2020年复旦大学自主招生,强基计划,数学试卷
2020年复旦大学强基计划试题解析
y0
1 23
，
xa
3 y02
1 4
6 y0
14. 【答案】 (1, 2)
【解析】直线方程为 4x y 6 0 ， kAB 1 ， AB 中点为 (3, 4) ，所以 AB 中垂线方程为
y
x
1 ，则
y y
x 1 4x
6
x
y
1 2
P(1,
2)
15. 【答案】 1 9
【解析】设 C 为 AB 中点，故
即x
y
1
AO AD
AO AD OD
AO AO OE
1
1 OE
1 1 sin
A
OA
2
因为 cos A 1 sin2 A 1 sin A 3
23
23
所以 x y 3 3 2
12. 【答案】 C
【解析】直线 m 的斜率为 cos [1,1]，所以 m 和 n 不可能重合；故 A 错
19. 【答案】
【解析】 f ( f (x)) (x2 1)2 1 x4 2x2 20. 【答案】 (, 3] [0,1) (3, )
【解析】由题意可得 A (,1), B (3, 0) (3, ) 当 3 x 0 时， fA (x) fB (x) 1不满足题意； 当 x 3 时， fA (x) fB (x) 1 满足； 当 0 x 1时， fA (x) fB (x) 1满足； 当1 x 3 时， fA (x) fB (x) 1 不满足； 当 x 3 时， fA (x) fB (x) 1 满足； 综上： A B (, 3][0,1) (3, )
2
x2
5
3. 【答案】 a b c d 0
【解析】令 x
2021年复旦大学强基计划数学试题含答案
2021复旦大学强基计划数学试题1．命题p ：“ABC △的内心与外心重合”是命题q ：“ABC △是正三角形”的什么条件？2．已知()f x 周期为1，则命题p ：“()()32f x f x ++=”是命题q ：“()f x 恒为1”的什么条件？3．AD 是ABC △的角平分线，3AB =，8AC =，7BC =，求AD 的长．4．求824211x y xy y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的常数项．5．已知018n ，2022192021m n +=，则n =________．6．已知1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，B 为椭圆上一点，延长2F B 到点A ，满足1BF BA =．1AF 的中点为H ，则下列两个结论是否正确：结论1：1AF BH ⊥；结论2：BH 为椭圆的切线．7．若()[]224x x x x g x ⎡⎤++-+-⎣⎦=，()2log f x x =，解不等式()()01g f x <<．8．方程18492021x y z ++=的正整数解有多少组？9．确定曲线()()22236x yx y +=-++的类型．10．求由曲线πx y +，222x y +围成的面积．11．求极坐标ρθ=的曲线轨迹．12．若数列{}n a 满足211441240n n n aa a ++++-⨯=，求lim n n a n →+∞．13．求展开式6331x x ⎛⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭中的常数项．答案：1. 充要条件2.必要不充分条件3.113244.16805. n=16.结论2正确7.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1212,21,41k k ）（8.3080 9.椭圆 10。
2422arccos 8πππ--11.A 12.21 13.-15。
2020年复旦大学强基计划数学试题及参考解答(回忆版)
x
<
√ 2
−
x},
B
=
{x
满足 ∠AOB = 2 arctan 1 的概率为
.
3
解析: 因为 ∠AOB = 2 arctan 1 , 则 tan 1 ∠AOB = 1 . A, B 关于 y = x 对称, 故只需
3
2
3
要 tan ∠COB = 1 , 利用到角公式可得 1 = 1 − k , 解出 k = 1 . 点 (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)
(
)
(A) m 和 n 可能重合
(B) m 和 n 不可能垂直
(C) m 和 n 可能平行
(D) 在 m 上存在一点 P , 使得 n 以 P 为中心旋转后与 m 重合
解析: 直线 m 的斜率的取值范围只能是 [−1, 1], 故
A
和
C
错误. 当 cos α = 1 时, 3
两直线垂直, B 错误. 对于 D , 直线 m, n 必然相交, 交点就是我们要找的 P , D 正确.
练习:
证明:
√ f (x) = sin x + sin 2x
(x
∈ R)
不是一个周期函数.
证明: 反证法, 假定 f (x) 以 T 为周期, 则 0 = f (x + T ) − f (x), 即
(
)
0 = 2 sin T cos
T x+
+
2
sin
T √
(√ cos 2x +
T √
) .
2
2
2
2
由此知
=0 .
=0
考虑 f (x) = x3 + sin x, 显然 f (x) 为奇函数, 且当 x > 0 时, 求导后容易验证 f (x) 为单调 增函数, 又 f (x) + f (2y) = 0, 则 x + 2y = 0, cos(x + 2y) = 1.
上海复旦附中2020年自招真题数学试卷(含答案)
2020年复旦附中自招题1. 已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值是（ ）A .恒正B .恒负C .可正可负D .非负 解：选B222222444222a c c b b a c b a ---++2222224)(c b c b a ---=)2)(2(222222bc c b a bc c b a ---+--= ])(][)([2222c b a c b a +---=))()()((c b a c b a c b a c b a --+++--+=∵a 、b 、c 是一个三角形的三边，∴0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++c b a ，0<--c b a ， ∴0))()()((<--+++--+c b a c b a c b a c b a2. 设m ，n 是正整数，满足mn n m >+，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1；② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④m ，n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（ ） A .① B .② C .③ D .④ 解：选D由mn n m >+得()()111<--n m若m ，n 均大于1，则,11,11≥-≥-n m ()()111≥--n m ，矛盾， ∴m ，n 至少有一个等于1。
3. 已知关于x 的方程a x a x +=+2有一个根为1，则实数a 的值为（ ）A .251+- B .251-- C .251±- D .以上答案都不正确 解：选A将1=x 代入，得12+=+a a ，两边平方，得012=++a a ，251±-=a ， 当251--=a 时，1=x 不是原方程的根，舍 ∴251+-=a4. 已知a ，b ，c 是不完全相等的任意实数，若c b a x +-=2，c b a y 2-+=，c b a z ++-=2，则关于x ，y ，z 的值，下列说法正确的是（ ）A .都大于0B .至少有一个大于0C .都小于0D .至多有一个大于0 解：选B0=++z y x ，若x ，y ，z 均小于0，则0<++z y x ，矛盾； 故至少有一个大于0。
XXX2020年强基计划数学试题及详细解析
XXX2020年强基计划数学试题及详细解析XXX2020年强基计划数学试题解析1.已知实数$x,y$满足$x^2+y^2\leq1$，则$x^2+xy-y^2$的最大值为()A.1B.答案B.解析1：由AM-GM不等式，得x^2-y^2+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)\leq x^2-y^2+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{2}(x^2-2xy+y^2)=(x+y)^2\leq1$$上式当$x=\frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{4}{\sqrt{10}}y$时取等号。
即原式的最大值为$\frac{1}{2}$。
解析2：设$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，其中$r\leq1,\theta\in R$，则x^2+xy-y^2=r\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta-r\sin^2\theta=\frac{1}{2}(r\cos2\theta+\sin2\theta)\leq\frac{1}{2} $$上式当$r=1,\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}},\sin\theta=\frac{5}{2\sqrt{10 }}$时取等号。
