数学 反比例函数的专项 培优练习题附答案

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数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及答案

数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图.一次函数y=x+b的图象经过点B(﹣1,0),且与反比例函数(k为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1,n).求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)当1≤x≤6时,反比例函数y的取值范围.【答案】(1)解:把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b得: 0=﹣1+b,∴b=1,∴一次函数解析式为:y=x+1,∵点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,∴n=1+1,∴n=2,∴点A的坐标是(1,2).∵反比例函数的图象过点A(1,2).∴k=1×2=2,∴反比例函数关系式是:y=(2)解:反比例函数y= ,当x>0时,y随x的增大而减少,而当x=1时,y=2,当x=6时,y= ,∴当1≤x≤6时,反比例函数y的值:≤y≤2【解析】【分析】(1)根据题意首先把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式,又点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,再利用一次函数解析式求出点A的坐标,然后利用代入系数法求出反比例函数解析式,(2)根据反比例函数的性质分别求出当x=1,x=6时的y值,即可得到答案.2.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,m)和B(﹣8,﹣2),与y轴交于点C.(1)m=________,k1=________;(2)当x的取值是________时,k1x+b>;(3)过点A作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段AD交于点E,当S四边形ODAC:S△ODE=3:1时,求点P的坐标.【答案】(1)4;(2)﹣8<x<0或x>4(3)解:由(1)知,y1= x+2与反比例函数y2= ,∴点C的坐标是(0,2),点A 的坐标是(4,4).∴CO=2,AD=OD=4.∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12,∵S四边形ODAC:S△ODE=3:1,∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4,即OD•DE=4,∴DE=2.∴点E的坐标为(4,2).又点E在直线OP上,∴直线OP的解析式是y= x,∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4 ,2 ).【解析】【解答】解:(1)∵反比例函数y2= 的图象过点B(﹣8,﹣2),∴k2=(﹣8)×(﹣2)=16,即反比例函数解析式为y2= ,将点A(4,m)代入y2= ,得:m=4,即点A(4,4),将点A(4,4)、B(﹣8,﹣2)代入y1=k1x+b,得:,解得:,∴一次函数解析式为y1= x+2,故答案为:4,;(2)∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,4)和B(﹣8,﹣2),∴当y1>y2时,x的取值范围是﹣8<x<0或x>4,故答案为:﹣8<x<0或x>4;【分析】(1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点,将B坐标代入反比例函数解析式中,求出k2的值,确定出反比例解析式,再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值,确定出A的坐标,将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值;(2)由A与B 横坐标分别为4、﹣8,加上0,将x轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可;(3)先求出四边形ODAC的面积,由S四边形ODAC:S△ODE=3:1得到△ODE的面积,继而求得点E的坐标,从而得出直线OP的解析式,结合反比例函数解析式即可得.3.如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A (﹣1,a),B(b,1)两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标;(3)求△PAB的面积.【答案】(1)解:当x=﹣1时,a=x+4=3,∴点A的坐标为(﹣1,3).将点A(﹣1,3)代入y= 中,3= ,解得:k=﹣3,∴反比例函数的表达式为y=﹣(2)解:当y=b+4=1时,b=﹣3,∴点B的坐标为(﹣3,1).作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,如图所示.∵点B的坐标为(﹣3,1),∴点D的坐标为(﹣3,﹣1).设直线AD的函数表达式为y=mx+n,将点A(﹣1,3)、D(﹣3,﹣1)代入y=mx+n中,,解得:,∴直线AD的函数表达式为y=2x+5.当y=2x+5=0时,x=﹣,∴点P的坐标为(﹣,0)(3)解:S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】(1)由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标,根据点A的坐标利用待定系数法,即可求出反比例函数的表达式;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,由点B的坐标可得出点D的坐标,根据点A、D的坐标利用待定系数法,即可求出直线AB的函数表达式,再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;(3)根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP,即可得出结论.4.如图,已知直线y=ax+b与双曲线y= (x>0)交于A(x1, y1),B(x2, y2)两点(A与B不重合),直线AB与x轴交于P(x0,0),与y轴交于点C.(1)若A,B两点坐标分别为(1,3),(3,y2),求点P的坐标.(2)若b=y1+1,点P的坐标为(6,0),且AB=BP,求A,B两点的坐标.(3)结合(1),(2)中的结果,猜想并用等式表示x1,x2,x0之间的关系(不要求证明).【答案】(1)解:∵直线y=ax+b与双曲线y= (x>0)交于A(1,3),∴k=1×3=3,∴y= ,∵B(3,y2)在反比例函数的图象上,∴y2= =1,∴B(3,1),∵直线y=ax+b经过A、B两点,∴解得,∴直线为y=﹣x+4,令y=0,则x=4,∴P(4,O)(2)解:如图,作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y轴于G,AE、BG 交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,∴= ,= = ,∵b=y1+1,AB=BP,∴= ,= = ,∴B(,y1)∵A,B两点都是反比例函数图象上的点,∴x1•y1= • y1,解得x1=2,代入= ,解得y1=2,∴A(2,2),B(4,1)(3)解:根据(1),(2)中的结果,猜想:x1, x2, x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】(1)先把A(1,3)),B(3,y2)代入y= 求得反比例函数的解析式,进而求得B的坐标,然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式,继而即可求得P的坐标;(2)作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y轴于G,AE、BG交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,得出 = , = = ,根据题意得出 = , = = ,从而求得B(, y1),然后根据k=xy得出x1•y1= • y1,求得x1=2,代入 = ,解得y1=2,即可求得A、B的坐标;(3)合(1),(2)中的结果,猜想x1+x2=x0.5.已知:如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C(3,1)(1)试确定上述比例函数和反比例函数的表达式;(2)根据图象回答,在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值?(3)点D(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3,过点C作直线AC⊥x 轴于点A,交OD的延长线于点B;若点D是OB的中点,DE⊥x轴于点E,交OC于点F,试求四边形DFCB的面积.【答案】(1)解:将点C(3,1)分别代入y= 和y=ax,得:k=3,a= ,∴反比例函数解析式为y= ,正比例函数解析式为y= x;(2)解:观察图象可知,在第二象限内,当0<x<3时,反比例函数值大于正比例函数值;(3)解:∵点D(m,n)是OB的中点,又在反比例函数y= 上,∴OE= OA= ,点D(,2),∴点B(3,4),又∵点F在正比例函数y= x图象上,∴F(,),∴DF= 、BC=3、EA= ,∴四边形DFCB的面积为 ×( +3)× = .【解析】【分析】(1)利用待定系数法把C坐标代入解析式即可;(2)须数形结合,先找出交点,在交点的左侧与y轴之间,反比例函数值大于正比例函数值.(3)求出DF、BC、EA,代入梯形面积公式即可.6.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(3,).(1)求反比例函数的表达式和m的值;(2)将矩形OABC的进行折叠,使点O于点D重合,折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F,G,求折痕FG所在直线的函数关系式.【答案】(1)解:∵反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点E(3,),∴k=3× =2,∴反比例函数的表达式为y= .又∵点D(m,2)在反比例函数y= 的图象上,∴2m=2,解得:m=1(2)解:设OG=x,则CG=OC﹣OG=2﹣x,∵点D(1,2),∴CD=1.在Rt△CDG中,∠DCG=90°,CG=2﹣x,CD=1,DG=OG=x,∴CD2+CG2=DG2,即1+(2﹣x)2=x2,解得:x= ,∴点G(0,).过点F作FH⊥CB于点H,如图所示.由折叠的特性可知:∠GDF=∠GOF=90°,OG=DG,OF=DF.∵∠CGD+∠CDG=90°,∠CDG+∠HDF=90°,∴∠CGD=∠HDF,∵∠DCG=∠FHD=90°,∴△GCD∽△DHF,∴=2,∴DF=2GD= ,∴点F的坐标为(,0).设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b,∴有,解得:.∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+【解析】【分析】(1)由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值,再由点B在反比例函数图象上,代入即可求出m值;(2)设OG=x,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解方程即可求出x值,从而得出点G的坐标.再过点F作FH⊥CB于点H,由此可得出△GCD∽△DHF,根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度,从而得出点F的坐标,结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论.7.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.(1)分别求出当2≤x≤4时,三个函数:y=2x+1,y= ,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)若y= 的值不大于2,求符合条件的x的范围;(3)若y= ,当a≤x≤2时既无最大值,又无最小值,求a的取值范围;(4)y=2(x﹣m)2+m﹣2,当2≤x≤4时有最小值为1,求m的值.【答案】(1)解:y=2x+1中k=2>0,∴y随x的增大而增大,∴当x=2时,y最小=5;当x=4时,y最大=9.∵y= 中k=2>0,∴在2≤x≤4中,y随x的增大而减小,∴当x=2时,y最大=1;当x=4时,y最小= .∵y=2(x﹣1)2+1中a=2>0,且抛物线的对称轴为x=1,∴当x=1时,y最小=1;当x=4时,y最大=19(2)解:令y= ≤2,解得:x<0或x≥1.∴符合条件的x的范围为x<0或x≥1(3)解:①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0(4)解:①当m<2时,有2(2﹣m)2+m﹣2=1,解得:m1=1,m2= (舍去);②当2≤m≤4时,有m﹣2=1,解得:m3=3;③当m>4时,有2(4﹣m)2+m﹣2=1,整理得:2m2﹣15m+29=0.∵△=(﹣15)2﹣4×2×29=﹣7,无解.∴m的值为1或3.①当k>0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y= 无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,∴当k<0,a<0时,此时,y= 既无最大值,又无最小值,综上所述,a的取值范围是a<0;【解析】【分析】(1)根据k=2>0结合一次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2x+1的最大值和最小值;根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出:当2≤x≤4时,y=2(x﹣1)2+1的最大值和最小值;(2)令y= ≤2,解之即可得出x的取值范围;(3)①当k>0时,如图得当0<x≤2时,得到y= 无最大值,有最小值,同理当a<0时,且a≤x<0时,得到y≤ 有最大值,无最小值,②当k<0时,如图得当0<x≤2时,y=无最小值,有最大值,同理当a<0时,且a≤x<0时,y≤ 有最小值,无最大值,于是得到结论;(4)分m<2、2≤m≤4和m>4三种情况考虑,根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程(一元一次方程),解之即可得出结论.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n),线段OA=5,E为x轴负半轴上一点,且sin∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.【答案】(1)解:作AD⊥x轴于D,如图,在Rt△OAD中,∵sin∠AOD= = ,∴AD= OA=4,∴OD= =3,∴A(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y= 得m=﹣4×3=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;把B(6,n)代入y=﹣得6n=﹣12,解得n=﹣2,把A(﹣3,4)、B(6,﹣2)分别代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2(2)解:当y=0时,﹣x+2=0,解得x=3,则C(3,0),所以S△AOC= ×4×3=6(3)解:当x<﹣3或0<x<6时,一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD⊥x轴于D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣3,4),再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12,则可得到反比例函数解析式;接着把B(6,n)代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组,再解方程组求出a和b的值,从而可确定一次函数解析式;(2)先确定C点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在x轴负半轴上,顶点在轴正半轴上,顶点B在第一象限,线段,的长是一元二次方程的两根,,.(1)直接写出点的坐标________点 C的坐标________;(2)若反比例函数的图象经过点,求k的值;(3)如图过点作轴于点;在轴上是否存在点,使以,,为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似?若存在,直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)解:如图,过点作,垂足为,∵,∴,设,∵ =12,∴EC=12-x,在RtΔBEC中,,∴整理得:,解得:(不合题意舍去),,∴,,∴,把代入,得(3)解:存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=2或OP=6,∴P(0,2)或P(0,6);如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=12,∴P(0,12);如图4,若点P在OD上方,△BDP∽△AOP,则,即,解得:OP=4+2 或OP=4-2 (不合题意舍去),∴P(0,4+2 );如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=-4+2 或-4-2 (不合题意舍去),则P点坐标为(0,4-2 )故点的坐标为:或或或或【解析】【解答】解:(1)解一元二次方程,解得:,所以,所以,;【分析】(1)首先利用直接开平方法求出方程的两根,从而得出OA=OC=6,进而得出A,C两点的坐标;(2)如图,过点作,垂足为,根据等腰直角三角形的性质得出,设,EC=12-x,在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程,求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标,然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(3)存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解即可得出P点的坐标;如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标;如图4,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P 点的坐标;如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标,综上所述即可得出答案。

人教【数学】数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含详细答案

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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(﹣2,3)和点B(m,﹣2).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)直线x=1上有一点P,反比例函数图象上有一点Q,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,直接写出点Q的坐标.【答案】(1)解:∵点A(﹣2,3)在反比例函数y= 的图形上,∴k=﹣2×3=﹣6,∴反比例函数的解析式为y=﹣,∵点B在反比例函数y=﹣的图形上,∴﹣2m=﹣6,∴m=3,∴B(3,﹣2),∵点A,B在直线y=ax+b的图象上,∴,∴,∴一次函数的解析式为y=﹣x+1(2)解:∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,∴AB=PQ,AB∥PQ,设直线PQ的解析式为y=﹣x+c,设点Q(n,﹣),∴﹣ =﹣n+c,∴c=n﹣,∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣,∴P(1,n﹣﹣1),∴PQ2=(n﹣1)2+(n﹣﹣1+ )2=2(n﹣1)2,∵A(﹣2,3).B(3,﹣2),∴AB2=50,∵AB=PQ,∴50=2(n﹣1)2,∴n=﹣4或6,∴Q(﹣4. )或(6,﹣1)【解析】【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点B的坐标,再用待定系数法求出直线解析式;(2)先判断出AB=PQ,AB∥PQ,设出点Q的坐标,进而得出点P的坐标,即可求出PQ,最后用PQ=AB建立方程即可得出结论.2.已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,将点P向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上.(1)k的值是________;(2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CE⊥x轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为△OAB的面积,若 = ,则b的值是________.【答案】(1)﹣2(2)3【解析】【解答】解:(1)设点P的坐标为(m,n),则点Q的坐标为(m﹣1,n+2),依题意得:,解得:k=﹣2.故答案为:﹣2.(2)∵BO⊥x轴,CE⊥x轴,∴BO∥CE,∴△AOB∽△AEC.又∵ = ,∴ = = .令一次函数y=﹣2x+b中x=0,则y=b,∴BO=b;令一次函数y=﹣2x+b中y=0,则0=﹣2x+b,解得:x= ,即AO= .∵△AOB∽△AEC,且 = ,∴.∴AE= AO= b,CE= BO= b,OE=AE﹣AO= b.∵OE•CE=|﹣4|=4,即 b2=4,解得:b=3 ,或b=﹣3 (舍去).故答案为:3 .【分析】(1)设出点P的坐标,根据平移的特性写出Q点的坐标,由点P,Q均在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组,两式作差即可求出k的值;(2)由BO⊥x轴,CE⊥x轴,找出△AOB∽△AEC.再由给定图形的面积比即可求出==,根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长,利用OE=AE﹣AO求出OE的长,再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程,解方程即可得出结论。

中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)及答案

中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)及答案

中考数学反比例函数培优练习(含答案)及答案一、反比例函数1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图1,把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y= ,得k=4.解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),则点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.设直线AP的解析式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,求得直线AP的解析式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15;(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),∴H(m,0),∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,∴MH=NH,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形;(3)解:∠PAQ=∠PBQ.理由如下:过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有,解得:,∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.当y=0时, x+ ﹣1=0,解得:x=c﹣4,∴D(c﹣4,0).同理可得E(c+4,0),∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,∴DT=ET,∴QT垂直平分DE,∴QD=QE,∴∠QDE=∠QED.∵∠MDA=∠QDE,∴∠MDA=∠QED.∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,∴∠PAQ=∠PBQ.【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.2.如图,平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线y= (k≠0)(x>0)相交于点A、C,与x轴相交于点B、D,连接AC.已知点A、B的刻度分别为5,2(单位:cm),直尺的宽度为2cm,OB=2cm.(1)求k的值;(2)求经过A、C两点的直线的解析式;(3)连接OA、OC,求△OAC的面积.【答案】(1)解:∵AB=5﹣2=3cm,OB=2cm,∴A的坐标是(2,3),代入y= 得3= ,解得:k=6(2)解:OD=2+2=4,在y= 中令x=4,解得y= .则C的坐标是(4,).设AC的解析式是y=mx+n,根据题意得:,解得:,则直线AC的解析式是y=﹣ x+(3)解:直角△AOB中,OB=2,AB=3,则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3;直角△ODC中,OD=4,CD= ,则S△OCD= OD•CD= ×4× =3.在直角梯形ABDC中,BD=2,AB=3,CD= ,则S梯形ABDC= (AB+DC)•BD= (3+ )×2= .则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】(1)首先求得A的坐标,然后利用待定系数法求得函数的解析式;(2)首先求得C的坐标,然后利用待定系数法求得直线的解析式;(3)根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解.3.如图,已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= (x<0)的图象交于点A(﹣1,2)和点B,点C在y轴上.(1)当△ABC的周长最小时,求点C的坐标;(2)当 x+b<时,请直接写出x的取值范围.【答案】(1)解:作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点C,此时点C即是所求,如图所示.∵反比例函数y= (x<0)的图象过点A(﹣1,2),∴k=﹣1×2=﹣2,∴反比例函数解析式为y=﹣(x<0);∵一次函数y= x+b的图象过点A(﹣1,2),∴2=﹣ +b,解得:b= ,∴一次函数解析式为y= x+ .联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组:,解得:,或,∴点A的坐标为(﹣1,2)、点B的坐标为(﹣4,).∵点A′与点A关于y轴对称,∴点A′的坐标为(1,2),设直线A′B的解析式为y=mx+n,则有,解得:,∴直线A′B的解析式为y= x+ .令y= x+ 中x=0,则y= ,∴点C的坐标为(0,)(2)解:观察函数图象,发现:当x<﹣4或﹣1<x<0时,一次函数图象在反比例函数图象下方,∴当 x+ <﹣时,x的取值范围为x<﹣4或﹣1<x<0【解析】【分析】(1)作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点C,此时点C即是所求.由点A为一次函数与反比例函数的交点,利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式,联立两函数解析式成方程组,解方程组即可求出点A、B的坐标,再根据点A′与点A关于y轴对称,求出点A′的坐标,设出直线A′B的解析式为y=mx+n,结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式,令直线A′B解析式中x为0,求出y的值,即可得出结论;(2)根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标,即可得出不等式的解集.4.如图,已知直线y= x与双曲线y=交于A、B两点,且点A的横坐标为 .(1)求k的值;(2)若双曲线y=上点C的纵坐标为3,求△AOC的面积;(3)在坐标轴上有一点M,在直线AB上有一点P,在双曲线y=上有一点N,若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形,请写出所有满足条件的点P的坐标.【答案】(1)解:把x= 代入,得y= ,∴A(,1),把点代入,解得:;(2)解:∵把y=3代入函数,得x= ,∴C ,设过,两点的直线方程为:,把点,,代入得:,解得:,∴,设与轴交点为,则点坐标为,∴;(3)解:设点坐标,由直线解析式可知,直线与轴正半轴夹角为,∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形,在直线上,∴点只能在轴上,∴点的横坐标为,代入,解得纵坐标为:,根据,即得:,解得: .故点坐标为:或 .【解析】【分析】(1)先求的A点纵坐标,然后用待定系数法求解即可;(2)先求出C 点坐标,再用待定系数法求的直线AC的解析式,然后求得直线AC与x的交点坐标,再根据求解即可;(3)设点坐标,根据题意用关于a的式子表示出N的坐标,再根据菱形的性质得,求出a的值即可.5.如图①所示,双曲线y= (k≠0)与抛物线y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三点,已知B(4,2),C(-2,-4),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E.(1)求双曲线和抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图②所示,过点B作直线L⊥OB,过点D作DF⊥L于F,BD与OF交于点P,求的值.【答案】(1)解:把B(4,2)代人y= (k≠0)得2= 元,解得k=8z,∴双曲线的解析式为y= ,把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得,,∴,∴抛物线的解析式为y=(2)解:连接DB,∵C(-2,-4),∴直线OC的解析式为y=2x且与y= 的另一个交点D(2,4),∴由两点间距离公式得BC= ,DB= ,CD= ,∴BC2+DB2=CD2,∴∠CBD=90°,∴tan∠ BDC= .∵∠POE+∠BCD=90°,∠BCD+∠BDC=90°,∴∠POE=∠BDC.即tan∠POE=3.∴P在直线y=3x或y=-3x上,故有两种情况:解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍);,解得(0,0)(舍)或(18,-54),故可得出满足条件的P点有一个(18,-54);(3)解:由B(4,2)可得直线OB解析式y= ,由OB⊥l可得l的解析式为y=-2x+b1,把(4,2)代入求出b1=10,∴l的解析式为y=-2x+10,由DF⊥l, OB⊥l可得DF∥OB,∴可设DF解析式y= x+b2,把D(2,4)代入得b2=3.∴DF的解析式为y= x+3,把DF的解析式与l的解析式联立可得:解得:∴,∴DF= ,OB=.∵DF∥OB,∴【解析】【分析】(1)因为双曲线与抛物线交于点A、B、C,且B(4,2),C(-2,-4),所以用待定系数法即可求得两个函数的解析式;(2)连接DB,因为直线CO与双曲线交于点D,所以C、D两点关于原点成中心对称,所以点D(2,4),则可将BC、CD、BD放在直角三角形中,用勾股定理求得这三边的长,然后计算可得,由勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°,则∠BDC的正切值可求出来,由已知条件∠POE+∠BCD=90°可得∠BDC=∠POE,则tan∠BDC=tan∠POE,点P所在的直线解析式可得,将点P所在的直线解析式与抛物线的解析式联立解方程组,即可求得点P的坐标;(3)由题意直线L⊥OB,根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数易求得直线l的解析式,因为DF⊥L于F,所以同理可求得直线DF的解析式,把DF的解析式与l的解析式联立可得点F的坐标,则DF和OB的长可用勾股定理求得,因为DF∥OB,所以由平行线分线段成比例定理可得比例式;,将DF和OB的值代入即可求解。

