海文钻石卡讲义(高数
[整理]届钻石卡学员考研数学学习计划(基础阶段)数学二——高等数学01
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2012届钻石卡学员考研数学学习计划（基础阶段）数学二——高等数学01第一单元学习计划——函数、极限、连续本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.--------------------------第一单元调整学习计划-------------第二单元学习计划——一元函数微分学本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2.导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3.高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4.会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5.罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；6.会用洛必达法则求未定式的极限；7.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．---------------------------------------第二单元学习计划调整任务-------------。
海文考研钻石卡系列--容易混淆的概念之数学三.doc
高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==．例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim()0x xf x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则1lim()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。
凤凰卫视钻石卡学员——致谢万学海文
凤凰卫视钻石卡学员——致谢万学海文凤凰卫视《鲁豫有约》栏目专访低起点高分考入中国人民大学的万学海文钻石卡学员。
该学员和家人在节目访谈中对万学海文钻石卡高端辅导给予了极高的评价，从而引发了整个教育对万学先进教学技术的高度关注，各大媒体随后竞相调研和报道了万学海文革命性的钻石卡高端辅导技术。
从而揭开了海文钻石卡发展的历程和帮助低起点学员考上理想院校的神秘面纱!该钻石卡学员是这样形容的：身边只报了一般课程的同学，有些郁闷，课程一结束，老师转身就走了，而他们也就只有闷头做题，可答案是对是错?回答得是否完全?谁都不知道。
我自己就不一样了，我的“钻石卡”不仅有老师为我答疑，而且还有专业咨询师每天监督我的学习。
尤其是对于我这样跨专业又跨院校考研的学生，许多专业知识都没有，经常需要专业咨询师为我分析案例、教我答题。
我的专业咨询师是浙大的公费研究生，他可是我们专业那年的最高分，对于如何答题才能得高分，他最有发言权，但是由于我的专业咨询师身在外地的学校，和我交流的方式大部分还是打电话和视频，已有时间我就去我梦想的校园去感受学习氛围，见导师，还可以旁听导师的课程，熟悉了导师的脾性和授课风格。
海文钻石卡，带给我的不仅仅是成功，我付出了，但我收获了更多更多。
该学员的一席话现场无数人震惊了也震撼了，无论从服务还是学习还是心理上都达到了一流的水平，考虑到了学生的方方面面，可谓考研的全程辅导专家，让家长省心也放心，尤其是这样一个以学生的利益为出发点得公司企业，让人不信服都难。
代表委员聚焦“用工荒”与“大学生就业难”2011年03月04日07:51齐鲁晚报我要评论(6)字号：T|T新春伊始，全国多地出现“用工荒”，企业用尽各种办法却招不来工人，连传统劳务输出地也频频告急。
而另一方面，大学毕业生就业形势严峻。
招工难与就业难并存，像一道谜题摆在整个社会面前。
3日，本报“两会三人行”栏目邀请了全国政协委员、山东省政协副主席、山东省工商联主席王乃静，全国人大代表、山东中瑞海产食品有限公司董事长于晓玉，走进本报“北京直播室”，本报首席评论员张金岭作为主持人，与两位嘉宾交流对话，把脉用工市场存在的问题，并提出建议。
海文考研钻石卡学员强化阶段测试卷 数学
y′ = −
6 y + 2x , 两边再对 x 求导，得 ey + 6x
(e y + 6 x（ ) 6 y′ + 2）-(6 y + 2 x)(e y y′ + 6) y′′ = − , (e y + 6 x ) 2
-4-
把 x = 0 代入，得 y (0) = 0 ， y′(0) = 0 ，代入 y′′ ，得 y′′(0) = −2 (12) 设 y = 1, y = e , y = 2e , y = e +
所以
1 2 1 ax (1 + ax 2 ) 3 − 1 2 = lim 3 =− a. lim x →0 x →0 1 cos x − 1 3 − x2 2
1 2
因为当 x → 0 时, (1 + ax ) 3 − 1 与 cos x − 1 是等价无穷小,所以 −
2 3 a = 1 ,故 a = − . 3 2
y
0
dy ∫ 2 f ( x, y )dx
x
∫
dy ∫
f ( x, y )dx
【答案】 ( D ) 【解析】 由累次积分的积分限可得二重积分的积分区域 D = 然后再交换积分次序即得 ( D ) . (5) 设F ( x ) = (A)为正常数. 【答案】 ( A) 【解析】由于 e 无关. D 错误， 估算
π
0 0
0
π
π
-2-
当 0 < t < π 时， sin t > 0 ， e 方法 2：用分部积分法： I =
sin t
− e− sin t > 0, 所以 I > 0 .选 A.
esin t sin tdt = ∫ esin t (− d cos t )
万学海文2014届钻石卡I阶VIP课程讲义高等数学习题训练精选答案
【解析】由
知
1 a) 0 lim( x 0 1 x
从而
1 a 2bx x 2bx(1 x) 1 2b(1 x) lim lim 2 lim 1 x x 0 x 0 x 0 2x 2 x(1 x) 2(1 x)
因此 x 0 时, 7、 【答案】A
1 1 sin 0 .当 k 绝对值无限增大时 x 0 . 2 x x
1 1 sin 是无界的但不是无穷大量. 2 x x
1 a 2bx ln(1 x) (ax bx 2 ) 1 x lim lim 2 x 0 x 0 2x x2
极限存在的充要条件知 lim
x 0
1 arctan 存在.故选 A. x
13、 【答案】C 【解析】用排除法 ① 取 f ( x)
1 x 0 0 x 0 ,则 f ( x) 为有界函数,且 lim f ( x ) ( x ) 0 ,满 ， ( x ) x 0 x 0 1 x 0
4、 【答案】D
1 (2n+1) 2 2n 1 0 及 lim x2n+1 lim 【解析】由 lim x2n lim , n n 2n n n 2n 1
针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 1
2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案
但 x 2 k 时, f ( x) 0 . 9、 【答案】D
所以当 x 时, f ( x) 不是无穷大.
针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨
2
2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案
【解析】 lim + sin(tan x )及 lim － sin(tan x ) 均不存在. x
2012海文考研：赵达夫强化高数讲义高数下
9
（二）知识网络图 （二重积分）
定义：
∫∫ f ( x, y ) dxdy = lim∑ f (ξ ,η )σ
D d →0 i =1 i i
n
i
分割，近似代替、求和、取极限 概念 几何意义： f ( x, y ) ≥ 0,
∫∫ f ( x, y ) dxdy
D
表示以Ｄ为底，f ( x, y ) 顶的曲顶柱体体积 二重积分
f ( x) = e ax ,其中 a 为实数.
［6.18］求二元函数 f ( x, y ) = x (2 + y ) + y ln y 的极值.
