2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷
2019年宁波市中考数学试题、答案(解析版)说课讲解
2019年宁波市中考数学试题、答案(解析版)2019年宁波市中考数学试题、答案（解析版）（满分为150分,考试时间120分钟.）试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.2-的绝对值为( ) A .12-B .2C .12D .2-2.下列计算正确的是( ) A .325a a a +=B .326a a a -=C .()325a a =D .624a a a ÷=3.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资为1 526 000 000元人民币.数1 526 000 000用科学记数法表示为 ( ) A .81.52610⨯ B .815.2610⨯ C .91.52610⨯ D .101.52610⨯4.若分式12x -有意义，则x 的取值范围是 ( )A .2x ＞B .2x ≠C .0x ≠D .2x ≠-5.如图，下列关于物体的主视图画法正确的是( )ABC D6.不等式32x-＞x 的解为( )A .1x ＜B .1x ＜-C .1x ＞D .1x ＞-7.能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为 ( ) A .1m =- B .0m = C .4m = D .5m =8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x （单位：千克）及方差2S 2( ) A .甲 B .乙 C .丙 D .丁9.已知直线m n P ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒，则∠2的度数为( )A .60°B .65°C .70°D .7510.如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD=6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为 ( )A .3.5 cmB .4 cmC .4.5 cmD .5cm11.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下 ( ) A .31元 B .30元 C .25元 D .19元12.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷及答案解析
（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．
11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA＝45°．
A．23B．24C．25D．26
【解答】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，
则1＝1×20，2＝1×21+0×20，3＝1×21+1×21，4＝1×22+0×21+0×20，5＝1×22+0×21+1×20，
∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，
∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝25，
6．（5分）关于x的不等式组 有且只有四个整数解，则a的取值范围是．
7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．
8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．
D．不能确定x1、x2、x3的大小
【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，
∴二次函数y1＝a1（x+1）（x﹣2），y2＝a2（x+1）（x﹣2），y3＝a3（x+1）（x﹣2）开口大小为：y1＜y2＜y3．
2019年宁波市中考数学试题、答案(解析版)
2019年宁波市中考数学试题、答案（解析版）（满分为150分,考试时间120分钟.）试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.2-的绝对值为 ( )A .12-B .2C .12D .2-2.下列计算正确的是 ( ) A .325a a a += B .326a a a -= C .()325a a =D .624a a a ÷=3.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资为1 526 000 000元人民币.数1 526 000 000用科学记数法表示为 ( ) A .81.52610⨯ B .815.2610⨯ C .91.52610⨯ D .101.52610⨯4.若分式12x -有意义，则x 的取值范围是 ( )A .2x ＞B .2x ≠C .0x ≠D .2x ≠- 5.如图，下列关于物体的主视图画法正确的是 ( )A B CD6.不等式32x-＞x 的解为( ) A .1x ＜B .1x ＜-C .1x ＞D .1x ＞-7.能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为( ) A .1m =- B .0m = C .4m = D .5m =8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x （单位：千克）及方差2S （单位：千克2）如下表所示：( ) A .甲 B .乙 C .丙 D .丁9.已知直线m n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒，则∠2的度数为( )A .60°B .65°C .70°D .7510.如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD=6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为 ( )A .3.5 cmB .4 cmC .4.5 cmD .5 cm11.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下 ( ) A .31元 B .30元 C .25元 D .19元12.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。
最新浙江省宁波市慈溪中学2019-2020年最新自主招生数学试卷(含答案)(已纠错)
2019届浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．D．2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．43．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4 B．5 C．6 D．84．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．305．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．6二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=．9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个．10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=．11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．三、简答题（共4小题，满分50分）12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：班级内环中环外环（1）班（2）班（3）班13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证：（1）AB=AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．2019届浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．D．【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．【解答】解：原式=++==．