《统计学》抽样与抽样估计

第5节 样本容量的确定
在重复抽样下，
x
z/ 2
n
所以，必要抽样单位数
p z/2
P(1P) n
n
z
2
/
2
2
2
x
n z2/ 2P(1 P) 2p
在不重复抽样下，必要抽样单位数
n
Nz2/ 2 2
N2 x
z2/ 22
n
Nz2/2P(1P) N2p z2/2P(1P)
例：某市进行职工家庭生活费抽样调查，已知职工家庭平均每 人每月生活费收入的标准差为110元，允许误差范围10元，概率 把握程度95%，试确定应抽选的户数。 解：
随机性误差
代表性误差是指用样本指标推断 总体指标时，由于样本结构与总 体结构不一致、样本不能完全代 表总体而产生的误差。
随机性误差又称 偶然性误差，是 指遵循随机原则 抽样，由于随机 因素（偶然性因 素）引起的误差。 抽样估计中的所 谓抽样误差，就 是指的这种随机 误差。
抽样误差
登记性误差：存在于一切调查中 代表性误差：仅产生于抽样调查，不可避免。
P(1P) n
总体比例的置信区间为
P (1P )
P (1P )
(pz/2
n ,pz/2
) n
小样本条件下，不作介绍。
例：总体比例的区间估计
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机抽取了 100 个 下 岗 职 工 ， 其 中 65 人 为 女 性职工。试以 95% 的 置 信 水 平 估计该城市下岗 职工中女性比例 的置信区间
描述总体分布特征的数值 样本统计量（Sample statistic）
抽样方法
重置抽样（重复抽样）(Sampling with replacement) 要从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，
每次从总体中抽取一个单位，把顺序号登记下来之后， 重新放回参加下一次抽选，连续反复抽取n次组成所 要求容量的样本。 不重置抽样（不重复抽样）(Sampling without replacement)
体的分布
样 本
x x1 x2 x N n
x x1 x2 x N
p n1 n
s 2
(xi x )2
n 1
二、抽样分布 (Sampling distribution)
1、抽样分布的意义
对统计量的所有可能取值及其对应概率的描述， 就是统计量的抽样分布，即抽样分布。
抽样分布反映样本统计量的分布特征，根据抽 样分布的规律，可揭示样本统计量与总体参数 之间的关系，计算抽样误差，并说明抽样推断 的可靠程度。
2
nn
不重复抽样：
x
2Nn
nN1 n
Nn N1
抽样平均误差 （1）比例 重复抽样：
p
p(1 p) n
不重复抽样：
p
p(1p)Nn n N1
影响抽样误差大小的因素是：
➢
总体被研究标志的变异程抽度样。误差的大小与样本单位
小，则抽样误在差其也他愈条小件；不总变体的标数误情志的差况的平要下变方减，异根少总程成二体度反分标愈比之志大：一的，如，变则果则异抽抽样程样样本度误愈
解：重复抽样条件下，
V ( x ) 2 10 2 2
n 50
x
n
2 1.41
不重复抽样条件下，
2
V(x)
Nn1021005001.9
n N1 5010010
x 1.91.38
在样本量相同的情况下，不重复抽样的平均误差要小于重复抽 样的平均误差。
第3节 总体平均数和总体比例的估计
抽样估计必须包括三要素：
解：已知 n=100，p＝65% , 1-= 95%
，z/2=1.96
p z 2
p (1 p ) n
65 % 1 .96 65 %( 1 65 %) 100
65 % 9 .35 %
55 .65 %, 74 .35 %
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%~74.35%
差也愈大。
单位数必须增大到4倍。
➢ 抽样单位数的多少。
在其他条件不变的情况下，抽样单位数愈多，抽样 误差愈小；抽样单位数愈少，抽样误差愈大。
➢ 抽样的方法。
在其他条件不变的情况下，重复抽样的抽样误差大 于不重复抽样。
➢ 抽样的组织形式。
例、从某校1000名学生中简单随机抽取50名学生，称得平均体重为50千克， 若已知总体标准差为10千克，计算重复抽样及不重复抽样下抽样平均误 差。
总体分布
.3
.2
Fra Baidu bibliotek.1 0
1
234
均值和方差
N
Xi
X i1 2.5 N
N
(Xi X)2
2 i1
1.25
N
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样
条件下，共有4*4=16个样本。所有样本的结果为
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
例：某厂对一批产品进行质量检验，随机重复抽取样品100只， 样本合格品率为95％，试计算把握程度为90％的合格品率置信 区间。
解：已知n=100，p=95%，1-α=90%，查表得zα/2=1.96
p
P(1P) n
0.95 0.05 100
=0.0218
Δp=zα/2 p =1.96×0.0218=0.0359或3.59% 95%-3.59%=91.41%，95%+3.59%=98.59% 故该批产品合格率的置信区间为（91.41%,98.59%)
所以该保险公司投保人的平均年龄的置信区间为（34.7，46.7）岁。
总体比例的区间估计
在大样本条件下，若np>5，n(1-p)> 5，则样本比例趋 近于正态分布。
对于给定置信度，有
P { p z /2
P ( 1 n P ) P p z /2
P ( 1 P )} 1 n
xz/2 pz/2
例：从某大学学生中随机抽取100名调查体重情况。经称量和计 算，得到平均体重为58千克。根据过去的资料知道大学生体重 的标准差是10千克。在95%的置信水平下，求该大学学生平均体
重的置信区间。
解：已知 x =58，σ=10，zα/2=1.96，n=100
x
n
=10/10=1（千克）
x
z/2
s n x t/2
s} 1 n
s
置信下限 x t/2(n1) n
x t/2置(n信上1)限sn
在大样本下，总体均值的置信区间为
(xt/2(n 1 )
sn,xt/2(n 1 )
s) n
