集合的概念及其运算

第一节 集合

一．考试要求：

理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。

二．基本概念和性质

1．集合的基本概念：

某些指定的对象集在一起成为一个集合。其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。

2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来

表示集合要具体问题具体分析。

3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。

4．集合间的关系及运算

子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____;

真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____;

空集：____________________,记为_____

补集：如果已知全集U ，集合A U ⊆，则U C A =_________________;

交集：A B =___________________;并集：A

B =_____________________

5.集合中常用运算性质 若,A B B A ⊆⊆则______，若,A B B C ⊆⊆则_______, ___A ∅,

若,A ≠∅则___A ∅，___,__,__,__A A A A A A =∅==∅=

__U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B ===

____A B A B A B ⊆⇔=⇔=

6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合：

{}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________

(3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________

x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈

7．特别注意：

（1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。

（2）为了直观表示集合之间的关系，常用韦恩图来解决问题，另外要充分利用数轴和平面

直角坐标系来反映集合及其关系。

（3）解决有关集合问题，关键在于集合语言的转化。

三、例题选讲

题型1：集合与元素之间的关系

例1：已知集合{}22,2A a a =+，若3A ∈，则a 的值为____________。

2、已知集合{}{}(,)|2,,(,)|2,x A x y y x R B x y y x x R ==∈==∈，则A B 的元素数目为__________。

3、(2012年山东卷）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________。

巩固练习：

（1）已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈则a=____

（2）设P 、Q 为两个非空数集，定义集合{}|,P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{}{}0,2,5,1,2,6P Q ==则P Q +中元素的个数为__________。

（3）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之积为________。

例2：已知集合{}

2|320,A x R ax x a R =∈-+=∈。

（1） 若A 是空集，求a 的取值范围；

（2） 若A 中只有一个元素，求求a 的取值范围，并将集合A 写出来；

（3） 若A 中到多有一个元素，求a 的取值范围。

题型2：集合之间的关系

例3：已知11|.,|.,623b A x x a a Z B x x b Z ⎧

⎫⎧⎫==+∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

1|.26c C x x c Z ⎧⎫==

+∈⎨⎬⎩⎭

，则A____B_____C(用符号,,,∈⊂⊃=填空)。

巩固练习：

已知集合{}{}{}

111|,,|,,|,26623n p M x x m m Z N x x n Z P x x p Z ==+∈==-∈==+∈，则M 、N 、P 之间的关系是_________；

例4：设集合{}{}21,,,,,A a b B a a ab ==，且A=B ，求；实数,a b 的值。

巩固练习：1、已知A={a ，a+d ，a+2d}，，若A=B ，求q 的值。

2、若{}{}22|,(,)|A y y x B x y y x ====，则A

B =_______。

例5：{}{}222|40,|2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，

（1）若A

B B =，求a 的值；（2）若A B B =，求a 的值。

巩固练习：已知{}{}2|60,|09A x x x B x x m =--<<-<①若A

B B =，则m 的取值范围是____

②若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是______________.

},,{2aq aq a B =