选择题1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（ ）A ．三角形两边之和大于第三边B ．三角形具有稳定性C ．三角形的内角和是180D ．直角三角形两个锐角互余2．如图，ABC 中，BC 边上的高是（ ）A ．AEB ．ADC ．CD D ．CF 3．如图，ABC 中，55,B D ∠=︒是BC 延长线上一点，且130ACD ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．65︒C ．75︒D ．85︒4．如图，线段BE 是ABC 的高的是( )A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，∠A ＝x °，∠B ＝(2x ＋10)°，∠C 的外角大小(x ＋40)°，则x 的值等于（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．406．如图，为估计池塘岸边A 、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得OA ＝15米，OB=10米，A 、B 间的距离不可能是（ ）A ．20米B ．15米C ．10米D ．5米7．下列说法正确的有（ ）个①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形．A ．3B ．2C ．1D ．08．小红有两根长度分别为4cm 和8cm 的木棒，他想摆一个三角形，现有长度分别为3cm ，4cm ，8cm ，15cm 四根木棒，则他应选择的木棒长度为（ ）．A ．3cmB ．4cmC ．8cmD ．15cm 9．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，6cmB ．3cm ，4cm ，8cmC ．5cm ，6cm ，10cmD ．5cm ，6cm ，11cm 10．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．长方形的对称性C ．长方形四个角都是直角D ．三角形的稳定性11．下列说法正确的个数为（ ） ①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④ B ．①②③ C ．①④⑤ D ．②④⑤ 12．具备下列条件的三角形中，不是．．直角三角形的是（ ）A ．ABC ∠+∠=∠B ．12A BC ∠=∠=∠ C ．3A B C ∠=∠=∠D ．1123A B C ∠=∠=∠ 二、填空题13．如图，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为________．14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．15．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．16．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条． 17．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE 的长为_________．18．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．19．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则CDP ∠=___________度．20．一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角）三、解答题21．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，29A ∠=︒，CD 是边AB 上的高，E 是边AB 延长线上一点．求：（1）CBE ∠的度数；（2）BCD ∠的度数．22．如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE ⊥BC 于点E ．（1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE 的度数；（2）若∠C ＞∠B ，试说明∠DAE=12(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A 在AD 上移动到A′处，A′E ⊥BC 于点E ．此时∠DAE 变成∠DA′E ，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？23．已知a ，b ，c 为三角形三边的长，化简：a b c b c a c a b +++-----． 24．题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格： 内部点的个数 1 2 3 n 得到三角形个数 3 5成表格：内部点的个数1 2 3 n 得到三角形个数n ，得到三角形的个数是x ，请直接写出x 与m 、n 的关系：______________．25．如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°．（1）它是几边形？（2）这个正多边形的内角和是多少度？（3）求这个正多边形对角线的条数．26．已知在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠的邻补角，请写出BE 与DF 的位置关系并证明；（2）如图2，若BF 、DE 分别平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，判断DE 与BF 位置关系并证明；（3）如图3，若BE 、DE 分别五等分ABC ∠、ADC ∠的邻补角（即11,55CDE CDN CBE CBM ∠=∠∠=∠），求E ∠度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据三角形的稳定性可以解决．【详解】因为三角形具有稳定性，手机支架与桌面形成了一个三角形，所以是利用了三角形的稳定性．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．【详解】由图可知，过点A作BC的垂线段AD，则ABC中，BC边上的高是AD．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据三角形的外角性质求解．【详解】解：由三角形的外角性质可得：∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD-∠B=130°-55°=75°，故选C．【点睛】本题考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质定理并能灵活运用是解题关键．4．D解析：D【分析】根据高的画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E ，其中线段BE 是△ABC 的高，再结合图形进行判断．【详解】A 选项中，BE ⊥BC ，BE 与AC 不垂直，此选项错误；B 选项中，BE ⊥AB ，BE 与AC 不垂直，此选项错误；C 选项中，BE ⊥AB ，BE 与AC 不垂直，此选项错误；D 选项中，BE ⊥AC ，∴线段BE 是△ABC 的高，此选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．5．A解析：A【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列出方程求解即可．【详解】解：∵∠C 的外角=∠A+∠B ，∴x+40=2x+10+x ，解得x=15．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．6．D解析：D【分析】连接AB ，根据三角形三边的数量关系得到AB 长的范围，即可得出结果．【详解】解：如图，连接AB ，∵15AO m =，10OB m =，∴15101510AB -<<+，即525AB <<．故选：D ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质．7．C解析：C【分析】分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可．【详解】解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误；②连接C 、D 两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；③两点之间线段最短，故原说法错误；④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形，此说法正确．所以，正确的说法只有1个，故选：C ．【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．8．C解析：C【分析】设选择的木棒长为x ，根据第三边大于两边之差小于两边之和即可求出范围，再结合选项即可得出答案．【详解】由题意得，设选择的木棒长为x ，则8448x -<<+，即412x <<，∴选择木棒长度为8cm ．故选C ．【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三边关系是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据三角形三边关系解答．【详解】A 、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；B 、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；C 、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；D 、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；故选：C ．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．10．D解析：D【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性．【详解】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D 正确．