大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题

第一章

一、选择题

1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2

ln )(,ln 2)(x x g x x f ==

B .0

)(,1)(x x g x f ==

C .1)(,11)(2-=-⋅+=

x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==

2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .|

|)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1

sin )1()(2--=

x x

x x f

3.极限⎪⎭⎫

⎝

⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2

1

D ．∞ 4.极限x

x

x x sin lim

+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．∞

5.当0→x 时，下列各项中与 2

3

x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ）

A ．)1(3-x

e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x

x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小

7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要

8.设函数⎪⎩

⎪

⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,

21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）

A ．在0=x ,1=x 处间断

B ．在0=x ,1=x 处连续

C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续

D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限x

x x 10

)

1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ）

A ．1

B ．e -

C ．

e

1

D ．e 二、填空题

10.

函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数x

x

y -+=

11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x x

x f +=

1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 235

3+-=的反函数为 .

14. =→x

x x 1sin lim 2

0 .

15. 当________=α时，α

x 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.

16. 设2

1

)1(lim e kx x

x =+→，则=k .

17. 设1sin lim

0-=→x

kx

x ，则=k .

18. =⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+++∞→1

1232lim x x x x .

9. 设⎪⎩⎪⎨⎧

≤+>=0

,0

,1sin )(2

x x a x x

x x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题

20. 求下列数列极限 （1）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1

321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫

⎝

⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n n

x 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限

（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134

lim 22++∞

→x x x

（3）5030

20)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）1

1lim 31--→x x x （5）28

lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -

++∞→ （8）x

x x x ln )1(lim

1-→

（9）x

x x sin ln lim 0→ （10）x x

x 3sin 2sin lim 0→

（11）30sin tan lim x

x x x -→ （12）x x x 1

0)51(lim -→ 22. 若43

2lim

23=-+-→x a

x x x ，求a 的值. 23. 若已知41

1

lim

2

1

=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：

（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+>-+=0

),cos(0,1

1)(x x a x x

x x f . 25. 证明（1）方程0142

3

=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.

（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.