离散数学知识点

绪论
研究对象：离散量
研究方法：解的存在性解的能行性
研究内容：数理逻辑集合代数系统图论离散概率组合数学
例题1、A、B、C、D四人参加四次长跑，问：“A在B前三次，B在C前三次，C在D前三次，D在A前三次”是否有解，若有求出，否则说明理由。

方法一： A A B C D n个元素的环形排列可拆成n个元素的
B C D A 线性排列
D B C D A B
D A B C
C
方法二：集合
Sa={X|A在B前} Sa∩Sb∩Sc={A B C D}
Sb={X|B在C前} Sa∩Sb∩Sd={D A B C}
Sc={X|C在D前} Sa∩Sc∩Sd={C D A B}
Sd={X|D在A前} Sb∩Sc∩Sd={B C D A}
例题2：在边长为1的正方形中任取五个点，则至少有两个点的距离≤√2/2。

“中点分隔”将边长为1的正方形分成四个
边长为1/2的小正方形，从中任取五个小点，
必有两个小点来自一个小正方形。

例题3：“布鲁英序列”----应用
旋转鼓的设计，设旋转鼓有8个区域，旋转一圈可识别三位二进制数，如何确定磁粉位置。

（阴影0，非阴影1）
0—1—1—1 000 001
0001 0—1—1—1 010 011
1 0 100 101
1 110 111
1
思考题：四位二进制a1 a2 a3 a4
例题4：有五位小姐排成一排，所有小姐姓不同，穿的衣服颜色不同，喝不同的饮料，养
不同的宠物，吃不同的水果，已知：
1.钱小姐穿红衣服
2.翁小姐养了一只狗
3.陈小姐喝茶
4.穿绿衣服的小姐在穿白色衣服小姐的左边，穿绿衣服的小姐在喝咖啡
5.吃西瓜的小姐养鸟
6.穿黄衣服的小姐吃梨
7.站中间的小姐喝牛奶8.赵小姐站最左边
9.吃桔子的小姐站在养猫的小姐旁边10.养鱼的小姐旁边小姐吃梨
11.吃苹果的小姐喝香槟12.江小姐吃香蕉
13.赵小姐站在穿蓝色衣服小姐旁边14.喝开水的小姐站在吃桔子的小姐旁边
问每位小姐怎么站，她们分别养什么宠物，吃什么水果，喝什么饮料，穿什么颜色衣服，姓什么。

12345
姓赵陈钱江翁
吃梨桔子西瓜香蕉苹果
喝开水茶牛奶咖啡香槟
颜色黄蓝红绿白宠物猫鱼鸟狗
例题5：同态加密
R+ f:a^x(a>1) R* f(x+y)=f(x)*f(y)
f(x)
f(y)
f(x+y)
例题6:100被2、3、5任意个整除
A={X|被2
整除} |A|=[100/2]=50
B={X|被3整除
} |B|=[100/3]=33
C={X|被5整除} |C|=[100/5]=20
|A∩B|=16 |A∩C|=10
|B∩C|=6 |A∩B∩C|=3
1:|A|-|A∩B|-|A∩C|+|A∩B∩C|=27
8:|U|-|A∪B∪C|=|U|-(|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-
|B∩C|+|A∩B∩C|)=26
第一章
求职
数理逻辑（一阶）演算标准型等价
谓词逻辑证明推理
应用类型
一、命题：具有确定真假意义的陈述句（断言）
永T命题：真值为T（1）
永F命题：假值为F（0）
1+1=10 X>3 X的取值有关
二进制十进制
（T）（F）费晰逻辑
原子命题：不可再拆开的命题
复合命题：由原子命题和联结词构成的
命题词：命题的符号表示，用大写字母表示
二、联结词
1.否定（not）¬
A为命题，若A为T，¬A为F
A:张明是上海人 ¬A：张明不是上海人
2.合取（and）∧
A、B是命题，A∧B为T, iff(当且仅当）A、B均为T
T F F T F F
T T T T T T
3.析取（or）∨可兼
A、B是命题，A∨B为F, iff A、B均为F 或不可兼
量的估计
4.蕴含命题（if-then）→
A、B是命题，A→B为F，iff A为T，B为F
前提结论
A→B：原命题¬A→¬B:反命题（否命题）
B→A：逆命题¬B→¬A:逆反（逆否）命题
5.等值词（iff
B为T，iff A、B的值相同
P：生命息Q：战斗止
（¬P→¬Q）∧(¬Q→¬P) ¬¬Q
三、命题公式（合成公式）wff
1.命题变元，常元
常元：T、F（仅有两个）
变元：在{T、F}中取值，用小写字母表示
2.wff的定义
一个wff定义递归（归纳）如下：
基础i) 命题变元，常元是wff
归纳ii) 若A、B是wff,则（¬A）,(A∧B),(A∨B),(A→B)也是wff
极小化iii) 有限次使用i）和ii)得到的符号命题是wff
反进
¬¬Q ((¬¬Q))
约定：①最外层括号可省略
②优先级：¬∧∨→↔
高
结合方向：左结合如(P→Q)→R
若优先级，结合方向可确定计算顺序时，括号可省略
括号是用来改变运算顺序的
扩展：（1）n个变元的增值表有2^n行（指派），可构成2^2n wff
（2）结合律：等值有结合侓
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
重言式（永T式）
一、基本概念
1.指派（解释）——对wffG中全部变元的一组赋值，成为一个指派
N个变元的全部指派有2^n个，可构成2的2^n个wff
2.永T式（重言式）——在任何指派下为T P∨¬P
3.永F式（矛盾式）——在任何指派下为F P∧¬P
4.偶然式——非永T，亦非永F P→Q
5.可满足式——至少在一组指派下取值为T P→Q,P
二、逻辑恒等式
1.定义：设A，B是wff,若为永T，则称A与B是逻辑恒等式，记为
例题：A:P→Q B:¬P∨Q求证 A ⇔ B
即求证为永T?
P Q P→Q¬P∨Q
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1 所以P→Q⇔¬P∨Q
2.常用恒等式 P9
3.性质
（1）.A⇔ A,A ↔ A为永T 自反性
（2）.若A ⇔ B,则B⇔A对称性
（3）.若A⇔B,且B⇔C,则A⇔C传递性
4.三大规则
（1）.代入规则
代换实例：设wffG,P1，P2……Pn是G中全部命题的变元，A是wff，以A代Pi的全部出现，得到公式G’为G的一个代换实例。

