第三讲：行列式计算：降阶(递推)法
降阶法计算行列式
降阶法计算行列式
降阶法是一种计算行列式的方法，也叫做行列式分解法。
降阶法可以计算任意维度的行列式，而且计算速度也很快。
降阶法的基本思想是通过删除行列式中的某一行或某一列，将原行列式降低为维数更小的行列式，然后采用递归的方法，可以将原行列式分解为一系列的二阶行列式，最后将这些二阶行列式的值求和，就可以求出原行列式的值。
具体做法如下：
1、选定一行或一列，将该行或列归为一个系数，并将其
他行或列乘以这个系数，最后将它们加起来；
2、将原行列式拆分成一系列的二阶行列式，并将它们加
起来；
3、重复上述步骤，直到原行列式变为一个二阶行列式；
4、将这些二阶行列式的值求和，就可以求出原行列式的值。
降阶法有一定的局限性，就是当行列式中的元素不是整数或者只有两行或两列时，无法使用降阶法来计算行列式。
但在普通的行列式的求值中，降阶法是一种非常有效的方法。
另外，降阶法还可以用于求解线性方程组，原理是将线性方程组转化为一个高阶行列式，然后用降阶法对其进行分解，最后将二阶行列式的值求和，就可以得到线性方程组的解。
总之，降阶法是一种求行列式的有效方法。
它的优点是计算速度快，也可以用于求解线性方程组，但其缺点是在某些情况下无法使用。
行列式的计算技巧与方法总结讲解
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
行列式降阶公式
行列式降阶公式行列式降阶公式是线性代数中的一个重要概念，它是求解线性方程组的关键步骤之一。
在本文中，我们将详细介绍行列式降阶公式的定义、性质和应用。
我们来看一下行列式的定义。
行列式是一个数学函数，它将一个n 阶方阵映射到一个实数上。
行列式的值可以用一个公式来计算，即：det(A) = Σ(-1)^i+j * a_ij * det(A_ij)其中，A是一个n阶方阵，a_ij是A的第i行第j列元素，A_ij是A去掉第i行第j列后得到的(n-1)阶方阵，det(A_ij)表示A_ij的行列式。
接下来，我们来介绍行列式降阶公式。
行列式降阶公式是指通过对行列式进行一系列变换，将其降为一个更小的行列式。
具体来说，行列式降阶公式包括以下几种变换：1. 交换行列式的两行或两列，行列式的值变号。
2. 将行列式的某一行或某一列乘以一个非零常数k，行列式的值乘以k。
3. 将行列式的某一行或某一列加上另一行或另一列的k倍，行列式的值不变。
利用这些变换，我们可以将一个n阶行列式降为一个(n-1)阶行列式，进而递归地降为一个2阶行列式或1阶行列式。
最终，我们可以得到一个简单的数值，即行列式的值。
行列式降阶公式的应用非常广泛。
例如，在求解线性方程组时，我们可以将系数矩阵的行列式求出来，如果行列式不为0，则方程组有唯一解；如果行列式为0，则方程组无解或有无穷多解。
此外，行列式还可以用于计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等问题。
行列式降阶公式是线性代数中的一个重要概念，它为我们解决各种数学问题提供了有力的工具。
通过深入理解行列式降阶公式的定义、性质和应用，我们可以更好地掌握线性代数的基本知识，为未来的学习和研究打下坚实的基础。
行列式的计算方法-计算行列式的格式
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载行列式的计算方法-计算行列式的格式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。
本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。
关键词：行列式矩阵降阶The Methods of Determinant CalculationAbstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.Keywords: determinant matrix reduction.1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。
行列式的降阶定理及其应用
行列式的降阶定理及其应用行列式的计算是高等代数以及整个数学上非常重要的内容，行列式的降解定理对计算行列式有着重要作用，尤其是在解决分块矩阵或是对某一矩阵的所有的元素加上一个固定的值后计算行列式，本文主要介绍行列式的降阶定理及其应用。
首先我们介绍行列式的定义以及相关性质。
行列式定义：性质：1）若行列式有两行（列）对应元素成比例或完全相同，则该行列式为0.2）若行列式有一行（列）的元素都为0，则该行列式为0。
3）把行列式某一行（列）的元素乘以同一倍数后加到另一行（列），行列式的值不变。
4）行列式每一行（列）的元素的公因式可以提到行列式外。
5）行列式转置，值不变。
6）互换行列式的两行（列），行列式改变符号。
7）。
：对于分块矩阵，在应用上，我们常取主对角块A ij为方阵，有如下引理：设|A|=|A ij|n×n是你阶分块矩阵，则以非零阵B左（右）乘其每一行（列）加到另一行（列）上去得到的新的分块行列式与原行列式相等。
接下来我们介绍两种降阶定理以及推论：（第一降阶定理）对于分块矩阵M=且为方阵，A是非奇异阵，则|M|==|A||D-CA-1B|，证明：假设E=D-CA-1B，则==|A||E|=|A||D-CA-1B|，与上述第一阶级定理证明相同，行列换种方式变化时，会出现另一形式：|M|==|D||A-BD-1C|上述定理是当A、B、C、D皆为方针时成立，接下来我们介绍不全为方阵时的情况。