A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1=1；B、当x=1时，y=3，阴影部分面积1×3×=；C、当y=0时，x=±1，当x=0时，y=﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1×=1；D、阴影部分面积为xy=×2=1．故选B．【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．4【分析】连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC．因为O′D=O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB=∠ACB=×60°=30°，由勾股定理得BC=2．【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC===2．故选：C．【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．【解答】解：设12可分成m•n，则p=m+n（m，n同号），∵m=±1，±2，±3，n=±12，±6，±4，∴p=±13，±8，±7，共6个值．故选C．【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．30【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，由题意得，，①×2﹣②得，z﹣x=20，所以，难题比容易题多20道．故选B．【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．6【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正切值与三角形边的关系，结合勾股定理求解．【解答】解：过点B作BE⊥AC交AC于点E．如下图设BE=x，∵∠BDA=45°，∠C=30°，∴DE=x，BC=2x，∵tan∠C=，∴=tan30°，∴3x=（3+x），解得x=，在Rt△ABE中，AE=DE﹣AD=﹣3=，由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AB==3．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为﹣．【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m 的最小值．【解答】解：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．所以m最小值=﹣．故本题答案为：﹣．【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法．8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=1．【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案．【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，∵点D是BC的中点，∴MD是梯形的中位线，∴BE+CF=2MD，∴+==+===1．【点评】此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理．9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有25个．【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．【解答】解：将该二次函数化简得，y=﹣[（x﹣4）2﹣]，令y=0得，x=或．则在红色区域内部及其边界上的整点为（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（6，0），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2）共25个，故答案为：25．【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=OA=×=．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°，则OD=BD=OB=．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=BD=1．∴OC=CD+OD=1+．故答案为：1+．【点评】此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD=90°，则AD=6，根据三角形的面积公式求得OM=4，即AB=8．则矩形ABCD的周长是16+12．【点评】本题考查的是矩形的定理以及垂径的性质，考生应注意运用勾股定理来求得边长继而才能求出周长．三、简答题（共4小题，满分50分）12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：班级内环中环外环（1）班（2）班（3）班【分析】本题可以通过设出内环、中环、外环射中的枪数为x，y，z；设脱靶数为t，根据等量关系“总得分=内环得分+中环得分+外环得分”列出函数方程进行分析，从而确定出各中枪数．【解答】解：填表如下：班级内环中环外环（1）班 1 3 4（2）班 2 3 2（3）班 3 3 0理由如下：可设t枪脱靶，x枪射中内环，y枪射中中环，则有（8﹣x﹣y﹣t）枪射中外环，所以50x+35y+25（8﹣x﹣y﹣t）=255化简得y=5+2（t﹣x）+（1+t﹣x）对于（1）班，t=0，y=5﹣2x+（1﹣x），x为奇数，只能取x=1，得y=3；对于（2）班，t=1，y=7﹣2x+（2﹣x），x为偶数，只能取x=2，得y=3；对于（3）班，t=2，y=9﹣2x+（3﹣x），x为奇数，只能取x=3，得y=3；【点评】此题考查的是学生对函数方程的分析讨论并对某些值确定，同学们要注意细心分析．13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．【分析】（1）根据抛物线的开口向下判断a的符号，再根据第二象限点的坐标特点及二次函数的顶点坐标列出不等式组，确定出解答a，b，b2﹣4ac的符号即可．（2）根据抛物线过原点及顶点在直线x+y=0上求出其顶点坐标及一次项系数，再根据顶点与原点的距离为3求出二次项系数，进而求出其解析式．【解答】解：（1）∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵顶点在第二象限，∴，∴b＜0，b2﹣4ac＞0．（2）由题意可得c=0，此时顶点坐标为（﹣，﹣），因顶点在直线x+y=0上，所以﹣﹣=0，b=﹣2．此时顶点坐标为（，﹣），由+=18，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系及用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的特点是解题的关键．14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证：（1）AB=AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明；（2）根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等的性质只需证明AB=AF=AE，根据等腰三角形的性质和判定进行证明．【解答】证明：（1）∠ABF=∠ADC=120°﹣∠ACD=120°﹣∠DEC=120°﹣（60°+∠ADE）=60°﹣∠ADE，（4分）而∠F=60°﹣∠ACF，（6分）因为∠ACF=∠ADE，（7分）所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．（8分）（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD=∠ACD，（10分）又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，（12分）所以∠ABD=∠AEB，所以AB=AE．（14分）∵AB=AF，∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．（16分）【点评】综合运用了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外心的性质．15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．【分析】（1）S阴=S△OAB+S扇形OBB′﹣S△OAA′﹣S扇形OAA′，根据公式即可求解．