如wffG:(P→Q)∧(Q∨R)wffA:S∧R
A代Q的全部出现：G’(P→(S∧R))∧((S∧R)∨R)
代入规则：（1）.永T式的任何可代入实例是永T式
（2）.永F式的任何可代入实例是永F式
（3）.可满足式是任何可代入实例是不确定的
例题：
P→R∨¬R可满足式
永T式
R∨¬R→S∧¬S永F式
（2）.重换规则
设wffG，A是G的子公式，B是wff且A⇔B,以B代A的某些出现，得到公式G’,则G⇔G’
例题：wffG:（P→Q）∧(Q→R)∧(P∨Q)化简，
取A:P→Q B:¬P∨Q
G1：(¬P∨Q)∧（Q→R）∧(P∨Q) G⇔G1
G2：(¬P∨Q)∧（¬Q∨R）∧(P∨Q) G1⇔G2
（P→Q）∧(Q→R)∧(P∨Q) ⇔(¬P∨Q)∧（¬ Q∨R）∧(P∨Q)
⇔（¬P∧¬Q∨¬P∧R∨Q∧¬Q∨Q∧R）∧(P∨Q)
⇔¬P∧R∨Q∧P∨Q∧Q∧R∨Q∧R
⇔（¬P∨P∨T）∧Q∧R
⇔Q∧R
（3）.对偶规则
1.对偶式
设wffG中仅含¬、∧、∨且不包含↔和→作用于变元在G中，将∧与∨互换，T与F 互换，得新公式G*,则称G*为对偶式
例题：求wffG:P∧(P→Q)的对偶式
解：P∧（P→Q）⇔P∧(¬P∨Q) G*:P∨(¬P∧Q)
求（P→Q）→R的G*
（P→Q）→R⇔¬(P→Q)∨R⇔¬(¬P∨Q)∨R⇔P∧¬Q∨R
G*:（P∨Q）∧R
步骤：i)消→、↔ii)利用D-M定侓iii)写G*，必要时加括号（2）.对偶规则
设A、B是wff，A*、B*分别为A、B对偶式，若A⇔B,则A*⇔B*如：P∨Q⇔Q∨P
P∧Q⇔Q∧P
三大规则
四、永真蕴含式
1.设A、B是wff，若A→B永T，则称A永真蕴含B，记为A⇒B
A⇒B iff A→B永为T iff A为T，B必为T（肯定前件）Iff B为F，A必为F（否定后件）
2.常用永真蕴含式P10
A B
P⇒P∨Q A→B永为T
P→P∨Q⇔¬P∨P∨Q⇔T∨Q⇔T
3.性质
（1）A⇒A A→A永为T？A→A⇔¬A∨A⇔T
（2）A⇒B,B⇒A则A⇔B
（3）A⇒B,B⇒C则A⇒C
4.A与A*关系
例：A（P,Q）:P→Q⇔¬P∨Q
A*（P,Q）:¬P∧Q ¬A*（P,Q）:P∨¬Q
A（¬P,¬Q）:P∨¬Q
A（¬P1，¬P2……¬Pn）⇔¬A* （P1，P2……Pn）
A（P1，P2……Pn）⇔¬A*（¬P1，¬P2……¬Pn）
¬A（¬P1，¬P2……¬Pn）⇔ A* （P1，P2……Pn）
¬A （P1，P2……Pn）⇔ A*（¬P1，¬P2……¬Pn）
th1 :A⇔B,A*⇔B*th2:A⇒B,B*⇒A*
范式
一、基本积（和）
1.基本积：变元、变元的否定、合取
基本和：变元、变元的否定、析取
如： p q 基本积：p∧q p∧¬q p∧p p∧q∧¬p……
基本和: p∨q p∨¬q p∨p p∨q∨¬p……
2.性质
基本积（和）永F（T）
Iff变元及其否定同时出现在基本积（和）中
3.范式
（1）析取范式
若wffA，A⇔A1∨A2∨……∨Ak（*）Ai是基本积，称（*）为A的析取范式若wffA，A⇔A1∧A2∧……∧Ac（**）Ai是基本积，称（**）为A的合取范式PS：把其中运算符最少的称为最简析取范式
例：设wffA:P→（Q→R）求析（合）取范式
基本积：¬P,¬Q，R 基本和：¬P∨¬Q∨R
二、主析取范式
1.极小项及其性质
（1）Df：若基本积满足
i).每个变元必须出现且进出现一次 ii).变元及其否定不能同时出现则称该基本积为极小项。

