2012全国高中数学联赛广东预赛试题及解答

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题

（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上

1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k .

答案： 220122-（或4048142）

解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--

2. 函数()sin()sin()cos 366

f x x x x ππ

=++--+的最小值等于 . 答案：1

解：因为

所以)(x f 的最小值为1. 3. 已知 1()2bx f x x a +=

+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x

⋅=为常数，则k 的值为 . 答案：1.4

解：由于 是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14

k =. 4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 . 答案：9(,2).4

-- 解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=.

根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.

令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.43 1.2

p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩

解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22

U . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--. 5. 将25个数排成五行五列：

已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，

5j a （15j ≤≤）

都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.

答案：11-

解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等. 由412a =-,4310a =知4210(2)42

a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .

若2=q ，则113214

a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-； 若2-=q ，则113214

a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-. 6.设点P 在曲线12

x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.

ln 2)-. 函数12

x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =

的距离为d =.

设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=. 由图象关于y x =对称得：PQ

最小值为min 2ln 2)d =-.

7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小

方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .

答案：3960

解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.

其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；

2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有1216

91672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.

8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .

答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123

h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405

a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.

注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563

h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为

=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．（本小题满分16分）设椭圆22

22+=1x y a b

(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的

斜率k 满足||k >.