考研数二真题及解析

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2021考研数学(二)真题(含详细解析)

2021考研数学(二)真题(含详细解析)

2k 1 1 2n n
lim
n
n k 1
f
k
1
n
1
f (x)dx .选(B).
0
(8)二次型 f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为( )
(A)2,0
(B)1,1
(C)2,1
(D)1,2
【答案】B
【解析】方法 1: f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2x3 2x1x3 ,其二

(A)
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
(B)
lim
n
n k 1
f
2k 1 1 2n n
(C)
lim
n
n k 1
f
k 1 2n
1 n
【答案】B
(D)
lim
n
n k 1
f
Hale Waihona Puke k 2 2n n【解析】由于
k n
k
2k 1 2n
k 1 n
,则 lim n
n k 1
f
t 1 1)et
t2
确定,则
d2y dx2
t0
.
【答案】 2 3
【解析】利用参数方程的求导公式
dy dx
yt xt
' '
4tet 2t 2et 1

d2y dx2
d dx
dy dx
d dx
4tet 2et
2t 1
d dt

2022年考研数学二真题及答案解析

2022年考研数学二真题及答案解析

2022年全国硕士研究生招生考试数学二一、选择题:no 小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1.当XT0时,a(x), 0(x)是非零无穷小量,给出以下四个命题: ① 若a(x)~0(x),则a2(x)~p2(x ). ② 若a2(x)~p2(x),则a(x)-p(x); ③ 若a(x)〜。

(x),则a(x)-P(x)~o(a(x)); ④ 若a(x)-p(x)~o(a(x)),则a ⑴〜0(x),其中所有真命题的序号是().A. ①②B.①®C.①③④D.②®④ 【答案】D.【解析】取a(x) = l-cosx, P(x) = lx2,排除①,故选D.^x = \2dx\x0 03.设函数/(同在x = x 处有2阶导数,则A. 当/(*)在*的某邻域内单调增加时,/ G )>00 0 B. 当rlv)>Ont, f(x)在X 的某邻域内单调增加 0 02D- 32. !2dJ 0 2-f —dK=()V + X31 B- 3 【答案】 【解析】D.交换积分次序后可得G + 1)0 y Jl + *3X2 ,C. 当/'(”在X 的某邻域内是凹函数时,/'"(x )>0D. 当/O>0,/«在气的某邻域内是凹函数0 0【答案】B.【解析】因/'(x)在x = x 处有2阶导数,则f\x )=lim /f W-/V 0)存在=|im 广(x)= p x ),°ip当f\x )>0时,由极限的局部保号性得,38>0,当x 話。

,8),有f\x)> 0 ,即35 >0, 0 0 当x G t/(x,6),有广⑴>0,故/■⑴在x = %的某邻域内单调增加,选B..dF = _dF diF _ diF . dx dy ,dx2 dyi【答案】C. 【解析】由于F(x,y) = jr= (x-y)jr/⑺出-f^//(r)dz,c当=f (f)dr + (x-y)f(x- y)-(x-y)f (x-y) = \x ~yf{t)6t,OX o~J x -y /(r)dr -(x-y)f(x-y) + (x-y)f(x-y) = J 。

2022年数二考研真题答案解析

2022年数二考研真题答案解析

2022年数二考研真题答案解析一、填空题:1一6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.(1)曲线口yl某4in某的水平渐近线方程为y.D55某2co某【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可•口4in某某4in某某1.0【详解】limlim某5某2co某某2co某55某1故曲线的水平渐近线方程为y.o51(2)设函数口1某2130intdt,某0在某0处连续,则a・f(某)某3a,某0【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可•【详解】由题设知,函数口f(某)在某0处连续,则口limf(某)f(0)a,o某0又因为limf(某)lim某0某0某0int2dt某3in某211im.某03某23所以口al.3(3)广义积分001某d某(1某2)22.D【分析】利用凑微分法和牛顿一莱布尼兹公式求解.口【详解】o02bd(l+某)某d某1lllimlim22(l某2)22b0(l某)2bl+某bO211111im2.Q2bl+b22(4)微分方程口yy(l某)某的通解是yC某e(某0).某【分析】本方程为可分离变量型,先分离变量,然后两边积分即可【详解】原方程等价为°dylld某,y某两边积分得口Inyln某某Cl,整理得口(5)设函数口C某.(Cel)yCe某dy某Oe.d某【分析】本题为隐函数求导,可通过方程两边对某求导(注意y是某的函数),一阶微分形式不变性口yy(某)由方程yl某ey确定,贝版和隐函数存在定理求解.口【详解】方法一:方程两边对某求导,得口yey某yey.Q又由原方程知,某0时,y方法二:方程两边微分,得°ydye某d某yl.代入上式得口dyd某某0y某0e.q某0,yl,得ey,代入ddyd某某Oe.Q方法三:令F(某,y)yl某ey,则口yleoF某某Oy,某FeyO,1,y某yO,1某lye某y,0,11 故口dyd某某OF某Fy某0,yle.D某O,yl(6)设矩阵A21,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BAB2E,贝血12qB2.o【分析】将矩阵方程改写为A某B或某AB或A某BC的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行°计算即可•口【详解】由题设,有口B(AE)2E d于是有口BAE4,而口11AE2,所以B2.口11二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数口yf(某)具有二阶导数,且f(某)0, f(某)0,某为自变量某在点某0处的增量,oy与dy分别为f(某)在点某0处对应的增量与微分,若某0,贝血(A)dOdyy.(B)Oydy.D(OoydyO.o(D)odyyO.口[A]。

