稳定预测控制方法--实验室讲义

稳定预测控制方法1、 线性二次型调节问题(LQR-Linear Quadratic Regulator)：不考虑约束、稳定、最优(1)()()k k k +=+x Ax Buk 0[()()()()]T T J k k k k ∞==+∑x Qx u Ru()()k Kx k =-u ；T 1T ()K R B PB B PA -=+代数Riccati 方程：1-()T T T T P A PA Q A PB R B PB B PA -=++ 2、 有限时域最优控制问题：不考虑约束、最优、不保证稳定N-1N k 0()()[()()()()]TT T J x N Sx N k k k k ==++∑x Qx u Ru1()()()[(1)](1)()T T u k K k x k R B P k B B P k Ax k -=-=-+++差分Riccati 方程：11()(1)[(1)]T T P k A P k I BR B P k A Q --=++++ 反向递推求解，()P N S =3、 最小方差调节问题：不考虑约束、一步预测、仅适用于最小相位系统4、 经典预测控制算法(DMC 、GPC 、MAC 等)a 、 不考虑约束时，在一定条件下等价于有限时域最优控制问题，使系统稳定需满足一定条件；● 经典预测控制在一定条件下(开环稳定对象(因为DMC 和MAC 只能用于开环稳定对象)、采用相同的性能指标函数、无需反馈校正)等价；GPC 的优势是采用的是参数模型，便于采用自适应控制。

● 经典预测控制在一定条件下(采用相同的性能指标函数P=M=N)都等价于有限时域最优控制问题(严格说是有限时域最优输出控制问题，应在上述描述中增加输出描述，即与C 有关)。

只不过求解方法不同，有限时域最优控制问题采用最小值原理，需递推求解Riccati 方程，计算复杂；经典预测控制直接求解优化问题。

● 有限时域最优控制问题求得的未来N 个最优解的反馈增益是时变的(即使对LTI 系统)，当预测时域N 趋于无穷时，反馈增益趋于一个常数。

经典预测控制仅当采用滚动时域策略时,才成为一个线性时不变控制器。

从而才可以用经典稳定性方法判断稳定性(考察其闭环极点位置)。

b 、 考虑约束时，最终归结为求解二次规划问题，通常只能求数值解，无稳定性保证。

5、 稳定预测控制方法(1) 为什么要研究稳定预测控制方法：a 、controller online redesign ，如adaptive control,经典预测控制稳定性依赖于控制器参数设置，调整缺乏有效方法；b 、经典预测控制在约束情况下往往只能求得数值解，难于分析稳定性，需要一种能显式保证稳定性的方法，即使稳定性独立于控制器参数选取，只要能求得可行解，就可以保证稳定。

(2) 保证预测控制稳定的基本方法： ● 采用无穷时域(infinite horizon) ● 采用终端约束(terminal constraint) ● 采用渐缩约束(contractive constraint)：如使与状态变量有关的某control Lyapunov函数递减，如a 、采用无穷时域(infinite horizon)指标原理：受LQR 启发，只要优化问题可行，则每一步暗含了x(∞|k)=0，从而保证闭环系统稳定。

困难：待求变量无穷，无法求解。

解决方法：✓ 通过寻找一个上限，把无穷项性能指标变为有限项，再求u 使该上限最小； ✓ 变求无穷项控制量序列为求有限项控制律，即u=Kx ； b 、采用终端约束(terminal constraint) 对终端状态进行约束，保证稳定。

终端点约束: x(k+P)=xs ，约束过强，可行域小； 终端约束集: x(k+P)∈Ω； (3) 约束稳定预测控制设计框架● 三要素：终端代价函数(terminal cost function)、终端约束集(terminal constraintset)、局部镇定控制器(Local stabilizing controller) 已有constrainted MPC 基本都是三要素的不同组合。

● 四条件：A1: state constraints satisfied in Xf A2: control constraints satisfied in Xf A3: Xf is positively invariant under KfA4: 终端代价函数V(.) is a local Lyapunov function （A4 usually imply A3）((1))(())()()()()T T k k k k k k +-≤--V x V x x Qx u Ru对上式进行从0k =到k =∞的叠加，得到()(())(())J k V k V ≤-∞x x 。

因为二次函数()V x 欲作为性能指标的上界函数，所以必然是有界的，即有()0∞=x ，(())0V ∞=x 。

则(())V k x 为性能指标()J k 的上界。

这样问题就被转化为寻找控制律序列使得(())V k x 最小。

● 拟无穷时域控制quasi-infinite horizon ：同时采用三要素：N-1N k 0()()[()()()()]TT T J x N Px N k k k k ==++∑x Qx u Ru优化问题描述为：0N 1N u ...u min ()J k -s.t. 0x x =；1; 0-1k k k x Ax Bu k N +=+= ；(适用于非线性对象) ; 0-1k k Mx Eu b k N +≤= ；()f x k N X +∈；✓ 求解上述优化问题，隐含求局部控制器，因为根据局部控制器才能求得终端加权正定矩阵P ，终端不变集Xf 。