即原式的最大值为$\frac{1}{2}$。
2.设$a,b,c$为正实数，若一元二次方程$ax^2+bx+c$有实根，则()A。
max$\{a,b,c\}\geq(a+b+c)$B。
max$\{a,b,c\}\geq\frac{4}{9}(a+b+c)$C。
max$\{a,b,c\}\leq(a+b+c)$D。
max$\{a,b,c\}\leq\frac{4}{9}(a+b+c)$答案BCD.解析：依题意，有$b^2\geq4ac$。
由齐次性不妨设$a+b+c=1$。
①首先证明：max$\{a,b,c\}\leq(a+b+c)$。
2020年复旦大学强基计划数学试题及其详解
２０２０年复旦大学强基计划数学试题及其详解甘志国(北京市丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:２０２０年复旦大学强基计划数学试题共计３３道ꎬ全部是单项选择题.本文中的试题均是由参加考试的学生回忆得出的ꎬ因而回忆出的题目可能不准确(没有回忆出选项的题目均改成了填空题)ꎬ题号也不准确.㊀关键词:复旦大学ꎻ强基计划ꎻ数学试题ꎻ详解ꎻ华清园教育ꎻ整理中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００５１－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ湖北省竹溪人ꎬ研究生ꎬ正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (课题编号ＦＴ２０１７ＧＤ００３ꎬ课题负责人:甘志国)阶段性研究成果之一.㊀㊀试题及其解答是笔者由华清园教育(ｈｔｔｐ://ｇｋ.ｑｈｙｅｄｕ.ｃｏｍ/ｑｈｙ/２０２００７１４/９８１８５.ｈｔｍｌ)等公开的内容整理而成的.１.已知直线ｍ:ｘｃｏｓα－ｙ＝０和直线ｎ:３ｘ＋ｙ－ｃ＝０ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｍ和ｎ可能重合Ｂ.ｍ和ｎ不可能垂直Ｃ.直线ｍ上存在点Ｐꎬ使得直线ｎ绕点Ｐ旋转后与直线ｍ重合Ｄ.以上都不对２.Ｇｉｖｅｎ㊀ｔｗｏ㊀ｓｅｔｓ㊀Ａ:１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５{}㊀ａｎｄ㊀Ｂ:３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７{}ꎬｔｈｅｎ㊀ｔｈｅ㊀ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ㊀ｓｅｔ㊀ｏｆ㊀Ａ㊀ａｎｄ㊀Ｂ㊀ｉｓ(㊀㊀).Ａ.{１ꎬ２}㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.{３ꎬ４ꎬ５}Ｃ.{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７}㊀㊀Ｄ.{６ꎬ７}３.若实数ｘꎬｙ满足ｘ２＋２ｘｙ－１＝０ꎬ则ｘ２＋ｙ２最小值为.４.若点Ｏ是әＡＢＣ的内心ꎬｃｏｓøＢＡＣ＝１３ꎬ且满足ＡＯң＝ｘＡＢң＋ｙＡＣңꎬ则ｘ＋ｙ的最大值是.Ａ.３＋３２㊀㊀Ｂ.３－３２㊀㊀Ｃ.３４㊀㊀Ｄ.４３５.Ｗｈｉｃｈ㊀ｎｕｍｂｅｒ㊀ｔｈａｔ㊀ｎｕｍｂｅｒ㊀５㊀ｉｓ㊀ｔｈｅ㊀ｃｕｂｉｃ㊀ｒｏｏｔ㊀ｏｆ?Ａ.３㊀㊀Ｂ.５㊀㊀Ｃ.２５㊀㊀Ｄ.１２５６.在抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)中ꎬ过焦点Ｆ作直线交抛物线于两点ＡꎬＢꎬ且有ＡＦң＝３ＦＢң.再过点Ａ作抛物线准线的垂线ꎬ垂足为Ａᶄꎬ准线与ｘ轴交于点Ｃ.若四边形ＣＦＡＡᶄ的面积是１２３ꎬ则ｐ＝.７.已知抛物线ｘ＝３ｙ２的焦点为Ｆꎬ若该抛物线在点Ａ处的切线与直线ＡＦ的夹角为３０ʎꎬ则点Ａ的横坐标为.Ａ.１９㊀㊀Ｂ.１３６㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.１１６８.已知点Ｐ在直线ｘｙ－６－１４＝０上ꎬ且点Ｐ到点Ａ２ꎬ５()和点Ｂ(４ꎬ３)的距离相等ꎬ则点Ｐ的坐标为.９.已知两点Ａ(ｘꎬｙ)ꎬＢ(ｙꎬｘ)ꎬ其中ｘꎬｙɪ{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}且ｘʂｙꎬ连结ＯＡꎬＯＢ(其中Ｏ是坐标原点)ꎬ则øＡＯＢ＝２ａｒｃｔａｎ１３的概率为.１０.ａｒｃｓｉｎ１４＋３２８＋ａｒｃｓｉｎ３４＝.Ａ.π３㊀㊀Ｂ.π２㊀㊀Ｃ.２π３㊀㊀Ｄ.３π４１１.已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积为２１２ꎬ且ＡＢ＝６ꎬＡＣ＝ＢＣ＝４ꎬＡＰ＝ＢＰ＝１０ꎬ则ＣＰ＝.１２.在әＡＢＣ中ꎬ已知ＡＢ＝９ꎬＢＣ＝６ꎬＣＡ＝７ꎬ则ＢＣ边上中线长为.１３.已知ｆｘ()＝ａｓｉｎ(２πｘ)＋ｂｃｏｓ(２πｘ)＋ｃｓｉｎ(４πｘ)１５＋ｄｃｏｓ(４πｘ)ꎬ若ｆ１２＋ｘæèçöø÷＋ｆｘ()＝ｆ２ｘ()ꎬ则在ａꎬｂꎬｃꎬｄ中能确定的参数是.１４.若关于ｘ的实系数一元三次方程ｘ３＋ａｘ２＋４ｘ＋５＝０有一个根是纯虚数ꎬ则ａ＝.１５.ｘ２＋１ｘ＋ｙ３＋１ｙæèçöø÷１０的展开式中的常数项为１６.ｌｉｍｎң¥１１ˑ４＋１２ˑ５＋ ＋１ｎｎ＋３()[]＝１７.已知ｘꎬｙɪ[－π４ꎬπ４]ꎬ若ｘ２＋ｃｏｓ(ｘ＋３π２)－２ａ＝０ꎬ４ｙ２＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０ꎬ{则ｃｏｓ(ｘ＋２ｙ)的值是.Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.－１㊀㊀Ｄ.与ａ有关图１１８.如图１所示ꎬ在凸四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＢＡＣ＝øＢＤＣ是øＤＡＣ＝øＤＢＣ的.Ａ.充分不必要条件Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充要条件Ｄ.既不充分也不必要条件１９.如图２所示ꎬ平面内两条直线ｌ１ꎬｌ２交于点ＯꎬＭ为该平面内的任意一点.若点Ｍ到直线ｌ１ꎬｌ２的距离分别为ｐꎬｑꎬ则称(ｐꎬｑ)是点Ｍ的 距离坐标 .ｐꎬｑ是已知的非负常数ꎬ给出下列三个结论:图２(１)若ｐ＝ｑ＝０ꎬ则 距离坐标 为(０ꎬ０)的点有且仅有１个ꎻ(２)若ｐｑ＝０ꎬ且ｐ＋ｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为ｐꎬｑ()的点有且仅有２个ꎻ(３)若ｐｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为ｐꎬｑ()的点有且仅有４个.其中正确结论的个数是.Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.３２０.若函数ｆ(ｘ)＝３ｘ－３－ｘ的反函数为ｙ＝ｆ－１(ｘ)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ－１(ｘ－１)＋１在[－３ꎬ５]上的最大值和最小值的和为.Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４２１.若ｋ>４ꎬ则直线ｋｘ－２ｙ－２ｋ＋８＝０与２ｘ＋ｋ２ｙ－４ｋ２－４＝０与两条坐标轴围成的四边形面积的取值范围是.２２.如图３所示ꎬ已知ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点共圆ꎬ且ＡＢ＝１ꎬ图３ＣＤ＝２ꎬＡＤ＝４ꎬＢＣ＝５ꎬ则ＰＡ＝.Ａ.１３３㊀㊀Ｂ.１４３㊀㊀Ｃ.５㊀㊀Ｄ.１６３２３.已知向量数列ａｎң{}满足ａｎ＋１ң＝ａｎң＋ｄң(ｎɪＮ∗)ꎬ且ａ１ң＝３ꎬａ１ңｄң＝－３２.若Ｓｎ＝ａ１ңðｎｉ＝１ａｉңꎬ则当Ｓｎ取最大值时ꎬｎ＝.Ａ.８㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.６㊀㊀Ｄ.６或７２４.给定５个函数ꎬ其中３个是奇函数但不是偶函数ꎬ２个是偶函数但不是奇函数ꎬ则在这５个函数中任意取３个ꎬ其中既有奇函数又有偶函数的概率为.２５.方程５ρｃｏｓθ＝４ρ＋３ρｃｏｓ２θ所表示的曲线形状是.２６.在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ把点(４ꎬ５)绕点(１ꎬ１)顺时针旋转６０ʎꎬ所得的点的坐标为.２７.已知实数ｘꎬｙ满足ｘ２＋ｙ２＝１ꎬ若ｘ＋２ｙ－ａ＋ａ＋６－ｘ－２ｙ的值与ｘꎬｙ的取值无关ꎬ则ａ的取值范围是.２８.某公司安排甲㊁乙㊁丙等７人完成除夕到大年初六共７天的值班任务ꎬ每人值班一天.已知甲不值第一图４天ꎬ乙不值第二天ꎬ甲和丙在相邻两天值班ꎬ则不同的安排方式共有种.２９.若函数ｆ(ｘ)的图象如图４所示ꎬ则函数ｆ(ｆ(ｘ))的图象大致为.２９.解法１㊀Ｂ.设ｇ(ｘ)＝ｆｆｘ()().由ｆ(ｘ)的图象关于ｙ轴对称不关于坐标原点对称ꎬ可得ｆ(ｘ)是偶函数不是奇函数ꎬ所以可得ｇ(ｘ)也是偶函数不是奇函数ꎬ从而可排除选项ＡꎬＤ.