特殊三角形PPT教学课件
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-特殊三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第32页，共33页。
• 试题 在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度数． • 错解 • 解：如图①，在Rt△BHD和Rt△ACD中，∠C＋∠CAD＝90°，∠C＋∠HBD＝90°，∴∠HBD
＝∠CAD.又∵BH＝AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD＝AD.∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°.
一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢
飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞
行
10 米．
第31页，共33页。
(2)(2013·绥化)已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90° ，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD， BE.以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45° ；④BE2＝2(AD2＋AB2)，其中结论正确的有( C )
• 正解
• 解：这里的∠ABC有两种情况，∠ABC是锐角(图①)或∠ABC是钝角(图②)．如图②，在 Rt△BHD和Rt△ACD中，易得∠DCA＝∠DHB.又∵AC＝BH，∴△DHB≌△DCA，∴AD＝ DB，∴∠DBA＝45°，∴∠ABC＝135°.综上：∠ABC＝45°或∠ABC＝135°.
第33页，共33页。
等腰三角形．
第22页，共33页。
解：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°，在 Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD， ∴△ACB≌△BDA(HL)，∴BC＝AD
(2)由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA，
∴△OAB是等腰三角形
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等边三角形
【例3】 (2013·聊城)如图，在等边△ABC中，AB＝6，D
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• 试题 在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度数． • 错解 • 解：如图①，在Rt△BHD和Rt△ACD中，∠C＋∠CAD＝90°，∠C＋∠HBD＝90°，∴∠HBD
＝∠CAD.又∵BH＝AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD＝AD.∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°.
一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢
飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞
行
10 米．
第31页，共33页。
(2)(2013·绥化)已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90° ，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD， BE.以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45° ；④BE2＝2(AD2＋AB2)，其中结论正确的有( C )
• 正解
• 解：这里的∠ABC有两种情况，∠ABC是锐角(图①)或∠ABC是钝角(图②)．如图②，在 Rt△BHD和Rt△ACD中，易得∠DCA＝∠DHB.又∵AC＝BH，∴△DHB≌△DCA，∴AD＝ DB，∴∠DBA＝45°，∴∠ABC＝135°.综上：∠ABC＝45°或∠ABC＝135°.
第33页，共33页。
等腰三角形．
第22页，共33页。
解：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°，在 Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD， ∴△ACB≌△BDA(HL)，∴BC＝AD
(2)由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA，
∴△OAB是等腰三角形
第23页，共33页。
等边三角形
【例3】 (2013·聊城)如图，在等边△ABC中，AB＝6，D
有关三角形的角PPT课件
直角三角形中特殊角度关系
互余关系
在直角三角形中，两个锐角互余，即 它们的角度和为90度。
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。
特殊角度
如30度、45度、60度等。在含有这些 特殊角度的直角三角形中，边与边之 间存在一定的比例关系。
相似三角形角度关系
相似三角形的定义
两个三角形的对应角相等，则这 两个三角形相似。
电磁学中的角度
在电磁学中，角度影响电场和磁场的分布和强度，如电磁波的传 播方向与电场、磁场之间的夹角。
05
三角形角度相关数学竞赛题解 析
Chapter
数学竞赛中常见题型介绍
角度计算题
通过已知条件，求解三角形内角或外角的度数。
角度关系证明题
证明三角形中某些角之间的特定关系，如相等、 互补等。
角度与边长关系题
探究三角形角度与边长之间的内在联系，如正弦 定理、余弦定理的应用。
经典数学竞赛题解析与讨论
经典题目一
已知三角形ABC中，角 A=60度，角B和角C的 度数比是2:3，求角B和 角C的度数。
经典题目二
在三角形ABC中， AB=AC，D是BC上一点 ，且BD=AD，求角 BAC的度数。
经典题目三
三角形ABC中，角A、B 、C的对边分别为a、b 、c，且满足 a^2+b^2+c^2+338= 10a+24b+26c，试判 断三角形ABC的形状。
有关三角形的角PPT课件
目录
• 三角形基本概念及性质 • 三角形角度关系探究 • 三角形角度计算方法 • 三角形角度在实际问题中应用 • 三角形角度相关数学竞赛题解析
01
三角形基本概念及性质
三角形的分类ppt课件完整版
三角形的定义三角形的元素三角形的表示方法030201三角形定义及元素三角形内角和定理三角形内角和定理内角和定理的推论三角形外角性质三角形外角的定义三角形外角的性质三角形不等式定理三角形不等式定理任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形不等式定理的推论在一个三角形中，如果两条边相等，那么它们所对的两个角也相等；反之，如果两个角相等，那么它们所对的两条边也相等。
01020304定义性质判定应用定义性质判定应用不等边三角形定义性质判定应用特殊类型三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形性质任意两边之和大于第三边；任意一边都小于另外两边之和。
定义三个内角都小于90度的三角形。
示例等边三角形是特殊的锐角三角形，三个内角都是60度。
定义有一个内角为90度的三角形。
示例等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其中两条直角边长度相等。
性质定义钝角三角形的钝角所对的边（即“钝边”）最长；其余两边（即“锐边”）满足任意两边之和大于第三边。
