一元多项式在有理数范围内的因式分解

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有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论

嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会学号：101010100学院：数学学院专业：数学与应用数学指导老师：许鸿儒申请学位：学士学位嘉应学院教务处制摘要在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。

判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。

本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。

关键词：有理数域, 可约, 因式分解AbstractIn polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements.Key words： rational number field, reducible, factorization目录1 有理数域上的多项式基本内容 (1)1.1 多项式因式分解的基本概念 (1)1.2 本原多项式 (2)1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5)2 多项式的有理根及因式分解 (7)2.1多项式在有理数域上的性质 (7)2.2多项式有理根的判定 (8)2.3多项式有理根的求法及因式分解 (11)2.4因式分解的特殊解法 (13)参考文献 (15)1 有理数域上的多项式基本内容1.1 多项式因式分解的基本概念在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：5315⨯=；在此基础上，通过类比,我们得到因式分解的一般定义：定义1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

一元多项式的定义和运算讲解

定理 2.4.1
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例在有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明，二次因式也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式有一个非平凡因式而，那么与的次数显然都小于的次数.反之，若能写成两个这样的多项式的乘积，那么有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设是多项式与的一个公因式.若是能被与的每一个公因式整除,那么叫做与的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式与一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若是与的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与的乘积，而且当与不全为零多项式时，只有这样的乘积是与的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式与互素的充分且必要条件是：在中可以求得多项式与，使

高等代数(第1章)

i
称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上符号x 可以是为未知数，的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x)，g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
2012-12-2
f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:

零多项式 ——系数全为0的多项式多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系数全相等（系数为零的项除外）多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂次，记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域一元多项式整除的概念最大公因式因式分解定理重因式多项式函数复系数与实系数多项式的因式分解有理系数多项式
3
2012-12-2
§1

数域

要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围内解的情形不同。常遇到的数的范围：有理数集、实数集、复数集共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质有些数集也有与有理数集、实数集、复数集相同的代数性质为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
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15
例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证：反证. 若f (x)0，则f 2(x) 0.由若g(x)0，由于