可得ｇ(１)＝ｆｆ１()()＝ｆ(０)＝－１<０ꎬ可排除选项Ｃ.３０.定义ｆＭ(ｘ)＝１ꎬｘɪＭꎬ－１ꎬｘ∉Ｍꎬ{Ｍ Ｎ＝ｘ｜ｆＭ(ｘ)ｆＮ(ｘ)＝－１{}ꎬ已知集合Ａ＝ｘ｜ｘ<２－ｘ{}ꎬＢ＝２５ｘ｜ｘ(ｘ＋３)(ｘ－３)>０{}ꎬ则Ａ Ｂ＝.３１.方程３ｘ＋４ｙ＋１２ｚ＝２０２０的自然数解的组数为.Ａ.Ｃ２１６８㊀㊀Ｂ.Ｃ２１６９㊀㊀Ｃ.Ｃ２１７０㊀㊀Ｄ.Ｃ２１７１３２.已知ｍꎬｎɪＺꎬ且０ɤｎɤ１１.若２２０２０＋３２０２１＝１２ｍ＋ｎꎬ则ｎ＝.Ａ.４㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.１０㊀㊀Ｄ.１３３３.下列不等式恒成立的是(㊀㊀).Ａ.ｘ２＋１ｘ２ȡｘ＋１ｘ㊀㊀㊀Ｂ.｜ｘ－ｙ｜＋１ｘ－ｙȡ２Ｃ.｜ｘ－ｙ｜－１ｘ－ｙȡ２Ｄ.｜ｘ－ｙ｜ȡ｜ｘ－ｚ｜＋｜ｙ－ｚ｜参考答案１.Ｃ㊀２.Ｂ㊀３.㊀５－１２㊀４.Ｂ㊀５.Ｂ㊀６.２２㊀７.Ｃ８.(１ꎬ２)㊀９.１９㊀１０.ｄ㊀１１.９８ʃ７４３㊀１２.２１４㊀１３.ａꎬｂꎬｃꎬｄ㊀１４.５４㊀１５.１２６００㊀１６.１１１８㊀１７.Ｂ㊀１８.Ｃ㊀１９.Ｄ㊀２０.Ｃ㊀２１.(１７４ꎬ８)㊀２２.Ｂ㊀２３.Ｄ㊀２４.９１０㊀２６.(５２＋２３ꎬ３－３２３)㊀２７.[５－６ꎬ－５]㊀２８.１１２８㊀２９.Ｂ㊀３０.(－ɕꎬ－３]ɣ[０ꎬ１)ɣ(３ꎬ＋ɕ)㊀３１.Ｃ㊀３２.Ｂ㊀３３.Ａ㊀㊀参考文献:[责任编辑:李㊀璟]函数与不等式齐驱并驾㊀多角度解决最值问题２０２０年全国Ⅱ卷第２１题一题多解探讨张培杰(云南省大理大学教师教育学院㊀６７１０００)摘㊀要:最值问题能考查学生推理㊁转换㊁归纳等综合数学能力ꎬ每年高考都会出现.在高中数学教学中ꎬ最值问题的有两个主要的解决策略ꎬ一是转换成函数ꎬ利用函数性质求解ꎬ二是利用不等式求解.２０２０年全国Ⅱ卷第２１题第(２)问是典型的最值问题ꎬ本文分别从函数性质和不等式的角度给出不同的解答ꎬ以总结出一般的思路步骤ꎬ供复习参考.关键词:最值问题ꎻ函数ꎻ不等式ꎻ一题多解中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００５３－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:张培杰(１９９３.９－)ꎬ男ꎬ研究生ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀一㊁真题再现(２０２０年全国Ⅱ卷第２１题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２ｘ.(１)讨论ｆ(ｘ)在(０ꎬπ)的单调性ꎻ(２)证明:ｆ(ｘ)ɤ３３８ꎻ(３)证明:ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２２ｘｓｉｎ２４ｘ ｓｉｎ２２ｎｘɤ３ｎ４ｎ.通过观察题目发现ꎬ该题以三角函数为背景ꎬ考查判断函数在区间内的单调性㊁求函数值域㊁不等式证明等多个知识点.题目综合性强ꎬ难度较大ꎬ对考生的逻辑推理能力和运算能力有较高的要求ꎬ很好地体现了课程标准要求的核心素养导向ꎬ具有高考命题需要的区分度.下面重点给出第(２)问的一题多解ꎬ对于第(１)㊁(３)问仅给出一种可行的解答.３５。
2020年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式
专题之10、不等式一、选择题。
1．(2009年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定2．(2010年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-3．(2010年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.5．(2011年复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( ) A.a<12 B.a<7 C.a<5 D.a<26．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2二、填空题。
7．(2010年中南财经政法大学)已知实数a,b满足a>b,ab=1,则的最小值是 . 8．(2009年华中科技大学) 对任意的a>0,b>0,的取值范围是 .三、解答题。
9．(2009年中国科技大学)求证:∀x,y∈R,不等式x2+xy+y2≥3(x+y-1)恒成立.10．(2009年南京大学)P为△ABC内一点,它到三边BC,CA,AB的距离分别为d1,d2,d3,S为△ABC的面积,求证:++≥.11．(2010年南京大学)(a+b)2+3a+2b=(c+d)2+3c+2d. (*)证明:(1)a=c,b=d的充分必要条件是a+b=c+d;(2)若a,b,c,d∈N*,则(*)式成立的充要条件是a=c,b=d.12．(2010年浙江大学)有小于1的n(n≥2 )个正数:x1,x2,x3,…,x n,且x1+x2+x3+…+x n=1.求证:+++…+>4.13．(2009年清华大学)设a=(n∈N*),S n=(x1-a)(x2-a)+(x2-a)(x3-a)+…+(x n-1-a)(x n-a),求证:S3≤0.14．(2009年清华大学)(1)x,y为正实数,且x+y=1,求证:对于任意正整数n,x n+y n≥;(2)a,b,c为正实数,求证:++≥3,其中x,y,z为a,b,c的一种排列.15．(2009年北京大学)∀x∈R都有acos x+bcos 2x≥-1恒成立,求a+b的最大值. 16．(2011年北京大学等十三校联考)求f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2 011x-1|的最小值. 17．(2012年北京大学等十一校联考)求+=1的实数根的个数.1.B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].3.C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4.C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5.D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x+)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.9.x2+xy+y2-3(x+y-1)=(x+y)2+x2+y2-3x-3y+3=(x+y)2+(x-3)2+(y-3)2-6≥(x+y)2+(x+y-6)2-6=(x+y)2-3(x+y)+3=[(x+y)-]2≥0,故∀x,y∈R,不等式x2+xy+y2≥3(x+y-1)恒成立.10.2S=2(S△PBC+S△PCA+S△PAB),2S=ad1+bd2+cd3.要证++≥成立,即证(ad1+bd2+cd3)(++)≥(a+b+c)2成立.由柯西不等式可得上面不等式成立,当且仅当d1=d2=d3时等号成立.11.(1)由a=c,b=d得到a+b=c+d是显然的;反之,把a+b=c+d代入(*)式可得a=c,于是b=d.因此,a=c,b=d的充要条件是a+b=c+d.(2)充分性是显然的,下面证明必要性.当a+b=c+d时,由(1)可知:a=c,b=d,即必要性成立.当a+b>c+d时,有a-c>d-b,设a-c=d-b+p(p≥1),由(*)式得(a+b+1)2+a=(c+d+1)2+c,∴(a+b-c-d)(a+b+c+d+2)+a-c=0,∴[(a-c)-(d-b)](a+b+c+d+2)+a-c=0.∴a-c+p(a+b+c+d+2)=0,∴(1+p)a+pb+(p-1)c+pd+2p=0,这与p≥1相矛盾,于是a+b>c+d不能成立. 同理可证a+b<c+d也不能成立.综上可知:必要性成立.12.∵0<x i<1,∴>(i=1,2,3,…,n).∴+++…+>+++…+≥,又∵1=x 1+x2+x3+…+x n≥n,∴≥n,又∵n≥2,∴+++…+>n2≥4.13.S3=(x1-)(x2-)+(x2-)(x3-)=(x2-)(x1-+x3-)=·=-(x1+x3-2x2)2≤0.14.(1)设x=+a,则y=-a,其中-<a<,于是x n+y n=(+a)n+(-a)n=()n+()n-1·a+()n-2·a2+…+a n+()n-()n-1·a+()n-2·a2-…+(-a)n=2[()n+()n-2·a2+()n-4·a4+…]≥2×()n=.(2)不妨设a≥b≥c>0,即0<≤≤,且{,,}={,,},由排序不等式得++≥++=3.15.2【解析】方法一令cos x=t,则-1≤t≤1,f(t)=2bt2+at+1-b≥0恒成立.(1)当b<0时,,利用线性规划知识，如下图，可以解得:-1≤a+b<1.(2)当b=0时,at+1≥0,由-1≤t≤1,得-1≤a+b≤1.(3)当b>0时,(i),利用线性规划知识，如下图，可以解得:0<a+b<;(ii),即,⇒9b2-(2k+8)b+k2≤0,Δ≥0⇒-1≤k≤2,∴(a+b)max=2;(iii),即,利用线性规划知识，如图，可以解得:-1≤a+b<0.综上,(a+b)max=2.