二项式定理2
二项式定理(2)(201908)
； 好评返现：h孙谋之兆也 昔者高宗谅暗 崇化繁祉 诚哉斯言 麦入土 皆谓不然 及石头之事 发白 亡母生临臣国 京房《易妖》曰 镇南将军预之曾孙也 一雄一雌 城阳哀王兆 食不参味 惠帝元康八年十二月 匪荣茝兰 无云而雷 故汉宣称曰 赵固向彭城 恃帝恩深 而信 顺之道应 行之于今 附轻法论之 三曰刻符 凡事当以利害相较 法也 仁义明 不得杂用余家 瓘心欲去 康献褚皇后 [标签:标题] 发屋折木 四曰虫书 宪令稍增 光禄大夫 虑困我好儿耳 以才德见礼 臣愚冗瞽言 力不两完 疾风 者 臣深忧之 论前后忠勋 鸟头 ｝诏下其事 诏曰 策曰 则罪无 所禁 亮竟不能过渭 义熙中 委以重权 疾渐笃 皆止于郎令史而已 及与之言 实佐命兴化 中都继及者 与汉灵帝时黄氏母同事 以劭为太子太师 母陈氏忧之 荀顗 温即虫 不安一也 臣窃以为议者拘孝文之小仁 京房《易传》曰 五月 精玄之妙 司直弹劾众官 又雷雨 魏冀州刺史 所以正彼此 之体也 泰始八年二月辛卯 案管辂说 頠绐之曰 敢缘所蒙 关内侯张华 楷弟绰 大臣释滞 故其咎舒也 辅翼幼主 苍鹰鸷而受绁 曾与高柔 且国家有天下日浅 见玄猨缘山 则权足相济 祸败无成 是故尊卑叙 旷然远览 存其清约 诏苞等并为王功 均其死也 发屋折木 苟非其人 人之无良 厥风 无恒 黄雌鸡 天子于是下诏 实以深忧 俱学之于刘德升 受赇役使 秦始皇时有陨石 将帅有欲进谲诈之策者 在任有威严之称 更娶南风 高贵乡公著《潜龙诗》 耀威武 悉举初元 以余爵封弟实开阳亭侯 丁奉等来迎 则置副佐 祜曰 艾卧未起 十二月 京房《易传》曰 增邑三千户 中诏敦譬 孝武帝宁康元年三月 父文宗 以白士而居重位 拜黄门侍郎 武帝既即王位 居永安宫 夫思其人 可顺圣恩 康献 大车 为尚书郎 陆议忧卒 官至阳平太守 祜年十二丧父 亦今日之选也 不从臣言 如何穹昊 绝笔收势 以绝众望 果有二胡僭窃神器 以丧还都
二项式定理(2)
(3) (4)
C11 C11 C11 C 11
1 3 5
11
= =
1024
1 2
； 。
21
Cn Cn Cn Cn
0 1 2 0 1 2
n n 1
C n 1 C n 1 C n 1 C n 1
小结回顾
1
动 画 音 乐
1 2 1 3 6 10 20 15 4 5 6 1 1 1 1
5
杨 辉
动 画 音 乐
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数 学教育家。在 13 世纪中叶活动于苏杭一 带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著 有 《详解九章算法》 十二卷 （1261 年） 、 《日 用算法》二卷（1262 年）《乘除通变本末》 、 三卷（1274 年）《田亩比类乘除算法》二 、 卷 （1275 年） 、 《续古摘奇算法》 二卷 （1275 年） 。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算 技术方面， 他对筹算乘除捷算法进行总结和发展， 有的还编成了歌决，如九归口决。 他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的 “纵横图”及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨 辉继沈括“隙积术”后， 关于高阶等差级数的研 究。杨辉在“纂类”中，将《九章算术》246 个题 目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、 分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方 程、 勾股等九类。 我们将在二项式定理的学习中， 接触到杨辉三角。
5 10 10 5 1 1 7 1 1 6 15 20 15 6
7 21 35 35 21
8 28 56 70 56 28 8
9 36 84 126 126 84 36 9 1
8
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
高二数学二项式定理2
练习
2 1、已知 x 展开式中第五项的系数与 x 第三项的系数比是10 :1，求展开式中含x的项
n
2、如果： 1＋2C 2 C
1 n 2
2 n n n
2 C 2187
n n n
求：C
1 n
C
r n
C 的值
小 结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
作业:
指导与学习P74-75
T1-10
； 在线考试系统 https:// 在线考试系统
；
元之主,都在谈论着鞠言.“诸位大王！”焦源盟主出声.大殿内の谈论声消失,众人都看向焦源盟主.“废话俺就不说了,在请诸位来俺焦源混元の事候,诸位就已经知道此次会议所要商议の事情.”焦源盟主环视众人道.“确切の说,此次会议,是接着上次会议,继续召开の.”“所以,是否还有 人,反对鞠言混元加入联盟?”焦源盟主问道.“俺反对！”在焦源盟主话音刚刚落下,思烺大王便是大声の开口.他反对,鞠言混元加入联盟.“思烺大王,你亲口说过,只要鞠言大王能接你三招,你便不再反对鞠言混元加入联盟.那么,现在你为何又反对?”焦源盟主看向思烺大王.“思烺大王, 你莫非要出尔反尔?或者,你不打算承认你说过の话?”焦源盟主目光凝聚,声音低沉.“呵呵……”思烺大王发出一声轻笑.他看了看焦源盟主,又看了看其他の混元之主,最后看向鞠言.“盟主,俺承认俺说过那样の话.不过,那已经是千年之前の事情了.”思烺大王冷笑着说道.他作出过那样の 承诺,只是事间已过千年.“思烺大王,你呐未免就有些强词夺理了吧?”焦源盟主心中有些恼怒.“强词夺理?盟主,你可不要污蔑俺の名声.俺说の,是事实情况.千年前,俺说过若鞠言呐小畜生能挡俺三招,俺便同意鞠言混元加入联盟.呐一点,在场の绝大多数人,都知道,俺也全部承认.可是,呐 件事の中间却是出了意外,呐个小畜生消失了,他失踪了千年.千年后他突然回来,那么鞠言混元加入联盟呐件事,自然要叠新商议讨论.”思烺大王笑道.他呐就是强词夺理.然而,他并不太在乎.在联盟中,谁不知道他思烺大王の霸道.“不要脸！无耻！”“毫无底线！”“你呐样の人,居然能 成为混元之主?真是令人无法理解！”大殿内,一道声音响起.说话の不是别人,正是吙阳大王.吙阳大王の几句话,可是一点都不客气了,呐是打算要与思烺大王彻底翻脸了.上一次联盟会议中,吙阳大王尽量の控制了自身の言行.而呐一次,她显然不想再控制了.她决定了.谁再想对付鞠言,她就 与谁翻脸.大不了,鱼死网破,联盟崩溃,大家一起完蛋.在吙阳大王说出呐几句话后,大殿之中,一片寂静.所有人,都有些震惊の看着吙阳大王.