考研数学二真题及答案解析

考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的;1下列反常积分中收敛的是A ∫√x 2B ∫lnx x +∞2dxC ∫1xlnx +∞2dxD ∫x e x +∞2dx答案D;解析题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案;∫√x2=2√x|2+∞=+∞; ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞; ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞; ∫xe x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此D 是收敛的;综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学—一元函数积分学—反常积分2函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在-∞,+∞内 A 连续 B 有可去间断点C 有跳跃间断点D 有无穷间断点答案B解析这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选B; 综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限3设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0,0,x ≤0α>0,β>0.若f ′(x )在x =0处连续,则 A α−β>1 B 0<α−β≤1C α−β>2D 0<α−β≤2答案A解析易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0,0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在,α≤1,f −′(0)=0 于是,f ′(0)存在α>1,此时f ′(0)=0.当α>1时,lim x→0x α−1cos 1x β=0,lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在,α−β−1≤0, 因此,f′(x )在x =0连续α−β>1;选A综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限4设函数f(x)在-∞,+∞内连续,其二阶导函数f ′′(x)的图形如右图所示,则曲线y =f(x)的拐点个数为A OB x A 0 B 1C 2D 3答案C解析f(x)在-∞,+∞内连续,除点x =0外处处二阶可导; y =f(x)的可疑拐点是f ′′(x )=0的点及f ′′(x)不存在的点;f ′′(x )的零点有两个,如上图所示,A 点两侧f ′′(x)恒正,对应的点不是y =f (x )拐点,B 点两侧f ′′(x )异号,对应的点就是y =f (x )的拐点;虽然f ′′(0)不存在,但点x =0两侧f ′′(x)异号,因而0,f(0) 是y =f (x )的拐点;综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点5设函数f(μ,ν)满足f (x +y,y x )=x 2−y 2,则f μ|μ=1ν=1与f ν|μ=1ν=1依次是 A 12,0 B 0,12C −12,0D 0,−12答案D解析先求出f (μ,ν)令{μ=x +y,ν=y x ,{x =μ1+ν,y =μν1+ν, 于是 f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1) 因此f μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0 f ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12 综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分6设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,函数f(x,y)在D 上连续,则∬f (x,y )dxdy =DA ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr B ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θrdr C ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr D ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θdr答案 B 解析D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,作极坐标变换,将∬f (x,y )dxdy D化为累次积分; D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4√sin 2θ≤θ≤√2sin 2θ因此 ∬f (x,y )dxdy D =∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θrdr综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算;7设矩阵A=[11112a 14a 2],b =[1d d 2];若集合Ω={1,2},则线性方程 Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为A aΩ,dΩB aΩ,d ∈ΩC a ∈Ω,dΩD a ∈Ω,d ∈Ω答案D解析Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德行列式,值为(a −1)(a −2),如果a?Ω,则|A |≠0,r (A )=3,此时Ax =b 有唯一解,排除A,B类似的,若d?Ω,则r (A |b )=3,排除C当a ∈Ω,d ∈Ω时,r (A |b )=r (A )=2,Ax =b 有无穷多解综上所述,本题正确答案是D;考点线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值,矩阵的秩,线性方程组求解;8设二次型f(x 1,x 2,x 3)在正交变换x =Py 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中P =(e 1,e 2,e 3),若Q =(e 1,−e 3,e 2)在正交变换x =Qy 下的标准形为A 2y 12−y 22+y 32B 2y 12+y 22−y 32C 2y 12−y 22−y 32D 2y 12+y 22+y 32答案A解析设二次型矩阵为A ,则P −1AP =P TAP =[20001000−1]可见e 1,e 2,e 3都是A 的特征向量,特征值依次为2,1,-1,于是-e 3也是A 的特征向量,特征值为-1,因此Q T AQ =Q −1AQ =[2000−10001]因此在正交变换x =Qy 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32综上所述,本题正确答案是A;考点线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量,正交变换化二次型为标准形;二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分;9设{x =acr tan t ,y =3t +t 3,则d 2y dx 2|t=1=解析由参数式求导法dy dx =y t ′x t ′=3+3t 211+t 2=3(1+t 2)2再由复合函数求导法则得d 2ydx 2=d dx [3(1+t 2)2]=d dt [3(1+t 2)2]dt dx =6(1+t 2)2t1x t ′ =12t(1+t 2)2, d 2y dx 2|t=1=48综上所述,本题正确答案是48;考点高等数学-一元函数微分学-复合函数求导10函数f (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数f (n )(0)=答案n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,)解析解法1 用求函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

