集合的概念及其运算

第一节 集合
一．考试要求：
理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。

二．基本概念和性质
1．集合的基本概念：
某些指定的对象集在一起成为一个集合。

其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。

2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来
表示集合要具体问题具体分析。

3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。

4．集合间的关系及运算
子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____;
真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____;
空集：____________________,记为_____
补集：如果已知全集U ，集合A U ⊆，则U C A =_________________;
交集：A B =___________________;并集：A
B =_____________________
5.集合中常用运算性质 若,A B B A ⊆⊆则______，若,A B B C ⊆⊆则_______, ___A ∅,
若,A ≠∅则___A ∅，___,__,__,__A A A A A A =∅==∅=
__U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B ===
____A B A B A B ⊆⇔=⇔=
6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合：
{}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________
(3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________
x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈
7．特别注意：
（1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。

（2）为了直观表示集合之间的关系，常用韦恩图来解决问题，另外要充分利用数轴和平面
直角坐标系来反映集合及其关系。

（3）解决有关集合问题，关键在于集合语言的转化。

三、例题选讲
题型1：集合与元素之间的关系
例1：已知集合{}22,2A a a =+，若3A ∈，则a 的值为____________。

2、已知集合{}{}(,)|2,,(,)|2,x A x y y x R B x y y x x R ==∈==∈，则A B 的元素数目为__________。

3、(2012年山东卷）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________。

巩固练习：
（1）已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈则a=____
（2）设P 、Q 为两个非空数集，定义集合{}|,P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{}{}0,2,5,1,2,6P Q ==则P Q +中元素的个数为__________。

（3）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之积为________。

例2：已知集合{}
2|320,A x R ax x a R =∈-+=∈。

（1） 若A 是空集，求a 的取值范围；
（2） 若A 中只有一个元素，求求a 的取值范围，并将集合A 写出来；
（3） 若A 中到多有一个元素，求a 的取值范围。

题型2：集合之间的关系
例3：已知11|.,|.,623b A x x a a Z B x x b Z ⎧
⎫⎧⎫==+∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
1|.26c C x x c Z ⎧⎫==
+∈⎨⎬⎩⎭
，则A____B_____C(用符号,,,∈⊂⊃=填空)。

巩固练习：
已知集合{}{}{}
111|,,|,,|,26623n p M x x m m Z N x x n Z P x x p Z ==+∈==-∈==+∈，则M 、N 、P 之间的关系是_________；
例4：设集合{}{}21,,,,,A a b B a a ab ==，且A=B ，求；实数,a b 的值。

巩固练习：1、已知A={a ，a+d ，a+2d}，，若A=B ，求q 的值。

2、若{}{}22|,(,)|A y y x B x y y x ====，则A
B =_______。

例5：{}{}222|40,|2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，
（1）若A
B B =，求a 的值；（2）若A B B =，求a 的值。

巩固练习：已知{}{}2|60,|09A x x x B x x m =--<<-<①若A
B B =，则m 的取值范围是____
②若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是______________.
},,{2aq aq a B =
题型3：数形结合类：
例6：（1）、如图1-1-1，I 是全集，M ，P ，S 是I 的3个子集，
那么阴影部分所表示的集合是_________。

（2）、已知{}{}2(,)|9,(,)|,A x y y x B x y y x m ==-==+且A
B =∅，求实数m 的取值范围。

（3）、已知{}{}(,)|1,(,)|||,A x y y ax B x y y x ==+==若A
B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是_____________。

巩固练习：
已知集合{}{}2(,)|2,(,)|9P x y y x b Q x y y x
==+==-若P Q 恰有4个子集，求实数b 的取值范
围是________________。

题型4：新概念集合类问题
例7：设集合31|,|43M x m x m N x n x n ⎧
⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，且M ，N 都是集合{}|01x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，则集合M
N 的“长度”最小值为_____。

巩固练习：
（1） 设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈
P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧
∩N Q ∧)∪(Q ∧
∩N P ∧
)＝_____________。

（2） 非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈都有;(2)a b G ⊕∈存在e G ∈，使得
对一切a G ∈，都有,a e e a a ⊕=⊕=则称G 关于运算⊕为“融洽集”，现给出下列集合运算：（1）{},G =⊕非负整数为整数的加法；（2）{}
,G =⊕偶数为整数的乘法；（3）
{},G =⊕平面向量为平面的加法；
（4）{},G =⊕二次二项式为多项式的加法；（5）{},G =⊕虚数为复数的乘法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”是____________。

（填序号）。