故答案选D ．【点睛】本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．11．A解析：A【分析】根据直线的性质、两点间的距离、等式的性质、线段中点定义、多边形的定义依次判断．【详解】①过两点有且只有一条直线，故①正确；②两点之间，线段最短，故②正确；③若ax ay =，当0a =时，x 不一定等于y ，故③错误；④若A ，B ，C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点，故④正确；⑤各角都相等且各边相等的多边形是正多边形，故⑤错误．∴正确的有①②④，故选：A ．【点睛】此题考查理解能力，正确掌握直线的性质、两点间的距离、等式的性质、线段中点定义、正多边形的定义是解题的关键．12．C解析：C【分析】利用三角形的内角和，代入已知条件求出角的度数，逐一判断是否有直角即可．【详解】A ：ABC ∠+∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：2=180C ︒∠⇒=90C ∠︒，故此选项不符合题意；B ：12A BC ∠=∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：11++=2=18022C C C C ︒∠∠∠∠⇒=90C ∠︒，故此选项不符合题意； C ：3A B C ∠=∠=∠，代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：3+3+=180C C C ︒∠∠∠⇒26C ≈︒∠，故此选项符合题意；D ：1123A B C ∠=∠=∠代入+=180A B C ∠+∠∠︒得：12++=18033C C C ︒∠∠∠⇒=90C ∠︒，故此选项符合题意； 故答案选：C【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，熟悉掌握三角形的内角和运算方式是解题的关键．二、填空题13．180°【分析】两次运用三角形的外角定理求出∠B+∠C+∠D=∠2再通过三角形的内角和定理即可求解【详解】解：如图∵∠1是△CDF 外角∴∠C+∠D=∠1∵∠2是三角形BFG 外角∴∠B+∠1=∠2∴∠解析：180°【分析】两次运用三角形的外角定理求出∠B+∠C+∠D=∠2，再通过三角形的内角和定理即可求解【详解】解：如图，∵∠1是△CDF 外角，∴∠C+∠D=∠1，∵∠2是三角形BFG 外角，∴∠B+∠1=∠2，∴∠B+∠C+∠D=∠2，∴=2180A B C D E A E ∠+∠+∠+∠+∠∠+∠+∠=︒．故答案为：180°【点睛】本题考查了三角形的外角定理、内角和定理，通过三角形的外角定理将∠B+∠C+∠D 转化为∠2是解题关键．14．10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=45°再利用三角形的内角和求解【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=×90°=45°∴∠ADC解析：10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=45°，再利用三角形的内角和求解．【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=12×90°=45°，∴∠ADC=∠A′DC=180°−45°−50°=85°，∴∠A′DB=180°−85°×2=10°．故答案为：10°．【点睛】本题利用对折考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．15．【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可【详解】解：∵BD=DC∴S△ABD=S△ADC=×6=3（cm2）∵AE=DE∴S△AEB=S△AEC=×3=（cm2）∴S△BEC解析：3 2【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．【详解】解：∵BD=DC，∴S△ABD=S△ADC=12×6=3（cm2），∵AE=DE，∴S△AEB=S△AEC=12×3=32（cm2），∴S△BEC=6-3=3（cm2），∵EF=FC，∴S△BEF=12×3=32（cm2），故答案为32．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形就可以得到结果【详解】解：设这个多边形是n 边形解得∴是四边形∴从一个顶点出发的对角线有1条故答案是：1【点睛】本题考查多边形内角和公式解题的关键是掌握多 解析：1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形，就可以得到结果．【详解】解：设这个多边形是n 边形，()180290n n ︒-=︒，解得4n =，∴是四边形，∴从一个顶点出发的对角线有1条．故答案是：1．【点睛】本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．17．2或6【分析】利用面积法求出BD 即可求得CD 再分AE 在内部和外部求出DE 即可【详解】解：为的高△ABD 的面积为14AE=7∴∵为的中线∴CD=BD=4当AE 在内部时∵CE=2∴DE=CD-CE=2当解析：2或6【分析】利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．【详解】解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7， 1142∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7D ==AE ∵AD 为ABC 的中线，∴CD=BD=4， 当AE 在ABC 内部时∵CE=2，∴DE=CD-CE=2，当AE 在ABC 外部时∵CE=2，∴DE=CD+CE=6，故答案为：2或6【点睛】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键． 18．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故答案为：20°．【点睛】 本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 19．10或50【分析】分点P 在AB 的上方点P 在AB 与CD 的中间点P 在CD 的下方三种情况再分别根据平行线的性质三角形的外角性质求解即可得【详解】由题意分以下三种情况：（1）如图点P 在AB 的上方；（2）如图解析：10或50【分析】分点P 在AB 的上方、点P 在AB 与CD 的中间、点P 在CD 的下方三种情况，再分别根据平行线的性质、三角形的外角性质求解即可得．【详解】由题意，分以下三种情况：（1）如图，点P 在AB 的上方，30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，150BPD PBA ∴∠=∠+∠=︒，//AB CD ，150CDP ∴∠=∠=︒；（2）如图，点P 在AB 与CD 的中间，延长BP ，交CD 于点E ，//,20AB CD PBA ∠=︒，20BED PBA ∴∠=∠=︒，30BPD ∠=︒，10CDP BPD BED ∴∠=∠-∠=︒；（3）如图，点P 在CD 的下方，//,20AB CD PBA ∠=︒，120PBA ∴∠=∠=︒，30BPD ∠=︒，13030CDP BPD CDP ∴∠=∠+∠=∠+︒>︒与120∠=︒不符，即点P 不可能在CD 的下方；综上，10CDP ∠=︒或50CDP ∠=︒，故答案为：10或50．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．20．直角【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数即可得出答案【详解】180°÷(1+2+3)×3=180°÷6×3=30°×3=90°答：这个三角形中最大的角是直角故答案为：直角解析：直角【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案．【详解】180°÷(1+2+3)×3=180°÷6×3=30°×3=90°，答：这个三角形中最大的角是直角．故答案为：直角．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出这个三角形的最大内角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．三、解答题21．（1）119°；（2）29°．【分析】（1）根据外角的性质解答即可；（2）根据90A ACD ∠+∠=︒，90ACD BCD ACB ∠+∠=∠=︒，从而 得到29BCD A ∠=∠=︒即可．【详解】解：（1）∵ 90ACB ∠=︒，29A ∠=︒，CBE ∠是ABC 的外角，∴ 119CBE ACB A ∠=∠+∠=︒；（2）∵ CD 是AB 边上的高，∴ 90ADC ∠=︒．∴ 90A ACD ∠+∠=︒．∵ 90ACB ACD BCD ∠=∠+∠=︒，29A ∠=︒，∴ 29BCD A ∠=∠=︒．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、外角的性质以及互余的性质，解题关键是熟练运用三角形外角的性质以及互余的性质．22．（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确．【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD 的度数，在△ABE 中，利用直角三角形的性质求出∠BAE 的度数，从而可得∠DAE 的度数． （2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B 和∠C 表示出∠A′DE ，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=12(∠C-∠B)．【详解】（1）∵∠C=80°，∠B=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；（2）理由：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12(180°-∠B-∠C)= 90°-12∠B-12∠C，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=90°-∠B，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°-∠B) -(90°-12∠B-12∠C )=12∠C-12∠B=12(∠C-∠B)；（3）（2）中的结论仍正确．∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+12∠BAC=∠B+12(180°-∠B-∠C) = 90°+12∠B-12∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE=180°-90°-(90°+12∠B-12∠C)=12(∠C-∠B)．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．23．a+c-b【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：∵a 、b 、c 为三角形三边的长，∴a+b ＞c ，a+c ＞b ，∴原式=(a b)c b (c a)c (a b)+-+-+--+=a+b-c-b+c+a+c-a-b=a+c-b【点睛】本题考查的是三角形的三边关系以及整式的加减运算，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．24．继续探究：图见解析，7，21n ；拓展联系：4，6，8，22n +；概括提升：22x n m =+-【分析】继续探究：由题意得出这些三角形的个数是从3开始的连续奇数，据此可得结论； 拓展联系：分别画出图形，得到相关数据，总结规律即可；概括提升：根据n 边形的内部的m 个点，共（m+n ）个点作为顶点，可把原n 边形分割成（2m+n-2）个互不重叠的小三角形，据此可得．【详解】解：继续探究：如图，在三角形纸片内部给定1个点,得到3个三角形; 在三角形纸片内部给定2个点,得到5个三角形; 在三角形纸片内部给定3个点,得到7个三角形; 在三角形纸片内部给定n 个点,得到(2n+1)个三角形;故填表得：内部点的个数1 2 3 n 得到三角形个数3 5 7 2n+1在四边形纸片内部给定1个点,得到4个三角形; 在四边形纸片内部给定2个点,得到6个三角形; 在四边形纸片内部给定3个点,得到8个三角形; 在四边形纸片内部给定n 个点,得到(2n+2)个三角形;填表如下：(3)设纸片的边数为m,内部给定1个点,得到m 个三角 形, 内部给定2个点,得到(m+2)个三角形, 内部给定3个点,得到(m+2×2)个三角形, 内部给定n 个点,得到(2n+m-2)个三角形, ∴x=2n+n-2.【点睛】此题考查图形的变化规律性；得到三角形的个数与三角形内点的个数的变化规律是解决本题的关键．25．（1）十二边形；（2）这个正多边形的内角和为1800︒；（3）对角线的总条数为54 条．【分析】（1）设一个外角为x°，则内角为（4x+30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30=180，解方程可得x 的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数； （2）利用多边形内角和公式即可得到答案；（3）根据n 边形有()32n n -条对角线，即可解答． 【详解】（1）设这个正多边形的一个外角为x ︒，依题意有430180x x ++=，解得30x =， 3603012︒÷︒=∴这个正多边形是十二边形.（2）这个正多边形的内角和为(122)1801800-⨯︒=︒；（3）对角线的总条数为()12312542⨯=－(条) ． 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．另外还要注意从n 边形一个顶点可以引（n-3）条对角线． 26．（1）BE DF ⊥，证明见解析；（2）//DE BF ，证明见解析；（3）54°【分析】（1）结论：BE ⊥DF ，如图1中，延长BE 交FD 的延长线于H ，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；（2）结论：DE//BF ，如图2中，连接BD ，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；（3）延长DC 交BE 于H ．由（1）得：180CDN CBM ∠+∠=︒，利用五等分线的定义可求36CDE CBE ∠+∠=︒，由三角形的外角性质得BCD CBE CDE E ∠=∠+∠+∠，代入数值计算即可．【详解】（1）BE DF ⊥．证明：延长BE 、FD 交于G ．在四边形ABCD 中，360A ABC C ADC ，90A C ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒．180ADC CDN ∠+∠=︒，ABC CDN ∴∠=∠． BE 平分ABC ∠，DF 平分CDN ∠， 12ABE ABC ∴∠=∠，12FDN CDN ∠=∠， ABE FDN ∴∠=∠，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG ，∠FDN=∠EDG ，∴∠DEG+∠EDG=90°，∴∠EGD=90°，即BE ⊥DF ．（2）//DE BF ．证明：连接DB ．180ABC MBC ∠+∠=︒，180ADC CDN ∠+∠=︒．又180ABC ADC ∠+∠=︒，180MBC CDN ∴∠+∠=︒．BF 、DF 平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，12CBF MBC ∴∠=∠，12CDE CDN ∠=∠， 90CBF CDE ∴∠+∠=︒．在Rt BDC 中，90CDB DBC ∠+∠=︒，180CDB DBC CBF CDE ∴∠+∠+∠+∠=︒，180EDB DBF ∴∠+∠=︒，//DE BF ∴．（3）延长DC 交BE 于H ．由（1）得：180CDN CBM ∠+∠=︒． BE 、DE 分别五等分ABC ∠、ADC ∠的邻补角， 1180365CDE CBE ∴∠+∠=⨯︒=︒， 由三角形的外角性质得，BHD CDE E ∠=∠+∠，BCD BHD CBE ∠=∠+∠，BCD CBE CDE E ∴∠=∠+∠+∠，903654E ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．。
三角形填空选择达标检测卷(Word版 含解析)
三角形填空选择达标检测卷（Word版含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα∠的度数为______.(用含α的代数式表示)交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可．解：有两种情况：①如图所示,当∠BAC⩾90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°；②如图所示,当∠BAC<90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．【答案】10【解析】【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏.3．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．【答案】17 22m<<【解析】【分析】作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ，在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴CE=AB ，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE ＜4+3， 即1＜AE ＜7，∴1722m <<． 故答案为：1722m <<． 【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.4．已知三角形的两边的长分别为2cm 和8cm ，设第三边中线的长为x cm ，则x 的取值范围是_______【答案】3＜x ＜5【解析】【分析】延长AD 至M 使DM=AD ，连接CM ，先说明△ABD ≌△CDM ，得到CM=AB=8，再求出2AD 的范围，最后求出AD 的范围.【详解】解：如图：AB=8，AC=2，延长AD 至M 使DM=AD ，连接CM在△ABD 和△CDM 中，AD MDADB MDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△MCD（SAS），∴CM=AB=8．在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，解得：3＜x＜5．故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答.5．已知ABC中，90A∠=，角平分线BE、CF交于点O，则BOC∠= ______ ．【答案】135【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为：135°．点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．6．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，（1）左转了____次；（2）一共走了_____米．【答案】11120【解析】∵360÷30=12，∴他需要走12−1=11次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米.故答案为11，120.7．如图，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF =_________度.【答案】74°【解析】【分析】【详解】试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．∵CE平分∠ACB，∠ACB=35°．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∴∠ACE=12∠CDA=50°．∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°．∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．考点：三角形内角和定理．8．