2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015浙江高考数学(理)试题及答案
2015浙江高考数学（理）试题及答案满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共8小题）1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）A．B．C．D．3.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（）A．B．C．D．4.命题“且的否定形式是（）A．且B．或C．且D．或5.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（）A．B．C．D．6.设是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，“”是“ ”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，（）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7.存在函数满足，对任意都有（）A．B．C．D．8.如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（）A．B．C．D．二、填空题（共7小题）9.双曲线的焦距是 _________ ，渐近线方程是 ________________ ．10.已知函数，则 ____，的最小值是 ____ ．11.函数的最小正周期是，单调递减区间是 ________ ．12.若，则 __________ ．13.如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是．14.若实数满足，则的最小值是．15.已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则，，．三、解答题（共5小题）16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，=. （Ⅰ）求tanC的值；（Ⅱ）若ABC的面积为7，求b的值。
17.如图，在三棱柱-中，BAC=，AB=AC=2，A=4，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（Ⅰ）证明：D平面；（Ⅱ）求二面角-BD-的平面角的余弦值.18.已知函数f（x）=+ax+b（a，b R）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题解析(浙江卷)
2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q = ð（）A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.38cm B.312cm C.3323cm D.3403cm【答案】C.3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >> B.140,0a d dS << C.140,0a d dS >< D.140,0a d dS <>4.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（）A.**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n> B.**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C.**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D.**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A.11BF AF --B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6.设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =- ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立7.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A.(sin 2)sin f x x = B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）A.A DB α'∠≤ B.A DB α'∠≥ C.A CB α'∠≤ D.A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.双曲线2212x y-=的焦距是，渐近线方程是．10.已知函数223,1()lg(1),1x x f x x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=，()f x 的最小值是．11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．12.若4log 3a =，则22a a -+=．【答案】334.【解析】13.如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．13.若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= ，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈ ，则0x =，0y =，b = ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠= ，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.已知椭圆2212x y+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112n n a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.。
2015年浙江高考数学理科试卷带详解
2015年全国高考数学 浙江卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.(15浙江高考)已知集合{}220P x x x =-≥，{}12Q x x =<≤，则()P Q =R（ ）A.[)0,1B.(]0,2C.()1,2D.[]1,2 【参考答案】C【测量目标】集合的运算. 【试题分析】由题意得，()()0,2P =R，()()1,2P Q ∴=R ，故选C.2. (15浙江高考)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）3cm B.123cm C.332cm 3 D. 340cm 3第2题图【参考答案】C【测量目标】三视图.【试题分析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积323132222cm 33V =+⨯⨯=，故选C.3. (15浙江高考)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <> 【参考答案】B【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的概念. 【试题分析】等差数列{}n a ，348,,a a a 成等比数列，()()()2111153273a d a d a d a d ∴+=++⇒=-，()()4141122233S a a a a d d ∴=+=++=-，2214520,033a d d dS d ∴=-<=-<，故选B.4. (15浙江高考)命题“(),n f n **∀∈∈N N 且()f n n ≤”的否定形式是（ ）A. (),n f n **∀∈∈N N 且()f n n > B. (),n f n **∀∈∈N N 或()f n n >C. ()00,n f n **∃∈∈N N 且()00f n n > D. ()00,n f n **∃∈∈N N 或()00f n n >【参考答案】D【测量目标】命题的否定.