2 2
［6.19］ 在椭圆 3 x + 2 xy + 3 y = 1 的第一象限部分上求一点,使该点处的切线与坐
2 2
标轴所围成的三角形面积最小,并求面积的最小值.
［7.1］填空题： 交换积分次序：
∫ dx ∫
0
1
x2
0
f ( x, y )dx + ∫ dx ∫
1
3
1 (3− x ) 2 0
f ( x, y )dy =
.
10
［7.2］填空题:
∫
1
0
xd.
［7.3］选择题: 设 D 是平面 xOy 上以点(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域, D1 是 D 在第一 象限的部分,则 I = (A) 2 (C) 4
2二知识网络图二元函数偏导数极限连续偏导数概念偏导数计算归结为一元函数求导隐函数的偏导数复合函数的偏导数一链锁法则高阶偏导数二阶偏导连续xyyxfxyfxy?全微分可微概念xyzfxydzfxydxfxydy可微则一阶微分形式不变性多元函数极值无条件极值条件极值多元极值在经济中的应用最大值最小值极值存在的必要条件判定极值的充分条件化成无条件极值拉格朗日乘数法多元函数微分学偏导数连续3三典型题型分析及解题方法与技巧题型一有关多元函数偏导数与全微分概念的命题61设zxy满足1sin11sinzxyxyzyy????????求zxy
2012海文考研：赵达夫强化高数讲义高数上
高等数学讲义（高数上）赵达夫一 函数、极限与连续（一） 本章的重点内容与常见的典型题型１．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限。
求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有： （1） 利用极限的四则运算法则及函数的连续性； （2） 利用两个重要极限，两个重要极限即()1011lim 1lim 1lim 1,sin lim 1;nxx n x x x x e n x x x→∞→∞→→⎛⎞⎛⎞+=+=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠= （3） 利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限； （4） 利用等价无穷小代替（常会使运算简化）； （5） 利用夹逼定理；（6） 先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7） 利用定积分求某些和式的极限； （8） 利用导数的定义；（9） 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。
这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。
２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。
３．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。
通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：１．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；２．讨论函数的连续性、判断间断点的类型；３．无穷小的比较；４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；５．求分段函数的复合函数。
（二） 知识网络图转换初等函数的连续性分段函数连续性判定闭区间上连续函数的性质第一类——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在连续的概念间断点的分类可去跳跃最值定理介值定理极限连续性（三）典型题型分析及解题方法与技巧题型一 求复合函数［例1.1］设()()()2,0,1(),()()().2,0,x e x f x x x g x f g x g f x x x −⎧<⎪=+=⎨≥⎪⎩求与题型二 利用函数概念求函数的表达式［例1.2］已知[]2(),()1(x)0,(x)x f x e f x x ϕϕϕ==−≥且求并写出它的定义域．题型三 判断函数的性质［例1.3］设sin ()tan ,()xf x x xef x =则是（ ）（A ） 偶函数 （B ）无界函数 （C ） 周期函数 （D ）单调函数.题型四 求极限的方法［例1.4]］填空题 2352lim sin ____53x x x x→∞+=+.［例1.5］求下列极限()()1lim1cos x x x →−()2limx()()()2013sin cos3lim.1cos ln 1x x x x x x →+++［例1.6］ 求下列极限()220111lim ;sin x x x →⎛⎞−⎜⎟⎝⎠()312lim sin ln 1sin ln 1;x x x x →∞⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞+−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦()213lim sin cos xx x x →∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠［例1.7］ 选择题当1x →时，函数12111x x e x −−−的极限是（ ）. （A ）2; （B ）0；（C ）∞； （D ）不存在但不为∞.［例1.8］ 设()()()()320sin ,0,12sin sin ,0,x a x x x x f x x t dt x x−⎧>⎪⎪=⎨⎪−<⎪⎩∫ 问a 为何值时()0lim x f x →存在.［例1.9］求()2220100cos lim.sin xx x t dtx→−∫［例1.10］ 选择题 设函数()()()561cos 2sin ,56x x x f x t dt g x −==+∫，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）（A ） 低阶无穷小 （B ） 高阶无穷小（C ） 等价无穷小 （D ） 同阶但不等价的无穷小［例1.11］求()22201lim 1x t x x t e dt x −→∞+∫.［例1.12］确定a ，b ，c 值，使()()3sin lim0ln 1x x bax xC C t dtt→−=≠+∫.设2lim 8,____xx x a a x a →∞+⎛⎞==⎜⎟−⎝⎠则.［例1.14 ］ 选择题0x →时，()21x e ax bx −++是比2x 高阶无穷小，则（ ）（A ）1,12a b == （B ）1,1a b == （C ）1,12a b =−= （D ）1,1a b =−=［例1.15］设0x →时，()12311ax +−与cos 1x −是等价无穷小，求常数a 之值.［例1.16］填空题设()()2cos ,0,,0,x x x f x a x −⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =连续，则___a =.［例1.17］当0x →时，下列无穷小：()6ln 1,sin ,tan x x x x x +−中，（ ）是x 的低阶无穷小；（ ）是x 的一阶无穷小；（ ）是x 的二阶无穷小；（ ）是2x 的高阶无穷小．当0x +→的无穷小量2230cos ,,xx t dt t dt αβγ===∫∫排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）． （Ａ）,,αβγ （Ｂ）,,αγβ （Ｃ）,,βαγ （Ｄ）,,βγα［例1.19］求2222123lim 123n n n n n n n n n n n →∞⎛⎞++++⎜⎟++++++++⎝⎠ ．