2020年考研数学二真题及解析

2020年考研数学二真题及解析

2020全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)当0x +→时,下列无穷小量中最高阶是( ) (A )()21xt e dt -⎰(B)(0ln 1xdt +⎰(C )sin 20sin xt dt ⎰(D)1cos 0-⎰【答案】(D )【解析】由于选项都是变限积分,所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

(A )()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰(B )(()(22ln 1ln 1x t dt x x'+=⎰(C )()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰(D )()1cos 22301sin sin(1cos )2xt dt x x x-'=-⎰经比较,选(D )(2)函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为 ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 【答案】(C )【解析】由题设,函数的可能间断点有1,0,1,2x =-,由此11121111ln 1lim ()lim lim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---; 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---;1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x exf x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---;112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞----故函数的第二类间断点(无穷间断点)有3个,故选项(C )正确。

2021考研数学二真题(解析)

2021考研数学二真题(解析)

1 2
,故选 D
.
(3) 有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2cm / s , 3cm / s ,当底面半径为
10cm ,高为 5cm ,圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 ( ).
(A) 125 cm3 / s , 40 cm2 / s .
(B) 125 cm3 / s , 40 cm2 / s .
(A) a 1,b 1 . 2
(B) a 1, b 1 . 2
(C) a 0 , b 1 . 2
(D) a 0 ,b 1 . 2
【答案】 D .
【 解 析 】 由 f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 o(x2) 2
知当
f (x) sec x
时,
f (0) sec 0 1,
0 1 1
1 1
所以
A
1
2
1
,故多项式
E
A
1
2
1 ( 1)( 3) .
1 1 0
1 1
令上式等于零,故特征值为 1, 3 , 0 ,故该二次型正惯性指数为1,负惯性指数为1,故 选B.
(9) 设 3 阶矩阵 A (1 ,2 ,3 ), B (1, 2 , 3 ) ,若向量组 1, 2, 3可以由向量组
2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析
一、选择题:1 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
(1)当 x 0 时, (e x2 t3 1) 是 x7 的 ( ). 0
(A) 低阶无穷小. (B) 等价无穷小. (C) 高阶无穷小. (D) 同阶但非等价无穷小.

2020考研数学二真题含答案解析

2020考研数学二真题含答案解析

2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题:1~8题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