（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．从而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．即可求解．（3）Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，所以（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒m2﹣mn+2﹣m=0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解得条件，即可求得．【解答】解：（1）如图，S阴=S△OAB+S扇形OBB'﹣S△OA'B′﹣S扇形OAA'=S扇形OBB′﹣S扇形OAA′=π﹣π×12=（2）p值无变化证明：延长BA交y轴于E点，在△OAE与△OCN中，∴△OAE≌△OCN（AAS）∴OE=ON，AE=CN在△OME与△OMN中，∴△OME≌△OMN（SAS）∴MN=ME=AM+AE=AM+CN∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2；（3）设AM=n，则BM=1﹣n，CN=m﹣n，BN=1﹣m+n，∵△OME≌△OMN，∴S△MON=S△MOE=OA×EM=m在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2∴（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒n2﹣mn+1﹣m=0∴△=m2﹣4（1﹣m）≥0⇒m≥2﹣2或m≤﹣2﹣2，∴当m=2﹣2时，△OMN的面积最小，为﹣1．此时n=﹣1，则BM=1﹣n=2﹣，BN=1﹣m+n=2﹣，∴Rt△BMN的内切圆半径为=3﹣2．【点评】本题综合运用了扇形的面积公式，全等三角形的判定，三角形的面积公式以及勾股定理的综合应用，难度较大．。
2019年浙江省普通高职单独考试宁波市四模《数学》试卷
2019年浙江省普通高职单独考试宁波市四模《数学》试卷本试卷共三大题．全卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．所有试题均需在答题卷上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分，在试卷和草稿纸上作答无效．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上．3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题卷上．4．在答题卷上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分．）1．已知集合{}312≥-=x x A ，{}21≤<=x x B ,则=B A （▲）A ．{}2B ．{}1>x x C ．RD ．{}1≥x x 2．不等式322-1≥+x 的解集为（▲）A ．]0,(-∞B ．[)∞+--∞，3]2,(C ．(][)∞+∞-，，10 D ．[]3,2-3．下列表述正确的是（▲）A ．”的充分不必要条件”是““35>>x xB ．””的充分条件只有““242==x x C ．”的充要条件”是““0022==+ab b a D ．”的充要条件”是““21sin 6==απα4．化简︒-160sin 12的结果是（▲）A ．︒160cos B ．︒-160cos C ．︒±160cos D ．︒-20cos 5．对于二次函数()242-+-=x x x f ，下列结论正确的是（▲）A ．图像开口向上B ．图像对称轴为2-=xC ．在区间()2，∞-上单调递增D ．图像与x 轴只有一个交点6．在等差数列{n a }中，42=a ，166=a ，则4a 等于（▲）A ．8B ．6C ．8±D ．107．若直线043=++b y x 与圆9)1()1(22=-+-y x 相切，则b 的值为（▲）A ．3或-5B ．-3或5C ．-8或22D ．8或-228．已知角α终边上一点P 的坐标为（-6,8），则=2cos 2α（▲）A ．51B ．101C ．109D ．10099．函数x x x y 2cos 4cos sin 6+=的最小值和最小正周期分别为（▲）A ．π,10-B ．π,5-C ．π,132-D ．π2,2-10．已知n m ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，则下列命题正确的是（▲）①若αα//////m n m n ，则，②若βαβα//////，则，m m ③若ββαα⊥⊥m m ，则，//④若nm m n ⊥⊥，则，αα//A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④11．函数()1ln 4)(--=x x x f 的定义域为（▲）A ．(]4,1B ．()4,1C ．()(]4,22,1 D ．[)(]4,22,1 12．直线m 过点()1,2P ，其倾斜角是直线01=--y x 的倾斜角的两倍，则直线m 的方程为（▲）A ．012=--y xB ．012=--y xC ．)2(21-=-x y D ．2=x 13．一个袋子中，装有形状完全相同的3个红球和2个白球，从中任取2个球，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是（▲）A ．109B ．103C ．101D ．5314．某职校2名教师带8名学生参加“面向人人”大赛，赛后排成一排合影留念，2名教师必须站在两边的不同排法种数为（▲）A ．8822A C B ．8822A A C ．9922A A D ．1010A 15．下列函数中,满足性质:“若两个不同实数()，，∞+∈0,21x x 则()()[]().02121>--x x x f x f ”的是（▲）A ．()xx f -=2B ．()xx f sin =C ．()xx f 1=D ．()xx f ln =16．在ABC ∆中，若c B a =cos 2,则ABC ∆一定是（▲）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形17．已知向量()3,x a =，()2,4-=b ，且102=a ，则x 的值为（▲）A ．-1B ．-1或5C ．5D ．-418．二项式15231⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中，不含x 的项是（▲）A ．-915C B ．815C C ．716C D ．615C 19．已知关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=+++=++062)1(03y x a ay x 无解，则实数a 等于（▲）A ．1B ．-2C ．0或-2D ．1或-220．已知焦点在x 轴上的双曲线14222=-+m y m x 的离心率为2，则m 的值为（▲）A ．4B ．-1或4C ．-1D ．1或-4二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）21．直线048=-+y x 与两坐标轴分别交于B A ,两点，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为▲．22．函数()x f 满足()231-22+-=x x x f ，则()=3f ▲．23．已知21sin -=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈232ππα，，则=α▲．24．已知数列{}n a 的前n 项和122-+=n n S n ，则=+65a a ▲．25．已知椭圆12222=+b y a x 的面积公式是ab S π=.若椭圆12222=+by a x 的两个焦点为()0,41-F ，)0,4(2F ，点P 在椭圆上，21F PF ∆的周长为18，则该椭圆的面积为▲．26．已知长方形的一边长为cm 5，以此长方形的某一边为轴旋转一周得到的圆柱的侧面积为220cm π，则此圆柱的体积为▲．27．已知正数b a ,满足0)(log 2=+b a ，则ba 11+的最小值为▲．三、解答题（本大题共8小题，共72分)(解答题应写出文字说明及演算步骤）28．（本题满分7分）计算：().)3(213cos 32781ln 220192log 329ππ----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-C 29．（本题满分8分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，已知,45︒=A .222==b a （1）求角B 的大小；（4分）（2）求ABC ∆的面积S ．（4分）30．