有理数域上多项式的因式分解

本科毕业论文(设计) 论文题目：有理数域上多项式的因式分解学生姓名：学号：专业：班级：指导教师：完成日期：年月日有理数域上多项式的因式分解内容摘要多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究.本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的.关键词：有理数域多项式因式分解Rational polynomial factorization domainAbstractPolynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theoretical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledge. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied.This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for polynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose.Key words：Rational number field polynomial factoring目录一、多项式的相关概念 (1)（一）一元多项式和一元多项式环的概念 (1)（二）多项式整除的概念 (2)二、有理数域上的多项式的可约性 (3)（一）有理数域与实数域和复数域的区别 (3)（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念 (3)（三）本原多项式的基本内容 (4)1.本原多项式的概念 (4)2.本原多项式的性质 (4)（四）判断多项式在有理数域上的可约性 (5)1.爱森斯坦(判别法 (5)2.布朗判别法 (6)3.佩龙判别法 (6)4.克罗内克判别法 (7)5.反证法 (7)6.有理法（利用有理根） (8)7.利用因式分解唯一性定理 (8)8.综合分析法 (8)三、多项式的有理根及因式分解 (9)（一）求根法 (9)（二）待定系数法 (9)（三）重因式分离法 (10)（四）应用矩阵的初等行变换法 (10)（五）利用行列式的性质 (11)四、结论 (12)参考文献 (13)序言代数问题是方程问题，方程问题就是求解问题.低阶方程的求解具有一般的代数方法（一次到四次）[1]，而对于高次方程的求解关键在于掌握多项式的因式分解.因式分解是集分解变形为之意，综合应用以前所学的知识，是解决许多数学问题的有力工具.它是研究各种运算和代数的恒等变形，采用了大部分相同的变形技能和技巧，如常用的因子提取、公式化配方等.因此，因式分解不只是数学上的一个重点，也是一个难点.在本文中，研究的有理数域上多项式的因式分解实际上是整系数多项式的分解.整系数多项式是一个无限集，如何判断它可约迄今为止还没有精确和易操作的方法，所以文中针对这个难点进行研究讨论.一、多项式的相关概念（一）一元多项式和一元多项式环的概念多项式是代数学中重要的基础知识，它不仅与高次方程有密切联系，在其他方向为学习代数知识也做了很好的铺垫，因此，我们必须清楚多项式的基本内容.定义1设是一非负整数，表达式其中全属于数域，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.[2]多项式可以加、减、乘，例如：根据上述式子的计算，可以看出数域上的两个多项式通过加、减、乘等运算后，其结果仍然是数域上的多项式.接下来，我们引入一个概念.定义2 所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为，称为的系数域.[3]之后我们要讨论的有理数域上多项式的因式分解是在一个固定的数域上的多项式环中进行的.（二）多项式整除的概念我们讨论过一元多项式可以容易地进行加、减、乘法运算，但是多项式之间的除法并不像其他运算那样可以普遍地做.因此整除运算就成为了两个多项式之间区别于其他运算更值得探讨的课题.和高中代数一样，作为一种表达式，可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，如：设接下来，我们作除法：于是，求得商为，余式为，所得结果可以写成下列形式：定理1（带余除法）对于中任意两个多项式和，其中，一定有中的多项式存在，使成立，并有或，并且这样的是唯一决定的.证明（唯一性）设另外有多项式使成立，其中或,于是有即如果，就假设，那么即可得出又因为所以上述式子不可能成立，这也证明了，同时定义 3 数域上的多项式通常称作整除，存在数域上的多项式使等式成立，我们用表示整除，用表示不可以整除.当时，就称为的因式，称为的倍式.事实上，整除多项式原理使我们很轻松的了解多项式因式分解的原理.二、有理数域上的多项式的可约性（一）有理数域与实数域和复数域的区别我们知道，有理数域，实数域和复数域的范围不同.为了能更好的分析有理数域上多项式的因式分解，我们要区分有理数域，实数域和复数域的概念，只有将单项涵义牢记于心，我们才能知道多项式在各个数域中需要分解到何种形式，这里先做简要介绍.首先，有理数包括：（1）整数：正整数，负整数和；（2）分数：正分数，负分数；（3）小数：有限小数和无限循环小数[4].所有有理数组成一个集合，即为有理数集.而有理数集是一个域，可以在其中进行四则运算（0作除数除外），用字母表示.其次，实数可以包含所有的轴点数量，直观的看作是有限小数和无限小数，是有理数和无理数的统称，用字母表示.再次，是写成如下形式的数，和是，是，是实数和虚数的统称，用字母表示.（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念定义4 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式，如果它不能表成数域上两个次数比的次数低的多项式的乘积.定理2（因式分解及唯一性）数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些.而是指，若有那么必有,根据因式的次序适当排列得到其中属于非零常数.多项式因式分解看似简单，实质蕴含了许多深奥的理论.