2014高考广东卷文科数学真题与答案解析

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ）

A. {}2,0

B. {}3,2

C. {}4,3

D. {}5,3 （2）已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）

A.i 43--

B. i 43+-

C. i 43-

D. i 43+

（3）已知向量)1,3(),2,1(==b a

，则=-a b （ ）

A. )1,2(-

B. )1,2(-

C. )0,2(

D. )3,4(

（4）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）

A. 7

B. 8

C. 10

D. 11 5.下列函数为奇函数的是（ ）

A.x x 2

12-

B.x x sin 3

C.1cos 2+x

D.x

x 22+ 6.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）

A.50

B.40

C.25

D.20

7.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

8.若实数k 满足05k <<，则曲线

221165x y k -=-与曲线22

1165

x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

9.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）

A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定 10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：

①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；

则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11—13题）

11.曲线53x

y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.

12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.

13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则

2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos 22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________

15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则

______=∆∆的周长

的周长

AEF CDF

三.解答题：本大题共6小题，满分80分 16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3

f x A x x R π

=+∈，且532

(

)122

f π=

（1） 求A 的值；

（2） 若()()3,(0,

)2

f f π

θθθ--=∈，求(

)6

f π

θ-

17（本小题满分13分）

某车间20名工人年龄数据如下表： 年龄（岁） 工人数（人）

19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20

（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；

（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差.

18（本小题满分13分）

如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF. （1） 证明：CF ⊥平面MDF

（2） 求三棱锥M-CDE 的体积.

19.（本小题满分14分）

设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足

()()

*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222. (1)求1a 的值；

(2)求数列{}n a 的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n ，有()()().3

1

1111112211<+++++n n a a a a a a

20（本小题满分14分）

已知椭圆()01:22

22>>=+b a b

y a x C 的一个焦点为

(

)

0,5，离心率为

3

5

。 （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点()00,y x P 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

21.(本小题满分14分)

已知函数3

21()1()3

f x x x ax a R =

+++∈ （1） 求函数()f x 的单调区间；

（2） 当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2

f x f =

参考答案

选择题

1-5BDBCA 6-10 CADDB 填空题