编码 1 1 1 0 0 1 0 0
p q p∧q p∧¬q¬p∧q¬p∧¬q
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0
（2）性质
1.每个变元的极小项有2^n个
2.每个极小项仅在变元的一组指派下取值为T，其余(2^n)-1组指派下取值为F
3.任两个极小项的合取为永F式
4.全部极小项的析取为永T式
2.编码
原变元——1 反变元——0
M0:¬P1∧¬P2……∧¬Pn
M1:¬P1∧……∧¬Pn-1∧Pn
……
M(2^n)-1:P1∧P2∧……∧Pn
3.主析取范式
设wffA，若A⇔A1∨A2∨……∨Ak（*）Ai为极小项，则称（*）为A的主析取范式
例：求P→(Q→P)的主析式范式
方法一：等值演算（E1~ E24）
P→(Q→P)⇔¬P∨(¬Q∨P) ⇔¬P∨¬Q∨P⇔(¬P∨P)∨¬Q⇔T∨¬Q⇔T
方法二：真值表
P Q P→(Q→P)⇔¬P∧¬Q∨¬P∧Q∨P∧¬Q∨P∧Q
0 0 1 1 ⇔M0∨M1∨M2∨M3
0 1 1 0
1 0 1 1
1 1 1 1
求（P→Q）→P⇔¬（¬P∨Q）∨P ⇔P∧¬Q∨P ⇔P∧(¬Q∨T) ⇔P∧T ⇔P——最简范式⇔P∧¬Q∨P∧T ⇔P∧¬Q∨P∧(Q∨¬Q) ⇔P∧¬Q∨P∧Q∨P∧¬Q
⇔M2∨M3⇔∑(2，3)
三、主合取范式
编码 0 0 0 1 1 0 1 1
p q p∨q p∨¬q¬p∨q¬p∨¬q
0 0 0 1 1 1
0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0
2.编码
原变元——0 反变元——1
极小项：1 1——p∧q极大项：1 1——¬p∨¬q ¬M3⇔M3性质4：¬Mi⇔Mi
注：永T式不存在主合取范式，仍记为T
四．主合取/主析取范式的计数问题
n个变元的极小项有2^n个
结论：（1）永F式的主析取范式不存在，仍记为F
（2）永T式的主析取范式全部由极小项构成
（3）可满足式由部分极小项构成有2^（2^n）-1个
联结词的扩充与归约
已学过的联结词：{￢，∧，∨，→，↔}
联结词的扩充
一元：
P f1f2f3f4 00011
1
永假1
恒等
否定
1
永真
f1:F f2:P f3:¬p f4:T
∴一元无需扩充
二元：
P Q f1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f14f15f16 000100011100011011 010010010011011101 100001001010110111 110000100101101111
扩充：
↑与非：P ↑ Q ⇔￢(P∧Q）
↓或非：P ↓ Q ⇔￢（P∨Q）
⊕异或：P⊕Q⇔(P→Q)
全功能集：
设A是运算符集，若在任一wff中可用A中运算符表示，则称A为全功能集。

若A中符号最少，则称A为最小全功能集。

归约 — 找全功能集：
{￢，∧}{￢，∧}{￢，∧，∨}{↓}{↑}是全功能集，但{￢}不是全功能集。

例
证明：{↑}是全功能集
￢P⇔￢(P∧P)⇔P↑P
T⇔￢P∨P⇔￢(P∧￢P)⇔(P↑￢P)⇔P↑(P↑P)
F⇔P∧￢P⇔(P↑(￢P))↑P(↑(P))⇔(P↑(P↑P))↑(P↑(P↑P))
P∧Q⇔￢￢(P∧Q)⇔￢(P↑Q)⇔(P↑Q)↑(P↑Q)
P∨Q⇔￢￢(P∨Q)⇔￢(￢P∧￢Q)⇔(￢P)↑(￢Q)⇔(P↑P)↑(Q↑Q)
P→Q⇔￢P∨Q⇔￢(P∧￢Q)⇔P↑Q⇔P↑(Q↑Q)
P↔Q⇔(P→Q)∧(Q→P)⇔(￢P∨Q)∧(￢Q∨P)⇔￢(P∧￢Q)∧￢(Q∧￢P)⇔(P↑￢Q)∧(￢P↑Q)
推理规则和证明方法
如：
H1：P
H2：P→Q
C：Q
求Q是否为H1∧H2的有效结论。

P∧(P→Q)→Q⇔￢(P∧(￢P∨Q))∨Q⇔￢P∨￢(￢P∨Q))∨Q⇔T
∴Q是P∧（P→Q）的有效结论
推理规则
1、前提引入 P 可在任何时刻引入
2、结论引入 T 若证明过程中，一个或多个wff永真蕴含S，则S可加入证明中
3、逻辑恒等式
4、永真蕴含式
如： P Q P∧Q P∨Q
∴P∧Q∴P∨Q∴P∴Q
证明方法
1.真值表
H1∧H2∧...∧Hn→C
2.等值演算
3.构造性证明
步骤断言（真）结论
若H1∧H2∧...∧Hn⇒C
H1∧H2∧...∧Hn╞ C
⑴形如H1∧H2∧...∧Hn⇒C的证明
即证：H1∧H2∧...∧Hn→C是永真的
∵H1∧H2∧...∧Hn→C⇔￢（H1∧H2∧...∧Hn）∨C
⇔（￢H1∨C）∨（￢H2∨C）∨...∨（￢Hn∨C）
⇔(H1→C)∨(H2→C)∨...∨(Hn→C)
∴∃i使得Hi→C永真
⑵形如H1∨H2∨...∨Hn⇒C的证明
∵（H1∨H2∨...∨Hn）→C⇔￢(H1∨H2∨...∨Hn)∨C
⇔￢H1∧￢H2∧...∧￢Hn∨C
⇔(￢H1∨C)∧(￢H2∨C)∧...∧(￢Hn∨C)
⇔(H1→C)∧(H2→C)∧...∧(Hn→C)
即证：∀i有Hn→C永真
∀i有Hn⇒C
⑶形如H1∧H2∧...∧Hn⇒A→B的证明
∵H1∧H2∧...∧Hn→（A→B）⇔（￢（H1∧H2∧...∧Hn）∨￢A）∨B
⇔￢（H1∧H2∧...∧Hn∧A）∨B
⇔H1∧H2∧...∧Hn∧A→B
4.归谬法
相容性（一致性）：
设命题集合{A1，A2，...,Ak}，若A1∧A2∧...∧Ak为真，则称A1~Ak
是相容的（或一致的），否则称为不相容的。

H1∧H2∧...∧Hn→C⇔￢（H1∧H2∧...∧Hn）∨C
⇔￢(H1∧H2∧...∧Hn∧￢C)
即证：H1∧H2∧...∧Hn∧￢C为F
⇔{H1，H2，...,Hn,￢C}不相容
计数问题：
一组前提可得多少个有效结论
步骤：i）求H1∧H2∧...∧Hn的主合取范式
ii）确定有效结论
设其主合取范式有n个极大项，则：
C＋C＋…＝2n－1.
P∧(P→Q)⇔P∧(￢P∨Q)
⇔(P∨F)∧(￢P∨Q)
⇔(P∨Q∧￢Q)∧(￢P∨Q)
⇔(P∨Q)∧(P∨￢Q)∧(￢P∨Q)
P∨Q,P∨￢Q,￢P∨Q
(P∨Q)∧(P∨￢Q):P
(P∨Q∧(￢P∨Q):Q
(P∨￢Q)∧(￢P∨Q):P↔Q
(P∨Q)∧(P∨￢Q)∧(￢P∨Q):P∧(P↔Q)
主范式的应用：
主合取——推理的结论计数
主析取——方案的设计
谓词和量词
个体域
——讨论问题的范围，记为D
D中的元素称为个体
个体常元：特指时，a,b,c...
个体变元：泛指时，u,v,...,x,y,z
谓词
刻画个体的性质或几个个体间关系的模式叫谓词。

