【精选课件】高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理1课件.ppt
中职数学拓展模块课件-二项式定理
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
【高教版】中职数学拓展模块：3.4《二项分布》ppt课件(2)
解 由于是有放回的抽取，所以3次抽取是相互独立的．而且
巩 固 知 识 典 型 例 题
是在相同条件下进行的重复试验．每次抽取中，取到黑球的概率 1 4 都是 p ，取到的不是黑球的概率都是 ．三次抽取，取到黑球 5 5 4 n 3 ， p 的个数 是一个离散型随机变量，服从 的二项分布． 5 即 4 B 3， ． 5 事件 2 表示抽取3次所取到的球恰好有2个黑球．其概率为
在实际问题中，如果n次试验相互独立，且各次实验是重复试 验，事件A在每次实验中发生的概率都是p(0＜p＜1)，则事件A发 生的次数 是一个离散型随机变量，服从参数为n和P的二项分布．
例6 口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取一个球，观察 后放回再重新抽取．求抽取3次所取到的球恰好有2个黑球的概率．
巩 固 知 识 典 型 例 题
活不到65岁}．于是 P( A) 0.6, P( A) 1 0.6 0.4． 且随机变量 B(3， 0.6)． 因此
3 3 0 P (3) C 0.6 (1 0.6) 0.216， 3 3 2 2 1 P (2) C 0.6 (1 0.6) 0.432， 3 3 1 1 2 P (1) C 0.6 (1 0.6) 0.288， 3 3 0 0 3 P ． 3 (0) C3 0.6 (1 0.6) 0.064
0， 1， 2， 3的概率（仅求到组合数形式）分别为：
0 1 P( 0) C3 0.030 (1 0.03)3， P( 1) C3 0.03 (1 0.03)2， 2 3 P( 2) C3 0.032 (1 0.03)， P( 3) C3 0.033 (1 0.03)0．
人教版中职数学(拓展模块)3.1《排列、组合与二项式定理》ppt课件1
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
Cnm =⑥
Anm Amm
=⑦ n(n 1)(n 2) (n m 1) .
m!
n!
=⑧ m!(n m)! .
规定 Cn0 =1. (4)组合数的两个性质.
(ⅰ)
Cnm
=
C nm n
;
(ⅱ)
Cm n 1
=
Cnm
+ Cnm1
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式.
Anm
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
=1·2·3·…·(n-1)·n=n!(称为n的阶乘)；
Ann (ⅱ)规定0!＝1.
组合与组合数
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：
第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数 字，有4种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选 法；
第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理， 得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
《二项式定理》ppt课件
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
高教版中职数学(拓展模块)3.4《二项分布》ppt课件1
A，并且在每次
实验中，事件A发生的概率都不变．这样的n次独立试验叫做n次
动
伯努利实验．
脑
思
可以证明（证明略），如果在每次实验中事件A发生的概率
考
为P(A) p，事件A不发生的概率说明P( A) 1 p，那么，在n次伯努
n次伯努利实
探
利实验中，事件A恰好发生k次的概验率中为，事件A恰好发生k 次的概率公式可以看成
独立重复试验．
动
脑
采用“有放回”的方法，从袋中连续5次抽取的实验就是5次独
思
立重复试验．
考
探
观察上面的实验，每次试验的可能结果只有两个（黄球、白
索
球），并且两个结果是相互独立的（即各个事件发生的概率互相
新
没有影响）．
知
一般地，在n次独立试验中，如果每次试验的可能结果只有
两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A和
体
这个公式叫做伯努利公式，其中 k 0，1，2 ，n．
建
构
生产某种零件，出现次品的概率是0.04，现要生产4件这 种零件，求：
（1）其中恰有1件次品的概率；
Hale Waihona Puke 自 我（2）至多有1件次品的概率．
反
思
目
标
0.14，0.99．
检
测
继续探索 活动探究
基础训练及对口升学精讲精练 书面作业：教材习题 Ｐ46 习题T3,T4
• 三、听英语课要注重实践
• 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/7/31
中职数学 拓展模块 第3章 概率与统计
3.1 排列与组合
两个相同的排列有什么 特点？两个相同的组合呢？
3.1 排列与组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个 不同元素中取出m个元素的 组合数 ，用 来表示.
例如，上述问题从3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为 ；我们已经知道 =3.那么从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合 数 是多少呢？下面我们来讨论下组合数的公式.