［例1.20］求n ++.［例1.21］设a >0,数列{}n a 满足010,0,1,2,...1,2n n n a n aa a a+>⎧⎪=⎛⎞⎨=+⎜⎟⎪⎝⎠⎩lim n a 求.［例1.22］11lim _____1n n n e →+∞⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟−⎝⎠．［例1.23］设()1220,0lim x x x x ααααββ→+∞⎡⎤>≠+−=⎢⎥⎣⎦且,则(),____αβ=.［例1.24］设()f x 是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数,()()11nnn k a f k f x dx ==−∑∫,（ｎ＝1,2,…）,证明数列{}n a 的极限存在.题型五 讨论函数的连续性与间断点的关系［例1.25］设()()()2,2,,1,21,25,1,1,3, 5.x x x x f x g x x x x x x x ≤⎧⎧≤⎪==−<≤⎨⎨−>⎩⎪+>⎩讨论()()y f g x =的连续性，若有间断点并指出类型．［例1.26］选择题设()()()322011ln 1sin ,0,0,0,1sin ,0,xx x x xf x x t dt x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩∫则()f x 在0x =处（ ）.（A ）极限不存在； （B ）极限存在，但不连续； （C ）连续，但不可导； （D ）可导.［例1.27］选择题设()1arctan ,0,0,0,x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则()f x 在0x =处（ ） （A ）不连续； （B ）连续，但不可导； （C ）可导但()f x ′在0x =处不连续； （D ）可导且()f x ′在0x =处连续.［例1.28］求函数()()tan 41x x f x x π⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=+在区间()0,2π内的间断点，并判断其类型.［例1.29］设()f x 在(),−∞+∞内有定义，且()lim ,x f x a →∞=()1,0,0,0,f x g x x x ⎧⎛⎞≠⎪⎜⎟=⎝⎠⎨⎪=⎩，则（ ）． （A ）0x =必是()g x 的第一类间断点； （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点； （C ）0x =必是()g x 的连续点；（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关。
钻石卡高分学员介绍
钻石卡高分学员介绍万学海文钻石卡学员庞博，来自于河北经贸大学财务管理专业，考研总成绩214分，其中英语64分，199管理类综合150分（满分200分）。
报考安徽工业大学会计专硕。
庞博属于跨专业、跨学校考研。
因为前期学习基础比较薄弱，本想报考河北经贸大学的他最终报考了安徽工业大学。
在钻石卡咨询报名时候，他很迷茫，不知道考研该考哪个城市，哪个专业，哪个学校，也完全不知道当务之急是什么，英语基础太弱，连平常大学英语课，都跟不上进度，经常是记了笔记，听不懂不内容，懂了内容记不下笔记。
身边还有不少同学在迷迷糊糊混日子，打游戏，谈恋爱。
然而他内心知道，自己并不想和周围的同学混在一起。
刚准备考研之初，庞博一直自学，他知道学习资料的质量非常重要，所以为了找到最好的学习资料，他先后采取了多种渠道采集学习资料：（1）他拜访询问了自己认识的几乎所有学长学姐，也从他们那里不断的淘书，政治、英语、数学等等；（2）他去了三十多个书店和六个以上图书馆，还专程到图书批发市场选书；（3）他还花了大量精力到网上去选书，各种推荐贴，各种经验贴，众说不一，不知道谁是谁非；然后，他看着小山似的书堆惆怅了，这么多书，从先看那一本，全看还是部分看，看完这本看哪本，过多久再回来看这本……带着一堆疑惑，庞博十分郁闷。
他算了算，发现就在选书这一项上，花了近两个月时间，加上交通费住宿费，投在选书买书的钱竟然超过了两千元，但结果却是不知如何下手学习了。
他每天有条不紊地看着各种学习资料的同宿舍另一位报了海文钻石卡的同学，没有在选书上花一点时间，，考研复习十分顺畅，已经不知不觉领先他不少距离了。
庞博发现同学的书并不是很多，但却都是精品中的精华，然后了解到这些学习资料都是万学海文的专业团队在全国所有考研图书和学习资料中精中选精，进行三级优化，组合而成的最高品质的学习资料。
对比自己千辛万苦选书，却费时费力还选不到位的结果，为了避免其他学习项目也会出现类似问题，希望报钻石卡之后能够让自己考研全程有个清晰的规划，所以他报名成为了海文的钻石卡学员。
海文钻石卡------坚强的后盾
海文钻石卡------坚强的后盾钻石卡让我实现了考人大的梦想，他们的服务是全方位的，只要你不要太懒，按照他们制定的学习方案学习就能够取得理想的成绩，祝考研同仁成功!——(海文某某学员的自白)从对考研的陌生到熟悉，从恐惧到认可，从逃避到执着，从对专业的迷茫到确定……海文学校及老师起了极大的作用。
我喜欢在这里学习，喜欢这里融洽的氛围，喜欢这里专业精深，态度谦和的老师们。
我对我的未来之路充满信心。
对于即将开始硕士生活的我，回顾过去的考研学习生活，我觉得海文钻石卡是我最好的朋友，是她帮我实现了梦想。
在这里我要说一句心里话，谢谢!钻石卡的网络平台很好，我可以在平台上提问，我还可以看到其他同学的提问，有些是我没有想到的问题。
考研也许让你想到苦和累，而我轻松地度过那段时光，因为我身后有海文。
海文使我总能比别人提前一大步，因为他会及时提供我所需，如院校信息、考研资料等;海文使我能灵活自如地运用知识，因为他给我提炼了知识的精华;海文使我对专业课做到胸有成竹，因为他为我提供了丰富的专业资料;现在师从名师，这也得益于海文，因为他为我提供了导师的信息。
考研的朋友，选择海文吧，因为他能助你考研的梦想轻松实现海文钻石卡的答疑服务，让我受益匪浅。
他们开通了三种答疑方式：电话答疑、网络答疑、现场面答，让我随时遇到问题都能尽快解决。
尤其是现场面答，那里的老师细心、耐心并且非常的有责任心的给我讲解问题，经常让我茅塞顿开。
我在这里想对你们说：老师谢谢你们，你们辛苦了，是你给我扬起了成功的风帆!人生的路是曲折的，考研的路更是艰辛的。
一年的考研路程走的既艰辛也不艰辛，艰辛在于刚准备考研时，找不到方向，没有好的学习方法，没有学习计划，成天就埋头学习，但是学习效果很一般，后来好了，有了海文的陪伴，老师们给我提供了好的学习方法，给我了详细的学习计划，按照这个走过来，就像有了一盏明灯，给我指明了方向，让我走向了成功。
谢谢你们!感谢海文，说什么都不能说明我现在的心情，我竟然在考试的时候遇到真题了，海文所有工作人员，我的心情太激动了，太感谢了!上面这些话都来自于海文钻石卡学员的寄予或者是心声，他们都是已经考研研究生或者还在海文认真的学习的钻石卡，我们从来不会说我们的钻石卡有多好，我们只会用事实来证明海文让我收获的不只是一纸通知书三次高考我都因各种各样的原因而一次次失利，让我最后不得不选择上了武汉地市的一所在普通不过的二类本师范学院，三年的本科学习让我压抑了太久太久，我好强的性格让我与同学格格不入，我的怀才不遇让我久久无法释怀。
09届海文钻石卡学员六月份复习计划(数一)—660题复习阶段
09届钻石卡学员六月份复习计划（数一）——《660题》复习阶段主要目标：巩固加强基础阶段的学习，训练数学思维，掌握客观题的一些解题思路和技巧，为下一阶段的复习做好充分的准备。
