2412_垂直于弦的直径(1)(人教版九年级数学上)

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24.1.2 垂直于弦的直径初中数学人教版数学九年级上册课件

符号语言：
∵在⊙O中，CD是直径，弦AB不是
直径，且AE＝BE， ∴CD⊥AB，AC＝BC， AD＝BD ． A
C
O E
B D
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
题设
结论
①过圆心 ③平分弦
②垂直于弦 ⇒ ④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
在这个推论中，“③平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立．
已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点P，
AP＝BP．求证：CD⊥AB， AC＝BC， AD＝BD．
D
证明：连接OA，OB，则AO＝BO．
∴△AOB是等腰三角形．
O
∵AP＝BP， ∴CD⊥AB ，
A
PB
C
∴ AC＝BC， AD＝BD（垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧）．
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
2023—2024学年人教版数学九年级上册
24.1.2 垂直于弦的直径
连接圆上任意两点的_线__段___叫做弦，经过__圆__心__的弦叫做直径．如图，__A__B_，__C_D__，__A_C__是弦，____A__B___是直径．
_圆__上___任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．_大__于___半圆的弧
A′ M
A
D
圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都
是圆的对称轴．
O
探究如果我们在圆形纸片上任意画一条弦AB，如图，观察这个图形，
它还是轴对称图形吗？若是，请找出它的对称轴．
A
如图，作出垂直于弦AB的直径CD，沿着

人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计

人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节主要讲述了圆中垂直于弦的直径的性质。

通过这一节的学习，学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的性质，并能运用这一性质解决相关问题。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的基本概念和性质有所了解。

但是，对于圆中垂直于弦的直径的性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步探究和理解新知识。

三. 教学目标1.理解并掌握圆中垂直于弦的直径的性质。

2.能够运用垂直于弦的直径的性质解决相关问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。

2.如何运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考和讨论，让学生自主发现和理解垂直于弦的直径的性质。

2.例题讲解法：通过讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。

3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.准备典型例题和练习题。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过回顾圆的基本性质和概念，引导学生进入新的学习内容。

2.呈现（10分钟）展示圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生观察和思考。

3.操练（15分钟）讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。

4.巩固（10分钟）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。

5.拓展（5分钟）通过解决实际问题，让学生运用所学知识解决实际问题。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，引导学生理解垂直于弦的直径的性质。

7.家庭作业（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。

8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和重点。

人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计

人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。

本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。

教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。

他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。

但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。

三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。

2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。

3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。

2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。

3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。

六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。

2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。

3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。

2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。

3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。

在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。

人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》教案

第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．二、教学重点及难点重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规。

四、相关资源《赵州桥》图片．五、教学过程【合作探究，形成知识】探究圆的对称性1．学生动手操作问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．2．探索得出圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线．3．问：圆有几条对称轴？师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴．4．你能证明这个结论吗？师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明．让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上．教师板书分析及证明过程．设计意图：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．探究垂径定理按下面的步骤做一做，回答问题：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1．图1 图2问题1在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜．最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明，此时再板书垂径定理及其推理的过程．证明：如上图2所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC．同．理可得AD BD垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．问题2 你能用符号语言表达这个结论吗？师生活动：学生尝试将文字转变为符号语言，用数学符号表达定理的逻辑关系．教师更正并板书．符号语言表达：AM MB CD O AC BC CD AB M AD BD=⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是圆的直径，，于点⇒ 设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学知识最深刻的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力．【例题应用提高能力】例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ．若CD =4 m ，弦AB = 16 m ，求此圆的半径．师生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形．在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．解：设圆的半径为R ，由题意可得OD =R －4，AD =8 m ．在Rt △ADO 中，222AO OD AD =+，即222(4)8R R =-+．解得R =10（m ）．答：此圆的半径是10 m ．设计意图：增加一道引例，是基础应用题，为课本例题的实际应用作铺垫，有过渡作用，不但让学生掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更体会到成功的喜悦．例2如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。