【试题分析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.5. (15浙江高考)如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）第5题图A.11BF AF --B.2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 【参考答案】A【测量目标】抛物线的标准方程及其性质. 【试题分析】11BCF B ACF A BF S x BC S AC x AF -===-△△，故选A. 6. (15浙江高考)设,A B 是有限集，定义()()(),d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(),0d A B >”的充要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，()()(),,,d A C d A B d B C +≤， A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立，命题②不成立 D.命题①不成立，命题②成立 【参考答案】A【测量目标】集合的性质.【试题分析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知(),d A C 表示的区域不大于()(),,d A B d B C +的区域，故命题②也正确，故选A.第6题图7. (15浙江高考)存在函数()f x 满足，对任意x ∈R 都有（ ） A.()sin 2sin f x x = B.()2sin 2f x x x =+C.()211f x x +=+D.()221f x x x +=+ 【参考答案】D【测量目标】函数的概念.【试题分析】A ：取0x =，可知()sin0sin0f =，即()00f =，再取π2x =，可知()πsin πsin 2f =，即()01f =，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1x =，可知()22f =，再取1x =-，可知()20f =，矛盾，∴C 错误，D ：令()()()()210101t x t f t tt f x x =+∴-=⇔=+≥，≥，符合题意，故选D.8. (15浙江高考)如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A CD '，所成二面角A CD B '--的平面角α，则（ ）第8题图A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≥ 【参考答案】B【测量目标】立体几何中的动态问题.【试题分析】根据折叠过程可知A CB '∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. (15浙江高考)双曲线2212x y -=的焦距是_________，渐近线方程是__________. 【参考答案】322y x =±.【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.【试题分析】由题意得：1,a b c =====，∴焦距为2c =2b y x x a =±=±. 10. (15浙江高考)已知函数()()223,1lg 1,1x x x f x x x ⎧+-⎪=⎨⎪+<⎩≥，则()()3f f -=_________，()f x 的最小值是___________.【参考答案】0，3. 【测量目标】分段函数. 【试题分析】()()3ff -=()10f =，当1x ≥时，()3f x ≥，当且仅当x =当1x <时，()0f x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，故()f x最小值为3.11. (15浙江高考)函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是__________，单调递减区间是_________. 【参考答案】3π7πππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，.【测量目标】三角恒等变形，三角函数的性质. 【试题分析】()π32242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期为π，单调递减区间为 3π7ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 12. (15浙江高考)若4log 3a =，则22aa-+=________.【测量目标】对数的计算.【试题分析】4log 3,43222a a a a a -=∴=⇒=∴+==13. (15浙江高考)如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======,点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是____________.第13题图【参考答案】78【测量目标】异面直线的夹角.【试题分析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结,PM PC ，则可知PMC ∠即为异面直线,AN CM 所成角（或其补角）易得:122PM AN ==，22213PC PN CN =+=+=,2222CM AC AM =-=,8237cos 82222PMC +-∴∠==⨯⨯，即异面直线,AN CM 所成角的余弦值为78.第13题图14. (15浙江高考)若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是_________. 【参考答案】3【测量目标】线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系.【试题分析】221x y +≤表示圆221x y +=及其内部，易得直线63x y --与圆相离，故6363x y x y --=--，当220x y +-≥时，226324x y x y x y +-+--=-+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y =-+，则可知当34,55x y ==时，min 3z =，当220x y +-<时，2263834x y x y x y +-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y =--，同理可知当34,55x y ==时，min 3z =，综上所述，2263x y x y +-+--的最小值为3.第14题图15. (15浙江高考)已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足1252,2⋅=⋅=b e b e ，且对于任意,x y ∈R ，()()()120102001,x y x y x y -+-+=∈R ≥b e e b e e ，则0x =______，0y =_______，=b _________.【参考答案】1，2，【测量目标】平面向量的模长，函数值的最值.【试题分析】问题等价于()12x y -+b e e 当且仅当00,x x y y ==时，取得最小值1，两边平方即22245x y x y xy++--+b 在00,x x y y ==时，取得最小值1，()()22222222434545224y x y x y xy x y x y y x y -⎛⎫++--+=+-+-+=++- ⎪⎝⎭b b 27-+b，000002401220271y x x y y -⎧+=⎧⎪=⎪⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==⎪⎪⎩⎩b b .三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (15浙江高考)（本小题满分14分）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222π1,42A b a c =-=. （1）求tan C 的值；（2）若△ABC 的面积为7，求b 的值. 【测量目标】三角恒等变形，正弦定理. 