使用说明：通过前面大量时间对教材的复习，我们已经基本上吃透考研大纲的要求，做到准确定位，对大纲涉及到的知识点能够准确掌握。
6月份是基础阶段复习加强升华的一个时期，在这一个月里，我们将安排学员完成《660题》的全面复习，复习部分《标准全书》的内容。
在《660题》的任务栏中，我们基本上是按章节划分的，后面附有对应的《标准全书》关于这一章的考点精讲，我们建议学员采用以下3种复习方案之一：1、做《660题》每一章习题之前，先看《标准全书》关于这一章的考点精讲，回顾本章重、难点及知识要点，然后再做《660题》的题目，通过习题起到对知识的巩固强化，结合本月计划表中“相关知识点回顾”内容，回顾相关知识点。
2、先做《660题》，做《660题》的时候，结合本月计划表中“相关知识点回顾”提要对相关知识点进行回顾，做完一章内容再翻看《标准全书》中的考点精讲部分，对本章知识进行查漏补缺。
3、可以先从教材目录着手，根据教材目录对照本月计划表中“相关知识点回顾”提要回忆复习，再对照《标准全书》中的考点精讲部分看有哪些自己没有想到的内容，同时对自己知识点回顾的情况进行总结，最后再做《660题》，起到对知识进一步巩固。
当然，也不一定非要按照上述三种方案复习，如果您有更适合自己的学习方法，完全可以根据自身情况做适当的调整，我们最终的目的是让您拥有事半功倍的学习效果，更好地完成《660题》的全面复习，为下一阶段的复习打下坚实的基础。
注意事项：1、针对复习较快的学员，5月份计划里已经安排了部分《660题》，这并不影响6月份的计划，对自己已经很熟悉的题目就可以做的快些，刚好是检验自己的复习效果，这时我们就要多注意解题思路和解题方法。
2、针对复习慢的学员，5月份计划里没有安排《660题》，所以在6月份里，一定要抓紧时间，争取这个月赶上复习较快的学员。
9附件九：钻石卡高级辅导系统
全程、全方位、系统化 解决所有考研问题，成功率趋近100%
钻石卡高级辅导发展历程：万学独创并独家掌握
2011 钻石卡辅导技术和服务模型第14次升级，形成6维 辅导矩阵团队，23大辅导核心主系统 万学教育再次荣获美国顶级投资机构DCM、红杉 资本、国内著名风投基金联想投资和新加坡凤凰 基金共同注资万学教育两千万美金。 万学教育获得全球顶级风投机构——红杉资本、联想投资的严格 考核，斥巨资1200万美金再度升级钻石卡高级辅导
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145 123 123 沈阳自动化研究 复旦大学 金融学 中国人民大学 134 140 山大 机械 山建大 模式识别与智能 145 复旦大学 金融学 中国人民大学 135 118 上海交通大学 管理科学与工程 上海理工大学 134 117 四川农业大学 生物化学与分子 132 132 华中师范大学 教育经济与管理 华中师范大学 121 121 北京工业大学 148 144 辽师 信号 辽宁师范大学 127 138 湖北大学 西方经济学 湖北大学 115 对外经济贸易大学 金融学 女子学院 119 139 中国人民大学 财务管理 首都经济贸易大学 学 繁殖 108 第三军医大学 西南科技大学 所 系统 133 126 湖南大学 财政学 124 128 上海交通大学 材料学 武汉理工大学 生物学 外国语言学及应用 116 141 西工大 机械 124 128 上海交通大学 材料学 武汉理工大学 123 中国人民大学 首都师范大学 120中国人民银行研究生部 125人民大学 河南大学 国际法 河大 122 123 国际法 115 金融学 北京交通大学 120 120 南京大学 法律硕士 安工 语言学 西南大学育才学 144 138 东北大学 凝聚态物理 鞍山师范学院 解放军信息工程 河北科技大学 136 139 湖南师范大学 传播学 山西财经大学 109 北京大学 经济学 北京交通大学 228 西南大学 教育学 120 138 系统工程 142 122 北京大学 金融学 同济大学 142 122 北京大学 金融学 同济大学 133 140 机械电子工程 重庆大学 147 145 中国人民大学 可持续发展管理 北京林业大学 140 136 重庆大学 市政工程 沈阳建筑大学 135 120 南开大学 国际贸易学 中国海洋大学 院 大学 新 128 中央财经大学 国际金融 中央财经大学 141 136 西工大 企业管理 135 120 山东大学 法学 119 对外经济贸易大学 行政管理 中央民族大学 华北电力大学 电力电子与电力传 132 136 133 148中山大学 道路与铁道工程 石家庄铁道学院 天津工业大学 123 139 湘潭大学 企业管理 炮兵学院 首都经济贸易大 123 139 湘潭大学 企业管理 炮兵学院 142 133 西安交大 机械自动化 山建大 105 北京大学 金融学 上海财经大学 150 119 中国人民大学 金融学 中国人民大学 （北京） 法律硕士 动 119 中国人民大学 北京科技大学 144 上海财经大学 数量经济学 上海大学 134 115 中国人民大学 国民经济学 119 121 东北财经大学 企业管理 山东工商学院 236 华南师范大学 心理学 武汉大学 120 法学 长春理工 118 118 浙江大学 德语语言文学 辽宁大学 学 138 120 129长春理工 东北财经大学 金融学 中华女子学院 126 武汉大学 社会保障 重庆大学 114 对外经济贸易大学 金融学 中华女子学院 105 135 北京理工大学 金融学 中央民族大学 105 135 北京理工大学 金融学 中央民族大学 对外经济贸易大 129 122 对外经济贸易大 东北大学 机制 安阳工学院 河北大学工商学 解放军信息工程 136 111 金融学 114 130 公共管理学院 土地资源管理 文学院 -新 北京第二外国语 西南交通大学德 121 127 中南大学 化学工艺 西南科技大学 108 144 河北大学 区域经济学 121 中国政法大学 新闻学 中国劳动关系学院 120 138 系统工程 河北科技大学 128 127 外交学院 法语 华东师范大学 107 南开大学 西南交通大学 学 学 123 130 德语语言文学 金融学 上海对外贸易学 上海立信会计学 大学 上海对外贸易学 上海立信会计学 院 127 132 上海大学 信号与信息处理 上海大学 学院 语系 136 128 西工大 基础材料 125 139 企业管理 125 139 企业管理 131 北京工商大学 新闻学 北工商嘉华学院 99 大连理工大学 大连海事大学 119 中国人民大学 环境工程 财务管理 上海煤矿工业大 首都经济贸易大学 院 院 141144 140 武汉理工大学 院 院 东南大学 电气工程 116 125 西南大学 金融学 湖北民族学院 126 101 西北工业大学 分布式计算 西北工业大学 中南财经政法大 中南财经政法大 对外经济贸易大 对外经济贸易大 135 103 同济大学 土木工程 99 中国人民大学 金融学 北京理工大学 129 124 金融学 138 暨南大学 企业管理 民商法学 浙江工业大学之 西南石油大学 126 122 学 130 东华大学 西南科技大学 112135 132 西南财经大学 122 137 山东经济学院 会计 山东经济学院 120 139 浙江工业大学 技术经济学 130 132 东华大学 企业管理 西南科技大学 132 135 广州大学 行政管理 广州大学 学 学 中央财经大学 会计学 120 对外经济贸易大学 行政管理 在职 江学院 湖北工业大学商贸 261 考古学 西北民族大学 142 114 130 129西北大学 华南理工 分析化学 武汉大学 英语（翻译） 中南财经政法大 138 成都理工大学 电力系统及其自 中南财经政法大 四川大学 企业管理 学院 外国语言学及应 133 