例：某保险公司投保人年龄设某保险公司投保人年龄呈正态分布， 现从中抽取10人，其年龄分别为：32，50，40，24，33，44，45， 48，44，47岁。试以95%的置信水平估计该保险公司投保人的平均
第九章 抽样与抽样估计
第1节 抽样与抽样分布
一、有关抽样的基本概念
总体(Population) 研究对象的全体称为总体
样本（子样）(Sample) 从总体中抽取一部分个体进行试验或观察，这种从总体
中抽取个体的行为称为抽样。而从总体中抽样所得的一部分 个体叫样本 总体参数（Population parameter）
1）估计值 2）估计值的误差范围 3）概率保证程度（置信度）
一、点估计(Point estimate)
点估计也称定值估计，常用点估计方法有矩估计，极大似然 估计。
样本均值是总体均值的点估计量，样本方差s2是总体方差σ2 的点估计量，样本比例p是总体比例P的点估计量。
优良估计量的标准： 无偏性
代表性误差
系统性误差：不随样本量增减而变化 随机误差（抽样误差）：随样本量增大而减小
抽样误差在实际一次调查中是调查不出来的，但其平均值是 可以推算的
抽样平均误差和抽样极限误差
抽样平均误差：所有可能的样本指标与总体指标间的平均 差异程度。
x (xm X)2, p (p m P )2
抽样极限误差
样本指标与总体指标之间允许的误差范围叫抽样极限误 差。也称抽样允许误差。
（2）样本平均数的平均数等于总体平均数
（3）样本平均数的方差等于总体方差除以样本
容量n
2 x
2
n
（4）n越大，样本平均数越趋近于正态分布
例：样本均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
要从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本， 每 次从总体中抽取一个单位，被抽中的单位不再放 回参加下一次抽选，连续进行次便组成样本。 不重复抽样所得样本对总体的代表性较大，抽样误 差较小，所以实践中通常采用不重复抽样。
抽样的组织方式
简单随机抽样：从总体中抽取样本最常用的方法。 从容量为N的总体中进行抽样，如果容量为n 的每个 可能样本被抽到的可能性相等，则称容量为n的样本 为简单随机样本。
总体分布 (population distribution)
X X1 X 2 X N N
X X1 X 2 X N
P N1 N
2
(X i X )2
N
样本分布 (sample distribution)
1. 一个样本中各观察值的分布 2. 也称经验分布
3. 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总
X 2.5
X2
1.250.625 2
大数定律及中心极限定理
不重复抽样：
（1）总体是正态分布，样本必然是正态分布
（2）样本平均数的平均数等于总体平均数
（3）样本平均数的方差等于总体方差除以样本
容量n
x2
2
n
Nn N1
（4）n越大，样本平均数越趋近于正态分布
抽样平均误差 （1）均值 重复抽样：
x
抽样误差：
登记性误差
登记性误差是指在调查和汇总过程中由 于观察、测量、登记、计算等方法的差 错或被调查者提供虚假资料而造成的误 差。任何一种统计调查都可能产生登记 性误差。
误
系统性误差是指由于非随机因素引起的样 本代表性不足而产生的误差，表现为样本 估计量的值系统偏低或偏高。。
差
系统性误差
代表性误差
分层抽样：也称分类抽样或类型抽样，它是按某个 主要标志对总体各单位进行分类，然后从各层中按 随机原则分别抽取一定数目的单位构成样本。
整群抽样：也称丛聚抽样或集团抽样。它是将总体 分为若干部分(每一部分称为一个群)，然后按随机 原则从中一群一群地抽选，对抽中群内的所有单位 进行全面调查。
系统抽样也称机械抽样。它是先将总体单位按一定 顺序排队，计算出抽样间隔（或抽样距离），然后 按固定的顺序和间隔抽取样本单位。
它是样本指标可允许变动的上限或下限与总体指标 之差的绝对值。
即：
X
x
pP p
落在总体均值某一区间内的样本
X
x- 3 x- 2 x-
x X+ X+2 X+ 3
68.27%的样本
95.45% 的样本 99.73% 的样本
大数定律及中心极限定理
重复抽样：
（1）总体是正态分布，样本必然是正态分布
.3 P (X ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
样本均值的抽样分布
样本均值的分布与总体分布的比较
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( X ) 抽样分布
.2
.1
0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
1,4
2
2,1
2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽
样分布
16个样本的均值
第一个 观察值
第二个观察值 1 2 3 4
1 1.0 1.5 2.0 2.5
2 1.5 2.0 2.5 3.0
3 2.0 2.5 3.0 3.5
4 2.5 3.0 3.5 4.0
年龄。 解：
xx40/71040.（ 7 岁） n
s (xx)2 63.14/98.39（ 39岁 7 ） n1
s 8.392 3 82.65(4 岁 ) 4
x
n
10
当置信度为95%时， x
t/2x
=2.2622
2.6544=6.00(岁）
因为40.7-6.00=34.7 40.7+6.00=46.7
x
=1.96×1=1.96（千克）
置信下限为58-1.96=57.04，
置信上限为58+1.96=59.96
故所求置信区间为（57.04，59.96）千克。
（2） 总体方差σ2未知时
由于 T x 1-α，有 s / n
～t(n-1)，对于给定的置信度
P{t/2sx/ nt/2}1
P { x t/2
有效性
一致性
区间估计就是根据样本求出总体未知参数的估计区间，并使其可 靠程度达到预定要求。
（1） 总体方差σ2已知时
由于 有
z x : N(0,1) / n
，所以对于给定的置信度1-α，
P {z 2
x/nz2}1
即
Px z/2
1
n
可见，极限误差的计算公式为
x
z/2
nz/2x
则总体均值的置信区间为 (xx,xx)