【试题分析】（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，2cos 2sin B C ∴-=，又由π4A =，即3π4B C +=，得cos2sin 22sin cos B C C C -==,解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，()0,πC ∈得sin C C ==()πsin sin sin 4B A C C ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，sin B ∴=正弦定理得3c =，又π1,sin 7,42A bc A bc ==∴=b =. 17. (15浙江高考)（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190,2,4BAC AB AC A A ∠====，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ;（2）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值.第17题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，二面角的求解.【试题分析】（1）设E 为BC 中点，由题意得1A E ⊥平面ABC ，1A E AE ∴⊥，,AB AC AE BC =∴⊥，故AE ⊥平面1A BC ，由,D E 分别为11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A ，所以四边形1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ，又AE ⊥平面1A BC ，∴1A D ⊥平面1A BC ；（2）作1A F BD ⊥，且1A F BD F =，连结1B F ，由2AE EB ==，1190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==,由1111,A D B D A B B B ==，得11A DB B DB ≅△△，由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1143A FB F ==，且112,A B =由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-.第17题图18. (15浙江高考)（本题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(),2M a b ≥；（2）当,a b 满足(),2M a b ≤时，求a b +的最大值.【测量目标】二次函数的性质，分类讨论的思想.【试题分析】（1）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由2a ≥得2a -≥1，故()f x 在[]1,1-上单调，∴()()(){},max1,1M a b f f =-，当2a ≥时，由()()1124f f a --=≥，得()(){}max 112f f -，≥，即(),2M a b ≥；当2a ≤-时，由()()1124f f a --=-≥，得()(){}max 112f f --，≥，即(),2M a b ≥，综上，当2a ≥时，(),2M a b ≥；（2）由(),2M a b ≤得()()112112a b f a b f ++=-+=-≤,≤，故33a b a b +-≤，≤，由,0,0a b ab a b a b ab ⎧+⎪+=⎨-<⎪⎩≥，得3a b +≤，当2,1a b ==-时，3a b +=，且221x x +-在[]1,1-上的最大值为2，即()2,12M -=，所以a b +的最大值为3.19. (15浙江高考)（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称. （1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 的面积最大值（O 为坐标原点）.第17题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，求函数最值.【试题分析】（1）由题知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x bm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102bx x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，224220b m ∴∆=-++> ① 将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=- ②由①②得m<或m>；（2）令160,22tm⎛⎫⎛⎫=∈-⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22ABt=+，且O到直线AB的距离为21td+=，设△AOB的面积为()S t，()122S t AB d∴=⋅=，当且仅当212t=时，等号成立，故△AOB面积的最大值为2.20. (15浙江高考)（本题满分15分）已知数列{}n a满足112a=且()21n n na a a n*+=-∈N（1）证明：()112nnana*+∈N≤≤；（2）设数列{}2n a的前n项和为n S，证明()()()112221nSnn n n*∈++N≤≤.【测量目标】数列与不等式结合综合题.【试题分析】（1）由题意得，21n n na a a+-=-≤0，即11,2n n na a a+≤≤，由()111n n na a a--=-得()()()12111110n n na a a a a--=--->，由12na≤≤得[]2111,21n nn n n na aa a a a+==∈--，即112nnaa+≤≤；（2）由题意得21n n na a a+=-，11n nS a a+∴=-①，由1111nn n naa a a++-=和112nnaa+≤≤得11112n na a+-≤≤，1112n nn na a+∴-≤≤，因此()()111212na nn n*+∈++N≤≤②，由①②得()()112221nSn n n++≤≤.。
2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ．[0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．[1，2]考点： 交、并、补集的混合运算．专题：集合． 分析： 求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答： 解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0， 解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2）， 故选：C ．点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ．12cm 3 C ．D ．考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ） A ． a 1d ＞0，dS 4＞0 B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点： 等差数列与等比数列的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号． 解答： 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ， 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C 在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转析：化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d （A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card （A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A 点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ．f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f（x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α 考点： 二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．