多项式在不同数域上分解程度是不同的,我们不应该想当然的提出多项式因式分解后，就说它已经不能再分，并完成了多项式分解.我们可以比较一下复数域、实数域和有理数域上的差异.如:分别求多项式在复数域，实数域以及有理数域上的因式分解.①在复数域上这个多项式的因式分解为②在实数域上这个多项式的因式分解为()③在有理数域上这个多项式的因式分解为(从上述结果可以看出，对于一个多项式能否因式分解，不能单独考虑它是否满足因式分解的定理.我们具体情况具体分析，有理数域的多项式的因式分解比较困难.因为在有理数域上多少次的不可约多项式都存在，我们有时还认不出其究竟是否可约，所以研究非常麻烦.故而确定有理数域上多项式是否可约是麻烦的，掌握多项式因式分解不如想象中那么简单.（三）本原多项式的基本内容1.本原多项式的概念定义 5 设是非零的整系数多项式，如若的系数互素，就称是本原多项式.所以，任何一个非零的有理系数多项式都能表示为一个有理数与一个本原多项式的乘积，即.由此证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的，可以说，若,且是有理数，是本原多项式，那么必定有.因为多项式和本原多项式只相差一个非零的常数倍，他们都有着相同的整除性质，因此的因式分解问题可以归结为本原多项式的因式分解问题.所以我们可以讨论原多项式的性质，之后考虑整系数多项式的因式分解问题.2.本原多项式的性质性质1高斯引理设与为两个本原多项式，那么他们的乘积也是本原多项式.性质2设是非零整系数多项式，若分成为两个有理数域上的多项式与的乘积，且那么定能分解成两个次数较低的整系数多项式乘积.例1：设是两个整系数多项式，且是本原多项式.证明：若，且是有理数域上的多项式，那么一定是整系数多项式.证明：根据本原多项式的性质来证明，设其中都是本原多项式，是整数，是有理数.于是有因为是本原多项式.故，即是一个整数，所以是整系数多项式.（四）判断多项式在有理数域上的可约性基于，我们需要判断它是否可约，这是我们讨论有理数域上多项式因式分解的重点，接下来列出一些判别整系数多项式不可约的方法.1.爱森斯坦(判别法定理3设是一个整系数多项式，若找到一个素数，使⑴与不可约；⑵与是可约的；⑶与不可约，那么多项式在有理数域上不可约.证明：如果=可找到素数满足|所以，根据爱森斯坦判别法可知，在有理数域上不可约[5].特别注意的是，爱森斯坦判别法的条件只是充分条件，即满足三个条件的多项式不可约.如：，满足爱森斯坦判别法的三个条件，故而不可约.但并不是说所有不满足定义要求的多项式都可约，因为有很多多项式不满足上述三个条件但却是不可约的，譬如.当然，也有可约的多项式，如：不满足上述的三个条件，但却可以分解为有时，对于某个多项式来说，爱森斯坦判别法不能直接应用，但我们可以把其适当变形.设和是两个有理数，且，整数系多项式在有理数域上不可约当且仅当在有理数域上不可约[6].例2：证明在有理数域上不可约.证明：因为的系数都是1，无法应用爱森斯坦判别法.因此，我们令= + 1 并把其代入，则多项式变为根据爱森斯坦判别法判别，取=3，即证上式不可约，故而可知在有理数域上不可约.2.布朗判别法定理4设为次整系数多项式，令其中表示中1的个数，表示质数的个数，令，则在上不可约.例3：证明在上不可约.证明：因为无法找到素数来判断满足爱森斯坦判别法的条件，因此我们无法根据爱森斯坦判别法来判别可约性，但是我们可以根据布朗判别法判断多项式的可约性.因此，我们可以得到：=47故而，所以得到由此根据布朗判别法可知，在有理数域上不可约.3.佩龙判别法定理5设是整系数多项式，若此系数满足，则在有理数域上不可约.例4：证明在有理数域上不可约.证明：因为无法找到素数来判断爱森斯坦判别法的条件，因此我们不能用爱森斯坦判别法，但是我们可以看出满足佩龙判别法的条件.因此根据佩龙判别法定理以及题目得出4>1+1+1，所以该多项式在有理数域上不可约.4.克罗内克判别法定理6设是一个整系数多项式，可以在有理数域上将分解成两个不可约多项式的乘积.例5：证明在有理数域上不可约.证明：=52，取，则有，，因此，的因子为0，的因子为1，的因子为1,2故令，，；，，应用插值多项式得由带余除法可知：不能整除，不能整除，从而得到在有理数域上不可约.此方法是一个通过有限次数计算判定整系数多项式可以分解成若干个次数低的整系数多项式的方法[7].然而，有大量的文献资料显示，整系数多项式的因式分解过程中往往不采用克罗内克方法[8]，因为对于工作量来说，克罗内克方法的使用非常大，通常选择使用其他的分解技巧实现.因此克罗内克方法只是一种理论上可行的方法，不能用于因式分解的实际操作，实用价值不大5.反证法上述判别法判别多项式在有理数域上的条件并不是所有题目都适用，因此，我们不确定不满足爱森斯坦判别法的多项式是不是可约的，或在无法找到满足判别法中的素数时，我们选择反证法.例6：设()是()上一个次数大于零的多项式，如果对任意，都有∈()，且()|，并且()|或者()|，那么()不可约.证明：若()可约，则有，其中，令，则()|由题可得：|或|，与前面整除矛盾，故()不可约.6.有理法（利用有理根）对于一些次数不超过三次的多项式，利用有理根方法进行判别会更简便，若没有有理根，则该多项式在有理数域上不可约.例7：在有理数域上是否可约？解：假设可约，那么至少有一个一次因子，即有一个有理根.但的有理根只可能是±1，因此带入验算得(±1)≠0.说明该多项式没有有理根，因此在有理数域上不可约.例8：在有理数域上是否可约？解：若可约必有有理根，而的有理根中只能是±1或±127.因为(±1)(±127)所以无有理根，解得在有理数域上不可约.7.利用因式分解唯一性定理将有理数域看作实数域的一部分，多项式可以分解成几个实数域上的不可约因子.由于其不可约因式的系数不都是有理数，所以通过因式分解唯一性定理，则该多项式在有理数域上不可约.例9：证明在有理数域上不可约.解：多项式在实数域上分解为不可约因式的乘积为根据可知，如果在有理数域上可约，应该为上述的分解形式，但上述不可约因式的系数不全为有理数，故而.8.综合分析法在多项式因式分解过程中，我们有时不能只用一种方法判断其是否可约，因为有时靠一种方法并不能推断出来，所以我们采取综合分析法.例10：证明（是整数）在有理数域上是否可约？解：的有理根只能是±1，且±1)≠0.所以无一次因式，如若可约，只能是两个二次因式乘积。