（本题满分9分）已知)6,3(),2,1(--B A ，以AB 为直径的圆C 被直线043:=+-D y x l 截得的弦长为8．（1）求圆C 的标准方程；（4分）（2）求直线l 的方程．（5分）31．（本题满分9分）已知54)sin(=-απ，且παπ<<2．（1）求αtan 的值；（4分）（2）求⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 4sin παπα的值．（5分）32．（本题满分9分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形,ABCD PD 底面⊥,PC与底面ABCD 所成的角为︒45，2=PD ．求：四棱锥ABCD P -的体积；（4分）（1）（2）二面角D AC P --的正切值．（5分）33．（本题满分10分）某学校校园里有一个边长为8米的正方形花坛，现打算种植红、黄、绿三种颜色的花草（如图所示），图案中MN AE =，准备在形如AEH Rt ∆的四个全等三角形内种植绿色花草，在形如EMH Rt ∆的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ 内种植红色花草，每种花草的价格如下表：设AE 的长为x 米，买花草的总费用为W 元.（1）求买花草的总费用W 与x 的函数关系式；（6分）（2）当x 为多少时，所需费用最低，并求最低费用．（4分）34．(本题满分10分)如图所示，抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，且过点)4,4(M ，直线0524:=+-y x l 与抛物线交于B A ,两点．(1)求抛物线的标准方程和焦点坐标；（4分）(2)求弦长AB ；（3分）(3)判断点O 关于直线l 对称的点1O 是否在抛物线上．（3分）35．(本题满分10分)如图所示，在直角边为2的等腰直角ABC ∆中，设ABC ∆三边CA BC AB 、、的中点分别为F E D 、、，记正方形ADEF 的面积为1a ；再以同样的方法，设FEC ∆三边CF EC FE 、、的中点分别为K H G 、、，记正方形FGHK 的面积为2a ，．．．，重复以上的过程，得到数列{}n a ．（1）写出1a ，2a ，3a 和n a ；（4分）证明数列{}n a 是等比数列，并求出其前n 项和n S ．（6分）（2）品种绿色花草黄色花草红色花草价格(元/米2)608012034题图35题图33题图2019年浙江省普通高职单招单考试宁波市四模《数学》试题答案及评分参考一、单项选择题(本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分)题号12345678910答案B C A B C D D A B D 题号11121314151617181920答案C D A B D C B D B A 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）题号21222324252627答案1676ππ或-42π15335020cm cm ππ或4三、解答题（本大题共8小题，共72分）28.（本题满分7分）解：原式=1)12(211249---+-+………每算对一项给1分，共6分47=.………………………7分29.(本题满分8分)解：（1）由正弦定理，得212245sin 2sin sin =︒==a Ab B …………………………2分︒︒=∴15030或B …………………………3分︒=∴︒<+30,180B B A ，………………………4分（2）︒=--︒=105180B A C 426)6045sin(105sin sin +=︒+︒=︒=∴C …………………6分︒⨯⨯==∴105sin 22221sin 21C ab S ，…………………7分.1342622+=+⋅=…………………8分30.（本题满分9分）解：（1）由题意得AB 的中点C 的坐标为（-1,2），即为圆C 的圆心………………1分半径长为52)62()31(212122=--++==AB r ………………2分∴圆C 的标准方程为()()202122=-++y x .………………4分（2） 圆C 的圆心坐标为(-1,2),半径为52=r ，半弦长为4，∴圆心C 到直线043:=+-D y x l 的距离为24)52(22=-=d ，……………………5分2)4(32431-22=-++⨯-⨯=∴D d ，……………………6分解得211或=D ，……………………8分∴所求直线l 的方程为02143,0143=+-=+-y x y x 或.……………………9分31.（本题满分9分）解：（1）54sin )sin(==-ααπ……………………1分παπ<<2，0cos <∴α∴,53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫⎝⎛--=--=αα……………………3分34cos sin tan -==∴ααα……………………4分（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+42sin 214cos 4sin παπαπα………………………6分απα2cos 2122sin 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=……………………7分()1cos 2212-=α……………………8分.5071532212-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=……………………9分32.(本题满分9分)解：（1）,ABCD PD 底面⊥ PC 与底面ABCD 所成的角为︒45，∴︒=∠45PCD 又 2=PD ，,2=∴CD …………………2分∴四棱锥ABCD P -的体积为.382223131=⨯⨯⨯==Sh V ……………………4分（2）连结BD 交AC 于点O ，连结PO ，,ABCD PD 底面⊥ 底面ABCD 是正方形,POD ∠∴是二面角D AC P --的平面角………………6分.2,2=∴=DO CD …………………7分.222tan ===∠∴DO PD POD ……………………8分32题图∴二面角D AC P --的正切值为.2……………………9分33.(本题满分10分)解：（1）,8,x AH x AE -== …………………………1分∴绿色花草的面积2216)8(214x x x x S -=-⋅⨯=绿红色花草的面积2xS =红黄色花草的面积64162+-=x x S 黄；……………4分∴买花草的总费用为222120)6416(80)216(60x x x x x W ++-+-=……………5分)80.(5120320802<<+-=x x x ……………6分（2）,4800)2(8051203208022+-=+-=x x x W ……………8分∴当2=x (米)时，所需费用最低，最低费用为4800元.……………10分34.(本题满分10分)解：（1）设抛物线的标准方程为py x 22=……………1分过点)4,4(M ，代入上述方程得4242⨯=p 解得,2=p ……………2分∴抛物线的标准方程为,42y x =焦点坐标为);1,0(F ………4分（2）设),,(),,(2211y x B y x A 由⎩⎨⎧==+-yx y x 405242，得01082=--x x ……………5分,10,82121-==+∴x x x x ……………6分直线0524:=+-y x l 的斜率,2=k ∴弦长1302)10(481222=--+=AB ；……………7分（3）设,12,),,(01001-=⨯∴⊥x y l OO y x O 34题图33题图,2100-=∴x y ①,2,2001上在直线的中点线段l y x OO ⎪⎭⎫⎝⎛,05222400=+⨯-⨯∴yx 即,05200=+-∴y x ②…………………………8分由①、②解得,1,200=-=y x …………………………9分将)1,2(1-O 的坐标代入抛物线方程,14)2(2⨯=-等式成立∴点O 关于直线l 对称的点1O 在抛物线上.…………………………10分35.(本题满分10分)解：（1）11=a ，412=a ，1613=a ，;411-⎪⎭⎫⎝⎛=n na ………4分（2）,41414111)1(1=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--++n n nn a a……………………6分∴数列{}n a 是首项为11=a ，公比41=q 的等比数列，……7分∴前n 项和为.411344114111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=nn n S …………10分（也可化为.43134434341-⨯-=⨯-=n n n S ）35题图。
2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题