复旦大学 企业管理 上海外贸 哈尔滨商业大学 90 131 中国人民大学 企业管理 中央财经大学 133 131 复旦大学 企业管理 上海外贸 检测技术与自动 136 147 华中科技大学 上海电力学院 124 132 会计 上海医药工业研 131 131 西安外国语大学 天水师范学院 121 112 哈师大 日语 中国科学技术 高分子科学 111 西北工业大学 西安科技大学 121 131 131 传播学 安徽大学 动化 学中国传媒大学 学 260 药物分析 武汉大学 河海大学（市区） 用语言学 德强学院 126 142 南京大学 控制科学与工程 德州学院 118 清华大学 法律硕士 北京体育大学 材料学 127 141上海交通大学 天津工业大学 117 比较文学与世界 化装置 究院 比较文学与世界 大学 与工程 中国人民公安大 公安思想政治教育 119 130 西北大学 西北大学 中南财经政法大 上海立信会计学 119 130 西北大学 西北大学 124 电路与系统 河北经贸大学 148 133 143河北大学 安徽师范大学 109 中国政法大学 行政管理 中国劳动关系学院 西南财经大学 金融学 南京财经（仙林） 文学 北京对外经济贸 137 123 会计 107 学 建筑科学与技术 工作 文学 140 130 河北工业大学 河北工业大学 115 128 日语语言文学 江西师范大学 学 院 109 134 南京财经大学 金融学 南京财经大学 125 116 西安外国语大学 外国语言学及应用语言学 118 123 中国人民大学 国防经济学 北京联合大学 263 南开大学 药物化学 天津科技大学 山东轻工业学院 易大学 119 121 山东大学 控制科学与工程 山东大学 144 吉林大学 广播电视艺术学 长春师范学院 138 122 重庆大学 电影学 湖北师范学院 136 西北工业大学 材料学 成都理工大学 123 135 兰州大学 动物学 136 123 西北工业大学 材料学 成都理工大学 交通运输规划与 中国民航飞行 （长清） 110 吉林大学 环境科学与工程 会计学 暨南大学 120 142 北京科技大学 北京工商大学 124 144 西南交通大学 134 湖南大学 会计学 南昌大学前湖 132 126 陕西师范大学 社会保障 西北政法大学 135 130 天津大学 工程管理 西安科技大学 中南大学物理学 交通运输规划与管 管理 学院 104 武汉科技大学 材料学 武汉科技大学 116 134 中国地质大学 应用经济学 河南师范大学 136 139 140 武汉理工大学 天津工程师范学院 117 141 电子科学与技术 中南大学 106 农业发展经济硕士 北京石油化工学院 132 110 中国政法大学 外交学 中国政法大学 104 139 武汉科技大学 材料学 武汉科技大学 245 0中国人民大学 沈阳师范大学 旅游教育 沈阳师范大学 理 149 98 东北财经大学 会计学 沈阳化工学院 院 129 中科院昆明动物 生物化学与分子 中国矿业大学 浙江大学 海洋地质 成都理工大学 交通运输规划与 138 中国石油大学 145 134 129 四川大学 热能工程 原子与分子物理北京石油化工学院 湖北大学 109 东北财经大学 财务管理 辽宁大学 120 121 湖南科技大学 125 131 北京大学 构造地质学 115 145 大连海事大学 大连海事大学 102 127 南开大学 英语语言文学 济南大学 126 115 中山大学 民俗学 华南农业大学 109 134 上海交通大学 东北财经大学 财务管理 辽宁大学 136 144 动力机械 西北工业大学 115 140 湖南大学 会计学 长沙大学 研究所 生物学 140 132 南开大学 金融学 四川大学 （北京） 138 暨大 国民经济学 广东商学院 管理 134 北京大学 中国科学技术大 软件工程 北京语言大学
海文钻石卡为我考研带来光明 (1)
作为海文的一名钻石卡学员，我对钻石卡服务很满意作为海文的一名钻石卡学员，我感受很深的是海文对学术论文的辅导。
大学期间对学术研究接触很少，更别提写作了。
海文的高级辅导人员帮助我选题，指导写作，并在最后给出了很好的修改建议，后来又联系发表刊物发表论文，论文在我的复试中也加分了。
我要感谢海文，因为我觉得自己一直很迷茫，在考研之前，其实一直对研究生考试了解很少，就知道要考研，要考北大，可是应该学习什么，怎样学习都不清楚，心理上尤其脆弱。
我的主管咨询师对我讲了许多东西，让我了解了目前的考研形势，明确了考研在人生中所处的位置，明确了考试科目和各科的学习应该如何进行，以能很好地展开学习海文的阶段测试系统做的不错，每一阶段测试都算得上一个仿真的考研战场。
学习一段时间后，我想对自己作一个评估和测验，想知道自己近期的学习是不是有效果，也想知道主管咨询师和专业咨询师制定的复习计划到底合理不合理，事实证明，他们配合的非常好，时间安排和复习内容真的达到了高度的科学化。
阶段测试紧紧结合该阶段的学习，在测试中，我总能发觉我这一阶段的学习内容在测试中得到了反映，掌握了的就答得比较得心应手，学习过程中漏掉的疑难点在考试中就只能失分了。
海文的英语老师很有名，他们对考研英语的精通让人吃惊，无论你什么时候问哪一年的考研真题，他们都能够给你一个非常满意的解答，而且他们给的英语学习方法都特别有效，特别有实用性，能够很快地运用到学习中去，不像一些网站或演讲中的一些学习方法，在实际生活中根本不具有可*作性。
海文的专业咨询师服务很有特色，我的专业咨询师特别负责。
他让我对我们这个专业的研究前景和就业前景都有了很好的了解，对专业课考试的概况也有了很好的宏观把握，看起书来就很有针对性，他给我讲的专业课答题技巧也特别有用，并且让我对出题老师的风格、学院对研究生评价的倾向性都有很好的了解，而且复试的时候，他指导我读的刊物和报纸就直接和复试题目相关。
不管是在初试答题还是复试考查，我都表现得非常好，这很大程度上都归功于我的专业咨询师的辅导。
最新万学海文钻石卡高数下册数学(三)计划
万学海文钻石卡高数下册数学(三)计划
数学（三）学习任务
（数三的高数下册就三章内容，内容不多，相对较简单一些。
建议复试时间21天，最迟到4月15号完成。
）第一周：
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7
重点内容：掌握二元函数，偏导和全微分的概念，会求多元隐函数的偏导数．会求简单多元函数的最大值和最小值。
本章的知识不是很难，但也是考试的重点，每年考研都会所涉及。
本周前六天都是学习新的内容，第七天要对以上的内容进行回顾复习，也可以做一下《学习进程监控习题汇编》和《客观题能力特训习题集粹》
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第二周：
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重点内容：二重积分的定义式的理解，利用直角坐标计算二重积分很重要。
开始学习的时候要多做练习。
利用极坐标计算二重积分一定要掌握，每年都会考到二重积分的坐标转换。
第三周：
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重点内容：掌握各种级数的重要性质、定理和公式，掌握各种级数的求和方法。
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7
本章每年考试都也会有一道大题。
需要多做练习。
刚开始可以做一下《学习进程监控习题汇编》和《客观题能力特训习题集粹》作为巩固内容。
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7。
海文高数赵达夫强化班讲义
6
正无穷： lim f (x) ； 负无穷： lim f (x) .