考函数的值．点：专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x ）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间．解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点评： 本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a =．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R ，，则x0= 1，y 0=2，|=2．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y ，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π），∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2． ∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，）， =（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ； （2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f （x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m ×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m 2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB ==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB =，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB 取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *）， 又∵a 2=a 1﹣=，∴==2，又∵a n ﹣a n+1=，∴a n ＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n ∈N *）；（2）由已知，=a n ﹣a n+1，=a n ﹣1﹣a n ，…，=a 1﹣a 2， 累加，得S n =++…+=a 1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立； 当n ≥2时，=．下面证明：≥a n ≥（n ≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k 时也成立，则a k+1=﹣+， 由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥， a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n ≥2，均有≥a n ≥， ∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ．[0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．8cm 3 B ．12cm 3 C ．D ．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ． f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= ，f （x ）的最小值是 ．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P＝{x|x2﹣2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q＝（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1|D．f（x2+2x）＝|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线﹣y2＝1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣3））＝，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a＝log43，则2a+2﹣a＝．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，＝1（x0，y0∈R），则x0＝，y0＝，|＝．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝c2．（1）求tan C的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y＝mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1＝且a n+1＝a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P＝{x|x2﹣2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q＝（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P＝（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P＝（0，2），∵Q＝（1，2]，∴（∁R P）∩Q＝（1，2），故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2＝．故选：C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3＝a1+2d，a4＝a1+3d，a8＝a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，＝＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，则＝＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A ∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）＝card（B∪C）﹣card （B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）＝card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）＝[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）＝d（A，C），故命题②成立，故选：A．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1|D．f（x2+2x）＝|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sin x；B．取x＝0，则f（0）＝0；取x＝π，则f（0）＝π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；令t2﹣1＝x，则t＝±；∴；即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC＝BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC＝BC时，∠A′DB＝α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α＝∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线﹣y2＝1的焦距是2，渐近线方程是y＝±x．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线＝1中，a＝，b＝1，c＝，∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2；y＝±x．