示例特殊角度三角形定义除了上述三种基本类型外，还有一些具有特殊角度的三角形，如等腰直角三角形、等边三角形等。
性质等腰直角三角形的两条直角边长度相等，且满足勾股定理；等边三角形的三个内角都是60度，且任意一边都等于另外两边之和。
示例30-60-90度三角形和45-45-90度三角形是两种常见的特殊角度三角形，它们的角度和边长之间有一定的比例关系。
性质面积比等于相似比的平方。
定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
周长比等于相似比。
01020304050601定义：两个三角形如果它们的三边及三角分别相等，则称这两个三角形全等。
02性质03对应边相等。
04对应角相等。
05周长相等。
06面积相等。
相似与全等关系探讨联系区别相似三角形只要求对应角相等，对应边成比例，而全等三角形要求对应边和对应角都相等。
三边成比例的两个三角形相似。
全等三角形的判定方法三边全等的两个三角形全等（SSS）。
认识三角形三角形PPT优秀课件
三角形稳定性及应用
三角形稳定性
当三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小也就唯一确定了，这 种性质叫做三角形的稳定性。
应用
在建筑、桥梁、机械等领域中，常常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性。 例如，在建筑中，常常使用三角形框架来支撑建筑物，以增加其抗震能力。
02
特殊三角形类型及特点
等腰三角形性质与判定
四边形的分类
根据四边形的边长和角度特征，四边形可分为平行四边形 、矩形、菱形、正方形等。
多边形的定义和性质
多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的 封闭图形。多边形的内角和为（n-2）×180度，其中n为 多边形的边数。
多边形的对角线
多边形中任意两个不相邻的顶点之间的连线称为多边形的 对角线。n边形的对角线总数为n(n-3)/2条。
定义：两个三角形如果它们的三边及三 角分别相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的面积和周长都相等。 对应角相等。
性质 对应边相等。
相似和全等条件比较
相似之处
01
02
都涉及三角形的角和边的关系。
都有对应的判定定理。
03
04
不同之处
相似仅要求对应角相等，而全等要求对应 边和对应角都相等。
05
06
相似的条件较为宽松，全等的条件更为严 格。
直角三角形中的特殊性质
勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形的射影定理等。
三角形中的最值问题
通过三角形的性质和判定条件，解决与三角形有关的最值问题，如 最短路径、最大面积等。
拓展延伸：四边形等多边形知识
四边形的定义和性质
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组 成的封闭图形。四边形的内角和为360度，且任意三个角 之和大于第四个角。
中考数学 考点聚焦 第5章 图形的性质(一)第19讲 特殊三角形1
∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴BD＝CE；
(2)如图③，在△ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE ＝90°，AE＝AB，连接 EA，EB，EC.∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD， ∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在
【深入探究】 (2)如图②，四边形ABCD中，AB＝7 cm，BC＝3 cm，∠ABC＝∠ACD ＝∠ADC＝45°，求BD的长．
审题视角 (1)首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即
可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；(2)在△ABC
的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB
(2)BD＝DE＝EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝∠OBD＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°， ∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE， ∴BD＝DE＝EC.
【点评】 此题主要考查等边三角形的判定及性质的理解及运用．
(2)(2016·淮安)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三 角形的周长是__1_0_．
【例2】 (2015·北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的 中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC ，∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，又∵∠CAD＝ ∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.
△EAC 和△BAD 中，A∠EE＝ACA＝B，∠BAD，∴△EAC≌△BAD(SAS)， AC＝AD，
(2)如图③，在△ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE ＝90°，AE＝AB，连接 EA，EB，EC.∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD， ∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在
【深入探究】 (2)如图②，四边形ABCD中，AB＝7 cm，BC＝3 cm，∠ABC＝∠ACD ＝∠ADC＝45°，求BD的长．
审题视角 (1)首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即
可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；(2)在△ABC
的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB
(2)BD＝DE＝EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝∠OBD＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°， ∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE， ∴BD＝DE＝EC.
【点评】 此题主要考查等边三角形的判定及性质的理解及运用．
(2)(2016·淮安)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三 角形的周长是__1_0_．
【例2】 (2015·北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的 中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC ，∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，又∵∠CAD＝ ∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD.