推论：设A是n阶非奇异阵，D是m阶阵，B与C分别是n×m阵和m×n阵，则=|A||D-CA-1B|.（第二降阶定理）设A与D分别为n阶和m阶非奇异阵，B与C分别是n×m阵和m×n阵，则|D-CA-1B|=|A-BD-1C|，证明由上述来看显然。
降阶公式在已知|A|并且B=A+αE，求解|B|时有着重要的作用，降阶公式的变形：当n>m时，|αE n-AB|=αn-m|αE m-BA|。
计算行列式的若干方法
计算行列式的若干方法摘要：行列式是数学分支中一个非常重要的内容，其应用范围非常广泛，而应用行列式理论的前提就是能熟练地掌握行列式的计算方法，这也是整个代数分支的重点和难点。
计算行列式有许多种方法，但是往往可以根据所求行列式的特征来选取不同的计算方法，从而提高解题效率。
本文列举了一些计算行列式的方法包括定义法、对角线法、化成三角形行列式法、补行列法、降阶法、析因子法、数学软件法，并对不同的计算方法适用于什么情形进行简单总结。
关键词：行列式定义法升降阶法析因子法Several methods for calculating determinantAbstract: The determinant in mathematics branch is a very important content. Its application scope is widespread, but the premise of application determinant theory can grasp the computational method of the determinant skilled. This is also the key point and the difficulty in the entire algebra branch. The computation determinant has many methods. But it often may select the different computational methods according to asking the determinant’s characteristics. Thus it can raises the efficiency for problem solving. This article has enumerated the following several computation determinant methods: the definition method, the diagonal method, the triangle reduction, making up the ranks method, the depression area, separation method,and the mathematics software method. Then it concluded the suitable method to the different computational methods in any situation carries.Keywords: Determinant Definition method Lift-order method Separation method行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的，时至今日，行列式理论的应用却远远超出了解线性方程组的范围，成为了数学、物理学等自然学科中的基本工具，例如在数学分析中积分的变量替换、物理学中求解星体运动方程组中均普遍应用，而这诸多应用最终都离不开行列式的计算。
计算行列式的方法
计算行列式的方法摘要：本文主要对计算行列式的方法进行简单的总结归纳。
计算行列式的方法通常有定义法、性质法、化三角形法、降阶法、升阶法、递推法、数学归纳法等十几种方法。
关键词：行列式 定义法 性质法 降阶法 递推法 正文：1 定义法：用符号nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211表示的n 阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自以上符号中的不同行与不同列上的n 个元素的乘积，即n nj j j a a a 2121下标n j j j ,,,21 是1，2，……，n 这n 个数码的一个排列，项n nj j j a a a 2121的符号为)(21)1(n j j j π-也就是说n j j j ,,,21 是偶排列时，此项的符号为正，n j j j ,,,21 是奇排列时，此项的符号为负。
定义法就是利用以上的行列式的定义去计算行列式。
例：计算行列式A=113232321解：A=1*11)1(+-1123+2**31322)1(21+-+1332)1(31+-=1+8-21=-12注：此方法适用于阶数较低的计算。
2 性质法：依据行列式的性质进行计算。
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。
性质3：把一个行列式的某一行（或列）的所有元素同乘以某一个数k ，等于以k 乘行列式. 性质4：一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外边。
性质5：如果一个行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式值为0。
性质6：如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么行列式值为0。
性质7：把一个行列式的某一行（列）的所有乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式值不变。
