稳定预测控制方法--实验室讲义

稳定预测控制方法

1、 线性二次型调节问题(LQR-Linear Quadratic Regulator)：不考虑约束、稳定、最优

(1)()()k k k +=+x Ax Bu

k 0

[()()()()]T T J k k k k ∞

==+∑x Qx u Ru

()()k Kx k =-u ；T 1T ()K R B PB B PA -=+

代数Riccati 方程：1-()T T T T P A PA Q A PB R B PB B PA -=++ 2、 有限时域最优控制问题：不考虑约束、最优、不保证稳定

N-1

N k 0

()()[()()()()]T

T T J x N Sx N k k k k ==++∑x Qx u Ru

1()()()[(1)](1)()T T u k K k x k R B P k B B P k Ax k -=-=-+++

差分Riccati 方程：11()(1)[(1)]T T P k A P k I BR B P k A Q --=++++ 反向递推求解，()P N S =

3、 最小方差调节问题：不考虑约束、一步预测、仅适用于最小相位系统

4、 经典预测控制算法(DMC 、GPC 、MAC 等)

a 、 不考虑约束时，在一定条件下等价于有限时域最优控制问题，使系统稳定需满足一定条

件；

● 经典预测控制在一定条件下(开环稳定对象(因为DMC 和MAC 只能用于开环稳定对

象)、采用相同的性能指标函数、无需反馈校正)等价；GPC 的优势是采用的是参数模型，便于采用自适应控制。

● 经典预测控制在一定条件下(采用相同的性能指标函数P=M=N)都等价于有限时域

最优控制问题(严格说是有限时域最优输出控制问题，应在上述描述中增加输出描述，即与C 有关)。只不过求解方法不同，有限时域最优控制问题采用最小值原理，需递推求解Riccati 方程，计算复杂；经典预测控制直接求解优化问题。

● 有限时域最优控制问题求得的未来N 个最优解的反馈增益是时变的(即使对LTI 系

统)，当预测时域N 趋于无穷时，反馈增益趋于一个常数。经典预测控制仅当采用滚动时域策略时,才成为一个线性时不变控制器。从而才可以用经典稳定性方法判断稳定性(考察其闭环极点位置)。

b 、 考虑约束时，最终归结为求解二次规划问题，通常只能求数值解，无稳定性保证。

5、 稳定预测控制方法

(1) 为什么要研究稳定预测控制方法：

a 、controller online redesign ，如adaptive control,经典预测控制稳定性依赖于控制器参数设置，调整缺乏有效方法；

b 、经典预测控制在约束情况下往往只能求得数值解，难于分析稳定性，需要一种能显式保

证稳定性的方法，即使稳定性独立于控制器参数选取，只要能求得可行解，就可以保证稳定。 (2) 保证预测控制稳定的基本方法： ● 采用无穷时域(infinite horizon) ● 采用终端约束(terminal constraint) ● 采用渐缩约束(contractive constraint)：如使与状态变量有关的某control Lyapunov

函数递减，如

a 、采用无穷时域(infinite horizon)指标

原理：受LQR 启发，只要优化问题可行，则每一步暗含了x(∞|k)=0，从而保证闭环系统稳定。

困难：待求变量无穷，无法求解。 解决方法：

✓ 通过寻找一个上限，把无穷项性能指标变为有限项，再求u 使该上限最小； ✓ 变求无穷项控制量序列为求有限项控制律，即u=Kx ； b 、采用终端约束(terminal constraint) 对终端状态进行约束，保证稳定。

终端点约束: x(k+P)=xs ，约束过强，可行域小； 终端约束集: x(k+P)∈Ω； (3) 约束稳定预测控制设计框架

● 三要素：终端代价函数(terminal cost function)、终端约束集(terminal constraint

set)、局部镇定控制器(Local stabilizing controller) 已有constrainted MPC 基本都是三要素的不同组合。 ● 四条件：

A1: state constraints satisfied in Xf A2: control constraints satisfied in Xf A3: Xf is positively invariant under Kf

A4: 终端代价函数V(.) is a local Lyapunov function （A4 usually imply A3）

((1))(())()()()()T T k k k k k k +-≤--V x V x x Qx u Ru

对上式进行从0k =到k =∞的叠加，得到()(())(())J k V k V ≤-∞x x 。因为二次函数

()V x 欲作为性能指标的上界函数，所以必然是有界的，即有()0∞=x ，(())0V ∞=x 。则(())V k x 为性能指标()J k 的上界。这样问题就被转化为寻找控制律序列使得(())V k x 最小。

● 拟无穷时域控制quasi-infinite horizon ：同时采用三要素：

N-1

N k 0

()()[()()()()]T

T T J x N Px N k k k k ==++∑x Qx u Ru

优化问题描述为：

0N 1

N u ...u min ()J k -

s.t. 0x x =；