特指时：谓词常元
泛指时：谓词变元
量词
全能量词∀：
∀xA(x)：对所有x，A(x)为T
存在量词∃；
特性量词：刻画个体属性
1.对∀，特性谓词作为前件加入
2.对∃，特性谓词作为合取式加入
量化断言和命题的关系
1.论域D是有限
D={a1,a2,...,an}
∃xA(x)⇔A(a1)∨A(a2)∨...∨A(an)
∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧...∧A(a1)
2.D可数无限集
∃xA(x)⇔A(0)∨A(1)∨A(2)∨...
∀xA(x)⇔A(0)∧A(1)∧A(2)∧...
谓词公式
原子公式：无联结词
约束变元，自由变元
辖域：
紧接于量词之后最小的子公式叫量词的辖域约束，自由变元
改名规则：
操作对象：约束变元
操作范围：全部替换
选用符号：不在公式中出现的符号
谓词演算的永真公式
一、基本概念
A与B等价，设A、B是任意的谓词公式，E是指定的论域，若：
（1）对A B中的谓词指定E中的中心谓词
（2）对A B中个体常元、变元指定E中的个体
有A与B的取值相同，则称A与B在E上是等价的，记为A=B
若E是任意的，当A与B的取值相同时，称A与B等价
2、类型：永真永假可满足
二、谓词公式的永真式
1、关于量词
∀xA⇔A ∃XA⇔A
A中无X
∀xA(x)=>A(Y) A(Y)=>∃xA(x)
所以∀xA(x)=> ∃xA(x)
2、量词的否定
¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x) ¬ ∃xA(x)⇔∀x¬A(x)
3、量词的辖域
缩小
∀
例：P→Q⇔¬P∨Q
P: ∀xA(x) Q: ∃xB(x)
∀xA(x) →∃xB(x)⇔¬ ∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∃x¬A(x)∨∃xB(x)
⇔∃x(¬A(x)∨B(x))⇔∃x(A(x) →B(x))
4、量词的分配形式
∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
∃x(A(x) ∧B(x))=>∃xA(x)∧∃xB(x)
∀x(A(x)∨B(x))<=∀xA(x)∨∀xB(x)
5、量词与→和⇔的关系
∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x) →∃xB(x)
6、关于多个量词
∀x∀yP（x,y）⇔∀y∀x P（x,y）
∃x∃yP(x,y)⇔∃y∃x P(x,y)
三、谓词运算的三个规则
1、代入规则
操作对象：自由变元
操作范围：全部替换
最多代入：若公式中含有n个谓词变元，最多可带入n个自由变元 2、置换规则
A是G的子公式，A⇔B,以B代A的某些出现，得G^，则G^⇔G
3、对偶规则
谓词公式A仅含¬ ，∨，∧，∧与∨，T与F ，∀与∃，互换得A* A⇔B A*⇔B*
A→B A*<-B*
谓词的推理规则
一、A(x)关于y是自由的----x不在y的辖域中出现
推理规则：P规则，T规则，E1-E24，I1-I9，Q1-Q19
1、全称特指 US
2、存在特指 ES
3、全称推广 UG
4、存在推广 EG
集合
集合的行性质：唯一，无序，确定，抽象
集合与元素的子集：∈∉
集合与集合的关系：⊆⊂=
描述集合的方法：列举法
命题法
归纳法
例：N=(0，1，2、、、、、)
（1）O∈N
（2）∀x∈N,X+1∈N
（3）若S⊆N满足(1)(2),则S=N
幂集
1.定义：P(A)={X|X≤A}
2.性质（1）Ø∈P(A) (Ø⊆A)
(2) Ø⊆P(A)
(3)|A|=N |P(A)|=2 ⁿ =2^\A\集合的运算
1．定义
A∪B={X∈A∨X∈B}
A∩B={X∈A∧X∈B}
A={X∈U∧X∉A}(A的补集) 绝对补
A-B={X|X∈A∧X∉B} 相对补
A∪B‒A∩B
A⊕B={X∈A∪B∧X∉A∩B}=对称差A⨁B=A⨂B
化为并、交、补、环和、环积
2．性质
（1）关于∪∩
A∪A=A A∩A=A
A∪B=B∪A A∩B=B∩A
A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩B⊆A A∩B⊆B
A∪B⊒A A∪B⊒B
A⊆B且C⊑D则A∩C⊆B∩D A∪C⊆B∪D
A⊆B A⊆C⟹A⊆B∩C A⊆B∪C
(2)关于补
A=A
A∪B=A∩B
A∩B=A∪B
(3)关于⨂⨁
A⨁A=∅
A⨂A=U
A⨁B=B⨁A
(4)关于幂集
2A∪B=2A∪2B等号成立条件：A⊆B或B⊆A
2A∩B=2A∩2B
2A‒B≠2A‒2B 2A≠2A
3、有限集合的计数问题
∣A∩B∣≤min(∣A∣=∣B∣）
∣A﹣B∣=∣A∣﹣∣B∣＋∣A∩B∣
∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣﹣∣A∩B∣
归纳法和自然数
一、用归纳法描述集合
E={X│X∈N且X是偶数}={0,2,4,6……}
二、自然数
1.集合的后继
设A是任一集合，则A的后继A”意义如下
A”=A∪{A}
如：A=A∪{a} A"={a}∪{{a}}={a,{a}}
性质:A⊆A"且A∈A"
2.自然数的构造
0=∅
1=∅"={∅}
2=1"={∅,{∅}}