性质8：如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么行列式值为0。
性质9：设行列式D 的第i 行（列）的所有元素都可以表成两项的和。
考研必备 行列式的降阶定理
+ +
an an
⎞ ⎟ ⎟
⋅⋅⋅ ⎟
an
+
an
⎟ ⎠
−2an
⎞ ⎟ ⎟ ⎠⎟
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a1 a2
an
1 1
1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎝
1 0
⎠
0 ⎞−1 ⎛1
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
a1
1 ⋅⋅⋅ 1 ⎞
a2
⋅⋅⋅
an
⎟ ⎠
2
−2a1
=
1 0
−2an ⎛ 1
0
⎜ ⎝
0
1
0 1
⎞ ⎟ ⎠
+
⎛1
⎜ ⎝
例 10、计算行列式：
x a a ⋅⋅⋅ a a x a ⋅⋅⋅ a a a x ⋅⋅⋅ a ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ a a a ⋅⋅⋅ x
解：
x a a ⋅⋅ a
a x a ⋅⋅ a
a a x ⋅⋅ a
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
a
⎛x−a
a⎜
a
=
⎜ ⎜
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ ⎜
x⎝
x−a ⋅⋅⋅
n
∑ − ai i =1 ∑ ∑ −n
=
(−1)n+1
⎡⎢⎣n(1 −
n i =1
n
a
2 i
)
+
(
i =1
ai
)2
⎤ ⎥⎦
例 9、设 a1 a2 ⋅ ⋅ ⋅ an 是 n 个不全为零的实数，求证：
1
+
a
2 1
a2 a1
行列式的计算方法
行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinants[M].Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.[7] 徐仲，陆全等．高等代数导教·导学·导考.西安:：西北工业大学出版社,2004．[8] 陈黎钦．福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期．11。
行列式的计算
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶，3阶行列式的定义计算行列式的值。
2.化为三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值上（下）三角形行列式及其值（1）上三角形行列式为D=|■(■(a_11&a_12@0_ &a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|D=|■(■(a_11&a_12@0_&a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|=|■(■(a_11&0&0@a_21&a_22&0@a_31&a_32&a_33 )&■(⋯&0@⋯&0@⋯&0)@■(⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&a_n3 )&■(⋮&⋮@⋯&a_nn ))| = a_11 a_12⋯a_nn即上（下）三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。
行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式nij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
3行列式的计算
0
1
4 4
1 4 r3 − 6r2 1 2
1 4
−
−1 1 2 1 0 1 4 4 0 0
0 −18 −23 0 4 2
r4 + r3
4 18
−
−1 1 0 1 0 0
0 −18 −23 0 − 28 0 9
= 56
1 a1 − 1 1 − a1 0 计算n阶行列式 例6 计算 阶行列式D = M 0 0 −1 M 0 0
0 a2
0 L 0 L
0 0 0
0 0 0
1 − a2 a3 L M M 0 0
0 L 1 − an−1 an 0 L 1 − an −1
r2 + r1
1 a1 0 1 M 0 0 M 0 0
0 a2 M 0 0
D
0 −1 1 − a2
0 L 0 L a3 L
0 0 0
0 0 0
M 0 L 1 − an−1 an 0 L −1 1 − an
0
4
2
1 2 1 2
1 1 3 1
1 1 1 3
例2 计算行列式
1 D = 2 1
r1 + rk
D
6 1
6 2
6 1
6 1 1 3
1 1 1 1 =6 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3
Ck − C1
k = 2, 3, 4 2 1 3 1 2 1 1 0 0 0
k = 2, 3, 4
2 −1 1 −1 1 1 0 2 1 −1 按第一行展开
D n
列展开
a(−1 )
1+ 1
a O Ob a
a b OO a b
第3讲行列式的降价处理按行列展开
例，已知行列式 ＝
例：
当k≠i时, 不妨设 i<k，则 ＝ 0.