如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______m．【答案】120．【解析】【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．【详解】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴该正多边形的边数为n=360°÷15°=24，则一共走了24×5=120米，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接用360°除以一个外角度数．9．三角形三边长分别为 3，1﹣2a，8，则 a 的取值范围是 _______．【答案】﹣5＜a＜﹣2．【解析】【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，再将a的取值范围在数轴上表示出来即可．【详解】由三角形三边关系定理得8-3＜1-2a＜8+3，即-5＜a＜-2．即a的取值范围是-5＜a＜-2．【点睛】本题考查的知识点是三角形三边关系，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键是根据三角形三边关系定理列出不等式.10．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2-∠1=____.【答案】90°【解析】【分析】【详解】如图：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠2．∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°﹣∠2．∵∠4+∠1=90°，∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．故答案为90°.二、八年级数学三角形选择题（难）11．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为40cm2，则△BEF的面积是（）cm2．A．5B．10C．15D．20【答案】B【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵点E是AD的中点，∴S△ABE=12S△ABD,S△ACE=12S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×40=20cm2，∴S△BCE=12S△ABC=12×40=20cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×20=10cm2.故选B.【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．12．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【解析】【分析】先根据三角形的外角，用∠AGE表示出∠A，∠B；用∠EMC表示出∠E，∠F；用∠CNA 表示出∠C，∠D，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可【详解】解：如图：∵∠AGE是△ABG的外角∴∠AGE=∠A+∠B；同理：∠EMC=∠E+∠F；∠CNA=∠C+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGE+∠EMC+∠CNA又∵∠AGE+∠EMC+∠CAN是△MNG的三个外角∴∠AGE+∠EMC+∠CAN=360°故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形外角及其外角和，其中找出三角形的外角是解答本题的关键. 13．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接O在AO上取一点F,使得OF=12AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（）A．2 B．83C．3 D．103【答案】B【解析】【分析】重心定理：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等.【详解】解：∵点D、E分别是边AC,AB的中点，∴O为△ABC的重心，∴13AOCS=ABCS=4,∴12DOC DOAS S==AOCS=2,∵OF=12AF ， ∴13DOF S =AOD S =23, ∴S 阴=DOC S +DOF S =83. 故选：B.【点睛】本题考查了重心及重心定理，熟练掌握相关定理是解题关键.14．有下列说法： ①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为、、3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两边长为3、4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可知，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故①正确；根据三边可知：，，3²=9，因此可知：，由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形，故②正确；由等腰三角形的三边可知其边长为：3，3，4或3，4，4，则周长为10或11，故③不正确； 由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形，故④不正确. 故选：C15．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】试题解析：设这个多边形的边数为n ，由题意可得：（n-2）×180°=1260°，解得n=9，∴这个多边形的边数为9，故选D ．16．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=--【答案】A【解析】【分析】【详解】 分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 详解:由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.17．如图所示，小华从A 点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走的路程是（ ）A ．140米B ．150米C ．160米D ．240米【答案】B【解析】【分析】由题意可知小华走出了一个正多边形，根据正多边形的外角和公式可求解.【详解】已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，可得多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故答案选B．【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟记公式是关键.18．如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是（）A．八边形B．十四边形C．十边形D．十二边形【答案】D【解析】【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【详解】这个正多边形的边数是n，根据题意得：（n﹣2）•180°=1800°解得：n=12．故选D．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=12∠A．解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC，又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．20．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．。
三角形填空选择检测题(WORD版含答案)
三角形填空选择检测题（WORD 版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．【答案】10【解析】 【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏.2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ∆=，则AB 的长度为_______．【答案】15【解析】【分析】作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ，再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度【详解】作EH AB ⊥∵AE 平分∠BACBAE CAE ∴∠=∠EC EH ∴=∵P 为CE 中点4EC EH ==∴ ∵D 为AC 中点，P 为CE 中点=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设， 15x BEF S =-△∴15+x+y BCD BDA S S ==△△∴y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴1=302BEA S AB EH ⨯=△∵ =15AB ∴【点睛】本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积3．有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，则∠ADE 的度数为（ ）A ．144°B ．84°C ．74°D ．54°【答案】B【解析】 正五边形的内角是∠ABC =()521805-⨯=108°，∵AB =BC ，∴∠CAB =36°，正六边形的内角是∠ABE =∠E =()621806-⨯=120°，∵∠ADE +∠E +∠ABE +∠CAB =360°，∴∠ADE =360°–120°–120°–36°=84°，故选B ．4．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，化简：|a+b ﹣c|-|a ﹣b ﹣c|+|a ﹣b+c|=______．【答案】3a b c --【解析】【分析】根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负，然后利用绝对值的性质去掉绝对值，再去括号合并同类项即可．