浅谈一元多项式在有理数范围内的因式分解

浅谈一元多项式在有理数范围内的因式分解作者：胡建国
来源：《新课程》2020年第29期
摘要：多项式的因式分解是一种非常重要的恒等变形，在初等数学中有着广泛的应用。

多项式的因式分解是研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础。

多项式因式分解的方法很多，在初中代数中，介绍了提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法。

这些方法要根据多项式的结构特征灵活运用。

对一元多项式因式分解进行了初步的探索。

用求根法和待定系法会为解题带来很多方便。

关键词：一元多项式;因式分解;数学方法
二、用待定系数法分解因式
对于无有理根的多项式可用代定系数法分解因式，就是把原式假设为若干个因式的乘积，使这些因式的乘积与原式组成恒等式，利用恒等变形求出各待定系数的值。

以上介绍了一元多项式因式分解的两种方法。

其中求根法分解因式书写简洁，思路清晰，不容易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上，且若多项式需要检验的因子很多，而每个因子都要做一次相应的除法，这就给计算增加了一些麻烦，所以当可能的有理根比较少时采用求根法;方法二比较基础，也比较直接，但会涉及求解方程组，计算量往往也不小，只有预先觀察多项式的最高次项系数与常数项系数，同时找出多项式的有理根，才能有效降低待定系数法的难度。

因式分解方法归纳

因式分解定义：把一个多项式在一个范围内化成几个最简整式乘积的的形式。

说明：（1）因式分解是与整式乘法互逆的恒等变形。

（2）因式分解可以限定范围，有有理数范围内，实数范围内，复数范围内。

（3）所有三次或三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解；所有二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。

方法一、提取公因式法若多项式的各项含有相同的因式，该因式为多项式的公因式，则可以直接提取公因式。

方法二、运用公式法常用的公式有：平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等。

方法三、分组分解法若多项式的其中几项可以提取公因式或运用公式，则可适当的分组，使得分成的几组在分解之后能提取公因式或运用公式。

方法四、十字相乘法形如2ax bx c ++的二次多项式，如果有,mn a pq c ==，且mq np b +=，则有 ()()2ax bx c mx p nx q ++=++。

说明：判别式240b ac =-≥且是一个完全平方数。

也就是方程2ax bx c ++有根。

图示为：方法五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开成几项和的形式，也可以添加几项和为0的多项式，通过拆项和添项使原多项式可以利用公式或提取公因式。

（1）拆分含未知数的项，拆成的两部分分别和其余的项组合在一起，分别运用公式，在提取公因式；（2）拆分常数项，通过合理的拆分常数项，构造公式。

例题：分解因式330x x ++解：把30分成333+，再与其余项组合，有， ()()()()()()()33322303333933310x x x x x x x x x x x ++=+++=+-+++=+-+。

类似的“3x x c ++”的模型有32x x ++，39x x ++ 。

方法六、配方法将一个多项式通过配方，添项减项处理，构造成完全平方式，剩下的部分再进行平方差公式。

说明：（1）为方便计算，可以先提取最高次项系数，使最高次项系数为1；（2）对形如2x bx c ++的二次三项式，有222222b b x bx c x bx c ⎛⎫⎛⎫++=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）对于齐次多项式22x bxy cy ++，将,x y 其中之一当作常数处理。

一元多项式因式分解方法归纳

一元多项式因式分解方法归纳摘要：给出了一元多项式因式分解的几种常用方法，如提公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法，配方法，拆项补项法等等。