人教版九年级数学上册：24.1.2垂直于弦的直径(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的直径，它能够将弦平分，并且平分弦所对的两条弧。这个性质在解决与圆有关的问题时非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何运用垂直于弦的直径来解决实际问题，比如求圆中某条线段的长度。
人教版九年级数学上册：24.1.2垂直于弦的直径（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册：24.1.2垂直于弦的直径。本节课我们将学习以下内容：
1.垂径定理及其推论：掌握垂直于弦的直径的性质，即垂径定理，了解其推论及应用。
2.弦、弧、直径之间的关系：探讨弦与直径之间的数量关系，以及如何运用这些关系解决实际问题。
-理解直径与弦的关系：学生需明白直径是圆内特殊的弦，以及直径与普通弦在性质上的区别。
-解决实际问题时，能够正确识别和应用垂径定理：在实际问题中，学生需要能够识别哪些信息是关键，如何将垂径定理应用到问题解决中。
-掌握垂径定理推论的应用：学生需要理解并能够灵活运用推论，如弦的中点在直径上、直径垂直于弦等。
1.针对学生的个体差异，制定更具针对性的教学计划。
2.在几何证明部分，用更多的时间和精力引导学生理解证明过程，强调逻辑推理的重要性。
3.多给予学生鼓励和支持，提高他们在课堂上的自信心。
4.加强对学生实验操作的指导，帮助他们掌握操作要领。
3.增强学生的数学应用意识：将垂径定理应用于解决实际问题，培养学生的数学应用意识，提高解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作交流能力：在小组讨论与合作学习中，培养学生主动参与、积极探讨、倾听他人意见的良好习惯，提高合作交流能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点

人教版初三数学上册24、1、2垂直于弦的直径

课题：垂直于弦的直径（一）昭化中学刘加礼教材分析三维教学目标教学重点与难点学法指导教学模式教学流程设计导学案24.1.2垂直于弦的直径（一）（教师用）教材分析：本节课是现行人教版九年级上第十二四章第1.2节《垂直于弦的直径》第一课时。

是本章的一个重要知识点,也是本章的基础。

它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为圆的有关计算和作图提供了方法和依据；使学生的认识由感性到时理性，由具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。

同时通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建摸等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。

在教材中处于非常重要的位置。

三维教学目标：知识与技能目标：1、进一步认识圆，了解圆是轴对称图形。

通过探索、规纳、验证得出垂直于弦的直径的性质，并能初步应用它解决简单的计算、证明和作图问题。

过程与方法目标：1、通过创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

2、培养学生方程的思想的添加辅助线的能力情感态度与价值观：在探索过程中培养学生动手实践、观察分析和归纳问题的能力。

通过赵州桥的展示培养学生的爱国主义精神。

教学重点与重点重点：垂径定理及其应用难点：对垂径定理的理解及应用学法指导：引导学生学会观察、归纳的学习方法。

培养学生探索实践、分析讨论、得出结论。

鼓励他们合作探究，发扬集体主义精神解决问题。

教学模式：先学后教，当堂训练。

教学流程设计一、引入新课，提出问题（2分钟）多媒体展示赵州桥（设计意图：向学生介绍赵州桥，对学生进行爱国主义教育，同时激发学生学习数学的兴趣。

）二、学生自学教材P81---82页，探索新知，完成学案前置作业（10分钟）探究一、学生将事先准备好的圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，发现问题、猜想、得出结论。

九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案2新人教版(1)

24．1．2 垂直于弦的直径教学目标1、知识目标:(1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理。

（3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想-验证—归纳”的研究过程,培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。

教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。

教学难点1、垂径定理的证明。

2、垂径定理的题设与结论的区分。

教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。

教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。

整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。

令学生参与到“实验—-观察—-猜想--验证-—归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理.学生不再是知识的接受者,而是知识的发现者，是学习的主人。

教学过程教师活动学生活动教学环节设计目的情景创设情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长)为37。

4m, 拱高（弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一些实际问题转化为数学问题思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点?从实际出发,充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。

回顾旧识回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？(电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画)学生观察一些图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

通过复习,强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。

这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。

但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。

2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。

2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。

2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。

4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。

5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。

七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。

八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。

主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径

24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。

四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。