为了得到这个问题的结论，我们先来看问题一：从甲、乙、丙 3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
3.1 排列与组合
解决这个问题需 分2个步骤：第一步， 先确定1名参加上午活 动的同学，从3人中任 选1人有3种选法；第 二步，确定1名参加下
学习提示
例6 中公式是组合数的性质之一，即从n个 不同元素中取出m个元素的所有组合数与取出nm个元素的所有组合数是相同的.它给出了一种
减少计算工作量的方法，如计算C160 可转化为计
算 C140 .
3.1 排列与组合
练一练
1.计算.
C140
;
C198 200
;
C939
;
C22
C32
C1200 .
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第3章 概率与统计
图3-5
3.1 排列与组合
填法可分为m个步骤： 第一步，第一位可以从n个不同的元素中任意选填一个，有n种 方法； 第二步，第二位可以从剩余的n-1个不同的元素中任意选填一 个，有n-1种方法； 第三步，第三位可以从剩余的n-2个不同的元素中任意选填一 个，有n-2种方法； …… 第m步，第m位可以从余下的n-m+1个不同的元素中任意选填 一个，有n-m+1种方法.
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
【精选课件】人教版中职数学拓展模块3.1排列、组合与二项式定理1课件.ppt
盆里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成；
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 有A53种排法
4.注意排列数公式、组合数公式有连 乘形式与阶乘形式两种，
公式 Anm =n(n-1)·…·(n-m+1),
Cnm =
n(n 1)(n 2) (n m 1) 常用于计算,
m!
而公式 Anm
=
(n
n! m)!
,Cnm
= n! 常用于
m!(n m)!
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事，即类与类之间是相互 独立的，即分类完成，则选用分类计数原 理；如果完成一件事要经历几个步骤（即 几步），且只有当这些步骤都做完，这件 事才能完成，即步与步之间是相互依存、 相互连续的，即分步完成，则选用分步计 数原理.
3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取 出一组即可，与顺序无关.
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1 个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
高教版中职数学(拓展模块)3.1《排列与组合》ppt课件1
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
•
但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
基础模块中，曾经学习了两个计数原理．
一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有 k1种方法， 第2类方式有 k2 种方法，……，第n类方式有 kn 种方法，那么完
成这件事的方法共有
创
N k1 k2 kn（种）．
设
上面的计数原理叫做分类计数原理．
（n
n! m)!
探
索 新
即
Pnm
（n
n! m)!
知
例2 计算 P52 和 P44．
解 P52 =5×4=20， P44 4！ 4 3 2 1 24．
巩
例3 小华准备从7本世界名，共有多少种选法？
知
解 不同的送法的种数是
思
种
种
考
探 索
Pnm n n 1n 2 n m 1
语文版中职数学拓展模块3.2《二项式定理》ppt课件1
问题探究
对给定的正整数n，设函数
当f (nr＝) 6=时C，nr函，数r∈f({r0)，的1图，象2，是…什，么n？}，
f(r) 20 15 10 5
O 1234 5 6 r
问题探究
一般地，函数f (r )
=
C
r n
，
r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？
例5 用二项式定理求233除以9的余数.