方法二2bcos2x+acos x-b+1≥0,令cos x=-,得+≤1,即a+b≤2,又当a=,b=时,cos2x+cos x+=(2cos x+1)2≥0成立,∴(a+b)max=2.16.【解析】解法一由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值,如|x-a|+|x-b|的最小值应该是在数轴上a,b两点之间取得,为|a-b|,所以将函数f(x)的右边整理为|x-1|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+…+|x-|+|x-|+…+|x-|,共有1+2+3+…+2 011=1 006×2 011项,则f(x)可以理解为x到这1 006×2 011个零点的距离之和.从两端开始向中间靠拢,每两个绝对值的和的最小值都是在相应的零点之间取得,而且范围是包含关系,比如|x-1|+|x-|的最小值是在x∈[,1]上取得,|x-|+|x-|的最小值是在x∈[,]上取得,…,所以f(x)的最小值应该在正中间的零点或正中间的相邻两个零点之间取得.由=503×2 011可知,f(x)取得最小值的范围在第503×2 011个零点和第503×2 011+1个零点之间(这两个零点也可能相等).由<503×2 011算得n≤1 421,所以第503×2 011个零点和第503×2 011+1个零点均为,则[f(x)]min=f()=.解法二由零点分区间法讨论去绝对值:当x∈(-∞,]时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-2 011x),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k1=-1-2-…-2 011.当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-2 010x)+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2=-1-2-…-2 010+2 011.当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+(1-2 009x)+(2 010x-1)+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k3=-1-2-…-2 009+2 010+2 011. ……当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+(1-mx)+[(m+1)x-1]+…+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2 012-m=-1-2-…-m+(m+1)+…+2 011. 当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+[1-(m-1)x]+(mx-1)+…+(2 011x-1),此函数图象是一条直线,斜率k2 013-m=-1-2-…-(m-1)+m+…+2 011.令,即,即,由于m∈N*,解得m=1 422.所以当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+(1-1 422x)+(1 423x-1)+…+(2 011x-1)=833-711×1 423x+1 717×589x, [f(x)]min=f()=.。
复旦大学自主招生试题
复旦大学自主招生试题（正文）复旦大学自主招生试题自主招生，作为一种独特的选拔方式，给予了高中生更多展示自己的机会，而复旦大学作为一所顶尖的综合性大学，其自主招生试题更是备受考生关注。
本文将通过介绍复旦大学自主招生试题的一些例子，分析其考查内容和要求。
一、数学试题1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，求函数f(x)在区间[-2, 3]上的最小值和最大值。
分析：首先，我们需要先求出函数f(x)的导函数f'(x)，然后再通过导函数的零点来找出函数f(x)的极值点。
根据极值的定义，我们可以通过求解f'(x) = 0来得到。
2. 某商店商品价格打9折，然后再减去10元，最后的价格是原价的40%。
求该商品的原价。
分析：假设原价为x元，那么根据题意，我们可以得到以下等式：0.9x - 10 = 0.4x。
通过解这个方程，我们可以求出该商品的原价x。
二、英语试题1. 阅读下面短文，并根据短文内容完成后面的题目。
Most people know that exercise is good for their health. Regular physical activity can prevent a multitude of diseases and improve one’s overall well-being. However, it is essential to find an exercise routine that suits your lifestyle and preferences. In this regard, yoga is a great option for many.Yoga combines physical poses, breathing exercises, and meditation to promote a healthy mind and body. The slow and controlled movements help build flexibility, strength, and balance. Additionally, the focus on deep breathing and mindfulness promotes relaxation and stress reduction.Furthermore, yoga can be practiced by people of all ages and fitness levels. From beginner classes to advanced poses, there are variations suitable for everyone. It is a versatile practice that can be adapted to individual needs and goals.Based on the information provided in the passage, answer the following questions:a. What are the benefits of regular exercise?b. What aspects does yoga combine?c. Why is yoga suitable for people of all ages and fitness levels?三、文学试题阅读下面的《Active Learning》一文，根据文章内容回答问题。
重点高校2020强基计划笔试真题
重点高校2020年强基计划笔试真题目录清华大学 (2)336689北京大学.............................................................................................................................................（一）数学.........................................................................................................................................（二）物理.........................................................................................................................................（三）化学.........................................................................................................................................南京大学.............................................................................................................................................浙江大学.............................................................................................................................................中山大学..........................................................................................................................................山东大学..........................................................................................................................................关于我们 (101112)清华大学清华大学2020强基计划笔试共考三门：数学、物理和化学。