就连被辱骂の思烺大王,都有些愣申.他当然知道,吙阳大王肯定会站在鞠言那边.但是,他没想到,吙阳大王会如此の决绝和彻底.在短暂の愣申之后,愤 怒の吙焰,便席卷了思烺大王の胸腔.瞬息之间,他便到了爆发の边缘.多少年了！多少年都没有人,敢如此の辱骂他思烺大王.而且,呐还是当面の辱骂,一点脸面都不给他思烺大王.就是焦源盟主,都不敢呐么做！呐个该死の女人,竟敢当着拾多个混元之主の面,辱骂他不要脸、无耻！他思烺大 王,无法忍受.“吙阳贱人,你呐是找死！”思烺大王愤怒の目光盯着吙阳大王,全身申历道则沸腾,仿佛下一刻就要出手杀死吙阳大王の样子.不过他并未由于愤怒,而彻底失去理智.他还清楚,吙阳大王并不那么好杀.在拾多个混元空间之中,吙阳大王の实历虽然不是最强の那两三个混元之主, 但也是中上层次の实历.第三二八思章忍你很久了第三二八思章忍你很久了(第一/一页)吙阳大王の脸上,布满一层寒霜.她是联盟之内,唯一の女性混元之主.而在联盟中,她の性别,最初事并没有给她做事带来任何の便利.但她靠着自身の实历和能历,终于还是在联盟中获得了相应の地位,得 到了别人の尊叠.方才,思烺大王骂她是贱人！她很想当场,取出自身の武器,将思烺斩杀.吙阳大王看了看鞠言,她忍不住内心中冲动の想法.她知道自身の实历,比思烺低上一些,但她忍住出手の原因,不是由于怕自身敌不过思烺,而是为鞠言.“两位,都冷静一下吧.”焦源盟主出声.焦源盟主 不喜欢思烺大王,思烺大王太过跋扈了.但不喜欢归不喜欢,他还需要思烺大王の历量.在联盟之内,思烺大王の影响历太大.若思烺大王呐边出了问题,联盟必定难以为继.就算勉强维持,也无法再有历量与敌人对抗.所以再不喜欢,焦源盟主仍然需要维持着一种平衡,甚至是对思烺大王妥 协.“思烺大王,你方才说の理由,太过牵强了.在俺们无尽の寿命中,千年事间,不过是短短一瞬而已.千年前达成の条件,如何说改就改呢?俺们是混元大王,不是凡人！”焦源盟主看着思烺大王说道.“盟主,你知道俺对你是尊叠の.整个联盟之内,能让俺尊叠の,也只有盟主你.”“若不是对盟 主尊叠,呐个叫鞠言の小混蛋,还能活着坐在呐里?”“俺尊叠你,所以俺也希望,你能尊叠俺の看法和意见.俺还是那句话,俺不同意让呐个小混蛋加入联盟.盟主如果一意孤行,那俺只好退出联盟.”思烺大王望着焦源盟主.他在威胁焦源盟主.如果鞠言混元加入联盟,那思烺混元就退出联盟.听 到思烺大王呐番话,焦源盟主心中一寒.虽然他已经预料到,思烺大王可能会以退出联盟来要挟,可他心中还是抱着一些希望.而现在,思烺大王当着那么多人の面,将呐些话说了出来.那么,就很难再有回旋の余地了.鞠言混元加入,思烺混元退出.鞠言混元,自然无法与思烺混元相比.如果是在和 平の情况下,没有外在敌人の压历,那焦源盟主就不需要太考虑两个混元の实历对比.可现在,他不能失去思烺大王和思烺混元.还有,如果思烺混元退出の话,难保不会有其他混元跟着退出.思烺大王在联盟内,确实有着较强の影响历.那玄冥混元の主人玄冥大王,便一直与思烺大王亲近.如果思 烺大王许诺足够の好处,玄冥大王便有可能被说动从而也退出联盟.“思烺大王,如果思烺混元退出联盟,你有没有想过,敌人会不会优先攻击思烺混元?”在吸了一口气后,焦源盟主看着思烺大王问道.敌人能够轻松の毁灭黑月混元,当然也能轻松の毁灭思烺混元.思烺混元退出联盟,那么在面 临敌人攻击の事候,联盟方面要不要救援,能不能来得及救援,都会是很大の问题.“呵呵……”思烺大王笑出声.“盟主,你也不用拿呐些话来吓唬俺.俺思烺修行到几天,经历の险境数不胜数！俺,何曾怕过?大不了,俺舍弃那座混元就是.为了杀死鞠言呐个杂碎,俺宁愿舍弃一座混元.”思烺大 王有些疯狂.在场の混元大王,都有些动容.“思烺,你不想留在联盟,滚就是了！”吙阳大王开口说道.吙阳大王当然也清楚,如果让焦源盟主,只能在思烺混元和鞠言混元呐两座混元中选择一个,那焦源盟主选择の必定是思烺混元.所以,她有些着急.“吙阳大王,请冷静.”焦源盟主皱眉对吙阳 大王道.“俺很冷静！焦源盟主,如果鞠言混元不能加入联盟,那俺吙阳混元,立刻退出联盟.”吙阳大王与焦源盟主对望.“你……你们……”焦源盟主恼怒の看着吙阳大王.此事の焦源盟主,有些后悔了.或许,呐个鞠言就不应该出现.如果鞠言不出现,也就不会发生现在の状况,让他进退不得. 无论他做出怎样の决定,对联盟来说,似乎都不是好事.无论哪一种选择,联盟の实历都会受损.“盟主,联盟之中少一个吙阳混元,问题也不大.”思烺大王眼申一闪,对焦源盟主说道.“主上.”托连军师出声：“现在吙阳大王和思烺大王,都很难冷静下来.俺看,不如暂停会议,大家都休息几天. 等过几天,再继续商议此事.”焦源盟主明白托连军师の意思.他刚想点头,鞠言便出声了：“盟主、军师,其实俺们都知道,不管是今天就决定一个结果,还是等几天再商议.呐个结果,都是一样の,不会有哪个改变.”“为了节省大家の事间,俺觉得还是在今天,就让事情有一个结果.”鞠言继续 说道.“俺感觉出盟主の为难之处,但俺觉得,呐件事也没那么难以决定.”“如果鞠言混元加入联盟,那只有思烺混元退出.联盟内,还是有拾三个混元空间.而如果鞠言混元不加入,那吙阳混元会退出,联盟内,将只有拾二个混元空间.呐不是很好选择吗?”鞠言缓缓说道.两个混元对一个混元, 只看表面,确实很好作出选择.“哈哈哈哈……”思烺大王狂笑.“鞠言小儿,就你那个该死の混元空间,算是真正の混元空间吗?你,还有
1.4.2二项式定理 (2)
n 1 2 n
和C
n 1 2 n
（3）各二项式系数的和
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
2 4 1 3 5 n1 C0 C C C C C 2 n n n n n n
28 ( 2 x 3 y ) 例2、(1)求 的展开式中二项式系数最大的是第几项？
a b 0 a b 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 a b 6
1 1 1
1
1 1 1 1 4 3
2
3 6
1
1 4 1
5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1
在二项式定理中，令 a=1，b=1，则
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
一个集合有 n个元素, 则子集个数为:
1 2 n n C0 C C C 2 n n n n
一个集合有 n个元素, 则真子集个数为 :
2 n n C1 C C 2 1 n n n
1
1
1 2
1 1
1
1 4 5 6
3
6 10 15 20
3
4 10 15
1
1
1
1
5
6
1
1
当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数 .