x x0
x x0
2
无穷小量：
若 lim x x0
f (x) 0 ,
称
f (x) 是 x x0 时的无穷小量。
(1)
设
f (x) 、 g(x) 都是 x x0 时的无穷小量,
若且 lim xx0
f g
x x
l
，
x
（A） f (t) f (t)dt
0
（C） f '(x)
x
（B） f (t) f (t)dt
0
（D）根据上面条件无法判断
3
例 4 设函数 f (x) 具有二阶导数，并满足 f ( x) f ( x),且 f (x) f (x 1). 若
f '(1) 0, 则（ ）
(A) f ''(5) f '(5) f (5).
且
lim
n
an
0
,
lim
n
bn
1
，
lim
n
cn
,
则(
)
A an bn ,n
B bn cn , n
C
lim
n
ancn
不存在
D
lim
n
bncn
不存在
例 4 设函数 f (x) 在 , 内单调有界, {xn} 为数列, 下面命题正确的是( )
A 若{xn} 收敛，则{ f (xn )} 必收敛 B 若{xn} 单调，则{ f (xn )} 必收敛 C 若{ f (xn )} 收敛， 则{xn} 收敛 D 若{ f (xn )} 单调， 则{xn} 收敛
海文钻石卡讲义(高数)
一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性(1) 定义：0M ∃>, x X ∀∈，有Mx f ≤)(.(2) 无界：0M ∀>, x X ∃∈，有 ()f x M >.(3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
b 奇偶性(1) 定义：偶)()(x f x f =-；奇 )()(x f x f =-。
(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性 (1) 定义：)()(x f T x f =+(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当12x x <时，均有()1212()()()()f x f x f x f x <>或(2) 导函数：'()()0()f x f x ≠−−→><←−−单增(减)；'()()0()f x f x ≠−−→≥≤←−−单增(减). 一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性(1) 定义：0M ∃>, x X ∀∈，有Mx f ≤)(.(2) 无界：0M ∀>, x X ∃∈，有 ()f x M >.(3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
b 奇偶性(1) 定义：偶)()(x f x f =-；奇 )()(x f x f =-。
(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性 (1) 定义：)()(x f T x f =+(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当12x x <时，均有()1212()()()()f x f x f x f x <>或(2) 导函数：'()()0()f x f x ≠−−→><←−−单增(减)；'()()0()f x f x ≠−−→≥≤←−−单增(减).例1 设2()tan ,()x f x x xe f x =则是（A ）（A ） 偶函数 （B ）有界函数 （C ） 周期函数 （D ）单调函数 分析：(A) 22()()tan()tan ()x x f x x x e x xe f x -=--==则()f x 是偶函数. (B) 取4n x n ππ=+, 则22()tan nnx x n n n n f x x x ex e ==→∞, 故无界.(C) 若为周期函数,设周期为T , ()(0)0f T f ==, 故而tan 0T =, 从而.T k π= 显然22()()()()tan()()tan x k x k f x k x k x k e x k xe ππππππ+++=++=+,当0tan 0x x >≠且, 显然()()f x k f x π+≠, 故而()f x 不是周期函数. (D) 设(0)()0f f π==, 故而()f x 不是单调函数.例2 设()f x 是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( ) （A ）()0()()xf t f t dt +-⎰ （B ）()0()()xf t f t dt --⎰（C ）'()f x （D ）根据上面条件无法判断分析: 0()()()xx g t dt x ⎧=⎨⎩⎰奇, g 为偶函数偶, g 为奇函数(A) ()()f t f t +-是偶函数, 从而(A)是奇函数. (B) ()()f t f t --是奇函数, 从而(B)是偶函数. (C) ()f x 是奇函数, '()f x 偶函数.例3 设函数()f x 具有二阶导数，并满足()(),f x f x =--且()(1).f x f x =+若'(1)0,f > 则（ B ）(A)''(5)'(5)(5).f f f -≤-≤- (B)(5)''(5)'(5).f f f =-<- (C) '(5)(5)''(5).f f f -≤-≤- (D) (5)'(5)''(5).f f f -<-=- 分析: 显然(),''()f x f x 是奇函数, 故而(0)''(0)0.f f =='()f x 是偶函数且(),'(),''()f x f x f x 为周期为1的函数, 则 (5)(5)(0)0,'(5)'(1)0,''(5)''(0)0f f f f f f f =-==-=>-==.2 极限的定义和性质 a 一元函数的极限与性质(1) 0lim()x xf x A →=:0ε∀>,0δ∃>，当00||x x δ<-<时，有|()|f x A ε-<. (2) 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A →→+→-=⇔==推论: 若0lim ()lim ()x x x x f x f x →+→-≠, 则0lim ()x xf x →不存在. (3) 0lim ()00,x xf x δ→>⇒∃>当00||,x x δ<-<有()0f x > (4) 四则运算(略). 它的一个重要推论如下: 若0()lim()x xf x Ag x →=，则 ① 0lim ()0lim ()0;x x x x g x f x →→=⇒= ② 0lim ()0,0lim g()0x x x xf x A x →→=≠⇒=. b 二元函数 (1)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=:0ε∀>,0δ∃>，当0δ<<时，有|(,)|f x y A ε-<.(2)000(,)(,)lim(,)(,)(,),x y x y f x y A x y x y →=⇔以任意路径趋向(,)f x y A → 推论：若(,)x y 按两路径趋向于()00,x y 所得极限不同，则()()()00,,lim,x y x y f x y →不存在.(3) 0lim ()00,x xf x δ→>⇒∃>当00||,x x δ<-<有()0f x > 例4 设()221lim 3sin 1x x ax bx →++=-，求a 和b 。
高等数学知识框架图
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海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分 23
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Байду номын сангаас
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第一章 函数、极限、连续
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分
1
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分 2
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分 3
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分 4
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分 5
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分 6