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣3））＝0，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）＝1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）＝，当x＜1时，f（x）＝lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）＝，∴f（﹣3）＝lg10＝1，则f（f（﹣3））＝f（1）＝0，当x≥1时，f（x）＝，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）＝lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）＝sin2x+sin x cos x+1＝（1﹣cos2x）+sin2x+1＝sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T＝＝π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a＝log43，则2a+2﹣a＝．【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：∵a＝log43，可知4a＝3，即2a＝，所以2a+2﹣a＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM 所成的角就是∠EMC，∵AN＝2，∴ME＝＝EN，MC＝2，又∵EN⊥NC，∴EC＝＝，∴cos∠EMC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|＝6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2＝0将圆x2+y2＝1分成两部分，分别去绝对值，运用平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|＝6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2＝0将圆x2+y2＝1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|＝2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝x﹣2y+4，利用平移可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|＝﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝8﹣3x﹣4y，利用平移可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x＝，y＝时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，＝1（x0，y0∈R），则x0＝1，y0＝2，|＝2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞＝，不妨设＝（，，0），＝（1，0，0），由已知可解＝（，，t），可得|﹣（|2＝（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•＝||||cos＜•＞＝cos＜•＞＝，∴＜•＞＝，不妨设＝（，，0），＝（1，0，0），＝（m，n，t），则由题意可知＝m+n＝2，＝m＝，解得m＝，n＝，∴＝（，，t），∵﹣（）＝（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（）|2＝（﹣x﹣y）2+（）2+t2＝x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7＝（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2＝1，故＝＝2故答案为：1；2；2【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝c2．（1）求tan C的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2＝c2．可得，a＝．利用余弦定理可得cos C．可得sin C＝，即可得出tan C ＝．（2）由＝×＝3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A＝，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2＝bc﹣c2，又b2﹣a2＝c2．∴bc﹣c2＝c2．∴b＝c．可得，∴a2＝b2﹣＝，即a＝．∴cos C＝＝＝．∵C∈（0，π），∴sin C＝＝．∴tan C＝＝2．或由A＝，b2﹣a2＝c2．可得：sin2B﹣sin2A＝sin2C，∴sin2B﹣＝sin2C，∴﹣cos2B＝sin2C，∴﹣sin＝sin2C，∴﹣sin＝sin2C，∴sin2C＝sin2C，sin C≠0，cos C≠0．∴tan C＝2．（2）∵＝×＝3，解得c＝2．∴＝3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•＝•＝0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC＝AC＝2，A1O＝＝，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），＝（0，﹣，0），＝（﹣，﹣，），＝（﹣，0，0），＝（﹣2，0，0），＝（0，0，），∵•＝0，∴A1D⊥OA1，又∵•＝0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC＝O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），由，得，取z＝1，得＝（，0，1），设平面B1BD的法向量为＝（x，y，z），由，得，取z＝1，得＝（0，，1），∴cos＜，＞＝＝＝，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a＝b＝0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）＝1+a+b，f（﹣1）＝1﹣a+b，对称轴为x＝﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）＝max{|f（1），|f（﹣1）|}＝max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|＝|a|≥2；（2）当a＝b＝0时，|a|+|b|＝0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max＝max{|a﹣b|，|a+b|}＝3，在b＝﹣1，a＝2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y＝mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x＝﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y＝mx+，可得，代入△＞0，即可解出．＝，再利用均值不等（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x＝﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△＝4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）＝8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0＝﹣m×+n＝，由于点P在直线y＝mx+上，∴＝+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，＝＝|n|•＝，∴S△OAB由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）＝，＝，当且仅当n2＝m2﹣n2+2，即2n2＝m2+2，又∵，∴S△AOB解得m＝，取得最大值为．