全等三角形ASA

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三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作

以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信息，某些描述可能不够精确或全面。如有需要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广泛的情况，例如处理只有一边和两个角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决实际问题，例如几何证明、建筑设计、工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法（如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使用圆规在该点上画圆，与直线相交于两点。连接这两点即可得到经过该点的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三角形全等来确定未知点的位置。例如，已知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知点的位置，从而满足建筑设计的需求。

2.5 第3课时全等三角形的判定(ASA)

应用：证明角相等，边相等
课后作业
见《名师学案》本课时练习
证明：∵∠1=∠2，
∴ ∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠EAD=∠BAC.
E
在△AED和△ABC中，
∠E=∠B，
B
∵ AE=AB，
∠EAD=∠BAC，
∴△AED≌△ABC(ASA)，
∴BC=ED.
A 2
1 DC
课堂小结
两角及其夹边分别相等的两
个三角形
三角形全等的“ASA”判定：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
C
∠A=∠A′ （已知），
A′
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
Hale Waihona Puke B′C′∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
典例精析
例1 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线
上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明： ∵ AB∥DC，
∴ ∠A=∠C. 在△ABE和△CDF中，
∴ △AEB≌△CED（ASA）. ∴ AB=CD (全等三角形的对应边相等).
因此，CD的长就是河的宽度.
当堂练习
1.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ∠B=∠E ，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）.
B A
C F
D E
2.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求证：AD=AE.
分析：只要找出 △ACD ≌ △ABE ，得AD=AE. A
证明：在△ACD和△ABE中，
∠A=_∠__A（公共角）， _A_B_=_A__C_ ( 已知 )，

第五讲 ASA全等三角形的判定

A B C A ’B ’C ’A BC A ’B ’C ’第四讲全等三角形的判定（三）（一）知识要点1、三角形全等的判定三、四：ASA 及AAS两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）。

书写格式：、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠''''B B B A AB A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（ASA ）知识延伸：“ASA ”中的“S ”必须是两个“A ”所夹的边。

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）。

书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠''''C A AC B B A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（AAS ）知识延伸：“AAS ”可以看成是“ASA ”的推论。

规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。

无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。

(二)例题讲解：例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE例2.如图，AB ⊥BC, AD ⊥DC, ∠1=∠2. 求证：AB=AD练习：如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥DF ，AC ∥DE ，AC =DE ，FC 与BE 相等吗？请说明理由.A B C D A ’B ’C ’D ’ 例3．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．例4：如图，已知△ABC ≌△A ’B ’C ’，AD ，A ’D ’分别是△ABC 和△A ’B ’C ’的边BC 和B ’C ’上的高。

求证：AD=A ’D ’例5．如图，点E 在AC 上，∠1=∠2，∠3=∠4.试证明BE= DE.（三）练习1．如图，已知AB= DC ，AD =BC ，E ，F 是DB 上的两点，且BE=DF.若∠AEB=100º，∠ADB= 30º．则∠BCF= 。

全等三角形的判定(ASA)

在解题过程中，灵活运用角角边(aas)判定定理可以简化复杂图形的证明过程，提高解题效率。
04 边角边(sas)判定定理
定理内容
两个三角形中，如果两边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等。
用数学符号表示为：如果$Delta ABC cong Delta DEF$，且$AB = DE, BC = EF, angle B = angle E$，则$angle A = angle D$。
三角形全等在几何证明中的应用
证明线段相等
通过构造两个全等的三角形，利用全等三角形的对应边相等，证明两条线段相等。
证明角度相等
利用全等三角形的对应角相等，证明两个角度
相等。
证明垂直关系
通过证明两个三角形全等，利用全等三角形的对应角为直角，证明两条线段垂直。
证明平行关系
通过证明两个三角形全等，利用全等三角形的对应边平
第六步，根据第三步和第五步的结论，可得 $AC = A'C'$。
第七步，由全等三角形的判定条件，有 $triangle ABC cong triangle A'B'C'$。
定理应用
01
在几何证明中，角边角(asa)判定定理常用于证明两个三角形全等，从而可以进一步推导出其他几何性质和结论。
定理证明
其次，根据已知条件$AB = AB$和$AC = AC$，利用 SSS判定定理可得$triangle ABC cong triangle ACD$。
首先，由已知条件可知，$angle A = angle A$和 $angle B = angle B$，所以$angle C = angle C$ （三角形的内角和性质）。

全等三角形判定(ASA和AAS)