解释了这些方法的理论来源，给出具体实例，并指出每种方法的具体做法.关键词：一元多项式因式分解提公因式法运用公式法分组分解法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技术性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必须的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，即可以培养学生的观察,思维发展性，运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.一提公因式法1 定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式分解的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2 具体做法：⑴确定公因式的方法①定系数：当各项系数都是整数时，公因式的系数应该取各项系数的最大公约数；②定字母：字母取各项的相同的字母；③定指数：各字母的指数取次数最低的.⑵如果多项式的第一项是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“—”号时，多项式的各项都要变号.3 提公因式法基本步骤：⑴找出公因式；⑵提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法，先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同. 4 注意：①提公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致； ②提公因式后，另一个因式不能再含有公因式.二运用公式法1 定义：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.2 因式分解常用公式：⑴代数中常用的乘法公式有：平方差公式：()()b a b a -+ 22b a -=完全平方公式：()2b a ± 222b ab a +±=将上述乘法公式反过来就得到用公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：两根法： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=++a ac b b x a ac b b x a c bx ax 2424222平方差公式：22b a -=()()b a b a -+完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±⑵其他公式立方和公式： ()()2233bab a b a b a +-+=+立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-完全立方公式：()3322333b a b ab b a a ±=±+±例1 因式分解1646-x 分析 664x 可变形为()238x ，或变形为()324x ，而1既可看作21，也可看作31，这样，本题可先用平方差公式分解. 解方法一1646-x=()238x 1- （把664x 变形为()238x ）()()181833-+=x x （利用平方差公式）=()183+x ()()124122++-x x x()()()()124121241222++-+-+=x x x x x x方法二 1646-x ()1432-=x （把664x 变形为()324x ）()()141614242++-=x x x （运用立方差公式） ()()()224418161212xx x x x -++-+= （把24x拆为2248x x -）()()()()[]2222141212x x x x -+-+= （利用完全平方公式）()()()()124124121222+-++-+=x x x x x x （运用平方差公式）点评:在分解因式时,尽管采用的方法不同,但结果应是相同的,本题的两种解法,显然第一种方法比较简单.例2 已知A ()()()()495432+-+-+=x x x x (x 为整数),求证: A 为一个完全平方数. 证明：因为A ()()()()495432+-+-+=x x x x ()()4920622+----=x x x x()()()222221316926--=+---=x x x x x x所以A 是一个完全平方数.三分组分解法1 定义：把各项适当分组，先把因式分组，再使分解因式在各组之间进行.2 注意：在用分组分解法因式分解时，要注意分组不能使一个多项式变为乘积形式，分组的目的是分好的各组能提取各自的公因式同时使各组提取公因式后剩下的多项式又是各组的公因式，可以再提取，从而使问题得到解决，上述规律可以通俗的归纳成：“分组的目的是为了提取，提取的目的是为了再提取”，若多项式带有括号，且括号内的式子相同时，可用换元后进行分组分解，若括号内式子不相同，又不便直接分组时，要将括号去掉，重新整理后再分组分解. 3分组分解法的实质是分组后能直接提公因式或运用公式法. 4 具体方法：5 总结利用分组的手段为提公因式法创造条件，因此分组分解法是转化的数学思想在因式分解中的集中体现，分组的目的是经过适当的分组以后，将原来不显现的条件通过分组显现出来，将其转化为用已学过的提公因式法或运用公式法来进行因式分解。

多项式因式分解的考点总结与解答

多项式因式分解的考点总结与解答多项式因式分解是数学中非常重要且基础的一部分，掌握好这部分知识可以帮助我们更好地理解数学的其他内容。

在学习多项式因式分解时，我们需要掌握一些基本的考点，并且要能够灵活运用这些知识来解决各种问题。

接下来，我们将对多项式因式分解的考点进行总结，并提供一些解答案例，希望对大家的学习有所帮助。

一、一元多项式的因式分解在考察一元多项式的因式分解时，我们通常会遇到以下几种情况：1. 简单的一次因式分解对于形如ax+b的一次多项式，我们可以直接进行因式分解，例如2x+4可以分解为2(x+2)，3x-6可以分解为3(x-2)等等。

2. 二次因式分解对于形如ax^2+bx+c的二次多项式，我们可以使用“找两个数的和为b，乘积为c”的方法来因式分解，例如对于x^2+5x+6，我们可以找到两个数2和3，它们的和为5，乘积为6，所以x^2+5x+6可以分解为(x+2)(x+3)。

3. 完全平方公式当我们遇到形式为a^2-2ab+b^2或者a^2+2ab+b^2时，可以直接根据完全平方公式进行因式分解，例如(x+3)^2可以分解为(x+3)(x+3)，(2y-5)^2可以分解为(2y-5)(2y-5)。

二、多项式的公因式提取在进行多项式因式分解时，有时我们会遇到多个多项式，且它们有一个公因式的情况，这时我们可以提取公因式来简化计算过程，例如对于2x^2+6x，我们可以提取公因式2x，得到2x(x+3)。

三、多元多项式的因式分解对于包含多个变量的多项式，我们也可以通过一些方法进行因式分解，例如使用分组法、公式法等来拆解复杂的多元多项式，同时考虑各个变量之间的关系。

