《统计学》抽样与抽样估计

（2）样本平均数的平均数等于总体平均数
（3）样本平均数的方差等于总体方差除以样本
容量n
2 x
2
n
（4）n越大，样本平均数越趋近于正态分布
例：样本均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
x
=1.96×1=1.96（千克）
置信下限为58-1.96=57.04，
置信上限为58+1.96=59.96
故所求置信区间为（57.04，59.96）千克。
（2） 总体方差σ2未知时
由于 T x 1-α，有 s / n
～t(n-1)，对于给定的置信度
P{t/2sx/ nt/2}1
P { x t/2
差也愈大。
单位数必须增大到4倍。
➢ 抽样单位数的多少。
在其他条件不变的情况下，抽样单位数愈多，抽样 误差愈小；抽样单位数愈少，抽样误差愈大。
➢ 抽样的方法。
在其他条件不变的情况下，重复抽样的抽样误差大 于不重复抽样。
➢ 抽样的组织形式。
例、从某校1000名学生中简单随机抽取50名学生，称得平均体重为50千克， 若已知总体标准差为10千克，计算重复抽样及不重复抽样下抽样平均误 差。
第九章 抽样与抽样估计
第1节 抽样与抽样分布
一、有关抽样的基本概念
总体(Population) 研究对象的全体称为总体
样本（子样）(Sample) 从总体中抽取一部分个体进行试验或观察，这种从总体
中抽取个体的行为称为抽样。而从总体中抽样所得的一部分 个体叫样本 总体参数（Population parameter）
1,4
2
2,1
2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽
样分布
16个样本的均值
第一个 观察值
第二个观察值 1 2 3 4
1 1.0 1.5 2.0 2.5
2 1.5 2.0 2.5 3.0
3 2.0 2.5 3.0 3.5
4 2.5 3.0 3.5 4.0
分层抽样：也称分类抽样或类型抽样，它是按某个 主要标志对总体各单位进行分类，然后从各层中按 随机原则分别抽取一定数目的单位构成样本。
整群抽样：也称丛聚抽样或集团抽样。它是将总体 分为若干部分(每一部分称为一个群)，然后按随机 原则从中一群一群地抽选，对抽中群内的所有单位 进行全面调查。
系统抽样也称机械抽样。它是先将总体单位按一定 顺序排队，计算出抽样间隔（或抽样距离），然后 按固定的顺序和间隔抽取样本单位。
.3 P (X ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
样本均值的抽样分布
样本均值的分布与总体分布的比较
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( X ) 抽样分布
.2
.1
0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
解：重复抽样条件下，
V ( x ) 2 10 2 2
n 50
x
n
2 1.41
不重复抽样条件下，
2
V(x)
Nn1021005001.9
n N1 5010010
x 1.91.38
在样本量相同的情况下，不重复抽样的平均误差要小于重复抽 样的平均误差。
第3节 总体平均数和总体比例的估计
抽样估计必须包括三要素：
s n x t/2
s} 1 n
s
置信下限 x t/2(n1) n
x t/2置(n信上1)限sn
在大样本下，总体均值的置信区间为
(xt/2(n 1 )
sn,xt/2(n 1 )
s) n
例：某保险公司投保人年龄设某保险公司投保人年龄呈正态分布， 现从中抽取10人，其年龄分别为：32，50，40，24，33，44，45， 48，44，47岁。试以95%的置信水平估计该保险公司投保人的平均
抽样误差：
登记性误差
登记性误差是指在调查和汇总过程中由 于观察、测量、登记、计算等方法的差 错或被调查者提供虚假资料而造成的误 差。任何一种统计调查都可能产生登记 性误差。
误
系统性误差是指由于非随机因素引起的样 本代表性不足而产生的误差，表现为样本 估计量的值系统偏低或偏高。。
差
系统性误差
代表性误差
1）估计值 2）估计值的误差范围 3）概率保证程度（置信度）
一、点估计(Point estimate)
点估计也称定值估计，常用点估计方法有矩估计，极大似然 估计。
样本均值是总体均值的点估计量，样本方差s2是总体方差σ2 的点估计量，样本比例p是总体比例P的点估计量。