高考数学精品复习资料2019.5专题之4、创新与综合题一、选择题。
1．(复旦大学)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是A.1B.2C.3D.42．(同济大学等九校联考)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为错误！未找到引用源。
的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σk 表示连续做k次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是A.σ4B.σ5C.σ2τD.τσ2二、解答题。
3．(南京大学)求所有满足tan A+tan B+tan C≤[tan A]+[tan B]+[tan C]的非直角三角形.4．(浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢?5．(清华大学)A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜?6．(清华大学)有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名?7．(清华大学)有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?8．(清华大学)请写出一个整系数多项式f(x),使得错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
是其一根.9．(清华大学)将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段?若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2,a+b+c=abc化为错误！未找到引用源。
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表示的数是（）A．23B．24C．25D．262．（5分）用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（5分）三个关于x的方程：a1（x+1）（x﹣2）＝1，a2（x+1）（x﹣2）＝1，a3（x+1）（x ﹣2）＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＞x2＞x3C．x1＝x2＝x3D．不能确定x1、x2、x3的大小5．（5分）如图正方形ABCD的顶点A在第二象限图象上，点B、点C分别在x轴、y 轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若，则k的值为（）A．﹣1B．C．D．﹣2二、填空题（每小题5分，共20分）6．（5分）关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是．7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．9．（5分）平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为．三、解答题（每小题15分，共30分）10．（15分）x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x+3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x ≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数．（1）请说明是1≤x≤30上的闭函数；（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，∠OP A＝45°．（1）求证：PO平分∠APB；（2）作OH⊥P A交弦P A于H．①若AH＝2，OH+PB＝8，求BP的长；②若BP＝m，OH＝n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB（如图2），求AP′的长．。
浙江宁波数学(含答案)6.27
浙江省宁波市2019年中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1.-2的绝对值为（）A. B. 2 C. D. -2【答案】B2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【解答】解：A、∵a²和a³不是同类项，∴不能加减，故此答案错误,不符合题意；B、∵，∴此答案错误，不符合题意；C、∵，∴此答案错误，不符合题意；D 、∵，∴此答案正确，符合题意。
故答案为：D3.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】解：。
故答案为：C4.若分式有意义，则x的取值范围是（）A. x>2B. x≠2C. x≠0D. x≠-2【答案】B【解析】【解答】解：由题意得：x-2≠0，解得：x≠2. 故答案为：B5.如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线。
故答案为：C。
6.不等式的解为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【解答】解：去分母得：3-x﹥2x，移项得：-x-2x﹥-3，合并同类项得：-3x﹥-3，系数化为1得：x﹤1. 故答案为：A7.能说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为（）A. m=-1B. m=0C. m=4D. m=5【答案】 D【解析】【解答】解：∵b²-4ac=(-4)²-4×1×m≥0，解不等式得：x≤4，由一元二次方程的根的判别式可知：当x≤4时，方程有实数根，∴当m=5时，方程x²-4x+m=0没有实数根。
故答案为：D8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示：今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【解答】解：∵从平均数可知：甲、乙比丙和丁大，∴排除选项C和D；从方差看，乙的方差比甲的小，∴排除选项A。
宁波市2019年普通高中保送数学卷及答案
宁波市2019年普通高中保送生招生综合素质测试数学卷一．选择题（每小题5分，共25分）1.用一排6盏灯的亮与不亮表示数，已知如图分别表示1～5，则●○○●●○表示的数是A．23 B．24 C．25 D．262.用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是A．56B．23C．12D．133.按下图入口进入，沿框内问题的正确判断方向，最后到达的是“两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形”是否真命题“有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等”是否真命题丁乙丙甲A．甲B．乙C．丙D．丁4.三个关于x的方程1(1)(2)1a x x+-=、2(1)(2)1a x x+-=、3(1)(2)1a x x+-=，已知常数123a a a>>>，若123,,x x x分别是按上述顺序对应方程的正根，则下列判断正确的是A．123x x x<<B．123x x x>>C．123x x x==D．不能确定123,,x x x的大小5.如图正方形ABCD的顶点A在第二象限kyx=图像上，点B、C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在第一象限y=x的图形上，若2=3S阴影则k的值为A．-1 B．43-C．53-D．-2●●●●●○1●●●●○●2●●●●○○3●●●○●●4●●●○●○5二．填空题（每小题5分，共20分）6.关于x 的不等式组2551132x a x x x +>⎧⎪--⎨≤-⎪⎩有且只有四个整数解，则a 的取值范围是 ． 7.如图矩形ABCD 中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF 分值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是 ．8.如图，△ABC 中MN ∥BC 交AB 、AC 于M 、N ，MN 与△ABC 内切圆相切，若△ABC 的周长为12，设BC =x ，MN =y ，则y 关于x 的函数解析式为 ．（不要求写自变量x 范围）9.平面直角坐标系中，○O 交x 轴负半轴于点A 、B ，点P 为○O 外y 轴正半轴上一点，C 为第三象限内○O 上一点，PH ⊥CB 交CB 延长线于点H ，已知∠BPH =2∠BPO ，PH =15，CH =24，则tan ∠BAC 的值为 ．