第二章 控制系统的数学模型

则传递函数 。 例3．速度控制系统。 1）运放：微分方程 ，传函
2）运放Ⅱ：微分方程 ，传函 3）功放：微分方程：， 传函： 4）电机：微分方程
由于传函只适用于单输入——单输出情况 迭加原理有： 5）测速机：微分方程 ，传函 6）总系统传函：（各部分传函合并后即可，也可根据总系统微分方程 求） 微分方程：
对应。但只适用于线性系统且初始条件为零的情况下，原则上 不能反映系统在
非零初始条件下的全部运动规律。 （4）传函是系统的数学描述，物理性质完全不同的系统可以具有相同的传
函。在同 一系统中，当取不同的物理量作输入或输出时，其G(s)一般也不相同，但
却具 有不同的分母。该分母多项式称为特征多项式。（形成的方程叫特征方
，
。如网络，-回路。
（四）微分环节： 1．微方： 2．传函：，只有一个零值极点。 3．响应：，则
——脉冲函数 若， 则——阶跃函数
因此微分环节能预示的变化趋势。
如测速机：当时有 运放组成的微分器：
*实际系统中，微分环节常带有惯性， 如右图的网络： 当时，才有
（五）一阶微分环节： 1．微方： 2．传函：，有一个负值零点。 *同样实际中常带有惯性，如右上图的网络：
化处理，常用的方法――小偏差法，此法只适用于 非本质性非线性元件，对于本质性非线性将在 非线性系统一章中讨论。 ★具有连续变化的非线性函数可表示为：y = f (x) 若取某一平衡状态为工作点。 如A点.： 当时， ，如B点。 设函数y = f (x)在附近连续可导，则可将函数在附近展开成台劳级数：
（4）一般表示法： 系统可能还会有零值极点，若为个，则有： 在此：
二、典型环节及其传递函数：
从上述传函的一般表示中看出，任何系统均由、等环节组成，此为 典型环节。 （一）比例环节：
1、微分方程：c(t)=Kr(t) 2、传函：G(s)=K. 既无零点也无极点。 3、响应：若r(t)=1(t)，则c(t)=K1(t)。
可研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
一、传递函数的基本概念：
以网络为例。 ，设， 则有 。 其中随形式而变， 而完全由网络的结构及参数确定。 令, 则有 若不变，则不变，所以的特性完全由的形式与数值来决定，且将 传到了反映了系统自身的动态本质，表达了传递信号的性质和能力，故 称它为RC网络的传函。 1、 定义：对于线性定常系统来说，当初始条件为零时，输出量拉 氏变换之比叫做
当变化量很小时，可忽略高次项。 则有：
这就是y= f (x)非线性方程的线性化表示----用斜线代替曲线。 对具有两个自变量的非线性函数：， 同样的处理方法： ， ， 当很小时，有，其中及。 例5．铁芯线圈：或
设原来处于某平衡点，则；且工作过程中只在附近变 化： 则 ∴ ∴； 即--------线性化增量方程。 实际使用时为： 。 结论: ⑴ 线性化增量方程：以平衡点处的切线代替曲线而得到变量对平 衡点的增量方程。
传函： 2．性质与说明：
（1） 传递函数是复变量s的有理真分式，具有复变函数的所有 性质，且所有系
数均为实数。 （2）传函是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它
只取决于系统或元件的结构和参数，而与r(t)的形式无关，也不 反映系统内部的任何信息。 （3）传函是描述线性系统动态特性的一种数学模型，而形式上和系 统的动态微方一一
解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻尼器阻力之和
不平衡，则质量 m 将有加速度，并使速度和位移改变。
根据牛顿第二定律有：
假设弹簧是线形的，则； 假设阻尼器阻力与速度成正比，则，
∴，即-------二阶微分方程
令 则有
(3)
比较(2)、(3)式可以发现：当两方程的系统相同时，从动态性能的
角度看，两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实
代数运算，且可查表，简单实用。 步骤：⑴将系统微方进行拉氏变换，得到以
为变量的代数方程，其初始值取系统t = 0
时的对应值。 ⑵解代数方程，求出c(s)表达式。
⑶将c(s)展开成部分分式。 ⑷进行拉氏反变换，即得微方的全解c(t)。
例7 、RC网络，K闭合前C上有, 求K闭合后的。
解：K闭和瞬间， ，则
令，则，只有当时，才有。 （六）振荡环节：
1．微方： 2．传函：
有两个极点： （1） （2） （3）为两个不相等的负实根 （4） 一对共轭负数根。
3． 响应：当时，四种不同的 响应如图所示。实际中如枢控电机、R-L-C 网络、动力系统等等。 （七）延迟环节：（输出延迟后复现输入）
1．微方： 2．传函：（拉氏变换的位移定理）
程） （5）传函是在零初始条件下定义的，控制系统的零初始条件有两方面的含
义： ①指r(t)是在时才作用于系统，在t=0-时，r(t)及其各阶导数均为零。
②指r(t)加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即c(t)及其各 阶导数在