【详解】解：∵a 、b 、c 为△ABC 的三边，∴a +b ＞c ，a -b ＜c ，a +c ＞b ，∴a +b -c ＞0，a -b -c ＜0，a -b +c ＞0，∴|a +b -c |-|a -b -c |+|a -b +c |=(a +b -c )+(a -b - c )+(a -b +c )=a +b -c +a -b - c +a -b +c=3a -b -c ．故答案为：3a -b -c ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简，利用三角形的三边关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键．5．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB ，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC 中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB ）=2×50°=100°，在△ABC 中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.6． 如果一个n 边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．【答案】8【解析】【分析】根据多边形内角和公式180°（n-2）和外角和为360°可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可．【详解】解：由题意得：180（n-2）=360×3，解得：n=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．7．如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，∠A ＝50°，BD 垂直平分AE ，垂足为D ，则∠EBC 的度数为_____．【答案】100°【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，得BE BA =，根据等腰三角形的性质，得50E A ∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】∵BD 垂直平分AE ，∴BE BA =，∴50E A ∠=∠=︒，∴100EBC E A ∠=∠+∠=︒，故答案为100°．【点睛】考查线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.8．如图所示，请将12A ∠∠∠、、用“＞”排列__________________.【答案】21A ∠∠∠＞＞【解析】【分析】根据三角形的外角的性质判断即可．【详解】解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A∴∠2＞∠1＞∠A ，故答案为：∠2＞∠1＞∠A ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．9．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2-∠1=____.【答案】90°【解析】【分析】【详解】如图：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠2．∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°﹣∠2．∵∠4+∠1=90°，∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．故答案为90°.10．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.【详解】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题（难）11．在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（）A．化归思想B．分类讨论C．方程思想D．数形结合思想【答案】A【解析】【分析】根据多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数）的推导过程即可解答．【详解】解：多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数），该公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和，体现了化归思想．故答案为A．【点睛】本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的关键.12．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+12∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.【详解】∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠1）=90°-12∠1，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-12∠1）=90°+12∠1，∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，∴∠ECD=12∠ACD=12（∠ABC+∠1），∵∠ECD=∠OBC+∠2，∴∠2=12∠1，即∠1=2∠2，∴∠BOC=90°+12∠1=90°+∠2，∴①④正确，②③错误，故选C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.A B C．再分13．如图，ABC的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到111A B C．…… 按此规律，倍长2018次后得到的别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到222A B C的面积为（）201820182018A．201787D．2018 6B．20186C．2018【答案】C【解析】分析：根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此类推写出即可．详解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，所以，S△A1B1C1=7S△ABC，同理S△A2B2C2=7S△A1B1C1=72S△ABC，依此类推，S△AnBnCn=7n S△ABC．∵△ABC 的面积为1，∴S△AnBnCn=7n，∴S△A2018B2018C2018=72018．故选C．点睛：本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．14．如图，三角形ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC上的点，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，若∠DMN=110°，则∠DEA=（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A【解析】【分析】由等腰三角形的性质得到∠B=∠C，由角平分线的定义得到∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，根据外角的性质得∠B=∠DMN－∠BDM，∠C=∠ENM－∠CEN，整理可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，再根据四边形的内角和可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，则∠DEN=70°，故∠DEA=40°．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，∴∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，∵∠B=∠DMN－∠BDM=∠DMN－∠EDM，∠C=∠ENM－∠CEN=∠ENM－∠DEN，∴∠DMN－∠EDM=∠ENM－∠DEN，即∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，∵四边形DMNE内角和为360°，∴∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，∴∠DEN=70°，则∠DEA=180°－2∠DEN=40°.故选A．15．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解析】【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．故选C．【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．16．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】设这个多边形的边数为x，根据题意可得：x-=⨯+，180(2)2360180x=.解得：7故选A.17．一个多边形的每个内角都等于120°, 则此多边形是( )A．五边形B．七边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除以外角的度数即可得到边数．【详解】∵多边形的每一个内角都等于120°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°=60°，∴边数n=360°÷60°=6．故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．18．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.19．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（）A．110°B．120°C．125°D．135°【答案】D【解析】【分析】【详解】如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，∴∠FBE+∠FDE=12（∠ABE+∠CDE）=12（360°﹣90°）=135°，∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．20．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.。