三．简答题（每小题15分，共30分）10.x 、y 是一个函数的两个变量，若当a x b ≤≤时，有a y b ≤≤（a <b ）,则称此函数为a x b ≤≤上的闭函数．如y =-x +3,当x =1时y =2；当x =2时y =1，即当12x ≤≤时，12y ≤≤，所以y =-x +3是12x ≤≤上的闭函数．（1）请说明30y x=是130x ≤≤上的闭函数．M F BC D A G E AC B N①②③（2）已知二次函数24y x x k =++是2t x ≤≤-上的闭函数，求k 和t 的值．（3）在（2）的情况下，设A 为抛物线顶点，B 是直线x =t 上一点，C 为y 轴上一点，若△ABC 为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为 ．11.如图（1），P 为第一象限内一点，过P 、O 两点的○M 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，∠OP A =45°．（1.）求证：PO 平分∠APB ．（2）作OH ⊥P A 交弦P A 于H ．①若AH =2,OH +PB =8，求BP 的长．②若BP =m ，OH =n ，把△POB 沿y 轴翻折，得到△'P OB （如图2），求'AP 的长．答案：。
2019年中考 2019浙江省宁波市2019年中考数学试卷(解析版)
浙江省宁波市2019年中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1.-2的绝对值为（）A. B. 2 C. D. -2【答案】 B【考点】绝对值及有理数的绝对值【解析】【解答】解：∣-2∣=2.故答案为：B【分析】因为一个负数的绝对值等于它的相反数，而-2的相反数是2，所以-2的绝对值等于2。
2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】解：A、∵a²和a³不是同类项，∴不能加减，故此答案错误,不符合题意；B、∵，∴此答案错误，不符合题意；C、∵，∴此答案错误，不符合题意；D、∵，∴此答案正确，符合题意。
故答案为：D【分析】（1）因为a³与a²不是同类项，所以不能合并；（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可判断求解；（3）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断求解；（4）根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可判断求解。
3.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】 C【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：。
故答案为：C【分析】任何一个绝对值大于等于1的数都可以用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n=整数位数-1.4.若分式有意义，则x的取值范围是（）A. x>2B. x≠2C. x≠0D. x≠-2【答案】 B【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意得：x-2≠0，解得：x≠2.故答案为：B【分析】分式有意义的条件是：分母不为0，从而列出不等式，求解即可。
5.如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（）A. B. C. D.【答案】 C【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线。
2019年浙江省宁波市中考数学试卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共22页） 数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2019年浙江省宁波市中考数学试卷数 学（满分为150分,考试时间120分钟.）试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.2-的绝对值为 ( )A .12-B .2C .12D .2-2.下列计算正确的是 ( )A .325a a a +=B .326a a a -=C .()325a a =D .624a a a ÷=3.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资为1 526 000 000元人民币.数1 526 000 000用科学记数法表示为 ( ) A .81.52610⨯ B .815.2610⨯ C .91.52610⨯D .101.52610⨯ 4.若分式12x -有意义，则x 的取值范围是( )A .2x ＞B .2x ≠C .0x ≠D .2x ≠- 5.如图，下列关于物体的主视图画法正确的是( )AB CD6.不等式32x-＞x 的解为( ) A .1x ＜B .1x ＜-C .1x ＞D .1x ＞-7.能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为( ) A .1m =- B .0m = C .4m = D .5m = 8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x22 ( ) A .甲 B .乙 C .丙 D .丁 9.已知直线m n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒，则∠2的度数为 ( )A .60°B .65°C .70°D .75 10.如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD=6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为 ( )A .3. 5 cmB .4 cmC .4.5 cmD .5 cm 11.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下 ( ) A .31元 B .30元 C .25元 D .19元 12.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷(含答案解析)
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表示的数是()A. 23B. 24C. 25D. 262.用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是()A. 56B. 23C. 12D. 133.如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.三个关于x的方程：a1(x+1)(x−2)=1，a2(x+1)(x−2)=1，a3(x+1)(x−2)=1，已知常数a1>a2>a3>0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是()A. x1<x2<x3B. x1>x2>x3C. x1=x2=x3D. 不能确定x1、x2、x3的大小5. 如图正方形ABCD 的顶点A 在第二象限y =kx 图象上，点B 、点C 分别在x 轴、y 轴负半轴上，点D 在第一象限直线y =x 的图象上，若S 阴影=23，则k 的值为( )A. −1B. −43 C. −53 D. −2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）6. 关于x 的不等式组{2x +a >5xx−53≤x−12−1有且只有四个整数解，则a 的取值范围是______．7. 如图，矩形ABCD 中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF 的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是______． 8. 如图，△ABC 中，MN//BC 交AB 、AC 于M 、N ，MN与△ABC 内切圆相切，若△ABC 周长为12，设BC =x ，MN =y ，则y 与x 的函数解析式为______(不要求写自变量x 的取值范围)．9. 平面直角坐标系中，⊙O 交x 轴正负半轴于点A 、B ，点P 为⊙O 外y 轴正半轴上一点，C 为第三象限内⊙O 上一点，PH ⊥CB 交CB 延长线于点H ，已知∠BPH =2∠BPO ，PH =15，CH =24，则tan∠BAC 的值为______．