大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

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高等数学A(二)(答案及得分详解)

高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （）。

(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（）的方向导数最大。

(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（）。

(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是（）。

(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（），其中L 为圆周222=+y x 。

(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（）。

(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（）。

物理专业高等数学a教材答案解析

物理专业高等数学a教材答案解析在物理专业的学习中，高等数学是一门重要的课程，也是其他学科的基础，理解和掌握高等数学的知识对于物理专业的学生来说至关重要。

本文将对物理专业高等数学A教材中一些重要的题目进行答案解析，帮助学生更好地学习和理解数学知识。

1. 微分学1.1 求导法则首先，我们来看一下求导法则的应用。

在高等数学A教材中，常见的求导法则有：常数法则、基本初等函数的导数法则、和差法则、积法则、商法则、复合函数求导法则等。

例题：设函数f(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 5，求f'(x)。

解析：根据求导法则，对于多项式函数f(x)，我们可以逐项求导。

对于f(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 5，求导后得到f'(x) = 6x² - 6x + 4。

1.2 函数的极值其次，我们来研究函数的极值问题。

极值是函数在某个定义域内取得的最大值或最小值。

例题：设函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1，求f(x)的极值点。

解析：首先，我们先求导。

根据求导法则，f'(x) = 3x² - 6x + 2。

接下来，我们令f'(x) = 0，求解方程得到x = 1或x = 2。

然后，我们求出f''(x) =6x - 6，并代入x = 1和x = 2的值，得到f''(1) = 0和f''(2) = 6。

根据二阶导数的正负性判断原函数的凹凸性，当f''(x) > 0时，函数f(x)是凹的；当f''(x) < 0时，函数f(x)是凸的。

因此，当x = 1时，f(x)取极小值；当x = 2时，f(x)取极大值。

2. 积分学2.1 定积分的计算定积分是求解曲线与x轴所围成的面积。

在高等数学A教材中，我们学习了通过不定积分求定积分的方法，以及一些特殊函数的定积分计算。

高等数学a大一教材答案详解

高等数学a大一教材答案详解一、导数与微分在高等数学A的大一教材中，导数与微分是一个重要的内容。

导数是用于描述函数变化率的工具，它可以帮助我们分析函数的性质和求解问题。

下面我们将对导数与微分的相关知识进行详细解答。

1. 导数的概念及计算方法导数描述了函数在某一点的切线斜率，可以通过以下公式计算：$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，$f(x)$表示函数，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的变化量。

通过不断减小$\Delta x$的值，我们可以得到函数在某一点的导数。

2. 常见函数的导数根据导数的定义和计算方法，我们可以得到一些常见函数的导数计算公式，如：- 幂函数 $y=x^n$ 的导数为 $y'=nx^{n-1}$- 指数函数 $y=a^x$ 的导数为 $y'=a^x\ln{a}$- 对数函数 $y=\log_a{x}$ 的导数为 $y'=\frac{1}{x\ln{a}}$- 三角函数的导数如下：- 正弦函数 $y=\sin{x}$ 的导数为 $y'=\cos{x}$- 余弦函数 $y=\cos{x}$ 的导数为 $y'=-\sin{x}$- 正切函数 $y=\tan{x}$ 的导数为 $y'=\sec^2{x}$3. 导数的性质与应用导数具有一些重要的性质，例如：- 若函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，那么它在 $x=a$ 处连续。

- 函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的切线方程为 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$。

导数在实际问题中的应用十分广泛，例如可以用于求解函数的极值、优化问题以及描述物理过程中的变化率等。

高等数学A复习题第一、二章,高数复习资料

高等数学II-A 复习题集第一章函数与极限一、知识点考点精要（一）几个重要概念1．函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性. 2. 初等函数3．数列极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）(1)(2)(3)0lim ()0,,||x x f x A N st n N x a εε→=⇔∀>∃>⇒-< 4．函数极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）00lim ()0,0,0|||()|x x f x A st x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<⇒-<lim ()0,0,|||()|x f x A X st x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>>⇒-<注意 1。

在上述定义中，若特殊地取A=0，则函数)(x f 叫做0x x →或∞→x 时的无穷小，即无穷小是以0为极限的函数。

0是惟一的作为无穷小的数。

2。

在A x f x x =→)(lim 0的定义中，x 是既从x 0的左侧又从x 0的右侧趋于0x 的。

若仅考虑x从0x 的左侧趋于x 0（记做00+→x x 或+→0x x ），此时把δ<-<||00x x 改为δ+<<00x x x ，那么A 就叫做)(x f 当0x x →时的右极限，记做A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)0(03。

研究0x x →时)(x f 的极限，是为了研究在自变量0x x →的变化过程中)(x f 的性态，此时)(x f 有无极限与)(x f 在点x 0有无定义完全无关。

即使f (x )在点x 0有定义，在讨论0x x →时)(x f 的极限的过程中，函数值)(0x f 不起任何作用，因此定义中要求δ<-<||00x x 。

40 在A x f xka =∞)(lim 的定义中，若x >0且无限增大，则只要把定义中的|x|>X 改为x >X即可得A x f x =+∞→)(lim 的定义。

09高等数学A(上)习题册

09高等数学A（上）习题册《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 1第一章函数与极限第一节映射与函数1、下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)?lgx2,g(x)?2lgx;f(x)?x，g(x)?x2.2、求函数y?3?x?arctan1x 的自然定义域。

3、已知f(x)?11?x，求f[f(x)]的定义域。

4、设f(x)??lgx,x?0?；g(x)??1,x?0?x?1,x?0?，求f[g(x)]。

1,x?05、已知f(x)?3x?5，且f[g(x)]?2x，求g(x)。

第二节数列的极限1、观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势，判断它们是否存在极限。

如果存在极限，写出它们的极限，如果不存在极限，请写出原因：xn1n?(?1)n x1n?2?n2xn=(?1)n?1 xn?n=sin2(5)xn?n?1n x?1n?nn?1nxn?2?13nxn=(?1)n?1?n《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 2n2、证明数列354n?(?1)2，23，4，5?，的极限是1n3.根据数列极限的定义证明：limn2?9．n??n?1第三节函数的极限1、根据函数极限的定义证明：lim(3x?1)?8.x?32、根据函数极限的定义证明：lim1?x3??2x3?12. x3、求f(x)?xxx,g(x)?x当x?0时的左、右极限，并说明它们在x?0时的极限是否存在。

《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 34、证明：若limf(x)?A，则limf(x)?A，但反之不真。

第五节极限运算法则x?x0x?x0第四节无穷小与无穷大1、两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之。

2、求下列极限并说明理：lim5x?10 x??xlim4?x2x?22?x3、函数y?xcosx在内是否有界？这个函数是否为x 时的无穷大？为什么？1、计算下列极限：(1)lim(x?h)2?x2h?0h(2)lim(1?1?11n??24)2n(3)lim1?2?3(n?1)n??n2limxxxxx??《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 4limx2sin1x?0xlimn?3nx??(?2)n?1?3n?17）lim??1?1?x1?22?3??1?n(n?1)?? ?8）lim?xn?3n?n?n???第六节极限存在准则两个重要极限1、计算下列极限： limsin5xx?04xlimx?0cotxlimsinx3x?0(sinx)2lim(1?1x??x)kxlim?x?0?1?x?x?1?x?1、利用极限存在准则证明：limn(1?11)?n??n2??n2?2?n21。