△EAC 和△BAD 中，A∠EE＝ACA＝B，∠BAD，∴△EAC≌△BAD(SAS)， AC＝AD，
《三角形的分类》三角形PPT优秀课件
距离测量
在地理测量中，利用三角形的性质可 以计算两点之间的距离，这种方法在 航海、航空等领域也有广泛应用。
24
物理领域：力学平衡问题、光学成像原理等
力学平衡
在力学中，三角形结构常被用于解决平衡问题。例如，一个均质杠杆在平衡时，其重心、支点和力点构成的三角 形满足平衡条件。
光学成像
在光学中，三角形原理被应用于成像过程。例如，人眼通过晶状体将光线聚焦到视网膜上形成倒立的三角形图像 ，大脑再将其转换为正立的视觉感知。
20
相似和全等关系在解决实际问题中应用举例
建筑设计中的应用
地理测量中的应用
在建筑设计中，相似和全等关系可用于计 算建筑物的比例和尺寸，确保建筑物的稳 定性和美观性。
在地理测量中，相似和全等关系可用于计 算两点之间的距离、高度和角度等参数， 为地图制作和导航提供准确数据。
机械制造中的应用
艺术绘画中的应用
各类三角形的特点
等腰三角形有两条等边和两个等角；等边三角形三边相等，三个角都是60度；直角三角 形有一个90度的角和两条垂直的边；锐角三角形三个角都小于90度；钝角三角形有一个 角大于90度。
28
易错难点剖析及解决方法分享
易错点一
忽视三角形的定义和性质，导致 在解题过程中出现错误。解决方 法：牢记三角形的定义和性质，
在机械制造中，相似和全等关系可用于设 计和制造精确的机械零件和组件，确保机 械设备的正常运转和性能稳定。
在艺术绘画中，相似和全等关系可用于绘 制符合透视原理和比例关系的作品，使画 面更加逼真和生动。
2024/1/24
21
05
三角形在生活中的应用 场景举例
2024/1/24
22
建筑领域：桥梁设计、房屋结构稳定性分析等
在地理测量中，利用三角形的性质可 以计算两点之间的距离，这种方法在 航海、航空等领域也有广泛应用。
24
物理领域：力学平衡问题、光学成像原理等
力学平衡
在力学中，三角形结构常被用于解决平衡问题。例如，一个均质杠杆在平衡时，其重心、支点和力点构成的三角 形满足平衡条件。
光学成像
在光学中，三角形原理被应用于成像过程。例如，人眼通过晶状体将光线聚焦到视网膜上形成倒立的三角形图像 ，大脑再将其转换为正立的视觉感知。
20
相似和全等关系在解决实际问题中应用举例
建筑设计中的应用
地理测量中的应用
在建筑设计中，相似和全等关系可用于计 算建筑物的比例和尺寸，确保建筑物的稳 定性和美观性。
在地理测量中，相似和全等关系可用于计 算两点之间的距离、高度和角度等参数， 为地图制作和导航提供准确数据。
机械制造中的应用
艺术绘画中的应用
各类三角形的特点
等腰三角形有两条等边和两个等角；等边三角形三边相等，三个角都是60度；直角三角 形有一个90度的角和两条垂直的边；锐角三角形三个角都小于90度；钝角三角形有一个 角大于90度。
28
易错难点剖析及解决方法分享
易错点一
忽视三角形的定义和性质，导致 在解题过程中出现错误。解决方 法：牢记三角形的定义和性质，
在机械制造中，相似和全等关系可用于设 计和制造精确的机械零件和组件，确保机 械设备的正常运转和性能稳定。
在艺术绘画中，相似和全等关系可用于绘 制符合透视原理和比例关系的作品，使画 面更加逼真和生动。
2024/1/24
21
05
三角形在生活中的应用 场景举例
2024/1/24
22
建筑领域：桥梁设计、房屋结构稳定性分析等
中考数学一轮教材梳理复习课件：第20课特殊三角形
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(1)如图 1，求证：AD＝AE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
AB＝AC， 在△ABD 和△ACE 中，∠B＝∠C，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD＝AE.
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(2)如图 2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点 B 作 BF∥AC
交 AD 的延长线于点 F，在不添加任何辅助线的情况
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3．(2020·甘孜)如图，等腰△ABC 中，点 D，E 分别在
腰 AB，AC 上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD
的是( B )
A．AD＝AE
B．BE＝CD
C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
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二、填空题 4．(2020·岳阳)如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝___7_0___°.
△ABE，△ACD，△DAE，△DBF.