3=2"={∅,{∅},{∅,{∅}}}
3.皮亚诺定理
（1）0∈N
(2)∀n∈N有n"∈N
(3)0不是任一元素的后继
(4)∀n,m∈N,若m=n,则m"=n"
(5)若S⊆N满足①0∈S
②∀n∈S,有n"∈S
则S=N
三．数学归纳法
1.第一数学归纳法（完全数学归纳法） P(n0）
∀n(p(n)→p(n+1)
所以∀np(n)
2.第二数学归纳法（不完全数学归纳法）
P (n0 )
∀k（k<n,p(k)→p(n)）
所以∀np(n)
笛卡尔乘积
1．序偶
Df，设x,y是任意两个元素，<x,y>称为次序偶
X:第一分量；Y：第二分量
二.笛卡尔乘积
1.Df.设A，B是任意集合
{<x,y>|x∈A^y∈B}称为A与B的笛卡尔乘积，记为A×B
若A1,A2,……，An,则
A1×A2×……xAn={<x1,x2……xn>|xn ∈Ai}
称为n个集合的笛卡尔乘积
例：A={1，2}，B={C}，D={4，5}
（A×B）×D={<1,C>,<2,C>}×D
={<<1,C>,4>,<<1,C>,5>,<<2,C>,4>,<<2,C>,5>}
={<1,C,4>,<1,C,5>,<2,C,4>,<2,C,5>}
A×(B×D)={<1,<C,4>>,<1,<C,5>>,<2,<C,4>>,<2<<C,5>>}
∴(A×B)×D≠A×(B×D)
不满足交换律和结合律
2.性质
Th1.A×B=Φ,iffA=ΦvB=Φ
证：“=>”
假设A≠Φ且B≠Φ
ᴲ a∈A,b∈B使<a,b>∈A×B
∴A×B≠Φ,矛盾
“<=”
假设A×B≠Φ
ᴲ <a,b>∈A×B,有x∈A,y∈B
∴A≠Φ且B≠Φ矛盾
Th2.设A，B，C，D是任意非空集合，则：A⊆C^B⊆D，iffA×B⊆C×D，反之亦然Th3.假设A，B，C是任意集合，则：
1）A×（B∪C）=A×B∪A×C
2）（B∪C）×A=B×A∪C×A
3）A×（B∩C）=A×B∩A×C
4）（B∩C）×A=B×A∩C×A
Th4.若|A|=n,|B|=m,则|A×B|=nm
第3章二元关系
3.1基本概念
Df:1)A×B的子集称为A到B的二元关系
2)A1×A2×……×An的子集称为A1，A2……An间的n元关系（n>2)
3)若A1=A2=……=An=A
则n
XA 的子集称为A上的n元关系
3.1.2二元关系
1．Df
R⊆A×B,称为A到B的二元关系
A为前域，B为陪域
R⊆A×A，称R为A上的二元关系
d (R）={x|<x,y>∈R}
r (R)={y|<x,y>∈R}
二．二元关系的表示
1.列举法
2.命题法
例：A={1,2,3,4,5}
R={<x,y>|x+y≤4}
={<1,1>,<2,2>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<3,1>} 3.归纳法
例：设R⊆N×N
定义如下.<x,y> ∉ R ,i f f x<y
xRy iff x<y
基础1）<0,1>∈R
归纳2）∀<x,y>∈R,有<x,y+1>∈R,<x+1,y+1>∈R 极小3）仅由1）和2）得到的序偶∈R
4.关系矩阵
R⊆A×B,|A|=n,|B|=m
M R=(Vij)n×m,如下
0 <x,y>∉R
Vij =
1 否则称为R 的关系矩阵
M R=
5.关系图
G R ：<x,y>∈R
x
x=y ，环3．性质
1.自反性
1）Df.设R ⊆AxA
若满足∀x ∈A,有<x,x>∈R,则称R 是A 上的自反关系
例：A={1，2，3}
R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1)Φ集上的Φ关系是自反的
∀x(x ∈Φ→<x,x>∈Φ), 永T
2）全关系是自反的
I A ={<x,x>|x ∈A},称为A 上的恒等关系
R 自反，iff ∀x(x ∈A →<x,x>∈R)
3)非Φ集合上的Φ关系不是自反的
∀x(x ∈A →<x,x>∈Φ),永F
2
）特征
y
R自反iff ∀x∈A,有<x,x>∈R
Iff,I A⊆R (集合特征）
Iff，M R主对角线全“1”
G R中每个点有自圈
2.反自反性
3.对称性
1）Df.R⊆A×A,∀x,y∈A,<x,y>∈R
有<y,x>∈R,则称R是A上的对称关系
2）特征
M R:（1）允许有“1”
(2) 关于主对角线对称
G R：（1）允许有自圈
（2）不同结点若有边必为双向边
4.反对称性
1）Df.R⊆A×A，对∀x,y∈A.若xRy^yRx=>x=y,则称R是A上的反对称关系∀x∀y(<x,y>∈R^<y,x>∈R→x=y)永T
x≠y→<x,y>∉R v<y,x>∉R,永T
2）特征
M R：（1）主对角线可有“1”
（2）aij=11,aj=0或aij=1,aji=0或1
G R：（1）允许有自圈
（2）不同结点若有边必为单向边
A×A——不是反对称的
I A ——是反对称的
Φ集上的Φ关系是反对称的
非Φ集上的Φ关系也是反对称的
5.传递性
1）Df:R⊆A×A
∀x,y,z∈R,若xRy且yRz,则<x,Z>∈R,称R是A上的传递关系2)特征
M R，aij=1且ajk=1,有aik=1
G R,处处有捷径
3.2关系的合成
一.Df设R⊆A×B，S⊆B×C
{<x,z>|∃y∈B,使<x,y>∈R^<y,z>∈S}
称为R与S的合成，记为R。