(1)当x 0时,下列无穷小量中最高阶的是A. ()x0(e 1)dte1x 1t 2 B.x0ln(1 t )dt3 C.sin x0sin t dt2 D.1 cos xsin 3tdt(2)函数f (x ) A.1个(3)ln1 x(e x 1)(x 2)的第二类间断点的个数为C.3个D.4个()B.2个arcsin xx (1 x )dx 1()2A.42 2B.8 C.(n )4D. 8()(4)已知函数f (x ) x ln(1 x ),当n 3时,f A.(0)(n 2)!nD.n !n 2B.n !n 2 C.(n 2)!n()xy ,xy 0 (5)关于函数f (x ,y )x ,y 0,给出下列结论: y ,x 0f ① x2f 1;②x yB.3(0,0)(0,0)1;③(x ,y ) (0,0)limf (x ,y ) 0;④lim lim f (x ,y ) 0.y 0x 0其中正确的个数为A.4(C.2D.1(D.)(6)设函数f (x )在区间 2,2 上可导,且f (x ) f (x ) 0.则A.)f ( 2)1f ( 1)B.f (0) e f ( 1)C.f (1) e 2f ( 1)f (2) e 3f ( 1)*(7)设4阶矩阵A (a ij )不可逆,a 12的代数余子式A 12 0, 1, 2, 3, 4为矩阵A 的列向量组,A 为A 的伴随矩阵,则方程组A *x 0的通解为A.x k 1 1k 22k 33,其中k 1,k 2,k 3为任意数B.x k 1 1k 22k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数C.x k 1 1k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数D.x k 12k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数()(8)设A 为3阶矩阵, 1, 2为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量, 3为A 的属于特征值-1的特1001征向量,则满足P AP 0 10 的可逆矩阵P 可为001A.( 13, 2, 3)B.( 1 2, 2, 3)C.( 1 3, 3, 2)()D.( 1 2, 3, 2)二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在横线上.x t 2 1d 2y (9)设,则22dxy ln(t t 1)(10) ________.t 110dy1yx 3 1dx ________.(0, )(11)设z arctan xy sin(x y ),则dz ________.(12)斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中,且斜边与水面相齐,记重力加速度为g ,水的密度为 ,则该平板一侧所受的水压力为________.(13)设y y (x )满足y 2y y 0,且y (0) 0,y (0) 1,则y (x )dx ________.a(14)行列式a1 1 11a 0110a________.0 11三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.(15)(本题满分10分)x 1 x求曲线y x 0 的斜渐近线方程. 1 x x(16)(本题满分10分)已知函数f x 连续且lim x 01f (x ) 1,g (x ) f (xt )dt ,求g (x )并证明g (x )在x 0处连续.0x求函数f x ,y x 8y xy 的极值.33(18)(本题满分10分)21 x 2x 设函数f (x )的定义域为 0, 且满足2f (x ) x f.求f (x ),并求曲线2 x 1 x 213y f (x ),y ,y 及y 轴所围图形绕x 轴旋转所成转体的体积.22(19)(本题满分10分)设平面区域D 由直线x 1,x 2,y x 与x 轴围成,计算Dx 2 y 2dxdy .x设函数f (x ) x 1e t dt .22(Ⅰ)证明:存在 (1,2),使得f ( ) (2 )e ;(Ⅱ)证明:存在 (1,2),使得f (2) ln 2 e .2(21)(本题满分11分)设函数f (x )可导,且f (x ) 0,曲线y f (x )(x 0)经过坐标原点O ,其上任意一点M 处的切线与x 轴交于T ,又MP 垂直x 轴与点P .已知由曲线y f (x ),直线MP 以及x 轴所围图形的面积与 MTP 的面积之比恒为3:2,求满足上述条件的曲线的方程.设二次型f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2x 3 2ax 1x 2 2ax 1x 3 2ax 2x 3经过可逆线性变换222 x 1 y 1222x P 2 y 2 化为二次型g (y 1,y 2,y 3) y 1 y 24y 3 2y 1y 2. x y 33(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求可逆矩阵P .(23)(本题满分11分)设A 为2阶矩阵,P ( ,A ),其中 是非零向量且不是A 的特征向量.(Ⅰ)证明P 为可逆矩阵;(Ⅱ)若A A 6 0,求P AP ,并判断A 是否相似于对角矩阵.2 12020考研数学真题(数学二)一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上....1.当x →0+时,下列无穷小量中最高阶的是()A.⎰x0(e -1)dtB.⎰ln(1+t )dtC.⎰0t 2x3sin x0sin t dtD.⎰21-cos xsin 3tdt解析:本题选D.考查了无穷小量的阶的比较,同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。