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பைடு நூலகம்
(3)判定：
①三边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个 60°角的等腰三角形是等边三角形．
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2．(1)如图，在等边三角形 ABC 中，若 AB＝2，则等 边三角形 ABC 的面积是_____3___．
(2)下列条件中，不能得到等边三角形的是( B ) A．三边都相等的三角形 B．有两外角相等的等腰三角形 C．两内角是 60°的三角形 D．一内角为 60°的等腰三角形
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3．(1)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，若 AC＝
4，BC＝3，则 AB＝__5___．若∠A＝30°，且 CD⊥AB，
初中数学八年级上册《2.0第2章特殊三角形》PPT课件 (2)
解：1、当BC为底边时，如图：
A
∵AD ⊥BC，AD=1/2BC=BD=CD， ∴ ∠BAD= ∠B= ∠C= ∠CAD= 450 ∴ ∠BAC= 900
B
D
2、当BC为腰时，设∠B为顶角，分下面几种情况讨论： （1） 顶角B为锐角时，如图：
∵ AD=1/2BC=1/2AB
AD ⊥BC
∴ ∠B= 300
12、在直直角角三三角角形形_中__两，__直两__角个__边锐__角___的__互平__余方__和。等于__斜__边___的平方。 如果用字母a,ba和2 c分别b表2 示直c角2 三角形的两条直角边和
3、斜如边果，三那角么形__中_____+_较___小_____两_=边__的__平_。方和等于_斜_较_边_大__一边 的直4、平角在方。直，角那三么角这形个斜中三边，角如形果是一直个角锐三角角等形于，___3__0_斜____边度__的，_所一那对半么的它角所是对 的直角边等于_________的一半。 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于___________,那么这 条直角边所对的角等于300。
A
二、应用与延伸
例1。如图，设A城市气象台测得台风中心，在A城正西方向3
千米的B处，正向北偏东600的BF方向移动，距台风中心200千米的
范 响解围？：内为作是什A受么D台？⊥风如B影果F 响你的是区气域象，员那，北么请你A城算是一否算受。到这次台风的影
∵由已知可得： ∠ FBA=300600来自DFA
∵AD=12,DC=13
AC 2 AD 2 CD 2
+ = S ∴∠CAD=90°
四边形ABCD=
B _21 ×3×4＋_21 ×5×12=36
C
3、如图已知四边形ABCD中，∠A=60°∠B=∠D=90°，BC=3，CD=2，求
A
∵AD ⊥BC，AD=1/2BC=BD=CD， ∴ ∠BAD= ∠B= ∠C= ∠CAD= 450 ∴ ∠BAC= 900
B
D
2、当BC为腰时，设∠B为顶角，分下面几种情况讨论： （1） 顶角B为锐角时，如图：
∵ AD=1/2BC=1/2AB
AD ⊥BC
∴ ∠B= 300
12、在直直角角三三角角形形_中__两，__直两__角个__边锐__角___的__互平__余方__和。等于__斜__边___的平方。 如果用字母a,ba和2 c分别b表2 示直c角2 三角形的两条直角边和
3、斜如边果，三那角么形__中_____+_较___小_____两_=边__的__平_。方和等于_斜_较_边_大__一边 的直4、平角在方。直，角那三么角这形个斜中三边，角如形果是一直个角锐三角角等形于，___3__0_斜____边度__的，_所一那对半么的它角所是对 的直角边等于_________的一半。 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于___________,那么这 条直角边所对的角等于300。
A
二、应用与延伸
例1。如图，设A城市气象台测得台风中心，在A城正西方向3
千米的B处，正向北偏东600的BF方向移动，距台风中心200千米的
范 响解围？：内为作是什A受么D台？⊥风如B影果F 响你的是区气域象，员那，北么请你A城算是一否算受。到这次台风的影
∵由已知可得： ∠ FBA=300600来自DFA
∵AD=12,DC=13
AC 2 AD 2 CD 2
+ = S ∴∠CAD=90°
四边形ABCD=
B _21 ×3×4＋_21 ×5×12=36
C
3、如图已知四边形ABCD中，∠A=60°∠B=∠D=90°，BC=3，CD=2，求
三角形的内角和ppt课件
三角形分类
按边可分为等边三角形、等腰三 角形和一般三角形；按角可分为 锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形。
三角形边长与角度关系
三角形边长关系
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形角度关系
三角形内角和为180°，外角和为360°。
特殊三角形性质介绍
等边三角形性质 三边相等，三个角都是60°。
01
02
03
知识掌握情况
学生自我评价对于三角形 内角和的定义、性质以及 推导过程有清晰的认识和 理解。
解决问题能力
学生能够运用三角形内角 和的知识解决一些简单的 三角形角度计算问题。
学习态度与习惯
学生表现出积极的学习态 度和良好的学习习惯，能 够认真听讲、积极思考并 主动发言。
课后作业布置及要求
作业内容
判断形状类问题解析
已知三边判断形状
01
通过三边关系判断三角形的形状，如等边、等腰或一般三角形
。
已知两角及夹边判断形状
02
根据角边角（ASA）或角角边（AAS）关系判断三角形的形状
。
已知三角判断形状
03
通过三角形内角和定理及三角形形状的判断条件进行综合分析
。
一题多解类问题探讨
多种方法求角度
除了直接应用三角形内角和定理 外，还可以利用正弦、余弦定理
若三角形中三边相等，则三个角也 相等，每个角均为60°，可以快速判 断出所有角的大小。
05
典型例题解析与思路拓展
求角度类问题解析
1 2
已知两角求第三角
通过三角形内角和定理，直接计算第三角的度数 。
已知两边及夹角求其他角
利用正弦、余弦定理求解其他角度。
按边可分为等边三角形、等腰三 角形和一般三角形；按角可分为 锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形。
三角形边长与角度关系
三角形边长关系
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形角度关系