S
A={1，2，3} B={a,b} C={4,5}
R ={<1,4>,<1,b>,<2,a>} S={<a,4>,<b,5>}
R 。

S={<1,4>,<1,5>,<2,4>}
S 。

R——不存在
注：1）y∈ran(R)^dom(s),若ran(R)^dom(R)=Φ,则R。

S≠Φ2）“。

”不满足交换律
2．关系矩阵，关系图
1，关系矩阵，
设R⊆A×B，S⊆B×C，M R。

S=MR
* MS
M R M S
M
R。

S=
MR * MS=
2.关系图G R。

S
Th1.R ⊆A×B,S⊆B×C,T⊆C×D,则：（R。

S)。

T=R。

（S。

T）
Th2.设R⊆A×B，S，T⊆B×C,W⊆C×D且S⊆T，则：
　１）R。

S⊆R。

T
　２）S。

W⊆T。

W
R＝S，iff：（１）R，S有相同的前域和陪域
（２）作为集合有R＝S
Th3，设R⊆A×B，S，T⊆B×C，W C×D
⊆
１）R。

（S∪T）＝R。

S∪R。

T
1 1
1 0
3×2
2×2
1 1
1 0
3×2
1 1
1 0
3×2
２）（S ∪Ｔ）＝Ｓ。

Ｗ∪Ｔ。

W ３）R 。

（S ∩T ）⊆R 。

S ∩R 。

T ４）（S ∩T ）。

R⊆S 。

R ∩T 。

R
三．关系的幂运算
1、Df 设R A R 自身合成n 次（n ）称为r 的n 次幂，记为,定义如下：
⊑×A ≥0R n
= *={<x,x>|x A}
R n {I A n =0
R n ‒1∘R n >0I A ∈例：A={1,2,3}
R={<1,2>,<2,3>,<3,1>}则：={<1,1>,<2，2>,<3，3>}R 0
={<1,2>,<2,3>,<3,1>}R 1 ={<1,3>,<2,1>,<3,2>}R 2 ={<1,1>,<2,2>,<3,3>}=R 3
R
= , =……R 4R 1R 5R 2
一般的有 =(n 0)
R n =3
R N
≥2、性质Th4 R A A
⊑× R n ∘R M =R m +n (=R n )m R
n ∙m
Th5 设R A A ，若|A|=n,则存在i 和j 满足:0i<j 使⊑×≤≤2n
2
R i =R
j 证：构造序列：，，……共有个，而A 不同的二元关系有个
R 0，R 1R 2
R
2n
2
2
n 2
+12n 2
根据鸽笼原理可知：i,j 0i<j 使∃≤≤2n
2
R i =R
j 注：本定理对无限集不成立
⊑×
例：R I I （I是整数集）定义如下：
R={<x,y>|y=x+1}
R0∈
={<x,y>|x I}
R1
={<x,y>|y=x+1}
R2
={<x,y>|y=x+2}
R3
={<x,y>|y=x+3}
┆
R n
={<x,y>|y=x+n}
⊑×R i=R j
Th6 设R A A若存在i<j使，则
∈N R i+k=R j+k
i)对所有K,有
∈N R i+md+k=R i+k
ii)对所有K，M，有 d=j-i
R0，R1R2R j‒1∈N R n∈
iii)记s={，，……},则对所有n皆有S ⊑×I A⊑×I B⊑×
Th7 设R A B,A A,B B
I A∘R∘I B⊑×I A∘R∘I A
则=R=R若R A A，则= R=R
I A∘
-----是合成运算的单位元
3．3 关系上的闭包运算
一、逆关系
⊑×∈R‒1 1.Df 设R A B {<y,x>|<x,y>R }称为R的逆关系，记为
R={<1,1>,<1,2>,<2,3>}
R‒1
={<1,1>,<2,1>,<3,2>}
特性：R A B B A
⊑×R ‒1
⊑×dom(=ran(R)R ‒1)ran(=dom(R)
R ‒1
)=
M
R ‒1M
T
:中边反向
G
R ‒1G R 2.性质
Th1 设R A B ，S A B
⊑×⊑×i)(=R
R
‒1)
‒1
ii)(R∪S =)‒1R
‒1
∪S
‒1iii)(R∩S )‒1
=R ‒1∩S ‒1
iv)
(R-S )
‒1
=R ‒1‒S ‒1
Th2 R A B ，S B C ⊑×⊑× 则（R =∘S )‒1
S
‒1
∘R ‒1
R 自反iff I A ⊑R R 反自反iff =I A ∩R ∅ R 对称 iff R=R
‒1 R 反对称 iff R∩R ‒1⊑I A
R 传递 iff R
R 2
⊑二、闭包关系
1.Df 设R A A A A
⊑×R '
⊑×若满足：i ） R ii)自反（对称、传递）
⊑R ' R '
iii)若A A 满足R 是自反（对称、传递）
则
R ''⊑×⊑R '' R ''
R '⊑R ''
则是R 的自反（对称、传递）闭包 记为r （R ）(S(R),t(R))R '
2.性质
Th3.设R A A
⊑×i)R 自反iff r(R)=R ii)R 对称 iff s(R)=R iii)
R 传递 iff t(R)=R
Th4.设R A A
⊑×i)r(R)=R ∪I A ii)
s(R)=R∪R
‒1
iii)t(R)=
⋃⋈
i =1R i
Th5. R A A ，|A|=n
⊑× 则t(R) =
=∪
⋃n
i =1R i
⋃⋈i =1R i ⋃n
i =1R i
⋃n
i =n +1R i
Th6. R A A
⊑×i)R 自反，则s(R),t(R)自反 ii)R 对称，则r(R)，t(R)对称iii)
R 传递，r(R)传递
⊑×
Th7. R A A
i)rs(R)=sr(R)
ii)rt(R)=tr(R)
⊑
iii)st(R)ts(R)
R‒1R‒1I A 证明：i)rs(R)=r(R∪)= R∪∪
=(R∪)∪(∪)
I A R‒1I A
I A(R∪I A)‒1
=(R∪)∪
=r(R)∪r(R)‒1
=s(r(R)) =sr(R)
3.4 次序关系
所有元素可比
良序关系
一、偏序集合
⊑×
如果R A A，R是自反的，反对称的和传递的，那么称R为A上的偏序，称
序偶<A,R>为偏序集合
I A
自反对称反对称传递
∅∅
集合中的
自反
反自反对称反对称传递
A×
集合A中的
⊑×
例题：设R I I R={<x,y>|x|y}
则R是I上的偏序关系
R R‒1
⊑⊒
<P(A),> <P(A),>
≤≥R‒1
<I,> <I,> 注：R是偏序，也是
哈斯图：1.略去所有自圈 2.A中元素为点
3.若y盖住x，则将y至于x的上方
注：哈斯图无水平线，无三角形
⊑
例：A={a,b,c} <P(A),>
∅
P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}。