余数为8
应用举例
例6 求1.028精确到0.001的近似值. 1.028≈1.171
例7 求证：
C
0 n
+
1 2
C
1 n
+
1 3
C
2 n
+
L
+
n
1 +
1
C
n n
=
2n + 1 - 1 n+1
应用举例
例8 设n∈N*，求证：
（1）2n > 2n + 1(n ? 3) ；
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
高教版中职数学(拓展模块)3.2《二项式定理》ppt课件2
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
x
1
6
x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x
1
9
的
展开
式
中x3的 系
=
Cnk
1
n
k k
+
1
实质：数
所
以Cnk
相
对
于C
k n
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知
2 它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
治学品质
• 杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解， 辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无 上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。 师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日 师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练， 为防异处而忘，故坚不让道。
• 辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图：19个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。 辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。 辉感其童向学 之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿， 相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至 16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图 总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》中，流 传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。
【优质课件】高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理1优秀课件.ppt
趣 导 入
情况有
C
3 4
种，所以
a
b3的系数是C34；恰有4个取b的情况有
C
4 4
种，
所以 b4的系数是C44．
因此
（a b)4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34ab3 C44b4．
利用这种方法可以得到二项式定理：
设a , b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
巩 固
Tm1 C9m x9m (2)二 系m 数项C是式9m 指系(1数x)6m的是2C系m39数x9C8m439；(而2第)3 =4项-6的72．
知
由9－m=6,得m＝3．
识
即二项展开式中含 x 6的项为第4项．
典
故这一项的系数是
型 例
C39
(1)3
23
987 3 21
知 识
略．
强
2．求 (a 3b)7 的展开式的第4项及含有 a2b5的项．
化
练 习
T4 945a4b3；T6 5103a2b5．
二项式定理的内容是什么？
理
论
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b求(x 2 y)10 的展开式中二项式系数最大的项．并指出这项的
动 脑
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b nm m Cnnbn 公式右边的多项式叫(a b)n的二项展开式，共有n+1项，其中
思 每一项的系数 Cmn（m=0，1，2…n）叫该项的二项式系数，第m+1项
考 Cmn anmbm叫做二项式的通项．记作 Tm1，由公式可以看出，二项展开
索
二项式定理课件_完美版
x 1
5
3．若(
)n的展开式中各项系数之和为64，
则 展开式的常数项为( A ) A．－540 B．－162 C．162
D．540
4．(2010·上海春)在 项是________．
的二项展开式中，常数
答案：60
二、题型与方法
考点一 通项公式的应用
通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知 道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式 中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为 解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负 整数且r≤n.
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式 所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的 项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来 求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一 致．
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
2.计算并求值
(1) 1 2C 4C
1 n 2 n
5 4
2 C
n
(2) ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1)
3
n n
2
5( x 1)
0 n n
职中二项式定理ppt课件
二项式定理的应用场景
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些代数问题，如因式分解、求根公式等。在物理中，二项式定理可以用于计 算一些物理量的近似值，如光的波长、电子的能量等。在工程中，二项式定理可以用于解决一些优化问题，如线 性规划、组合优化等。
03
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
二项式定理的通项公式
通过组合数和幂运算，推导出二项式定理的通项公式，用于 计算特定项的值。
二项式定理的推广
将二项式定理的适用范围从两项扩展到多项，并推导出相应 的展开式。
二项式定理的几何意义
二项式定理与几何图形的关系
通过图形解释二项式定理的原理，如利用三角形和组合数的关系解释二项式系 数。
习题二及答案
习题二
$(a+b+c)^2$的展开式中，$a^2$的 系数是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b+c)^2$的展 开式中$a^2$的系数是 $C_2^1b^1c^0+C_2^0b^0c^2=2 c+2b$。
习题三及答案
习题三
$(a+b)^5$的展开式中，常数项是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b)^5$的展开式中常 数项是$C_5^4a^1b^4=5b定理简介 • 二项式定理的公式与证明 • 二项式定理的扩展与推广 • 二项式定理的实际应用 • 习题与解答