综上所述，多项式因式分解是数学中不可或缺的一部分，掌握好多项式因式分解的基本方法和技巧，对于提高数学解题的效率和准确性都是非常有帮助的。

希望大家在学习中多多练习，加深对多项式因式分解的理解，进而更好地运用到实际问题中去。

感谢大家的阅读！。

浅谈一元整系数多项式的因式分解方法

浅谈一元整系数多项式的因式分解方法作者：尹雯静来源：《速读·下旬》2018年第01期摘要：多项式的因式分解是数学学习中一项基本的技能。

在分式运算、解方程和各种恒等变换中都常用到因式分解。

但多项式因式分解的方法灵活多变，在分解时需要各种技巧。

本文对一元多项式的因式分解进行了初步探索，阐述了一元多项式分解的两种方法。

关键词：一元多项式；因式分解；分组分解；待定系数在实际学习的过程中，总会遇到多项式因式分解的问题，但由于多项式的因式分解没有刻板的程序可以依循，往往使人感觉难度较大，不好掌握。

本文主要是给出因式分解的两种比较容易和实用的方法。

1分组分解法分组分解法是因式分解中常用的一种方法，运用此类方法分解的多项式各项之间的联系比较明显，有些项之间存在公因式，因此可以进行提取公因式等步骤。

而此类解法常与拆项添项法合并使用，通过拆项或添项建立起各项之间的联系。

第一步：观察多项式的结构，可以适当利用拆项或添项的方法将多项式分成若干组；第二步：将分组情况进行适当的调整，使每组中各项可以提取公因式，且各组之间也有公因式存在；第三步：通过多次提取公因式，将多项式表示为几个部分的乘积，完成分解。

例题1：在有理数集内分解[x3+6x2+11x+6]的因式。

解：首先我们可以通过拆项将多项式分为有公因式的两组：原式[=x3+6x2+11x+6=x3+6x2+9x+（2x+6）][=xx2+6x+9+2x+3=x（x+3）2+2（x+3）][=（x+3）xx+3+2] （1）式有两项构成，但是方括号内的部分显然没有分解完成，而且项与项之间不含公因式，也不能直接利用公式和分组分解，故需打开括号重新组合。

为了方便说明我们将中括号中的多项式单独提出来进行分解。

[xx+3+2=x2+3x+2=x2+x+2x+2=xx+1+2x+1=（x+1）（x+2）]故[x3+6x2+11x+6=（x+1）（x+2）（x+3）]。

例题2：在有理数集内分解[x5+x-1]。

一元多项式的定义和运算

多问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环有没有其他简单的方法？项式
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充高等要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。代二、数域数定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，如果F
中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，则称F是一个数域。定义 2：设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非 1 零数； ② 对 a, b F , 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。多例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，
高等代数
第一章多项式
学时：28学时教学方法和手段
由于多项式与整数在许多方面有相似之处，因此在建立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。
基本内容和教学目的
1
本章主要讨论一元多项式的概念和运算，建立多项式因式分解理论，并讨论与之有密切关系的求根问题。这是中学有关知识的加深和扩充。
有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
1
x 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
2
多项式
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。等等。
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数高等范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做代这样的限制。在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减数
多项式
本章的重点和难点
重点:一元多项式的因式分解理论. 难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.
§1.1 数环和数域高研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的等代范围，学习数学也是如此。数比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、

多项式理论

注：
①
f1 ( x ), f 2 ( x ), , f s ( x ) 的最大公因式一定存在．
ห้องสมุดไป่ตู้
其中 a0 , a1 , an P , 称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g( x ), h( x ) 等表示．
注：多项式 f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 中，
ai x i 称为i次项，a i 称为i次项系数． ① an x n 为 f ( x )的首项， n 为首项 a ② 若 an 0, 则称
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
3．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
2) f ( x ), g( x ) P[ x ]
二、整除
1．定义
设 f ( x ), g( x ) P[ x ], 若存在 h( x ) P[ x ] 使
f ( x ) g( x )h( x )
则称 g( x ) 整除 f ( x ), 记作 g( x ) | f ( x ). ① g( x ) | f ( x ) 时，称 g( x )为 f ( x )的因式， f ( x ) 为 g( x ) 的倍式．
② g( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g( x ) | f ( x ).
③ 允许 g( x ) 0，此时有 0 0h( x ), h( x ) P[ x ]
即 0 0.
区别：

《高等代数Ⅰ》课程教学大纲

《高等代数Ⅰ》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标通过《高等代数Ⅰ》的教学，使学生掌握多项式及代数学的基础知识和基础理论、初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法、理解具体与抽象、特殊与一般，有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力，为学习本专业其余课程奠定基础。