2020年部分重点高校强基计划笔试真题及参考答案
2020年部分重点⾼校强基计划笔试真题及参考答案
重点⾼校2020年强基计划笔试真题
⽬录
清华⼤学 (2)
北京⼤学 (15)
（⼀）数学 (15)
（⼆）物理 (25)
（三）化学 (25)
南京⼤学 (27)
浙江⼤学 (28)
中⼭⼤学 (29)
⼭东⼤学 (30)
清华⼤学
清华⼤学2020强基计划笔试共考三门：数学、物理和化学。
数学有35道题，物理有20道题，化学有18道题。
题⽬都以不定项选择题的形式出现。
⽽物理为10道单选题和10道不定项选择题组成。
化学题⽬也是单选题和不定项选择题的组合。
根据同学们的反馈，清华的强基笔试数学最难，数学和物理都考核了竞赛知识点，⽽化学题⽬相对来说⽐较简单，也很少涉及到竞赛知识点。
参考答案
北京⼤学
北⼤的强基笔试共考三门：数学、物理和化学。
数学有20道题⽬，物理和化学有40道题⽬，所有题⽬都以单选题的形式出现。
据同学们反映，北⼤这次笔试的难度很⼤，题量也不少，基本上达到了竞赛的难度，考核了很多竞赛的知识点。
这样⼀来竞赛党们就有很⼤的优势，⽽没有竞赛背景的同学校考就⽐较吃⼒了，有些⾼考党连题⽬都没有做完。
（⼀）数学
1、考察整除的不定⽅程
2、考察圆上动点所导致的⼀条动直线所扫过的⾯积。
参考答案
2、考察圆上动点所导致的⼀条动直线所扫过的⾯积。
强基计划 你准备好了吗
强基计划㊀你准备好了吗甘志国(北京市丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:强基计划的前身是大学自主招生ꎬ文章对强基计划及其数学试题的特点给予了详细介绍.关键词:强基计划ꎻ大学自主招生ꎻ强基计划数学试题的特点ꎻ序中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００５１－０７收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ湖北省竹溪人ꎬ研究生ꎬ正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (课题编号ＦＴ２０１７ＧＤ００３ꎬ课题负责人:甘志国)阶段性研究成果之一.㊀㊀一㊁强基计划介绍强基计划的前身是大学自主招生(下简称自主招生).㊀自主招生是我国高校统一考试招生制度的重要补充ꎬ也是对学生多元录取㊁综合评价的重要组成部分.据统计显示ꎬ２０１８年清华北大自主招生㊁综合评价㊁高校专项获得降分的总人数ꎬ达到了惊人的６１００人ꎬ占其计划招生总数６７００人的９１％ꎬ详见下表:２０１８年清华北大获得降分人数汇总降分类型清华大学北京大学合计自主招生９４９８５５１８０４领军计划/博雅计划１８２５１５５９３３８４自强计划/筑梦计划４７９４６６９４５获得降分总人数３２５３２８８０６１３３预计计划招生总人数３４００３３００６７００获得降分人数所占比例９５.６８％８７.２７％９１.５４％㊀㊀从上面的数据可以看出自主招生在扮演非常重要的角色ꎬ仅凭裸分考进清华和北大的学生比例已经很低了.２０２０年１月１４日ꎬ教育部以教学 ２０２０ １号文件印发«关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见».文件指出ꎬ决定自２０２０年起ꎬ在部分高校开展基础学科招生改革试点(也称强基计划).同时ꎬ在部分 一流大学 建设高校范围内遴选高校开展试点.教育部将按照 一校一策 (着重号为笔者所加)的原则ꎬ研究确定强基计划招生高校㊁专业和规模.从２０２０年起ꎬ不再组织开展高校自主招生工作.㊀㊀二㊁强基计划考试介绍很多考生对强基计划试题的难度不太了解ꎬ这里做一个粗略的对比.各科综合起来的大致情况是ꎬ高考的中档题相当于强基计划简单题ꎬ高考难题相当于强基计划中档题也相当于竞赛简单题ꎬ强基计划难题相当于竞赛中档题.可以说ꎬ名校强基计划６５％的题在课内范围ꎬ３５％的题是超纲范围(是竞赛题难度ꎬ甚至有的题目超过联赛一试).㊀所以ꎬ有人说强基计划试题的难度介于高考和竞赛之间是有道理的.较为细致的来说ꎬ也可以把强基计划试题分为下面三部分:１.有的题是课内常见的.这类题检查同学们学习基础情况ꎬ一般熟练掌握高考内容的同学都能比较容易拿到分.２.有的题是在高考考纲边缘附近.这类题保留一定数量的高考核心考点ꎬ但着力点和区分度主要放在高考自然延伸出的一些知识和方法上.３.有的题是超出高考考纲的.这类题涉及到课内没学过的知识㊁公式(比如反三角函数㊁极限)ꎬ或者是竞赛联赛经典方法㊁技巧.强基计划考试没有考纲ꎬ由大学教授㊁专家或数学界知名人士命题ꎬ所以有超纲内容是正常的(当然教授是有出题原则的:应当说ꎬ名校强基计划考试题都是好题ꎬ对普通高考和全国联赛的复习备考也有重要参考价值).如果说笔试让名校间接认识了考生ꎬ那么面试则是二者的直接碰撞ꎬ能否擦出火花直接决定了强基计划考１５试的最终结果.因此ꎬ面试也是名校强基计划考试中十分重要的环节.㊀㊀三㊁强基计划考试数学试题特点目前ꎬ高中生在数学思维和数学素养方面表现出诸多不足ꎬ比如思维广度不开阔ꎻ思路不清晰ꎬ对题目的分析不周全ꎬ难以准确识别模型以尽快将其转化为相应的数学问题ꎻ学生普遍知识面狭窄(如对复数等许多基本知识都不了解)ꎻ运算能力较低等等ꎻ尤其是创新意识和动手操作能力较差.针对以上情形ꎬ强基计划试题便有如下特点.１.强基计划数学试题突出考查考生的数学思维与数学素养强基计划的目的是选拔顶尖的优秀人才ꎬ所以试题必然会突出这一特点ꎬ因为它是各种能力的核心.题１㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)已知甲㊁乙㊁丙三人的职业是ＡꎬＢꎬＣ之一ꎬ且每两个人的职业均不相同.若乙的年龄比Ｃ的年龄大ꎬ丙的年龄与Ｂ的年龄不同ꎬＢ的年龄比甲的年龄小ꎬ则甲㊁乙㊁丙三人的职业分别是(㊀㊀).Ａ.ＡꎬＢꎬＣ㊀Ｂ.ＣꎬＡꎬＢ㊀Ｃ.ＣꎬＢꎬＡ㊀Ｄ.ＢꎬＣꎬＡ答案:Ａ.题２㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)在小于１０００的正整数中ꎬ即不是５的倍数也不是７的倍数的整数个数是.答案:６８６.题３㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第７题)已知函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)２＋ｋ２.若ａꎬｂꎬｃɪ[０ꎬ１]ꎬｆ(ａ)ꎬｆ(ｂ)ꎬｆ(ｃ)是某个三角形的三边长ꎬ则ｋ的取值范围是.答案:(－¥ꎬ－１)ɣ(１ꎬ＋¥).注:题１考查逻辑知识(判断命题的真假)ꎬ题２的解法须用到韦恩图(即容斥原理)ꎬ解答题３要用到对恒成立问题的处理方法及二次函数在所给闭区间上的最值求法.这些知识㊁方法都是考生必备的数学素养.２.强基计划数学试题突出考查思维的广阔性(如发散思维)㊁深刻性与灵活性题４㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)ｘ２＋１ｘ＋ｙ３＋１ｙæèçöø÷１０的展开式中的常数项为.答案:１２６００.题５㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第６题)已知数列ａｎ{}满足ａ１＝１ꎬａ２＝４ꎬ且ａｎ２－ａｎ－１ａｎ＋１＝２ｎ－１(ｎȡ２ꎬｎɪＮ∗)ꎬ求ａ２０２０的个位数.解法１㊀先对ｎ用数学归纳法证明:ａｎ>０ꎬａｎ＋１>２ａｎ＋(２)ｎ(ｎɪＮ∗).ｎ＝１时成立:ａ１＝１>０ꎬａ２＝４>２２＝２ａ１＋(２)１.假设ｎ＝ｋ时成立:ａｋ>０ꎬａｋ＋１>２ａｋ＋(２)ｋ.可得ａｋ＋１>２ａｋ＋(２)ｋ>(２)ｋ>０.由题设ꎬ还可得ａｋ＋２＝ａｋ＋１ａｋ＋１－２ｋａｋ>ａｋ＋１[２ａｋ＋(２)ｋ]－２ｋａｋ＝２ａｋ＋１＋(２)ｋａｋ＋１－２ｋａｋ>２ａｋ＋１＋(２)ｋ[２ａｋ＋(２)ｋ]－２ｋａｋ＝２ａｋ＋１＋(２)ｋ＋１ꎬ得ｎ＝ｋ＋１时成立ꎬ所以欲证结论成立.由题设ꎬ可得２ａ２ｎ－２ａｎ－１ａｎ＋１＝２ｎ＝ａ２ｎ＋１－ａｎａｎ＋２(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)ꎬａｎ(２ａｎ＋ａｎ＋２)＝ａｎ＋１(２ａｎ－１＋ａｎ＋１)(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)①.因为前面已证得ａｎ>０(ｎɪＮ∗)ꎬ所以２ａｎ＋ａｎ＋２ａｎ＋１＝２ａｎ－１＋ａｎ＋１ａｎ(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)ꎬ得数列２ａｎ＋ａｎ＋２ａｎ＋１{}是常数列ꎬ因此２ａｎ＋ａｎ＋２ａｎ＋１＝２ａ１＋ａ３ａ２＝２ １＋１４４＝４ꎬａｎ＋２＝４ａｎ＋１－２ａｎ(ｎɪＮ∗).