A∠BB∥=D∠EE （ASA）
D
或∠A=∠D （AAS）
E
或 AC=DF （SAS）
知识梳理: 三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全
等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
A
D
∠A=∠D （已知）
AB=DE（已知）
∠B=∠E（已知）
A_B_=_A__’__C_ （已知）
∠_B__=_∠__C__ （已知）
∴△A_B_E__≌△A_’__C_D（ ASA）
B
ED C
考考你
1、如图：已知AB∥DE，AC∥DF， BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
AD B EC F
证明：∵ BE=CF(已知)
∴BC=EF(等式性质)
∵ AB∥DE AC∥DF (已知)
∵∠1＝ ∴∠1＋即∠BAC＝
∠DAE 在△ABC和△ADC 中
C＝E（已知） BAC＝DAE（已证
∴
）
△ABC≌△ADE （AAS）
AB＝AD（已知）
5、在△ABC中，AB=AC，
A
AD是边∠BBACC上的的角中平线分，线证。明： ∠求B证A：D=BD∠C＝ACDD
B
DC
证明：∵AD是B∠CB边AC上的的角中平线分线（已知）
C
F
A
BD
E
例1 、如图，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和 △ACD全等吗？为什么？
A 证明: 在△ABE与△ACD中
D
E
∠B=∠C （已知） AB=AC （已知）
∠A= ∠A （公共角）
B

三角形全等的判定(ASA)

12.2.1 三角形全等的判定（ASA、AAS）复习引入1.什么是全等三角形？2.判定两个三角形全等方法有哪些?三边对应相等的两个三角形全等。

边边边：三边对应相等的两个三角形全等。

边角边：有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等探究1一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？先任意画出一个△ABC，再画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，∠A/ =∠A，∠B/ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等)。

把画好的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？画法：1、画A/B/＝AB；2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ，∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。

通过实验你发现了什么规律？有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）。

探究反映的规律是：角边角判定定理符号语言表示例：如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB = AC，∠B = ∠C.求证：BD = CE例题讲解：例1 (1)利用“角边角”可知,带第(2)块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。

(2)在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？探究2有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。

符号语言：例2.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D求证：AC=AD证明：在△ABD和△ABC中∠1=∠2 （已知）∠D=∠C（已知）AB=AB（公共边）∴△ABD≌△ABC （AAS）∴AC=AD （全等三角形对应边相等）小测：1. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2。

求证AB＝AD。

知识应用2.如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A， C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。

三角形全等的判定ASA

边角边相等（SAS）
如果两个三角形的两边长度相等，且这两边所夹的角也相等，则这两个三角形全等。
三角形全等的应用
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明线段相等、角相等、垂直关系等，从而解决各种几何问题。
制作精确图形
在几何作图或设计领域，三角形全等关系可以用来制作精确的图形或模型。
02
与平行线判定定理的联系
在三角形全等的判定中，常常需要利用平行线的性质来证明两个三角形全等。例如，在ASA全等判定定理中，需要证明两角及夹角的边相等，而夹角的边是通过平行线性质推导出来的。
与勾股定理的联系
勾股定理是三角形全等判定中的重要工具。在证明两个直等于斜边的平方。
02
全等关系具有传递性，即如果三角形ABC与三角形DEF全等，那么三角形DEF也与三角形ABC全等。
三角形全等的条件
边边边相等（SSS）
角边角相等（ASA）
如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
如果两个三角形有两个角分别相等，且这两个角所夹的边也相等，则这两个三角形全等。
ssa全等判定方法
总结词
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
详细描述
根据SSA全等判定定理，如果两个三角形有两边长度相等且这两边所夹的角相等，则这两个三角形全等。这个定理在解决几何问题时非常有用。
aas全等判定方法
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
根据ASA全等判定定理，如果两个三角形有两个角相等且这两个角所夹的边也相等，则这两个三角形全等。这个定理是三角形全等判定的重要依据之一。
asa全等定理的应用
总结词：广泛实用

全等三角形判定二(ASA,AAS)

12.2 全等三角形判定二（ASA ，AAS ）全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.注意：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .题型1：用ASA 判定三角形全等1.已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D＝∠B．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CBD B Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的【变式1-1】如图，已知AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD．【答案】证明：在△ABE和△ACD中，∵∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD（ASA）．【解析】【分析】利用ASA证明△ABE和△ACD全等即可．【变式1-2】如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠AED．求证：△ABC≌△AED．【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠EAD,在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EADAB=AE∠B=∠AED∴△ABC≌△AED(ASA)【解析】【分析】由∠1=∠2，证明∠BAC=∠EAD,再结合：AB=AE，∠B=∠AED，利用角边角公理可得结论．全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）题型2：用AAS 判定三角形全等2.已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B ECB=DE Ð=ÐìïÐ=Ðíïî∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【变式2-1】如图，在△ABC 和△CDE 中，点B 、D 、C 在同一直线上，已知∠ACB=∠E ，AC=CE ，AB ∥DE ，求证：△ABC ≌△CDE ．【答案】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B =∠EDC ，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠EDC ∠ACB =∠E AC =CE，∴△ABC≌△CDE (AAS )．【解析】【分析】利用“AAS”证明△ABC≌△CDE 即可。

