北京理科数学试卷及答案

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B = ( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y 2.(1)B y x =- .2xC y -=0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件.B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B -1.2C 1.2D -在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠（C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.已知向量a 、b 满足1a = ，()2,1b = ，且()0a b R λλ+=∈ ，则λ=________.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论） 17.（本小题14分）如图，正方形A M D E 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈， 求证：()0f x ≤；若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.（本小题14分）已知椭圆22:24C x y +=，求椭圆C 的离心率. 设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤ ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++ 表示1()k T P -和12k a a a +++ 两个数中最大的数，对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）-1 （10）11）221312x y -= 2y x =± （12）8（13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=。

所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠（Ⅱ）在ABD ∆中，由正弦定理得8sin 3sin 7AB BAD BD ADB ⋅∠===∠，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=所以7AC =16）（Ⅱ）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。

则C=AB AB ，A,B 独立。

根据投篮统计数据，32(),()55P A P B ==. ()()()P C P A BP A B=+ 33225555=⨯+⨯1325=所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.（Ⅲ）EX x =.（17）（共14分）解：（I ）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE 。

又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB ∥平面PDE ，因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF 平面PDF FG =，所以AB ∥FG 。

（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,BC (1,1,0)=.设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩令1,z =，则1y =-。

所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则1sin cos ,2n BC a n BC n BC⋅===。

设点H 的坐标为(,,).u v w 。

因为点H 在棱PC 上，所以可设(01),PH PC λλ=，即(,,2)(2,1,2).u v w λ-=-。

所以2,,22u v w λλλ===-。

因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AB ⋅=，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=。

解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,).333。

所以2PH ==（18）（共13分）解：（I ）由()cos sin f x x x x =-得'()c o s s i nc o s s f x x x x x x x=--=-。

因为在区间(0,)2π上'()f x s i n 0x x =- ，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减。

从而()f x (0)0f ≤=。

（Ⅱ）当0x 时，“sin x a x ”等价于“sin 0x ax - ”“sin xbx ”等价于“sin 0x bx - ”。

令()g x s i n x c x =-，则'()g x c o sx c =-， 当0c ≤时，()0g x 对任意(0,)2x π∈恒成立。

当1c ≥时，因为对任意(0,)2x π∈，'()g x c o s x c =-0 ，所以()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减。

从而()g x (0)0g = 对任意(0,)2x π∈恒成立。

当01c 时，存在唯一的0(0,)2x π∈使得0'()g x 0c o s x c =-0=。

()g x 与'()g x 在区间(0,)2π上的情况如下：因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g = 。

进一步，“()0g x 对任意(0,)2x π∈恒成立”当且仅当()1022g c ππ=-≥，即20c π≤， 综上所述，当且仅当2c π≤时，()0g x 对任意(0,)2x π∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x 对任意(0,)2x π∈恒成立。