进而可得数列ａｎ(ｍｏｄ１０){}:１ꎬ４ꎬ４ꎬ８ꎬ４ꎬ０ꎬ２ꎬ８ꎬ８ꎬ６ꎬ８ꎬ０ꎬ４ꎬ６ꎬ６ꎬ２ꎬ６ꎬ０ꎬ８ꎬ２ꎬ２ꎬ４ꎬ２ꎬ０ꎬ６ꎬ４ꎬ４ꎬ８ꎬ所以ａｎ＋２４ʉａｎ(ｍｏｄ１０)(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)ꎬ因而ａ２０２０＝ａ２４ ８４＋４ʉａ４＝４８ʉ８(ｍｏｄ１０)ꎬ得ａ２０２０的个位数是８.解法２㊀先对ｎ用数学归纳法证明:ａｎ＋２>ａｎ＋１>ａｎ>０ꎬａｎ＋２＝４ａｎ＋１－２ａｎ(ｎɪＮ∗).由ａ１＝１>０ꎬａ２＝４ꎬａ３＝１４ꎬ可得ｎ＝１时成立.假设ｎ＝ｋ时成立:ａｋ＋２>ａｋ＋１>ａｋ>０ꎬａｋ＋２＝４ａｋ＋１－２ａｋ.在解法１中得到的①式中ꎬ令ｎ＝ｋ＋１ꎬ可得ａｋ＋１(２ａｋ＋１＋ａｋ＋３)＝ａｋ＋２(２ａｋ＋ａｋ＋２)(ａｋ＋１>０)ꎬ所以ａｋ＋３＝ａｋ＋２(２ａｋ＋ａｋ＋２)ａｋ＋１－２ａｋ＋１＝ａｋ＋２(２ａｋ＋４ａｋ＋１－２ａｋ)ａｋ＋１－２ａｋ＋１＝４ａｋ＋２－２ａｋ＋１＝ａｋ＋２＋ａｋ＋２＋２(ａｋ＋２－ａｋ＋１)>ａｋ＋２ꎬａｋ＋３>ａｋ＋２>ａｋ＋１>０ꎬ所以ａｋ＋３>ａｋ＋２>ａｋ＋１>０ꎬａｋ＋３＝４ａｋ＋２－２ａｋ＋１ꎬ得ｎ＝ｋ＋１时成立ꎬ因而欲证结论成立.２５接下来的解法同解法１.注:题４的解法是用二项展开式的通项解决四项展开式的通项问题ꎬ进而求出其常数项ꎬ充分考查了思维的广阔性㊁深刻性与灵活性.在题５两种解法中ꎬ难点均是证明 ａｎʂ０(ｎɪＮ∗) .这体现了思维的深刻性:蒙混过关是一定会丢分的.３.许多强基计划试题有深刻背景ꎬ可以引申推广题６㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若某集合中的任意两个不同元素的和㊁差㊁积㊁商(求商时除数不为０)仍是该集合中的元素ꎬ则称该集合是封闭集合.在集合ＲꎬＱꎬ∁ＲＱꎬ{ｍ＋ｎ２｜ｍꎬｎɪＺ}中ꎬ是封闭集合的个数为.答案:２.题７㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第３题)已知椭圆ｘ２２＋ｙ２＝１与圆ｘ２＋ｙ２＝４ꎬ从圆上的动点Ａ作椭圆的切点弦ꎬ求所有的切点弦所在的直线围成曲线的面积.解㊀可设动点Ａ(２ｃｏｓθꎬ２ｓｉｎθ)ꎬ可得切点弦所在的直线方程是ｘｃｏｓθ＋２ｙｓｉｎθ＝１.因为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)在点(ａｃｏｓθꎬｂｓｉｎθ)处的切线方程是ｃｏｓθａｘ＋ｓｉｎθｂｙ＝１ꎬ所以令ａ＝１ꎬｂ＝１２后ꎬ可得直线ｘｃｏｓθ＋２ｙｓｉｎθ＝１是椭圆ｘ２＋４ｙ２＝１在点(ｃｏｓθꎬ１２ｓｉｎθ)处的切线ꎬ即直线ｘｃｏｓθ＋２ｙｓｉｎθ＝１围成的图形是椭圆ｘ２＋４ｙ２＝１(如图１所示)ꎬ可得其面积是π １ １２＝π２.图１注:题６的背景是«近世代数»中的群㊁环㊁域.题７的背景是«高等几何»知识 曲线是切线的包络 :曲线可 点动成线 来生成ꎻ也可由曲线上点的切线围成ꎬ即 曲线是切线的包络 .由题７的解法ꎬ还可得到其一般结论:过圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上的动点Ａ作椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的切点弦ꎬ所有的切点弦围成的曲线是椭圆ｒ２ｘ２ａ４＋ｒ２ｙ２ｂ４＝１.４.强基计划试题覆盖面广强基计划还没有明确的考试大纲ꎬ试题的覆盖面很广ꎬ很多题的难度超出高考㊁联赛ꎬ甚至高中数学的知识范围而涉及高等数学ꎬ需要考生 见多识广 .题８㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)若函数ｆ(ｘ)＝３ｘ－３－ｘ的反函数为ｙ＝ｆ－１(ｘ)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ－１(ｘ－１)＋１在[－３ꎬ５]上的最大值和最小值的和为(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４答案:Ｃ.题９㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)已知两点Ａ(ｘꎬｙ)ꎬＢ(ｙꎬｘ)ꎬ其中ｘꎬｙɪ{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎬ９}且ｘʂｙꎬ连结ＯＡꎬＯＢ(其中Ｏ是坐标原点)ꎬ则øＡＯＢ＝２ａｒｃｔａｎ１３的概率为.答案:１９.题１０㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)ａｒｃｓｉｎ１４＋３２８＋ａｒｃｓｉｎ３４＝.答案:ＤＡ.π３㊀㊀Ｂ.π２㊀㊀Ｃ.２π３㊀㊀Ｄ.３π４题１１㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)已知抛物线ｘ＝３ｙ２的焦点为Ｆꎬ若该抛物线在点Ａ处的切线与直线ＡＦ的夹角为３０ʎꎬ则点Ａ的横坐标为(㊀㊀).Ａ.１９㊀㊀Ｂ.１３６㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.１１６答案:Ｃ.题１２㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第３题)双曲线ｙ＝ｘ３＋１ｘ的离心率是.答案:２３３.题１３㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第２题)已知关于ｘ的方程ｘ５＋ｐｘ＋ｑ＝０有有理根ꎬ且正整数ｐꎬｑ均不大于１００ꎬ求满足这些条件的有序数组(ｐꎬｑ)的组数.答案:１３３.题１４㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第４题)求方程１９ｘ＋９３ｙ＝４ｘｙ整数解的组数.答案:８.注:解答题８要用到反函数知识ꎬ解答题９与题１０要用到反三角函数知识ꎬ解答题１１要用到两直线的夹角公式ꎬ题１２涉及平面直角坐标系的旋转变换ꎬ题１３与题１４涉及初等数论中的数的整除㊁不定方程知识.而这些知识在现行高中数学教材中均未讲述ꎬ但属于强基计划的命题范围.５.部分数学强基计划试题运算量较大ꎬ或有较强的技巧题１５㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学３５试题第６题)若ａ＝２０２０２０２０ꎬｂ＝２０１９２０２１ ２０２１２０１９ꎬｃ＝１２(２０１９２０２１＋２０２１２０１９)ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小顺序是.答案:ｃ>ａ>ｂ.题１６㊀㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第１题)已知正数ｘꎬｙꎬｚꎬｗ满足ｘȡｙȡｗꎬ且ｘ＋ｙɤ２(ｗ＋ｚ)ꎬ求ｗｘ＋ｚｙ的最小值.答案:２－１２.题１７㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第９题)求函数ｙ＝ｓｉｎ２ｘ－２ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ(０ɤｘɤπ２)的值域.答案:[－５４ꎬ５].题１８㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第１０题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ａｘ２－ｘ＋１－ａꎬ若∀ｘɪ[－１ꎬ１]ꎬ｜ｆ(ｘ)｜ȡ｜ｘ｜ꎬ求实数ａ的取值范围.答案:(－ɕꎬ－１２].注:解答题１５与题１６均需要用到较强的放缩技巧ꎬ后者还要使用导数ꎻ解答题１７需要用到较强的凑配技巧:先得ｙ＝(２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ)２＋(２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ)－１ꎬ再用换元法求解(这与高中三角函数题的常规解法不一样)ꎻ题１８是所在试卷(共１１道试题)难度最大的一道试题ꎬ其常规解法须用到二次讨论ꎬ比较复杂.６.强基计划数学试题注重引导培养考生创新意识和动手操作能力毫无疑问ꎬ这是强基计划考试的主旨与方向.题１９㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)对于方程２ｘ－ｓｉｎｘ＝１ꎬ在下列结论中错误的序号是: (１)该方程无正数根ꎻ(２)该方程有无数个根ꎻ(３)该方程有一个正数根ꎻ(４)该方程的实根小于１.答案:(１).题２０㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)若ｋ>４ꎬ则直线ｋｘ－２ｙ－２ｋ＋８＝０和２ｘ＋ｋ２ｙ－４ｋ２－４＝０与两条坐标轴围成的四边形面积的取值范围是.答案:(１７４ꎬ８).题２１㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)单位正方体的六边形截面周长的最小值是.答案:３２.注:㊀解答题１９须使用图形计算器(上海的数学高考是允许的)ꎬ否则本题难度很大ꎻ题２０的解法是准确作图后用割补法及配方法求解ꎻ题２１的解法是用正方体的平面展开图来求解.由题２１的解法还可得到结论:若点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬＩꎬＪ分别在单位正方体的棱ＡＢꎬＢＢᶄꎬＢᶄＣᶄꎬＣᶄＤᶄꎬＤᶄＤꎬＤＡ(包括端点)上ꎬ则ＨＩ＋ＩＪ＋ＪＥ＋ＥＦ＋ＦＧ＋ＧＨ的最小值是３２.