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分 7
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一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性(1) 定义：0M ∃>, x X ∀∈，有Mx f ≤)(.(2) 无界：0M ∀>, x X ∃∈，有 ()f x M >.(3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
b 奇偶性(1) 定义：偶)()(x f x f =-；奇 )()(x f x f =-。
(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性(1) 定义：)()(x f T x f =+(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当12x x <时，均有()1212()()()()f x f x f x f x <>或(2) 导函数：'()()0()f x f x ≠−−→><←−−单增(减)；'()()0()f x f x ≠−−→≥≤←−−单增(减). 一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性(1) 定义：0M ∃>, x X ∀∈，有Mx f ≤)(.(2) 无界：0M ∀>, x X ∃∈，有 ()f x M >.(3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
b 奇偶性(1) 定义：偶)()(x f x f =-；奇 )()(x f x f =-。
(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性(1) 定义：)()(x f T x f =+(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当12x x <时，均有()1212()()()()f x f x f x f x <>或(2) 导函数：'()()0()f x f x ≠−−→><←−−单增(减)；'()()0()f x f x ≠−−→≥≤←−−单增(减). 例1 设2()tan ,()x f x x xe f x =则是（A ）（A ） 偶函数 （B ）有界函数 （C ） 周期函数 （D ）单调函数分析：(A) 22()()tan()tan ()x x f x x x e x xe f x -=--==则()f x 是偶函数. (B) 取4n x n ππ=+, 则22()tan nnx x n n n n f x x x ex e ==→∞, 故无界.(C) 若为周期函数,设周期为T , ()(0)0f T f ==, 故而tan 0T =, 从而.T k π= 显然22()()()()tan()()tan x k x k f x k x k x k e x k xe ππππππ+++=++=+,当0tan 0x x >≠且, 显然()()f x k f x π+≠, 故而()f x 不是周期函数. (D) 设(0)()0f f π==, 故而()f x 不是单调函数.例2 设()f x 是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( ) （A ）()0()()xf t f t dt +-⎰ （B ）()0()()xf t f t dt --⎰（C ）'()f x （D ）根据上面条件无法判断分析: 0()()()xx g t dt x ⎧=⎨⎩⎰奇, g 为偶函数偶, g 为奇函数(A) ()()f t f t +-是偶函数, 从而(A)是奇函数. (B) ()()f t f t --是奇函数, 从而(B)是偶函数. (C) ()f x 是奇函数, '()f x 偶函数.例3 设函数()f x 具有二阶导数，并满足()(),f x f x =--且()(1).f x f x =+若'(1)0,f > 则（ B ）(A)''(5)'(5)(5).f f f -≤-≤- (B)(5)''(5)'(5).f f f =-<- (C) '(5)(5)''(5).f f f -≤-≤- (D) (5)'(5)''(5).f f f -<-=- 分析: 显然(),''()f x f x 是奇函数, 故而(0)''(0)0.f f =='()f x 是偶函数且(),'(),''()f x f x f x 为周期为1的函数, 则 (5)(5)(0)0,'(5)'(1)0,''(5)''(0)0f f f f f f f =-==-=>-==. 2 极限的定义和性质 a 一元函数的极限与性质(1) 0lim ()x xf x A →=:0ε∀>,0δ∃>，当00||x x δ<-<时，有|()|f x A ε-<. (2) 0lim ()lim ()lim ()xx x x x x f x A f x f x A →→+→-=⇔==推论: 若0lim ()lim ()x x x x f x f x →+→-≠, 则0lim ()x xf x →不存在.(3) 0lim ()00,x xf x δ→>⇒∃>当00||,x x δ<-<有()0f x > (4) 四则运算(略). 它的一个重要推论如下: 若0()lim()x xf x Ag x →=，则 ① 0lim ()0lim ()0;x x x x g x f x →→=⇒= ② 0lim ()0,0lim g()0x x x x f x A x →→=≠⇒=.b 二元函数 (1)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=:0ε∀>,0δ∃>，当0δ<<时，有|(,)|f x y A ε-<.(2)000(,)(,)lim (,)(,)(,),x y x y f x y A x y x y →=⇔以任意路径趋向(,)f x y A → 推论：若(,)x y 按两路径趋向于()00,x y 所得极限不同，则()()()00,,lim,x y x y f x y →不存在.(3) 0lim ()00,x xf x δ→>⇒∃>当00||,x x δ<-<有()0f x > 例4 设()221lim 3sin 1x x ax bx →++=-，求a 和b 。
分析:例5设函数(,)f x y 在点（0，0）连续，且222(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+，则点（0,0）是( ) （A ）极大值点 （B ）极小值点（C ）不是极值点 （D ）根据上面条件无法判断3 一元函数极限的计算 a 四则运算和等价无穷小代换. 例6 0ln(1)lim________1cos x x x x→+=-.例7 求xx I xx x sin e e lim sin 0--=→b 三大恒等变形1). 含()()v x u x 的极限.①若直接计算()lim ()v x u x 且()1u x →, 直接利用公式()lim ()exp((()1)())v x u x u x v x =-② 将()()v x u x 写成()()exp(()ln ())v x u x v x u x =求解.例8 2lim tan ()4n n nπ→∞+例9 xx I xx e)1(lim10-+=→2） 有理化变形==例10limx →+例11求)cos 1(sin 1tan 1limx x xx I x -+-+=→3) 分子、分母同时除以最大的无穷大∞∞常见的无穷比较: ln (0)(0)(1)x x x x x a a αβαβ→+∞<<><<><<>，例12 limx 例13 32lim 1xx x x e e e →∞++d 洛必达法则和泰勒定理函数()()f x g x -进行泰勒定理展开时, 只要展开到首次不同项即可. 例14 设函数()()()561cos 2sin ,56x x x f x t dt g x -==+⎰，则当0x →时，()f x是()g x 的（ ）（A ） 低阶无穷小 （B ） 高阶无穷小（C ） 等价无穷小 （D ） 同阶但不等价的无穷小例15 求011lim()1xx x e x-→+--.4 二元函数极限的计算a 利用夹逼准则、等价无穷小、初等函数的连续性等转化为为一元函数的极限.例16 求()()2sin (,)0,0(,)0,0sin lim(1)lim.1xyx xy x y x y xyxy e →→+-和例17 求()5544(,)0,0lim.x y x y x y →++ b 选择不同的路径得到不同的极限从而极限不存在.例18 请说明()()222422(,)0,0(,)0,0lim lim ()x y x y x y x y x y xy x y →→+++-和是否存在.5 连续函数 a 定义:000000(,)(,)lim(,)(,)(lim ()())x y x y x x f x y f x y f x f x →→==.b 运算: 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），仍连续; 连续函数经有限次复合而成的复合函数仍连续。