九年级数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附详细答案

九年级数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附详细答案

九年级数学反比例函数的专项培优易错难题练习题(含答案)附详细答案一、反比例函数1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图1,把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y= ,得k=4.解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),则点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.设直线AP的解析式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,求得直线AP的解析式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15;(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),∴H(m,0),∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,∴MH=NH,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形;(3)解:∠PAQ=∠PBQ.理由如下:过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有,解得:,∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.当y=0时, x+ ﹣1=0,解得:x=c﹣4,∴D(c﹣4,0).同理可得E(c+4,0),∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,∴DT=ET,∴QT垂直平分DE,∴QD=QE,∴∠QDE=∠QED.∵∠MDA=∠QDE,∴∠MDA=∠QED.∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,∴∠PAQ=∠PBQ.【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.2.已知反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1).(1)试确定此反比例函数的解析式;(2)点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB.判断点B是否在此反比例函数的图象上,并说明理由;(3)已知点P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m<0),过P点作x轴的垂线,交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2﹣2 n+9的值.【答案】(1)解:由题意得1= ,解得k=﹣,∴反比例函数的解析式为y=﹣(2)解:过点A作x轴的垂线交x轴于点C.在Rt△AOC中,OC= ,AC=1,∴OA= =2,∠AOC=30°,∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,∴∠AOB=30°,OB=OA=2,∴∠BOC=60°.过点B作x轴的垂线交x轴于点D.在Rt△BOD中,BD=OB•sin∠BOD= ,OD= OB=1,∴B点坐标为(﹣1,),将x=﹣1代入y=﹣中,得y= ,∴点B(﹣1,)在反比例函数y=﹣的图象上(3)解:由y=﹣得xy=﹣,∵点P(m, m+6)在反比例函数y=﹣的图象上,其中m<0,∴m( m+6)=﹣,∴m2+2 m+1=0,∵PQ⊥x轴,∴Q点的坐标为(m,n).∵△OQM的面积是,∴OM•QM= ,∵m<0,∴mn=﹣1,∴m2n2+2 mn2+n2=0,∴n2﹣2 n=﹣1,∴n2﹣2 n+9=8.【解析】【分析】(1)由于反比例函数y= 的图象经过点A(﹣,1),运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式;(2)首先由点A的坐标,可求出OA的长度,∠AOC的大小,然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°,OB=OA,再求出点B的坐标,进而判断点B是否在此反比例函数的图象上;(3)把点P(m, m+6)代入反比例函数的解析式,得到关于m的一元二次方程;根据题意,可得Q点的坐标为(m,n),再由△OQM的面积是,根据三角形的面积公式及m<0,得出mn的值,最后将所求的代数式变形,把mn的值代入,即可求出n2﹣2 n+9的值.3.心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指标数y 随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分):(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?(2)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?【答案】(1)解:设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20,把B(10,40)代入得,k1=2,∴y1=2x+20.设C、D所在双曲线的解析式为y2= ,把C(25,40)代入得,k2=1000,∴当x1=5时,y1=2×5+20=30,当,∴y1<y2∴第30分钟注意力更集中.(2)解:令y1=36,∴36=2x+20,∴x1=8令y2=36,∴,∴∵27.8﹣8=19.8>19,∴经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.【解析】【分析】(1)根据一次函数和反比例函数的应用,用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式,和C、D所在双曲线的解析式;把x1=5时和进行比较得到y1<y2,得出第30分钟注意力更集中;(2)当y1=36时,得到x1=8,当y2=36,得到,由27.8﹣8=19.8>19,所以经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.4.如图,已知矩形OABC中,OA=3,AB=4,双曲线y= (k>0)与矩形两边AB、BC分别交于D、E,且BD=2AD(1)求k的值和点E的坐标;(2)点P是线段OC上的一个动点,是否存在点P,使∠APE=90°?若存在,求出此时点P 的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:∵AB=4,BD=2AD,∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,∴AD= ,又∵OA=3,∴D(,3),∵点D在双曲线y= 上,∴k= ×3=4;∵四边形OABC为矩形,∴AB=OC=4,∴点E的横坐标为4.把x=4代入y= 中,得y=1,∴E(4,1);(2)解:(2)假设存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4﹣m.∵∠APE=90°,∴∠APO+∠EPC=90°,又∵∠APO+∠OAP=90°,∴∠EPC=∠OAP,又∵∠AOP=∠PCE=90°,∴△AOP∽△PCE,∴,∴,解得:m=1或m=3,∴存在要求的点P,坐标为(1,0)或(3,0).【解析】【分析】(1)由矩形OABC中,AB=4,BD=2AD,可得3AD=4,即可求得AD的长,然后求得点D的坐标,即可求得k的值,继而求得点E的坐标;(2)首先假设存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4﹣m,由∠APE=90°,易证得△AOP∽△PCE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得m的值,继而求得此时点P的坐标.5.如图,过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A,C和B,D,连接AB,BC,CD,DA.(1)四边形ABCD一定是________四边形;(直接填写结果)(2)四边形ABCD可能是矩形吗?若可能,试求此时k1,k2之间的关系式;若不能,说明理由;(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y= 图象上的任意两点,a=,b= ,试判断a,b的大小关系,并说明理由.【答案】(1)平行(2)解:∵正比例函数y=k1x(k1>0)与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A,∴k1x= ,解得x= (因为交于第一象限,所以负根舍去,只保留正根)将x= 带入y=k1x得y= ,故A点的坐标为(,)同理则B点坐标为(,),又∵OA=OB,∴ = ,两边平方得: +k1= +k2,整理后得(k1﹣k2)(k1k2﹣1)=0,∵k1≠k2,所以k1k2﹣1=0,即k1k2=1;(3)解:∵P(x1, y1),Q(x2, y2)(x2>x1>0)是函数y= 图象上的任意两点,∴y1= ,y2= ,∴a= = = ,∴a﹣b= ﹣ = = ,∵x2>x1>0,∴>0,x1x2>0,(x1+x2)>0,∴>0,∴a﹣b>0,∴a>b.【解析】【解答】解:(1)∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称,∴OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD 是平行四边形;故答案为:平行;【分析】(1)由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称,即可得到结论.(2)联立方程求得A、B点的坐标,然后根据OA=OB,依据勾股定理得出 =,两边平分得 +k1= +k2,整理后得(k1﹣k2)(k1k2﹣1)=0,根据k1≠k2,则k1k2﹣1=0,即可求得;(3)由P(x1,y1),Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y= 图象上的任意两点,得到y1= ,y2= ,求出a= = = ,得到a﹣b= ﹣ = = >0,即可得到结果.6.在平面直角坐标系中,我们定义点P(a,b)的“变换点”为Q.且规定:当a≥b时,Q 为(b,﹣a);当a<b时,Q为(a,﹣b).(1)点(2,1)的变换点坐标为________;(2)若点A(a,﹣2)的变换点在函数y= 的图象上,求a的值;(3)已知直线l与坐标轴交于(6,0),(0,3)两点.将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M.判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数,以及相应的c的取值范围,请直接写出结论.【答案】(1)(1,﹣2)(2)解:当a≥﹣2时,则A(a,﹣2)的变换点坐标为(﹣2,﹣a),代入y= 可得﹣a= ,解得a= ;当a<﹣2时,则A(a,﹣2)的变换点坐标为(a,2),代入y= 可得2= ,解得a= ,不符合题意;综上可知a的值为;(3)解:设直线l的解析式为y=kx+b (k≠0 ),将点(6,0)、(0,3)代入y=kx+b 得:,解得,∴直线l的解析式为y=﹣ x+3.当x=y时,x=﹣ x+3,解得x=2.点C的坐标为(2,﹣2),点C的变换点的坐标为C′( 2,﹣2 ),点(6,0)的变换点的坐标为(0,﹣6),点(0,3)的变换点的坐标为(0,﹣3),当x≥2时,所有变换点组成的图形是以C′( 2,﹣2)为端点,过(0,﹣6 )的一条射线;即:y=2x﹣6,其中x≥2,当x<2时,所有变换点组成的图形是以C′(2,﹣2)为端点,过(0,﹣3)的一条射线,即y= x﹣3,其中,x<2.所以新的图形M是以C′(2,﹣2)为端点的两条射线组成的图形.如图所示:由和得:x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得:①当方程①无实数根时,即:当c>﹣时,抛物线y=x2+c与图形M没有交点;②当方程①有两个相等实数根时,即:当c=﹣时,抛物线y=x2+c与图形M有一个交点;③当方程②无实数根,且方程①有两个不相等的实数根时,即:当﹣5<c<﹣时,抛物线y=x2+c与图形M有两个交点;④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时,即:当c=﹣5或c=﹣6时,抛物线y=x2+c与图形M有三个交点;⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时,且两根均小于2,即:当﹣6<c<﹣5时,抛物线y=x2+c与图形M有四个交点;⑥当c<﹣6时,抛物线y=x2+c与图形M有两个交点.【解析】【解答】解:(1)∵2≥﹣1,∴点(2,1)的变换点坐标为(1,﹣2),故答案为:(1,﹣2);【分析】(1)由变换点的定义可求得答案;(2)由变换点的定义可求得A的变换点,代入函数解析式可求得a的值;(3)先求得直线y=x与直线l的交点坐标,然后分为当x≥2和x<2两种情况,求得M的关系式,然后在画出M的大致图象,然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组,然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可.7.在平面直角坐标系xOy中,对于双曲线y= (m>0)和双曲线y= (n>0),如果m=2n,则称双曲线y= (m>0)和双曲线y= (n>0)为“倍半双曲线”,双曲线y=(m>0)是双曲线y= (n>0)的“倍双曲线”,双曲线y= (n>0)是双曲线y= (m>0)的“半双曲线”,(1)请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________;双曲线y= 的“半双曲线”是________;(2)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点,过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B,求△AOB的面积;(3)如图2,已知点M是双曲线y= (k>0)在第一象限内任意一点,过点M与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N,过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P,若△MNP的面积记为S△MNP,且1≤S△MNP≤2,求k的取值范围.【答案】(1)y=;y=(2)解:如图1,∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ,∴△AOD的面积为2,△BOD的面积为1,∴△AOB的面积为1(3)解:解法一:如图2,依题意可知双曲线的“半双曲线”为,设点M的横坐标为m,则点M坐标为(m,),点N坐标为(m,),∴CM= ,CN= .∴MN= ﹣ = .同理PM=m﹣ = .∴S△PMN= MN•PM=∵1≤S△PMN≤2,∴1≤ ≤2.∴4≤k≤8,解法二:如图3,依题意可知双曲线的“半双曲线”为,设点M的横坐标为m,则点M坐标为(m,),点N坐标为(m,),∴点N为MC的中点,同理点P为MD的中点.连接OM,∵,∴△PMN∽△OCM.∴.∵S△OCM=k,∴S△PMN= .∵1≤S△PMN≤2,∴1≤ ≤2.∴4≤k≤8.【解析】【解答】解:(1)由“倍双曲线”的定义∴双曲线y= ,的“倍双曲线”是y= ;双曲线y= 的“半双曲线”是y= .故答案为y= ,y= ;【分析】(1)直接利用“倍双曲线”的定义即可;(2)利用双曲线的性质即可;(3)先利用双曲线上的点设出M的横坐标,进而表示出M,N的坐标;方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论;方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积,进而建立不等式即可得出结论.8.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点B、C在第一象限,且四边形OABC是平行四边形,OC=2 ,sin∠AOC= ,反比例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D.(1)求这个反比例函数的解析式;(2)四边形OABC的面积.【答案】(1)解:过C作CM⊥x轴于M,则∠CMO=90°,∵OC=2 ,sin∠AOC= = ,∴MC=4,由勾股定理得:OM= =2,∴C的坐标为(2,4),代入y= 得:k=8,所以这个反比例函数的解析式是y=(2)解:过B作BE⊥x轴于E,则BE=CM=4,AE=OM=2,过D作DN⊥x轴于N,∵D为AB的中点,∴DN= =2,AN= =1,把y=2代入y= 得:x=4,即ON=4,∴OA=4﹣1=3,∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12【解析】【分析】(1)过C作CM⊥x轴于M,则∠CMO=90°,解直角三角形求出CM,根据勾股定理求出OM,求出C的坐标,即可求出答案;(2)根据D为中点求出DN的值,代入反比例函数解析式求出ON,求出OA,根据平行四边形的面积公式求出即可.9.(1)如图1所示,在中,,,点在斜边上,点在直角边上,若,求证: .(2)如图2所示,在矩形中,,,点在上,连接,过点作交 (或的延长线)于点 .①若,求的长;②若点恰好与点重合,请在备用图上画出图形,并求的长.【答案】(1)证明:∵在中,,,∴,∴,∵,∴,∴,∴ .(2)解:①∵四边形是矩形,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∵,∴,,∴,;②如图所示,设,由①得,∴,即,整理,得:,解得:,,所以的长为或 .【解析】【分析】(1)利用平角的定义和三角形的内角和证明即可证得结论;(2)①仿(1)题证明,再利用相似三角形的性质即可求得结果;②由①得,设,根据相似三角形的性质可得关于x的方程,解方程即可求得结果.10.如图1,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,顶点为点.(1)求这条抛物线的解析式及直线的解析式;(2)段上一动点(点不与点、重合),过点向轴引垂线,垂足为,设的长为,四边形的面积为.求与之间的函数关系式及自变量的取值范围;(3)在线段上是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:∵抛物线与轴交于、两点,∴,解得:,∴二次函数的解析式为,∵,∴设直线的解析式为,则有,解得:,∴直线的解析式为(2)解:∵轴,,∴点的坐标为,∴,,,∵为线段上一动点(点不与点、重合),∴的取值范围是.(3)解:线段上存在点,,使为等腰三角形;,,,①当时,,解得,(舍去),此时,②当时,,解得,(舍去),此时,③当时,解得,此时.(1),;(2),的取值范围是;(3)或或【解析】【分析】(1)将A、B俩点代入抛物线解析式即可求出M的坐标,再设直线的解析式为,代入M的值计算即可.(2)由已知轴,,可得点的坐标为,再根据即可求得t的值.(3)存在,根据等腰三角形的性质,分情况进行解答即可.11.如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点,已知直线PA的解析式为:y=kx+3.(1)设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式.(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明;(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值?若存在,请求出符合的k值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:∵y轴和直线l都是⊙C的切线,∴OA⊥AD,BD⊥AD;又∵OA⊥OB,∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°,∴四边形OADB是矩形;∵⊙C的半径为2,∴AD=OB =4;∵点P在直线l上,∴点P的坐标为(4,p);又∵点P也在直线AP上,∴p=4k+3(2)解:连接DN.∵AD是⊙C的直径,∴∠AND=90°,∵∠ADN=90°﹣∠DAN,∠ABD=90°﹣∠DAN,∴∠ADN=∠ABD,又∵∠ADN=∠AMN,∴∠ABD=∠AMN,∵∠MAN=∠BAP,∴△AMN∽△ABP(3)解:存在.理由:把x=0代入y=kx+3得:y=3,即OA=BD=3,AB=,∵S△ABD=AB•DN=AD•DB∴DN==,∴AN2=AD2﹣DN2=,∵△AMN∽△ABP,∴,即当点P在B点上方时,∵AP2=AD2+PD2=AD2+(PB﹣BD)2=42+(4k+3﹣3)2=16(k2+1),或AP2=AD2+PD2=AD2+(BD﹣PB)2=42+(3﹣4k﹣3)2=16(k2+1),S△ABP=PB•AD=(4k+3)×4=2(4k+3),∴,整理得:k2﹣4k﹣2=0,解得k1=2+ ,k2=2﹣当点P在B点下方时,∵AP2=AD2+PD2=42+(3﹣4k﹣3)2=16(k2+1),S△ABP=PB•AD= [﹣(4k+3)]×4=﹣2(4k+3)∴化简得:k2+1=﹣(4k+3),解得:k=﹣2,综合以上所得,当k=2± 或k=﹣2时,△AMN的面积等于【解析】【分析】(1)由切线的性质知∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°,所以可以判定四边形OADB是矩形;根据⊙O的半径是2求得直径AD=4,从而求得点P的坐标,将其代入直线方程y=kx+3即可知p变化的函数关系式;(2)连接DN.∵直径所对的圆周角是直角,∴∠AND=90°,根据图示易证∠AND=∠ABD;然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN=∠AMN,再由等量代换可知∠ABD=∠AMN;最后利用相似三角形的判定定理AA 证明△AMN∽△ABP;(3)存在.把x=0代入y=kx+3得y=3,即OA=BD=3,然后由勾股定理求得AB=5;又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论:①当点P在B点上方时,由相似三角形的面积比得到k2−4k−2=0,解关于k的一元二次方程;②当点P在B点下方时,由相似三角形的面积比得到k2+1=−(4k+3),解关于k的一元二次方程.12.已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),BC=AC.(1)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;(2)在(1)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.【答案】(1)解:如图1,过点B作BD⊥AB,交x轴于点D,∵∠A=∠A,∠ACB=∠ABD=90°,∴△ABC∽△ADB,∴∠ABC=∠ADB,且∠ACB=∠BCD=90°,∴△ABC∽△BDC,∴∵A(﹣3,0),C(1,0),∴AC=4,∵BC=AC.∴BC=3,∴AB===5,∵,∴,∴CD=,∴AD=AC+CD=4+ =,∴OD=AD﹣AO=,∴点D的坐标为:(,0);(2)解:如图2,当∠APC=∠ABD=90°时,∵∠APC=∠ABD=90°,∠BAD=∠PAQ,∴△APQ∽△ABD,∴,∴∴m=,如图3,当∠AQP=∠ABD=90°时,∵∠AQP=∠ABD=90°,∠PAQ=∠BAD,∴△APQ∽△ADB,∴,∴∴m=;综上所述:当m=或时,△APQ与△ADB相似.【解析】【分析】(1)如图1,过点B作BD⊥AB,交x轴于点D,可证△ABC∽△ADB,可得∠ABC=∠ADB,可证△ABC∽△BDC,可得,可求CD 的长,即可求点D坐标;(2)分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求解.。