高等数学A(下)习题册答案

高等数学A （下）习题册第六章参考答案习题6.11.3333(32)45-=+---+=-r n a b c a b +c a c .2.23(0,1,0)2(1,2,3)3(2,0,1)(4,3,3)+--+-=-a b c =.3.点(,,)a b c 到x 轴、y 轴、z4.||cos ,2cos 6u u π=<>==r r r 5. 设起点坐标为(,,)x y z ，则向量r =(2,3,0)(2,1,4)x y z ----=，解得(,,)(4,2,4)x y z =--.习题6.21.（1）(3)(2)6()61106(1,1,4)131i j k-⨯=-⨯=--=--a b a b . （2）cos ,||||⋅<>===a b a b a b 2.（1）12；（2）10k =-. 3.Prj cos ,1||⋅<>==b a ba =|a |ab b . 4.()()344(0,1,1)233ijk⨯=-=---a +b b +c .习题6.3 1.1313x y z ++=-；该平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为3、1、3-. 2.3540x y z +++=. 3.11110121x y z+=-，即3220x y z -+++=. 4.210220240x y z x y z x y z ++-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩，解得交点坐标，319(,,)(,,)444x y z =-.5.2d ==.习题6.41.43040x y x z +-=⎧⎨--=⎩ 2.111(4,1,3)213i j ks ==---，所以对称式方程为：12413x y z -+==--、参数方程为：4132x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩. 3.325431x y z +--==. 4.111(1,1,2)110i j ks =-=----，所以12112x y z -+==. 5.如图，从直线上找个点1P ，连接向量10PP ，它与方向向量r 的夹角为θ，则所求的距离101010||||sin ||||sin ||||PP r PP r d PP r r θθ⨯===，本题结果为63. 习题6.51.垂直平分面：26270x y z -+-=.2.222(6)(2)(3)49x y z -+++-=.3.（1）2221233x y z ++=（2）2221232x y z -+=（3）2224x y z ++=（4）223x z y +=.习题6.61.（1）xOy 面上一点(1,3)-；空间中一条直线. （2）yOz 面上一点(0,2)；空间中一条直线.2. （1）222100x y y z ⎧+--=⎨=⎩，2223100x z z y ⎧+-+=⎨=⎩，100y z x -+=⎧⎨=⎩（线段）；（2）222390x y z ⎧+=⎨=⎩，22390z x y ⎧-=⎨=⎩，22290y z x ⎧+=⎨=⎩.3.先求题中两曲面交线在xOy 面上的投影曲线，投影曲线所围成的区域即为所求，2210x y z ⎧+≤⎨=⎩.高等数学A （下）习题册第七章参考答案习题7.11. 1、1、0、1.2.（1）在抛物线220y x +=处间断；（2）在直线y x =-处间断.3.（1）000lim lim 111xy t x t y xy te e →→→==--；（2）00012x t y →→+→==；（3）()xyy x y x 220sin 1lim +→→()2212sin 20sin 00lim 1sin 1x y xy x y x y x y e →→=+==.4.取路径(1)y kx k =≠，001lim 1x y x y kx y k →→++=--，结果与k 有关，故极限不存在. 习题7.21. （1）3/2cos(/)z y y x x x ∂=∂，z y ∂=∂，（2）/1y z u y x x z -∂=∂，/1ln y z u x x y z ∂=∂，/2ln y z u yx x z z∂=-∂.2. '''11(1,2,0)1,(1,2,0),(1,2,0).22x y z f f f ===3. 22222222212126,126,6z z z x xy y xy x x x y x y∂∂∂=-+=-=∂∂∂∂.4. 证明因为1111()()2211,x y x y z z e e x x x y-+-+∂∂==∂∂,所以222z z x y z x y ∂∂+=∂∂. 习题7.31.（1）sin sin cos y y dz e dx x ye dy =+；（2）)du xdx ydy zdz =++2.222222x y df dx dy x y x y =+++，()422,155df dx dy =+. 3.证明：（1）因为22000)0(0,0)x x y y x y f →→→→+===，所以(,)f x y 在(0,0)点处连续；（2）根据偏导数的定义，极限00(,0)(0,0)00limlim 0x x f x f xx ∆→∆→∆--==∆∆，所以对x 的偏导数存在，且'(0,0)0x f =；同理，'(0,0)0y f =. （3）因为2200)000limlimx y x y z dzρρρρ→+→+∆+∆--∆-∆∆-=00limlimz dzρρρ→+→∆-==，而这个极限不存在，所以(,)f x y 在(0,0)点处不可微.习题7.41.()()()()sin cos ,sin cos xy xy xy xy z zye x y e x y xe x y e x y x y∂∂=+++=+++∂∂. 2.()()222333223cos sin cos sin ,cos sin 2cos sin 2sin cos z z r r r θθθθθθθθθθθ∂∂=-=+--∂∂ 3.（1）12122,2xy xy u ux f ye f y f xe f x x ∂∂''''=⋅+⋅=-⋅+⋅∂∂；（2）11222211,,u u x u y f f f f x y y z z y z∂∂-∂''''=⋅=⋅+⋅=-⋅∂∂∂. 4.dy x y dx x y+=-.5.zz x y ∂∂==∂∂. 6.证明：令23x y z u +-=，则2sin u u =，此方程有解0u ，即023x y z u +-=，故12,33z z x y ∂∂==∂∂，1z zx y∂∂+=∂∂. 7.每个方程都对x 求导，222460dy dz x y dx dx dy dz x y z dx dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得626226dy x xz dx y yz dz x dx z+⎧=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.习题7.5 1.()1,2zl∂=∂. 2.（1）()1,1z l∂=∂（2）()0,1,023u l ∂=∂. 3.()1,1,1(6,3,0)gradf =.习题7.61.(1) 1B =;(2) 2,6m n ==;(3) 2,2A B =-=-.2.(1)切线方程11101x y z --==-，法平面方程1z x -=. 3.()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭. 4.切平面方程24x y +=,法线方程21120x y z--==. 习题7.71.（1）()1,12f -=-为极小值；（2）11,122f e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭为极小值.2.区域内部：(0,0)为驻点，(0,0)0f =；区域边界上，相当于求条件极值，构造拉格朗日函数22(,,)(1)L x y xy x y λλ=++-，解得x y ==，1(2f f ==，1(2f f ==-，所以最大值为12，最小值为12-.3.构造拉格朗日函数22(,,)(22)L x y x y x y λλ=+++-，解得42,55x y ==，424,555f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 为极小值.4.构造拉格朗日函数(,,,)()L x y z xyz x y z a λλ=+++-，解得3ax y z ===，即三个正数均为3a时，乘积最大. 5.