三角形内角和为180°，外角和为360°。
特殊三角形性质介绍
等边三角形性质 三边相等，三个角都是60°。
01
02
03
知识掌握情况
学生自我评价对于三角形 内角和的定义、性质以及 推导过程有清晰的认识和 理解。
解决问题能力
学生能够运用三角形内角 和的知识解决一些简单的 三角形角度计算问题。
学习态度与习惯
学生表现出积极的学习态 度和良好的学习习惯，能 够认真听讲、积极思考并 主动发言。
课后作业布置及要求
作业内容
判断形状类问题解析
已知三边判断形状
01
通过三边关系判断三角形的形状，如等边、等腰或一般三角形
。
已知两角及夹边判断形状
02
根据角边角（ASA）或角角边（AAS）关系判断三角形的形状
。
已知三角判断形状
03
通过三角形内角和定理及三角形形状的判断条件进行综合分析
。
一题多解类问题探讨
多种方法求角度
除了直接应用三角形内角和定理 外，还可以利用正弦、余弦定理
若三角形中三边相等，则三个角也 相等，每个角均为60°，可以快速判 断出所有角的大小。
05
典型例题解析与思路拓展
求角度类问题解析
1 2
已知两角求第三角
通过三角形内角和定理，直接计算第三角的度数 。
已知两边及夹角求其他角
利用正弦、余弦定理求解其他角度。
冀教版八年级上册数学教学课件 第十七章 特殊三角形 直角三角形
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D )
A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=26°，则
∠BDC的度数是( D )
A.26° B.38° C.42° D.52°
B.60°
C.90° D.120°
1 2
直角三角形的性质与判定
问题2.1 我们已经知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三 角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
? 提示：三角形的三个内角和为 180°，已知两个角的数量关系，可 以得到另外一个角的大小.
1
2 ∠1+∠2=90°
直角三角形的性质与判定
问题2.2 试着用已经学习过的知识验证你的结论.
A
证明：在△ABC中，因为 ∠A +∠B+∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
于是可知△ABC是直角三角形.
B
C
直角三角形的性质与判定
归纳： 直角三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角_互__余__，那么这个三角形是直 角三角形． 直角三角形判定定理的应用格式：
在三角形ABC 中， ∵∠A +∠B =_9_0_°_， ∴三角形ABC 是_直__角__三__角__形__．
直角三角形的性质与判定
练一练：(1)如图，图中直角三角形共有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是_直__角___三角形.
九年级数学上册人教版
第十七章 特殊三角形
A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=26°，则
∠BDC的度数是( D )
A.26° B.38° C.42° D.52°
B.60°
C.90° D.120°
1 2
直角三角形的性质与判定
问题2.1 我们已经知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三 角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
? 提示：三角形的三个内角和为 180°，已知两个角的数量关系，可 以得到另外一个角的大小.
1
2 ∠1+∠2=90°
直角三角形的性质与判定
问题2.2 试着用已经学习过的知识验证你的结论.
A
证明：在△ABC中，因为 ∠A +∠B+∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
于是可知△ABC是直角三角形.
B
C
直角三角形的性质与判定
归纳： 直角三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角_互__余__，那么这个三角形是直 角三角形． 直角三角形判定定理的应用格式：
在三角形ABC 中， ∵∠A +∠B =_9_0_°_， ∴三角形ABC 是_直__角__三__角__形__．
直角三角形的性质与判定
练一练：(1)如图，图中直角三角形共有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是_直__角___三角形.
九年级数学上册人教版
第十七章 特殊三角形
八年级三角形ppt课件
内角和定理的应用
应用一
利用内角和定理计算三角形的角度。 已知三角形的两个角度，可以通过内 角和定理计算出第三个角度。
应用二
利用内角和定理解决几何问题。例如 ，通过已知三角形的一个角度，求其 他两个未知角度；或者通过已知三角 形的两个角度，判断第三个角度是否 符合条件。
特殊三角形的内角和
等边三角形的内角和
三角形的周长计算
公式计算
三角形周长=三边之和，即三条边的长度相加。
实例解析
通过具体实例，如等腰三角形、等边三角形等，演示如何使用公式计算周长。
特殊三角形的面积与周长
等边三角形
等边三角形是三条边都相 等的三角形，其面积和周 长都有特定的计算公式。
等腰三角形
等腰三角形是两边相等的 三角形，其面积和周长也 有特定的计算公式。
三角形的性质
总结词
三角形具有稳定性、内角和为180度 等基本性质。
详细描述
三角形具有很高的稳定性，不易变形 ，这是由于其几何结构决定的。此外 ，三角形的三个内角之和总是等于 180度，这是三角形的基本性质之一 。
三角形的边与角的关系
总结词
三角形的边与角之间存在一定的关系，如余弦定理、正弦定 理等。
03
等边三角形是等腰三角形的特殊情况，当等腰三角形的两腰相
等且底角相等时，即为等边三角形。
CHAPTER 03
三角形的面积与周长
三角形的面积计算
公式计算
三角形面积=底×高÷2，其中底 和高是三角形的两个边和它们之 间的夹角。
实例解析
通过具体实例，如直角三角形、 等边三角形等，演示如何使用公 式计算面积。
生活中的三角形
总结词
无处不பைடு நூலகம்，实用与美观并存
特殊三角形的性质
练习
2.填空题
⑴.如果等腰三角形的一个底角为 50 ， 那么其余两个角为____和____. 80 50
⑵.如果等腰三角形的顶角为 80 ，那么 它的一个底角为____. 50
等腰三角形中，有一种特殊的情况．就是 底边与腰相等．这时三角形三边都相等． 我们把三条边都相等的三角形叫做等边三 角形.