定理：设
例：计算行列式 问题：与化三角行列式相比，计算量有否变化？
例：计算
＝
问题：与化三角行列式相比，计算量有否变化？
注意 行列式按行、列进行展开的着眼点不在于减少计 算量，而在于其理论意义。当然在手算具体确定的行 列式时，当行列式的某些行与列有大多数 0 时，能有 效化简计算，但这种做法却没有通用性。
左端 ＝ ＝ ＝
(降阶处理) ＝ 右端
更一般地，如下行列式能否降阶处理？
又因
综上，有
• 一般行列式的按行展开
其中
上面分析表明，一般n阶行列式可按某行展开成该行 元素与其代数余子式的积的和的形式：
又因代数余子式可降阶为如下形式(相等或符号相反) 此行列式相当于在行列式
综合前述知识知，Aij 与 Mij 的有如下关系 即Aij 可通过计算一个n-1阶行列式得到。 下式表明了行列式可降阶处理。
三 特殊行列式的计算 1 范德蒙德行列式
(n-1行乘 -a1 加到第n行； n-2行乘 -a1 加到第n-1行，余类推)
(上边最后一式右边又是一个 n-1 级的范德蒙德行列式)
从而有（归纳证明），
2 结论可借助矩阵的按行、列展开用数学归纳法给予严格证明.
从而等式右侧 ＝
＝ ＝ 等式右端。
第6节 行列式的降价处理：按行、列展开
降阶、降级处理是数学处理的基本思路之一。对n阶 行列式也可使用这一思路：将n阶行列式变成n-1阶行列式 进行处理，从而可层层降阶到低阶行列式进行处理，这便 是行列式的按行或按列展开。
一 特殊行列式的降阶处理 • 一般行列式的按行、按列展开 二 特殊行列式的计算
n阶行列式的一种降阶算法及递推公式
n 阶行列式的一种降阶算法及递推公式孙贺琦（营口理工学院，辽宁营口115000）摘要：本文介绍行列式的一种递推式的降阶算法及公式。
它可以是行列式编程计算或理论研究的一种依据，也可以在教学上用来草算（心算）常见的一些数字行列式。
关键词：行列式；递推；降阶算法中图分类号：G642文献标志码：A文章编号：1674-9324（2016）03-0156-02行列式按行或者列的展开，是行列式降阶计算的通用方法；但是对于n 阶行列式，它往往需要再计算n个n-1阶行列式；这里介绍一种直接把一个n 阶行列式降阶为一个n-1阶行列式的方法；在某些情况下，它可以简化运算；特别是，它直接给出了一个n 阶行列式与一个n-1阶行列式的倍数关系；这将在某些理论研究中有它的方便之处。
在教学上常见的一些数字行列式，用这种方法常以较少的书写量就可得出计算结果。
为叙述方便，约定符号如下：n 阶方阵A n =a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n …………a n1a n2…a nn ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=（a ij ）n ，a ij 为数字元素。
A n 的行列式以A n =a ij () n 或a ij () n 表示；a 11称为A n 或A n 的首元素；A n 中去掉元素a ij 所在的第i 行和第j 列，其余元素形成的方阵以A ij 表示（i ，j=1，2，…，n ）.此外，假设读者熟悉矩阵乘法。
在以上的符号约定下，有如下的行列式降阶公式。
定理：n 阶行列式A n =1a n-211a 11A 11-a 21a 31a n1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟a 12，a 13，…，a 1n () n-1（a 11≠0）（1）证：注意到A n =a 11a 12…a 1n a 21A 11a n1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟，A 11=（a h+1，k+1）n-1，h ，k=1，2，…，n-1可见，公式（1）显示了一种“对角积差规则”。
试举例说明行列式的计算方法
一：行列式的定义
定义计算（ 阶乘项 阶乘项） 二:定义计算（n阶乘项） 定义计算
三：简单的方法
一：行列式的定义