构造拉格朗日函数222222(,,,)(1)(1)(1)(2)(3)(4)(32)L x y z x y z x y z x z λλ=-+-+-+-+-+-+-，解得点2163,2,1326⎛⎫⎪⎝⎭. 6.构造拉格朗日函数222(,,,)(12)L x y z xyz x y z λλ=+++-，解得，2x y z ===.高等数学A （下）习题册第八章参考答案习题8.1 1、（1）8π（2）8（3）2（4）1 2、（1）23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰ （2）2()Dx y d σ+≤⎰⎰3()Dx y d σ+⎰⎰3、（1）02I ≤≤ （2）1827I ππ≤≤4、（1）因为积分区域关于x 轴对称，而函数(,)sin f x y x y =-关于y 为奇函数(或理解为积分区域关于y 轴对称，而函数(,)sin f x y x y =-关于x 为奇函数)，所以原二重积分(sin )0Dx y dxdy -=⎰⎰.（2）因为积分区域关于y 轴对称，而函数22arcsin (,)1x y f x y x y =++关于x 为奇函数，所以原二重积分22arcsin 01Dx y dxdy x y=++⎰⎰.习题8.2 1、（1）22122001(,)(,)y y y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰（2）23 02(,)xxdx f x y dy -⎰⎰ （3）2602(,)yy dy f x y dx -⎰⎰2、（1）2cos 22(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰（2）22321cos d d πθρθρ⎰⎰（3）sec tan 240d d πθθθρρ⋅⎰⎰3、图如下所示.（1）（2）（3）（4）（1）解：原式2237111424000226()3355x xx x Dx ydxdy xdx ydy x y dx x x dx ==⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （2）解：原式0111012121111101()()x x x y x y x y x x x x De d e dx e dy e dx e dy e dx e e dx eσ+-+++------=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1e e=-.（3）解：原式221112000sin sin sin sin [][()]yy Dy yyyy ydxdy dy dx x dy y y dy yy y y==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11111(sin sin )sin sin cos (cos sin )1sin1y y y dy ydy y ydy y y y y =-=-=-+-=-⎰⎰⎰.（4）解：原式122222222(2)(2)DD D x y dxdy x y dxdy x y dxdy +-=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰1222cos ,sin (2)(2)D D x y d d d d ρθρθρρρθρρρθ==-+-⎰⎰⎰⎰令22233302(2)(2)d d d d ππθρρρθρρρ=-+-⎰⎰⎰⎰442322252[]2[]442ρρπρπρπ=⋅-+⋅-=. 4、（1）解：如左图所示. 在极坐标系中，积分区域为{(,)|0cos ,}22D R ππρθρθθ=≤≤-≤≤，故原式22222DDR x y dxdy R d d ρρρθ--=-⋅⎰⎰⎰⎰3cos cos 2222222221[()]3R R d R d R d ππθθππθρρρρθ--=-⋅=--⎰⎰⎰33320 24(1sin )()333R R d πθθπ=-=-⎰.（2）解：如左图所示. 在极坐标系中，积分区域为{(,)|12,0}4D πρθρθ=≤≤≤≤，则arctan yx θ=.故原式240 1arctan D Dydxdy d d d d x πθρρθθθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰222113()(21)24264ππ=⋅⋅-=. （3）解：如左图所示.在极坐标系中，积分区域为{(,)|12,02}D ρθρθπ=≤≤≤≤，故原式222220 1ln()ln()2ln DDx y dxdy d d d d πρρρθθρρρ+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222 1112ln 2[ln ln ]d d πρρπρρρρ=⋅=⋅-⎰⎰22132[4ln 2]2[4ln 2]8ln 2322ρππππ=⋅-=⋅-=-. 5、提示：积分区域{(,)|0,0}{(,)|,0}D x y x y y a x y x y a x a =≤≤≤≤=≤≤≤≤，交换积分次序得()()()0()()()()ayaaam a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰.习题8.31、（1）解：如左图所示.利用直角坐标计算.因为222{(,,)|01,01,01}x y z z x y y x x Ω=≤≤--≤≤-≤≤，所以原式22211100x x y I xyzdxdydz xdx ydy zdz ---Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰222224111120011[(1)]2224x x x y y y xdx y dy x x dx ----=⋅=--⎰⎰⎰122011(1)848x x dx =-=⎰. （2）解：如下图所示【解法一】由22z x y =+与1z =消去z 得：221x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}xy D x y x y =+≤. 所以22{(,,)|1,(,)}xy x y z x y z x y D Ω=+≤≤∈. 故原式221221[1()]2xyxyx yD D I zdxdydz dxdy zdz dxdy x y +Ω===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2123002211111()12222xy xy D D dxdy dxdy d d x y ππθρρ=-=⋅⋅-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 244πππ=-=.【解法二】用过点(0,0,)z 、平行于xoy 面的平面截Ω得平面圆域z D ，其半径为22x y z +=，面积为2z π.所以{(,,)|(,),01}z x y z x y D z Ω=∈≤≤.故原式4111200044zD z I zdxdydz zdz dxdy z z dz πππΩ===⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2、（1）解：如下图所示.由2243()z x y =-+与22z x y =+消去z 得：221x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}xy D x y x y =+≤. 所以Ω的柱面坐标表示为：2243,01,02z ρρρθπ≤≤-≤≤≤≤.故原式2221430I zdxdydz z d d dz d d zdz πρρρρθθρρ-ΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22243113500132[43]212z d d ρρπρρπρρρρπ-=⋅⋅=⋅--=⎰⎰. （2）解：如下图所示.由222425()z x y =+与5z =消去z 得：224x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤. 所以Ω的柱面坐标表示为：55,02,022z ρρθπ≤≤≤≤≤≤. 故原式22522235002()I x y dxdydz d d dz d d dz πρρρρθθρρΩΩ=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2223450551(5)2[]8242d d πθρρρπρρπ=-=-=⎰⎰.3、解：如下图所示.