当且仅当m＝时，S△AOB【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1＝且a n+1＝a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1＝可得＞1，利用＝＝≤2，即得结论；（2）通过＝a n﹣a n+1累加得S n＝a1﹣a n+1，对a n+1＝a n﹣a n2两边同除以a n+1a n采用累积法可求出a n+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：a n+1﹣a n＝﹣a n2≤0，即a n+1≤a n，故a n≤，1≤．由a n＝（1﹣a n﹣1）a n﹣1得a n＝（1﹣a n﹣1）（1﹣a n﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜a n≤（n∈N*），又∵a2＝a1﹣＝，∴＝＝2，又∵a n﹣a n+1＝，∴a n＞a n+1，∴＞1，∴＝＝≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，＝a n﹣a n+1，＝a n﹣1﹣a n，…，＝a1﹣a2，累加，得S n＝++…+＝a1﹣a n+1，①由a n+1＝a n﹣a n2两边同除以a n+1a n得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，因此≤a n+1≤（n∈N*）②，由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)及答案
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．[1，2]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1| 8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y0∈R），则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1＜≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF 与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card （A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B 成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B ∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD 折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x ≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y0∈R），则x0=1，y0=2，|=2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故==2故答案为：1；2；2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S=，再利用均值△OAB不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S==|n|•=，△OAB由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，△AOB解得m=，取得最大值为．当且仅当m=时，S△AOB20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1＜≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=a1﹣a n+1，对a n+1=a n﹣a n2两边同除以a n+1a n采用的范围，从而得出结论．累积法可求出a n+1﹣a n=﹣a n2≤0，即a n+1≤a n，【解答】证明：（1）由题意可知：a n+1故a n≤，1≤．由a n=（1﹣a n﹣1）a n﹣1得a n=（1﹣a n﹣1）（1﹣a n﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴＞1，∴==≤2，∴1＜≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1，①由a n=a n﹣a n2两边同除以a n+1a n得，和1≤≤2，+1得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，≤（n∈N*）②，因此≤a n+1由①②得≤（n∈N*）．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理数 浙江卷及解析
浙江卷(理)参考公式:球的表面积公式S=4πR2球的体积公式V=πR3其中R表示球的半径柱体的体积公式V=Sh其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高,锥体的体积公式V=Sh其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高,台体的体积公式V=h(S1++S2)其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考浙江卷,理1)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q等于( C )(A)[0,1) (B)(0,2] (C)(1,2) (D)[1,2]解析:因为P={x|x≥2或x≤0},所以∁R P={x|0<x<2},所以(∁R P)∩Q=(1,2).2.(2015高考浙江卷,理2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( C )(A)8 cm3(B)12 cm3 (C)cm3(D)cm3解析:该几何体是由棱长为2的正方体和底面边长为2,高为2的正四棱锥组合而成的几何体.故其体积为V=2×2×2+×2×2×2=(cm3).3.(2015高考浙江卷,理3)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( B )(A)a1d>0,dS4>0 (B)a1d<0,dS4<0(C)a1d>0,dS4<0 (D)a1d<0,dS4>0解析:由=a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得d(5d+3a1)=0,又d≠0,所以a1=-d,则a1d=-d2<0,又因为S4=4a1+6d=-d,所以dS4=-d2<0,故选B.4.(2015高考浙江卷,理4)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( D )(A)∀n∈N*, f(n)∉N*且f(n)>n(B)∀n∈N*, f(n)∉N*或f(n)>n(C)∃n0∈N*, f(n0)∉N*且f(n0)>n0(D)∃n0∈N*, f(n0)∉N*或f(n0)>n0解析:“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.5.(2015高考浙江卷,理5)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( A )(A)(B)(C)(D)解析:由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A作AA2⊥y轴于点A2,过B作BB2⊥y轴于点B2,则====.6.(2015高考浙江卷,理6)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的个数.命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C),下列说法正确的是( A )(A)命题①和命题②都成立(B)命题①和命题②都不成立(C)命题①成立,命题②不成立(D)命题①不成立,命题②成立解析:对于命题①,若A≠B,则card(A∪B)>card(A∩B),从而有d(A,B)>0,即充分性成立.反之,若d(A,B)>0,则card(A∪B)>card(A∩B),可得A≠B,即必要性成立,故①正确.