由n2个元素 aij (i, j = 1,2,L, n) 组成的记号
a11 a 21 L a n1 a12 L a1n
a 22 L a 2 n L L L a n 2 L a nn
称为n 阶行列式
三 :
设 D= L
ak1 M a n1
∑
j1 j2 L jn
且第i行与第k行相同，即 aij = akj ，j = 1, 2,L , n
由于项 ( 1)τ ( i Li Li L j ) a1 j L aij L akj L anj
1 i k n 1 i k
1 k i n 1 k i
①
n
与项 ( 1)τ ( i L i L i L j ) a1 j L a ij L a kj L a nj 同时出现，且a ij = a k j ，a ijk = a kjn
n 1 L 0 0 0 0 L 0 0 n
解 Dn中不为零的项用一般形式表示为
a1n 1a2 n 2 L an 11ann = n !
该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n） 等于
(n 1)(n 2) 2
故
Dn = (1)
( n 1)( n 2) 2
n !.
返回
三
性质1 行列互换，行列式不变， 性质 行列互换，行列式不变，即
= L = an + an 1 x + L + a1 x n 1 + x n
返回
i i
n
②
三 :
①与②除去符号外，具有相同的数值， 但排列 i1 L ii L ik L jn 与 i1 L ik L ii L 相差一个一个对换，具有相反的奇偶 性． ①、②的符号相反，即①+②=0．
行列式降阶法
行列式降阶法行列式降阶法，也称为行列式消元法，是一种用于求解行列式的方法。
它的基本思想是通过一系列变换将一个n阶行列式转化成一个n-1阶或更小的行列式，最终得到一个1阶行列式或者0。
下面我们来详细了解一下这个方法的步骤。
步骤一：选择一行或者一列作为基准线假设我们要求解一个3阶行列式，那么我们可以选择第一行、第二行或者第三行作为基准线。
这里我们选择第一行。
步骤二：将基准线上的元素依次与其他每个元素配对在这个例子中，我们需要将a11与a12、a13配对；然后将a11乘以a22-a23；再将a12乘以a23-a21；最后将a13乘以a21-a22。
步骤三：计算每个配对得到的值并用加减法相加根据上面的计算，我们可以得到如下结果：| a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |= a11(a22*a33 - a23*a32) - a12(a21*a33 - a23*a31) +a13(a21*a32 - a22*a31)= (a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32) - (a11*a23*a32 + a12*a21*a33 + a13*a22*a31)步骤四：将得到的结果作为新的行列式我们可以将上面得到的结果作为一个新的行列式，然后继续进行降阶操作。
在这个例子中，我们已经得到了一个2阶行列式，接下来可以选择第二行或者第三行作为基准线，重复上述步骤即可。
需要注意的是，在进行降阶操作时，如果遇到某一行或者某一列所有元素都为0，则直接得出结果为0。
如果得到最终结果为1，则原始矩阵是可逆的；如果最终结果为0，则原始矩阵是不可逆的。
总之，行列式降阶法是一种简单而有效的方法，可以用于求解任意阶数的行列式。
它在线性代数、微积分、概率论等领域都有广泛应用。
n阶行列式降阶解题步骤
n阶行列式降阶解题步骤嘿，咱今儿就来唠唠这 n 阶行列式降阶解题的那些事儿！行列式这玩意儿，就像是个神秘的城堡，n 阶行列式那更是高深莫测。
但别怕呀，咱有降阶这把钥匙呢！你想啊，n 阶行列式那么多行那么多列，乍一看是不是头都大啦？可要是能巧妙地把它降阶，嘿，那就像找到了迷宫的出口一样豁然开朗。
首先呢，咱得找到一个合适的行或者列，这就像是在茫茫人海中找到那个对的人一样，得精挑细选呐！这个行或列得有特点，有能让咱下手的地方。
