数学 反比例函数的专项 培优练习题附答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等

于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：

（1）一次函数和反比例函数的解析式；

（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．

【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，

∴b=1，

∴一次函数解析式为：y=x+1，

∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，

∴n=1+1，

∴n=2，

∴点A的坐标是（1，2）．

∵反比例函数的图象过点A（1，2）．

∴k=1×2=2，

∴反比例函数关系式是：y=

（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，

∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2

【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．

2．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴

上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点

（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；

（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．

【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比

例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，

∴k=6，C（﹣2，﹣3），

即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；

（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，

∵点A（2，3），k=6，

∴AN=2，

∵△APO的面积为2，

∴，

即，得OP=2，

∴点P（0，2），

设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，

，得，

∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，

当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，

∴点D的坐标为（﹣4，0），

设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，

则，得，

∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，

∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．

【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C

在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数

的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=

．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOC的面积；

（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．

【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，

在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，

∴AD= OA=4，

∴OD= =3，

∴A（﹣3，4），

把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，

所以反比例函数解析式为y=﹣；

把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，

把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，

所以一次函数解析式为y=﹣x+2

（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6

（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值

【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），

再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．

4．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b= = - + = + ,

又∵≥0，∴ + ≥0+ ，即≥ ．

（1）根据上述内容，回答下列问题：在≥ （a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥ ，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值．

（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a， DB＝2b, 试根据图形验证≥ 成立，并指出等号成立时的条件．

（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

【答案】（1）a=b

（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2 ,CO≥CD,即≥2 .

当D与O重合时或a=b时，等式成立.

（3）解： ,

当DE最小时S四边形ADFE最小.

过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，

所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE= （4+3）=28.

【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。

（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=，再由（1）中的结论即可得出等号成立时的条件。

（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE，可知当DH=EH时DE最小，由此可证得结论。

5．理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：