数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析

数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数(m≠0,m<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D.(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?(2)求一次函数解析式及m的值;(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.【答案】(1)解:当﹣4<x<﹣1时,一次函数大于反比例函数的值;(2)把A(﹣4,),B(﹣1,2)代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y= x+ ,把B(﹣1,2)代入y= 得m=﹣1×2=﹣2;(3)解:如下图所示:设P点坐标为(t,t+ ),∵△PCA和△PDB面积相等,∴• •(t+4)= •1•(2﹣t﹣),即得t=﹣,∴P点坐标为(﹣,).【解析】【分析】(1)观察函数图象得到当﹣4<x<﹣1时,一次函数图象都在反比例函数图象上方;(2)先利用待定系数法求一次函数解析式,然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值;(3)设P点坐标为(t, t+ ),利用三角形面积公式可得到• •(t+4)= •1•(2﹣ t﹣),解方程得到t=﹣,从而可确定P点坐标.2.如图,已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B,过点A作AD⊥轴于点D,连接AO,其中点A的横坐标为,△AOD 的面积为2.(1)求的值及 =4时的值;(2)记表示为不超过的最大整数,例如:,,设 ,若,求值【答案】(1)解:设A(x0, y0),则OD=x0, AD=y0,∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2,∴k=x0y0=4;当x0=4时,y0=1,∴A(4,1),代入y=mx+5中得4m+5=1,m=-1(2)解:∵,∴=mx+5,整理得,mx2+5x-4=0,∵A的横坐标为x0,∴mx02+5x0=4,当y=0时,mx+5=0,x=- ,∵OC=- ,OD=x0,∴m2•t=m2•(OD•DC),=m2•x0(- -x0),=m(-5x0-mx02),=-4m,∵- <m<- ,∴5<-4m<6,∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1)根据反比例函数比例系数k的几何意义,即可得出k的值;根据反比例函数图像上的点的坐标特点,即可求出A点的坐标,再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值;(2)解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组,得出mx2+5x-4=0,将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4,根据直线与x轴交点的坐标特点,表示出OC,OD的长,由m2•t=m2•(OD•DC)=-4m,根据m的取值范围得出5<-4m<6,从而答案。

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析一、反比例函数1.如图,点A在函数y= (x>0)图象上,过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B,C,直线BC与坐标轴的交点为D,E.(1)当点C的横坐标为1时,求点B的坐标;(2)试问:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,△ABC的面积是否发生变化?若不变,请求出△ABC的面积,若变化,请说明理由.(3)试说明:当点A在函数y= (x>0)图象上运动时,线段BD与CE的长始终相等.【答案】(1)解:∵点C在y= 的图象上,且C点横坐标为1,∴C(1,1),∵AC∥y轴,AB∥x轴,∴A点横坐标为1,∵A点在函数y= (x>0)图象上,∴A(1,4),∴B点纵坐标为4,∵点B在y= 的图象上,∴B点坐标为(,4);(2)解:设A(a,),则C(a,),B(,),∴AB=a﹣ = a,AC= ﹣ = ,∴S△ABC= AB•AC= × × = ,即△ABC的面积不发生变化,其面积为;(3)解:如图,设AB的延长线交y轴于点G,AC的延长线交x轴于点F,∵AB∥x轴,∴△ABC∽△EFC,∴ = ,即 = ,∴EF= a,由(2)可知BG= a,∴BG=EF,∵AE∥y轴,∴∠BDG=∠FCE,在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF(AAS),∴BD=EF.【解析】【分析】(1)由条件可先求得A点坐标,从而可求得B点纵坐标,再代入y= 可求得B点坐标;(2)可设出A点坐标,从而可表示出C、B的坐标,则可表示出AB和AC的长,可求得△ABC的面积;(3)可证明△ABC∽△EFC,利用(2)中,AB和AC的长可表示出EF,可得到BG=EF,从而可证明△DBG≌△CFE,可得到DB=CF.2.如图1,已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A,B,反比例函数y= 经过点M.(1)若M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合).当a=﹣3时,设点M的横坐标为m,求k与m之间的函数关系式.(2)当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M,且OM= ,求a的值.(3)当a=﹣2时,将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′,如图2,M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点,求k的取值范围.【答案】(1)解:当a=﹣3时,y=﹣3x+2,当y=0时,﹣3x+2=0,x= ,∵点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),∴0<m<,,DANG则,﹣3x+2= ,当x=m时,﹣3m+2= ,∴k=﹣3m2+2m(0<m<)(2)解:由题意得:,ax+2= ,ax2+2x﹣k=0,∵直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,∴△=4+4ak=0,ak=﹣1,∴k=﹣,则,解得:,∵OM= ,∴12+(﹣)2=()2,a=±(3)解:当a=﹣2时,y=﹣2x+2,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,2),∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′,∴A′(2,1),B′(1,3),点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点,当点M′与A′重合时,k=2,当点M′与B′重合时,k=3,∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】(1)当a=﹣3时,直线解析式为y=﹣3x+2,求出A点的横坐标,由于点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)从而得到m的取值范围,由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m(0<m<);(2)由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0,直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,△=4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股定理即可;(3)当a=﹣2时,y=﹣2x+2,从而求出A、B两点的坐标,由平移的知识知A′,B′点的坐标,从而得到k的取值范围。

中考数学精选反比例函数培优题(附答案)

中考数学精选反比例函数培优题(附答案)

y xOy x OyxOy xO 全国各地中考数学精选反比例函数培优题1.如图,矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C 在反比例函数221k k y x++=的图象上.若点A 的坐标为(-2,-2),则k 的值为 A .1 B .-3C .4D .1或-32。

直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点,P 是反比例函数4(0)y x x=>图象上位于直线下方的一点,过点P 作x 轴的垂线,垂足为点M ,交AB 于点E ,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点N ,交AB 于点F.则AF BE ⋅=A .8B .6C .4D .62 3 如图直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合),过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ,设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则( ) A S1〈S2<S3 B S1〉S2>S3 C S1=S2〉S3 D S1=S2〈S34。

小明乘车从南充到成都,行车的平均速度y (km/h )和行车时间x (h )之间的函数图像是( )A B C D5。

如图,反比例函数xmy =的图象与一次函数b kx y -=的图象交于点M,N ,已点M 的坐标为(1,3),点N 的纵坐标为-1,根据图象信息可得关于x 的方程xm=b kx -的解为( )A 。

-3,1B 。

-3,3 C. -1,1 D.3,—1xyO ABCD6.根据图5-1所示的程序,得到了y 与x 的函数图象,过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P,Q ,连接OP,OQ 。

则以下结论①x <0时,x2y =,②△OPQ 的面积为定值, ③x >0时,y 随x 的增大而增大④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于90°图5—2图5—1输出y 取相反数42取倒数取倒数输入非零数xPQM其中正确的结论是( )A .①②④B .②④⑤C .③④⑤D .②③⑤ 7如图,直线y=x +2与双曲线y=xm 3-在第二象限有两个交点,那么m 的取值范围在数轴上表示为( )二、填空题8。

初三数学 反比例函数的专项 培优练习题附详细答案

初三数学 反比例函数的专项 培优练习题附详细答案

初三数学反比例函数的专项培优练习题附详细答案一、反比例函数1.如图,一次函数y=kx+b(k<0)与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点,一次函数的图象与y轴相交于点C,已知点A(4,1)(1)求反比例函数的解析式;(2)连接OB(O是坐标原点),若△BOC的面积为3,求该一次函数的解析式.【答案】(1)解:∵点A(4,1)在反比例函数y= 的图象上,∴m=4×1=4,∴反比例函数的解析式为y=(2)解:∵点B在反比例函数y= 的图象上,∴设点B的坐标为(n,).将y=kx+b代入y= 中,得:kx+b= ,整理得:kx2+bx﹣4=0,∴4n=﹣,即nk=﹣1①.令y=kx+b中x=0,则y=b,即点C的坐标为(0,b),∴S△BOC= bn=3,∴bn=6②.∵点A(4,1)在一次函数y=kx+b的图象上,∴1=4k+b③.联立①②③成方程组,即,解得:,∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3【解析】【分析】(1)由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义,即可求出m的值;(2)设点B的坐标为(n,),将一次函数解析式代入反比例函数解析式中,利用根与系数的关系可找出n、k的关系,由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系,再由点A在一次函数图象上,可找出k、b的关系,联立3个等式为方程组,解方程组即可得出结论.2.如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A (﹣1,a),B(b,1)两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标;(3)求△PAB的面积.【答案】(1)解:当x=﹣1时,a=x+4=3,∴点A的坐标为(﹣1,3).将点A(﹣1,3)代入y= 中,3= ,解得:k=﹣3,∴反比例函数的表达式为y=﹣(2)解:当y=b+4=1时,b=﹣3,∴点B的坐标为(﹣3,1).作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,如图所示.∵点B的坐标为(﹣3,1),∴点D的坐标为(﹣3,﹣1).设直线AD的函数表达式为y=mx+n,将点A(﹣1,3)、D(﹣3,﹣1)代入y=mx+n中,,解得:,∴直线AD的函数表达式为y=2x+5.当y=2x+5=0时,x=﹣,∴点P的坐标为(﹣,0)(3)解:S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】(1)由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标,根据点A的坐标利用待定系数法,即可求出反比例函数的表达式;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,由点B的坐标可得出点D的坐标,根据点A、D的坐标利用待定系数法,即可求出直线AB的函数表达式,再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;(3)根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP,即可得出结论.3.如图,已知点D在反比例函数y= 的图象上,过点D作x轴的平行线交y轴于点B (0,3).过点A(5,0)的直线y=kx+b与y轴于点C,且BD=OC,tan∠OAC= .(1)求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式;(2)连接CD,试判断线段AC与线段CD的关系,并说明理由;(3)点E为x轴上点A右侧的一点,且AE=OC,连接BE交直线CA与点M,求∠BMC的度数.【答案】(1)解:∵A(5,0),∴OA=5.∵,∴,解得OC=2,∴C(0,﹣2),∴BD=OC=2,∵B(0,3),BD∥x轴,∴D(﹣2,3),∴m=﹣2×3=﹣6,∴,设直线AC关系式为y=kx+b,∵过A(5,0),C(0,﹣2),∴,解得,∴;(2)解:∵B(0,3),C(0,﹣2),∴BC=5=OA,在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD(SAS),∴AC=CD,∴∠OAC=∠BCD,∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°,∴AC⊥CD;(3)解:∠BMC=45°.如图,连接AD,∵AE=OC,BD=OC,AE=BD,∴BD∥x轴,∴四边形AEBD为平行四边形,∴AD∥BM,∴∠BMC=∠DAC,∵△OAC≌△BCD,∴AC=CD,∵AC⊥CD,∴△ACD为等腰直角三角形,∴∠BMC=∠DAC=45°.【解析】【分析】(1)由正切定义可求C坐标,进而由BD=OC求出D坐标,求出反比例函数解析式;由A、C求出直线解析式;(2)由条件可判定△OAC≌△BCD,得出AC=CD,∠OAC=∠BCD,进而AC⊥CD;(3)由已知可得AE=OC,BD=OC,得出AE=BD,再加平行得四边形AEBD为平行四边形,推出△OAC≌△BCD,∴AC=CD,∵AC⊥CD,∴△ACD为等腰直角三角形,∴∠BMC=∠DAC=45°.4.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”.例如:在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;(2)如图2,若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式;(3)如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,C,D中的一个点坐标为(3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】(1)解:(I)当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时:正方形ABCD的边长为.(II)当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时:设正方形边长为a,易得3a= ,解得a= ,此时正方形的边长为.∴所求“伴侣正方形”的边长为或(2)解:如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,易证△ADE≌△BAO≌△CBF.∵点D的坐标为(2,m),m<2,∴DE=OA=BF=m,∴OB=AE=CF=2﹣m.∴OF=BF+OB=2,∴点C的坐标为(2﹣m,2).∴2m=2(2﹣m),解得m=1.∴反比例函数的解析式为y=(3)解:实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;b、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,c、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在d、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D 的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;故二次函数的解析式分别为:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,可求出m的值,即可得到反比例函数的解析式.(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.5.如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y= 的表达式;(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.【答案】(1)解:把点A(4,3)代入函数y= 得:a=3×4=12,∴y= .OA= =5,∵OA=OB,∴OB=5,∴点B的坐标为(0,﹣5),把B(0,﹣5),A(4,3)代入y=kx+b得:解得:∴y=2x﹣5.(2)解:∵点M在一次函数y=2x﹣5上,∴设点M的坐标为(x,2x﹣5),∵MB=MC,∴解得:x=2.5,∴点M的坐标为(2.5,0).【解析】【分析】(1)先求反比例函数关系式,由OA=OB,可求出B坐标,再代入一次函数解析式中求出解析式;(2)M点的纵坐标可用x 的式子表示出来,可套两点间距离公式,表示出MB、MC,令二者相等,可求出x .6.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点,例如,点(1,1),(﹣ 2,﹣ 2),(,),…,都是梦之点,显然梦之点有无数个.(1)若点P(2,b)是反比例函数 (n为常数,n≠0)的图象上的梦之点,求这个反比例函数解析式;(2)⊙O的半径是,①求出⊙O上的所有梦之点的坐标;②已知点M(m,3),点Q是(1)中反比例函数图象上异于点P的梦之点,过点Q的直线l与y轴交于点A,∠OAQ=45°.若在⊙O上存在一点N,使得直线MN∥l或MN⊥l,求出m的取值范围.【答案】(1)解:∵P(2,b)是梦之点,∴b=2∴P(2,2)将P(2,2)代入中得n=4∴反比例函数解析式是(2)解:①设⊙O上梦之点坐标是(,)∴∴=1或 =-1∴⊙O上所有梦之点坐标是(1,1)或(-1,-1)②由(1)知,异于点P的梦之点Q的坐标为(-2,-2)由已知MN∥l或MN⊥l∴直线MN为y=-x+b或y=x+b当MN为y=-x+b时,m=b-3由图可知,当直线MN平移至与⊙O相切时,且切点在第四象限时,b取得最小值,此时MN记为,其中为切点,为直线与y轴的交点∵△O 为等要直角三角形,∴O =∴O =2∴b的最小值是-2,∴m的最小值是-5当直线MN平移至与⊙O相切时,且切点在第二象限时,b取得最大值,此时MN记为,其中为切点,为直线与y轴的交点。

初三数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

初三数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

初三数学反比例函数的专项培优易错难题练习题(含答案)及详细答案一、反比例函数1.如图.一次函数y=x+b的图象经过点B(﹣1,0),且与反比例函数(k为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1,n).求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)当1≤x≤6时,反比例函数y的取值范围.【答案】(1)解:把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b得: 0=﹣1+b,∴b=1,∴一次函数解析式为:y=x+1,∵点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,∴n=1+1,∴n=2,∴点A的坐标是(1,2).∵反比例函数的图象过点A(1,2).∴k=1×2=2,∴反比例函数关系式是:y=(2)解:反比例函数y= ,当x>0时,y随x的增大而减少,而当x=1时,y=2,当x=6时,y= ,∴当1≤x≤6时,反比例函数y的值:≤y≤2【解析】【分析】(1)根据题意首先把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式,又点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,再利用一次函数解析式求出点A的坐标,然后利用代入系数法求出反比例函数解析式,(2)根据反比例函数的性质分别求出当x=1,x=6时的y值,即可得到答案.2.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(﹣2,3)和点B(m,﹣2).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)直线x=1上有一点P,反比例函数图象上有一点Q,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,直接写出点Q的坐标.【答案】(1)解:∵点A(﹣2,3)在反比例函数y= 的图形上,∴k=﹣2×3=﹣6,∴反比例函数的解析式为y=﹣,∵点B在反比例函数y=﹣的图形上,∴﹣2m=﹣6,∴m=3,∴B(3,﹣2),∵点A,B在直线y=ax+b的图象上,∴,∴,∴一次函数的解析式为y=﹣x+1(2)解:∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,∴AB=PQ,AB∥PQ,设直线PQ的解析式为y=﹣x+c,设点Q(n,﹣),∴﹣ =﹣n+c,∴c=n﹣,∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣,∴P(1,n﹣﹣1),∴PQ2=(n﹣1)2+(n﹣﹣1+ )2=2(n﹣1)2,∵A(﹣2,3).B(3,﹣2),∴AB2=50,∵AB=PQ,∴50=2(n﹣1)2,∴n=﹣4或6,∴Q(﹣4. )或(6,﹣1)【解析】【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点B的坐标,再用待定系数法求出直线解析式;(2)先判断出AB=PQ,AB∥PQ,设出点Q的坐标,进而得出点P的坐标,即可求出PQ,最后用PQ=AB建立方程即可得出结论.3.如图,已知点D在反比例函数y= 的图象上,过点D作x轴的平行线交y轴于点B (0,3).过点A(5,0)的直线y=kx+b与y轴于点C,且BD=OC,tan∠OAC= .(1)求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式;(2)连接CD,试判断线段AC与线段CD的关系,并说明理由;(3)点E为x轴上点A右侧的一点,且AE=OC,连接BE交直线CA与点M,求∠BMC的度数.【答案】(1)解:∵A(5,0),∴OA=5.∵,∴,解得OC=2,∴C(0,﹣2),∴BD=OC=2,∵B(0,3),BD∥x轴,∴D(﹣2,3),∴m=﹣2×3=﹣6,∴,设直线AC关系式为y=kx+b,∵过A(5,0),C(0,﹣2),∴,解得,∴;(2)解:∵B(0,3),C(0,﹣2),∴BC=5=OA,在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD(SAS),∴AC=CD,∴∠OAC=∠BCD,∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°,∴AC⊥CD;(3)解:∠BMC=45°.如图,连接AD,∵AE=OC,BD=OC,AE=BD,∴BD∥x轴,∴四边形AEBD为平行四边形,∴AD∥BM,∴∠BMC=∠DAC,∵△OAC≌△BCD,∴AC=CD,∵AC⊥CD,∴△ACD为等腰直角三角形,∴∠BMC=∠DAC=45°.【解析】【分析】(1)由正切定义可求C坐标,进而由BD=OC求出D坐标,求出反比例函数解析式;由A、C求出直线解析式;(2)由条件可判定△OAC≌△BCD,得出AC=CD,∠OAC=∠BCD,进而AC⊥CD;(3)由已知可得AE=OC,BD=OC,得出AE=BD,再加平行得四边形AEBD为平行四边形,推出△OAC≌△BCD,∴AC=CD,∵AC⊥CD,∴△ACD为等腰直角三角形,∴∠BMC=∠DAC=45°.4.如图,已知A是双曲线y= (k>0)在第一象限内的一点,O为坐标原点,直线OA交双曲线于另一点C,当OA在第一象限的角平分线上时,将OA向上平移个单位后,与双曲线在第一象限交于点M,交y轴于点N,若 =2,(1)求直线MN的解析式;(2)求k的值.【答案】(1)解:∵OA在第一象限的角平分线上,∴直线OA的解析式为y=x,∴将OA向上平移个单位后,N(0,),可设直线MN的解析式为y=x+b,把N(0,)代入,可得b= ,∴直线MN的解析式为y=x+(2)解:如图所示,过A作AB⊥y轴于B,过M作MD⊥y轴于D,则∠MDN=∠ABO=90°,由平移可得,∠MND=∠AOB=45°,∴△MDN∽△ABO,∴ = =2,设A(a,a),则AB=a,∴MD= a=DN,∴DO= a+ ,∴M( a, a+ ),∵双曲线经过点A,M,∴k=a×a= a×( a+ ),解得a=1,∴k=1.【解析】【分析】(1)第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标,代入y=x+b,即可求出;(2)通过作垂线构造相似三角形,即△MDN∽△ABO,把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.5.如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD∥y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m=4,n=20时.①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.【答案】(1)①当x=4时,∴点B的坐标是(4,1)当y=2时,由得得x=2∴点A的坐标是(2,2)设直线AB的函数表达式为∴解得∴直线AB的函数表达式为②四边形ABCD为菱形,理由如下:如图,由①得点B(4,1),点D(4,5)∵点P为线段BD的中点∴点P的坐标为(4,3)当y=3时,由得,由得,∴PA= ,PC=∴PA=PC而PB=PD∴四边形ABCD为平行四边形又∵BD⊥AC∴四边形ABCD是菱形(2)四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD时正方形时,PA=PB=PC=PD(设为t,t≠0),当x=4时,∴点B的坐标是(4,)则点A的坐标是(4-t,)∴,化简得t=∴点D的纵坐标为则点D的坐标为(4,)所以,整理得m+n=32【解析】【分析】(1)①分别求出点A,B的坐标,运用待定系数法即可求出直线AB的表达示;②由特殊的四边形可知,对角线互相垂直的是菱形和正方形,则可猜测这个四边形是菱形或是正方形,先证明其为菱形先,则需要证明四边形ABCD是平行四边形,运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些;再判断对角线是否相等,若不相等则不是正方形;(2)要使m,n有具体联系,根据A,B,C,D分别在两个函数图象,且由正方形的性质,可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ,即可得到只关于m和n的等式.6.阅读理解:配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值。