01
二项式定理简介
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，它描述了两个数的乘积的展开式的 特定规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数a和 b（其中b不为0），它们的乘积可以 展开为(a+b)，(a+b)^2，(a+b)^3等 幂次的各项，这些项的系数遵循特定 的规律。
第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)
其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2， 所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在 这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个 选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系 数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定 的项，再求和即可．
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0， 则正实数a＝________． 解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
《二项式定理》课件
二项式定理的应用场景
01
02
03
04
在数学领域，二项式定理常用 于解决组合数学问题，如排列
、组合、概率等。
在物理领域，二项式定理可以 用于计算各种物理量的展开式 ，如力学、电磁学、光学等领
域。
在计算机科学领域，二项式定 理可以用于快速算法设计、数
详细描述
切比雪夫二项式定理是由切比雪夫发现的一种数学定理，它适用于解决与切比雪 夫多项式相关的问题。该定理可以用来计算切比雪夫多项式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
贝塞尔二项式定理
总结词
贝塞尔二项式定理是二项式定理的一 种特殊形式，它适用于解决与贝塞尔 函数相关的问题。
详细描述
贝塞尔二项式定理是由贝塞尔发现的 一种数学定理，它适用于解决与贝塞 尔函数相关的问题。该定理可以用来 计算贝塞尔函数的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
总结词
牛顿二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决特定的问题，如 无穷级数求和等。
详细描述
牛顿二项式定理是由牛顿发现的一种数学定理，它适用于解决一些特定的问题 ，如无穷级数求和等。该定理可以用来计算二项式展开式的系数，从而得到一 些重要的数学结论。
切比雪夫二项式定理
总结词
切比雪夫二项式定理是二项式定理的一种特殊形式，它适用于解决与切比雪夫多 项式相关的问题。
04
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
扩展到多于两项的乘积
扩展到无穷级数
二项式定理可以扩展到多项式乘积的 形式，即$(a+b+c)^n$的展开形式。
高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理
二项式定理的定义二项式定理的证明二项展开式的通项二项式系数的性质二项式定理一、定义：n nn r r n rn n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C ++++++=+--- 22211)()(*N n ∈，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数),,2,1,0(n r C rn = 叫做二项式系数，第1+r 项叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示；r r n rn r b a T C -+=1叫做二项展开式的通项公式． 二、二项展开式的特点与功能1. 二项展开式的特点项数：二项展开式共1+n （二项式的指数+1）项；指数：二项展开式各项的第一字母a 依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b 依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n ；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b 的幂指数； 2. 二项展开式的功能知识内容二项式定理注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a ，b 不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式．因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据．又注意到在b b a )(+的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列．因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据． 三、二项式系数的性质1. 对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．2. 单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C n n2最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数Cn n21-,Cn n21+ 相等，且最大．3. 组合总数公式：nnn n n n C C C C 221=++++ 即二项展开式中各项的二项式系数之和等于n 2．4. “一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即1531422-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ．例题练习1. 二项式定理及其展开式【例1】 求5)1(x x +的展开式．【解析】5)1(x x +=505541453235232514150505)1()1()1()1()1()1(x x x x x x x x x x x x C C C C C C +++++ =5x +53x +10x +10x 1+531x +51x【例2】 0．9915的近似值（精确到）是【解析】0．9915=(1-0．009)5=1-5×0．009+10×2 … ≈+0．00081≈【例3】 求证：（1）11--n n 能被2)1(-n 整除)3,(≥∈n N n ；【证明】为利用二项式定理，对1-n n 中的底数n 变形为两数之和（或差）． ∵ 3≥n ，且N n ∈， ∴11)]1(1[---+=n n n n 于是有 1)]1(1[111--+=---n n n n()()()21121111112...11n n n n n C n C n C n -----⎡⎤=+-+-++--⎣⎦()()()2112111112...1n n n n n C n C n C n -----=-+-++-()()()23231111111...1n n n n n n C C n C n -----⎡⎤=-++-++-⎣⎦(※) 注意到3≥n ，且N n ∈ ，故()()323111111...1n n n n n C C n C n N --*---++-++-∈因此由(※)式知11--n n 能被2)1(-n 整除；2. 二项式系数【例4】 在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）【例5】 A ． –14 B ． 