∅
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} <A,1>
1
特殊元素
I）.最大元和最小元
设<A,≤>，B⊆A，若∃b∈B，使对
⑴∀ x∈B皆有x≤b，则称b为B的最大元；
⑵∀ x∈B皆有，则称b为B的最小元；
II）.极大元和极小元
设<A,≤>，B⊆A，若∃b∈B，使对
⑴∀ x∈B，若x≤b，则x=b，称b为极小元；
⑵∀ x∈B，若b≤x，则x=b，称b为极大元；III）.上界和下界
设<A,≤>，B⊆A，若∃b∈A，使对
⑴∀ x∈B，若x≤b，则称b为B的一个上界；
⑵∀ x∈B，若b≤x，则称b为B的一个下界；IV）.上确界和下确界
设<A,≤>，B⊆A，若∃b∈A，使对
⑴所有上界中最小者，称为上确界，记为：lub；
⑵所有下界中最大者，称为下确界，记为：glb；注：
最大（小）元素若存在，必唯一；
证：设有两个最大元b1，b2，根据定义有：b2≤b1，b1≤b2
<b2，b1>∈R，<b1，b2>∈R
则b1=b2
最大（小）元必为极大（小）元。

反之不然；
极小（小）元存在，且可不唯一；
上（下）界可不存在，若存在可不唯一；
上（下）确界可不存在，若存在必唯一；。

{a,b,c}
{a,b}。

{b,c}。

{a,c}
{a} 。

{b} 。

{c}。

<I , |>
lub(a,b)=LCM(a,b)
glb(a,b)=GCD(a,b)
<P(A) , ⊆>
lub(x,y)=X ∪Y
glb(x,y)=X∩Y
<I , ≤ >
lub(x,y)=max(x,y)
glb(x,y)=min(x,y)
拟序关系
1.定义：
使R ⊆AxA ，若满足i ）.反自反
ii ）.传递 则称R 为A 上的拟序关系，<A , R>为拟序集；
<I , ＜>：反自反，传递；
⊃>
<>>
<⊂>
<),(, , P(A)A P I 注：R 若为拟序，R 的逆也为拟序；
性质
Th1 拟序是反对称的；
证：（反证）若R 不是反对称的，则存在a,b ∈A,a ≠b,
有< a, b >∈R 且<b,a>∈R
由传递性得：<a,a>∈R∧<b,b>∈R与R是反自反矛盾
故假设假
R偏序：自反，反对称，传递；
R拟序：反自反，反对称，传递；
Th2 设R⊆A×A
i)R偏序，则R-Iᴬ为拟序；
ii)R拟序，则r（R）为偏序；
全序（线序）关系
1.x与y是可比的，设R⊆A×A，x,y∈A
若<x,y>∈R或<y,x>∈R则称x与y是可比的；
全序关系
设R是A上的偏序关系，若对∀x,y∈A,x,y是可比的，则称R为A上的全序关系
<A ,R>为全序集
拓补排序
由偏序得全序过程
（全序也为线序）
§5 等价关系
一、等价关系
1.定义
设R⊆A×A，若满足：i）自反
ii）对称
iii）传递
则称R是A上的等价关系；
2. Iᴬ={<x,x>|x∈A} ——恒等关系
A×A——全关系等价关系
∅∅
集上的关系
例：设R⊆I×I，定义如下：
<x ,y>∈R iff x-y/m∈I,R具有的性质；
i）自反性
∀x∈I,x-x/m=0∈I
∴<x,x>∈R
∴R是自反的
ii）对称性
∀x,y∈I,若<x,y>∈R
∴x-x/m∈I
∴y-x/m=-(x-y)/m∈I
∴<y,x>∈R
∴R是对称的
iii）传递性
∀x,y,z∈I,若<x,y>∈R且<y,z>∈R，有x-y/m∈I,y-z/m∈I于是
(x-y/m)+(y-z/m)=x-z/m∈I
∴<x,z>∈R
∴R是传递的
综上可知：R是I上的等价关系
——模的同集，等价关系
3.性质
Th1 当m=3时
[0]3={...，-6，-3,0，3，6，...}
[1]3={...,-5,-2,1,4,7,...}
[2]3={...,-4,-1,2,5,8,...}
I={[0]3,[1]3,[2]3}
一般地，I={[0]m,[1]m,[2]m,...,[m-1]m}
Th2 R⊆A×A，则tsr（R）是由R诱导的等价关系；
证：i）r(R）是自反的；
ii）sr（R）是自反、对称的；
iii）tsr（R）是自反、对称、传递的；
∴tsr（R）是等价关系
又∵R⊆tsr（R）
∴tsr（R）是由R诱导的最小等价关系；
注：tsr（R）、trs（R）和rts（R）是R诱导的最小等价关系；
R等价关系iff自反、对称、传递
iff r（R）=s（R）=t（R）=R
iff Ia⊆R,R=R,R⊆R
iff Gr:
Iff Mr：
二、等价类
1.定义
设R是A上的等价关系，a∈A，集合[a]R={x|<a,x>∈R},称为a所在的等价类；
2.性质
Th3 等价类非空且为A的子集
Th4 [x]R=[y]R iff <x,y>∈R
Th5 [x]R∩[y]R= iff <x,y>∉R
∅ Th6
A
a A
a ∈⊆][U 三、商集
1.定义
设R 是A 上的等价关系，{[x]R|x∈A}称为A 关于R 的商集，记为A/R ； 即：A/R={[x]R|x∈A}
2.性质
Th7 设R1,R2是A 上的等价关系，则R1=R2 iff A/R1=A/R2；
4、划分
1.定义
设A 是任一非空集合，若满足：i ）Ai≠，i=1~k 等价非空；
∅ ii ）Ai ∩Aj=(i ≠j) 不同的等价类交为；∅∅ iii ）
等价类并为A ；
1==i A Ai k
U
则称A1，A2，...,Ak 为A 的一个划分，记为π={A1，A2，...,Ak}2.结论
Th8 等价类的全体构成集合的一个划分；
Th9 R 是A 上的等价关系，π是A 的一个划分，则： R 诱导出π iff π诱导出R ；
全体A/R
1
.....................=⨯=i Ai Ai R k
U π 划分π⊆ ∀ ∃ ∈ ≤ ∩ ∪ ＜ ∃ ∀ ⊒∅
3、划分的积与和
已知：π1，π2，求π1∙π2（积） π1+π2
1），Df ：设
π*细分ππ和π*是非空集合A 的划分。