优良估计量的标准： 无偏性
P(1P) n
总体比例的置信区间为
P (1P )
P (1P )
(pz/2
n ,pz/2
) n
小样本条件下，不作介绍。
例：总体比例的区间估计
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机抽取了 100 个 下 岗 职 工 ， 其 中 65 人 为 女 性职工。试以 95% 的 置 信 水 平 估计该城市下岗 职工中女性比例 的置信区间
X 2.5
X2
1.250.625 2
大数定律及中心极限定理
不重复抽样：
（1）总体是正态分布，样本必然是正态分布
（2）样本平均数的平均数等于总体平均数
（3）样本平均数的方差等于总体方差除以样本
容量n
x2
2
n
Nn N1
（4）n越大，样本平均数越趋近于正态分布
抽样平均误差 （1）均值 重复抽样：
x
它是样本指标可允许变动的上限或下限与总体指标 之差的绝对值。
即：
X
x
pP p
落在总体均值某一区间内的样本
X
x- 3 x- 2 x-
x X+ X+2 X+ 3
68.27%的样本
95.45% 的样本 99.73% 的样本
大数定律及中心极限定理
重复抽样：
（1）总体是正态分布，样本必然是正态分布
描述总体分布特征的数值 样本统计量（Sample statistic）
抽样方法
重置抽样（重复抽样）(Sampling with replacement) 要从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，
每次从总体中抽取一个单位，把顺序号登记下来之后， 重新放回参加下一次抽选，连续反复抽取n次组成所 要求容量的样本。 不重置抽样（不重复抽样）(Sampling without replacement)
有效性
一致性
区间估计就是根据样本求出总体未知参数的估计区间，并使其可 靠程度达到预定要求。
（1） 总体方差σ2已知时
由于 有
z x : N(0,1) / n
，所以对于给定的置信度1-α，
P {z 2
x/nz2}1
即
Px z/2
1
n
可见，极限误差的计算公式为
x
z/2
nz/2x
则总体均值的置信区间为 (xx,xx)
要从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本， 每 次从总体中抽取一个单位，被抽中的单位不再放 回参加下一次抽选，连续进行次便组成样本。 不重复抽样所得样本对总体的代表性较大，抽样误 差较小，所以实践中通常采用不重复抽样。
抽样的组织方式
简单随机抽样：从总体中抽取样本最常用的方法。 从容量为N的总体中进行抽样，如果容量为n 的每个 可能样本被抽到的可能性相等，则称容量为n的样本 为简单随机样本。
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
均值和方差
N
Xi
X i1 2.5 N
N
(Xi X)2
2 i1
1.25
N
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样
条件下，共有4*4=16个样本。所有样本的结果为
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
所以该保险公司投保人的平均年龄的置信区间为（34.7，46.7）岁。
总体比例的区间估计
在大样本条件下，若np>5，n(1-p)> 5，则样本比例趋 近于正态分布。
对于给定置信度，有
P { p z /2
P ( 1 n P ) P p z /2
P ( 1 P )} 1 n
xz/2 pz/2
第5节 样本容量的确定
在重复抽样下，
x
z/ 2
n
所以，必要抽样单位数
p z/2
P(1P) n
n
z
2
/
2
2
2
x
n z2/ 2P(1 P) 2p
在不重复抽样下，必要抽样单位数
n
Nz2/ 2 2
N2 x
z2/ 22
n
Nz2/2P(1P) N2p z2/2P(1P)
例：某市进行职工家庭生活费抽样调查，已知职工家庭平均每 人每月生活费收入的标准差为110元，允许误差范围10元，概率 把握程度95%，试确定应抽选的户数。 解：
例：从某大学学生中随机抽取100名调查体重情况。经称量和计 算，得到平均体重为58千克。根据过去的资料知道大学生体重 的标准差是10千克。在95%的置信水平下，求该大学学生平均体