武汉外国语学校数学全等三角形单元试卷(word版含答案)
武汉外国语学校数学全等三角形单元试卷（word 版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ．【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．【详解】解：∵PD AB ，PE BC ∥∴四边形HBDP 是平行四边形∴PD=HB∵ABC 为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∵PE BC ∥∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE 是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE 是等边三角形，∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．2．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB ，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，∴BD=DC ，在△BDF 和△CDA 中，∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ，∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF=AC ，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE ⊥AC ，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF ，故③正确．作GM ⊥AB 于M ．如图所示：∵∠GBM=∠GBH ，GH ⊥BC ，∴GH=GM ＜DG ，∴S △DGB ＞S △GHB ，∵S △ABE =S △BCE ，∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．3．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC AB CAE BADAE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE ≅BAD∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形）∴°120CFD ∠=在CAI 和BAJ 中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.4．如图，点P 是AOB ∠内任意一点，OP =5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，PN PM MN ++的最小值是5 cm ，则AOB ∠的度数是__________．【答案】30°【解析】试题解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为C ，∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，∴OC=OP=OD ，∠AOB=12∠COD ， ∵PN+PM+MN 的最小值是5cm ，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP ，∴OC=OD=CD ， 即△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．5．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC ，EA=EA ，∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =1302BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．6．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．【详解】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD BDDF DE⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11，AC=5，∴BE=12（11-5）=3．故答案为：3．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝32，则CP+PM+DM的最小值是_____．34【解析】【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．【详解】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，则C′T＝OT2，∴D′T＝2，∴C′D34∴CP+PM+DM3434【点睛】本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.8．如图，已知30AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，14OD DP ==，点E ，F 在边OB 上，PE PF =.若6EF =，则OF 的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N ，证明△PMD ≌△PND ，进而求出DF 长度，从而求出OF 的长度. 【详解】如图所示，作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N.∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，∴∠NPD=∠DPO=30°，∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，∴△PND≌△PMD，∴ND=7，∵EF=6，∴DF=ND-NF=7-3=4，∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．10．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝14S△ABH，S△CDH＝14S△ABH，∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×3×3＝92．故填：92．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交与两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，12．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D，∠ABC 的平分线分别交 AC，AD 于E，F，点M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于N，连接 DM，NF，EN．下列结论：①△AFE为等腰三角形；②△BDF≌△ADN；③NF所在的直线垂直平分AB；④DM平分∠BMN；⑤AE＝EN＝NC；⑥AE BNEC BC．其中正确结论的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD ，∠DBF=∠DAN ，∠BDF=∠ADN ，证△DFB ≌△DAN ，由题意可得BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上，所以③不正确，由∠ADB=∠AMB=90°， 可知A 、B 、D 、M 四点共圆， 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°，继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°， 即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确；根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN ， 继而可得AE=CN ，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ，所以⑤正确；根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形，可得BD=AB ，继而可得22BD BC A BC B ==,由⑤可得22AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】解：∵等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°， ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ，∴△AEF 为等腰三角形，所以①正确；∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE= 12∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE ，AM ⊥BE ，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中,∠FBD＝∠DAN ,BD＝AD ,∠BDF＝∠ADN ，∴△FBD≌△NAD，所以②正确；因为BF>BD=AD,所以BF AF,所以点F不在线段AB的垂直平分线上，所以③不正确∵∠ADB=∠AMB=90°，∴A、B、D、M四点共圆，∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴DM平分∠BMN ,所以④正确；在△AFB和△CNA中，∠BAF＝∠C＝45°,AB＝AC, ∠ABF＝∠CAN＝22.5°,∴△AFB≌△CAN（ASA），∴AF=CN，∵AF=AE，∴AE=CN，∵AE=AF，FM=EM，∴AM⊥EF，∴∠BMA=∠BMN=90°，∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，∴△MBA≌△MBN，∴AM=MN，∴BE垂直平分线段AN，∴AB=BN，EA=EN，∵BE=BE，∴△ABE≌△NBE，∴∠ENB=∠EAB=90°，∴EN⊥NC．