14 C ． –28 D ． 28 【分析】对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一，8)1)(1(+-x x =8888)1()1()1()1(x x x x x x +-+=+-+⋅ ，又8)1(x +的展开式中4x 的系数为C 48，5x 的系数为C 58．∴ 原展开式中5x 的系数为1438485848=-=-C C C C ，应选B ．【例6】 设1,2,3,4,5,k =则5)2(+x 的展开式中k x 的系数不可能是（ ）A ． 10B ． 40C ． 50D ． 80 【分析】立足于二项展开式的通项公式：)5,,2,1,0(2551 ==-+r x T r r rr C∴ 当k=1时，r=4，1x 的系数为802445=⋅C ； 当k=2时，r=3，2x 的系数为802335=⋅C ； 当k=3时，r=2，3x 的系数为402225=⋅C ； 当k=4时，r=1，4x 的系数为102115=⋅C ． ∴ 综上可知应选C ．【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式．【例7】 在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，3x 的项的系数为（ ）A ． 74B ． 121C ． –74D ． –121【分析】考虑求和转化，原式xx x x x x 9545)1()1()1(1])1(1[)1(---=-----=又5)1(x -的展开式中4x 系数为C 45 ，9)1(x -的展开式中4x 系数为C 49 ∴ 原展开式中3x 项的系数为1214945-=-C C ，应选D ．【例8】 已知n xx )21(3-)(*∈N n 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：（1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项； （3）系数最大的项．【解析】由题意得5122142==+++-n n n o n C C C ∴10n =∴二项展开式的通项公式为 65301012)1(rrrrr xT C --+⋅⋅-⋅=)10,2,1,0( =r（1）∵10n =， ∴二项展开式共11项∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大 又65551062x T C --=∴所求二项式系数最大的项为 656863x T -=（2）设第r+1项系数的绝对值r rC -⋅210最大，则有)10(2222)1(11010)1(11010≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅----+-+-r r r r r r r r r C C C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅--≥⋅-⋅-+≥⋅-⇔-+1121)!11()!1(!1021)!10(!!1021)!9()!1(!1021)!10(!!10r r r r r r r r r r r r⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-+⇔21121101r r r r解之得31138≤≤r ，注意到N r ∈，故得r=3∴ 第4项系数的绝对值最大∴ 所求系数绝对值最大的项为 25415x T -=（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在r 取偶数的各项内又r 取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为0102C ,22102-C ,44102-C ,66102-C ,88102-C ,1010102-C ．即分别为1，445 ，8105 ，32105 ，25645,1021 由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，即3558105x T =点评：（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数．二者在特殊情况下方为同一数值． （2）这里103)21(xx -展开式中系数绝对值最大的项，实际上是103)21(xx +展开式中系数最大的项，必要时可适时转化．（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标．当指数n 数值较小时，（3）的解法颇为实用．【例9】 设2002002210200)14(x a x a x a a x ++++=- ，求 ①展开式中各二项式系数的和；②展开式中各项系数的和；③19931a a a +++ 的值 ④20042a a a +++ 的值 ⑤20021a a a +++ 的值【解析】令2002002210200)14()(x a x a x a a x x f ++++=-=①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和2002002002200120002002=++++C C C C②展开式中各项系数的和2002002103)1(==++++f a a a a ③ 注意到2001993210)1(a a a a a a f +++++= ，2001993210)1(a a a a a a f +--+-=- )(2)1()1(19931a a a f f +++=--∴)53(21)]1()1([21200200199531-=--=++++∴f f a a a a④仿③得)53(21200200200420+=++++a a a a ，又1)0(0==f a ∴1)53(2120020020042-+=+++a a a ⑤解法一（直面原式）：2001993210)1(a a a a a a f +-+-+-=-∴)1(020********--=-++-+-f a a a a a a a ，又1)0(0==f a ∴1)1(2001994321--=+--+-+f a a a a a a再由二项式的展开式知，-+∈∈R a a a R a a a 1993120020,,,,,, ∴20021a a a +++151)1()()()(2002001994321-=--=+-+++-++-=f a a a a a a点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x 赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值．3. 二项式展开式的通项公式【例10】 求9)1(x x -的二项展开式中3x 的系数．【解析】展开式的通项为m mm m m m m x xx T C C 299991)1()1(--+-=-=根据题意，有923m -= ，解得m=3 因此，3x 的系数为8484)1()1(3393-=⋅-=-C【例11】 求7)21(x +的二项展开式中，第4项的系数和第4项的二项式系数． 【解析】7)21(x +的二项展开式的第4项为3373713)2(1x T C -+=所以第4项的二项式系数为3537=C第4项的系数为280837=⋅C【例12】 求10)1(xx +的二项展开式的第6项．【解析】252)1()(51055510156====+C C xx T T ．【例13】 二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为______．【解析】展开式的通项为r rr r r r x xx T C C 266661)1(--+==由题意知6-2r=0，即r=3，故有展开式中常数项 的值为2036=C ．【例14】 103)1(xx -展开式中的常数项是______．