2018湖南省高考数学试题(理科数学)

2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1）()
()()
P AB P B A P A =
，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式34
3
V R π=，其中R 为求的半径。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则
A ．1a =，1b = B. 1,1a b =-= C.1,1a b =-=- D. 1,1a b ==- 2.设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A. 9
122π+
B. 9
182
π+
C. 942π+
D. 3618π+
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由()()()()()
2
2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++算得，()2
2110403020207.860506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
.
参照附表，得到的正确结论是
A ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
5.设双曲线()22
2109
x y a a -
=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 6.由直线,,03
3
x x y π
π
=-=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为
A.
12
B.1
C. 2
7.设m ＞1，在约束条件1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数Z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为
A.（1
，1 B.
（1++∞） C.（1,3 ） D.（3，+∞）
8.设直线x=t 与函数2()f x x = ()ln g x x = 的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的值为
A.1
B. 12
填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上。

（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选一题作答，如果全做，则按前两题记分）
9.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角
坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为
()cos sin 10p θθ-+=，则C 1与C 2的交点个数为 10.设,x y R ∈,则22
2211()(4)x y y x
+
+的最小值为 。

11.如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4， AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。

（二）必做题（12～16题）
12.设n S 是等差数列{}n a ()n N *∈，的前n 项和，且141,7a a ==，则9S = .
13.若执行如图3所示的框图，输入11x =，232,3,2x x x ==-=,则输出的数等于 。

14.在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==则3,AD BE CE ∙=
=__________________.
15.如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。

将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴C 影部分）内”，则
（1）P(A)= _____________； (2)P(B|A)= .
16.对于n N +∈ ,将n 表示12100121222...22k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ,当i o =时，1i a =,当1i k ≤≤时, 1a 为0或1.记()I n 为上述表示中1a 为0的个数（例如：
021012,4120202I =⨯=⨯+⨯+⨯）,故(1)0I =, (4)2I =),则 （1）(12)I =________________;(2) ()12m
f n n =∑________________;
三、解答题：本大题共6小题，东75分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a ,b,c ，且满足csinA=a cosC. (Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求4
π
)的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。

18. （本小题满分12分）
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。

(Ⅰ）求当天商品不进货．．．
的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。

19.（本小题满分12分）
如图5，在圆锥PO 中，已知PO O 的直径2AB =,C 是AB 的中点，D 为AC 的中点.
(Ⅰ)证明：平面POD ⊥平面PAC ; (Ⅱ)求二面角B PA C --的余弦值。

20.（本小题满分13分）
如图6，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。

E 移动时单位时间．．．．
内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为
1
10
；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=3
2
时。

（Ⅰ）写出y 的表达式
（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。

21.(本小题满分13分）
如图7，椭圆2
2
122:1(0)x y C a b y b
+=>>的离心率为，x 轴被曲线
22:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长。

（Ⅰ）求1C ，2C 的方程；
（Ⅱ）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E.
(i)证明：MD ⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是1s ,2s .问：是否存在直线l,使得21S S =3217
? 请说明理由。

22.（本小题满分13分）
已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x
（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数。

并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ n a }（n n N ∈）满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使得 对于任意的n n N ∈，都有n a ≤ M .。