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）10.x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b(a<b)，则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y=−x+3，当x=1时y=2；当x=2时y=1，即当1≤x≤2时，1≤y≤2，所以y=−x+3是1≤x≤2上的闭函数．(1)请说明y=30是1≤x≤30上的闭函数；x(2)已知二次函数y=x2+4x+k是t≤x≤−2上的闭函数，求k和t的值；(3)在(2)的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x=t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为______．11.如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA=45°．(1)求证：PO平分∠APB；(2)作OH⊥PA交弦PA于H．①若AH=2，OH+PB=8，求BP的长；②若BP=m，OH=n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB(如图2)，求AP′的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，则1=1×20，2=1×21+0×20，3=1×21+1×21，4=1×22+0×21+0×20，5=1×22+0×21+1×20，∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=25，故选：C．由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，将各亮灯情况表示为二进制的数字，再进一步转换为十进制即可得．本题主要考查图形和数字的变化规律，解题的关键是将亮灯情况转化为二进制的数字及二进制与十进制数字的转换方法．2.【答案】A【解析】解：在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，有6种情况：①②；①③；①④；②③；②④；③④；其中左视图不变的情况有5种：①②；①③；①④；②④；③④；∴左视图不变的概率是5，6故选：A．在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，有6种情况：①②；①③；①④；②③；②④；③④；其中结果左视图不变的情况有5种：①②；①③；①④；②④；③④；即可得出左视图不变的概率．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．3.【答案】D【解析】解：有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等是假命题，因为如果这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不全等；一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，是假命题；，综合以上到达的是丁，故选：D．分别判断三个命题的真假后即可确定到达的位置．考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的判断三个命题，难度不大．4.【答案】A【解析】解：∵a1>a2>a3>0，∴二次函数y1=a1(x+1)(x−2)，y2=a2(x+1)(x−2)，y3=a3(x+1)(x−2)开口大小为：y1>y2>y3．∴其函数图象大致为：．∴x 1<x 2<x 3． 故选：A ．由y =a(x +1)(x −2)=a(x −12)2−74a 得到顶点坐标是(12,−74a)，抛物线与x 轴的交点坐标是(−1,2)，据此作出函数图象，结合函数图象作出判断．考查了抛物线与x 轴的交点，解题的技巧性在于根据题意作出函数图象，由函数图象直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化． 5.【答案】B【解析】解：如图，过点A 作AG ⊥x 轴，过点D 作DE ⊥x 轴，作DF ⊥AG 交y 轴于H ，∴四边形DHOE 是矩形∵∠ADC =∠HDE =90°∴∠ADC −∠FDC =∠HDE −∠FDC∴∠ADF =∠CDE ，∵点D 在第一象限直线y =x 的图象上，∴DH =DE ，且∠ADF =∠CDE ，∠DHM =∠DEN ∴△DHM≌△DEN(ASA) ∴S △DHM =S △DNE ，∴S 阴影=23=S 四边形DHOE =DH ×DE ∴DH =DE =√63同理可证：△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC ∴AF =HD =BG =OC ，AG =DF =BO =HC∴OC =HD =√63=AF =BG ∴CH =2√63∴AG=2√63=BO∴GO=√6 3∴点A坐标(−√63,2√63)∴k=−√6×2√6=−4故选：B．过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG交y轴于H，由“ASA”可证△DHM≌△DEN，可得S△DHM=S△DNE，可求DH=DE=√63，由△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC，可得AF=HD=BG=OC，AG=DF=BO=HC，可求点A坐标，即可求k的值．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质求点A坐标是本题的关键．6.【答案】6<a≤9【解析】解：解不等式2x+a>5x，得：x<a3，解不等式x−53≤x−12−1，得：x≥−1，∵不等式组有四个整数解，∴6<a≤9，故答案为：6<a≤9．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7.【答案】①③【解析】解：设①②③三个等腰直角三角形的边长分别为a，b，c，∴①②③三个等腰直角三角形的周长分别为：(2+√2)a，(2+√2)b，(2+√2)c，∴每两个等腰直角三角形的周长之差分别为：(2+√2)(a−c)，(2+√2)(a−b)，(2+√2)(b−c)∵EF=BE−BF=√2a−b，∴不能求①②两个等腰直角三角形之差，∵∠BFC=90°，∠GFC=45°∴∠EFG=45°∴EF=√2DG=a−c∴能求①③两个等腰直角三角形之差，∵b=√2c，∴b−c=√2c−c与EF无关，故答案为：①③由等腰直角三角形的性质可求①②③三个等腰直角三角形的周长分别为：(2+√2)a，(2+√2)b，(2+√2)c，分别求出两个等腰直角三角形的周长之差，即可求解．本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用等腰直角三角形的性质是本题的关键．8.【答案】y=12x−2x212【解析】解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，∴BE=BG，GC=CF，ME=MH，NF=HN，∴BE+CF=BG+GC=BC=x，ME+NF=MH+NH=MN=y∵△ABC周长为12∴AB+AC+BC=12∴AE+AF=12−2x，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+MH+AN+NF=AE+AF=12−2x，∵MN//BC∴△AMN∽△ABC∴△AMN的周长△ABC的周长=MNBC∴12−2x12=yx∴y=12x−2x212故答案为：y=12x−2x212由切线长性质可得BE=BG，GC=CF，ME=MH，NF=HN，可得△AMN的周长= 12−2x，由相似三角形的性质可得y与x的函数解析式．本题考查了三角形的内切圆和内心，切线长定理，相似三角形的判定和性质，求出△AMN的周长是本题的关键．9.【答案】211【解析】解：设PB交⊙O于点N，连接PA，延长PB、AC交于点M，∵AB是直径，PH⊥CB∴∠ANP=90°=∠ACB=∠H，∴MC//PH，由圆的对称性可得，PA=PA，∠BPO=∠APO=12∠APB，∵∠BPH=2∠BPO，∴∠BPH=∠APB，∴△PHB≌△PNA (AAS)， ∴PN =PH =15，由MC//PH 得，∠HPB =∠M =∠APM ， ∴AM =AP =PB ， ∵AN ⊥PM ，∴PM =2PN =30， 由△PHB∽△MBC ， ∴MC PH=BC HB=MB PB，设MC =a ，BC =b ，MB =c ，则HB =24−b ，PB =30−C ， ∴a 15=b 24−b=c 30−c，∴bc =45=sinM =sin∠HPB ， 在Rt △PHB 中，PH =15， ∴PB =PH sin∠HPB=25，HB =sin∠HPB ⋅PH =20，∴BC =24−20=4，MB =30−25=5，则MC =√52−42=3， 在Rt △ABC 中，BC =4，AC =AM −MC =25−3=22， ∴tan∠BAC =BC AC=422=211，故答案为：211．