∴△ENC是等腰直角三角形,∴AE=CN=EN，所以⑤正确；∵AF=FN,所以∠FAN =∠FNA,因为∠BAD =∠FND=45°,所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,所以∠BAN =∠BNA,所以AB=BN,所以22BD BC A BC B ==， 由⑤可知，△ENC 是等腰直角三角形，AE=CN=EN ，∴2AE EN EC EC ==, 所以AE BN EC BC=，所以⑥正确, 故选D.【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．13．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】A【解析】【分析】 根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ︒∠=，得30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．【详解】∵CE 垂直平分AD∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠∵CD 平分BCE ∠∴BCD ECD ∠=∠∴30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=∴60A ︒∠=∴30B BCD ︒∠==∠∴6CD BD AC cm ===【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．14．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（）A．①②③④B．①④③②C．①④②③D．②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②在射线AM上截取AB＝a；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④连结AC、BC．△ABC即为所求作的三角形．故选答案为B．【点睛】本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.15．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【解析】试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒，，，在ACD 与BCE 中，{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=，ACD BCE ∴≌，AD BE ∴=，正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点，即AC 和BF 不垂直，所以AC BE ⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG 是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE ≌，CBE CAD ∴∠=∠，在ACG 和BCF 中，{CAG CBFAC BCBCF ACG ∠=∠=∠=∠，ACG BCF ∴≌，CG CH ∴=，又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形，正确.D.CFG 是等边三角形，60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦，.FG BC ∴ 正确.故选B.16．如图，ABC ∆中，AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，过D 作DE AC ⊥于点E ，若10AC =，4CB =，则AE =（ ）A．7B．6C．3D．2【答案】C【解析】【分析】连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD，DE=DF，依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE，再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD，证出CE=CF，设AE的长度为x，根据CE=CF列方程求解即可．【详解】如图,连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.的平分线CD于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，∵AB的垂直平分线DG交ACB∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD．∴BF=AE．又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD，∴CE=CF，设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x,∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3；故选C.【点睛】本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．17．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等边三角形；④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据全等三角形的判定定理得到△ACD ≌△BCE （SAS ），由全等三角形的性质得到AD=BE ；故①正确；②设CD 与BE 交于F ，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC ，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC 根据线段的中点的定义得到AM=BN ，根据全等三角形的性质得到CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，得到∠MCN=α，推出△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，根据全等三角形的性质得到CH=CG ，根据角平分线的判定定理即可得到OC 平分∠AOE ，故④正确．【详解】解：①∵CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ；故①正确；②设CD 与BE 交于F ，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC=∠BEC ，∵∠CFE=∠DFO ，∴∠DOE=∠DCE=α，∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；③∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，∴AM=12AD，BN=12BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中AC BCCAM CBNAM BN⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=α，∴∠ACM+∠MCB=α，∴∠BCN+∠MCB=α，∴∠MCN=α，∴△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD，∴△CGE≌△CHD（AAS），∴CH=CG，∴OC平分∠AOE，故④正确，故选：B．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．18．如图，Rt ABC∆中，90ACB∠=，3AC=，4BC=，5AB=,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（）A ．52B ．125C ．4D ．53【答案】B【解析】【分析】先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，又∵CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ， 又∵S △ABC =12AC∙BC =12AB∙CE ， ∴AC∙BC=AB∙CE ， ∵3AC =，4BC =，5AB =,∴125CE =， ∴EF 125=. 所以答案为B 选项.【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.19．如图，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ．有下列结论：①∠C =2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③S △BCD =S △BOD ．其中正确的选项是（ ）A．①③B．②③C．①②③D．①②【答案】D【解析】①、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，正确；②、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD．∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD．∴BD是∠ABC的角平分线，正确；③，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误；故选：D.20．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握。