【解析】r rrr rrr xxx T C C 65510310101)1()1()(--+-=-=．依题意，0655=-r ，即6r =．所以展开式的常数项是210)1(61067=-=C T ．【例15】 （2010江西卷理6）8)2(x -展开式中不含4x 项的系数的和为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．采用赋值法，令1=x 得：系数和为1，减去4x 项系数1)1(28088=-C 即为所求，答案为0．4. 二项式定理在解决整除性问题中的应用【例16】 今天是星期一，再过n 8天后的那一天是星期几？【解析】 C C C C C nn n n n n n n n n n n +++++=+=---1122117777)17(8 因为C nn 前面各项都是7的倍数，故都能被7整除．因此余数为，1=C nn 所以应为星期二．【例17】 9291除以100的余数是（ ）． 【解析】转化为二项式的展开式求解．190909090)190(9191922909291192929292+++++=+=C C C ．上式中只有最后两项不能被100整除8281190921909192=+⨯=+C ． 8281除以100的余数为81，所以9291除以100的余数为81．5. 信息迁移【例18】 若)()21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- ，)()()(200402010a a a a a a ++++++= _______．（用数字作答）【解析】设2004200422102004)21()(x a x a x a a x x f ++++=-=则 1)0(0==a f ，1)1(2004210=++++=a a a a f ．∴ 原式=)(20042004210a a a a ++++ =2004)1(20030=+f a 应填2004．【例19】 已知函数1212)(+-=x x x f ，求证：对于任意不小于3的自然数n ，都有1)(+>n nn f ．【证明】要证1)(+>n nn f 3,(≥∈n N n 且，只要证11212+>+-n n n n ，即证)3(122≥+>n n n ． 而12)11(2110210+=++>++++=+=-n C C C C C C C n n n n n n n n n n n ，故原命题显然成立．【例20】 求证：*12(1)3(2,)n n n N n<+<≥∈【证明】n n n n n n n nn n n C C C C )1()1(1)11(2210+++⨯+=+=n nn n n nn n C C C 111113322⨯++⨯+⨯++=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×n nn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ < 2+!21+!31+!41+…+!1n < 2+21+221+321+…+121-n=2+211])21(1[211---n =3-3)21(1<-n显然211111)11(3322>⨯++⨯+⨯++=+n nn n n n nn n n C C C 所以*,2(3)11(2N n n nn ∈≥<+<．课堂总结1. 在使用通项公式r r n rn r b a T C -+=1时，要注意：①通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项②展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同③通项公式中含有a ，b ，n ，r ，1+r T 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n2. 证明组合恒等式常用赋值法3. 二项式定理应用通常有以下几类题型：①通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题②系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数③系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和④利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式⑤在概率等方面的应用课后检测【习题1】（2010全国Ⅰ卷理5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ）A ． -4B ． -2C ． 2D ． 4【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．【答案】B【解析】 53533)1)(81261()1()21(x x x x x x x -+++=-+ 故533)1()21(x x -+的展开式中含x 的项为x x x x x C C 2121012)(1053335-=+-=+-⨯,所以x 的系数为-2．【习题2】4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A 6B 12C 24D ． 48【答案】C 【解析】424)21()2(x x x x +=+，在4)21(x +中，x 的系数为242224=⋅C ．【习题3】73)12(x x -的展开式中常数项是（ ） A 14 B -14 C 42 D -42【答案】A 【解析】设73)12(x x -的展开式中的第r +1项是)7(32777371)1(2)1()2(r r r r r r r r r x x x T C C -+---+⋅-⋅=-=， 当0)7(32=-+-r r ，即r =6时，它为常数项，∴142)1(1667=⋅-C【习题4】（2010陕西卷理4）)(5R x x a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ） A ．-1 B ．0．5 C ．1 D ．2【答案】D【解析】∵r r r rr r r x a x a x T C C 255551--+⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，又令325=-r 得1=r ，∴由题设知210115=⇒=⋅a aC ．【习题5】若n x x x )1(3+的展开式中的常数项为84，则n =_____________【答案】9 【解析】r n r n r r n r n r x x x T C C 2932331)()(---+⋅=⋅= ． 令3n －29r =0，∴2n =3r ∴n 必为3的倍数，r 为偶数试验可知n =9，r =6时，8469==C C r n【习题6】已知n x x )1(lg +展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值【解析】由题意2212=++--C C C n n n n n n ,即22012=++C C C n n n ，∴n =6∴第4项的二项式系数最大 ∴20000)(3lg 36=x x C ，即1000lg 3=x x ．∴x =10或x 101 【习题7】(2010安徽卷理12）6)(x yy x-展开式中，3x 的系数等于________．【解析】3244615)()(x x y y x C ，所以3x 的系数等于15．。
人教版中职数学(拓展模块)3.1《排列、组合与二项式定理》ppt课件1
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
1 C 3 先排末位共有___ 1 C4 然后排首位共有___
（1）是分步问题，用分步计数原 点评
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个 不同的元素中取出M个元素的一个 排 列。 m P 所有排列的个数叫做 排列数 ，用 n 表示。
n! P n(n 1)(n 2) (n m 1) (n m)!