【解法一】利用直角坐标计算.由22222222x y z Rx y z Rz⎧++=⎪⎨++=⎪⎩解得2R z =，于是用平面2R z =把Ω分成1Ω和2Ω两部分，其中2221{(,,)|2,0}2Rx y z x y Rz z z Ω=+≤-≤≤； 22222{(,,)|,}2Rx y z x y R z z R Ω=+≤-≤≤. 于是原式12222z dxdydz z dxdydz z dxdydz ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222022R RR x y Rz zx y R zz dzdxdy z dzdxdy +≤-+≤-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222202(2)()R RR Rz z z dz R z z dz ππ=-⋅+-⋅⎰⎰5551475940480480R R R πππ=+=. 【解法二】利用球面坐标计算.作圆锥面1arccos 23πϕ==，将Ω分成1'Ω和2'Ω两部分：1{(,,)|0,0,02}3R πρϕθρϕθπ'Ω=≤≤≤≤≤≤； 2{(,,)|02cos ,,02}32R ππρϕθρϕϕθπ'Ω=≤≤≤≤≤≤.于是原式12222z dxdydz z dxdydz z dxdydz Ω''ΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222cos 24242303cos sin cos sin RR d d d d d d ππππϕπθϕϕϕρρθϕϕϕρρ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰555715960160480R R R πππ=+=. 习题8.4 1、（1）解：由2222262z x yz x y⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去z 得：222x y +=. 故所求立体在xoy 面上的投影区域为22{(,)|2}D x y x y =+≤.所以222222[62(2)]3[2()]DDV x y x y dxdy x y dxdy =---+=-+⎰⎰⎰⎰22230cos ,sin 3(2)3(2)Dx y d d d d πρθρθρρρθθρρρ==-=-⎰⎰⎰⎰令4226[]64ρπρπ=⋅-=.（2）解：由22140z x y z ⎧=--⎨=⎩消去z 得：221114x y +=.故所求立体在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}114x y D x y =+≤.所以22(14)DV x y dxdy =--⎰⎰24121230 001cos ,sin 2111(1)()2[]222244Dx y d d d d πρθρθρρπρρρθθρρρπ==-=-=⋅⋅-=⎰⎰⎰⎰令.2、（1）解：如左图所示.上半球面的方程为222z a x y =--.有222zx xa x y∂-=∂--，222z y ya x y∂-=∂--，所以222221()()z z ax y a x y∂∂++=∂∂--. 故由曲面的对称性可知所求的曲面面积为2222241()()4DDz z aA dxdy dxdyx y a x y ∂∂=++=∂∂--⎰⎰⎰⎰22cos ,sin 14Dx y a d d a ρθρθρρθρ==-⎰⎰令cos 2224a a d d a πθρθρρ=-⎰⎰22204(1sin )2(2)ad a πθθπ=-=-⎰.（2）解：如左图所示. 由2222z x yz x⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去z 解得222x y x +=，即22(1)1x y -+=.所以所求曲面在xoy 面上的投影区域为22{(,)|(1)1}D x y x y =-+≤.又因为被割曲面的方程为22z x y =+，且2222221()()12z z x y x y x y ∂∂+++=+=∂∂+，所以所求曲面的面积为2cos 22200212242cos 42222DA dxdy d d d ππθππθρρθθπ-====⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰.3、解：设矩形另一边的长度为l 并建立如左图所示的坐标系，则质心的纵坐标为 22322222()32R R x R RlRDyd R l R dx ydyR x l dxy AAAAσ-------====⎰⎰⎰⎰⎰，由题设可知0y =即可算得 23l R = .4、解：在球面坐标系中，Ω可表示为：02cos ,0,022R πρϕϕθπ≤≤≤≤≤≤.球体内任意一点(,,)x y z 处的密度大小为2222x y z μρ=++=.由于球体的几何形状及质量分布均关于z 轴对称，故可知其质心位于z 轴上，因此0x y ==. 则22cos 22555223232sin 2cos sin 515R M dv d d d R d R πππϕμθϕρρϕρπϕϕϕπΩ==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；所以 22cos 226722012645cos sin cos sin 64R zdvz d d d R d R MMMπππϕμπθϕρρϕρϕρϕϕϕΩ==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，故球体的质心为5(0,0,)4R . 5、解：22222222222224b a x aa a a by aa a x aDb b I x dxdy x dx dy x a x dx x a x dx a a ρρρρ-----===⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 32324222000sin 4sin cos cos 4[sin sin ]x a t b a t t a tdt a b tdt tdt a πππρρ=⋅=-⎰⎰⎰令 3313114[]224224a b a b ππρπρ=⋅-⋅⋅=.6、解：如左图所示.（1）由Ω的对称性可知： 2234222000844()4()33aax y aaaa a V dx dy dz dx x y dy ax dx +==+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故0x y ==.224224001441(2)2a ax y aa z zdv dx dy zdz dx x x y y dy MV V ρ+Ω===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4325202217()3515a ax a x a dx a V =++=⎰.（3）2222220()4()aax y z I x y dv dx dy x y dz ρρ+Ω=⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰422461124(2)45a adx x x y y dy a ρρ=++=⎰⎰.高等数学A （下）习题册第九章参考答案习题9.11.⑴2π； ⑵258π； ⑶32a π； ⑷2 注意（4）的做法，此圆的参数方程为，1cos ,sin x y θθ-==，:0θπ→，所以0(cos 1)sin 2Lxy ds d πθθθ=+=⎰⎰.如果有同学用1sin ,cos x y θθ-==，θ的范围就不再是0π→. 2．（1）由于连接(1,0)及(0,1)的直线段方程为1x y +=（如图），所以()12LLy ds ds x +==⎰⎰.（2）分三段来做（如图），在x 轴上， 2211ay x a L x eds e dx e +==-⎰⎰；在圆弧上，222404y a a L x eds ae dx ae ππ+==⎰⎰；在y x =上，223222021a y xa L x e ds edx e +==-⎰⎰；所以22y Lx eds +⎰224a e a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（3）直接按照对弧长的曲线积分公式求即可，答案为23(1)2e --. 