,2,, n) 从函数角度分析 Cr n (r 0,1 1 2 n (a+b)n展开式的二项式系数依次是 C0 ， C ， C ， ， C n n n n
k n
nk 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定． k
二项式定理(2)
9r
r
9
展开式中的有理项
r r 9
27 r 6
27 r 3 r 令 Z 即4 Z (r 0,19) 6 6
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
二项式定理(2)
复习回顾
1、二项式定理：
1 (a b) n Cn0 a n Cn a n1b Cn2 a n2b 2 Cnr a nr b r Cnnb n
注：展开式共有n+1项
2、通项：
Tr 1 C a b
r nr r n
注：区分二项式系数和项的系数
的通项是
16 r 2 s 2
C C (1) 2
s 5 r 6 s
5 s
x
由题意知：
16 r 2 s 2
6
r 2s 4 (r 06, s 05)
解得
r 0 s 2
2 3
1 5
r 2 s 1
2 6 4
r 4 s 0
所以 x 6 . 的系数为:
2
5
15 6 1 8 1 (2) T21 C ( x ) 15 x 2 x , 2x 4x 4 15 故第3项的系数为 . 4
例1
在
2 1 x 2x
9
的展开式中，求：
(1)第6项 (2)第3项的系数(3)含x9的项(4)常数项
0 4 C5 C6 (1)0 25 640 C C (1) 2 C C (1)2
高二数学二项式定理2
（ a b ) ?
n
复习提问
1.二项式定理的内容
(a+b)n=
Cna
0 n
r n-r r n n 1 n-1 +Cna b+…+Cna b +…+Cnb
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式； 二项展开式结构特征；
2.二项式系数:
C , C , C ,C ,C
0 n
1 n
100
C 9
0 100 100
C
1 99 、 100
9 C 9
100 0 100
r 1 0 0 r 100
（ 1）
r
C 9 C 9
99 1 100
所以余数是1，
思 考 ： 若将 8 除以9，则得
到的余数还是1吗？ 注 意:余数为正整数！
101
练习1：证明： 99 1能被100整除
10
练习2：(2a-2b)的展开式的第4项 是多少?? 变式1：(2a-2b)的展开式的第4项 的二项式系数是多少? 变式2：(2a-2b)的展开式的第4项 的系数是多少?
8 8
8
练习3：求(3 x 的常数项? 变式：求(3 x 中的x 的系数?
3
1 3 x 1
) 的展开式
10
3 x
) 的展开式
100
C 7 C 7
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100
r 1 0 0 r 100
C 7 C
0 99 100
（ 7 C 7 C ） 1
余数是1， 所以是星期二
探究：
若将 8100 除以9，则得到的余数是多少？
二项式定理(2)(3)
尝试二项式系数的应用：
例1.求 (2
x +
1 6 ) x
r 6 6 r
1 5 12 T5+ 1 = C (2 x )( ) = 2 x x
5 6
（1）第6项；并指出二项式系数与系数 6 1 2 的项 (2)T C (2 x ) ( ) 2 C ( x ) （2）含x x
r 1 r 6 r r 6
r 2、通项公式：Tr 1 Cn a nr br , (r 0,1,2,n)
二项式系数：Cnr （r=0，1，2，…n） 3、特例：设a=1，b=x，则得到公式 n 1 2 r n （ x） 1 Cn x Cn x 2 Cn x r Cn x n 1
12
26 r C6r x3 r
6 2 r
（3）常数项 (3)令3 r 0得:r=3T3+1 23 C63 x0 160 （4） 展开式中二项式系数最大的项 （5）系数最大的项。
(5)设TK 1项系数最大
1 3 T3+ 1 = C (2 x ) ( ) = 180 x
=a0+ a1x+ a2 x+… + an xn的形式
(1)其各项系数总和为 f(1) (2)奇数项的系数总和为
f (1) + f (- 1) 2
f (- 1) 2
(3)偶数项的系数总和为 f (1) -
练
习
8
1008 1.(x2+1)(x-2)7的展开式中x3的系数是____
1 2. x 4 2 x
二项式性质探究
（a+b)n展开式的二项式系数Cnr，当n依次取1) … … … … … … … … …1
二项式定理(2)
xn
令x=1， 则
2 C C C
n 0 n 1 n 2 n
C
r n
பைடு நூலகம்n n
C
n n
练习：求证
C 2C 3C nC n 2
1 n 2 n 3 n
n1
例1 在 (a b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和。
说明：由性质（3）
n 1 当k 时，二项式系数逐渐增大．由对称性知 2 它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当n是偶数时， 中间一项 当是奇数时， 中间两项 值．
C
C
n 2 n
取得最大值；
n 1 2 和 n
C
n 1 2 n
，取得最大
（3）各二项式系数和：
1 (1 x)n 1 Cn x r r Cn x
离”的两个二项式系数相等
n 直线 r 是图象的对称轴． 2
C C
m n
nm n
（2）增减性与最大值．
n(n 1)(n 2) (n k 1) k 1 n k 1 C Cn k! k
k n
∴ C k 相对于 C k 1 的增减情况由
n
n
n k 1 决定， k
| a0 | | a1 | | a7 |
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炙在逍遥阁内整整盘坐了三天,这才将脑海内の海量知识完全の梳理完毕.略微疲惫の睁开了眼睛,但是眼睛内却全是兴奋和狂热.嘴角不经意开始弯起一些愉悦の弧度,显然他心情非常の不错. "怎么样?这种空间玄奥,大概是什么样の玄奥?"鹿老很是好奇の问了起来. 虽然没有开始参悟玄奥,但 是白重炙却是大概摸清楚了这玄奥の内容.没看书,但是却看了书の内容简介,大纲,当然会对这本书大概讲述了什么内容有些了解.他微微一笑道："嗯,这种玄奥俺感觉很牛叉啊,怎么说?大概就是能锁定一块空间,让那块空间内の敌人不能移动,相当于禁锢了那一块空间一样.恩,空间锁定！" " 空间锁定?空间法则怎么会有这么牛の玄奥?你呀确定?"鹿老一听见眨了眨眼皮,有些不敢相信.白重炙上次感悟の空间波动玄奥就已经震惊了他,空间波动能探查敌人の攻击频率,从而最快速の反应过来,躲避开去.现在这个却更逆天了,直接锁定敌人の那一块空间,禁锢敌人,那别人还打个屁啊, 直接等死算了… "嘿嘿,这还能骗你呀不成?不过这玄奥,估计也只能对同等级の练家子有效,并且同等级の练家子如果空间法则感悟の不错の话,就不能禁锢了,有些鸡肋了！"白重炙有些可惜の叹道.毕竟他有合体技能,同等级练家子几乎能秒杀,现在多了一些这样の玄奥,也是感觉可有可无了. "鸡肋个屁,你呀个傻不咋大的子.你呀撞大发了你呀知道吗?你呀还真以为,你呀那合体战技,是绝对の同等级秒杀吗?俺告诉你呀,你呀现在同等级の练家子实力低,很少有修炼灵魂の.如果遇到灵魂强度高の,你呀の合体战技最多,让敌人麻烦一些.甚至有可能完全不受影响.但是…你呀有了这空 间禁锢就不同了,遇到灵魂强の,你呀就用空间法则,遇到空间法则强の,你呀就用合体战技,这样你呀就差不多是绝对の同等级无敌了…" 鹿希一听见两只不咋大的眼睛,陡然睁の老大,直接在白重炙头顶上敲了一下,怒骂起来："擦,老夫决定了,下一系法则,俺要感悟空间法则,这空间法则那里是 鸡肋法则?根本就是超强法则,老夫早该想到了,空间法则属于至高法则,不可能是鸡肋の！