二次函数与几何综合——面积问题

“P+S自能发展教育”数学教学课案
学科：数学年级：九年级备课人：李龙
课题：二次函数与几何综合——面积问题课型：专题课课时数：1课时
教学目标1、掌握常见的面积问题模型及处理方法
2、灵活运用数形结合思想解决相关问题
教学重难点重点：面积问题的转化方法难点：数形结合思想的运用
教学辅工具多媒体、小白板
教学流程师生活动设计意图
课前预
习
一、课前预习，自能感知
1：已知A（-1，0），B（3，0），P（4，2），求PAB
S
∆
．
2：已知C（1，-3），D（1，1），P（4，2），求PCD
S
∆
．
3：已知抛物线223
y x x
=--与x轴交于A、B两点（A左B右），
P为x轴上方抛物线上一点，若6
PAB
S
∆
=，求P点坐标．
变式1：若P为抛物线上一点，6
PAB
S
∆
=，求P点坐标．
变式2：C（m，1），D（n，1）（m<n）在抛物线上，若P为抛物线上
一点，45
PCD
S
∆
=，求P点坐标．
设计意图：
本节作为二次函数
与几何综合中的一
个重要专题，是九年
级调考与中考的常
考考点，课前预习部
分通过几个简单的
预习题让学生熟悉
常见的面积问题的
解法，以及让学生自
己总结出数学模型，
掌握通性通法。

思考：以上题目中的三角形的边有什么共同特征？
你能否总结出具有这类特征的三角形的面积的通用求法？
师生活动：学生分小组展示预习成果，提炼出面积问题的基本模
型，老师引导各小组互相补充完善，最终得出正确的模型及解决
办法。

课
中
展
示
交
流
二、课中探究，自能发现
【探究】如图，已知直线
1
3
2
y x
=+与抛物线2
1
2
y x
=交于A、B两
点，P为直线AB下方的抛物线上一点，且
PAB
S
∆
=5，求P点坐标．
解题思路：线转坐标，改“斜”归“正”
具体方法：
1、K形法（补形）：从三角形的各顶点作坐标轴的平行线，得K字
形，用面积和差计算；
2、铅垂法：过所求点作轴的平行线，用面积和差计算；
3、牵引法：过所求点作其对边的平行线与坐标轴相交，得一与所求
三角形面积相同的三角形．
师生活动：各小组展示自己的解题方法，其他小组点评该方法的优
劣处，老师引导学生对常见的解题方法进行总结。

设计意图：
探究部分给出了一
道非常经典的题目，
本题解法众多，但是
核心方法依然是之
前总结的通性通法，
需要学生根据题目
条件把较复杂的情
况转化为自己熟悉
的模型。

此题老师要求各小
组尽可能多的想出
不同的解法，以此让
学生熟悉面积问题
常见的转换方法，并
且总结出各种方法
的优劣之处，达到灵
活选取解法的目的。

三、巩固提高，自能建构
1、如图，已知直线132
y x =
+与抛物线21
2y x =交于A 、B 两点，在
直线AB 下方的抛物线上一点是否存在点P ，使PAB S ∆的值最大？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． （请尝试多种解法）
师生活动：学生分小组讨论，学生结合前面的方法来解决这道问题，老师引导学生找到这两题的联系，以加深学生对方法的理解。

四、 知识延伸，自能拓展
1、（2018武汉中考）已知抛物线L ：y ＝－x 2＋2x ＋1，如图1，过定
点的直线y ＝kx －k ＋4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值．
师生活动：学生独立思考3分钟，然后小组讨论交换意见，老师巡堂为学生解惑。

设计意图：
这一部分是上一部分题目的一个变式，此题是求面积的最值，学生可通过探究部分总结的解法，类比的解决本题。

需要注意的是求最值可以采取代数方法也可以通过几何作图来说明。

设计意图：
本题为2018年武汉中考题，让学生提前感受中考题，了解中考的考法。

本题在前面的基础上加大了计算的难度，但学生依然可以通过前面的方法来入手解决本题，以此让学生体会化繁为简的思想。

五、 课堂检测，自能参与
1、（2017武汉元调）已知抛物线y ＝2
1x 2
＋mx －2m －2（m >0）与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C ，抛物线上
有一点D (－1，n )，若△ACD 的面积为5，求m 的值
设计意图：
这一部分选取了
2017年的元调题，可
以让学生对本节课
所学内容进一步的
加深理解，并灵活运
用总结出的方法。

课
后
作业
勤学早P 45
板书设计
二次函数与几何综合——面积问题 1、常见模型：
当AB //x 轴时， 当CD //y 轴时，
12PAB A B P A S x x y y ∆=
-⋅- 1
2
PCD C D P C S y y x x ∆=-⋅- 2、解题思路：线转坐标，改“斜”归“正” 3、具体方法：
①K 形法（补形）； ②铅垂法； ③牵引法：
教学 反思。