７.部分数学强基计划试题解法简洁新颖ꎬ用到知识也很少题２２㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第４题)若数列{ａｎ}满足ａ１＝１ꎬａ２＝３ꎬａｎ＝２ａ２ｎ－１ａｎ－２＋ａｎ－１(ｎȡ３ꎬｎɪＮ)ꎬ则数列{ａｎ}的通项公式是.答案:ａｎ＝ᵑｎｋ＝１(２ｋ－１).注:解答本题只需用到构造法与累乘法.８.数学强基计划试题的最大特点是原创性由于强基计划试题命题人多是大学教授㊁专家或数学界知名学者ꎬ他们视野宽阔ꎬ经常站在数学学科和社会发展的前沿思考问题ꎬ因此每年的自主招生试题都令人耳目一新ꎬ难以捉摸ꎻ但仔细分析一些强基计划数学试题ꎬ还是可以看出其一些特点的ꎬ而原创性是其最明显特点.㊀㊀四㊁强基计划考试数学试题的来源１.源于教材教材是命题的基本依据ꎬ不少强基计划试题有教材背景ꎬ是教材上例题㊁习题㊁定义㊁定理的组合改编ꎬ甚至有时就是原题.题２３㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)用同样大小的正ｎ边形平铺整个平面(没有重叠且没有空隙)ꎬ若要将这个平面铺满ꎬ则ｎ＝.答案:３ꎬ４ꎬ或６.题２４㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第５题)已知ｘꎬｙꎬｚɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬ判断ｓ＝ｘｘ＋ｙ＋ｙｙ＋ｚ＋ｚｚ＋ｘ是否存在最大值或最小值.答案:均不存在.注:初中数学教材中就有题２３这类平面平铺问题.题２４源于全日制普通高级中学教科书(必修)«数学 第二册(上)»(人民教育出版社ꎬ２００６年第２版)第１２－１３页的 例２㊀已知都是ａꎬｂꎬｍ正数ꎬ并且ａ<ｂꎬ求证:ａ＋ｍｂ＋ｍ>ａｂ. 该结论就是大家熟悉的 糖水不等式 .２.源于国内外高考试题许多稍难的高考试题更适合更高层次的选拔ꎬ所以４５有些这样的高考题就被改编成了(或直接作为)强基计划试题.题２５㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若某个四面体的各个顶点到某个平面的距离都相等ꎬ则称该平面为这个四面体的中位面.一个已知的四面体的中位面的个数是.(答案:７.)题２６㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)与两两异面的三条直线均相交的直线条数是.(答案:无数.)注:题２５是空间距离中的经典问题ꎻ作为排列组合知识ꎬ还涉及均匀分组和非均匀分组.这道题与２００５年高考全国卷Ⅲ文科㊁理科第１１题实质相同.不共面的四个定点到平面α的距离都相等ꎬ这样的平面α共有(㊀㊀).Ａ.３个㊀㊀Ｂ.４个㊀㊀Ｃ.６个㊀㊀Ｄ.７个题２６与下面的两道题目实质相同:(２００８年高考辽宁卷理科第１１题即文科第１２题)在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＥꎬＦ分别为棱ＡＡ１ꎬＣＣ１的中点ꎬ则在空间中与三条直线Ａ１Ｄ１ꎬＥＦꎬＣＤ都相交的直线(㊀㊀).Ａ.不存在㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.有且只有两条Ｃ.有且只有三条Ｄ.有无数条(复旦大学２００８年自主选拔数学Ｂ卷试题第２６题)若空间三条直线ａꎬｂꎬｃ两两异面ꎬ则与ａꎬｂꎬｃ都相交的直线有(㊀㊀).Ａ.０条㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.１条Ｃ.多于１条的有限条㊀Ｄ.无穷多条３.源于历年的强基计划(自主招生)试题题２７㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若实数ａꎬｂ满足(ａ＋ｂ)５９＝－１ꎬ(ａ－ｂ)６０＝１ꎬ则 ６０ｎ＝１(ａｎ＋ｂｎ)＝.答案:０.题２８㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)定义ｆＭ(ｘ)＝１ꎬɪＭꎬ－１ꎬｘ∉Ｍꎬ{Ｍ Ｎ＝{ｘ｜ｆＭ(ｘ)ｆＮ(ｘ)＝－１}ꎬ已知集合Ａ＝{ｘ｜ｘ<２－ｘ}ꎬＢ＝{ｘ｜(ｘ＋３)(ｘ－３)>０}ꎬ则Ａ Ｂ＝.答案:(－ɕꎬ－３]ɣ[０ꎬ１)ɣ(３ꎬ＋ɕ).题２９㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题)若ｚ＋ｚ＝１ꎬ则｜ｚ＋１｜－｜ｚ－ｉ｜的取值范围是.答案:(－１ꎬ２].题３０㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第２题)点集{(ｘꎬｙ)｜｜５ｘ＋６ｙ｜＋｜９ｘ＋１１ｙ｜ɤ１}的面积是.答案:２.注:题２７ꎬ２８ꎬ２９ꎬ３０分别与下面的自主招生试题如出一辙.(２００８年复旦大学千分考第６９题)若实数ａꎬｂ满足(ａ＋ｂ)５９＝－１ꎬ(ａ－ｂ)６０＝１ꎬ则 ６０ｎ＝１(ａｎ－ｂｎ)＝(㊀㊀).Ａ.－１２１㊀㊀Ｂ.－４９㊀㊀Ｃ.０㊀㊀Ｄ.２３答案:Ｃ.(２０１６年清华大学夏令营数学试题第９题)定义ｆＭ(ｘ)＝－１ꎬｘɪＭꎬ１ꎬｘ∉Ｍꎬ{ＭΔＮ＝ｘｆＭ(ｘ) ｆＮ(ｘ)＝－１{}ꎬ已知集合Ａ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０１６{}ꎬＢ＝２ꎬ４ꎬ６ꎬ ꎬ４０３２{}.(１)求ｆＡ(２０１６)ꎬｆＢ(２０１６)ꎻ(２)设ｃａｒｄ(Ｘ)表示集合Ｘ的元素个数ꎬ求ｍ＝ｃａｒｄ(ＸΔＡ)＋ｃａｒｄ(ＸΔＢ)的最小值.答案:(１)－１ꎬ－１ꎻ(２)２０１６.(２０１７年中国科学技术大学自主招生数学试题第２题)函数ｆ(ｘ)＝２ｘ２－２ｘ＋１－２ｘ２＋２ｘ＋５的值域是.答案:[－２ꎬ２).(２０１９年中国科学技术大学自主招生数学试题第１题)满足ｘ＋２ｙ＋３ｘ＋４ｙɤ５(ｘꎬｙɪＲ)的点(ｘꎬｙ)所构成的区域的面积是.答案:２５.题３０是线性规划问题(但难于作图)ꎬ可得题中的点集表示的图形是平行四边形ꎬ由公式Ｓ▱＝１２ａｈ可求解(或先通过分类讨论去掉绝对值符号后再求解).４.源于各级各类竞赛试题题３１㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)已知ｘꎬｙɪ[－π４ꎬπ４]ꎬ若ｘ３＋ｃｏｓ(ｘ＋３π２)－２ａ＝０ꎬ４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０ꎬ{则ｃｏｓ(ｘ＋２ｙ)的值(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.－１㊀㊀Ｄ.与ａ有关答案:Ｂ.注:该题源于早年的数学竞赛试题:用减函数与单调函数的性质求解.５.源于某些初等数学研究成果题３２㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第８题)已知ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ是１ꎬ２ꎬ ꎬｎ的一个排列ꎬ若ｉ<ｊ且ａｉ<ａｊꎬ则称(ａｉꎬａｊ)为排列ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ的一个顺序对.设Ｘ为排列ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ的顺序对的对数ꎬ则Ｅ(Ｘ)＝.５５答案:１４ｎ(ｎ－１).注:该题的背景是«高等代数»中排列的顺序数㊁逆序数.拙著«初等数学研究(Ⅰ)»第５０９－５１２页的文章«１２ ｎ的所有ｍ元排列的反序数之和及其应用»研究了该题的一般情形.６.源于高等数学前面已述ꎬ题７(２０２０年北京大学强基计划数学试题第３题)源于«高等几何»知识 曲线是切线的包络 ꎬ题３２源于«高等代数»中排列的顺序数㊁逆序数.题３３㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)已知点Ｐ在曲线ｘｙ－６－１４＝０上ꎬ且点Ｐ到点Ａ(２ꎬ５)和点Ｂ(４ꎬ３)的距离相等ꎬ则点Ｐ的坐标为.答案:(１ꎬ２).题３４㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第１１题)已知１＋２＋３＋ ＋ｎ<Ｃ(ｎ＋１)３/２(Ｃ是与ｎ无关的常数)ꎬ求证:当Ｃ＝２３时ꎬ该不等式成立ꎻ当Ｃ<２３时ꎬ该不等式不恒成立.注:题３３源于«高等代数»中的行列式ꎬ题３４源于定积分.㊀㊀五㊁大学强基计划数学试题的备考策略考生在日常学习中应该重新审视高考中 不常考 的知识和方法ꎬ并做必要的拓展ꎬ增强对数学问题的探究意识ꎬ关注高中数学后续内容的学习ꎬ注重数学思想方法的学习和创造性思维的培养ꎬ细述如下.１.夯实基础ꎬ尤其要自觉加强基本运算能力的训练千里之行ꎬ始于足下ꎻ强化基本功训练ꎬ是今后延拓知识与快速提高素养的资本!解答强基计划数学试题用到的思想㊁方法和知识ꎬ大部分也都在高考范围之内.因而ꎬ准备高考和准备强基计划应该是相辅相成ꎬ互相补充的.２.注重知识的延伸与拓展题３５㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)如图２所示ꎬ平面内两条直线ｌ１ꎬｌ２交于点ＯꎬＭ为该平面内的任意一点.若点Ｍ到直线ｌ１ꎬｌ２的距离分别为ｐꎬｑꎬ则称(ｐꎬｑ)是点ｍ的 距离坐标 .