3．如图，此圆的参数方程为，cos ,sin x y θθ==，:02πθ→，所以201sin cos 2L xyds d πθθθ==⎰⎰.4．根据对弧长的曲线积分的物理意义，即求曲线积分Lyds ⎰.此圆的参数方程为，cos ,sin x a y a θθ==，:0θπ→，Lyds ⎰20sin 2a ad a πθθ==⎰.习题9.21.（1）把参数方程21,1x t y t =+=+代入得，1202(2)2(1)(1)23LI ydx x dy t t tdt =+-=++-=⎰⎰.（2）把参数方程3∑代入得，33232222220[sin cos ]3k x dx zdy ydz k a a d a ππθθθθπΓ+-=--=-⎰⎰.2.从(1,1,1)(2,3,4)A B 到的直线段的参数方程为1,21,31x t y t z t =+=+=+，:01t →代入得，1[(1)2(21)3(31)]13xdx ydy zdz t t t dt Γ++=+++++=⎰⎰.3.（1）把2,,:01x y y y y ==→代入得，132017()(2)30Lydx y x dy y y y y dy x +-=⋅+-=⎰⎰.（2）把,,:01x y y y y ==→代入得，1201()3Lydx y x dy y dy x +-==⎰⎰.（3）分两段积分，1L ：,0,:01x x y x ==→代入得，1()0L ydx y x dy x +-=⎰；2L ：1,,:01x y y y ==→代入得，2101()(1)2L ydx y x dy y dy x +-=-=-⎰⎰；所以，1()2L ydx y x dy x +-=-⎰.4.曲线的参数方程为2,,:11x x y x x ==-→，曲线的方向向量为(1,2)x ，从而2212cos ,cos 1414x xxαβ==++，所以2L x ydx xdy -⎰22(2)14Ly x ds x-=+⎰.5.根据对坐标的曲线积分的物理意义，所求的功为2L x dy -=⎰815-.习题9.3 1.（1）10；（2）2m n ==；（3）1,1a b =-=.2.只需证明Q x∂=∂Py ∂∂即可. 3.（1）如图，1[(1cos )(sin )](1)5x x LDe dx y y dy e ydxdy e y π---=-=--⎰⎰⎰.（2）因为Q x∂=∂P y ∂∂，由格林公式，所以202yy L x e dx e dy x +=⎰. 4.（1）如图，2222()(),x y x y P Q x y x y +--==++，Q x∂=∂222222()P x y xyy x y ∂--=∂+，又由于积分范围不包括原点，由格林公式，所以22()()0C x y dx x y dyx y +--=+⎰；（2）如图，由于积分范围包括原点，所以不能直接利用格林公式，曲线的参数方程为： cos ,sin x a y a θθ==，:02θπ→，代入得，22()()2C x y dx x y dyx y π+--=-+⎰.（3）如图，由于积分范围包括原点，所以不能直接利用格林公式，在C 包围的内部区域增加一条圆形曲线1C ：222x y a +=，方向为顺时针，所以11222222()()()()()()022CC C C x y dx x y dyx y dx x y dy x y dx x y dyx y x y x y ππ++--+--+--=-+++=-=-⎰⎰⎰5.只需证明Q x∂=∂Py ∂∂即可. 习题9.41．（1）10a ；（2）221()()x x y z ∂∂++∂∂；（3）42a π；（4）11110π；（5）122π+． 2.（1）22111122xyD dS dxdy zx yπ∑=+=+⎰⎰⎰⎰（积分区域如图）（2）根据对称性（也可以化成二重积分之后，根据对称性），可知：0xdS ∑=⎰⎰，0ydS ∑=⎰⎰；所以，原式2222220222xya h D a zdS a x y dxdy d a d a x yπθρρ-∑==--⋅==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()a a h π-.3.根据对称性，0,0x y ==，32221zdSa az a dSππ∑∑===⎰⎰⎰⎰（分子的求法同上题），所以曲面的重心坐标为(0,0,)2a.习题9.5 1．（1）0；（2）第二类曲面积分Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰化成第一类曲面积分是(cos cos cos )P Q R dS αβγ∑++⎰⎰，其中,,αβγ为有向曲面∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向角.2.积分曲面如图所示，阴影部分为右侧，记为1∑，关于Ozx 面对称的为左侧，由于该曲面在Oxy 面上的投影为曲线，故(1)0z dxdy ∑+=⎰⎰，因此，()I y dzdx ∑=-⎰⎰，由对称性可知12()2()24zxD I y dzdx y dzdx x dzdx ∑∑=-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰，zx D 如图所示. 所以，222222222222224242(2)444848zxxD I x dzdx dx x dz x x dxx dx x dx π----=--=--=---=--=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.利用两类曲面积分之间的联系来做. 由于∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧，所以，单位法向量为1(1,1,1)3-，从而I =[][][](,,)2(,,)(,,)f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰[][][]1(,,)2(,,)(1)(,,)3f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑=+++-++⎰⎰111()233x y z dS dS ∑∑=-+==⎰⎰⎰⎰. 4.利用两类曲面积分之间的联系来做. 由于∑为曲面221z x y =--在第一卦限的部分取上侧，所以，单位法向量为221(2,2,1)144x y x y ++，从而222222221(2)144144144xy I xy zdS x yx yx y∑=++++++++⎰⎰22222211221442144144xyD dS x y dxdy x yx yπ∑==++=++++⎰⎰⎰⎰.习题9.61.（1）直接利用高斯公式，3xdydz ydzdx zdxdy dv Ω∑++==⎰⎰⎰⎰⎰81π.（2）如图，增加一个“盖子”1:2z ∑=，取上侧，则2(2)-2zx dydz zdxdy ∑+=⎰⎰1122(2)2(2)2z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑+∑∑+--+-⎰⎰⎰⎰前一个积分使用高斯公式，结果为0；而12(2)20416xyD z x dydz zdxdy dxdy π∑+-=-=-⎰⎰⎰⎰，从而，原积分16π=.2.（1）由于曲线L 上2z =，故20L yz dz =⎰，所以233LLydx xzdy yz dz ydx xzdy -+=-⎰⎰，利用斯托克斯公式，得233(3)5xyLLD ydx xzdy yz dz ydx xzdy z dxdy dxdy ∑-+=-=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰20π-.（2）可求出交线L 的方程是222,3z x y =+=，故()0Lx y z dz ++=⎰，所以222()()Lx ydx x y dy x y z dz +++++⎰222()Lx ydx x y dy =++⎰，利用斯托克斯公式，得，22222()(2)(2)xyLD x ydx x y dy x x dxdy x xdxdy ∑++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰，利用对称性，20xyD xdxdy =⎰⎰，22xy xyD D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰，所以2222220011()22xyxy D D x dxdy x y dxdy d d πθρρρπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，原积分π=-.