应达到的具体能力目标：具有独立思维能力和解决实际问题能力；具有较强的抽象思维和逻辑推理能力；熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力三、教学学时分配《高等代数Ⅰ》课程理论教学学时分配表四、教学内容和教学要求第一章多项式（18学时）（一）教学要求1. 了解一元多项式的运算，复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理；2. 理解多项式的带余除法；3. 掌握整除的概念与性质,带余除法定理及证明，最大公因式的概念与求法，多项式互素的概念与性质，因式分解及唯一性定理。

4. 理解多项式在不同的数域的因式分解形式；5. 掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。

（二）教学重点与难点（内容五号仿宋GB2312，段前段后0行，段落固定值18磅）教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k重因式与k重根的关系；教学难点：因式分解及唯一性定理，多项式根的理论，复（实）系数多项式分解定理，本原多项式，Eisenstein判别法。

（三）教学内容第一节数域1. 代数研究的基本问题2. 数域的定义第二节一元多项式1. 基本知识2. 多项式的运算规律3. 一元多项式环第三节整除概念1. 例解多项式竖式除法，普通除法2. 定理（带余除法）3. 整除，余式，因式，倍式4. 多项式整除的充要条件5. 整除的几个性质第四节最大公因式1. 公因式，最大公因式的定义2. 求最大公因式的方法3. 辗转相除法4. 互素及特性第五节因式分解定理1. 不可约多项式2. 不可约多项式的性质3. 因式分解唯一性定理4. 标准分解式第六节重因式1. k重因式2. 重因式的性质3. 求重因式的方法第七节多项式函数1. 余数定理2. 多项式函数与多项式的根第八节复系数与实系数多项式的因式分解1. 复系数多项式的因式分解定理与标准分解式2. 代数基本定理3. 实系数多项式因式分解定理第九节有理系数多项式1. 有理数域上一元多项式多项式的因式分解问题。

高等代数因式分解定理

(x
+
√ 2)(x
−
√2)(x2
+
2).
而在复数域 C 上，还可以进一步分解成
√
√
√
√
(x + 2)(x − 2)(x + 2i)(x − 2i).
由此可见，必须明确系数域后，所谓不能再分才有确切的涵义.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
注 1 根据定义，一次多项式总是不可约多项式.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
不可约多项式的定义
在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系数域，我们考察数域 P 上的一元多项式环 P[x] 中的因式分解.
定义数域 P 上次数 ≥ 1 的多项式 p(x) 称为数域 P 上的不可约多项式（irreducible polynomial），如果它不能表成数域 P 上的两个次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积.
现在设不可约因式的个数为 s − 1 时唯一性已证. 由 (1)，p1(x) | q1(x)q2(x) · · · qt(x)，因此，p1(x) 必能整除其中的一个，不妨设
p1(x) | q1(x).
因为 q1(x) 也是不可约多项式，所以有
p1(x) = c1q1(x),
(2)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..

一元多项式

3x2 14x 15 x 3 3x 5
所以 r2 x就是 f x与 gx的最大公因式：
f x, gx x 3
定理 1.4.2
若dx 是 P[x] 的多项式 f x与 gx的最大公因式，那么在 P[x] 里可以求得多项式 ux与vx ，
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
1.3.1 多项式的整除概念
设P是一个数域. P[x]是P上一元多项式.
定义1
设f x, gx P[x] ，如果存在 hx P[x] ，使得
f x gxhx，则称 gx整除 f x ，记为
3
虽然 a1,b1, a2,b2 Z，
不一定属于Z ，所以
不是数域.
a1aa不222 一33bb定122b2属, a于a2b221Z(3ab132b2)2
，因此 Z (
3)
定理1.1 任何数域都包含有理数域 Q. (有理数域是最小的数域).
定理1.2 若数域 P R，则P C. (实数域和复数域之间没有其它的数域).
则 (a1 a2) b1 b2 2 Q 2 ，
a1 b1 2 a2 b2 2
(a1a2 2b1b2 ) a1b2 a2b1 2 Q 2
显然，Q Q( 2) R.
再设 a2 b2 2 0, 即 a2,b2 不全为零，从
而 a2 b2 2 0 ， a1 b1 2 a1 b1 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2
a 叫做 i 次项, i叫做 i 次项的系数.
注 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那么这个系数可以省略不写。