∀x ∈π∗,∃y ∈π使x ⊆y.则称π*细分π
2）性质
设k ={π|π1是A 的划分}则“细分”是k 上的偏序关系
（一）自反性
（二）反对称性
（三）传递性
3）设1
π，π2是A 的划分，Rπ1、Rπ2分别为由π1、π2诱导出的等价关系，则Rπ1⊆ Rπ2，iff π1细分π2注：若π*细分π，π*≠π，π*真细分π，记π*≼π
4划分的积
1）使π1 π2是A 的划分，π=π1∙π2，满足
（一）π细分π1 π2
（二）若π*细分π1和π2，则π细分π*
5性质
设π1 π2是A 的划分，Rπ1，Rπ2是由π1 π2诱导的等价关系，则Rπ1∩Rπ2诱导出积划分π1∙π2
π1∙π2 Rπ1∩Rπ2
π1+π2 Rπ1∪Rπ2
π1 π2存在且唯一，π1+π2必存在且唯一
函数
4·1函数的基本概念
一、函数的定义
设x和y是任意非零集合f⊆x×y满足
（1）domf=x
〈x,y1〉∈f.且〈x,y2〉∈f，则y1=y2，⟶x （2）若则称f为x到y的函数，记为f ∀x∈x,∃y∈y使f(x)=y
X——前域或定义域
Y——陪域
二、性质
1、设|A|=n，|B|=m则|B A|=m n
2、象集
→B,A∗ϵA,则f(A∗)称为f在A∗下的象集
设f=A，若A*=A,f（A）为f的象集→B→D则f=g
f:A, g:C
iff(1)A=C且B=D
(2)∀x∈A有f(x)=g(x)
4·1·2合成函数
关系的合成：R⊆A×B,S⊆B×C
R°S={〈x,z〉│∃y∈B且〈x,y〉∈R,〈y,z〉∈S}
合成函数的定义：
→B→C g°f=A→C且(g°f)(x)=g(f(x))
1、设f：A g:B
2、性质：函数的合成运算满足结合运算，因为函数是关系的特例
函数的幂运算
f自身合成n次（n>=0）称为f的n次幂，记为f n
定义如下：f°(x)=x
f n+1(x)=f(f n(x))
→B
设f:A, IA(X)=X, IB(X)=X;
IB°f(x)=IB(f(x))=f(x)(f°IA)(x)=f(IA(x))=f(x)
则IA IB为合成运算的单位元
4·1·3递归定义函数
若前域是可以递归定义的集合，则其上的函数可以递归定义
→
例：f:N N为f(n)=n!
f(0)=1——递归出口
f(n+1)=(n+1)f(n)——递归体
4·1·4偏函数
→
A到B的函数不存在，但A的子集A*到B的存在，f:A*B为A到B的偏函数4·1·5前域的延拓与收缩
1、收缩
→y⊆
f:x, x*x
→
f|x*:x*y为f|x*(x)=f(x)
2、延拓
→⊆
f:x*y, x*x
→y
g:x, g|x*(x)=f(x)
4·2特殊函数
一 满射，单射，双射
1、Df:设f:A B 若ranf （值域）=B,则f 为A 到B 的满射
→2、若∀x1 ,x2∈A ,x1≠x2,有f (x1)≠f (x2),则称f 为A 到B 的单射函数
3、若f 既为满射，又为单射，称f 为A 到B 的双射函数
二 性质
1、设A:A B, g:B C
→→(1)若f,g 是满射，则g °f 也是满射
(2)若f,g 是单射，则g °f 也是单射
(3)若f,g 是双射，则g °f 也是双射
3、设f:A B, g:B C
→→(1)若g g 是满射（f 未必）
°f 也是满射，则(2)若g f 是单射（g 未必）
°f 也是单射，则(3)若g g 是满射
°f 也是双射，则4·2·2常函数，恒等函数，置换函数，特征函数
1、常函数
f:A B,→∀x ∈A,∃b ∈B 使f （x ）=b
2、恒等函数
f:A A,F(X)=X （单、满、双）
→3、置换函数——双射函数
F:A B,A=→(a1,a2,,,an f (a1),f (a2),,,,f(an))
N 个元素的全部置换有n!个
4、特征函数
设U 是全集，A U
⊆G(A)={0 X ∉A 1 X ∈A
集合与函数的联系
4.3逆函数（反函数）→
R A ⊆R B ，⨯A
B ⨯⊆
R:A →B
xRy1xRy2=>y1=y2
∧Th1 设f:A→B 的双射函数，则f 的逆关系为B 到A 的双射且f ：B→A Th2设f:A→B 的双射函数
: B→A 的双射函数
f ‒1则且f ‒1°f =IA f°f ‒1=IA
Th3:f:A→B 双射函数，则()-1=f
f ‒1Th4:f:A→B 双射，g:B→C 的双射，则
g f:A→C 的双射且（g f)-1=f-1g-1
o o o 1．规范映射
1.原象
f:A→B,A’A
⊆f(A’)={y|x A’f(x)=y}
∈∧1)Df.设f:A→B,B’B
⊆f-1(B’)={x|y B’f(x)=y}∈⋂—1。