高等数学A （下）习题册第十章参考答案习题10.1 1、（1）收敛； (提示：∵1111()(2)22n u n n n n ==-++，又∵111lim lim()1324(2)n n n S n n →∞→∞=+++⋅⋅+11111113113lim (1)lim ()2324222124n n nn n n →∞→∞=-+-++-=--=+++，∴原级数收敛.) （2）发散 . (提示：∵1n n ∞∞===∑，又∵lim n n n S →∞→∞=++(1n ++=∞，∴原级数发散.)2、（1）发散；(提示：级数为1111133n n nn ∞∞===∑∑，发散.)（2）收敛 .(提示：级数为112435nnn n ∞∞==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，收敛.)3、0x >或2x <-.(提示：1111(1)lim lim 11(1)n n n n nnu x u x x ρ++→∞→∞+===++，当1ρ<即111x <+时，解得0x >或2x <-，此时级数11(1)nn x ∞=+∑收敛，则原级数绝对收敛.)习题10.21、（1）收敛；(提示：∵3cos 433n n n nu +=<，而级数1141433n nn n ∞∞===∑∑收敛，∴原级数收敛.) （2）发散.(提示：∵1n n n→∞==，而级数11n n∞=∑发散，∴原级数发散.)2、（1）发散；(提示：∵111333(1)lim lim lim 113n n n n n n n nn u n n e u n e e n e ρ+++→∞→∞→∞+⋅===⋅=>+⋅，∴原级数发散.) （2）发散.(提示：∵11(1)!12lim lim lim !22n n n n n nnn u n n u ρ++→∞→∞→∞++====∞，∴原级数发散.)3、（1）收敛；(提示：1112(1)112222n n n n n n n ∞∞∞===+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑，∵由于1112n ρ==<，∴级数112n n ∞=∑收敛；又∵2112n ρ==-<，∴级数112nn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛.故原级数收敛.)（2）发散 .(提示：∵ln 2lim 3n n n n nρ→∞===，又因为由洛必达法则得1ln ln lim lim 1lim 333n n n n n nnn →∞→∞→∞==031==，∴ln 22lim2113n n nρ→∞===>，故原级数发散.) 4、（1）绝对收敛； (提示：12211(1)111n n n n n -∞∞==-=++∑∑，因为22111n n <+，而级数211n n∞=∑收敛，所以级数121(1)1n n n -∞=-+∑收敛，故原级数绝对收敛.)（2）条件收敛 .(提示：显然1111(1)(1)n n n n n u ∞∞--==-=-∑∑为交错级数，其中n u =11nn u u -==<即1n n u u -<；②lim n n u →∞=0n n →∞==，故该交错级数收敛.又因为11(1)n n ∞-=-=∑1n ∞=∑，有lim lim (1n nn S n →∞→∞⎡⎤=++++⎣⎦1)n →∞==∞ ，则级数11(1)n n ∞-=-∑发散，故原级数条件收敛.)5、（1）提示：222n n n n a b a b +≤；（2）提示：22112n n n a a n a n n +=⋅≤.6、证明：只需证明正项级数1!nn a n ∞=∑（0a >）收敛，根据比值审敛法有11!lim lim[]lim 01(1)!1n n n n n n nu a n au n n a ρ++→∞→∞→∞==⋅==<++，因此正项级数1!n n a n ∞=∑（0a >）收敛，再由级数收敛的必要条件得lim 0n n u →∞=，即lim 0!nn a n →∞=，得证.习题10.3 1、（1）1R =，收敛域为[]1,1- . (提示：因为12211limlim1(1)n n n na n n a ρ+→∞→∞===+，所以收敛半径11R ρ==.当1x =时，原级数为211n n∞=∑，该级数收敛.当1x =-时，原级数为21(1)n n n ∞=-∑，该级数也收敛.因而该级数的收敛域为 [1,1]-.)（2）2R =，收敛域为()0,4 .(提示：令2(2)t x =-，则1,44n n nn n t u a n n ==⋅⋅，因为11111(1)4lim lim 144n n n n nn a n a n ρ++→∞→∞+⋅===⋅，所以收敛半径1114R ρ==，故原级数的收敛半径为12R R ==.则有 22x -<，即04x <<.当0x =时，原级数为11n n ∞=∑，该级数发散；当4x =时，原级数为11n n∞=∑，该级数也发散.因而原级数的收敛域为 (0,4).)2、1111211114()(),(2,2)222(2)12nn n n n n n n n nnx x S x x x x x x x x x x ∞∞∞----==='⎛⎫'=====∈- ⎪-⎝⎭-∑∑∑ 11111114(1)()()22222542n n n n n n n n S ∞∞-==-=-=-=-∑∑. 3、100111112(2)()(1)22(2)222212nn n n n n x x x x x ∞∞+==--==⋅=-=--+-+∑∑，((0,4))x ∈.习题10.4 1、解：如左图所示，由狄利克雷充分条件可知，()f x 的傅里叶级数在间断点(21)x k π=+(0,1,2,)k =±±处收敛于()()2222f f πππππ-++--+==.在连续点(21),(0,1,2,)x k k π≠+=±±处()f x 的傅里叶级数收敛于()f x ，其中傅里叶系数为：00111()22a f x dx xdx xdx ππππππππ--==+=⎰⎰⎰， 001111()cos cos 2cos cos n a f x nxdx x nxdx x nxdx x nxdx πππππππππ--==+=⎰⎰⎰⎰2011sin ((1)1)(1,2)n xd nx n n n πππ==--=⎰ 001113()sin sin 2sin sin n b f x nxdx x nxdx x nxdx x nxdx πππππππππ--==+=⎰⎰⎰⎰10333cos cos (1)(1,2)n xd nx n n n n nπππππ+=-=-⋅=-=⎰所以()f x 的傅里叶级数为121(1)13()cos (1)sin 4n n n f x nx nx n n ππ∞+=⎛⎫--=++- ⎪⎝⎭∑ ((21),0,1,2,)x k k π≠+=±±2、31,23、解：（1）展开成正弦级数.对()f x 作奇延拓，得 ,(0,]2()0,0,(,0)2xx F x x x x ππππ-⎧∈⎪⎪==⎨⎪+⎪-∈-⎩.再周期延拓()F x 到(,)-∞+∞.易见0x =是一个间断点，在0x =处级数收敛于()2202ππ+-=. 函数()f x 在(0,]π处连续，傅里叶级数收敛于()f x ，且傅里叶系数为：0(0,1,2)n a n ==；0001211()sin sin sin sin (1,2)2n x b f x nxdx nxdx nxdx x nxdx n nπππππππππ--==⋅=-==⎰⎰⎰⎰故()(0)2xf x x ππ-=≤≤展开的正弦级数为： 11sin (0)2n x nx x nππ∞=-=<≤∑.（2）展开成余弦级数.对()f x 作偶延拓，得 ,[0,]2(),(,0)2xx F x x x ππππ-⎧∈⎪⎪=⎨+⎪∈-⎪⎩.再周期延拓()F x 到(,)-∞+∞.则()F x 在(,)-∞+∞内处处连续，且()(),[0,]F x f x x π≡∈. 则傅里叶系数为：0(1,2)n b n ==；0012()22x a f x dx dx πππππππ--===⎰⎰；000121()cos cos cos cos 2n x a f x nxdx nxdx nxdx x nxdx πππππππππ--===-⎰⎰⎰⎰21(1(1))(1,2)n n n π=--=；故()(0)2xf x x ππ-=≤≤展开的余弦级数为： 211(1)cos (0)24nn xnx x n ππππ∞=---=+≤≤∑.。

