北师大版八年级下册数学[等腰三角形(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
等腰三角形（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；
2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．
3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC=a；
2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧
相交于点A;
3.连接AB,AC.
△ABC为所求作的等腰三角形
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)∠B＝∠C；
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝
角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180
2
A
︒-∠
.
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.
要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
要点三、等腰三角形的判定定理
1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2.等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3. 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点四、反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：
（1）假定命题的结论不成立；
（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；
（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
类型一、等腰三角形中的分类讨论
1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．
举一反三：
【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长
1
105 2
=⨯=．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【变式2】在△ABC中，∠A=40°，当∠B=时，△ABC是等腰三角形．
【答案】40°、70°或100°
提示：分为两种情况：（1）当∠A是底角，①AB=BC，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠C=40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC=BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠B．
类型二、等腰三角形的操作题
2、如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内角度数）
【思路点拨】根据等腰三角形的判定定理在左图△ABC中的边BC上取一点D，使BD=AD即可；
在右图△ABC中的边AC上取一点D，使BD=CD即可．
【答案与解析】
解：如图（1）所示：在BC上取一点D，使∠ADB=110°，∠ADC=70°，∠BAD=35°，∠CAD=40°，如图（2）所示：在AC上取一点D，使∠ABD=32°，∠CBD=16°，∠ADB=32°，
∠BDC=148°．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，关键是根据题意画出图形，注意应先确定等腰三角形的各个角的度数，再根据度数画出图形．
举一反三：
【变式】（2015•温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．
【答案】解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；
如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．
类型三、等腰三角形性质与判定的综合应用
3、（2016春•威海期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
【思路点拨】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA 证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．
【答案与解析】
（1）证明：连接BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有个．
【答案】4；
提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有4个．
4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．
【思路点拨】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可．
【答案与解析】
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF．
【总结升华】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出∠CEF=∠CFE．
举一反三：
【变式】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（）
A. 30a
B. 32a
C. 34a
D. 无法计算
【答案】A；
提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x；
x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，
即可求出围成的六边形的周长．
类型四、含30°角的直角三角形
5、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．
【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边
等于斜边的一半解答即可．
【答案与解析】
解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°，
即△CAD为等腰三角形，
∴AD=CD=13，
在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°，
∴AB=1
2
AD=
1
2
×13=6.5(m)．
【总结升华】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=1
2
∠BAC，过点D作DE
⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=1
2 DB．
【答案】
解：∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠BED=90°，
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠3=∠4，又∵DE=DE，
∴△BED≌△AED（ASA），
∴AD=BD，∠2=∠B，
∵∠BAD=∠2=1
2
∠BAC，
∴∠1=∠2=∠B，
∴AD=BD，
又∵∠1+∠2+∠B=90°，
∴∠B=∠1=∠2=30°，
在直角三角形ACD中，∠1=30°，
∴CD= 1
2
AD=
1
2
BD．
类型五、反证法
6、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．
【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立．
【答案与解析】
证明：假设它们所对的边相等；
则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”所以等它们所对的角也相等；
这就与题设两个角不等相矛盾；
因此假设不成立，故原结论成立．
【总结升华】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
举一反三：
【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设
.
【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角．。