c 闭区域(区间)连续函数性质: 有界性、最值性、介值性、零点定理. 推论: 设()f x 在(,)a b 连续,且lim (),lim ()x a x b f x f x →+→-存在, 则()f x 在(,)a b 有界.例19(04) 设函数2||sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界( ) A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 例20 设()f x 在[,]a b 连续，12,,,[,]n x x x a b ∈，求证存在[,]a b ξ∈使得1()()ni i i f w f x ξ==∑.二 微分学1 导数与偏导数的定义、性质 a 导数定义: ()()()()()000000limlimx x x f x f x f x x f x f x x x x→∆→-+∆-'==-∆ 1) ()0f x '存在00'()'()f x f x +-⇔=.2) 0'()f x 存在()f x ⇔在0x 可微−−→←−−≠()f x 在0x 连续. 3) 若()||()f x x a g x =-, ()g x 在x a =连续，则'()f a 存在()0.g a ⇔= 若()|()|f x g x =, ()g x 在x a =连续, 则'()f a 存在()0'()0g a g a ⇔==且.b 偏导数定义: ()()()0,,,lim x x f x x y f x y zf x y x x∆→+∆-∂'==∂∆,()()()yy x f y y x f y x f y z y y ∆-∆+='=∂∂→∆,,lim ,0. 1) (,)f x y 在00(,)x y可微(,)''lim 0x y z f x f y ∆∆→∆-∆-∆⇔=2) ','','x y x y f f f f f f ≠≠−−→←−−−−→≠↑↓≠←−−−−→←−−连续连续可微存在例1设(,)f x y =则(,)f x y 在原点偏导数有( )(A) x 偏导存在，y 偏导不存在 (B) x 偏导不存在，y 偏导也不存在 (C) x 偏导不存在, y 偏导存在 (D) x 偏导存在，y 偏导也存在例2 讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=，)0，0()，(0，)0，0()，(，)，(2222y x y x y x y x xy y x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=，)0，0()，(，0，)0，0()，(，)，(22y x y x y x y x xy y x g 在(0,0)处的连续性、偏导是否存在和可微性．例3 ()f x 可导,()()|sin |F x f x x = ,则(0)0f =是'(0)F 存在的( )条件A 充要B 充分非必要C 必要非充分D 即非充分也非必要 2 显函数求导公式a 常见的求导公式: 四则运算和复合函数求导(略).b 微分方法求导(偏导数): 利用微分形式不变性求出微分, 自变量微分的系数就是所要求的导数.c 连环相乘的对数求导法: 设12()()()12()()()()n v x v x v x n f x u x u x u x =, 两边取对数 1122ln ()()ln ()()ln ()()ln ()n n f x v x u x v x u x v x u x =+++ 从而1122'()(()ln ()()ln ()()ln ())'()n n f x v x u x v x u x v x u x f x =+++ 例4 设22(,sin ),z f x y x y =+ 求,z z x y ∂∂∂∂和2z x y∂∂∂. 例5 设)4)(3()2)(1(----=x x x x y , 求'()f x .例6 设(,,)f x y z zx =(1,1,1)|.df3 特殊函数的求导方法a 参数函数求导法: '()'()dy y t dx x t =; '22'()/'()'()d y y t x t dx x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. b 反函数求导法: 1dx dy dydx = ; 223''()('())d x y x dy y x -= c 变上限函数求导法则: 21()2211()()(())'()(())'()x x f t dt f x x f x x ϕϕϕϕϕϕ'⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰ 其他形式的变上限函数通过四则运算或者换元变成上面的形式. d 分段函数的求导方法: 定义是唯一的途径.例7 设()f x 在(,)a b 和(,)b c 上连续，()F x 和()G x 分别为()f x 在(,)a b 和(,)b c 的原函数，令(),()(),F x a x b H x G x b x c <≤⎧=⎨<<⎩又()H x 在x b =上连续，问()H x 是否为()f x 在(,)a b 的一个原函数？例8 设()y y x =满足2xy e '=，求它的反函数的二阶导数22d x dy ．例9 求常数a ，b 使函数23() 3x x f x ax b x ⎧≥=⎨+<⎩处处可导，并求出导数． 例10 设()f x 在（－∞，+ ∞）连续且10()(s )d x n n n Φx s f x s -=-⎰，求)(x Φ'．例11 设f （x ）在（－∞，+∞）连续，又⎰-=x t t f t x x Φ02d )()(21)(，求)()(x Φ，x Φ'''． 例12 设y t tt x Φy x d )d 1sin ()(20220⎰⎰+=，求)(x Φ''．4 隐函数求导公式: 两边同时求导或者求微分.例13 设()z y x f u ,,=有连续的一阶偏导数，又函数()x y y =及()x z z =分别由下列两式确定 2=-xy e xy 和⎰-=z x x dt t t e 0sin ，求dx du . 例14 设(,)0z z F x y y x ++=, 证明z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂. 5 极值问题a 显函数极值问题先求出驻点'0'0x y z z =⎧⎨=⎩('()0f x =)或者导数不存在的点(偏导不存在考研不要求)；再进行判断，一元函数可以用'()f x 在可疑点附近的领域判断或者''()f x 在可疑点的值判断, 二元函数只能用二阶偏导判断. b 隐函数极值问题先求可疑点，再判断但是隐函数只能用二阶导数判断.c 条件极值1)方法1: 消去条件，将条件问题直接转化为无条件问题.2)方法2: 利用Lagrange 法将条件问题直接转化无条件问题.例15求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=的最大值与最小值．例16 求方程222610210180x xy y yz z -+--+=所确定的隐函数的极值. 例17设函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=确定，试求()y y x =的驻点，并判断是否为极值.例18 求2221()()x t f x x t e dt -=-⎰单调区间和最值.例19 设()f x 在x = 0某邻域连续，0()lim 21cos x f x x→=-，则()f x 在x = 0处 （A ）不可导 （B ）可导且(0)0f '≠（C ）有极大值 （D ）有极小值6 有界闭区域上的最值先求内部可能点，再求边界可能点. 一元函数的边界可能点即为左右端点, 二元函数转化为求满足边界方程的可能条件极值点, 一般利用Lagrange 乘子法.其次，求出所有可能点对应的函数值，其中的最大值就为总体最大值， 最小值就为总体最小值.例20 求2222122,{|425}z x xy y D x x y =++=+≤的最值.7 中值定理的证明问题a) 直接证明型: 参数放在等式右边，左边为()()f b f a b a--或()()()()f b f a g b g a -- 的形式，直接利用拉格朗日或者柯西中值定理。