✓ 上述优化问题可换个角度看作是无穷时域性能指标优化，只不过把无穷性能指标分为两部分，一部分为待求的N 步预测控制序列，然后给其余部分寻找一个上界，优化使得第一部分指标和该上界之和最小； ✓ 由条件A4知，终端代价函数是对f x X ∀∈，采用局部控制器K 时无穷时域性能指标的上界。

隐含了K+N 到∞的可行控制序列。

✓ 很多方法都是上述问题的变形，如局部控制器不是离线确定，而是同时在线求解K ，这样可以动态调整终端约束集的大小，从而增大可行域； ✓ 稳定性证明:● 双模控制Dual mode control ：✓ 分两步进行，在终端集外用MPC ；进入终端约束集，切换到局部控制器； ✓ 不采用终端代价函数，因为MPC 只负责把状态驱动到终端约束集； ✓ 预测步数作为优化变量。

✓ 拟无穷时域控制即使进入终端约束集也不切换到局部控制器，采用局部控制器仅仅是为计算终端约束集和终端权矩阵P ，一旦进入Ω，2P x()N 始终是上界，可以不切换，计算量大于双模控制，但性能好于双模控制。

●多参数规划MPC把111(0)k kk k k jj x A x A Bu---==+∑代入拟无穷时域控制问题，得(把x k 用初始状态x0表示)*((0))(0)(0)min{(0)}.. (0)NN NN N U N J x x x U HU x FU s t GU W Ex γ'''=++≤+ (x(0)未知)其中，01(,)N N U u u -'''=可以证明：*((0))(0) (0){|},1,,nN r r r r r U x F x G if x P x R H x K r m =+∈=∈≤= ✓ 多参数规划把初始状态x0作为未知参数，相当于一次把所有情况离线求出。

如果x0固定，则蜕化为一般的单参数二次规划问题。

✓ 只要确定x0的位置就可得到对应的控制器，说明即使对于约束线性系统，得到的MPC控制律也是非线性的。

✓ 可推广到分段仿射(PW A)系统。

● 插值MPC 方法终端不变集的大小与控制性能之间往往存在矛盾，即终端不变集大的局部控制器可能动态性能较差。

可以这样理解：由于不变集内，无穷性能指标的上界x(k)Px(k)<γ代表一个椭圆，γ越小，该椭圆越小，不变集越小，代表控制性能越好；反之γ越小，该椭圆越大，不变集越大，代表控制性能越差。

插值MPC 方法通过在不变集较大但性能较差和不变集较小但性能较好的两个控制器之间进行插值，寻求不变集大小和控制性能都比较满意的局部控制器。

(4) 稳定鲁棒预测控制考虑多面体描述的不确定系统：(1)()()()()k k k k k +=+x A x B u (1)式中(),()n m k R k R ∈∈x u 分别是对象的状态和输入。

定义Ω为如下的多面体：[][][]{}1122|,|,,|,0L L Co k Ω= ∀≥A B A B A B则矩阵对[]()|()k k ∈ΩA B ，即存在L 个非负系数()l k ω，{}1,,l L ∈ ，使得[][]11()|()()|()1L Ll l l l l l k k k k ωω== = ,= ∑∑A B A B (1a)式中[]|l l A B 称为多面体描述的顶点，它是一个凸组合。

定义k 时刻无穷时域系统不确定性最坏情况下的二次性能指标为：[(),()]0()[(|)(|)(|)(|)]maxTT k i k i i J k k i k k i k k i k k i k ∞++∈Ω==+++++∑A B x Qx u Ru (2)式中，状态量的预测值为：111010(|)(|)(|)(|)(|)(|)i i i j l j j k i k k j k k k k l k k j k k j k ---==+=⎛⎫⎛⎫+=∏++∏+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑x A x A B u(3)同时满足[(|),(|)],0k i k k i k i ++∈Ω ∀≥A B 。

这里的最坏情况指的是找到一个[(|),(|)]k i k k i k ++∈ΩA B ，使得此参数下指标J 取到最大值。

Max 运算是在Ω中进行的。

对这个最大的J 指标最小化，求取在最坏参数时的最优预测控制律，即求解：(|),0,1,,min ()k i k i J k +=∞u (3a)s.t. 式(3)这是一个无穷时域的Min-Max 问题，通过构造其上界函数和构建局部镇定控制器对其进行求解。

定义二次型函数()0T =>V x x Px,P ，令该函数满足：((1|))((|))(|)(|)(|)(|)T T k i k k i k k i k k i k k i k k i k ++-+≤-++-++V x V x x Qx u Ru(4)采用线性状态反馈控制律构造局部镇定控制器：(|)(|),0k i k k i k i +=+ ≥u Fx (5)问题进一步被转化为寻找状态反馈增益矩阵F 使((|))V k k x 最小。