故满足条件的五位偶数共有
1 1 3 60- A3 A3 A2 -1=39(个).
(2)（方法一）可分两类: 0是末位数，有 A A =4（个）；
2 2 2 2
２或４是末位数，有 A A =4(个).
2 2
1 2
故共有4+4=8(个).
( 方法二 ) 第二位、第四位从奇数 1 ， 3中取， 1 2 有 个A ;首位从２ , ４中取，有 个；余下 A 2 2 2 排在剩下的两位，有 个,A 故共有 2
当正面求解较为困难时，也可采用正难则 反的思想，用“间接法”求解，但要注意找准 对立面.
能力提高
球台上有 4 个黄球， 6 个红球，击 黄球入袋记 2 分，击红球入袋记 1 分 . 欲 将此１0个球中的4个球击入袋中，但总 分不低于5分，则击球方法有几种？
设击入黄球x个,红球y个符合要求, x+y=4 则有 2x+y≥5 x,y∈N*, 解得 x=1 y=3, x=2 y=2 , x=3 y=1 , x=4 y=0.
高教版中职数学(拓展模块)3.4《二项分布》ppt课件1
与5次预报都准确的概率的和．即
题
P P5 (4) P5 (5)
C54 0.84 (1 0.8)54 C55 0.85 (1 0.8)55
5 0.84 0.2 0.85 0.74．
某射手射击1次，其中目标的概率是0.9，他射击4次恰好击
运
中3次的概率是多少？
用
知
识
0.2916
强
提示：P4 3 C34 0.93 1 0.943．
化
练
习
伯努利公式的内容是什么？
理
如果在每次实验中事件A发生的概率为 P(A) p，事
论
件A不发生的概率 P( A) 1 p，那么，在n次伯努利实验
升
中，事件A恰好发生k次的概率为
华
整
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
体
索 新
Pn (k) Cnk pk (1成[是p(1)二nk项p)式 p]n
知
这个公式叫做伯努利公式展，开其式中中k的 第0，1k，2+1项，．n．
例1 某气象站天气预报的准确率为80%．计算（结果保留 两位有效数字）
（1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率．
两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A和 A，并且在每次
实验中，事件A发生的概率都不变．这样的n次独立试验叫做n次动伯努利实验．脑
思
可以证明（证明略），如果在每次实验中事件A发生的概率
考
为P(A) p，事件A不发生的概说率明Pn(次A)伯努1利p实，验那么，在n次伯努
探
利实验中，事件A恰好发生k次中 次的的，概概事率率件为公A恰式好可发以生看k
巩
解 预报5次相当于作5次独立重复实验．记“预报1次，结
【优质课件】高教版中职数学拓展模块3.1排列与组合2优秀课件.ppt
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书面作业：教材习题3.1（必做）
探
学习指导3.1（选做）
索
活
实践调查：用本课所学知识解决
动
探
生活中的实际问题
究
2005年11月7日7时33分
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
例10 从6名男生和5名女生中选出3名男生和2名女生排成一 行，有多少种不同排法?
