2014广东高考理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学(理)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=

A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B

2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=

A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34)

:=34,.

34(34)(34)25i i z i i i i --=

==-++-提示故选A

3.若变量,x y 满足约束条件121y x

x y z x y y ≤⎧⎪

+≤=+⎨⎪≥-⎩

且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=

A ．8 B.7 C.6 D.5

:(),(2,1)(1,1)3,

3,6,.

C

M m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选

4.若实数k 满足09,k <<则曲线

221259x y k

-=-与曲线22

1259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等

09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D

提示:从而两曲线均为双曲线,

又25故两双曲线的焦距相等,选D.

5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是

A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1

）

0:11

,,60,.

2

2B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选

6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10

::(350045002000)2%200,

20002%50%20,.

A

A ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选

7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}1

2

3

4

5

=

,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i

A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件

“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为

A.60

B.90

C.120

D.130 答案: D

1234511122

252551311225254:1,2,3

1:C 10;:C 40;:C C C 80.

104080130, D.

x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9.不等式521≥++-x x 的解集为 .

(][)

(]

[),32,:12532,,32,.

-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:

10.曲线25+=-x

e y 在点)3,0(处的切线方程为 .

'

5'0

:530:5,5,35,530.

x

x x y y e

y

y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即

11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .

367101:

6

:67,36,1

36,.

6

C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为

12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则

=b

a

. 222222

2:2

::cos cos ,2, 2.

sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,

sin 2sin ,2, 2.

::2,24,

222, 2.

a

b C

c B a a b b

B C C B B B C B a

A B a b b

a b c a c b b b a ab ab ac a

a b b

+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即

13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且5

12911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a ++

+= .

5

1011912101112202019151201011:50

,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.

a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==++

+=+++∴====∴=答案提示:设则

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2

sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿

2

2

1212:(1,1)

:(sin )cos ,,

:1,(1,1).

C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为

15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则

CDF AEF ∆∆的面积

的面积

＝＿＿＿

22

:9:,()()9.

CDF

AEF CDF CD EB AE AEF AE AE

∆∆∴

∆+===∆答案提示显然的面积的面积