A
B
C
１.等腰三角形是轴对称图形
２.等腰三角形两个底角相等， 简写成“等边对等角”
３.等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高 互相重合简称“三线合一”
∠ADC＝ 90 （三线合一）
。 。 。
。
∵ ∠BAC=180 -30 -30 =120
。
A
60 1
B
1 D
C
练习 1.等腰三角形的底角可以是直角或钝角 吗？为什么？
因为如果底角大于或等于 90 ，则２倍底角 大于或等于 180 ，这样三角形的内角和就大 于 180 ，显然不可能
• 等腰三角形是轴对称图形 • ∠B=∠C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” • ∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 简称“三线合一” • ∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线 • BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合
A
B
。
A B C 180 （三角形内角和等于 180 ） B A 180 80 80 20
C
例２
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上 。 的中点，∠B=30 求∠１和∠ADC的度数．
BAC 1 2
∵ AB=AC，D是BC边上的中点
中考数学复习 第17讲 三角形及特殊三角形课件
第17讲 三角形及特殊三角形。第17讲 三角形及特殊三角形。考点1 等腰三角形的定义及性质。┃第一环节： 知识回顾(huígù) ┃。考点3 等边三角形的性质及其判定。考点3 直角三角形的定义、性质和判定。┃知识回顾 (huígù) ┃。┃第五环节：总结提升┃。1、学生针对达标检测的题目进行互改、合作、交流，不懂或做错的题目在小组
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整 数，称为勾股数
2021/12/8
第五页，共二十二页。
第二(dìèr)环节：达标检测
课本(kèběn)P68 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
2021/12/8
第六页，共二十二页。
第三环节(huánjié)：交流展示
小组合作(hézuò)讨论第二环节题目
4．已知等腰△ABC 的腰 AB＝AC＝10 cm，底边 BC＝ 12 cm，则△ABC 的角平分线 AD 的长是__8______cm.
2021/12/8
第十二页，共二十二页。
5．如图 17－3，已知 D、E 是等腰△ABC 底边 BC 上两点， 且 BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.
证明：在等腰△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 又∵BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴∠ADB＝∠AEC. ∴∠ADE＝∠AED.
度数是( B ) A．20° B．30° C．35° D．40°
2．如图 17－2，坐标平面内一点 A(2，－1)，
O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以
点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，
那么符合条件的动点 P 的个数为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2－5x＋6 ＝0 的两个解，则这个等腰三角形的周长是__7_或__8___．
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整 数，称为勾股数
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第二(dìèr)环节：达标检测
课本(kèběn)P68 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
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第六页，共二十二页。
第三环节(huánjié)：交流展示
小组合作(hézuò)讨论第二环节题目
4．已知等腰△ABC 的腰 AB＝AC＝10 cm，底边 BC＝ 12 cm，则△ABC 的角平分线 AD 的长是__8______cm.
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第十二页，共二十二页。
5．如图 17－3，已知 D、E 是等腰△ABC 底边 BC 上两点， 且 BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.
证明：在等腰△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 又∵BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴∠ADB＝∠AEC. ∴∠ADE＝∠AED.