初三数学反比例函数的专项培优练习题附答案.doc

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初三数学反比例函数的专项培优练习题附答案一、反比例函数1.如图,直线y=﹣ x+b 与反比例函数y=的图象相交于A( 1, 4), B 两点,延长AO 交反比例函数图象于点C,连接 OB.(1)求 k 和 b 的值;(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围;(3)在 y 轴上是否存在一点P,使 S△PAC △AOBP 坐标,若不存在请说= S ?若存在请求出点明理由.【答案】(1)解:将A( 1, 4)分别代入y=﹣ x+b 和得:4=﹣1+b,4=,解得:b=5,k=4(2)解:一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为:x> 4 或 0< x<1(3)解:过 A 作 AN⊥ x 轴,过 B 作 BM⊥ x 轴,由(1)知,b=5,k=4,∴直线的表达式为:y=﹣ x+5,反比例函数的表达式为:由,解得: x=4,或 x=1,∴B( 4,1),∴,∵,∴,过 A 作 AE⊥ y 轴,过 C 作 CD⊥y 轴,设 P( 0,t ),∴S△PAC=OP?CD+ OP?AE=OP( CD+AE)=|t|=3 ,解得: t=3, t=﹣ 3,∴P( 0, 3)或 P(0,﹣ 3).【解析】【分析】( 1)由待定系数法即可得到结论;(2)根据图象中的信息即可得到结论;( 3)过 A 作 AM⊥ x 轴,过 B 作 BN⊥ x 轴,由( 1)知, b=5, k=4,得到直线的表达式为: y=﹣ x+5,反比例函数的表达式为:列方程,求得B( 4 ,1),于是得到,由已知条件得到,过 A 作 AE⊥ y 轴,过 C 作 CD⊥ y 轴,设 P( 0,t ),根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.2.如图,反比例函数y1=的图象与一次函数y2= x 的图象交于点A、 B,点 B 的横坐标是4,点 P( 1,m)在反比例函数 y1= 的图象上.(1)求反比例函数的表达式;(2)观察图象回答:当 x 为何范围时, y1> y2;(3)求△ PAB的面积.【答案】(1)解:把 x=4 代入 y2=x,得到点 B 的坐标为( 4, 1),把点B(4,1)代入y1= ,得 k=4.反比例函数的表达式为 y1=(2)解:∵点 A 与点 B 关于原点对称,∴ A 的坐标为(﹣ 4,﹣ 1),观察图象得,当x<﹣ 4 或 0< x< 4 时, y1> y2(3)解:过点 A 作 AR⊥y 轴于 R,过点 P 作 PS⊥ y 轴于 S,连接 PO,设 AP 与 y 轴交于点 C,如图,∵点 A 与点 B 关于原点对称,∴OA=OB,△AOP=S△ BOP ,∴S△PAB△AOP∴S=2S.y1=中,当x=1时,y=4,∴P( 1, 4).设直线 AP 的函数关系式为y=mx+n ,把点 A(﹣ 4,﹣ 1)、 P(1 ,4)代入 y=mx+n ,则,解得.故直线 AP 的函数关系式为y=x+3,则点 C 的坐标( 0,3), OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC=OC?AR+ OC?PS=× 3× 4+ × 3×1=,∴S△PAB=2S△AOP=15.【解析】【分析】( 1)把x=4 代入 y2= x,得到点 B 的坐标,再把点 B 的坐标代入y1=,求出 k 的值,即可得到反比例函数的表达式;(2)观察图象可知,反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1> y2的解集;( 3)过点A 作 AR⊥y 轴于 R,过点 P 作 PS⊥ y 轴于 S,连接 PO,设 AP 与 y 轴交于点C,由点 A 与点B 关于原点对称,得出△AOP=S△BOP ,S△PAB=2S△AOP .求出P点坐标,利用OA=OB,那么 S待定系数法求出直线AP 的函数关系式,得到点 C 的坐标,根据 S△AOP△AOC△POC求出=S+SS△AOP=,则S△PAB=2S△AOP=15.3.已知点 A, B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点,点 C, D 是某个函数图象上的点,当四边形ABCD( A, B, C, D 各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1 图象的其中一个伴侣正方形.(1)若某函数是一次函数 y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;(2)若某函数是反比例函数y= ( k> 0),他的图象的伴侣正方形为ABCD,点 D( 2,m)( m< 2)在反比例函数图象上,求m 的值及反比例函数解析式;(3)若某函数是二次函数y=ax2+c( a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD, C、D 中的一个点坐标为( 3, 4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________,写出符合题意的其中一条抛物线解析式________,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数 ________.【答案】(1)解:如图1,当点 A 在 x 轴正半轴,点 B 在∵OC=0D=1,∴正方形 ABCD的边长 CD= 当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在设小正方形的边长为a,y 轴负半轴上时,;∠ OCD=∠ ODC=45 ,°y 轴正半轴上时,易得 CL=小正方形的边长=DK=LK,故 3a=CD=.解得 a=,所以小正方形边长为,∴一次函数y=x+1 图象的伴侣正方形的边长为或(2)解:如图2,作 DE, CF分别垂直于x、 y 轴,易知△ ADE≌ △ BAO≌△ CBF此时, m< 2, DE=OA=BF=m, OB=CF=AE=2﹣ m,∴O F=BF+OB=2,∴C 点坐标为( 2﹣m, 2),∴2m=2 ( 2﹣ m),解得 m=1.反比例函数的解析式为 y= .(3)( 3, 4); y=﹣x2+ ;偶数【解析】【解答】解:(3)实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3, 4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合①当点 A 在 x 轴正半轴上,点 B 在 y 轴正半轴上,点 C 坐标为( 3, 4)时:另外一个顶点为( 4, 1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;②当点 A 在 x 轴正半轴上,点 B 在 y 轴正半轴上,点 D 坐标为( 3, 4)时:不存在,③当点 A 在 x 轴正半轴上,点 B 在 y 轴负半轴上,点 C 坐标为( 3,4)时:不存在④当点 A 在 x 轴正半轴上,点 B 在 y 轴负半轴上,点 D 坐标为( 3, 4)时:另外一个顶点C 为(﹣⑤ 当点1, 3),对应的函数的解析式是A 在 x 轴负半轴上,点B 在 yy= x2+ ;轴负半轴上,点 D 坐标为(3, 4)时,另一个顶点 C的坐标是( 7,﹣ 3)时,对应的函数解析式是y=﹣⑥当点 A 在 x 轴负半轴上,点 B 在 y 轴负半轴上,点;C 坐标为(3, 4)时,另一个顶点 D的坐标是(﹣ 4, 7)时,对应的抛物线为 y= x2+ ;∵由抛物线的伴侣正方形的定义知,一条抛物线有两个伴侣正方形,是成对出现的,∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.【分析】解答此题时,要特别注意认真读题,分析题意,注意已知条件点A, B 分别是x 轴、 y 轴上的动点,点C, D 是某个函数图象上的点。

中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)含答案

中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)含答案

中考数学反比例函数培优练习(含答案)含答案一、反比例函数1.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(,2).(1)求k的值;(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的一个顶点恰好落在函数y= (k>0,x >0)的图象上时,求菱形ABCD平移的距离.【答案】(1)解:作DE⊥BO,DF⊥x轴于点F,∵点D的坐标为(,2),∴DO=AD=3,∴A点坐标为:(,5),∴k=5 ;(2)解:∵将菱形ABCD向右平移,使点D落在反比例函数y= (x>0)的图象上D′,∴DF=D′F′=2,∴D′点的纵坐标为2,设点D′(x,2)∴2= ,解得x= ,∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ,∴菱形ABCD平移的距离为,同理,将菱形ABCD向右平移,使点B落在反比例函数y= (x>0)的图象上,菱形ABCD平移的距离为,综上,当菱形ABCD平移的距离为或时,菱形的一个顶点恰好落在函数图象上.【解析】【分析】(1)根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标,代入求出即可;(2)B和D可能落在反比例函数的图象上,根据平移求出即可.2.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y2= (c≠0)的图象相交于点B(3,2)、C(﹣1,n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)根据图象,直接写出y1>y2时x的取值范围;(3)在y轴上是否存在点P,使△PAB为直角三角形?如果存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:把B(3,2)代入得:k=6∴反比例函数解析式为:把C(﹣1,n)代入,得:n=﹣6∴C(﹣1,﹣6)把B(3,2)、C(﹣1,﹣6)分别代入y1=ax+b,得:,解得:所以一次函数解析式为y1=2x﹣4(2)解:由图可知,当写出y1>y2时x的取值范围是﹣1<x<0或者x>3.(3)解:y轴上存在点P,使△PAB为直角三角形如图,过B作BP1⊥y轴于P1,∠B P1 A=0,△P1AB为直角三角形此时,P1(0,2)过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90,△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中,在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2(0,)综上所述,P1(0,2)、P2(0,).【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点C坐标,最后用再用待定系数法求出一次函数解析式;(2)利用图象直接得出结论;(3)分三种情况,利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论.3.给出如下规定:两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.(1)点A的坐标为A(1,0),则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________,点C (﹣2,3)和射线OA之间的距离为________;(2)如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为,那么k=________;(可在图1中进行研究)(3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O顺时针旋转120°,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示).②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N,请求出图形W和图形N之间的距离.【答案】(1)3;(2)﹣4(3)解:①如图,x轴正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF 垂直),;②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x,OG所在直线解析式为y= x,由得,即点M(﹣,),由得:,即点N(﹣,),则﹣≤x≤﹣,图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,﹣2x﹣4),即图形W与图形N之间的距离为d,d===∴当x=﹣时,d的最小值为 = ,即图形W和图形N之间的距离.【解析】【解答】解:(1)点(2,3)和射线OA之间的距离为3,点(﹣2,3)和射线OA之间的距离为 = ,故答案分别为:3,;(2)直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为,∴k<0(否则直线y=x+1和双曲线y= 相交,它们之间的距离为0).过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x,与双曲线y= 交于点E、F,过点E作EG⊥x轴,如图1,由得,即点F(﹣,),则OF= = ,∴OE=OF+EF=2 ,在Rt△OEG中,∠EOG=∠OEG=45°,OE=2 ,则有OG=EG= OE=2,∴点E的坐标为(﹣2,2),∴k=﹣2×2=﹣4,故答案为:﹣4;【分析】(1)由题意可得出点B(2,3)到射线OA之间的距离为B点纵坐标,根据新定义得点C(﹣2,3)和射线OA之间的距离;(2)根据题意即可得k<0(否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交,它们之间的距离为0).过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x,与双曲线y= k x 交于点E、F,过点E作EG⊥x 轴,如图1,将其联立即可得点F坐标,根据两点间距离公式可得OF长,再由OE=OF+EF 求出OE长,在Rt△OEG中,根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为(﹣2,2),将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.(3)①如图,x轴正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF垂直);②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x,OG所在直线解析式为y= x,分别联立即可得出点M、N坐标,从而得出x取值范围,根据题意图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,﹣2x﹣4),从而求出图形W与图形N之间的距离为d,由二次函数性质知d 最小值.4.已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A(﹣1,2),B(2,n),与y轴交于C 点.(1)求反比例函数和一次函数解析式;(2)如图1,若将y=kx+b向下平移,使平移后的直线与y轴交于F点,与双曲线交于D,E两点,若S△ABD=3,求D,E的坐标.(3)如图2,P为直线y=2上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q,交双曲线于R,若QR=2QP,求P点坐标.【答案】(1)解:点A(﹣1,2)在反比例函数y= 的图象上,∴m=(﹣1)×2=﹣2,∴反比例函数的表达式为y=﹣,∵点B(2,n)也在反比例函数的y=﹣图象上,∴n=﹣1,即B(2,﹣1)把点A(﹣1,2),点B(2,﹣1)代入一次函数y=kx+b中,得,解得:k=﹣1,b=1,∴一次函数的表达式为y=﹣x+1,答:反比例函数的表达式是y=﹣,一次函数的表达式是y=﹣x+1;(2)解:如图1,连接AF,BF,∵DE∥AB,∴S△ABF=S△ABD=3(同底等高的两三角形面积相等),∵直线AB的解析式为y=﹣x+1,∴C(0,1),设点F(0,m),∴AF=1﹣m,∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= (1﹣m)×(1+2)=3,∴m=﹣1,∴F(0,﹣1),∵直线DE的解析式为y=﹣x+1,且DE∥AB,∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①.∵反比例函数的表达式为y=﹣②,联立①②解得,或∴D(﹣2,1),E(1,﹣2);(3)解:如图2由(1)知,直线AB的解析式为y=﹣x﹣1,双曲线的解析式为y=﹣,设点P(p,2),∴Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),PQ=|2+p+1|,QR=|﹣p﹣1+ |,∵QR=2QP,∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|,解得,p= 或p= ,∴P(,2)或(,2)或(,2)或(,2).【解析】【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值,从而可得到反比例函数的解析式;把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式;(2)依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3,再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标,即可得出直线DE的解析式,即可求出交点坐标;(3)设点P(p,2),则Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),然后可表示出PQ与QR的长度,最后依据QR=2QP,可得到关于p的方程,从而可求得p的值,从而可得到点P的坐标.5.如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,﹣2).(1)求反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】(1)解:设反比例函数的解析式为(k>0)∵A(m,﹣2)在y=2x上,∴﹣2=2m,∴解得m=﹣1。

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附详细答案

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初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附详细答案一、反比例函数1.平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,AD交y轴于P点(1)已知点A的坐标是(2,3),求k的值及C点的坐标;(2)在(1)的条件下,若△APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.【答案】(1)解:∵点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,∴3= ,点C与点A关于原点O对称,∴k=6,C(﹣2,﹣3),即k的值是6,C点的坐标是(﹣2,﹣3);(2)解:过点A作AN⊥y轴于点N,过点D作DM⊥AC,如图,∵点A(2,3),k=6,∴AN=2,∵△APO的面积为2,∴,即,得OP=2,∴点P(0,2),设过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=kx+b,,得,∴过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=0.5x+2,当y=0时,0=0.5x+2,得x=﹣4,∴点D的坐标为(﹣4,0),设过点A(2,3),B(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=mx+b,则,得,∴过点A(2,3),C(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=1.5x,∴点D到直线AC的直线得距离为:= .【解析】【分析】(1)根据点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,可以求得k的值和点C的坐标;(2)根据△APO的面积为2,可以求得OP的长,从而可以求得点P的坐标,进而可以求得直线AP的解析式,从而可以求得点D的坐标,再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离.2.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b 时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;(2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;(3)若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.【答案】(1)解:是“相邻函数”,理由如下:y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,∵y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,∴当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”(2)解:y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,∵y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),∴顶点坐标为:(1,a﹣1),又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,∴当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴0≤a≤1(3)解:y1﹣y2= ﹣(﹣2x+4)= +2x﹣4,构造函数y= +2x﹣4,∵y= +2x﹣4∴当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,即a﹣2≤y≤ ,∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴1≤a≤2;∴a的最大值是2,a的最小值1【解析】【分析】(1)y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,因为y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,所以当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”;(2)y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,因为y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),所以顶点坐标为:(1,a﹣1),又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,所以当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即0≤a≤1;(3)当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,﹣1≤y1﹣y2≤1,即1≤a≤2,所以a的最大值是2,a 的最小值1.3.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点,点A的坐标为(2,3n),点B的坐标为(5n+2,1).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点,求a的值;(3)点E为y轴上一个动点,若S△AEB=5,则点E的坐标为________.【答案】(1)解:∵A、B在反比例函数的图象上,∴2×3n=(5n+2)×1=m,∴n=2,m=12,∴A(2,6),B(12,1),∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,∴,解得,∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ,y=﹣ x+7.(2)解:设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a,由,消去y得到x2+(2a﹣14)x+24=0,由题意,△=0,(21a﹣14)2﹣4×24=0,解得a=7±2 .(3)(0,6)或(0,8)【解析】【解答】(3)设直线AB交y轴于K,则K(0,7),设E(0,m),由题意,PE=|m﹣7|.∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5,∴ ×|m﹣7|×(12﹣2)=5.∴|m﹣7|=1.∴m1=6,m2=8.∴点E的坐标为(0,6)或(0,8).故答案为(0,6)或(0,8).【分析】(1)由A、B在反比例函数的图象上,得到n,m的值和A、B的坐标,用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式;(2)由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,得到平移后的一次函数的解析式,由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点,得到方程组求出a的值;(3)由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5,求出点E的坐标.4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在x轴负半轴上,顶点在轴正半轴上,顶点B在第一象限,线段,的长是一元二次方程的两根,,.(1)直接写出点的坐标________点 C的坐标________;(2)若反比例函数的图象经过点,求k的值;(3)如图过点作轴于点;在轴上是否存在点,使以,,为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似?若存在,直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)解:如图,过点作,垂足为,∵,∴,设,∵ =12,∴EC=12-x,在RtΔBEC中,,∴整理得:,解得:(不合题意舍去),,∴,,∴,把代入,得(3)解:存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=2或OP=6,∴P(0,2)或P(0,6);如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=12,∴P(0,12);如图4,若点P在OD上方,△BDP∽△AOP,则,即,解得:OP=4+2 或OP=4-2 (不合题意舍去),∴P(0,4+2 );如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=-4+2 或-4-2 (不合题意舍去),则P点坐标为(0,4-2 )故点的坐标为:或或或或【解析】【解答】解:(1)解一元二次方程,解得:,所以,所以,;【分析】(1)首先利用直接开平方法求出方程的两根,从而得出OA=OC=6,进而得出A,C两点的坐标;(2)如图,过点作,垂足为,根据等腰直角三角形的性质得出,设,EC=12-x,在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程,求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标,然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(3)存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解即可得出P点的坐标;如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标;如图4,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P 点的坐标;如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标,综上所述即可得出答案。