11全等三角形判定一(ASA,SAS)(基础)知识讲解

全等三角形的判定一（ASA ，SAS ）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“角边角”全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝，∠A ＝∠，AC ＝，则△ABC ≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】'A ''A B 'B '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC1、如图，已知AD ，BC 相交于点O ，OB=OD ，∠ABD=∠CDB求证：△AOB≌△COD．【思路点拨】由OB=OD ，得出∠OBD=∠ODB，进而得出，∠ABO=∠CDO，再利用ASA 证明即可．【答案与解析】解：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠ABD=∠CDB，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB 和△COD 中，，∴△AOB≌△COD（ASA ）．【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出∠ABO=∠CDO．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩【变式】如图，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB 连接EF ，证明△AED≌△AEF．【答案】证明：∵△AFB 是△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到的，∴AD=AF，∠FAD=90°，又∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=90°﹣45°=45°=∠DAE，又AE=AE ，在△ADE 与△AFE 中，，∴△ADE≌△AFE（SAS ）．类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB ，点C 是碉堡的底部，点D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD ＝∠BAC ，∠ABD ＝∠ABC ＝90°.在△ABD 和△ABC 中，∴△ABD ≌△ABC （ASA ）∴BD ＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.ABD ABC AB ABBAD BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩。

11.2全等三角形的判定(ASA)

问：通过实验可以发现什么事实？
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）。
用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中
A
BC=EF ∠C=∠F
∠B=∠E
B
C
D
∴△ABC≌△DEF（ASA）
E
F
B
如图，应填什么就有 △ADC≌ △BOD
∠A=∠B（已知）
（已知） ∠C=∠D （已知） ∴△ADC≌△BOD（）
∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B 。
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/，
使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ：
/ / 画法： 1、画A B ＝AB；
2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
（已知） ∠B=∠C（已知） AE=A’D（已知）
∴ △ABE≌△A’CD（AAS）
E B D C
D
已知，如图∠1=∠2， ∠C=∠D 求证：AC=AD
A
1 2
B
C
通过这节课的学习，你有什么收获？
作业
必做题：教材P15——5、6；导航P8——1-5 选做题：教材P16——11
导航P9——1-4
C O D
A
例题讲解：
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上， BE和CD相交于点O，AB=AC， ∠B=∠C。求证： △ABE≌△ACD
D O B C A E
知识应用
如图，要测量河两岸相对的两点A，B 的距离，可以在AB的垂线BF上取两点 C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线 DE，使A， C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。为什么？

全等三角形判定二(ASA、AAS)

在△ABC与△A′B′C′中, AB=A′B′ ∠A=∠A′ AC=A′C′ ∴△ACB≌ △A′B′C′ （S.A.S）
2 全等三角形判定方法二(A.S.A)
在两个三角形中，如果有两个角和它们的夹边对应
相等，那么这两个三角形全等.（简记为A.S.A）
在△ABC与△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AC=A′C′ ∠C=∠C′
A
说理过程如下：
因为 AB A B ,可以使 AB 与 A B 重合，并使点 C 和点C 在 AB （A B ）的同一侧，这时点
B
C
A
B
C
知识回顾
1 全等三角形判定方法一(S.A.S).
在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相
等，那么这两个三角形全等.（简记S.A.S）
C B
D
例2
已知AO=DO，B0=CO,说明△ABO与 △DCO全等的理由.
A D O
图形中的隐含条件: 对顶角相等
B C A D O
∴△ABO≌ △DCO （S.A.S）.
B C
A O
B
C
D
如图，已知AD和BC相交于点O，AO=DO，∠A=∠D，问： △ABO是否全等于△DCO？
例3
已知AB=AD，∠B=∠D，△BAC与△DAE 能否全等？
有三边对应相等的两个三角形全等(
s.s.S).
学习新知
例1、已知AB=DA，AC=AE，∠BAC=∠DAE，
A
说明△BAC与△DAE全等的理由.
E
C B A
D
解
在△ABC与△DAE中,
E
AB=AD(已知）， ∠BAC=∠DAE（已知）， AC=AE（已知），