度数是( B ) A．20° B．30° C．35° D．40°
2．如图 17－2，坐标平面内一点 A(2，－1)，
O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以
点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，
那么符合条件的动点 P 的个数为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2－5x＋6 ＝0 的两个解，则这个等腰三角形的周长是__7_或__8___．
三角形的分类公开课PPT课件
在计算机图形学中，三角形是基本的图形元素之一，三角形分类对于图形的渲染和 绘制也具有重要意义。
三角形分类在数学建模中重要性
在数学建模中，三角形分类可以 帮助建立更准确的数学模型，解
决实际问题。
通过三角形分类，可以更好地理 解和描述实际问题的本质和特点 ，为数学建模提供有力的支持。
在一些复杂的数学模型中，三角 形分类也是模型简化和求解的关
在一些复杂的几何证明中，三角形分 类也是推导和证明的关键步骤之一。
通过三角形分类，可以更清晰地理解 题目要求，找到解题的切入点，提高 解题效率。
实际生活中三角形分类应用举例
建筑设计中，三角形分类被广泛应用于结构设计和稳定性分析中，如桥梁、建筑支 架等。
在地理测量和地图绘制中，三角形分类也是重要的工具之一，可以帮助测量和绘制 更精确的地图和地形图。
键步骤之一。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的定义及基本要素
回顾三角形的定义，强调三条边、三个角的基本要素。
三角形的分类标准
详细讲解按边分类和按角分类的标准，包括等腰三角形、 等边三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。
各类三角形的性质
总结各类三角形的性质，如等腰三角形的两腰相等、等边 三角形的三边相等且每个角都是60度等。
02
按角度大小进行分类
锐角三角形特点及性质
01
三个内角均小于90度。
02
任意两边之和大于第三 边。
03
具有稳定性，三边确定 后形状、大小固定不变 。
04
在等边三角形中，所有 角都等于60度，且所有 边都相等。
直角三角形特点及性质
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03
04
三角形分类在数学建模中重要性
在数学建模中，三角形分类可以 帮助建立更准确的数学模型，解
决实际问题。
通过三角形分类，可以更好地理 解和描述实际问题的本质和特点 ，为数学建模提供有力的支持。
在一些复杂的数学模型中，三角 形分类也是模型简化和求解的关
在一些复杂的几何证明中，三角形分 类也是推导和证明的关键步骤之一。
通过三角形分类，可以更清晰地理解 题目要求，找到解题的切入点，提高 解题效率。
实际生活中三角形分类应用举例
建筑设计中，三角形分类被广泛应用于结构设计和稳定性分析中，如桥梁、建筑支 架等。
在地理测量和地图绘制中，三角形分类也是重要的工具之一，可以帮助测量和绘制 更精确的地图和地形图。
键步骤之一。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的定义及基本要素
回顾三角形的定义，强调三条边、三个角的基本要素。
三角形的分类标准
详细讲解按边分类和按角分类的标准，包括等腰三角形、 等边三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。
各类三角形的性质
总结各类三角形的性质，如等腰三角形的两腰相等、等边 三角形的三边相等且每个角都是60度等。
02
按角度大小进行分类
锐角三角形特点及性质
01
三个内角均小于90度。
02
任意两边之和大于第三 边。
03
具有稳定性，三边确定 后形状、大小固定不变 。
04
在等边三角形中，所有 角都等于60度，且所有 边都相等。
直角三角形特点及性质
01
02
03
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河北省2024八年级数学上册第十七章特殊三角形17.4直角三角形全等的判定课件新版冀教版
BC ，∠1＝∠2.
(2)△ CDE 是不是直角三角形？并说明理由.
(2)解：△ CDE 是直角三角形，理由：
∵Rt△ ADE ≌Rt△ BEC ，
∴∠ ADE ＝∠ BEC .
又∵∠ ADE ＋∠ AED ＝90°，
∴∠ BEC ＋∠ AED ＝90°，
∴∠ DEC ＝90°，∴△ CDE 是直角三角形.
形 ABE 的高，且 AD ＝ AF ， AC ＝ AE ，
∴Rt△ ADC ≌Rt△ AFE (HL).∴ CD ＝ EF .
∵ AD ＝ AF ， AB ＝ AB ，∴Rt△ ABD ≌Rt△ ABF (HL).
∴ BD ＝ BF . ∴ BD － CD ＝ BF － EF ，即 BC ＝ BE .
BC ，∠1＝∠2.
(1)求证：Rt△ ADE ≌Rt△ BEC .
(1)证明：∵∠1＝∠2，∴ DE ＝ CE .
在Rt△ ADE 和Rt△ BEC 中，
＝，
∵ቊ
＝，
∴Rt△ ADE ≌Rt△ BEC (HL).
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7. 如图，∠ A ＝∠ B ＝90°， E 是 AB 上的一点，且 AE ＝
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知识点2
尺规作直角三角形
8. [教材P159例1变式]如图，已知线段 a ， b ，其中 a ＞ b ，求
作直角三角形 ABC ，使得∠ C 为直角， AB ＝ a ， AC ＝
(2)△ CDE 是不是直角三角形？并说明理由.
(2)解：△ CDE 是直角三角形，理由：
∵Rt△ ADE ≌Rt△ BEC ，
∴∠ ADE ＝∠ BEC .
又∵∠ ADE ＋∠ AED ＝90°，
∴∠ BEC ＋∠ AED ＝90°，
∴∠ DEC ＝90°，∴△ CDE 是直角三角形.
形 ABE 的高，且 AD ＝ AF ， AC ＝ AE ，
∴Rt△ ADC ≌Rt△ AFE (HL).∴ CD ＝ EF .
∵ AD ＝ AF ， AB ＝ AB ，∴Rt△ ABD ≌Rt△ ABF (HL).
∴ BD ＝ BF . ∴ BD － CD ＝ BF － EF ，即 BC ＝ BE .
BC ，∠1＝∠2.
(1)求证：Rt△ ADE ≌Rt△ BEC .
(1)证明：∵∠1＝∠2，∴ DE ＝ CE .