然后呢，把其他的元素按照一定的规则展开，这一展开，可就把复杂的 n 阶行列式变成了低阶的行列式啦，这不是一下子就简单了许多嘛！比如说，咱看到一个 n 阶行列式里有一行或者一列大部分都是 0，那这不是现成的好机会嘛！就选它啦，然后展开，哇塞，瞬间就轻松了不少呢。
这就好比你爬山的时候突然发现了一条好走的小路，那不得赶紧走上去呀！还有啊，有时候咱得灵活点儿，不能死脑筋。
一个方法不行，咱就换一个呗。
就像开锁一样，一把钥匙打不开，咱就换另一把试试。
可别在一棵树上吊死呀！降阶的过程中，可得仔细喽，别一不小心算错啦。
那可就前功尽弃啦，多冤呐！就像走钢丝一样，得小心翼翼的。
你想想看，要是能熟练掌握这 n 阶行列式降阶解题步骤，那做题的时候不就跟开了挂似的嘛！别人还在那抓耳挠腮呢，你三下五除二就搞定了，那多牛呀！总之呢，n 阶行列式降阶解题就像是一场刺激的冒险，咱得勇敢地去探索，去尝试。
只要咱用心，肯定能在这神秘的城堡里找到宝藏哒！别害怕困难，别嫌麻烦，一步一个脚印地去做，相信你一定能行！加油吧！。
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a0 0a 例3、计算行列式：Dn 00 10
01 00
. a0 0a
解： 将行列式按第一行展开：
a
Dn a 0 0
00
0a
(1)n1
0
a0
00
0a n1
10
an (1)2n1 an2 an an2
按第一列中展开
0
0
a
a an (1)n1(1)n
5 1 1 4
解：
M13 M 23 +2M 43
A13 A23 0 A33 2 A43
2
0
0 1
1 5 2 3
3 112
2 (1)13 2
0 1 2 2
0 1 2 2 0
2 0 0 1
x3 a3 b3 c3
解法一： 由行列式定义知，方程是关于 x 的一元三次方程.
1111
xabc
当 x a, b, c 时，行列式中分别有两列元素相同，故 x2 a2 b2 c2 0 .
所以，x a, b, c 为方程三个不同的根.
x3 a3 b3 c3
1111
解法二：
由范德蒙行列式，
x x2
(xi x j )
ni j1
(xn xn1)
二、教学要求
1、掌握余子式、代数余子式的概念； 2、会求余子式与代数余子式； 3、利用行列式展开定理，会求行列式某行（列）元素（代数）
余子式的线性组合； 4、利用行列式展开定理，计算行列式；
三、例题精讲
3 1 1 2
5 1 例1、设 D
n
n
另一方面，V (x1, x2, , xn, x) (x xi ) (xi xj )
(xi x j )xn
(xi x j ) xi xn1
i 1
1 jin
1 jin
1 jin
i 1
n
比较 xn1 的系数，得：Dn
第三讲：行列式计算：降阶（递推）法
主讲人：同济大学 靳全勤
一、知识要点
利用行列式的展开定理，将高阶行列式归结为低阶行列式，或者得到 行列式的递推关系，是计算行列式的又一重要方法.
1、余子式、代数余子式：
将 n 阶行列中元素 aij 所在的第 i 行、第 j 列元素划去所得的 n 1阶行列式，
称为 aij 的余子式，记为 Mij
7 3 1 7 3 1 4 0
7 3 0 1
1 2
1 2 4
2
1 0
2
5 1 4 5 1 4
31 2 312
2 1
2 1
M13 2
0 1 2
0
1 24
23 70, M 23 2
0
1 2
0 1 16
30, 7
1 5 3 24 0 23
a11
a1 j1 a1 j a1 j1
a1n
ai11
a a a i1 j1 i1 j i1 j1
ai1n
M ij
ai1
aij 1
aij
aij 1
ain
元素 aij 的代数余子式定义为：Aij (1)i j Mij ai11
a a a i1 j1 i1 j i1 j1
ai1n
元素 aij 的余子式 Mij 和代数余子式 Aij
an1
anj 1
anj
anj 1
ann
与元素 aij 本身无关，完全由其所在位置 (i, j) 决定.