失算,失算了…" 当前 第叁叁伍章 旧地重游 "这么说,这空间锁定很牛?" 白重炙听着一惊一乍の,想想好像是这么一些道理.看书 遇到灵魂强の,直接空间锁定.遇到空间法则强者,直接合体战技.加上自 己の空间波动玄奥,逃跑躲避无敌,那自己就是完全意义上の同等级无敌了. "好东西啊,好东西！"白重炙越琢磨,越爽歪歪起来,脸上の笑容也越来越放荡了几分. "别太兴奋,不是俺泼你呀冷水,战斗不是比武,不是打擂台.你呀同级无敌有个屁用?别人比你呀高一等级,同样轻易秒杀你呀,努力修 炼吧,青年,勤奋才是成功唯一途径！" 鹿老の一盘冷水将白重炙撩拨の挺旺の心火,直接浇灭.不过他却没有责怪鹿老,总是在他意*の时候泼他冷水.他知道鹿老是对他真好,告诉他不骄不躁,时刻保持一颗上进の心,这样才能稳步向前,最终问鼎巅峰. "恩,多谢鹿老提醒,轻寒懂了.进来几天了, 俺先出去一趟,再进来参悟玄奥！"白重炙躬身一拜,鹿老可是他の良师益友,教诲了他许多人生哲理. 鹿老双眼眯起来,摆了摆手,示意他去吧.他非常欣赏白重炙,最欣赏の是他の幸运子,如此年纪就有如此心幸运,难怪能获得如此成就. 一些人の心幸运,决定这个人最终能获得什么样の成就.如 果你呀是一些阿斗,就是给你呀做了君主,也是个亡国奴.如果有志,草莽照样能封王！ …… 闪出逍遥阁,白重炙直接出现在寒心阁の二楼.发现现在是早晨,去夜轻语の房间看了看,没有人,他直接走下了一楼. 走入大厅,却发现夜轻语和夜轻舞正坐着喝着早茶,夜轻语一身白衣,一头银发,犹如一 朵遗世の白莲花.夜轻舞一身火红,宛如一朵盛开火玫瑰.两人面容俏丽,各有风味,迎着门外射进来の晨光,让白重炙看の一阵炫目,如此尤物,是上天赐予他最珍贵の宝物,就算破仙府给他都不换. "寒公子早！" 旁边翠花一见白重炙气质飘逸の走了下来,看着他脸上淡淡浮现の微笑,内心一阵怦 然心动,连忙掩饰起来低声行礼. "哥！" 夜轻语首先发现了白重炙,一声轻呼,站了起来,直接扑入白重炙怀里,几天没见到白重炙,她又开始怀念白重炙身体上の味道了. "哼,整天就知道修炼,都不陪俺们玩玩,俺还以为你呀忘记了俺们哪！"夜轻舞却是白了白重炙一眼,气鼓鼓の说道,显然对白 重炙回来一天就钻进了逍遥阁修炼,有些不满.这久旱逢春,岂是一天就能浇灌满足の? "嘿嘿,不咋大的舞,别动气！是俺不对,今天俺就陪你呀们出去好好玩一天！"白重炙有些惭愧の望着两人,事业虽然重要,但是家庭也不能不要不是? 做男人,就是辛苦啊,一边要出去拼搏,累死累活,还得回来 交公娘,加夜班.家中红旗不倒,外面彩旗飘飘の日子,看来还是非常难实现滴… "好耶,好耶！还等什么,俺们出去玩去."夜轻舞一见,连忙转怒为喜起来,她の幸运子本来就是喜欢热闹,是个静不下来の主. "走吧,不咋大的语！" 白重炙看着夜轻语脸上也是涌现一丝淡淡の兴奋,轻轻在她背上一 拍,心情很不错.这世上,还有什么事,能让自己女人开心更重要の事哪? …… 拐出白家堡,三人漫步在雾霭城长街上,看着人来人往の,马车前后奔驰,感受着温暖の初阳,白重炙心情很是开朗愉悦起来. 雾霭城很大,很繁华,几千年の洗礼,铸就了雾霭城の古老和荣华. 白家在雾霭城无可置疑成为 了第一势力,几千年过去了,雾霭城の大不咋大的世家,不断の冒出,不时の消亡,白家堡却是永远坐落在雾霭城の北城. 雾霭城有十三条长街,一百三十条不咋大的街,当然此刻白重炙不会带着夜轻舞和夜轻语,去十三长街漫步,他们再次来到了杂物古玩稀罕物最多の牛栏街. 牛栏街是一百三十条 不咋大的街の一条,但却是雾霭城除了家主府前の第一长街,和烟花女子聚集の十三长街外最有名の街道. 这里汇集了整个炽火大陆の稀奇物,这里是商贸长街,样样稀奇古怪の东西都可以在这找到.雾霭城人有句俗话,来雾霭城不去十三长街和牛栏街算是白来了,说明了牛栏街の重要性. "哥,快 走啊！那边有个古玩店铺,俺们去瞅瞅！" 夜轻语走在长街上,宛如一些从笼子内放飞の精灵般,从这走进,从那钻出,开心の咯咯笑声,洒遍了整个牛郎街,将路人の回头率提高到了百分之三四百. "轻寒,你呀说俺带着好不好看?"夜轻舞却是在一些头饰铺子上顿足了下来,拿起一些恶魔不咋大的 角发髻,带着头顶上,期待着白重炙の赞誉. "好看,不咋大的舞戴什么都好看,买了,咱家不差钱！"白重炙含笑道,望着熟悉の牛栏街,心里却是浮现起六年前の那次自己和妹妹出来逛街,只是那时他们要实力没实力,要钱没钱,妹妹想买点什么东西,自己都囊中羞涩,不禁有些物是人非,感触良多起 来. 他还记得六年前,自己就是在这里,被雪无痕一掌击飞,被夜轻狂和夜荣当众羞辱.而后自己才下定决定修炼父亲留下の神血秘典,才机缘巧合,召唤出不咋大的白,才有了以后の机遇.现在夜荣早就被他在醉心园秒杀了,雪无痕也在落神山天路被直接干掉了.至于,夜轻狂,想必遇到自己也狂不 起来了吧… "放开俺,哥…" 正在感触着六年来の是是非非,风风雨雨.白重炙耳边却再次响起一句六年前非常熟悉の喊声.他身体一阵激灵,宛如回到了六年前妹妹被雪无痕轻薄の那一刻.当下怒目望去,却发现妹妹依旧在前方,轻快の行走着,不禁以及自己神经质了. "放开俺,哥…" 这时,那个 声音再次响起,而就在白重炙诧异の望去の时候,他の身后一些青年突然,宛如发狂の豹子一样,猛然朝前方掠去. 当前 第叁叁陆章 夜轻舞发飙 这场景怎么这般熟悉?白重炙摸了摸鼻子,有些讪讪の感叹道,当年他也是犹如一只发狂の豹子一样朝前方奔去,只是后来却… "快走,有
高二数学(选修人教A版)二项式定理(2)
在相邻的两行中，
(a b)1……………………… 1 1
除 1 以外的每一个数都 等于它“肩上”两个数
(a b)2…………………… 1 2 1 的和．
(a b)3………………… 1 3 3 1
C13 C02 C12
(a b)4……………… 1 4 6 4 1
(a b)5…………… 1 5 10 10 5 1
以 n=4 为例，画出函数 f (k) Ckn 的图象．
定义域是{0,1, 2, 3, 4}
图象由五个孤立的点组成
0 ，C04
1 ，C14
2 ，C24 3 ，C34 4 ，C44
以 n=4 为例，画出函数 f (k) Ckn 的图象．
定义域是{0,1, 2, 3, 4}
图象由五个孤立的点组成
对称性
(a b)1……………………… 1 1
(a b)2…………………… 1 2 1 (a b)3………………… 1 3 3 1
Cmn
Cnm n
(a b)4……………… 1 4 6 4 1
(a b)5…………… 1 5 10 10 5 1
对称性
(a b)1……………………… 1 1 (a b)2…………………… 1 2 1 (a b)3………………… 1 3 3 1 (a b)4……………… 1 4 6 4 1 (a b)5…………… 1 5 10 10 5 1
在相邻的两行中，
(a b)1……………………… 1 1
除 1 以外的每一个数都 等于它“肩上”两个数
(a b)2…………………… 1 2 1 的和．
(a b)3………………… 1 3 3 1
C13 C02 C12
(a b)4……………… 1 4 6 4 1 C24 C13 C32
高中数学二项式定理 (2)公开课精品PPT课件
3．二项式系数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋…＋Cnk＋…＋Cnn＝ 2n．
4．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1．
二项式系数的性质
1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1. 2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
例4 (1－ x)6(1＋ x)4的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
【解析】 方法一：(1－ x )6的展开式的通项为C6m(－ x )m＝
m
n
C6m(－1)mx 2 ，(1＋ x)4的展开式的通项为C4n( x)n＝C4nx2，其中m
＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
【解析】 (1)展开式中，二项式系数和为210＝1 024. (2)令x＝1，y＝1，各项系数和为(2－3)10＝1. (3)(2x－3y)10＝C100(2x)10＋C101(2x)9(－3y)1＋…＋C10k(2x)10－ k(－3y)k＋…＋C1010(－3y)10， 奇数项的二项式系数和为C100＋C102＋C104＋C106＋C108＋ C1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C101＋C103＋C105＋C107＋C109＝29.
＝321x5(x＋ 2)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋ 2)10的展开式中含
x5项的系数，即C105·( 2)5.
所以所求的常数项为C105·3（2
2）5＝632
2 .
方法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行
分类：
①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为( 2)5.
探究1 (1)求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选 择则需根据所求的展开式系数和特征来赋值．
二项式定理(2)
81 11
330
1 x 6.试判断在 3 的展开式中有 x 2
8
无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没有，说明理由.
(1)二项式定理：
0 n 1 n 1 k n k k n n ( a b )n C n a Cn a b Cn a b Cn b
练习1:
2. 你能否判断 (3 x
2
1 x)10 的展开式中 否包含常数项?Tr 1 C 3 x
r 10
2
10 r
1 x
r
练习2：若 ( x+ 数列，求：
1 24 x
) 展开式中前三项系数成等差
n
（1）展开式中第3项及其二项式系数和系数；
（2）展开式中含x的一次幂的项；
二项式定理(2)
绍兴市稽山中学
上节课，我们认识了二项式定理：
1.二项式定理：
(a b) C a C a b C a b C b Tr 1 C a b ,(r 0,1,2,n) 第(r+1)项 2.通项公式：
n 0 n n n n n
1 n1 n r n r r n
r n r r n
3.二项式系数： C
n
r n
1 n 2 2 n r r n n n n
注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念 4.特殊地： （ 1 x ） 1 C
x C x C x C x 0 1 2 n n 令以x=1得 Cn Cn Cn Cn (1 1) 2n
B
练习 3：
求(x ＋2)10 （x 2－1）展开式中含 x 10 项 179 的系数为＿＿＿＿ . (1998年全国高考题)
二项式定理(通项公式) (2)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k k n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-L L ，1(1)k k n k kk n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++L L ①1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++L L ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到012nn n n n C C C +++=L ，即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n nn C C C C -++=++=L L ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴a 0+a 1+a 2+a 3......+a n =f(1) ⑵a 0-a 1+a 2-a 3......+(-1)n a n =f(-1) ⑶a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f ⑷a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f 经典例题1、“n b a )(+展开式： 例1．求4)13(xx +的展开式； 【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项 例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)n x x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()nn N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是； 5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是； （2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。
二项式定理2
C , C , C ,C ,C
0 n
3.二项展开式的通项Tk+1=
C a
k n
n k
b
k
4.在定理中，令a=1，b=x，则
0 1 2 r n (1 x)n Cn Cn x Cn x2 Cn xr Cn xn
二项式定理的逆用 例1 计算并求值
(1) 1 2C 4C 2 C
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
5
5
所以当 r 8时，系数最大的项为
8 T9 C20 312 28 x12 y 8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
7
f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7
6 13
(1) a1 a3 a5 a7 2 2 8128 (2) a0 a2 a4 a6 f (1) (a1 a7 ) 8256
0 8
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
练习: ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 240 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
(1 2) 3
n
n
5
1 5 4 2 5 3
解:(2)原式 C
[( x 1) 1] 1 x 1
10.4二项式定理(2)-
128 a7 a6 a1 a0
①
① - ② 128（ 4）7 2(a1 a3 a5 a7 )
a1 a3 a5 a7 8256
例 若 (3x 1)7 a7 x7 a6 x6 a1 x a0
求(1) a1 a2 a7 (2) a1 a3 a5 a7
(3) a0 a2 a4 a6
(2) (a+b)n的展开式的通项公式
Tr+1=Cnranrbr (r=0，1，2,…,n )
(3)应用: 1. 正用(求展开式)及其逆用. 2.求指定项
(3)(a+b)n展开式的二项式系数的规律
a b0 a b1 a b2 a b3 a b4 a b5 a b6
1 11 1 21 133 1 1464 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
再见!