解 不同排法总数是
巩
C36
C52
P55
654 3 21
54 21
5 4 3
21
2400（0 种）．
固
知
分析
识
可以首先将男
典
生选出，再将女
型
生选出，然后对
例 题
选出的5名学生 排序．
例
题
例8 100件产品中有两件次品，从中任意抽取3件产品进行检
查．问
（1）一共有多少种不同的抽取方法？
巩
（2）抽取的3件产品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多 少种？
固
（3）抽取的3件产品中，至少有一件是次品的不同抽取方法有
知
多少种？
识
典
（2）分成两步来完成．第一本从2件次品中抽出1件，第二步从98 件正品中抽出的2件中.由分步计数原理知，恰有1件次品的不同抽取
例11 某城市的电话号码是从0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9中取8个数字组成（允许数字重复），但0和1不能作为电话号码 的首位数．问该城市最多可以装多少部电话？
解 城市最多可以装电话的数量为
巩 固
C18 C研110究 C实110际 C问110 C110 C110 C110 C110 8107 8000000（ 0 部）．
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二项式系数与系数．
自 我 反 思
目
系数最大项是第6项，该项的二项式系数是252．
标
检
测
继续探索 活动探究
基础训练及对口升学精讲精练 书面作业：教材习题 Ｐ46 习题T3,T4
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书面作业：教材习题3.2（必做）
探
学习指导3.2（选做）
索
活
实践调查：用本课所学知识解决
动
探
探 二项式系数最大并且相等． 索 新 知
例1 写出（a b)5 的展开式．
巩
解 由于C50 1，C15 C54 5，C52 C35 10，C55 1．所以
固
（a b)5
知
识
C50a5 C15a4b C52a3b2 C35a2b3 C54ab4 C55b5
动 脑
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b nm m Cnnbn 公式右边的多项式叫(a b)n的二项展开式，共有n+1项，其中
思 每一项的系数 Cmn（m=0，1，2…n）叫该项的二项式系数，第m+1项
考 Cmn anmbm叫做二项式的通项．记作 Tm1，由公式可以看出，二项展开
巩 固
Tm1 C9m x9m (2)二 系m 数项C是式9m 指系(1数x)6m的是2C系m39数x9C8m439；(而2第)3 =4项-6的72．
知
由9－m=6,得m＝3．
识
即二项展开式中含 x 6的项为第4项．
典
故这一项的系数是
型 例
C39
(1)3
23
987 3 21
第三章 概率与统计
3.2 二项式定理
我们知道，如果a，b是任意实数，那么
（a b)2 a2 2ab b2，
（a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3． 下面计算
（a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)．
创
显然，计算结果中的各项都是从每个括号里任取一个字母的
知 识
略．
强
2．求 (a 3b)7 的展开式的第4项及含有 a2b5的项．
化
练 习
T4 945a4b3；T6 5103a2b5．
二项式定理的内容是什么？
理
论
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b nm m Cnnbn
升
华
整 体 建 构
求(x 2 y)10 的展开式中二项式系数最大的项．并指出这项的
(8)
672．
题
例3 求 ( x 1 )10 的二项展开式的常数项． x
解 由于
巩
Tm1 C1m0（
x）10m (
1 )m x
10m
C1m说0 x明2
m
2，
固
故 10 m m 0．
知
2
首先求出公式中字母 m的取值，从而确定要 求的是哪一项，最后根
识
解得 m=5．
据公式写出该项，是解
典
所以二项式展开式中第5项是常数项，决 法为这 ．类问题的一般方
型 例
C150
1098 7 6 5 4ห้องสมุดไป่ตู้3 21
252．
题
1． 用二项式定理展开下列各式：
（1） (1 x)8 ； （2） (x 1)6 ； x
运 用
（3） (2a b)5 ；（4） ( x 2 )4 ． 2x
探 式的通项为
索
Tm1
=C
m n
a
nmb
m
新
知
由二项式定理可以得到：
(a b)1
…………
11
(a b)2
…………
121
动
(a b)3
………… 1 3 3 1
脑 思
(a b)4
………… 1 4 6 4 1
考
(a b)5
………… 1 5 10 10 5 1
探
……
……
上述二项式系数列成的表，称为杨辉三角． 是我国宋朝时的
设
乘积，因而各项都是4次式，其所含字母的形式分别为
情 境
a 4，a 3b，a 2b 2，ab3，b 4 在上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C04种，所以
a 4的系数是C04；恰有1个取b的情况有C14 种，所以a3b的系数是C14；
兴 恰有2个取b的情况有
C
2 4
种，所以
a
2b
2
的系数是C24；恰有3个取b的
索
新 数学家杨辉于1261年所著《详解九章算法》中列出的图表．
知
可以看出二项式系数具有下列性质：
（1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和；
动
（2）每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等；
脑
（3）如果二项式(a b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式中间
思
考 一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么二项展开式中间两项的
生活中的实际问题
究
2005年11月7日7时33分
2005年11月7日7时33分
趣 导 入
情况有
C
3 4
种，所以
a
b3的系数是C34；恰有4个取b的情况有
C
4 4
种，
所以 b4的系数是C44．
因此
（a b)4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34ab3 C44b4．
利用这种方法可以得到二项式定理：
设a , b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
典 型
a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5．
例
题
例2 求（x 2)9的二项展要开区式别中二x项6的展系开数式．中，某项
的二项式系数与这一项的系数，
它们是两个不同的概念．如本例
解 （x 2)9的展开中式第的4项通为项公T4式为C39 x93 (2)3，其