2020考研数学二真题 附答案解析

2020考研数学二真题 附答案解析

t3t 2 2x10 2x ®0x (1- x )x d x e -1 ln |1+ x |-2x= -e -1 2ln | x +1| x = -e -1 2¥¥òarcsin u · 1 arcsin xx (1- x ) u 2(1- u 2)x ®01- u 2¶f¶x arcsin u d 0 p①(0,0)¶2 f¶x ¶y ¶f¶x②(0,0)①(0,0) = lim-1 不存在.(0,0)y ®0 y xy = 0(0,0)x = 0y = 0¶x ¶y6.设函数 f (x) 在区间[-2, 2] 上可导,且 f ¢(x) >f (x) > 0 ,则( )f (-2)> 1f (-1)f (0) f (-1)f (1) f (-1)f (2) f (-1) >e <e2 <e3答案:B解析:由 f ¢(x) >f (x) > 0知f ¢(x)- 1 > 0f (x)即(ln f (x) -x)¢> 0令F (x) = ln f (x) -x ,则 F (x)在[-2, 2]上单增因-2 <-1 ,所以 F (-2) <F (-1)即ln f (-2) + 2 < ln f (-1) + 1f (-1)>ef (-2)同理, -1 < 0, F (-1) <F (0)即ln f (-1) + 1 < ln f (0)f (0)e7.设四阶矩阵A=(a ij )不可逆,a12 的代数余子式A12 ¹0,a1,a2 ,a3 ,a4 为矩阵A的列向量 组. A* 为 A 的伴随矩阵.则方程组 A* x =0 的通解为( ).A.x=k1a1 +k2a2 +k3a3 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数B.x=k1a1 +k2a2 +k3a4 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数C.x=k1a1 +k2a3 +k3a4 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数.D.x=k1a2 +k2a3 +k3a4 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数 答案:C解析:∵A 不可逆11 2 3 3 4è øè ø ∴|A|=0 ∵ A 12¹ 0r ( A *) = 1∴ r ( A ) = 3∴ A * x = 0 的基础解系有 3 个线性无关的解向量.A *A =| A | E = 0∴A 的每一列都是 A *x = 0 的解又∵ A 12¹ 0∴a 1 ,a 3 ,a 4 线性无关∴ A *x = 0 的通解为 x = k a + k a + k a 8. 设 A 为 3 阶矩阵,a 1 ,a 2 为 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量,a 3 为 A 的属于特征 æ 1 0 0 ö 值-1 的特征向量,则满足P -1AP = ç 0 -1 0 ÷的可逆矩阵 P 可为( ).A. (a 1 +a 3 ,a 2 , -a 3 )B. (a 1 +a 2 ,a 2 , -a 3 )C. (a 1 +a 3 , -a 3 , -a 3 )D. (a 1 +a 2 , -a 3 , -a 2 )答案:D解析:A a 1 = a 1 , A a 2 = a 2A a 3 = -a 3ç ÷ ç 0 0 1 ÷æ 1 0 0 ö ! P -1AP = ç 0 -1 0 ÷ç ÷ ç 0 0 1 ÷\ P 的 1,3 两列为 1 的线性无关的特征向量a 1 +a 2 ,a 2 P 的第 2 列为 A 的属于-1 的特征向量a 3.∴∵24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.,则 = .t =1tt tyyd 2 ydx 2t 2 +1t 2 +1dy 2dx 2ò)], )],(0,(0, 1 ,则 +¥y (x ) d x 0¶z ¶x ¶z ¶y0 òò= +¥y (x ) d x = - +¥ y ¢(x ) + 2 y ¢(x ) d x= -[ y ¢(x ) + 2 y (x )] +¥= [ y ¢(0) + 2 y (0)] = 1a 0 -1 114.行列式 a 1 -1 =-1 1 a 0解析:1 -1 0 a a 0 -1 1 a 0 -1 1 0 a 1 -1 = 0 a 1 -1 0 a -1 + a2 1 a -1+ a 2 1=0 a 1 -1 = - a 1 - 1 -1 1a 0 0 a a0 0 a aa a 2 - 2 1 = - a 2 -1 = a 4 - 4a 2.0 0 a三、解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分 10 分)x 1+ x求曲线 y = (1+ x )x(x > 0) 的斜渐近线方程.解析: lim y x 1+ xlim= limx ®+¥ xx x xx ®+¥ (1+ x )x x x ®+¥ (1+ x )= ex l n xlim x ®+¥ ex ln(1+ x )= lim e x (ln x -ln(1+ x ))x ®+¥-1 1 a 0 -1 1 a 0 1 -1 0a 00 aaò=x ®+¥=x ®+¥=x ®+¥lim (y x ®+¥= lim æx ®+¥ è= lim x ®+¥= lim x ®+¥= ölim x ®+¥ø= ö x ®+¥÷ ø= lim e t ®0+ = lim e t ®0+ = 1 e -1 t ®0+ y = e -11e-1216.limf (x ) = 1,g ( x ) = 1f ( xt )dt , 求g '( x )x ®0 x续.