因式分解知识要点

因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。

1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。

本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。

2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

如:()++=++。

ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。

公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。

2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。

运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。

因式分解的方法与技巧

因式分解的方法与技巧因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。

是解决许多数学问题的有力工具。

把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解的方法与技巧1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

典型常用地因式分解公式

常用的因式分解公式常用的因式分解公式：待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如an x n+an-1x n-1+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．笔算开平方对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n 次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式，称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的定义，有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如一般地，任一正数a可表为这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，an an-1...a1a称为q进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步骤是：(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步骤是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s 的不同次幂，其步骤是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3x y(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。

一元三次方程怎么因式分解

一元三次方程怎么因式分解一元三次式如果能在有理数域内分解因式，那么，有以下一般性的规律：一、x³的系数是“1”①f(x)一定能够分解为(x＋a)(x²＋bx＋c)形式，如果2次式还能够分解因式，则f(x)就是3个1次因式的乘积。

②2次式也是f(x)的一个因式，可以将 x³用 x 的1次式表示，代入f(x)，则f(x)＝0.也就是说，能使f(x)＝0的2次式，是f(x)的一个因式，那么，用 x 的1次式表示 x³和x²，代入f(x)，f(x)一定等于0.反之，不能使f(x)＝0的2次式就不是f(x)的因式.因此，“因式”不仅仅指常数的质因数分解，“因式”还包括使f(x)＝0的多项式，能使f(x)＝0的多项式，也是f(x)的因式。

对3次多项式来说，如果要分解因式，那么，首先考虑的是这个3次多项式可能包含有(x³－1)、(x³＋1)或(x²＋x＋1)、(x²＋x－1)、(x²－x－1)、(x²－x＋1)等因式，因为这些因式都是可能使f(x)＝0的因式。

很明显的，题主的题目可以通过分组分解因式，提取公因式得到结果：用因式定理判断f(x)中有(x－a)这个因式，那么，就直接用增减法或拆分法来分解因式了。

怎样判断因式呢？如果3次多项式能分解因式，那么，其常数项一定可以进行质因素分解，就用每一个质因素代入3次式计算，总有一个质因素能使3次多项式等于0，使3次式等于0的这个质因素就是这个3次多项式的一个因式。

题主所说的“系数之和等于0，则方程必有有理数根1”，就是用的因式定理判断出方程有“1”这个有理数根，代入方程计算，x 的各项都是“1”，其实质就是方程的系数和等于0，这没有什么神奇的。

二、x³的系数不是“1”f(x)能分解的因式形式是：①f(x)＝(mx＋n)(x²＋bx＋c).②f(x)＝(mx＋n)(ax²＋bx＋c).③f(x)＝(x＋k)(ax²＋bx＋c).如果2次式还能分解因式，那么，f(x)就是3因式的乘积。

一元多项式求解技巧

一元多项式求解技巧一元多项式求解是代数学中的一个重要内容，涉及到多项式的根、方程的解等问题。

在解多项式方程时，可以运用一些技巧来简化问题，提高解题效率。

以下是一些常用的一元多项式求解技巧。

1. 利用因式分解法求解对于二次多项式，可以利用因式分解法进行求解。

设二次多项式为P(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数。

根据二次多项式的特性，可以找到一对因子p和q，使得P(x) = (x-p)(x-q)。

然后将P(x)展开，可以得到ax^2 + bx + c = (x-p)(x-q) = x^2 - (p+q)x + pq。

通过比较系数，可以得到方程的解。

2. 利用配方法求解对于非完全平方多项式，可以通过配方法进行求解。

设多项式为P(x) = ax^2 + bx + c，如果a≠1，则可以将这个多项式表示为一个完全平方多项式的形式，即P(x) = a(x^2 + (b/a)x + (c/a))。

然后可以利用配方法，将第二项拆分成两个部分，使得x^2 + (b/a)x + (c/a) = (x+p)(x+q)，其中p和q是待求的常数。

最后通过比较系数，得到方程的解。

3. 利用Vieta定理求解Vieta定理是关于多项式根与系数之间的关系的定理。

对于一个n次多项式P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，根据Vieta定理，多项式的根与系数的关系为：根之和为-s_1 = a_{n-1}/a_n，根之积为s_2 = (-1)^n * a_0/a_n，根之间的互相乘积为(-1)^(n-i) * (a_{n-i}/a_n) ，其中i=1, 2, ..., n。

通过利用Vieta定理，可以推导出关于一元多项式根的一些性质，进而求解方程。

4. 利用Rational Root Theorem求解Rational Root Theorem（有理根定理）是一种用于寻找有理根的方法。