要求tan∠BAC 的值，可以先求AC 、BC 即可，通过作辅助线，利用圆的对称性、相似三角形、全等三角形的性质求出相应的边长即可．考查圆、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及直角三角形的边角关系等知识，综合应用知识能力是本题的鲜明特点． 10.【答案】√10【解析】解：(1)∵k =30，∴当1≤x ≤30时，y 随x 的增大而减小． ∴当x =1时，y =30； 当x =30时，y =1． ∴1≤y ≤30． ∴反比例函数y =30x是1≤x ≤30上的闭函数；(2)∵x =−b2a =−2，a =1>0，∴二次函数y =x 2+4x +k 在闭区间[t,−2]上y 随x 的增大而减小． ∵二次函数y =x 2+4x +k 是闭区间[t,−2]上的“闭函数”， ∴当x =−2时，y =k −4；当x =t 时，y =t 2+4t +k ．{k −4=t t 2+4t +k =−2， 解得{k 1=1t 1=−3，{k 2=2t 2=−2．∵t <−2， ∴{k 2=2t 2=−2，舍去， ∴k =1，t =−3．(3)由(2)知，抛物线解析式为：y =x 2+4x +1，或y =(x +2)2−3 由二次函数的图象交y 轴于C 点，A 为此二次函数图象的顶点，得 A(−2,−3)，C(0,1)． 设B(−3,a)， 由勾股定理，得AC 2=22+(−3−1)2=20，AB 2=(−2+3)2+(−3−a)2=10+6a +a 2，BC 2=32+(1−a)2=10−2a +a 2①当∠ABC =90°时，AC 2=AB 2+BC 2，即20=10+6a +a 2+10−2a +a 2，则a =0． 此时AB 2=BC 2=10，故AB =BC =√10；②当∠ACB =90°时，AB 2=AC 2+BC 2，此时a =52，而AC ≠BC ，不满足条件，舍去． ③同理，当∠BAC =90°时也不满足条件． 综上所述，△ABC 的腰长为√10． 故答案是：√10．(1)由k >0可知反比例函数y =30x在闭区间[1,30]上y 随x 的增大而减小，然后将x =1，x =30别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y 的范围，于是可做出判断；(2)先求得二次函数的对称轴为x =−2，a =1>0，根据二次函数的性质可知y =x 2+4x +k 在闭区间[t,−2]上y 随x 的增大而减小，然后将x =2，y =k −4，x =t ，y =t 2+4t +k 分别代入二次函数的解析式，从而可求得k 的值；(3)根据勾股定理的逆定理，可得方程，根据解方程，可得答案．本题考察了二次函数综合题，解(1)的关键是利用闭函数的定义，解(2)的关键是利用闭函数的定义得出方程组，解(3)的关键是利用勾股定理的逆定理得出方程，要分类讨论，以防遗漏．11.【答案】证明：(1)如图1，连接AB ，∵∠AOB =90°∴AB 是直径，∴∠APB =90° ∵∠OPA =45°∴∠OPB =∠APB −∠OPA =90°−45°=45° ∴∠OPA =∠OPB∴PO 平分∠APB ；(2)①∵∠OAB=∠OPB=45°，∠OBA=∠OPA=45°∴∠OBA=∠OAB∴OA=OB如图2，将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，∴AH=BC=2，∠AHO=∠C=90°，∠OAH=∠OBC∵四边形APBO是圆内接四边形∴∠OAH+∠PBO=180°∴∠OBC+∠PBO=180°∴点C，点B，点P共线∵∠AHO=∠C=90°=∠APB∴四边形OCPH是矩形∴CP=OH，∴AH=OH−BP=2，且BP+OH=8∴BP=3，OH=5②BP=m，OH=n，如图3，将△AOP′绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，连接BQ，P′Q，∵OH⊥AP，∠OPA=45°，∴∠POH=∠OPA=45°，∴PH=OH=n，OP=√2n，∵OA=OB，∴OB⏜=OA⏜，∴∠BPO=∠OPA=45°，∵把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB∴OP=OP′=√2n，BP=BP′=m，∠BPO=BP′O=45°，∵将△AOP′绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，∴OQ=OP′=√2n，∠QOP′=90°，∴P′Q=2n，∠QP′O=45°，∴∠QP′B=90°，∴BQ=√P′B2+P′Q2=√4n2+m2，∴AP′=√4n2+m2．【解析】(1)连接AB，由圆周角定理可得AB是直径，可得∠APB=90°，即可得结论；(2)由题意可得OA=OB，将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，由旋转的性质AH=BC=2，∠AHO=∠C=90°，∠OAH=∠OBC，可得AH=OH−BP=2，且BP+ OH=8，解方程组可求BP的长；(3)将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，通过证明△PBE∽△OAH，可得BPOA=BE AH =PEOH，可求BE，PE的长，由勾股定理可求AP′的长．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解本题的关键．。
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2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．（5分）用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表示的数是（）
A．23B．24C．25D．26
2．（5分）用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是（）
A．B．C．D．
3．（5分）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方向，最后到达的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（5分）三个关于x的方程：a1（x+1）（x﹣2）＝1，a2（x+1）（x﹣2）＝1，a3（x+1）（x ﹣2）＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（）
A．x1＜x2＜x3
B．x1＞x2＞x3
C．x1＝x2＝x3
D．不能确定x1、x2、x3的大小
5．（5分）如图正方形ABCD的顶点A在第二象限y＝图象上，点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若S阴影＝，则k的值为（）
A．﹣1B．C．D．﹣2
二、填空题（每小题5分，共20分）
6．（5分）关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是．
7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．
8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．
9．（5分）平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为．
三、解答题（每小题15分，共30分）
10．（15分）x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x+3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x ≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数．
（1）请说明是1≤x≤30上的闭函数；
（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．
11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，∠OP A＝45°．
（1）求证：PO平分∠APB；
（2）作OH⊥P A交弦P A于H．
①若AH＝2，OH+PB＝8，求BP的长；
②若BP＝m，OH＝n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB（如图2），求AP′的长．。