12.2全等三角形的判定ASA

知识要点： (1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. （3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
数学思想：
要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
A
B
D
E
练习 P41
A
1. 如图， AB⊥BC， AD⊥DC，∠1=∠2,
2
1
求证AB=AD.
B
D
C
2、如图，要测量河两岸相对两点A，B两点的距离，可以在AB的垂线BF上取两点 C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线 DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
A
B
如图,已知AB=DE,AC=DF,要说明△ABC≌△DEF，还需增加一个什么条件？
A
D
B
E
C
F
知识梳理:
三角全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
用符号语言表达为：在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
∴△ABC≌△DEF（ASA）
1、SSS：三边对应相等
2、SAS 两边及夹角对应相等 3、ASA两角夹边对应相等 4、AAS 两角及一角的对边对应相等
你能行吗?
B C D E
AB=DE可以吗？ ×
1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ------------------------- ， A 才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）。 F AB ∥ DE ∠ B= ∠ E （ASA）或∠A=∠D （AAS）或 AC=DF （SAS）

全等三角形的判定(AAS和ASA)

全等三角形的判定【知识梳理】1、三角形全等的条件(三)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

2、三角形全等的条件(四)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

3、三个角对应相等的情形：三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

4、三角形全等的条件的选用：要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS、AAS、ASA两角对应相等ASA、AAS两边对应相等SAS、SSS【例题精讲】【例1】如图⑴，AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。

若将过O点的直线旋转至图⑵、⑶的情况时，其他条件不变，那么图⑴中∠1与∠2的关系还成立吗？【变式1-1】如图，在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC，D为AC上一点，AE⊥BE交BD的延长线于E，BE⊥CF 于F，求证：EF=CF-AE。

【变式1-2】如图，AD∥BC，AB∥DC，MN=PQ，求证：DE=BE。

【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E。

求证：BD=2CE。

【变式1-4】如图①所示，OP是∠MON的平分线，请利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：⑴如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；⑵如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请在⑴中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

【变式1-5】线段AC与BD相交于点O，连结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连结EF(如图所示)。

⑴添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE。

全等三角形判定ASA

B'
C C' B
返回
ABC ≌△Aห้องสมุดไป่ตู้B’C’ ∴△______ ______（ASA）
4
1、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）。
c
A 带①去 C 带③去
B带②去 D带①和②去
② ①
5
③
2、如图 , AC与BD相交于点O , 则: ∠AOB= ______. ∠COD 1.图中可看出相等的是 ______
在ABC和DEF中 B=E C=F AB=DE
ABC DEF（A.S.A.） ABC DEF（A.A.S.）
已知ABC中，BE AD于E，CF AD于F，且BE CF，那么BD与DC相等吗？
证明： ∵BE⊥AD,CF⊥AD
∴∠BED=∠CFD=90° 在△BDE与△CDF中 ∠BDE=∠CDF（对顶角相等） B ∠BED=∠CFD（已证） BE=CF（已知）
A
*
B O
*
2 个条件. 2.要证△BAO ≌ △ DOC 还需要 _____
3.请补充条件, 填写证明方案.
OA=OC _____________
∠AOB=∠COD _____________ OB=OD _____________ SAS 根据：_______
D
∠AOB=∠COD _____________
OA=OC _____________ ∠A =∠C _____________ ASA 根据：_______
C
_____________ ∠ AOB=∠COD
_____________ OB=OD _____________ ∠B =∠D 根据：_______ ASA

全等三角形的判定方法ASA

有两边和它们的夹角对应相等夹角对应相等的两个三角形全等边角边或sas有两边和其中一边的的两个三角形不一定全等ssa11210dabacabac有两组边和它们的夹角对应相等的三角形全等
基本事实：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形
全等（“边角边”或 “SAS”）
有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 SSA
√
有两边和它们的对角对应相等的两个三角形不一定全等
SSA ×
√
√
三个角对应相等的两个三角形不一定全等 AAA
×
如图，∠1=∠2，∠3=∠4 求证： AD=AC
D
A
1 2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B 4
C
2、已知：如图,点B,F,C,E在同一条直线,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD, 求证：AB=DE,AC=DF
A C B F D E
×
= = =
=
=
=
已知：如图11.2-10,D在AB上,E在 AC上,AB=AC,∠B= ∠C. 求证:AD=AE.
已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD 相交于点O，AB=BC，∠B= ∠C(如图)， A 求证：BD=CE.
D
E
O
B
C
有两组边和它们的夹角对应相等的三角形全等。简写成： “边角边”或“SAS”
怎么办？可以帮帮我吗？
如图，一张三角形玻璃不小心被摔坏了，带那一块去玻璃店就能重新做一个一模一样的三角形玻璃呢？
②
①
课堂小结
全等三角形的判定方法