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析

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初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析一、反比例函数1.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y2= (c≠0)的图象相交于点B(3,2)、C(﹣1,n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)根据图象,直接写出y1>y2时x的取值范围;(3)在y轴上是否存在点P,使△PAB为直角三角形?如果存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:把B(3,2)代入得:k=6∴反比例函数解析式为:把C(﹣1,n)代入,得:n=﹣6∴C(﹣1,﹣6)把B(3,2)、C(﹣1,﹣6)分别代入y1=ax+b,得:,解得:所以一次函数解析式为y1=2x﹣4(2)解:由图可知,当写出y1>y2时x的取值范围是﹣1<x<0或者x>3.(3)解:y轴上存在点P,使△PAB为直角三角形如图,过B作BP1⊥y轴于P1,∠B P1 A=0,△P1AB为直角三角形此时,P1(0,2)过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90,△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中,在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2(0,)综上所述,P1(0,2)、P2(0,).【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点C坐标,最后用再用待定系数法求出一次函数解析式;(2)利用图象直接得出结论;(3)分三种情况,利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论.2.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n),线段OA=5,E为x轴负半轴上一点,且sin∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.【答案】(1)解:作AD⊥x轴于D,如图,在Rt△OAD中,∵sin∠AOD= = ,∴AD= OA=4,∴OD= =3,∴A(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y= 得m=﹣4×3=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;把B(6,n)代入y=﹣得6n=﹣12,解得n=﹣2,把A(﹣3,4)、B(6,﹣2)分别代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2(2)解:当y=0时,﹣x+2=0,解得x=3,则C(3,0),所以S△AOC= ×4×3=6(3)解:当x<﹣3或0<x<6时,一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD⊥x轴于D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣3,4),再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12,则可得到反比例函数解析式;接着把B(6,n)代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组,再解方程组求出a和b的值,从而可确定一次函数解析式;(2)先确定C点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.3.如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,﹣2).(1)求反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】(1)解:设反比例函数的解析式为(k>0)∵A(m,﹣2)在y=2x上,∴﹣2=2m,∴解得m=﹣1。

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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= (x<0)的图象交于点A(﹣1,2)和点B,点C在y轴上.(1)当△ABC的周长最小时,求点C的坐标;(2)当 x+b<时,请直接写出x的取值范围.【答案】(1)解:作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点C,此时点C即是所求,如图所示.∵反比例函数y= (x<0)的图象过点A(﹣1,2),∴k=﹣1×2=﹣2,∴反比例函数解析式为y=﹣(x<0);∵一次函数y= x+b的图象过点A(﹣1,2),∴2=﹣ +b,解得:b= ,∴一次函数解析式为y= x+ .联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组:,解得:,或,∴点A的坐标为(﹣1,2)、点B的坐标为(﹣4,).∵点A′与点A关于y轴对称,∴点A′的坐标为(1,2),设直线A′B的解析式为y=mx+n,则有,解得:,∴直线A′B的解析式为y= x+ .令y= x+ 中x=0,则y= ,∴点C的坐标为(0,)(2)解:观察函数图象,发现:当x<﹣4或﹣1<x<0时,一次函数图象在反比例函数图象下方,∴当 x+ <﹣时,x的取值范围为x<﹣4或﹣1<x<0【解析】【分析】(1)作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点C,此时点C即是所求.由点A为一次函数与反比例函数的交点,利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式,联立两函数解析式成方程组,解方程组即可求出点A、B的坐标,再根据点A′与点A关于y轴对称,求出点A′的坐标,设出直线A′B的解析式为y=mx+n,结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式,令直线A′B解析式中x为0,求出y的值,即可得出结论;(2)根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标,即可得出不等式的解集.2.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象相交于A,B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D,点D的坐标为(﹣1,0),点A的横坐标是1,tan∠CDO=2.过点B作BH⊥y轴交y轴于H,连接AH.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△ABH面积.【答案】(1)解:∵点D的坐标为(﹣1,0),tan∠CDO=2,∴CO=2,即C(0,2),把C(0,2),D(﹣1,0)代入y=ax+b可得,,解得,∴一次函数解析式为y=2x+2,∵点A的横坐标是1,∴当x=1时,y=4,即A(1,4),把A(1,4)代入反比例函数y= ,可得k=4,∴反比例函数解析式为y=(2)解:解方程组,可得或,∴B(﹣2,﹣2),又∵A(1,4),BH⊥y轴,∴△ABH面积= ×2×(4+2)=6.【解析】【分析】(1)先由tan∠CDO=2可求出C坐标,再把D点坐标代入直线解析式,可求出一次函数解析式,再由直线解析式求出A坐标,代入双曲线解析式,可求出双曲线解析式;(2)△ABH面积可以BH为底,高=y A-y B=4-(-2)=6.3.给出如下规定:两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.(1)点A的坐标为A(1,0),则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________,点C (﹣2,3)和射线OA之间的距离为________;(2)如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为,那么k=________;(可在图1中进行研究)(3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O顺时针旋转120°,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示).②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N,请求出图形W和图形N之间的距离.【答案】(1)3;(2)﹣4(3)解:①如图,x轴正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF 垂直),;②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x,OG所在直线解析式为y= x,由得,即点M(﹣,),由得:,即点N(﹣,),则﹣≤x≤﹣,图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,﹣2x﹣4),即图形W与图形N之间的距离为d,d===∴当x=﹣时,d的最小值为 = ,即图形W和图形N之间的距离.【解析】【解答】解:(1)点(2,3)和射线OA之间的距离为3,点(﹣2,3)和射线OA之间的距离为 = ,故答案分别为:3,;(2)直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为,∴k<0(否则直线y=x+1和双曲线y= 相交,它们之间的距离为0).过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x,与双曲线y= 交于点E、F,过点E作EG⊥x轴,如图1,由得,即点F(﹣,),则OF= = ,∴OE=OF+EF=2 ,在Rt△OEG中,∠EOG=∠OEG=45°,OE=2 ,则有OG=EG= OE=2,∴点E的坐标为(﹣2,2),∴k=﹣2×2=﹣4,故答案为:﹣4;【分析】(1)由题意可得出点B(2,3)到射线OA之间的距离为B点纵坐标,根据新定义得点C(﹣2,3)和射线OA之间的距离;(2)根据题意即可得k<0(否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交,它们之间的距离为0).过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x,与双曲线y= k x 交于点E、F,过点E作EG⊥x 轴,如图1,将其联立即可得点F坐标,根据两点间距离公式可得OF长,再由OE=OF+EF 求出OE长,在Rt△OEG中,根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为(﹣2,2),将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.(3)①如图,x轴正半轴,∠GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF垂直);②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x,OG所在直线解析式为y= x,分别联立即可得出点M、N坐标,从而得出x取值范围,根据题意图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,﹣2x﹣4),从而求出图形W与图形N之间的距离为d,由二次函数性质知d 最小值.4.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(3,).(1)求反比例函数的表达式和m的值;(2)将矩形OABC的进行折叠,使点O于点D重合,折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F,G,求折痕FG所在直线的函数关系式.【答案】(1)解:∵反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象经过点E(3,),∴k=3× =2,∴反比例函数的表达式为y= .又∵点D(m,2)在反比例函数y= 的图象上,∴2m=2,解得:m=1(2)解:设OG=x,则CG=OC﹣OG=2﹣x,∵点D(1,2),∴CD=1.在Rt△CDG中,∠DCG=90°,CG=2﹣x,CD=1,DG=OG=x,∴CD2+CG2=DG2,即1+(2﹣x)2=x2,解得:x= ,∴点G(0,).过点F作FH⊥CB于点H,如图所示.由折叠的特性可知:∠GDF=∠GOF=90°,OG=DG,OF=DF.∵∠CGD+∠CDG=90°,∠CDG+∠HDF=90°,∴∠CGD=∠HDF,∵∠DCG=∠FHD=90°,∴△GCD∽△DHF,∴=2,∴DF=2GD= ,∴点F的坐标为(,0).设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b,∴有,解得:.∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+【解析】【分析】(1)由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值,再由点B在反比例函数图象上,代入即可求出m值;(2)设OG=x,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解方程即可求出x值,从而得出点G的坐标.再过点F作FH⊥CB于点H,由此可得出△GCD∽△DHF,根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度,从而得出点F的坐标,结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论.5.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点,例如,点(1,1),(﹣ 2,﹣ 2),(,),…,都是梦之点,显然梦之点有无数个.(1)若点P(2,b)是反比例函数 (n为常数,n≠0)的图象上的梦之点,求这个反比例函数解析式;(2)⊙O的半径是,①求出⊙O上的所有梦之点的坐标;②已知点M(m,3),点Q是(1)中反比例函数图象上异于点P的梦之点,过点Q的直线l与y轴交于点A,∠OAQ=45°.若在⊙O上存在一点N,使得直线MN∥l或MN⊥l,求出m的取值范围.【答案】(1)解:∵P(2,b)是梦之点,∴b=2∴P(2,2)将P(2,2)代入中得n=4∴反比例函数解析式是(2)解:①设⊙O上梦之点坐标是(,)∴∴=1或 =-1∴⊙O上所有梦之点坐标是(1,1)或(-1,-1)②由(1)知,异于点P的梦之点Q的坐标为(-2,-2)由已知MN∥l或MN⊥l∴直线MN为y=-x+b或y=x+b当MN为y=-x+b时,m=b-3由图可知,当直线MN平移至与⊙O相切时,且切点在第四象限时,b取得最小值,此时MN记为,其中为切点,为直线与y轴的交点∵△O 为等要直角三角形,∴O =∴O =2∴b的最小值是-2,∴m的最小值是-5当直线MN平移至与⊙O相切时,且切点在第二象限时,b取得最大值,此时MN记为,其中为切点,为直线与y轴的交点。