在Rt△ ADE 和Rt△ BEC 中，
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∴Rt△ ADE ≌Rt△ BEC (HL).
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7. 如图，∠ A ＝∠ B ＝90°， E 是 AB 上的一点，且 AE ＝
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知识点2
尺规作直角三角形
8. [教材P159例1变式]如图，已知线段 a ， b ，其中 a ＞ b ，求
作直角三角形 ABC ，使得∠ C 为直角， AB ＝ a ， AC ＝
特殊三角形复习课件
顶角和底角相等
如果一个三角形的顶角和底角相等， 则它是等边三角形。
直角三角形的判定方法
总结词
一个角为90度
直角三角形是一个角为90度的三角形，可 以通过以下方法进行判定
如果一个三角形有一个角为90度，则它是 直角三角形。
两边的平方和等于第三边的平方
斜边的中线等于斜边的一半
如果一个三角形的两边的平方和等于第三 边的平方，则它是直角三角形。
适用范围
适用于所有等腰三角形，无论其是否为直角三角形或等边 三角形。
等边三角形的面积计算
等边三角形的面积计算公式是边长的平方乘以高然后 除以4。
输入 标题
详细描述
等边三角形是三边相等的三角形，其面积可以通过边 长和相应的高来计算。边长是等边三角形的一条边， 高是从顶点垂直到底边的线段。
总结词
公式
适用于所有等边三角形，无论其是否为直角三角形或 等腰三角形。
两个底角也相等。
性质
等腰三角形是轴对称图 形，有一条对称轴，即
高所在的直线。
判定
可以通过两边相等来判 定一个三角形为等腰三
角形。
等边三角形
01
02
03
04
总结词
三边相等，三角相等
详细描述
等边三角形是三边长度都相等 的三角形，对应的三个角也都
相等。
性质
等边三角形是轴对称图形，有 三条对称轴，即三条边的垂直
适用于所有直角三角形，无 论其是否为等腰三角形或等
边三角形。
05
特殊三角形在实际生活中的应 用
等腰三角形在建筑中的应用
等腰三角形因其两边长度相等的特性 ，在建筑设计中常被用于构造对称和 稳定的结构。例如，桥梁的斜拉索、 建筑的屋顶和装饰线条等。
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教学难点：
1.灵活运用等腰三角形、直角三角形的性质和判定，进行有关计算和证明。
2.中考几何大题辅助线作法 ——截长补短
2020/12/10
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自主学习
1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即等边对_____)；等腰三角
形_______合一；等腰三角形是________图形，它的对称轴是_________。 2．等腰三角形的判定：
第三节：特殊三角形
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教学目标：
1、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定，能运用这 些性质及判定进行有关计算和证明。 2、掌握直角三角形的性质和判定，能运用这些性质及判定进行 有关计算和证明 3 、中考几何大题辅助线常见做法 ——截长补短
教学重点：
等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判 定，勾股定理
有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即 等角对_____）。 3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是 ______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有____边相等的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角 形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两 直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 6．直角三角形的判定： 有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角 形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 7．直角三角形全等的判定： 斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等
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自主学习
1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰____相__等_；等腰三角形两底角_相__等___(即等边对_等__角__)；等腰三角
形__三__线___合一；等腰三角形是_轴__对__称___图形，它的对称轴是底__边_中__线__(_底_。边上高,顶角角平
2．等腰三角形的判定：
形。
5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角___互__余__；直角三角形斜边上的中线等于_斜__边__的__一；半直角三角形两
直角边的平方和等于_斜__边__的__平_（方即勾股定理）。
6．直角三角形的判定：
有一个角是_直__角___的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角
形；两边的平方和等于斜__边__的__平_ 方的三角形是直角三角形。
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D
C
E
A
B
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探究学习
已知：如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC=90°CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2 (1)求证：AB=BC (2)当BE⊥AD于E时，证明：BE=AE+CD
B
C
A
E
D
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PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
7．直角三角形全等的判定：
斜边和_一__直__角__边____ 对应相等的两个直角三角形全等
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学以致用
1（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组 则此等腰三角形的周长为（ ）
2x 3x
-y 2
y
3, 8,
A．5
B．4 C．3
D．5或4
2．（2010广东清远）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶
分线)
有__两__边相等的三角形是等腰三角形；有_两__角__相等的三角形是等腰三角形（即
等角对_等__边__）。
3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边_相__等___，各内角__相__等___，且都等于__6_0_°_；等边三角形是 轴__对__称__图形，它有___3_条对称轴。
4．等边三角形的判定： 有__3__边相等的三角形是等边三角形；有两个角都是_6_0__°__的三角形是等边三角
角为( )
A．40°
B．80°
C．100°
D．100°或40°
3 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3．点D为BC边上一点， 且BD＝2AD，∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号）
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合作学习Biblioteka (2011.潼南）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC (1)求证;AD=AE (2)若AD=8，DC=4，求AB的长