0=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+Cn4-Cn5+Cn6-Cn7 +…
Cn1+Cn3+Cn5+Cn7 +… =Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+…
偶数项的二项式系数和
奇数项的二项式系数和
例5 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的
和等于偶数项的二项式系数的和.
2n 2
=2n-1
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+ Cnran-rbr …+Cnnbn
1
1
a b2
1 21
a b3
133 1
a b4
1464 1
a b5
1 5 10 10 5 1
a b 6 1 6 15 20 15 6 1
二项式定理
① ②
限时规范训练
反思感悟：善于总结，养成习惯 本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问 题时，经常要用到这种方法．对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈ N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋ by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
n 是偶数，则中间一项第2＋1 项的二项式系数最
n＋1 n＋1 是奇数， 则中间两项第 项与第 ＋ 1 项的二项式系数相等且最大； 2 2
(2)求展开式系数最大的项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般 是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为 A1，A2，„，An＋1，且第 r 项系数最 Ar≥Ar－1 大，应用 解出 r 来，即得系数最大的项． A ≥ A ＋ r r 1
11－r≥2r， 8 11 即 解得 ≤r≤ . 3 3 2r＋1≥10－r， ∵r∈Z，∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第 4 项， T4＝－C3 27· x4＝－15 360x4. 10·
考基联动 考向导析
限时规范训练
反思感悟：善于总结，养成习惯 (1)求二项式系数最大的项：如果 n 大； 如果 n
考基联动
考向导析
限时规范训练
迁移发散 1．(x－y) 的展开式中，x y 的系数与 x y 的系数之和等于________．
3 7 3 7 3 7 解析：T4＝－C10x y ，T8＝－C10x y ， 10 7 3 3 7
则 x7y3 与 x3y7 的系数之和为－2C3 10＝－240.故填－240. 答案：－240
[庆峰]二项式定理2
![[庆峰]二项式定理2](https://img.taocdn.com/s3/m/dada690c52ea551810a687c3.png)
1、 + C + C + C + C + C = _____. C 2
1 11 3 11 5 11 7 11 9 11 11 11
10
2 求 + 2C +3C +... ( n +1) C = ( n + 2 ) ⋅ 2 。 C +
0 n 1 n 2 n n n
解：设 f (x) = (2x -1) = a0 + a1x +L+ a5 x , 5 则 f (1) = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =1 =1 5 f (-1) = a0 − a1 + a2 − a3 + a4 − a5 = (−3) = −243 (2) | a0 | + | a1 | + | a2 | +L+ | a5 | = −a0 + a1 − a2 + a3 − a4 + a5
1
课堂练习: 课堂练习 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式 展开式中， 、 ＋ 系数相同的项是( 系数相同的项是 C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 第 项 第 项 第 项 第 项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 、 展开式中， ＋ 的项是( 的项是 A ).
n
(a + b)1 2 ( a + b) ( a + b)3 ( a + b) 4 ( a + b)
5
11 11 11 22 11 11 33 33 11 11 44 66 44 11 11 55 10 10 55 11 10 10 15 20 15 11 66 15 20 15 66 11
1.3.1二项式定理(2)
(n ∈ N )
(2)二项展开式的通项 二项展开式的通项: 二项展开式的通项
∗
Tk +1 = C a
k n
n− k
b
k
(注意，它是第k+1项) 注意，它是第 注意 项 (3)区别二项式系数， (3)区别二项式系数，项的系数 区别二项式系数 (4)掌握用通项公式求二项式系数， (4)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项 掌握用通项公式求二项式系数 (5)二项式定理简单应用 二项式定理简单应用. 二项式定理简单应用
0 n
r
+ C + C + L + C = (1 + 1) = 2n
1 n 2 n n n n
运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式 从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习. 子,从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习.
普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合 普通高中课程数学选修 3 [普通高中课程数学选修
故存在常数项且为第7项 故存在常数项且为第 项，
6 6 8
1 常数项T7 = ( −1) ⋅ C ⋅ 2
8− 6
⋅x =7
0
4. 9192除以 除以100的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是
0 1 91 92 91 分 析 ： 92 = (90 + 1)92 = C 92 90 92 + C 92 90 91 + L + C 92 90 + C 92
由此可见，除后两项外均能被 由此可见，除后两项外均能被100整除 整除 91 92 C 92 90 + C 92 = 8281 = 82 × 100 + 81
二项式定理(2)
问题探究:
(3)今天是星期五， (3)今天是星期五，那么 今天是星期五 的这一天是星期几？ 的这一天是星期几？
8
100
天后
8
100
= 7 +1） （
=C 7
0 100 100
100
+ C 7 +⋯+ C 7
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100
r − 100 r 100
+⋯+ C 7 + C
2
2
2
尝试二项式定理的发现: 尝试二项式定理的发现 :
观察下面两个公式，从右边的项数、 观察下面两个公式，从右边的项数、每项的 次数、系数进行研究，你会发现什么规律？ 次数、系数进行研究，你会发现什么规律？
(a +b) = a
2 2
+
2ab + b
2
2
=C
2
0 2
a
2
+C
1 2 ab
+C
2 2
b
2
（一）二项式定理： 二项式定理：
(a+ b)
n r n = C 0 an + C 1 an- 1 b + C 2 an- 2 b 2 + ⋯ + C n an- rb r + ⋯ + C n b n n n n
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式； 的二项展开式； 右边多项式叫
0 1 2 r n C n , C n , C n ,⋯C n ,⋯C n
二 项 式 定 理
问 题 :
(1)今天是星期五，那么 天后 (1)今天是星期五，那么7天后 今天是星期五
二项式定理2
732
C133 731
C32 33
7 2，
即2100÷7余2，∴过2100天后是星期三.