中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)含详细答案

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中考数学反比例函数培优练习(含答案)含详细答案一、反比例函数1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点,点A的坐标为(2,3n),点B的坐标为(5n+2,1).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点,求a的值;(3)点E为y轴上一个动点,若S△AEB=5,则点E的坐标为________.【答案】(1)解:∵A、B在反比例函数的图象上,∴2×3n=(5n+2)×1=m,∴n=2,m=12,∴A(2,6),B(12,1),∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,∴,解得,∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ,y=﹣ x+7.(2)解:设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a,由,消去y得到x2+(2a﹣14)x+24=0,由题意,△=0,(21a﹣14)2﹣4×24=0,解得a=7±2 .(3)(0,6)或(0,8)【解析】【解答】(3)设直线AB交y轴于K,则K(0,7),设E(0,m),由题意,PE=|m﹣7|.∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5,∴ ×|m﹣7|×(12﹣2)=5.∴|m﹣7|=1.∴m1=6,m2=8.∴点E的坐标为(0,6)或(0,8).故答案为(0,6)或(0,8).【分析】(1)由A、B在反比例函数的图象上,得到n,m的值和A、B的坐标,用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式;(2)由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,得到平移后的一次函数的解析式,由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点,得到方程组求出a的值;(3)由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5,求出点E的坐标.2.理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值,经过思考、讨论、交流,得到以下思路:思路一如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC= .tanD=tan15°= = = .思路二利用科普书上的和(差)角正切公式:tan(α±β)= .假设α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°﹣45°)= == .思路三在顶角为30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题(上述思路仅供参考).(1)类比:求出tan75°的值;(2)应用:如图2,某电视塔建在一座小山上,山高BC为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为60米,从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°,求这座电视塔CD的高度;(3)拓展:如图3,直线与双曲线交于A,B两点,与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点P的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)解:方法一:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC= .tan∠DAC=tan75°= = = = ;方法二:tan75°=tan(45°+30°)= = = =(2)解:如图2,在Rt△ABC中,AB= = = ,sin∠BAC= ,即∠BAC=30°.∵∠DAC=45°,∴∠DAB=45°+30°=75°.在Rt△ABD中,tan∠DAB= ,∴DB=AB•tan∠DAB= •()= ,∴DC=DB﹣BC= = .答:这座电视塔CD的高度为()米(3)解:①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后,与双曲线相交于点P,如图3.过点C 作CD∥x轴,过点P作PE⊥CD于E,过点A作AF⊥CD于F.解方程组:,得:或,∴点A(4,1),点B(﹣2,﹣2).对于,当x=0时,y=﹣1,则C(0,﹣1),OC=1,∴CF=4,AF=1﹣(﹣1)=2,∴tan∠ACF= ,∴tan∠PCE=tan(∠ACP+∠ACF)=tan (45°+∠ACF)= = =3,即 =3.设点P的坐标为(a,b),则有:,解得:或,∴点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3);②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后,与x轴相交于点G,如图4.由①可知∠ACP=45°,P(,3),则CP⊥CG.过点P作PH⊥y轴于H,则∠GOC=∠CHP=90°,∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH,∴△GOC∽△CHP,∴.∵CH=3﹣(﹣1)=4,PH= ,OC=1,∴,∴GO=3,G(﹣3,0).设直线CG的解析式为,则有:,解得:,∴直线CG的解析式为.联立:,消去y,得:,整理得:,∵△= ,∴方程没有实数根,∴点P 不存在.综上所述:直线AB绕点C旋转45°后,能与双曲线相交,交点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3).【解析】【分析】tan∠DAC=tan75°,tan∠DAC用边的比值表示.在Rt△ABC中,由勾股定理求出AB,由三角函数得出∠BAC=30°,从而得到∠DAB=75°,在Rt△ABD中,可求出DB,DC=DB﹣BC.分两种情况讨论,设点P的坐标为(a,b),根据tan∠PCE和P在图像上列出含有a,b的方程组,求出a,b.利用已知证明△GOC∽△CHP,根据相似三角形的性质可求出G的坐标,设出直线CG的解析式,与反比例函数组成方程组消元,△<0 点P不存在.3.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的“V形折现”)(1)类比研究函数图象的方法,请列举新函数的两条性质,并求新函数的解析式;(2)如图2,双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1,a),点D是线段AC上一动点(不包括端点),过点D作x轴的平行线,与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.①试求△PAD的面积的最大值;②探索:在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形?若能,求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)解:如图1,新函数的性质:1.函数的最小值为0;2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得,点A的坐标为(-3,0),分两种情况:①当x-3时,y=x+3;②当x<-3时,设函数解析式为y=kx+b,在直线y=x+3中,当x=-4时,y=-1,则点(-4,-1)关于x轴的对称点为(-4,1),把点(-4,1),(-3,0),代入y=kx+b中,得:,解得:,∴y=-x-3.综上,新函数的解析式为y=.(2)解:如图2,①∵点C(1,a)在直线y=x+3上,∴a=4,∵点C(1,4)在反比例函数y=上,∴k=4,∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点,∴设点D的坐标为(m,m+3),且-3<m<1,∵DP∥x轴,且点P在双曲线上,∴点P的坐标为(,m+3),∴PD=-m,∴S△PAD=(-m)(m+3)=m2-m+2=(m+)2+,∵a=<0,∴当m=时,S有最大值,最大值为,又∵-3<<1,∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中,四边形PAEC不能为平行四边形,理由如下:当点D为AC的中点时,其坐标为(-1,2),此时点P的坐标为(2,2),点E的坐标为(-5,2),∵DP=3,DE=4,∴EP与AC不能互相平分,∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】(1)根据一次函数的性质,结合函数图象写出新函数的两条性质;利用待定系数法求新函数解析式,注意分两种情况讨论;(2)①先求出点C的坐标,再利用待定系数法求出反比例函数解析式,设出点D的坐标,进而得到点P的坐标,再根据三角形的面积公式得出函数解析式,利用二次函数的性质求解即可;②先求出A的中点D的坐标,再计算DP、DE的长度,如果对角线互相平分,则能成为平行四边形,如若对角线不互相平分,则不能成为平行四边形.4.如图,P1、P2是反比例函数y= (k>0)在第一象限图象上的两点,点A1的坐标为(4,0).若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形,其中点P1、P2为直角顶点.(1)求反比例函数的解析式.(2)①求P2的坐标.②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值.【答案】(1)解:过点P1作P1B⊥x轴,垂足为B ∵点A1的坐标为(4,0),△P1OA1为等腰直角三角形∴OB=2,P1B= OA1=2∴P1的坐标为(2,2)将P1的坐标代入反比例函数y= (k>0),得k=2×2=4∴反比例函数的解析式为(2)①过点P2作P2C⊥x轴,垂足为C ∵△P2A1A2为等腰直角三角形∴P2C=A1C设P2C=A1C=a,则P2的坐标为(4+a,a)将P2的坐标代入反比例函数的解析式为,得a= ,解得a1= ,a2= (舍去)∴P2的坐标为(,)②在第一象限内,当2<x<2+ 时,一次函数的函数值大于反比例函数的值.【解析】【分析】(1)先根据点A1的坐标为(4,0),△P1OA1为等腰直角三角形,求得P1的坐标,再代入反比例函数求解;(2)先根据△P2A1A2为等腰直角三角形,将P2的坐标设为(4+a,a),并代入反比例函数求得a的值,得到P2的坐标;再根据P1的横坐标和P2的横坐标,判断x的取值范围.5.如图1,已知双曲线y= (k>0)与直线y=k′x交于A、B两点,点A在第一象限,试回答下列问题:(1)若点A的坐标为(3,1),则点B的坐标为________;当x满足:________时,≤k′x;(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y= (k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.四边形APBQ一定是________;(3)若点A的坐标为(3,1),点P的横坐标为1,求四边形APBQ的面积.(4)设点A,P的横坐标分别为m,n,四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出m,n应满足的条件;若不可能,请说明理由.【答案】(1)(﹣3,﹣1);﹣3≤x<0或x≥3(2)平行四边形(3)∵点A的坐标为(3,1),∴k=3×1=3,∴反比例函数的解析式为y= ,∵点P的横坐标为1,∴点P的纵坐标为3,∴点P的坐标为(1,3),由双曲线关于原点对称可知,点Q的坐标为(﹣1,﹣3),点B的坐标为(﹣3,﹣1),如图2,过点A、B分别作y轴的平行线,过点P、Q分别作x轴的平行线,分别交于C、D、E、F,则四边形CDEF是矩形,CD=6,DE=6,DB=DP=4,CP=CA=2,则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16.(4)解:mn=k时,四边形APBQ是矩形,不可能是正方形,理由:当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形,此时点A、P在坐标轴上,由于点A,P可能达到坐标轴故不可能是正方形,即∠POA≠90°.因为mn=k,易知P、A关于直线y=x对称,所以PO=OA=OB=OQ,所以四边形APBQ是矩形.【解析】【解答】解:(1)∵A、B关于原点对称,A(3,1),∴点B的坐标为(﹣3,﹣1).由图象可知,当﹣3≤x<0或x≥3时,≤k′x.故答案为(﹣3,﹣1),﹣3≤x<0或x≥3;(2)∵A、B关于原点对称,P、Q关于原点对称,∴OA=OB,OP=OQ,∴四边形APBQ是平行四边形.故答案为:平行四边形;=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16.【分析】(1)根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称,即可解决问题,利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方,即可确定自变量x的范围.(2)利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.(3)利用分割法求面积即可.(3)根据矩形的性质、正方形的性质即可判定.6.如图,一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标.【答案】(1)解:∵点A(1,a)在一次函数y=﹣x+3的图象上,∴a=﹣1+3=2,∴点A(1,2).∵点A(1,2)在反比例y= (k为常数,且k≠0)的图象上,∴k=1×2=2,∴反比例函数的表达式为y= .联立一次函数与反比例函数关系式成方程组,得:,解得:,,∴点B(2,1)(2)解:作B点关于x轴的对称点B′(2,﹣1),连接AB’,交x轴于点P,连接PB,如图所示.∵点B、B′关于x轴对称,∴PB=PB′.∵点A、P、B′三点共线,∴此时PA+PB取最小值.设直线AB′的函数表达式为y=mx+n(m≠0),将A(1,2)、B(2,﹣1)代入y=mx+n,,解得:,∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5.当y=﹣3x+5=0时,x= ,∴满足条件的点P的坐标为(,0).【解析】【分析】(1)将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标,由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式,联立两函数表达式成方程组,通过解方程组即可求出点B的坐标;(2)作B点关于x轴的对称点B′(2,﹣1),连接AB’,交x轴于点P,连接PB,由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值,根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标.7.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A,与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点D是反比例函数图象在第四象限内的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO,求点D的坐标.(3)若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动,当线段DC与线段DB之差达到最大时,求点D的坐标.【答案】(1)解:∵tan∠ABO= ,∴ = ,且OB=4,∴OA=2,∵CE⊥x轴,即CE∥AO,∴△AOB∽△CEB,∴ = ,即 = ,解得CE=3,∴C(﹣2,3),∴m=﹣2×3=﹣6,∴反比例函数解析式为y=﹣(2)解:设D(x,﹣),∵D在第四象限,∴DF=x,OF= ,∴S△DFO= DF•OF= x× =3,由(1)可知OA=2,∴AF=x+ ,∴S△BAF= AF•OB= (x+ )×4=2(x+ ),∵S△BAF=4S△DFO,∴2(x+ )=4×3,解得x=3+ 或x=3﹣,当x=3+ 时,﹣的值为3﹣,当x=3﹣时,﹣的值为3+ ,∵D在第四象限,∴x=3﹣不合题意,舍去,∴D(3+ ,3﹣)(3)解:∵D在第四象限,∴在△BCD中,由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC,即当B、C、D三点共线时,其差最大,设直线AB解析式为y=kx+b,由题意可得,解得,∴直线AB解析式为y=﹣ x+2,联立直线AB和反比例函数解析式可得,解得或(舍去),∴D(6,﹣1),即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为(6,﹣1)【解析】【分析】(1)由条件可求得OA,由△AOB∽△CEB可求得CE,则可求得C点坐标,代入反比例函数解析式可求得m的值,可求得反比例函数解析式;(2)设出D的坐标,从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积,由条件可列出方程,从而可求得D点坐标;(3)在△BCD中,由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC,当B、C、D三点共线时,其差最大,联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标.8.如图,已知直线l:y=kx+b(k<0,b>0,且k、b为常数)与y轴、x轴分别交于A 点、B点,双曲线C:y= (x>0).(1)当k=﹣1,b=2 时,求直线l与双曲线C公共点的坐标;(2)当b=2 时,求证:不论k为任何小于零的实数,直线l与双曲线C只有一个公共点(设为P),并求公共点P的坐标(用k的式子表示).(3)①在(2)的条件下,试猜想线段PA、PB是否相等.若相等,请加以证明;若不相等,请说明理由;②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2,猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系.【答案】(1)解:联立l与C得,①﹣②,得﹣x+2 ﹣ =0化简,得x2﹣2 x+3=0解得x1=x2= ,y1=y2= ,直线l与双曲线C公共点的坐标为(,)(2)解:证明:联立l与C得,①﹣②,得kx+2 ﹣ =0,化简,得kx2+2 x﹣3=0,a=k,b=2 ,c=﹣3,△=b2﹣4ac=(2 )2﹣4k×(﹣3)=12k﹣12k=0,∴kx2+2 x﹣3=0只有相等两实根,即不论k为任何小于零的实数,直线l与双曲线C只有一个公共点;x=﹣,y= ,即P(﹣,)(3)解:①PA=PB,理由如下:y=kx+b当x=0时,y=b,即A(0,b);当y=0时,x=﹣,即B(﹣,0),P(﹣,),PA= ,PB= ,∴PA=PB.②P1A=P2B,理由如下:y=kx+b当x=0时,y=b,即A(0,b);当y=0时,x=﹣,即B(﹣,0),联立l与C得,①﹣②,得kx+b﹣ =0,化简,得kx2+bx﹣3=0,解得P1(,)P2(,)P1A2=()2+()2,P2B2=()2+()2,∴P1A2=P2B2,∴P1A=P2B【解析】【分析】(1)根据联立函数解析式,可得方程组,根据代入消元法,可得方程组的解,可得交点的坐标;(2)根据联立函数解析式,可得方程组,根据代入消元法,可的一元二次方程,根据判别式,可得答案;(3)①根据函数与自变量的关系,可得A、B点坐标,根据两点间距离公式,可得答案;②根据函数与自变量的关系,可得A、B点坐标,根据联立函数解析式,可得方程组,根据代入消元法,可得方程组的解,可得交点的坐标,根据两点间距离公式,可得答案.9.在平面直角坐标系中,抛物线经过点,、,,其中、是方程的两根,且,过点的直线与抛物线只有一个公共点(1)求、两点的坐标;(2)求直线的解析式;(3)如图2,点是线段上的动点,若过点作轴的平行线与直线相交于点,与抛物线相交于点,过点作的平行线与直线相交于点,求的长. 【答案】(1)解:∵x1、x2是方程x2-2x-8=0的两根,且x1<x2,∴x1=-2,x2=4,∴A(-2,2),C(4,8)(2)解:①设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),∵A(-2,2)在直线l上,∴2=-2k+b,∴b=2k+2,∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①,∵抛物线y= x2②,联立①②化简得,x2-2kx-4k-4=0,∵直线l与抛物线只有一个公共点,∴△=(2k)2-4(-4k-4)=4k2+16k+16=4(k2+4k+4)=4(k+2)2=0,∴k=-2,∴b=2k+2=-2,∴直线l的解析式为y=-2x-2;②平行于y轴的直线和抛物线y= x2只有一个交点,∵直线l过点A(-2,2),∴直线l:x=-2(3)解:由(1)知,A(-2,2),C(4,8),∴直线AC的解析式为y=x+4,设点B(m,m+4),∵C(4.8),∴BC= |m-4|= (4-m)∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E,与抛物线相交于点D,∴D(m, m2),E(m,-2m-2),∴BD=m+4- m2, BE=m+4-(-2m-2)=3m+6,∵DC∥EF,∴△BDC∽△BEF,∴,∴,∴BF=6 .【解析】【分析】(1)解一元二次方程即可得出点A,C坐标;(2)先设出直线l的解析式,再联立抛物线解析式,用△=0,求出k的值,即可得出直线l的解析式;(3)设出点B的坐标,进而求出BC,再表示出点D,E的坐标,进而得出BD,BE,再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF.10.如图所示,在平面直角坐标系xoy中,直线y= x+ 交x轴于点B,交y轴于点A,过点C(1,0)作x轴的垂线l,将直线l绕点C按逆时针方向旋转,旋转角为α(0°<α<180°).(1)当直线l与直线y= x+ 平行时,求出直线l的解析式;(2)若直线l经过点A,①求线段AC的长;②直接写出旋转角α的度数;(3)若直线l在旋转过程中与y轴交于D点,当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时,直接写出符合条件的旋转角α的度数.【答案】(1)解:当直线l与直线y= x+平行时,设直线l的解析式为y= x +b,∵直线l经过点C(1,0),∴0=+b,∴b=,∴直线l的解析式为y=x−(2)解:①对于直线y= x+,令x=0得y=,令y=0得x=−1,∴A(0,),B(−1,0),∵C(1,0),∴AC=,②如图1中,作CE∥OA,∴∠ACE=∠OAC,∵tan∠OAC=,∴∠OAC=30°,∴∠ACE=30°,∴α=30°(3)解:①如图2中,当α=15°时,∵CE∥OD,∴∠ODC=15°,∵∠OAC=30°,∴∠ACD=∠ADC=15°,∴AD=AC=AB,∴△ADB,△ADC是等腰三角形,∵OD垂直平分BC,∴DB=DC,∴△DBC是等腰三角形;②当α=60°时,易知∠DAC=∠DCA=30°,∴DA=DC=DB,∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形;③当α=105°时,易知∠ABD=∠ADB=∠ADC=∠ACD=75°,∠DBC=∠DCB=15°,∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形;④当α=150°时,易知△BDC是等边三角形,∴AB=BD=DC=AC,∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形,综上所述:当α=15°或60°或105°或150°时,△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】(1)设直线l的解析式为y= x+b,把点C(1,0)代入求出b即可;(2)①求出点A的坐标,利用两点间距离公式即可求出AC的长;②如图1中,由CE∥OA,推出∠ACE=∠OAC,由tan∠OAC=,推出∠OAC=30°,即可解决问题;(3)根据等腰三角形的判定和性质,分情况作出图形,进行求解即可.11.已知关于的一元二次方程有实数根,为正整数.(1)求的值;(2)当此方程有两个不为0的整数根时,将关于的二次函数的图象向下平移2个单位,求平移后的函数图象的解析式;(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数图象位于轴左侧的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象G.当直线与图象G有3个公共点时,请你直接写出的取值范围.【答案】(1)解:∵方程有实数根,∴ .∴,解得 .∵为正整数,∴为1,2,3(2)解:当时,,方程的两个整数根为6,0;当时,,方程无整数根;当时,,方程的两个整数根为2,1∴ ,原抛物线的解析式为: .∴平移后的图象的解析式为(3)解:翻折后得到一个新的图象G的解析式为,联立得,即 .由得 .∴当或时,直线与有一个交点,当时,直线与有两个交点.联立得,即 .由得 .∴当或时,直线与有一个交点,当时,直线与有两个交点.∴要使直线与图象G有3个公共点即要直线与有一个交点且与有两个交点;或直线与有两个交点且与有一个交点.∴的取值范围为 .【解析】【分析】(1)由求出正整数解即可.(2)求出方程有两个不为0的整数根时的二次函数解析式,根据平移的性质得到平移后的函数图象的解析式.(3)分直线与有一个交点且与有两个交点和直线与有两个交点且与有一个交点两种情况求解即可12.综合与探究如图,抛物线的图象经过坐标原点O,且与轴的另一交点为( ,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限),设点A′是点A关于原点O的对称点,连接A′B,试判断ΔAA′B的形状,并说明理由;(3)在问题(2)的基础上,探究:平面内是否存在点P,使得以点A,B,A′,P为顶点的四边形是菱形?若存在直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点(0,0)和( ,0),∴,解得:;∴ .(2)解:ΔAA′B是等边三角形;∵,解得:,∴A( ),B( ),过点A分别作AC⊥轴,AD⊥A′B,垂足分别为C,D,∴AC= ,OC= ,在RtΔAOC中OA= ,∵点A′与点A关于原点对称,∴A′( ),AA′= ,∵B( ),∴A′B=2-(- )= ,又∵A( ),B( ),∴AD= ,BD= ,在RtΔABD中AB= ,∴AA′=A′B=AB,∴ΔAA′B是等边三角形(3)解:存在正确的点P,且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况;设点P的坐标为:(x,y).①当A′B为对角线时,有,解得:,∴点P为:;②当AB为对角线时,有,解得:,∴点P为:;③当AA′为对角线时,有,解得:,∴点P为:;综合上述, , ,【解析】【分析】(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式;(2)先求出点A、B的坐标,利用对称性求出点A′的坐标,利用两点间的距离公式(勾股定理)可求出AB、AA′、A′B的值,由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形;(3)根据等边三角形的性质结合菱形的性质,可得出存在正确得点P,设点P的坐标为(x,y),分三种情况考虑:①当A′B为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P 的坐标;②当AB为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标;③当AA′为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标.综上即可得出结论.。

九年级数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

九年级数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

九年级数学反比例函数的专项培优易错难题练习题(含答案)及详细答案一、反比例函数1.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y2= (c≠0)的图象相交于点B(3,2)、C(﹣1,n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)根据图象,直接写出y1>y2时x的取值范围;(3)在y轴上是否存在点P,使△PAB为直角三角形?如果存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:把B(3,2)代入得:k=6∴反比例函数解析式为:把C(﹣1,n)代入,得:n=﹣6∴C(﹣1,﹣6)把B(3,2)、C(﹣1,﹣6)分别代入y1=ax+b,得:,解得:所以一次函数解析式为y1=2x﹣4(2)解:由图可知,当写出y1>y2时x的取值范围是﹣1<x<0或者x>3.(3)解:y轴上存在点P,使△PAB为直角三角形如图,过B作BP1⊥y轴于P1,∠B P1 A=0,△P1AB为直角三角形此时,P1(0,2)过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90,△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中,在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2(0,)综上所述,P1(0,2)、P2(0,).【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而求出点C坐标,最后用再用待定系数法求出一次函数解析式;(2)利用图象直接得出结论;(3)分三种情况,利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论.2.如图,四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形,对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上(n≥1的整数),点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,P n(x n, y n)在反比例函数y= (x>0)的图象上,并已知B1(﹣1,1).(1)求反比例函数y= 的解析式;(2)求点P2和点P3的坐标;(3)由(1)、(2)的结果或规律试猜想并直接写出:△P n B n O的面积为 ________ ,点P n的坐标为________ (用含n的式子表示).【答案】(1)解:在正方形OP1A1B1中,OA1是对角线,则B1与P1关于y轴对称,∵B1(﹣1,1),∴P1(1,1).则k=1×1=1,即反比例函数解析式为y=(2)解:连接P2B2、P3B3,分别交y轴于点E、F,又点P1的坐标为(1,1),∴OA1=2,设点P2的坐标为(a,a+2),代入y=得a=-1,故点P2的坐标为(-1,+1),则A1E=A2E=2-2,OA2=OA1+A1A2=2,设点P3的坐标为(b,b+2),代入y=(>0)可得b=-,故点P3的坐标为(-,+)(3)1;(-,+)【解析】【解答】解:(3)∵=2=2×=1,=2=2×=1,…∴△P n B n O的面积为1,由P1(1,1)、P2(﹣1, +1)、P3(﹣,+ )知点P n的坐标为(﹣,+ ),故答案为:1、(﹣, +).【分析】(1)由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称,得出点P1(1,1),然后利用待定系数法求解即可;(2)连接P2B2、P3B3,分别交y轴于点E、F,由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2,设P2的坐标为(a,a+2),代入解析式求得a的值即可,同理可得点P3的坐标;(3)先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值,然后找出其中的规律,最后依据规律进行计算即可.3.平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y1= (x>0)与y2=﹣(x<0)的图象上,A、B的横坐标分别为a、b.(1)若AB∥x轴,求△OAB的面积;(2)若△OAB是以AB为底边的等腰三角形,且a+b≠0,求ab的值;(3)作边长为2的正方形ACDE,使AC∥x轴,点D在点A的左上方,那么,对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1= (x>0)的图象都有交点,请说明理由.【答案】(1)解:由题意知,点A(a,),B(b,﹣),∵AB∥x轴,∴,∴a=﹣b;∴AB=a﹣b=2a,∴S△OAB= •2a• =3(2)解:由(1)知,点A(a,),B(b,﹣),∴OA2=a2+()2, OB2=b2+(﹣)2,∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形,∴OA=OB,∴OA2=OB2,∴a2+()2=b2+(﹣)2,∴a2﹣b2=()2﹣()2,∴(a+b)(a﹣b)=( + )(﹣)= ,∵a>0,b<0,∴ab<0,a﹣b≠0,∵a+b≠0,∴1= ,∴ab=3(舍)或ab=﹣3,即:ab的值为﹣3;(3)解:对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1= (x>0)的图象都有交点.理由:如图,∵a≥3,AC=2,∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴,∴直线CD一定与函数y1= (x>0)的图象有交点,∵四边形ACDE是边长为2的正方形,且点D在点A(a,)的左上方,∴C(a﹣2,),∴D(a﹣2, +2),设直线CD与函数y1= (x>0)相交于点F,∴F(a﹣2,),∴FC= ﹣ = ,∴2﹣FC=2﹣ = ,∵a≥3,∴a﹣2>0,a﹣3≥0,∴≥0,∴2﹣FC≥0,∴FC≤2,∴点F在线段CD上,即:对大于或等于3的任意实数a,CD边与函数y1= (x>0)的图象都有交点.【解析】【分析】(1)先判断出a=﹣b,即可得出AB=2a,再利用三角形的面积公式即可得出结论;(2)利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论;(3)先判断出直线CD和函数y1= (x>0)必有交点,根据点A的坐标确定出点C,F的坐标,进而得出FC,再判断FC与2的大小即可.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n),线段OA=5,E为x轴负半轴上一点,且sin∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.【答案】(1)解:作AD⊥x轴于D,如图,在Rt△OAD中,∵sin∠AOD= = ,∴AD= OA=4,∴OD= =3,∴A(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y= 得m=﹣4×3=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;把B(6,n)代入y=﹣得6n=﹣12,解得n=﹣2,把A(﹣3,4)、B(6,﹣2)分别代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2(2)解:当y=0时,﹣x+2=0,解得x=3,则C(3,0),所以S△AOC= ×4×3=6(3)解:当x<﹣3或0<x<6时,一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD⊥x轴于D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣3,4),再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12,则可得到反比例函数解析式;接着把B(6,n)代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组,再解方程组求出a和b的值,从而可确定一次函数解析式;(2)先确定C点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在x轴负半轴上,顶点在轴正半轴上,顶点B在第一象限,线段,的长是一元二次方程的两根,,.(1)直接写出点的坐标________点 C的坐标________;(2)若反比例函数的图象经过点,求k的值;(3)如图过点作轴于点;在轴上是否存在点,使以,,为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似?若存在,直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)解:如图,过点作,垂足为,∵,∴,设,∵ =12,∴EC=12-x,在RtΔBEC中,,∴整理得:,解得:(不合题意舍去),,∴,,∴,把代入,得(3)解:存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=2或OP=6,∴P(0,2)或P(0,6);如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=12,∴P(0,12);如图4,若点P在OD上方,△BDP∽△AOP,则,即,解得:OP=4+2 或OP=4-2 (不合题意舍去),∴P(0,4+2 );如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,则,即,解得:OP=-4+2 或-4-2 (不合题意舍去),则P点坐标为(0,4-2 )故点的坐标为:或或或或【解析】【解答】解:(1)解一元二次方程,解得:,所以,所以,;【分析】(1)首先利用直接开平方法求出方程的两根,从而得出OA=OC=6,进而得出A,C两点的坐标;(2)如图,过点作,垂足为,根据等腰直角三角形的性质得出,设,EC=12-x,在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程,求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标,然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(3)存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解即可得出P点的坐标;如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标;如图4,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P 点的坐标;如图5,若点P在y轴负半轴,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标,综上所述即可得出答案。