大学高等数学习题及答案

高等数学（A）1习题1-11.求下列函数的自然定义域：(3)y =1-1-x 2x⎧1-x 2≥0⎧-1≤x ≤1解：由⎨，所以函数的定义域为：[-1,0)⋃(0,1]⇒⎨⎩x ≠0⎩x ≠0(7)y =arcsin(x -3)解：由-1≤x -3≤1⇒2≤x ≤4，所以函数的定义域为：[2,4]1(8)y =3-x +arctanx⎧3-x ≥0⎧x ≤3解：由⎨x ≠0⇒⎨x ≠0，所以函数的定义域为：(-∞,0)⋃(0,3]⎩⎩9.求下列函数的反函数：（1）y =3x +1解：由y 3=x +1⇒x =y 3-1，所以反函数为：y =x 3-11-xy =（2）1+x解：由y (1+x )=1-x ⇒x =1-x 1-yy =1+x1+y ，所以反函数为：习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？1(2){(-1)n }n 收敛.且极限为0.⎧n -1⎫(4)⎨⎬n +1⎩⎭收敛，且极限为12n -1(6){3n }2n -12n 1n收敛.且因为：3n =(3)-(3)，知极限为0.习题1-3x |x |当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限4.求f (x )=,φ(x )=x x 是否存在.解：x →0lim -f (x )=lim -x →0x →0x x=lim -1=1,lim +f (x )=lim +=lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0∴lim f (x )=1|x |-x |x |x=lim -lim(-1)=-1,lim φ(x )=lim =lim =lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0-x →0+x →0+x x →0+x x →0∴lim φ(x )不存在.lim -φ(x )=lim -x →0习题1-44.求下列极限并说明理由.（1）lim x →∞2x +1x2x +1112x +1=2+,而lim =0,由定理1可知：lim =2.解：x x →∞x →∞x x x 1-x 2(2)lim x →∞1-x1-x 2(1-x )(1+x )1-x 2=1+x ，而lim x =0,由定理1可知：lim =1解：1-x =x →0x →01-x1-x 习题1-51.计算下列极限.x 2-32（2）x lim →3x +1解：lim x →x -3x →30===023x +1lim(x 2+1)4x →32lim(x 2-3)x 2-2x +1（3）lim x →1x 2-1x 2-2x +1(x -1)2x -1lim =lim =lim =0解：x →1x 2-1x →1(x +1)(x -1)x →1x +14x 3-2x 2+x （4）lim x →03x 2+2x 解：lim 4x -2x +x 4x -2x +1=lim =x →0x →03x 2+2x 3x +2322lim(4x 2-2x +1)x →0lim(3x +2)x →0=1=02x 2-1（7）lim x →∞2x 2-x -11)2x -11x →∞x lim =lim ==解：x →∞2x 2-x -1x →∞111122--2lim(2--2)x x x →∞x x 21-1x 2lim(1-x 2-6x +8（9）lim x →4x 2-5x +4x 2-6x +8(x -4)(x -2)(x -2)2lim =lim =lim 解：x →4x 2-5x +4x →4(x -4)(x -1)x →4(x -1)=3习题1-61.计算下列极限：1-cos2x lim （5）x →0x sin x 1-cos2x 2sin 2x sin xlim =lim =2lim =2⋅1=2解：x →0x sin x x →0x sin x x →0x 2.计算下列极限.-x )（1）lim(1x →0-1lim(1-x )=lim[(1+(-x ))]=e 解：x →0x →01x1-x -11x+2x )（2）lim(1x →02lim(1+2x )=lim[(1+2x )]=e 解：x →0x →01x12x 21x习题1-75.利用等价无穷小的性质，求下列极限：tan3xlim （1）x →02x tan3x ~3x ,∴lim 解：当x →0时，（3）lim x →0tan3x 3x 33=lim =lim =x →0x →02x x →022x 2tan x -sin xsin 3x 1x ⋅x 2tan x -sin x tan x (1-cos x )2=lim 1=1lim =lim =lim 333x →0x →0x →0x →02sin xsin x x 2解：1(x →0,tan x ~x ,1-cos x ~x 2,sin 3x ~x 3)2习题1-83.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：x 2-1（1）y =x 2-3x +2，x =1,x =2解：在x =1点，lim y =lim x →1(x -1)(x +1)(x +1)=lim =-2x →1(x -1)(x -2)x →1(x -2)故x =1点为第一类中的可去间断点.如果补充f (1)=-2,则f (x )在x =2点连续。