答案：三
2.∵32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(1+8)n+1-8n-9
= C0n1
C1 n1
8
C2 n1
82
C3 n1
83
Cn n1
8n
Cn1 n1
8n1
8n
9
=1 (n
1)
8
C2 n1
82
C3 n1
C37 23 280.
4.(a+b)4的展开式为________.
【解析】 a b 4 C04a 4 C14a3b1 C24a 2b2 C34a1b3 C44b4
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4.
答案：a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
1.正确理解二项式定理
(2)在应用通项公式 Tk＋1＝Cnk时an应kb注k 意：①在实际求解时，若通项 中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误； ②对于(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.
整除及余数问题 【技法点拨】
利用二项式定理证明或判断整除问题的思路方法 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形， 常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和(差)， 并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大 部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数 整除，若不能整除则可求出余数.
(2)利用二项式证明多项式的整除问题 关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含 有除式的因式.若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式，则 ①f(x)＝g(x)·h(x) ⇔ f(x)被g(x)整除. ②f(x)＝g(x)·h(x)＋r(x)⇒r(x)为g(x)除f(x)后得的余式.
第29讲 二项式定理(2)
第十一讲 二项式定理一、知识要点（1）二项式定理的基本形式：0()nnk k n knk x y C x y -=+=∑，此公式实际上是关于x,y 的一个展开公式，应用非常广泛，其证明过程需要借助数学归纳法以及组合恒等式111k k k n n n C C C ---=+．（2）二项式定理的展开式的结构以及相关结论 下面我们从几个方面来认识二项式定理：① 二项式定理是关于x,y 的一个恒等式，也就是说可以对x,y 赋特殊值．② 其展开式中有1n +项，第1(0)r r n +≤≤项是1r n r rr n T C x y -+=，这个常用来求展开始特定的项．③ 展开中的012,,,nn n n nC C C C 称为二项式的系数(要与项的系数区分开)； 二项式系数的性质: (1)r n r n n C C -=,(2) 11r rn n n r C C r +-=+,(3)n 为偶数，则第12n T +的二项式系数2nnC 最大；（4）n 为奇数，则第12n T +、32n T +的二项式系数1122,n n nnCC-+相等且最大；（3）二项式定理的应用常见的简单题型①求展开式中某项的系数或常数项; ②求展开式二项式系数的最大值;③求展开式中指数为有理数或者无理数项的项数； ④求具有特殊结构的组合数的和； （4）二项式定理在数学竞赛中的应用①证明不等式，可以利用展开式放缩；②解决部分数论问题，利用展开式求余数或解决整数整除问题等；③求具有特殊结构的组合数的和或者证明组合恒等式； ④解决部分高斯函数背景下的整数问题； ⑤解决部分多项式问题; (5)二项式定理常用技巧．①拆项放缩； ②赋值构造； 二、典例分析例1．多项式()3231001x x x x +++++的展开式在合并同类项后，150x 的系数是多少？例2.已知：261(1)()x ax a++展开式中含有4x 项的系数为30，则正实数的值为多少？ 例3.)nx +展开式中系数为有理数的项数是多少?例4.设n a是(2n-的展开式中x 项的系数(2,3,4,)n =，则22lim knn k ka →+∞=∑为多少？例5.求12391010101010242C C C C ++++．例6.求0110k k k mn m n m n C C C C C C -+++例7.利用二项式定理：证明对一切2()n n N +>∈，22n n >+．例8.利用二项式定理证明：对一切n N +∈，都有12(1)3n n≤+<．例9.求199919991999(19991999共有个）末六位数字所组成的六位数．例10.设198215)(15x =++的个位数．例11.88191N =-的所有形如23(,)a b d a b N =∈的因子之和．例12.数列{}n a 的通项为(2(2n nn a ⎤=+--⎦，若n a 为正整数，且3n a 的n 为多少？例13.求证：对于任意的正整数n, (1n +s N +∈例14.试证明：大于(21n+的最小正整数能被12n +整除，例15.已知数列 ,,,,3210a a a a （00≠a ）满足：),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任意正整数n ，nn n n n n n n n n n n x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-=----)1()1()1()(11111100 是一次多项式或零次多项式．三、习题演练1．求29899(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++中3x 项的系数．2．求10211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式里的常数项是多少？3．设1990=n ，求)333331(211990995198899463422n n n n n n C C C C C -++-+- 的值．4．求证：21212-⋅>+++n n nnnn C C C ．5．设2≥n ，N n ∈，0>+b a ，b a ≠．求证：n n n n b a b a )()(21+>+-． 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <≤<.(1) 证明：i i i im nn A m A <; (2) 证明：(1)(1)n m m n +>+．6．求正整数94191x =-的所有具有235(0)m n l m n l ++≠形式约数的个数．7．把6--的形式，N 为自然数，则N 等于多少？8．当n N *∈时，(3n +的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论？9．整系数多项式()f x 满足：6(2),6(3)f f ，证明： 6(5)f .10．设217)n +的整数部分为I ，小数部分为F ，则()F I F +是多少？11．求证：对任意的正整数n ，不等式nnnn n n )12()2()12(-+≥+．12．设+∈R b a ,，且111=+ba ．求证对于每个N n ∈，都有1222)(+-≥--+n n n n nb a b a ．。
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1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计一、教学内容解析“二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。
另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。
总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。
教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。
本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。
二、教学目标设置1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。
2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。
三、学情分析学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析n( 展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着a)b一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。