中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)及答案解析

中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)及答案解析

中考数学反比例函数培优练习(含答案)及答案解析一、反比例函数1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图1,把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y= ,得k=4.解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),则点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.设直线AP的解析式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,求得直线AP的解析式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15;(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),∴H(m,0),∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,∴MH=NH,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形;(3)解:∠PAQ=∠PBQ.理由如下:过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有,解得:,∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.当y=0时, x+ ﹣1=0,解得:x=c﹣4,∴D(c﹣4,0).同理可得E(c+4,0),∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,∴DT=ET,∴QT垂直平分DE,∴QD=QE,∴∠QDE=∠QED.∵∠MDA=∠QDE,∴∠MDA=∠QED.∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,∴∠PAQ=∠PBQ.【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.2.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”.例如:在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;(2)如图2,若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式;(3)如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,C,D中的一个点坐标为(3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】(1)解:(I)当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时:正方形ABCD的边长为.(II)当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时:设正方形边长为a,易得3a= ,解得a= ,此时正方形的边长为.∴所求“伴侣正方形”的边长为或(2)解:如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,易证△ADE≌△BAO≌△CBF.∵点D的坐标为(2,m),m<2,∴DE=OA=BF=m,∴OB=AE=CF=2﹣m.∴OF=BF+OB=2,∴点C的坐标为(2﹣m,2).∴2m=2(2﹣m),解得m=1.∴反比例函数的解析式为y=(3)解:实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;b、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,c、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在d、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;故二次函数的解析式分别为:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,可求出m的值,即可得到反比例函数的解析式.(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n),线段OA=5,E为x轴负半轴上一点,且sin∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.【答案】(1)解:作AD⊥x轴于D,如图,在Rt△OAD中,∵sin∠AOD= = ,∴AD= OA=4,∴OD= =3,∴A(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y= 得m=﹣4×3=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;把B(6,n)代入y=﹣得6n=﹣12,解得n=﹣2,把A(﹣3,4)、B(6,﹣2)分别代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2(2)解:当y=0时,﹣x+2=0,解得x=3,则C(3,0),所以S△AOC= ×4×3=6(3)解:当x<﹣3或0<x<6时,一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD⊥x轴于D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣3,4),再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12,则可得到反比例函数解析式;接着把B(6,n)代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组,再解方程组求出a和b的值,从而可确定一次函数解析式;(2)先确定C点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.4.如图,一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= (x>0)的图象于A(4,-8)、B (m,-2)两点,交x轴于点C.(1)求反比例函数与一次函数的关系式;(2)根据图象回答:当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?(3)以O、A、B、P为顶点作平行四边形,请直接写出点P的坐标.【答案】(1)解:∵反比例函数y= (x>0)的图象于A(4,-8),∴k=4×(-8)=-32.∵双曲线y= 过点B(m,-2),∴m=16.由直线y=kx+b过点A,B得:,解得,,∴反比例函数关系式为,一次函数关系式为(2)解:观察图象可知,当0<x<4或x>16时,一次函数的值大于反比例函数的值(3)解:∵O(0,0),A(4,-8)、B(16,-2),分三种情况:①若OB∥AP,OA∥BP,∵O(0,0),A(4,-8),∴由平移规律,点B(16,-2)向右平移4个单位,向下平移8个单位得到P点坐标为(20,-10);②若OP∥AB,OA∥BP,∵A(4,-8),B(16,-2),∴由平移规律,点O(0,0)向右平移12个单位,向上平移6个单位得到P点坐标为(12,6);③若OB∥AP,OP∥AB,∵B(16,-2),A(4,-8),∴由平移规律,点O(0,0)向左平移12个单位,向下平移6个单位得到P点坐标为(-12,-6);∴以O,A,B,P为顶点作平行四边形,第四个顶点P的坐标为(12,6)或(-12,-6)或(20,-10)【解析】【分析】(1)将点A(4,-8),B(m,-2)代入反比例函数y= (x>0)中,可求k、a;再将点A(4,-8),B(m,-2)代入y=kx+b中,列方程组求k、b即可;(2)根据两函数图象的交点,图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围;(3)根据平行四边形的性质,即可直接写出.5.如图,已知直线y= x与双曲线y=交于A、B两点,且点A的横坐标为 .(1)求k的值;(2)若双曲线y=上点C的纵坐标为3,求△AOC的面积;(3)在坐标轴上有一点M,在直线AB上有一点P,在双曲线y=上有一点N,若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形,请写出所有满足条件的点P的坐标.【答案】(1)解:把x= 代入,得y= ,∴A(,1),把点代入,解得:;(2)解:∵把y=3代入函数,得x= ,∴C ,设过,两点的直线方程为:,把点,,代入得:,解得:,∴,设与轴交点为,则点坐标为,∴;(3)解:设点坐标,由直线解析式可知,直线与轴正半轴夹角为,∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形,在直线上,∴点只能在轴上,∴点的横坐标为,代入,解得纵坐标为:,根据,即得:,解得: .故点坐标为:或 .【解析】【分析】(1)先求的A点纵坐标,然后用待定系数法求解即可;(2)先求出C 点坐标,再用待定系数法求的直线AC的解析式,然后求得直线AC与x的交点坐标,再根据求解即可;(3)设点坐标,根据题意用关于a的式子表示出N的坐标,再根据菱形的性质得,求出a的值即可.6.如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD∥y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m=4,n=20时.①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.【答案】(1)①当x=4时,∴点B的坐标是(4,1)当y=2时,由得得x=2∴点A的坐标是(2,2)设直线AB的函数表达式为∴解得∴直线AB的函数表达式为②四边形ABCD为菱形,理由如下:如图,由①得点B(4,1),点D(4,5)∵点P为线段BD的中点∴点P的坐标为(4,3)当y=3时,由得,由得,∴PA= ,PC=∴PA=PC而PB=PD∴四边形ABCD为平行四边形又∵BD⊥AC∴四边形ABCD是菱形(2)四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD时正方形时,PA=PB=PC=PD(设为t,t≠0),当x=4时,∴点B的坐标是(4,)则点A的坐标是(4-t,)∴,化简得t=∴点D的纵坐标为则点D的坐标为(4,)所以,整理得m+n=32【解析】【分析】(1)①分别求出点A,B的坐标,运用待定系数法即可求出直线AB的表达示;②由特殊的四边形可知,对角线互相垂直的是菱形和正方形,则可猜测这个四边形是菱形或是正方形,先证明其为菱形先,则需要证明四边形ABCD是平行四边形,运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些;再判断对角线是否相等,若不相等则不是正方形;(2)要使m,n有具体联系,根据A,B,C,D分别在两个函数图象,且由正方形的性质,可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ,即可得到只关于m和n的等式.7.如图,在平面直角坐标系中,直线与双曲线相交于点A(,6)和点B(-3,),直线AB与轴交于点C.(1)求直线AB的表达式;(2)求的值.【答案】(1)解:∵点A(,6)和点B(-3,)在双曲线,∴m=1,n=-2,∴点A(1,6),点B(-3,-2),将点A、B代入直线,得,解得,∴直线AB的表达式为:(2)解:分别过点A、B作AM⊥y轴,BN⊥y轴,垂足分别为点M、N,则∠AMO=∠BNO=90°,AM=1,BN=3,∴AM//BN,∴△ACM∽△BCN,∴【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值,利用待定系数法求一次函数的表达式;作辅助线,构建平行线,根据平行线分线段成比例定理可得结论.8.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= (m≠0)的图象有公共点A(1,a)、D(﹣2,﹣1).直线l与x轴垂直于点N(3,0),与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)根据图象回答,x在什么范围内,一次函数的值大于反比例函数的值;(3)求△ABC的面积.【答案】(1)解:∵反比例函数经过点D(﹣2,﹣1),∴把点D代入y= (m≠0),∴﹣1= ,∴m=2,∴反比例函数的解析式为:y= ,∵点A(1,a)在反比例函数上,∴把A代入y= ,得到a= =2,∴A(1,2),∵一次函数经过A(1,2)、D(﹣2,﹣1),∴把A、D代入y=kx+b (k≠0),得到:,解得:,∴一次函数的解析式为:y=x+1(2)解:如图:当﹣2<x<0或x>1时,一次函数的值大于反比例函数的值(3)解:过点A作AE⊥x轴交x轴于点E,∵直线l⊥x轴,N(3,0),∴设B(3,p),C(3,q),∵点B在一次函数上,∴p=3+1=4,∵点C在反比例函数上,∴q= ,∴S△ABC= BC•EN= ×(4﹣)×(3﹣1)= .【解析】【分析】由反比例函数经过点D(-2,-1),即可求得反比例函数的解析式;然后求得点A的坐标,再利用待定系数法求得一次函数的解析式;结合图象求解即可求得x在什么范围内,一次函数的值大于反比例函数的值;首先过点A作AE⊥x轴交x轴于点E,由直线l与x轴垂直于点N(3,0),可求得点E,B,C的坐标,继而求得答案.9.对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如:下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x-1,y=x-1,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;(2)函数y=2x2-bx.①若其不变长度为零,求b的值;②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围;(3)记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2,函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为________.【答案】(1)解:函数y=x-1没有不变值;∵函数有-1和1两个不变值,∴其不变长度为2;∵函数有0和1两个不变值,∴其不变长度为1;(2)解:① 函数y=2x2-bx的不变长度为0,方程2x2-bx=x有两个相等的实数根,∴△=(b+1)2=0,b=-1,②∵2x2-bx=x,∴,1≤b≤3,1≤≤2,函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围为1≤q≤2.(3)1≤m≤3或m<-【解析】【解答】解(3)依题可得:函数G的图像关于x=m对称,∴函数G:y=,当x2-2x=x时,即x(x-3)=0,∴x3=0,x4=3,当(2m-x)2-2(2m-x)=x时,即x2+(1-4m)x+(4m2-4m)=0,∴△=(1-4m)2-4×(4m2-4m)=1+8m,当△=1+8m0时,即m-,此方程无解,∴q=x4-x3=3-0=3;当△=1+8m 0时,即m -,此方程有解,∴x5=, x6=,①当-m0时,∵x3=0,x4=3,∴x60,∴x4-x63(不符合题意,舍去),②∵当x5=x4时,∴m=1,当x6=x3时,∴m=3,当0m1时,x3=0(舍去),x4=3,此时0x5x4, x60,∴q=x4-x63(舍去);当1m3时,x3=0(舍去),x4=3,此时0x5x4, x60,∴q=x4-x63(舍去);当m3时,x3=0(舍去),x4=3(舍去),此时x53,x60,∴q=x5-x63(舍去);综上所述:m的取值范围为:1m3或m < -,【分析】(1)根据题目定义即可得出函数y=x-1没有不变值;再分别求出函数、函数的不变值,从而求出其不变长度.(2)① 由已知条件得方程2x2-bx=x有两个相等的实数根,即根的判别式△=(b+1)2=0,从而求出 b=-1;②由题意得2x2-bx=x,求出方程的根,再根据1≤b≤3,即可求出函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围.(3)依题可得:函数G的图像关于x=m对称,分情况讨论写出函数G的解析式,根据定义和一元二次方程求出值,再分情况讨论即可得出答案.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y= 相交于点A(m,3),B(﹣6,n),与x轴交于点C.(1)求直线y=kx+b(k≠0)的解析式;(2)若点P在x轴上,且S△ACP= S△BOC,求点P的坐标(直接写出结果).【答案】(1)解:)∵点A(m,3),B(﹣6,n)在双曲线y= 上,∴m=2,n=﹣1,∴A(2,3),B(﹣6,﹣1).将(2,3),B(﹣6,﹣1)带入y=kx+b,得:,解得.∴直线的解析式为y= x+2(2)解:当y= x+2=0时,x=﹣4,∴点C(﹣4,0).设点P的坐标为(x,0),∵S△ACP= S△BOC, A(2,3),B(﹣6,﹣1),∴×3|x﹣(﹣4)|= × ×|0﹣(﹣4)|×|﹣1|,即|x+4|=2,解得:x1=﹣6,x2=﹣2.∴点P的坐标为(﹣6,0)或(﹣2,0).【解析】【分析】(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标,再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标,设点P的坐标为(x,0),根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC,即可得出|x+4|=2,解之即可得出结论.11.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;(3)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+ QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3),即:3a=3,解得:a=1,故抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+3,则顶点D(2,﹣1);(2)解:将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:直线BC的表达式为:y=﹣x+3,过点P作y轴的平行线交BC于点H,设点P(x,x2﹣4x+3),则点H(x,﹣x+3),则S△PBC=PH×OB=(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)=(﹣x2+3x),∵﹣<0,故S△PBC有最大值,此时x=,故点P(,﹣);(3)解:存在,理由:如上图,过点C作与y轴夹角为30°的直线CH,过点A作AH⊥CH,垂足为H,则HQ=CQ,Q+ QC最小值=AQ+HQ=AH,直线HC所在表达式中的k值为,直线HC的表达式为:y=x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣,则直线AH的表达式为:y=﹣x+s,将点A的坐标代入上式并解得:则直线AH的表达式为:y=﹣x+ …②,联立①②并解得:x=,故点H(,),而点A(1,0),则AH=,即:AQ+ QC的最小值为 .【解析】【分析】(1)将坐标(1,0),B(3,0)代入计算即可得出抛物线的解析式,即可计算出D的坐标.(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算,设点P(x,x2﹣4x+3),则点H(x,﹣x+3),求出x的值即可.(3)存在,过点C作与y轴夹角为30°的直线CH,过点A作AH⊥CH,垂足为H,则HQ=CQ,Q+ QC最小值=AQ+HQ=AH,求出k值,再将A的坐标代入计算即可解答.12.已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),BC=AC.(1)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;(2)在(1)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.【答案】(1)解:如图1,过点B作BD⊥AB,交x轴于点D,∵∠A=∠A,∠ACB=∠ABD=90°,∴△ABC∽△ADB,∴∠ABC=∠ADB,且∠ACB=∠BCD=90°,∴△ABC∽△BDC,∴∵A(﹣3,0),C(1,0),∴AC=4,∵BC=AC.∴BC=3,∴AB===5,∵,∴,∴CD=,∴AD=AC+CD=4+ =,∴OD=AD﹣AO=,∴点D的坐标为:(,0);(2)解:如图2,当∠APC=∠ABD=90°时,∵∠APC=∠ABD=90°,∠BAD=∠PAQ,∴△APQ∽△ABD,∴,∴∴m=,如图3,当∠AQP=∠ABD=90°时,∵∠AQP=∠ABD=90°,∠PAQ=∠BAD,∴△APQ∽△ADB,∴,∴∴m=;综上所述:当m=或时,△APQ与△ADB相似.【解析】【分析】(1)如图1,过点B作BD⊥AB,交x轴于点D,可证△ABC∽△ADB,可得∠ABC=∠ADB,可证△ABC∽△BDC,可得,可求CD 的长,即可求点D坐标;(2)分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求解.。

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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图.一次函数y=x+b的图象经过点B(﹣1,0),且与反比例函数(k为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1,n).求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)当1≤x≤6时,反比例函数y的取值范围.【答案】(1)解:把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b得: 0=﹣1+b,∴b=1,∴一次函数解析式为:y=x+1,∵点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,∴n=1+1,∴n=2,∴点A的坐标是(1,2).∵反比例函数的图象过点A(1,2).∴k=1×2=2,∴反比例函数关系式是:y=(2)解:反比例函数y= ,当x>0时,y随x的增大而减少,而当x=1时,y=2,当x=6时,y= ,∴当1≤x≤6时,反比例函数y的值:≤y≤2【解析】【分析】(1)根据题意首先把点B(﹣1,0)代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式,又点A(1,n)在一次函数y=x+b的图象上,再利用一次函数解析式求出点A的坐标,然后利用代入系数法求出反比例函数解析式,(2)根据反比例函数的性质分别求出当x=1,x=6时的y值,即可得到答案.2.平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,AD交y轴于P点(1)已知点A的坐标是(2,3),求k的值及C点的坐标;(2)在(1)的条件下,若△APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.【答案】(1)解:∵点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,∴3= ,点C与点A关于原点O对称,∴k=6,C(﹣2,﹣3),即k的值是6,C点的坐标是(﹣2,﹣3);(2)解:过点A作AN⊥y轴于点N,过点D作DM⊥AC,如图,∵点A(2,3),k=6,∴AN=2,∵△APO的面积为2,∴,即,得OP=2,∴点P(0,2),设过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=kx+b,,得,∴过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=0.5x+2,当y=0时,0=0.5x+2,得x=﹣4,∴点D的坐标为(﹣4,0),设过点A(2,3),B(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=mx+b,则,得,∴过点A(2,3),C(﹣2,﹣3)的直线解析式为y=1.5x,∴点D到直线AC的直线得距离为:= .【解析】【分析】(1)根据点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= (k≠0)图象上,点B、D在x轴上,且B、D两点关于原点对称,可以求得k的值和点C的坐标;(2)根据△APO的面积为2,可以求得OP的长,从而可以求得点P的坐标,进而可以求得直线AP的解析式,从而可以求得点D的坐标,再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n),线段OA=5,E为x轴负半轴上一点,且sin∠AOE=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOC的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.【答案】(1)解:作AD⊥x轴于D,如图,在Rt△OAD中,∵sin∠AOD= = ,∴AD= OA=4,∴OD= =3,∴A(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y= 得m=﹣4×3=﹣12,所以反比例函数解析式为y=﹣;把B(6,n)代入y=﹣得6n=﹣12,解得n=﹣2,把A(﹣3,4)、B(6,﹣2)分别代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y=﹣x+2(2)解:当y=0时,﹣x+2=0,解得x=3,则C(3,0),所以S△AOC= ×4×3=6(3)解:当x<﹣3或0<x<6时,一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】(1)作AD⊥x轴于D,如图,先利用解直角三角形确定A(﹣3,4),再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12,则可得到反比例函数解析式;接着把B(6,n)代入反比例函数解析式求出n,然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组,再解方程组求出a和b的值,从而可确定一次函数解析式;(2)先确定C点坐标,然后根据三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.4.阅读理解:配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最大(小)值。

对于任意正实数a、b,可作如下变形a+b= = - + = + ,又∵≥0,∴ + ≥0+ ,即≥ .(1)根据上述内容,回答下列问题:在≥ (a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则a+b≥ ,当且仅当a、b满足________时,a+b有最小值.(2)思考验证:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,CO为AB边上中线,AD=2a, DB=2b, 试根据图形验证≥ 成立,并指出等号成立时的条件.(3)探索应用:如图2,已知A为反比例函数的图象上一点,A点的横坐标为1,将一块三角板的直角顶点放在A处旋转,保持两直角边始终与x轴交于两点D、E,F(0,-3)为y轴上一点,连接DF、EF,求四边形ADFE面积的最小值.【答案】(1)a=b(2)解:有已知得CO=a+b,CD=2 ,CO≥CD,即≥2 .当D与O重合时或a=b时,等式成立.(3)解: ,当DE最小时S四边形ADFE最小.过A作AH⊥x轴,由(2)知:当DH=EH时,DE最小,所以DE最小值为8,此时S四边形ADFE= (4+3)=28.【解析】【分析】(1)根据题中的例子即可直接得出结论。