并证明 g '(x )在x = 0 处连x = lim f (x ) = 0 x ®0ò0 f (u )du = 1 lim f (x ) = 1 0 x 2 2 x ®0 x 2 的极值y C = 0 -1+ 1x 2 +13 çx AC - 当 x = A = 1.AC - >1= -21618. ) ,并求直线 y = 1 ,与函数 f (x ) 所 y = 22+ 2 f æ1 è ) x x …②①´ 2f (x ) = x②V = p × ÷ 3 - p = 3 3 4 = p 2312 2 x 1+ x 2x 2 + y 2x 2 + y 2 xòò Ddxdy òò d(+ 2 2 òò x d 2 x 2 + y 2ò = 3 + 1)ù û20.分)t 2dt .f (x ) = (2 -x )e x 2 ;(1, 2), f (2) = ln 2 ×h e h 2 .F (x ) = f (x )(x - 2) = (x - 2) x e t 2dt 1 (2) = 0, 又F (x )在[1, 2]连续,(1, 2)上可导,(1, 2), 使得F '(x ) = 0e t 2 dt + (x - 2)e x 2 =f (x ) + (x - 2)e x 2x 2 .令 $h Î(1, 2)=f (2) = e=h e h 2 ln 22 21.分)f ¢(x ) > 0(x ³ 0) , f (x ) 的图象过原点 O的切线与 X 轴交于 T ,MP ^ x 轴,曲线 y = f (x ), MP , x 轴围成的面积与D 3:2,求曲线方程.坐标为(x , y ) ,则过 M 的切线方程为Y -令- y y ¢n 2 (2即xê úò0 f (t )d t = 3× × y 22 y整理并求导得令 y ¢ = p 3yy ¢ - 2 y ¢2 = 0y ¢ = d p 代入上式得d y3yp d p- 2 p 2 = 0d y2解得 p = C 1 y 32即 y ¢ = C 1 y 3d y = C d x1y 31 3y 3 = C 1x +C2 13 3 = C 1xy = Cx 3由 y (0) = 0 得C 2 = 0.22.(本题满分 11 分)设 二 次 型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2+ 2ax x + 2ax x + 2ax x经 可 逆 线 性 变 换 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3æ x1 ö æ y 1 ö ç x ÷ = P ç y ÷ 得 g ( y , y , y ) = y2 + y 2 +4 y 2 + 2 y y .ç 2 ÷ ç 2 ÷ 1 2 3 1 2 3 12ç x ÷ ç y ÷ è 3 ø è 3 ø(1) 求 a 的值; (2) 求可逆矩阵 P. 解析:é1aa ùA = êa 1 a ú ê ú(1) 令 f (x 1, x 2 , x 3 ) 的矩阵 êëa a 1úûf ( y 1, y 2 , y 3 ) 的矩阵 é1 1 0ùB = ê1 1 0úêë0 0 4úû33 32 21 2 1 1 2 1 ëû ê 3 1 2 ê 3 z ï ú ìz 1 = y 1 + y 2 í 2 = 2 y 3 é1 1 0ù ï z 3 = y 2 ê ú 令î 即令P = ê0 0 2ú Z = P Y . 22 êë0 1 0úûf ( y , y , y ) = z 2 + z 2 则 1 2 3 1 2 .故P 1 X = P 2Y X = P -1PY P = P -1P .é 1 ù ê3 ú é1 1 0ù P -1 = ê02 1ú P = ê0 0 2 ú 1 ê3 ú 2 ê ú ê ê0 0 由于 êë ú ê0 1 0ú 1ú úû é1 2 2 ù ê ú 故 P = P -1P = ê0 14 ú ú ê0 1 0 ú ê úêë úû23.(本题满分 11 分)设 A 为 2 阶矩阵, P = (a , A a ) ,其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量. (1)证明 P 为可逆矩阵.(2)若 A 2a + A a - 6a = 0 ,求 P -1AP ,并判断 A 是否相似于对角矩阵. 解析:(1)a ¹ 0 且 A a ¹ la . 故a与A a 线性无关. 则 r (a , A a ) = 2则 P 可逆.(2)法一:由已知有 A 2a = - A a + b a即 . 所以于是 AP = A (a , A a ) = ( A a , A 2a ) = ( A a , - A a + 6a )= (a , A a ) æ 0 6 ö,故有P -1 AP = æ 0 6 ö,! P 可逆 ç 1 -1÷ ç 1 -1÷ è ø è ø \可得A 与æ 0 6 ö相似,又 l -6 =(l + 3)"(l - 2)= 0 ç 1 -1÷ -1 l +1è øÞl 1 = -3,l 2 = 2\可得A 的特征值也为-3,2 于是 A 可相似对角化方法二 P -1AP 同方法一由 A 2a + A a - 6a = 0下面是证明 A 可相似对角化( A 2 + A - 6E )a = 0设( A + 3E )( A - 2E )a = 0由a ¹ 0得( A 2 + A - 6E )x = 0有非零解 故| ( A + 3E )( A - 2E ) |= 0得| A + 3E |= 0或| A - 2E |= 0若| ( A + 3E ) |¹ 0则有( A - 2E )a = 0故A a =2a 与题意矛盾故| A + 3E |= 0同理可得| A - 2E |= 0 于是 A 的特征值为l 1 = -3 l 2 = 2.A 有 2 个不同特征值故 A a 相似对角化。