时的值也为零。 3．电网络用复阻抗法求传递函数： 例4 、有源网络求。 解：∵点为虚地点，∴
模型—客观实际物体的代表。如电机模型，机械零件模型等。 几何模型—几何尺寸放大或缩小。（如建筑物预先做的模型） 模拟模型—物质相似的量间的模拟。如电气模拟机械，也叫物理模 型。 数学模型—用数学表达式描述系统的一种模型。描述系统输入、输 出变量以及内部各变量之间的关系的代数方程。 静态数学模型—在静态条件下（即变量各阶导数为0），描述变量之 间关系的代数方程。 动态数学模型—描述诸变量动态关系得数学表达式。 常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状态方程、传递函 数、动态结构图、信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。 用数学表达式描述自控系统，首先须建立一个合理的数学模型，准 确性和简化性之间应全面考虑，在误差允许的条件下，尽量简化数学模 型。
重点
1、系统微分方程的列写 2、传递函数的概念及典型环节的传递函数 3、由动态结构图或信号流图求传递函数 4、用梅逊公式求传递函数 4、....等概念及求取
难点
微分方程的列写与求各种传递函数
§2-1 引言
为使其设计的系统能满足要求，须对系统的过度过程在理论上进行 分析，掌握其内在规律。为此将系统的过度过程用一个反映其运动状态 的方程式表达出来，再加以分析和计算，即为建模。它是分析、设计控 制系统的第一步。
用拉氏变换求解微方，虽思路明确，简单实用。但如果系统参数改 变，特征方程及其解都会随之改变。要了解参数变化对系统动态响应的 影响，就必须多次计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具，也是经典理论 中两大分支—根轨迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微方就
例1． RC网络， 为输入，为输出列微分方程。 解： ，
(1) 令T=RC为时间常数，则有
---一阶微分方程。 例2．R-L-C 电路，为输入，
为输出列微分方程。 解：
，
故 — 二阶微分方程 令 均为时间常数。
则有
（2）
例3.弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。
当外力F(t)作用时，系统将产生运动x(t)-位移。
输出与输入成比例，不失真也不延时，如无弹性变形的杠 杆、放大器、分
压器、齿轮、减速器等等。
（二）积分环节： 1． 微分方程：
[] 2． 传递函数：， 只有一 个零值极点。
3．阶跃响应：
▲ 如积分器： ，， 其中T=RC是增长到时所需的时间。
（三）惯性环节： 1．微方： 2．传函：， 有一个负极点 。 3．响应：
则 则， ，
例5．无源RC网络求。 解： =， ，
∴ 4．传函的其他表示法： （1）零、极点表示法：
当时，G(s)=0. 为传函的零点。 当时，G(s)= 为传函的极点。
而——传递系数。（根轨迹中 叫根轨迹增益）
（2）时间常数表示法：
其中――放大系数。且，有 （3） 二项式表示法：
如为一对共轭复数，则有 或
则
稳态解 零状态解 零输入解 暂态解
§ 2-2 微分方程
四. 非线性微分方程的线性化：
若对系统的元件特性尤其是静特性进行严格的 考察，不难发现：几乎程度不同的都存在着非线性 关系。如铁心线圈：
， [空心时，为常数，所以]
这时有：
在此不是一个常数，与I是非线性关系。 故建立的方程为非线性的。其求解是相当困难的， 且没有通用解法。所以在允许的范围内进行线性
二.线性系统微分方程的列写：
先列写各元件的微方，再合并，消去中间变量。 例6、速度控制系统。
_
+
uf
+
ug
功率 放大
TGG 负载 R1 R2 R3 R3 R4 _ _ +
ua
_
M
R1 u1
C
u2
1． 运放Ⅰ： 2． 运放Ⅱ： 3． 功放：
4． 电机： 5． 测速机： 最后合并上述方程有：
令 则有: 可见：
⑵ 小偏差法：将非线性特性在某工作点附近的邻域内作台劳级 数展开，忽略高次
项，仅取一次近似式即可。 ⑶ 简化方法：将原非线性微分方程中的非线性项代之以线性增量形 式，而其他线
性项的变量直接写成增量形式即可。 ⑷ 注意：变量的变化必须是小范围的，增量方程中的
一般可略去，形式与线性 方程一样。
§2-3 传递函数
§2-2 微分方程
一、线性元件的微分方程：
列写方法： （1） 确定元件的输入、输出变量。 （2） 从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。 （3） 消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。
（4） 标准化——将与输入有关的各项放在等号的右边，与输出有 关的各项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 引言 §2-2 微分方程 §2-3 传递函数 §2-4 结构图及其等效变换 §2-5 信号流图与梅逊公式 §2-6 闭环系统的传递函数 §2-7 脉冲响应函数