(2)根据直角三角形的性质得出CO=a+b,CD=,再由(1)中的结论即可得出等号成立时的条件。

(3)过点A作AH⊥x轴于点H,根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE,可知当DH=EH时DE最小,由此可证得结论。

5.理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值,经过思考、讨论、交流,得到以下思路:思路一如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC= .tanD=tan15°= = = .思路二利用科普书上的和(差)角正切公式:tan(α±β)= .假设α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°﹣45°)= == .思路三在顶角为30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题(上述思路仅供参考).(1)类比:求出tan75°的值;(2)应用:如图2,某电视塔建在一座小山上,山高BC为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为60米,从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°,求这座电视塔CD的高度;(3)拓展:如图3,直线与双曲线交于A,B两点,与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点P的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)解:方法一:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC= .tan∠DAC=tan75°= = = = ;方法二:tan75°=tan(45°+30°)= = = =(2)解:如图2,在Rt△ABC中,AB= = = ,sin∠BAC= ,即∠BAC=30°.∵∠DAC=45°,∴∠DAB=45°+30°=75°.在Rt△ABD中,tan∠DAB= ,∴DB=AB•tan∠DAB= •()= ,∴DC=DB﹣BC= = .答:这座电视塔CD的高度为()米(3)解:①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后,与双曲线相交于点P,如图3.过点C 作CD∥x轴,过点P作PE⊥CD于E,过点A作AF⊥CD于F.解方程组:,得:或,∴点A(4,1),点B(﹣2,﹣2).对于,当x=0时,y=﹣1,则C(0,﹣1),OC=1,∴CF=4,AF=1﹣(﹣1)=2,∴tan∠ACF= ,∴tan∠PCE=tan(∠ACP+∠ACF)=tan(45°+∠ACF)= = =3,即 =3.设点P的坐标为(a,b),则有:,解得:或,∴点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3);②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后,与x轴相交于点G,如图4.由①可知∠ACP=45°,P(,3),则CP⊥CG.过点P作PH⊥y轴于H,则∠GOC=∠CHP=90°,∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH,∴△GOC∽△CHP,∴.∵CH=3﹣(﹣1)=4,PH= ,OC=1,∴,∴GO=3,G(﹣3,0).设直线CG的解析式为,则有:,解得:,∴直线CG的解析式为.联立:,消去y,得:,整理得:,∵△= ,∴方程没有实数根,∴点P 不存在.综上所述:直线AB绕点C旋转45°后,能与双曲线相交,交点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3).【解析】【分析】tan∠DAC=tan75°,tan∠DAC用边的比值表示.在Rt△ABC中,由勾股定理求出AB,由三角函数得出∠BAC=30°,从而得到∠DAB=75°,在Rt△ABD中,可求出DB,DC=DB﹣BC.分两种情况讨论,设点P的坐标为(a,b),根据tan∠PCE和P在图像上列出含有a,b的方程组,求出a,b.利用已知证明△GOC∽△CHP,根据相似三角形的性质可求出G的坐标,设出直线CG的解析式,与反比例函数组成方程组消元,△<0 点P不存在.6.如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数y= (k≠0,且k为常数)的图象过点E,且S△AOE=3S△OBE.(1)求k的值;(2)反比例函数图象与线段BC交于点D,直线y= x+b过点D与线段AB交于点F,延长OF交反比例函数y= (x<0)的图象于点N,求N点坐标.【答案】(1)解:∵S△AOE=3S△OBE,∴AE=3BE,∴AE=3,∴E(﹣3,4)反比例函数y= (k≠0,且k为常数)的图象过点E,∴4= ,即k=﹣12(2)解:∵正方形AOCB的边长为4,∴点D的横坐标为﹣4,点F的纵坐标为4.∵点D在反比例函数的图象上,∴点D的纵坐标为3,即D(﹣4,3).∵点D在直线y= x+b上,∴3= ×(﹣4)+b,解得b=5.∴直线DF为y= x+5,将y=4代入y= x+5,得4= x+5,解得x=﹣2.∴点F的坐标为(﹣2,4),设直线OF的解析式为y=mx,代入F的坐标得,4=﹣2m,解得m=﹣2,∴直线OF的解析式为y=﹣2x,解,得.∴N(﹣,2 )【解析】【分析】(1)根据题意求得E的坐标,把点E(﹣3,4)代入利用待定系数法即可求出k的值;(2)由正方形AOCB的边长为4,故可知点D的横坐标为﹣4,点F的纵坐标为4.由于点D在反比例函数的图象上,所以点D的纵坐标为3,即D(﹣4,3),由点D在直线y= x+b上可得出b的值,进而得出该直线的解析式,再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标,然后根据待定系数法求得直线OF的解析式,然后联立方程解方程组即可求得.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y= 相交于点A(m,3),B(﹣6,n),与x轴交于点C.(1)求直线y=kx+b(k≠0)的解析式;(2)若点P在x轴上,且S△ACP= S△BOC,求点P的坐标(直接写出结果).【答案】(1)解:)∵点A(m,3),B(﹣6,n)在双曲线y= 上,∴m=2,n=﹣1,∴A(2,3),B(﹣6,﹣1).将(2,3),B(﹣6,﹣1)带入y=kx+b,得:,解得.∴直线的解析式为y= x+2(2)解:当y= x+2=0时,x=﹣4,∴点C(﹣4,0).设点P的坐标为(x,0),∵S△ACP= S△BOC, A(2,3),B(﹣6,﹣1),∴×3|x﹣(﹣4)|= × ×|0﹣(﹣4)|×|﹣1|,即|x+4|=2,解得:x1=﹣6,x2=﹣2.∴点P的坐标为(﹣6,0)或(﹣2,0).【解析】【分析】(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标,再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标,设点P的坐标为(x,0),根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC,即可得出|x+4|=2,解之即可得出结论.8.如图,已知,A(0,4),B(﹣3,0),C(2,0),D为B点关于AC的对称点,反比例函数y= 的图象经过D点.(1)证明四边形ABCD为菱形;(2)求此反比例函数的解析式;(3)已知在y= 的图象(x>0)上一点N,y轴正半轴上一点M,且四边形ABMN是平行四边形,求M点的坐标.【答案】(1)解:∵A(0,4),B(﹣3,0),C(2,0),∴OA=4,OB=3,OC=2,∴AB= =5,BC=5,∴AB=BC,∵D为B点关于AC的对称点,∴AB=AD,CB=CD,∴AB=AD=CD=CB,∴四边形ABCD为菱形(2)解:∵四边形ABCD为菱形,∴D点的坐标为(5,4),反比例函数y= 的图象经过D点,∴4= ,∴k=20,∴反比例函数的解析式为:y=(3)解:∵四边形ABMN是平行四边形,∴AN∥BM,AN=BM,∴AN是BM经过平移得到的,∴首先BM向右平移了3个单位长度,∴N点的横坐标为3,代入y= ,得y= ,∴M点的纵坐标为:﹣4= ,∴M点的坐标为:(0,)【解析】【分析】(1)由A(0,4),B(﹣3,0),C(2,0),利用勾股定理可求得AB=5=BC,又由D为B点关于AC的对称点,可得AB=AD,BC=DC,即可证得AB=AD=CD=CB,继而证得四边形ABCD为菱形;(2)由四边形ABCD为菱形,可求得点D 的坐标,然后利用待定系数法,即可求得此反比例函数的解析式;(3)由四边形ABMN 是平行四边形,根据平移的性质,可求得点N的横坐标,代入反比例函数解析式,即可求得点N的坐标,继而求得M点的坐标.9.如图1,抛物线y=ax2﹣4ax+b经过点A(1,0),与x轴交于点B,与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的解析式;(2)将△OAC沿AC翻折得到△ACE,直线AE交抛物线于点P,求点P的坐标;(3)如图2,点M为直线BC上一点(不与B、C重合),连OM,将OM绕O点旋转90°,得到线段ON,是否存在这样的点N,使点N恰好在抛物线上?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:由题意知:抛物线的对称轴为:x=2,则B(3,0);已知OB=OC=3,则C(0,-3);设抛物线的解析式为:y=a(x-1)(x-3),依题意有:a(0-1)(0-3)=-3,a=-1;故抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3.(2)解:设AE交y轴于点F;易证得△FOA∽△FEC,有,设OF=x,则EF=3x,所以FA=3x﹣1;在Rt△FOA中,由勾股定理得:(3x﹣1)2=x2+1,解得x=;即OF=,F(0,);求得直线AE为y=﹣x+ ,联立抛物线的解析式得:,解得,;故点P(,).(3)解:∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直线BC:y=x﹣3;设点M(a,a﹣3),则:①当点M在第一象限时,OG=a,MG=a﹣3;过M作MG⊥x轴于G,过N作NH⊥x轴于H;根据旋转的性质知:∠MON=90°,OM=ON,则可证得△MOG≌△NOH,得:OG=NH=a,OH=MG=a﹣3,故N(a﹣3,﹣a),将其代入抛物线的解析式中,得:﹣(a﹣3)2+4(a﹣3)﹣3=﹣a,整理得:a2﹣11a+24=0,a=3(舍去),a=8;故M(8,5),N(5,﹣8).②当点M在第三象限时,OG=﹣a,MG=3﹣a;同①可得:MG=OH=3﹣a,OG=NH=﹣a,则N(3﹣a,a),代入抛物线的解析式可得:﹣(3﹣a)2+4(3﹣a)﹣3=a,整理得:a2﹣a=0,故a=0,a=1;由于点M在第三象限,所以a<0,故a=0、a=1均不合题意,此种情况不成立;③当点M在第四象限时,OG=a,MG=3﹣a;同①得:N(3﹣a,a),在②中已经求得此时a=0(舍去),a=1;故M(1,﹣2),N(2,1);综上可知:存在符合条件的N点,且坐标为N(2,1)或(5,﹣8).【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式,可得抛物线的对称轴方程,进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标,已知OB=OC,即可得到点C的坐标,从而利用待定系数法求得抛物线的解析式.(2)点P为直线AE和抛物线的交点,欲求点P,必须先求出直线AE的解析式;设直线AE与y轴的交点为F,易得△FOA∽△FEC,由于OA=1,EC=3,根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF,设OF=x,则EF=3x,AF=3x-1,进而可在Rt△FOA 中求出x的值,也就能求出F点的坐标,然后利用待定系数法求出直线AE的解析式,联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标.(3)此题应分三种情况讨论:①当点M在第一象限时,可设M(a,a-3),由于ON是由OM旋转90°而得,因此△OMN是等腰直角三角形,分别过M、N作MG、NH垂直于x轴,即可证得△OMG≌△NOH,得MG=OH,NH=OG,由此可表示出N点的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即可求得点M、N 的坐标;②当点M在第三象限,④点M在第四象限时,解法同①.10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;(3)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+ QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3),即:3a=3,解得:a=1,故抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+3,则顶点D(2,﹣1);(2)解:将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:直线BC的表达式为:y=﹣x+3,过点P作y轴的平行线交BC于点H,设点P(x,x2﹣4x+3),则点H(x,﹣x+3),则S△PBC=PH×OB=(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)=(﹣x2+3x),∵﹣<0,故S△PBC有最大值,此时x=,故点P(,﹣);(3)解:存在,理由:如上图,过点C作与y轴夹角为30°的直线CH,过点A作AH⊥CH,垂足为H,则HQ=CQ,Q+ QC最小值=AQ+HQ=AH,直线HC所在表达式中的k值为,直线HC的表达式为:y=x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣,则直线AH的表达式为:y=﹣x+s,将点A的坐标代入上式并解得:则直线AH的表达式为:y=﹣x+ …②,联立①②并解得:x=,故点H(,),而点A(1,0),则AH=,即:AQ+ QC的最小值为 .【解析】【分析】(1)将坐标(1,0),B(3,0)代入计算即可得出抛物线的解析式,即可计算出D的坐标.(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算,设点P(x,x2﹣4x+3),则点H(x,﹣x+3),求出x的值即可.(3)存在,过点C作与y轴夹角为30°的直线CH,过点A作AH⊥CH,垂足为H,则HQ=CQ,Q+ QC最小值=AQ+HQ=AH,求出k值,再将A的坐标代入计算即可解答.11.如图1,抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A,B,C,已知点A(﹣1,0),点B(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)点D为抛物线的顶点,DE⊥x轴于点E,点N是线段DE上一动点①当点N在何处时,△CAN的周长最小?②若点M(m,0)是x轴上一个动点,且∠MNC=90°,求m的取值范围.【答案】(1)解:函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),故﹣3a=﹣3,解得:a=1,故函数的表达式为:y=x2﹣2x﹣3(2)解:①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,﹣3),连接AC'交DE于点N,则此时△CAN的周长最小.设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b,则:,解得:,故直线AC'的表达式为:y=﹣x﹣1,当x=1时,y=﹣2,故点N(1,﹣2);②如图2,过点C作CG⊥ED于点G.设NG=n,则NE=3﹣n.∵∠CNG+∠GCN=90°,∠CNG+∠MNE=90°,∴∠NCG=∠MNE,则tan∠NCG=n=tan∠MNE,故ME=﹣n2+3n,∴﹣1<0,故ME有最大值,当n时,ME,则m的最小值为:;如下图所示,当点N与点D重合时,m取得最大值.过C作CG⊥ED于G.∵y=x2﹣2x﹣3= y=(x-1)2﹣4,∴D(1,-4),∴CG=OE=1.∵EG=OC=3∴GD=4-3=1,∴CG=DG=1,∴∠CDG=45°.∵∠CDM=90°,∴∠EDM=45°,∴△EDM是等腰直角三角形,∴EM=ED=4,∴OM=OE+EM=1+4=5,∴m=5.故:m≤5.【解析】【分析】(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;(2)①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,﹣3),连接AC'交DE于点N,则此时△CAN的周长最小,即可求解;②如图2,ME=﹣n2+3n,求出ME最大值,则可求出m的最小值;当点N与点D处时,m取得最大值,求解即可.12.综合与探究如图,抛物线的图象经过坐标原点O,且与轴的另一交点为( ,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限),设点A′是点A关于原点O的对称点,连接A′B,试判断ΔAA′B的形状,并说明理由;(3)在问题(2)的基础上,探究:平面内是否存在点P,使得以点A,B,A′,P为顶点的四边形是菱形?若存在直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点(0,0)和( ,0),∴,解得:;∴ .(2)解:ΔAA′B是等边三角形;∵,解得:,∴A( ),B( ),过点A分别作AC⊥轴,AD⊥A′B,垂足分别为C,D,∴AC= ,OC= ,在RtΔAOC中OA= ,∵点A′与点A关于原点对称,∴A′( ),AA′= ,∵B( ),∴A′B=2-(- )= ,又∵A( ),B( ),∴AD= ,BD= ,在RtΔABD中AB= ,∴AA′=A′B=AB,∴ΔAA′B是等边三角形(3)解:存在正确的点P,且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况;设点P的坐标为:(x,y).①当A′B为对角线时,有,解得:,∴点P为:;②当AB为对角线时,有,解得:,∴点P为:;③当AA′为对角线时,有,解得:,∴点P为:;综合上述, , ,【解析】【分析】(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式;(2)先求出点A、B的坐标,利用对称性求出点A′的坐标,利用两点间的距离公式(勾股定理)可求出AB、AA′、A′B的值,由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形;(3)根据等边三角形的性质结合菱形的性质,可得出存在正确得点P,设点P的坐标为(x,y),分三种情况考虑:①当A′B为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P 的坐标;②当AB为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标;③当AA′为对角线时,根据菱形的性质(对角线互相平分)可求出点P的坐标.综上即可得出结论.13.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A,B(A在B的左侧).(1)抛物线的对称轴为直线x=-3,AB=4.求抛物线的表达式;(2)平移(1)中的抛物线,使平移后的抛物线经过点O,且与x正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,若△OCP是等腰直角三角形,求点P的坐标;(3)当m=4时,抛物线上有两点M(x1, y1)和N(x2, y2),若x1<2,x2>2,x1+x2>4,试判断y1与y2的大小,并说明理由.【答案】(1)解:抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3,AB=4.∴点 A(-5,0),点B(-1,0).∴抛物线的表达式为y=-(x+5)( x+1)∴y=-x2-6x-5.(2)解:如图1,依题意,设平移后的抛物线表达式为:y=-x2+bx.∴抛物线的对称轴为直线x=,抛物线与x正半轴交于点C(b,0).∴b>0.记平移后的抛物线顶点为P,∴点P的坐标(,),∵△OCP是等腰直角三角形,∴ =∴b=2.∴点P的坐标(1,1).(3)解:如图2,当m=4时,抛物线表达式为:y=-x2+4x+n.∴抛物线的对称轴为直线 x=2.∵点M(x1, y1)和N(x2, y2)在抛物线上,且x1<2,x2>2,∴点M在直线x=2的左侧,点N在直线x=2的右侧.∵x1+x2>4,∴2-x1<x2-2,∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近,∴y1>y2.【解析】【分析】(1)先根据抛物线和x轴的交点及线段的长,求出抛物线的解析式;(2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式,再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式;(3)根据抛物线的解析式判断出点M,N的大概位置,再关键点M,N的横坐标的范围即可得出结论.14.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=1时,求线段AB上整点的个数;②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.【答案】(1)解:将抛物线表达式变为顶点式,则抛物线顶点坐标为(1,-1);(2)解:①m=1时,抛物线表达式为,因此A、B的坐标分别为(0,0)和(2,0),则线段AB上的整点有(0,0),(1,0),(2,0)共3个;②抛物线顶点为(1,-1),则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0,所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点;又有抛物线表达式,令y=0,则,得到A、B两点坐标分别为(,0),(,0),即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散,进而得到,∴.【解析】【分析】(1)将抛物线表达式变为顶点式,即可得到顶点坐标;(2)①m=1时,抛物线表达式为,即可得到A、B的坐标,可得到线段AB上的整点个数;②抛物线顶点为(1,-1),则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0,所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点;令y=0,则,解方程可得到A、B两点坐标分别为(,0),(,0),即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散,进而得到,即可得到结论.15.如图,直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A(1,4),B两点,延长AO交反比例函数图象于点C,连接OB.(1)求k和b的值;(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围;(3)在y轴上是否存在一点P,使S△PAC= S△AOB?若存在请求出点P坐标,若不存在请说明理由.【答案】(1)解:将A(1,4)分别代入y=﹣x+b和得:4=﹣1+b,4= ,解得:b=5,k=4(2)解:一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为:x>4或0<x<1(3)解:过A作AN⊥x轴,过B作BM⊥x轴,由(1)知,b=5,k=4,∴直线的表达式为:y=﹣x+5,反比例函数的表达式为:由,解得:x=4,或x=1,∴B(4,1),∴,∵,∴,过A作AE⊥y轴,过C作CD⊥y轴,设P(0,t),∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP(CD+AE)=|t|=3,解得:t=3,t=﹣3,∴P(0,3)或P(0,﹣3).【解析】【分析】(1)由待定系数法即可得到结论;(2)根据图象中的信息即可得到结论;(3)过A作AM⊥x轴,过B作BN⊥x轴,由(1)知,b=5,k=4,得到直线的表达式为:y=﹣x+5,反比例函数的表达式为:列方程,求得B(4,1),于是得到,由已知条件得到,过A作AE⊥y轴,过C作CD⊥y轴,设P(0,t),根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.。

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