2412_垂直于弦的直径(1)(人教版九年级数学上)

解：连接OA，∵ OE⊥AB A E B
∴ AE OA 2 OE 2
O·
10 2 62 8cm
∴ AB=2AE=16cm
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB于E，连接
OA ∴
AE
1
AB
4cm
2
OE 3cm
AEB
∴ Ao AE 2 OE 2
C
A
B M
O
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧。
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦， CD⊥AB于E，则下列结论中c不成立的是（ ）
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
A
C
D
E
O·
B
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为 10cm,OE=6cm,则AB= cm。
它有无数条对称轴.
●O
圆的对称轴是任意一条
直径所在的直线
探究2
如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB,
垂足为E.通过对折，你能发现图中有哪些
相等的线段和弧? 为什么?
C
线段: AE=BE
弧: A⌒C=⌒BC, ⌒ ⌒ AD=BD
·O
AE
B
D
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
A
D
B
条非常重要的辅助 线。
圆心到弦的距离、
半径、弦构成直角
三角形，便将问题
转化为直角三角形
O
的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设
C
A AB所在的圆的圆心为O，半径为r.
经过圆心O作弦⌒AB的垂线OC垂足
D
B
为D，与AB交于点C，则D是AB
的中点，⌒C是AB的中点，CD就是
拱∴ 高A.B=37.4m，
人教版九年级上册
沁园中学 九年级数学组
问题:它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦 的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2m，你想求出赵州桥主桥拱的半径吗？
探究1
沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次， 你发现了什么？由此你能得到什么结论？
●O
• 圆是轴对称图形 它有多少条对称轴？ 它的对称轴是什么?
求证：A⌒C＝B⌒D
M
C
D
A
B
.O
证明：做直径MN⊥AB
N
∵ AB ∥ CD
∴ MN⊥CD ∴A⌒M＝B⌒M C⌒M=D⌒M ∴A⌒M - C⌒M = B⌒M - D⌒M ∴A⌒C = B⌒D
你能利用垂径定理解决求赵 州桥拱半径的问题吗?
7.2m
37.4m
关于弦的问题，常
常需要过圆心作弦
Hale Waihona Puke Baidu
C
的垂线段，这是一
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
例1： 已知：如图，在
以O为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦AB交小圆
于C，D两点。
O.
求证：AC＝BD。
A
E C
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
例2： 已知：⊙O中 弦AB∥CD。
C∴DA=D7=.21m/2 AB=18.7m，OD=OC- O
∵CD=OrA-72 .2OD2 AD2
∴ r 2 18.72 r 7.22
解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧．
题设
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（1）平分弦 （2）平分弦所对的优弧 （3）平分弦所对的劣弧
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C
几何语言：
·O
∵ CD是直径， CD⊥AB
AE D
B ∴ AE=BE,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒ =BC, =BD.
下列图形是否满足垂径定理的条件？
O·
42 32 5cm
即⊙O的半径为5cm.
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
C
A
O
A
E
B
D
c
D
B
O A
C
O E
BA
C
O EB D
是 不是 是
不是
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
D
B
D
B
O
A
C
C
AE=BE
AC=BC AD=BD
O
C
B
已知：直径CD、弦AB（除直径） 且 AM=BM 求证：（1）CD⊥AB
（2）AC BC ，AD BD
2.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂 线段，这是一条非常重要的辅助线．圆心到 弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便 将问题转化为解直角三角形的问题．
已知⊙O的半径为5，弦AB=6，弦 CD=8且AB∥CD,求AB与CD 之间的 距离.