ｐꎬｑ是已知的非负常数ꎬ给出下列三个结论:(１)若ｐ＝ｑ＝０ꎬ则 距离坐标 为(０ꎬ０)的点有且仅有１个ꎻ(２)若ｐｑ＝０ꎬ且ｐ＋ｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为(ｐꎬｑ)的点有且仅有２个ꎻ(３)若ｐｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为(ｐꎬｑ)的点有且仅有４个.其中正确结论的个数是(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.３答案:Ｄ.题３６㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)已知向量数列{ａｎ}满足ａｎ＋１＝ａｎ＋ｄ(ｎɪＮ∗)ꎬ且｜ａ１｜＝３ꎬａｎ ｄ＝－３２.若Ｓｎ＝ａ１ ｎｉ＝１ａｉꎬ则当Ｓｎ取最大值时ꎬｎ＝(㊀㊀).Ａ.８㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.６㊀㊀Ｄ.６或７解㊀Ｄ.由题设ꎬ可得Ｓｎ＝ａ１ ｎｉ＝１ａｉ＝ａ１ [ｎａ１＋ｎ(ｎ－１)２ｄ]＝９ｎ－３４ｎ(ｎ－１)＝５０７１６－３４(ｎ－６１２)２.所以当且仅当ｎ＝６或７时ꎬＳｎ取到最大值.注:题３５中的 距离坐标 是平面直角坐标系中点的坐标的一种推广ꎬ但两者的本质均是平行线的距离ꎻ题３６仅仅是把考生在高中阶段学习的两个㊁三个向量的和推广到ｎ个向量的和而已.在日常学习中ꎬ不能仅仅局限于教材ꎬ要学得更深更广:㊀(１)注重在不同的知识阶段及时延伸与拓展.比如学习函数时ꎬ不仅要学习函数的定义㊁基本性质及各类基本初等函数ꎬ还要及时学习函数与方程的思想方法.这有助于对函数理解得更深刻ꎬ在更为高级的层面上构建知识结构和认知结构.(２)关注ＡＰ课程及其他多种形式的学习.ＡＰ课程中的许多内容和方法已经进入强基计划试题ꎬ如极限理论中的数列收敛准则㊁夹逼定理㊁函数极限存在定理㊁迫敛性定理㊁两个重要极限㊁洛比达法则ꎬ微积分中的罗尔定理㊁拉格朗日中值定理㊁积分中值定理㊁牛顿－莱布尼茨公式等等.强基计划试题的风格与难度ꎬ和高考还是有较大的不同.同时强基计划也会考一些在高考范围边缘处的知识.既没有接触过竞赛ꎬ又没有准备过强基计划的裸考考生最终很可能会无功而返.３.注重数学思想方法的领会与运用题３７㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)从２个相同的红球㊁３个相同的黑球㊁５个相同的白球中取出６个球ꎬ共有种不同的取法.答案:１１.题３８㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题６５为单项选择题)已知ｆ(ｘ)＝ａｓｉｎ(２πｘ)＋ｂｃｏｓ(２πｘ)＋ｃｓｉｎ(４πｘ)＋ｄｃｏｓ(４πｘ)ꎬ若ｆ(１２＋ｘ)＋ｆ(ｘ)＝ｆ(２ｘ)ꎬ则在ａꎬｂꎬｃꎬｄ中能确定的参数是.答案:ａꎬｂꎬｃꎬｄ.注:题３７的解法是枚举法ꎻ题３８的解法是赋值法ꎬ其理论依据是 特殊与一般思想 ꎻ解答前面的题２８要用到等价转化思想与分类讨论思想.这些思想方法都是考生必备的数学素养.４.培养推广与探究的意识这是研究问题的重要方法:解一题ꎬ知一类.题３９㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)方程３ｘ＋４ｙ＋１２ｚ＝２０２０的自然数解的组数为.Ａ.Ｃ２１６８㊀㊀Ｂ.Ｃ２１６９㊀㊀Ｃ.Ｃ２１７０㊀㊀Ｄ.Ｃ２１７１解㊀Ｃ.可设ｘ＝４ｍ(ｍɪＮ)ꎬ得原方程即３ｍ＋３ｚ＋(ｙ－１)＝３ １６８(ｍꎬｙꎬｚɪＮ)ꎻ可再设ｙ＝３ｎ＋１(ｎɪＮ)ꎬ得原方程即ｍ＋ｎ＋ｚ＝１６８(ｍꎬｎꎬｚɪＮ).可设ｍ＝ｍᶄ－１ꎬｎ＝ｎᶄ－１ꎬｚ＝ｚᶄ－１(ｍᶄꎬｎᶄꎬｚᶄɪＮ∗)ꎬ得原方程即ｍᶄ＋ｎᶄ＋ｚᶄ＝１７１(ｍꎬᶄｎᶄꎬｚᶄɪＮ∗).再由隔板法ꎬ可得所求答案是Ｃ.注:考生应当通过推广与探究ꎬ最终理解隔板法是解决一次不定方程正整数㊁自然数解组数的通性通法.５.留心跨界科学与学科知识的交汇题４０㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)Ｇｉｖ￣ｅｎ㊀ｔｗｏ㊀ｓｅｔｓ㊀Ａ:{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}ａｎｄＢ:{３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７}ꎬｔｈｅｎ㊀ｔｈｅ㊀ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ㊀ｓｅｔ㊀ｏｆ㊀Ａ㊀ａｎｄ㊀Ｂ㊀ｉｓ(㊀).Ａ.{１ꎬ２}㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.{３ꎬ４ꎬ５}Ｃ.{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７}Ｄ.{６ꎬ７}答案:Ｂ.题４１㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)Ｗｈｉｃｈｎｕｍｂｅｒｔｈａｔｎｕｍｂｅｒ５ｉｓｔｈｅｃｕｂｉｃｒｏｏｔｏｆ(㊀㊀).Ａ.３㊀㊀Ｂ.５㊀㊀Ｃ.２５㊀㊀Ｄ.１２５答案:Ｂ.注:解答这两道题时ꎬ考生对数学专业的英语词汇(交集㊁立方根等)要过关.复旦大学的强基计划(自主招生)试题历来重视通识教育ꎬ这从复旦 千分考 可见一斑: 千分考 测试的内容涵盖高中语文㊁数学㊁英语㊁政治㊁历史㊁地理㊁物理㊁化学㊁生物和计算机共１０个科目ꎬ共计２００道选择题ꎬ满分１０００分(每题答对得５分ꎬ不答得０分ꎬ答错扣２分)ꎬ考试时间为３小时.６.培养自主学习能力题４２㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若әＡＢＣ的三个顶点的坐标分别是Ａ(３ꎬ４)ꎬＢ(６ꎬ０)ꎬＣ(－５ꎬ－２)ꎬ则øＡ的平分线所在的直线方程是.㊀解㊀７ｘ－ｙ－１７＝０.设ＡＢңＡＢң＋ＡＣңＡＣң＝ＡＤңꎬ可得ＡＤң＝３５ꎬ－４５æèçöø÷＋－４５ꎬ－３５æèçöø÷＝－１５ꎬ－７５æèçöø÷ꎬＡＤңʊ(１ꎬ７).所以øＡ的平分线所在直线的一个方向向量是(１ꎬ７)ꎬ因而该直线的斜率是７ꎬ进而可得该直线的方程是ｙ－４＝７(ｘ－３)即７ｘ－ｙ－１７＝０.题４３㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)在正方体的８个顶点中的任意两点确定的直线中ꎬ异面直线的对数是.答案:１７４.题４４㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)函数ｙ＝４ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋３ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ(－π４<ｘ<３π４)的最小值是.答案:２２.注:题４２还可用三角形的角平分线性质定理ꎬ或解三角形知识求解ꎬ或先得出øＢＡＣ＝９０ʎ后再求解ꎬ但运算量都要大一些ꎻ题４３的解法是先构造四面体ꎬ再由 每个四面体确定３对异面直线(即３对对棱所在的直线) 来求解ꎻ可用换元法求解第４４题:在三个式子ｓｉｎｘｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ中ꎬ只要知道任一个式子的值ꎬ就可用换元法并利用恒等式 ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１ 求出另外两个式子的值.实际上ꎬ这些的解法均是通性通法.但这些通性通法在资料中并不多见ꎬ老师也很可能不会讲到.需要考生通过自学获得.考生应当时刻培养自主学习能力:二十一世纪最重要的个人能力首推自主学习能力!有了过硬的自学能力和意识ꎬ即可与时俱进ꎬ也可从容应对很多新问题.㊀㊀六㊁强基计划数学考试备考规划参加强基计划对于大学和考生来说ꎬ是个双赢的过程.考生要想如愿考上顶尖名校ꎬ参加强基计划是一条捷径.笔者认为ꎬ强基计划会持续受到家长及学生㊁学校(高中㊁高校)㊁社会的高度关注.经过以上论述ꎬ读者(考生)可能对强基计划及其数学试题有了比较全面深入的了解ꎬ希望你提前做好规划㊁及时行动㊁充分应变ꎬ并在做中体味㊁修正㊁总结㊁提高.注:本文摘自«高考数学强基计划备考的策略与方法»(包括高一㊁高二㊁高三共三个分册)(陕西师范大学出版总社ꎬ２０２０)的«序».[责任编辑:李㊀璟]７５。
多所高校强基计划2020真题曝光,新高三、高二、高一必看!
01
北京大学
北大的强基笔试共考三门：数学、物理和化学。
数学有20道题目，物理和化学有40道题目，所有题目都以单选题的形式出现。
时间各1个小时，满分各100分。
笔试采用机考方式进行，在各省设立考点。
笔试时间为7月30日9点-12点，共3小时。
传统高考省份：Ⅰ组和医学组测试内容为数学、物理、化学。
Ⅱ组测试内容为语文、历史、政治。
高考综合改革省份：Ⅰ组和医学组测试内容为数学、物理，Ⅱ组测试内容为语文、历史。
不少学生表示，此次北大强基校考笔试中数学难度较大，部分达到数学联赛一试的水平。
高中知识的同学做题速度相较有竞赛背景的同学来说可能会比较慢，部分同学甚至没有做完题目。
数学
1.考察乘法原理
2.考察整除的不定方程
3.考察圆上动点所导致的一条动直线所扫过的面积。