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深圳武汉大学深圳外国语学校数学三角形填空选择达标检测（Word 版 含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，在ABC ∆中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠： 1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=________________．【答案】20202α【解析】【分析】 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知21211112222a A A A A a ∠=∠=∠=∠=，，…，依此类推可知2020A ∠的度数． 【详解】解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴11118022A ACD ACB ABC ∠=︒-∠-∠-∠ 1118018022ABC A A ABC ABC =︒-∠+∠-︒-∠-∠-∠（）（） 1122a A =∠=， 同理可得221122a A A ∠=∠=， …∴2020A ∠=20202α． 故答案为：20202α. 【点睛】 本题是找规律的题目，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时也考查了角平分线的定义．2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ∆=，则AB 的长度为_______．【答案】15【解析】【分析】作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ，再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度【详解】作EH AB ⊥∵AE 平分∠BACBAE CAE ∴∠=∠EC EH ∴=∵P 为CE 中点4EC EH ==∴∵D 为AC 中点，P 为CE 中点=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设，15x BEF S =-△∴15+x+y BCD BDA S S ==△△∴y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴1=302BEA S AB EH ⨯=△∵ =15AB ∴【点睛】本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积3．如图，△ABC 中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE ，交BD 于点G ，交BC 于点H ．下列结论：①∠DBE ＝∠F ；②2∠BEF ＝∠BAF ＋∠C ；③∠F ＝∠BAC －∠C ；④∠BGH ＝∠ABE ＋∠C ．其中正确个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】解：①∵BD ⊥FD ，∴∠FGD +∠F =90°，∵FH ⊥BE ，∴∠BGH +∠DBE =90°，∵∠FGD =∠BGH ，∴∠DBE =∠F ，①正确；②∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，∠BEF =∠CBE +∠C ，∴2∠BEF =∠ABC +2∠C ，∠BAF =∠ABC +∠C ，∴2∠BEF =∠BAF +∠C ，②正确；③∠ABD =90°﹣∠BAC ，∠DBE =∠ABE ﹣∠ABD =∠ABE ﹣90°+∠BAC =∠CBD ﹣∠DBE ﹣90°+∠BAC ，∵∠CBD =90°﹣∠C ，∴∠DBE =∠BAC ﹣∠C ﹣∠DBE ，由①得，∠DBE =∠F ，∴∠F =∠BAC ﹣∠C ﹣∠DBE ，③错误；④∵∠AEB =∠EBC +∠C ，∵∠ABE =∠CBE ，∴∠AEB =∠ABE +∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD =∠FEB ，∴∠BGH =∠ABE +∠C ，④正确．故答案为①②④．点睛：本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．4．如图，△AEF 是直角三角形，∠AEF=900，B 为AE 上一点，BG⊥AE 于点B ，GF∥BE，且AD ＝BD ＝BF ，∠BFG＝60０，则∠AFG 的度数是___________。
【答案】20°【解析】根据平行线的性质，可知∠A=∠AFG ，∠EBF=∠BFG＝60０，然后根据等腰三角形的性质，可知∠BDF=2∠A ，∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF ，因此可得∠AFG=20°. 故答案为：20°.5．如图，ABC 中，点D 在AC 的延长线上，E 、F 分别在边AC 和AB 上，BFE ∠与BCD ∠的平分线相交于点P ，若ABC ∠=70°FEC ∠=80°，则P ∠=______．【答案】85°【解析】【分析】根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB 中∠B +∠BFE +∠FEC +∠BCE =360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC 中求出∠1-∠2+∠P =110°即可解答．【详解】 解：∵∠BFE =2∠1，∠BCD =2∠2，又∵∠BFE +∠ABC +∠FEC +∠BCE =360°，ABC ∠=70°，FEC ∠=80°，∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°，∴∠1-∠2=15°；∵在四边形EFPC 中，∠PFE +∠FEC +∠P +∠PCE =360°，∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P =360°，∴∠1-∠2+∠P =100°，∴∠P =85°，故答案为：85°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和四边形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°和四边形内角和等于360°是解题的关键．6．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________．【答案】6【解析】∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和=1080°−360°=720°，设多边形的边数是n ，∴(n−2)×180°=720°，解得n=6.故答案为6.点睛：先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．7．一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s．【答案】160.【解析】试题分析：该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．试题解析：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m，则所用时间是：48÷0.3=160s．考点：多边形内角与外角．8．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数．9．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是__________ ．【答案】γ=2α+β．【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【点睛】此题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．10．已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是____________【答案】11或13【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）11．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为40cm2，则△BEF的面积是（）cm2．A．5B．10C．15D．20【答案】B【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵点E是AD的中点，∴S△ABE=12S△ABD,S△ACE=12S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×40=20cm2，∴S△BCE=12S△ABC=12×40=20cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×20=10cm2.故选B.【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．12．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（）A．5°B．13°C．15°D．20°【答案】C【解析】【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，问题得解．【详解】在△ABC中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.【点睛】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.13．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】B【解析】如图，满足条件的点C 共有4个．故选B ．14．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF 是△AEF 的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB ∥CD ，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．15．已知直线m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【答案】C【解析】【分析】 先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．【详解】设直线n 与AB 的交点为E 。