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1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 0lim ln x x x +→=______.(2) 函数()y y x =由方程222sin()0xx y e xy ++-=所确定,则dydx=______. (3)设1()(2(0)xF x dt x =>⎰,则函数()F x 的单调减少区间是______.(4)=______. (5) 已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,则()f x =______.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当0x →时,变量211sinx x是 ( ) (A) 无穷小 (B) 无穷大(C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大(2) 设2|1|,1,()1 2, 1,x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩则在点1x =处函数()f x ( )(A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续(3) 已知2,01,()1, 12,x x f x x ⎧≤<= ⎨≤≤⎩ 设1()()x F x f t dt =⎰(02)x ≤≤,则()F x 为 ( )(A)31,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B) 311,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ (C) 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D) 311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (4) 设常数0k>,函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 若()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,则()f x 在(,0)-∞内 ( )(A) ()0,()0f x f x '''<< (B) ()0,()0f x f x '''<> (C) ()0,()0f x f x '''>< (D) ()0,()0f x f x '''>> 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d ydx .(2) 求lim )x x x →-∞.(3) 求401cos 2xdx x π+⎰.(4) 求3(1)xdx x +∞+⎰.(5) 求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=满足初始条件01x y ==的特解.四、(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)xx y ex e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.五、(本题满分9分)设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.六、(本题满分9分)作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值. 七、(本题满分6分)设0x >,常数a e >,证明()aa xa x a ++<.八、(本题满分6分)设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明:2()2aMa f x dx ≤⎰,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】0【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成∞∞型,从而利用洛必达法则进行求解.000021ln lim ln lim limlim 011x x x x x x x x x x x++++→→→→==-=-洛. (2)【答案】222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++- 【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程222sin()0xx y e xy ++-=两边对x 求导,得222cos()(22)20x x y x yy e y xyy ''+⋅++--=,化简得 222222cos()2cos()2x y e x x y y y x y xy--+'=+-. 【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. (3)【答案】104x <≤【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.将函数1()(2,xF x dt =-⎰两边对x 求导,得()2F x '=-. 若函数()F x 严格单调减少,则()20F x '=<,12.所以函数()F x 单调减少区间为104x <≤. 【相关知识点】函数的单调性:设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加; (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. (4)【答案】1/22cosx C -+【解析】32sin cos x xdx -==⎰ 3122coscos 2cosxd x x C --=-=+⎰.(5)【答案】222111(1)ln(1)222x x x ++-- 【解析】这是微分方程的简单应用. 由题知2ln(1)dyx x dx=+,分离变量得 2ln(1)dy x x dx =+,两边对x 积分有 2221ln(1)ln(1)(1)2y x x dx x d x =+=++⎰⎰.由分部积分法得因为曲线()y f x =过点1(0,)2-,故12C =-,所以所求曲线为 222111(1)ln(1)222y x x x =++--.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因为当0x →时,1sin x是振荡函数,所以可用反证法. 若取 11kx k π=,则221111sin()sin 0k k k k x x ππ==, 211(2)2k x k π=+,则22222111sin (2),(1,2,,)2k k k k x x π=+=L . 因此,当k→∞时,有10k x →及20k x →,但变量211sinx x或等于0或趋于+∞,这表明当0x →时它是无界的,但不是无穷大量,即(D)选项正确. (2)【答案】(A)【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在0x 处连续,则有000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x →+→-==.由题可知221111|1|1lim ()lim lim lim(1)211x x x x x x f x x x x ++++→→→→--===+=--, 221111|1|1lim ()lim lim lim(1)211x x x x x x f x x x x ----→→→→--===-+=---. 因()f x 在1x =处左右极限不相等,故在1x =处不连续,因此选(A). (3)【答案】(D)【解析】这是分段函数求定积分. 当01x ≤<时,01x t ≤≤≤,故2()f t t =,所以 23311111()()(1)33xxxF x f t dt t dt t x ⎡⎤====-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.当12x ≤≤时,12,t x ≤≤≤故()1f t =,所以[]111()()11x xxF x f t dt dt t x ====-⎰⎰.应选(D). (4)【答案】(B)【解析】判定函数()f x 零点的个数等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数. 对函数()ln x f x x k e =-+两边对x 求导,得 11()f x x e'=-.令()0f x '=,解得唯一驻点x e =,即 ()0,0;(),()0,;(),f x x e f x f x e x f x '><< ⎧⎨'<<<+∞⎩严格单调增加严格单调减少所以x e =是极大值点,也是最大值点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>.又因为 00lim ()lim(ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k e x f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩, 由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同).