2、行列式按行（列）的展开定理： 行列式等于其任意一行（列）各个元素与其代数余子式的乘积之和.
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
0 0
n1
0 a
n2
11
x1 x2
例4、计算行列式：Dn x12 x22
xn2 1 x1n
xn2 2 x2n
1 xn
xn2 .
xn2 n
xn2 n
解： 此行列式的第 n 行元素是 x1n , x2n ,
, xnn ，而不是
xn1 1
,
xn1 2
,
, xnn1 ，
虽然形式上很像，但并不是元素 x1 , x2 , , xn 范德蒙行列式.
20
3 1
4 1 ，Mij 与
Aij
分别为 aij
的余子式与代数
1 5 3 3
余子式，求 A31 3A32 2 A33 2 A34 和 M13 M 23 3M 43 .
3 1 1 2 0 16 10 11
解： A31 3A32 2 A33 2 A34
5
(xi x j ) xi
1 jin
i 1
1 5 3 16 0 7
312 312
8 6
M 43 5
1
4 8
0
6 2
20, 1
2 0 1 2 0 1
M13 M 23 +2M 43 40 30 2 20 0
1111 xabc
例2、解方程： x2 a2 b2 c2 0 ，其中 a, b, c 互不相等 .
xn1 1
x1n
xn1 2
x2n
1 xn xn2
xn2 n
xn1 n
xnn
1
x x2
.
xn2 x n 1 xn
n1
将 V (x1, x2 , , xn , x) 按第 n 1 列展开，得：V (x1, x2 , , xn , x) (1)2n1 Dn xn1
即 Dn 是范德蒙行列式V (x1, x2, , xn , x) 展开式中 xn1 系数的负数
k 1
ain Ajn 0, i j.
n
D, i j;
aki Akj a1i A1 j a2i A2 j
k 1
ani Anj 0, i j.
5、范德蒙行列式： 以
xi1 1
,
xi1 2
,
,
xi1 n
作为第
i (i 1, 2,
, n) 行所得的 n 阶行列式
a a2
b b2
c c2
(c x)(c a)(c b)(b x)(b a)(a x)
.
x3 a3 b3 c3
原方程等价于 (c a)(c b)(b a)(a x)(b x)(c x)=0 .
因为 a, b, c 互不相等，所以 x a, b, c 为方程的三个根 .
1
1 3
3 4 0 24
2 2 0 8
18 5
19 5
1 5 3 3 1 5 3 3
16 10 11
2 10 11
201
01
=(1)41 24
18
19 = 8 3
18
19 = 8 3
3
1
8 3
24 1
8 5 5
1 5 5
100
3112
此行列式的值可以利用计算范德蒙行列式的方法（见教材）求得，
此处，我们利用范德蒙行列式的结果，给出另一种计算方法.
11
x1 x2
x12
x22
将行列式插入一行、一列，得范德蒙行列式：V (x1, x2, , xn, x)
x x n2
n2
1
2
要求的 Dn 是该范德蒙行列式中元素 xn1 的余子式 M n,n1
11
x1 x2
V (x1, x2 , , xn ) x12 x22
1
(x2 x1)
xn
(x3 x1) (x3 x2 )
xn2 (x4 x1) (x4 x2 ) (x4 x3)
x x n1 n1
1
2
xn1 n
(xn x1) (xn x2 ) (xn x3)
3、重要性质：行列式某一行（列）各元素与另一行（列）的代数余子式
乘积之和为零. ai1Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0 (i j)
a1k A1l a2k A2l ank Anl 0 (k l)
n
D, i j;
aik Ajk ai1Aj1 ai2 Aj2