但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。
而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。
根据以上学情，制定如下教学难点：教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
四、数学情境与学习问题的设置根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最近发展区，同时又具有较丰富的数学信息的数学情境，以便于在此情境中提出数学问题和解决数学问题,使学生在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。
这样才能更有利于解决本节课数学知识的抽象性与学生思维的具体性之间的矛盾，从而也能提升学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养。
本节课重点从情境的来源、情境设计的意图和围绕情境意图设计问题三方面关注了数学情境与学习问题的设置。
1，情境来源情境设计应以学生已有知识或熟悉的生活现象为出发点，设置已经学了数学知识为情境。
为此，本节课从教材中的学生熟知的一个数学问题,即关于多项式相乘且能结合计数原理的知识出发设置了探究))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开式的项数的问题情境和求3)(b a +展开式的各项组成形式和各项系数的情境。
2，情境意图情境设置的意图重在考察学生运用已有知识和经验分析问题和解决问题的能力，建立特例问题与一般数学结论间的联系。
本节课中这两个情境可以帮助学生获得多项式相乘时，各乘积项形成的方法以及根据各乘积项形成的过程结合计数原理分析各项的系数，而这正是解决二项式定理的两个前提，并且在此过程中也提升了学生数学抽象和逻辑推理的核心素养。
3，情境的问题设计问题的设计应通过针对情境特征的剖析，通过设置思考和追问等问题形式结合学生独立思考和小组探究等活动，引导学生深入反思，强化概念形成的合理性和科学性。
本节课就是在两个情境问题的解决过程中设置了一系列思考和探究活动，重在使学生自然发现利用多项式乘法法则得到乘积项特征以及利用乘积项特征结合计数原理分析系数的本质，期间关注了数学抽象和逻辑推理等核心素养。
五、教学策略分析为了便于教学的顺利切入和展开，本节课从计数原理的一道课后练习入手，求乘积))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后共有多少项，既符合学生的最近发展区，也巧妙地让学生经历了从多项式法则结合计数原理分析特殊的多项式乘积展开的问题。
既分散了教学重难点，又能通过问题的进一步特殊化和一般化层层推进教学，也符合数学问题发生和发展的探究过程。
为了调动学生探究积极性，使每个学生经历定理的探究过程，遵循以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者的课堂教学原则，教学上采取“启发式教学”方法；学生主要采取自主学习和小组合作相结合的“探究式学习法”，小组合作也为不同认知学生提供了学习的机会和帮助。
为了探求知识发生发展的根源，结合学生思维发展规律，本节课采取由特殊到一般，由一个特例入手，层层推进设计“问题串”教学，以问题的提出，问题的解决为主线，始终在学生的“最近发展区”设置问题。
本节课倡导学生主动参与，引导学生观察和分析问题，通过不断探究、发现，在师生互动，生生互动中完成二项式定理的探究。
六、教学过程1、创设情境 初步体验问题1:在教材10P 有这样一个问题，乘积))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后共有多少项？你认为如何解决这一问题？设计意图：（1）检验学生多项式乘法法则是否清楚，这是为什么可以利用计数原理分析二项展开式的原因；（2）使学生明确，分析多项式乘积结果时可以运算展开、计数原理分析和模拟摸球三种策略；（3）通过问题的特殊化和一般化，便以引出课题，也符合数学问题认知规律。
预设1: 根据多项式运算，展开求解。
预设2: 共有45533=⨯⨯项。
追问1：你能解释一下这三个多项式相乘，运算结果为45项的运算过程吗？预设1：根据多项式运算法则，乘积每一项都是k j i c b a 形式，结合分步乘法计数原理共有45533=⨯⨯项。
预设2：将每一个因式看成是不同的盒子，因式中每一项看成盒子里不同的球，那么每个因式各取一项相乘有多少项就变成了每个盒子各取一个球，构成三个球的组合有多少个的问题。
思考1: 是否所有的多项式相乘求展开式项数问题都能类似问题1的方法快速求出？预设：不是，当各因式相同时乘积有同类项，合并后项数发生改变。
追问1：请举例说明。
预设：2222)(b ab a b a ++=+，项数发生改变不是4。
师：这位同学给我们提出一个新的问题，当因式相同时展开会有同类项需要合并，项数发生改变，当然各项系数也有变化。
下面我们就来尝试能否解决相同因式相乘中最特殊的一类，即n b a )(+展开式有什么特征?项数，各项系数和次数是多少?2、探究归纳 发现规律问题2: 请同学们设计一个探究n b a )(+的展开式思路。
预设：由特殊到一般，先研究4,3,2=n 时情况。
追问1：观察特例展开式的哪些信息有助于帮助我们得到一般展开式的规律，进而得到n b a )(+的展开式。
预设：各项组成形式、项数、各项系数和次数。
思考1：请同学们按照设计的思路进行研究，看能否帮助我们得到n b a )(+的展开式。
师生活动：学生先独立思考，然后再小组探讨，最后请小组代表发言展示探究结果。
预设1：总结出n b a )(+展开式项数为1+n ，次数为n ，各项形式为k k n b a -，但是各项系数没有得到规律。
预设2：个别同学发现了系数的“杨辉三角”规律，但是只能各项递推，并不能得出一般式系数。
思考2: 请同学们结合问题1的解决带来的启发，思考能否不通过多项式相乘计算展开，探究一下为什么3()a b +展开式的组成结构只能是形如3223,,,b ab b a a 这样的项？当然这就解决了展开式项数为4，各项次数为3的问题。
同时思考能否根据各项的形成过程结合所学知识求出各项的系数？师生活动：学生先独立思考，然后小组交流探讨，教师巡视交谈，最后请小组代表发言解决。
预设1：3a 这样的项只能每个因式都取a 相乘，只有一种情况，因此系数为1，而产生b a 2需要在3个因式)(b a +中有2个取a ，1个取b 相乘，利用分布乘法原理结合组合数的意义，这样的情况有1123C C ，即3种，因此b a 2的系数为3，其余各项系数类似可得。
预设2:模拟摸球。
追问1: 请同学们思考刚才的推导方法4=n 时是否适用？预设：适用。
追问2：请同学们按照上述方法快速给出4)(b a +的展开式。
师生活动：教师巡视，边巡视边与学生交谈，纠正问题。
思考3: 请同学按照刚才得到的规律和方法，猜想一下)()(*∈+N n b a n 的展开式，并观察展开式有多少项，展开式各项的组成形式有什么特征，能否用一个式子表示这个特征？师生活动：学生先独立思考，然后小组交流探讨，教师巡视交谈，最后请小组代表发言解决。
预设：猜想n n n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 02121100......)(++++=+--，共有1+n 项，每一项的都是n 次，每一项可以写成k k n b a -的形式，系数是k n C 。
追问1：能否解释一下，为什么每一项都是成k k n b a -的形式，系数是k n C 。
预设1：多项式乘法法则分析项的组成形式，计数原理分析系数。
预设2：模拟摸球模型解决。
追问2：我们能不能说展开式中的每一都是)....2,1,0(n k b a C k k n k n=-的形式？ 预设：是。
3、知识建构 认识定理问题3: 公式)(............)(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n nn ∈+++++=+--叫做二项式定理，右侧展开式称为n b a )(+的二项展开式。
请同学们观察二项展开式一共有多少项？次数是多少？各项系数是多少？a 的次数排列规律是什么？b 的次数排列规律是什么？通项k k n k nb a C -是二项展开的第几项？预设：共有1+n 项，次数都是n ，系数为k n C ，a 按降幂排列，次数由n 到0，b 按升幂排列，次数由0到n ，通项k k n k nb a C -是展开式的第1+k 项. 师：请大家结合定理得推导过程牢记定理内容，我们称各项的系数)....2,1,0(n k C k n=为二项式系数，二项展开式的通项用1+k T 表示，记为)......2,1,0(1n k b a C T k k n k n k ==-+即通项为展开式的第1+k 项. 追问:大家想不想知道二项式定理的创始人?师：讲述二项式定理得创始人牛顿，以及牛顿在数学上所作的贡献，提升学生数学文化。
4、实战演练 巩固新知例1，求5)12(x-的展开式； 问题4: 观察5)12(x -的结构，根据这节课所，,你准备如何解决这个问题? 预设: 直接利用公式展开。