故函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为2,选项(B)正确.(5)【答案】(C)【解析】方法一:由几何图形判断.由()(),f x f x =--知()f x 为奇函数,图形关于原点对称; 在(0,)+∞内()0,()0,()f x f x f x '''>>图形单调增加且向上凹,根据图可以看出()f x 在(,0)-∞内增加而凸,()0,()0f x f x '''><,选(C). 方法二:用代数法证明.对恒等式()()f x f x =--两边求导,得()(),()()f x f x f x f x ''''''=-=--.当(,0)x ∈-∞时,有(0,)x -∈+∞,所以()()0,()()0f x f x f x f x ''''''=->=--<,故应选(C).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【解析】{}222sin[()]cos[()]()2y f x f x f x x '''==⋅⋅,22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅. 【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. (2)【解析】应先化简再求函数的极限,100limlim11x x x→-∞==.因为0x <,所以100100limlim501111x x x→-∞===---. (3)【解析】先进行恒等变形,再利用基本积分公式和分部积分法求解.111[ln(cos )ln(cos 0)]ln ln 282482284ππππ=+-=+=-. (4)【解析】用极限法求广义积分. 221111lim02(1)222b b b →+∞+=-+=+=+.(5)【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是2222cos , 1011x x y y x x x '+=-≠--, 通解为 2222112cos []1xxdxdx x x x y e e dx C x ---⎰⎰=+-⎰ 221sin cos 11x C xdx C x x +⎡⎤=+=⎣⎦--⎰. 代入初始条件1x y ==,得 2sin 0101C +=-,所以 1C =-.所求特解为 2sin 11x y x -=-. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解公式为:()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.四、(本题满分9分)【解析】要确定常数,,αβγ,只需将特解代入原微分方程后,用比较系数法即得.对于特解2(1)xx y ex e =++,有222(1)2(2)xx x x x y ee x e e x e '=+++=++,2222(2)4(2)4(3)xx x x x x x y ex e e e x e e x e '''⎡⎤=++=+++=++⎣⎦,代入方程xy y y e αβγ'''++=,得恒等式2224(3)2(2)(1)xx x x x x xe x e e x e e x e e αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 化简得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++≡,比较同类项系数,得4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解之得3,2,1αβγ=-==-.于是原方程为32xy y y e '''-+=-,所对应的齐次微分方程320y y y '''-+=的特征方程为2320rr -+=,解之得 121,2r r ==.所以微分方程32xy y y e '''-+=-的通解为2*222121212(1)x x x x x x x x x y c e c e y c e c e e x e c e c e xe =++=++++=++.五、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法.222x y x +≤等价于22(1)1x y -+≤.解法一:考虑对y 的积分,则边界线为2111x y =--与2(01)x y y =≤≤,如右图所示.当y y dy →+时,2221(1)y y dy π⎡⎤=---⎣⎦.所以 122021(1)V y y dy π⎡⎤=---⎣⎦⎰.对于1201y dy -⎰,令sin y t =,则cos dy tdt =,所以2122220001111cos (1cos 2)sin 22224y dy tdt t dt t t ππππ⎡⎤-==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰;对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33y y dy y d y ⎡⎤--=---=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以 12201121(1)243V y y dy πππ⎛⎫⎡⎤=---=- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.解法二:取x 为积分变量,则边界线为212y x x =-与2(01)y x x =≤≤,如右图所示. 当x x dx →+时, 所以1202(2)(2)V x x x x dx π=---⎰.令1x t -=,则1,x t dx dt =+=,所以21(1)2(1)(1)(1)t t t t dt -⎡⎤=-+-+-+⎣⎦⎰02221111t t t t dt -⎡⎤=---+-⎣⎦⎰.再令sin t θ=,则cos dt d θθ=,所以 00222212111(cos sin cos sin 1)cos t t t t dt d πθθθθθθ--⎡⎤---+-=-+-⎣⎦⎰⎰111143343ππ=++-=-. 所以 120112(2)(2)2()43Vx x x x dx πππ=---=-⎰.六、(本题满分9分)【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题. 设圆锥底半径为R ,如图,,,BC R AC h OD r ===. 由22,BC ODAD OA OD AC AD==-,有 222()2R R h h r r h hr=⇒=---. 于是圆锥体积22211(2)332h V R h r r h h rππ==<<+∞-.对上式两端对h 求导,并令0V '=,得2222212(2)1(4)03(2)3(2)h h h r h h h r V r r h r h r ππ---'===--, 得唯一驻点4h r =,且24,04,0r h r V r h V '<<<⎧⎨'<<+∞>⎩, ADOC所以4h r =为极小值点也是最小值点,最小体积38(4)3V r r π=. 七、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当0x >,常数a e >时,原不等式两边取自然对数可化为ln()()ln a a x a x a +<+ 或ln()ln a x aa x a +<+. 证法一:令()()ln ln()f x a x a a a x =+-+,则()ln af x a a x'=-+.由,0,a e x >>知ln 1,1,aa a x><+故 ()0(0)f x x '>>.从而()f x 为严格单调递增函数,且 即 ()ln ln()0a x a a a x +-+>, 所以 ()aa xa x a ++<.证法二:令ln ()x f x x =,则21ln ()xf x x -'=. 当x a e >>时,有21ln ()0xf x x-'=<, 所以函数在x a e >>为严格单调递减函数,即()()f x a f a +<, 所以有ln()ln a x aa x a+<+, 即 ()aa xa x a ++<.八、(本题满分9分)【解析】证法一:用微分中值定理.对任意给定的[0,]x a ∈,由拉格朗日中值定理,得 由(0)0f =,知()()f x f x ξ'=.因为0max |()|x aMf x ≤≤'=,所以|()||()|f x f x Mx ξ'=≤,将两边从0a →做x 的定积分,有2|()|2aaMa f x dx M xdx ≤=⎰⎰.由定积分的基本性质可知 20|()||()|2aaMa f x dx f x dx ≤≤⎰⎰.证法二:用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的[0,]x a ∈,以及(0)0f =,可知()()(0)()xf t dt f x f f x '=-=⎰,从而 0|()||()|xf x f t dt Mx '≤≤⎰,以下同证法一. 证法三:分部积分法.[()()(0)(0)]()()()()a af a a a f a a x f x dx a x f x dx ''=---+-=-⎰⎰.所以221122aM ax x Ma ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦.。

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