高数a第二章习题答案

高数A （一）习题答案习题2-1 (A)1.63. 4. (1) ;)(0x f ' (2) ;)(0x f '- (3) ;)0(f ' (4) .)(20x f '5. (1);54x (2);3231-x (3) ;3.231.x (4) 32--x ; (5) 2527x ; (6) 1013x 103--.6. (1) 19.6 米； 19.6 米/秒 .7. 切线方程 ,0632=--+πy x法线方程 .03232=-+-πy x 8.（2，4）.9. (1)在0=x 连续且可导； (2)在0=x 连续且可导. 10. ;0)0(='+f ;-1)0(='-f )(x f 在点0=x 处不可导.习题2-1 (B)4.e1. 7. 0)0(='f .习题2-2 (A)1.(1) 33464xx x --; (2) 21232121----x x ; (3) x x sin 5cos 3+;(4) x x x x x x tan sec cos sin 22++; (5) 1ln +x ; (6)x x x x x22csc sec tan 21-+; (7) 2ln log 22xx x +; (8) b a x --2; (9)2)cos 1(1sin cos x x x +++;(10)2sin cos x xx x -; (11)2ln 1xx- (12)3)2(xe x x-; (13) x x x x x x x x sin ln cos cos ln 22⋅⋅-+⋅⋅;(14) x x cos 2;2. (1) 218332ππ-; (2) )42(22π-; (3) 181-;(4) 1517)2(,253)0(='='f f . 3. 3t 2t ==或.4. 切线方程 x y 2=，法线方程 x y 21-=.5. (1) 410; (2) 0 ; (3) 410- .13.(1)4)32(10+x ; (2) )31(cos 3x --; (3)212x x+; (4) a a e xxln +; (5)22)110(ln10102e 2+⋅+-x x x x x ; (6) 4x12-x ; (7) 222sin x a x x ---; (8) )(sec 3322x x ;(9) x2x ee +1; (10) a x x x 2ln )1(12+++. 14.(1) 322)41(38-+x x ; (2) )2(cos 2ln 2x x ⋅(3) x e x e xx 3sec 33tan 21222--+-; (4) 122-x x x ;(5)x xarctan 122+; (6)xxx-33sin 3ln 3cos 3;(7)221xx -; (8)22xa +1;(9) sec x ; (10) csc x .15.(1) )(cos 22cos 22x x x-; (2) csc x ; (3)2ln 22)1(22arctanx xx x x e ++; (4))(ln ln ln 1x x x ;(5)22)arccos (12x x x-; (6) -2sec2x .16.(1) cosh(cosh x )sinh x (2))(ln cosh 12x x ; (3) (3sinh x +2)sinh x cosh x (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a 1x e x cosh 2sinh 22cosh ; (5) )1(cosh 222x x --; (6) 22224++x x x;(7)1242-x x e e ; (8) x 3tanh .17. (1))32(2x x +; (2) )3sin 93cos 7(x x e x --;(3) 2ln 2cos 2sin 2ln 2sin xxxx +; (4)222)arcsin (1arcsin 1x x x -x x --;(5)1ln 1+-n x x n ; (6) 3xx arctan 962+;(7) x cosh 12; (8) 222arctan2x)()4x 1()4x 1(2arctan2x )4x 1(4++-+.习题2-2 (B)1. (1)22)1(2x x-; (2) 23323)2()321()(-)2()211(x x-x-x x x x-x++;(3) )cos (cos )cos sin ()cos (sin )sin (sin αx x αx x x x x α++++-;(4) 23)cos 1(sin 2sin )cos 1(x xx x +++; (5) 22)tan (sec 2-tan 2x x x x x +;(6) )sec 2()ln 2(cos )tan (cos 1)tan ()ln 2(sinx 222x x x x x x x xx x x +-++-+--;(7) )49283(224+-x x x ; (8))ln (1x x 2-+.2.2)()(d xx g x g x dx y -'=. 3. 切线方程：022=--y x 和 022=+-y x .6. (1) 400英尺；(2) v(2) = 96英尺/秒； v(8) = - 96英尺/秒； (3) 10秒 7. (1) )()(e ()()(x x x f x f x e f x f e )e f e '+'; (2) )()]([x f x f f '';(3) x x f x x f )sin2(cos )sin2(sin 22'-'; (4) )(n n 1n b ax f x a -+'. 8. (1))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'-'=. (2))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'+'=. 9. x21)(='x f ; 21)21(='f .10. x xx f 121)(3---='. 12. (1) 211x +; (2)xx x xxx +++++2)21(1211; (3) 242x -;(4) xx x 2455ln 212⋅++; (5) a b a b x b b a a x a b xa b ln 11⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-;(6) ()2111ln ln a aa x axa xa a x a a x a a +-+-++; (7) 222-1)(1)-(12xx x +;(8) x e x x 1sin 222sin-; (9) 3/22)(1arcsin x x x -; (10) xx x x 21254e11ln55151++--. 13. )1(sin )1(sin 1cos 22x f x f x x'-. 14.)(22x xcos dx y d =; )()(22x cos x d y d =; )(32)(23x cos x x d y d =. 15. )2arcsin()]([x x f ='ϕ; 411)]([xx f -='ϕ; 412])]([[xx x f -='ϕ.16.1sin cos 222+πππe e e .17.)()1(2x 2x xe sin x xe dx yd +=. 18. 2e .习题2-3 (A)1. (1) 214x-; (2) x e 214-; (3) x x x sin cos 2-; (4) x exsin 22-; (5) 2/3222)(x a a --; (6) 232)1(/x x +-; (7) )23(222x xe x +; (8) 3)22(xx x e 2x +--; (9) x x tan sec 22; (10) 212tan 2xxx arc ++.习题2-3 (B)1. (1) n! (2) 1)1(!2)1(+--n nx n (3) )2(!)2()1(1≥---n xn n n ;(4) ]2)1(2[21π-+n x sin -n ; (5) )(n x e x +;(6) ])1(1)2(1[!)1(11++----n n n x x n ; (7) ])(1)()1([!)1(1nn n nbx a bx a b n -++---; (8) n m x n mm m m -++---1)1()11()21()11(1 ;(9) ]22[2π⋅+-n x cos n(10) 11)21(!2+--n n x n 2. (1) x cos e y x 4)4(-=; (2) x cosh xsinhx y 100)100(+=; (3) )2sin 212252cos 502sin (2250)0(x x x x x y 5++-=; 3. (1) )()(222x f 4x x f 2''+'; (2) 22x f x f x f x f )]([)]([)()('-''. 5. 21+=x y , 3x y )2(2+=''. 7. 0=+y dt yd 22.8. 0=+y dt yd 22.习题2-4 (A)1.(1) x y y -; (2) ax y x ay 22--; (3) yy xe e +-1; (4) y x y x e x y e ++-- (5) )(1)(11xy cos x yxy cos y x +-+ (6) )(1)(2222y x f 2y y x f 2x +'-+'. 3. 切线方程：022=-+a y x ；法线方程：0=-y x .4. (1) ]1)1([)1(222x2xsinxx cos ln cosx x sinx +++⋅+; (2) ]2222[)(2x cot x sec cosx x tan ln sinx tanx cosx ⋅⋅+⋅-;(3) ]163112[)1(3)1(232x xx x x x x 2++--++-+; (4)])(251121[2)1(3122x x x x x x x 35-+++-+; (5) ])1(21[121xx xe e cotx x e sinx x --+-; (6) )1()1()(1lnx x lnxlnlnx lnx 2x x-++-;(7) )1(1+++-lnx x ln x x x ππππ;(8) ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x a b b a ln a x x b b a ba x .5. (1)t 2a 3b dx y d =; (2) t cos 2cos2tdx y d =; (3)ϕtan dxy d -=; (4) θθθθθθcos -sin -sin -cos dx y d 1=. 6. (1) 切线方程：042=-+y x ; 法线方程：032=-+y x . (2) 切线方程：01234=-+a y x ; 法线方程：0643=+-a y x .习题2-4 (B)1. (1) )()()()()()()(x ln x x ln x x ln x x 2ϕϕψϕϕψψ'-';(2) )()()()()()()()()(x x x ln x x x x x 2x ψϕψψϕϕψψϕ'-'. 2. ye e x y d dx yx y x --=++.3. (1) θθa sec dx y d 222=; (2) )(1t f dxy d 22''=;(3) )1(2222t t 6dyx d +=; (4) )1(832533t t dx y d +-=;(5) 343381tt dx y d -=; 4.4π. 5. 2e .6. 0 .8. (1) a (1)= - 6 (m/s 2) ; a (3)= 6 (m/s 2 ). (2) |v(2)| = 3 (m/s) ;9. 144π (m 2/s)10. 20402516.π≈(m/min). 11.640225144.π=(cm/min).12. 70 英里/小时. 习题2-5 (A)2. (a ) 0dy y 0dy 0y >->>∆∆,,;(b ) 0dy y 0dy 0y <->>∆∆,,; (c ) 0dy y 0dy 0y <-<<∆∆,,; (d ) 0dy y 0dy 0y >-<<∆∆,,.3. (1) dx x x)12(3+-; (2) dx x x x )2cos 22(sin +; (3) dx e x x 2x )1(2+; (4)dx xx412+-; (5) dx x x e x )]cos(3)[sin(3----; (6) dx x x x )21(sec )21(tan 8223++;(7)dx x xx 222)]1([ln 16---; (8)dx x x x xxx +++++2)211(211.4. (1)dx xy x +--182; (2) dx y x csc )(2+-; 5. (1) C x +2; (2) C x +223; (3) C t sin +; (4) C t cos 1+-ωω;(5) C x ++)(1ln ; (6) C e x +--221; (7) C x +2; (8) C x +3tan 31.习题2-5 (B)1. h R 0π2.2. 7683,4,0010,.V l .r l r V 2='===∆π, 0037680.dV V =≈∆; 用铜约为033550.(克).3. 0021021603.π-≈-. 4. 050.T =∆(秒)，设摆长约需加长 d l , d l 2292140050..≈⨯=π(厘米) .5. R 约增加了43.63 cm 2, 扇形面积约增加了 104.72 cm 2 .6. (1) 0. 87476 ; (2) - 0. 96509 .7. (1) 7430''o ; (2) 260'o .8. (3) 01309054tan .≈'; 0020)0021(ln ..≈.9. (1) 9.9867; (2) 2.0052 .总复习题二一、1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 二、1. 充分；必要；充要.2. t 2e t t f =)(, t 2e 2t t f )1()(+='.3.1)1='-0(x f . 4. 1+=x y . 5. b. 6. [10, 20] .三、1. 212xx y +='.2. (1))]}([)]([)]([)({)]([)(2222222222x f sin x f x f cos x f x 4x f cos x f dx yd 2'-''+'=;(2) )(4)(2)()(2)]([2222222x f x x f x f x f x f dxyd ''+'+''+'=.3.xx ydx y d ln 2-=. 4. 32222)1ln ()1ln ()1ln (++-+=y xy x x y y dx y d . 5. 322)1(f f dx y d '-''=. 6. ⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤<='1,110,20,3)(2x x x x x x f7. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x;(2) )(x f ' 在 ),(∞+-∞上是连续函数。

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大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ，（2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限：（1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→；（2）30sin tan lim xx x x -→；（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π；（4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→；（6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是（） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是（） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是（）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （）（A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2）由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解（1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证（1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续，且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ，所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导．（2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21．（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=．（6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-，令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ，在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路：该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。