对于命题②,作韦恩图如图.其中m,n,p,q,a,b,c分别为相应部位元素个数,且均为非负整数.则card(A∪B)=a+b+m+n+p+q,card(A∩B)=m+q,所以d(A,B)=a+b+n+p.同理,d(B,C)=(b+c+m+n+p+q)-(p+q)=b+c+m+n,d(A,C)=(a+c+m+n+p+q)-(n+q)=a+c+m+p,所以d(A,B)+d(B,C)=a+2b+c+m+2n+p.所以d(A,B)+d(B,C)-d(A,C)=2b+2n≥0,即d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).故②正确.故选A.7.(2015高考浙江卷,理7)存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有( D )(A)f(sin 2x)=sin x (B)f(sin 2x)=x2+x(C)f(x2+1)=|x+1| (D)f(x2+2x)=|x+1|解析:对于A,令x=0,得f(0)=0;令x=,得f(0)=1,这与函数的定义不符,故A错,在B中,令x=0,得f(0)=0;令x=,得f(0)=+,与函数的定义不符,故B错.在C中,令x=1,得f(2)=2;令x=-1,得f(2)=0,与函数的定义不符,故C错.在D中,变形为f(|x+1|2-1)=|x+1|,令|x+1|2-1=t,得t≥-1,|x+1|=,从而有f(t)=,显然这个函数关系在定义域(-1,+∞)上是成立的,选D.8.(2015高考浙江卷,理8)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'CD B的平面角为α,则( B )(A)∠A'DB≤α(B)∠A'DB≥α(C)∠A'CB≤α(D)∠A'CB≥α解析:法一若CD⊥AB,则∠A'DB为二面角A'CD B的平面角,即∠A'DB=α.若CD与AB不垂直,如图在△ABC中,过A作CD的垂线交线段CD或CD的延长线于点O,交BC于E,连结A'O,则∠A'OE为二面角A'CD B的平面角,即∠A'OE=α,因为AO=A'O,所以∠A'AO=,又A'D=AD,所以∠A'AD=∠A'DB.而∠A'AO是直线A'A与平面ABC所成的角,由线面角的性质知∠A'AO<∠A'AD,则有α<∠A'DB,综合有∠A'DB≥α,故选B.法二若CA≠CB,则当α=π时,∠A'CB<π,排除D;当α=0时,∠A'CB>0,∠A'DB>0,排除A、C,故选B.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(2015高考浙江卷,理9)双曲线-y2=1的焦距是,渐近线方程是.解析:双曲线-y2=1中,a=,b=1,所以2c=2=2.其渐近线方程为y=±x,即y=±x,也就是y=±x.答案:2y=±x10.(2015高考浙江卷,理10)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-311.(2015高考浙江卷,理11)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是 .解析:f(x)=sin2x+sin xcos x+1=+sin 2x+1=(sin 2x-cos 2x)+=sin2x-+.易知最小正周期T==π.当+2kπ≤2x-≤π+2kπ(k∈Z),即+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)时,f(x)单调递减,所以f(x)的单调递减区间为π+kπ,π+kπ(k∈Z).答案:ππ+kπ,π+kπ(k∈Z)12.(2015高考浙江卷,理12)若a=log43,则2a+2-a= .解析:因为a=log43=log2,所以2a+2-a=+=+=.答案:13.(2015高考浙江卷,理13)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.解析:如图所示,连结ND,取ND的中点E,连结ME,CE,则ME∥AN,则异面直线AN,CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN=1,AN=2,所以ME=,又CM=2,DN=2,NE=,所以CE=,则cos∠CME===.答案:14.(2015高考浙江卷,理14)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.解析:因为x2+y2≤1,所以6-x-3y>0,令t=|2x+y-2|+|6-x-3y|,当2x+y-2≥0时,t=x-2y+4.点(x,y)可取区域Ⅰ内的点(含边界).通过作图可知,当直线t=x-2y+4过点A,时,t取最小值,所以t min=-+4=3.当2x+y-2<0时,t=8-3x-4y,点(x,y)可取区域Ⅱ内的点(不含线段AB).通过作图可知,此时t>8-3×-4×=3.综上,t min=3,即|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.答案:315.(2015高考浙江卷,理15)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=,若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+y e2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0= ,y0= ,|b|= .解析:法一因为e1,e2是单位向量,e1·e2=,所以cos <e1,e2>=,又因为0°≤<e1,e2>≤180°,所以<e1,e2>=60°.不妨把e1,e2放到空间直角坐标系O xyz的平面xOy中,设e1=(1,0,0),则e2=,,0,再设=b=(m,n,r),由b·e1=2,b·e2=,得m=2,n=,则b=(2,,r).而xe1+ye2是平面xOy上任一向量,由|b-(xe1+ye2)|≥1知点B(2,,r)到平面xOy的距离为1,故可得r=1,则b=(2,,1),所以|b|=2.又由|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1知x0e1+y0e2=(2,,0),解得x0=1,y0=2.法二由题意可令b=x0e1+y0e2+e3,其中e3⊥e i,i=1,2,由b·e1=2得x0+=2,由b·e2=得+y0=,解得x0=1,y0=2,所以|b|==2.答案:1 2 2三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)(2015高考浙江卷,理16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解:(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π),得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin+C,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.17.(本小题满分15分)(2015高考浙江卷,理17)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求二面角A1BD B1的平面角的余弦值.(1)证明:设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因为AB=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,所以A1AED为平行四边形.故A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)解:法一作A1F⊥BD且A1F∩BD=F,连结B1F.由AE=EB=,∠A1EA=∠A1EB=90°,得A1B=A1A=4.由A1D=B1D,A1B=B1B,得△A1DB与△B1DB全等.由A1F⊥BD,得B1F⊥BD,因此∠A1FB1为二面角A1BD B1的平面角.由A1D=,A1B=4,∠DA1B=90°,得BD=3,A1F=B1F=.由余弦定理得cos∠A1FB1=-.法二以CB的中点E为原点,分别以射线EA,EB为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系E xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:A1(0,0,),B(0,,0),D(-,0,),B1(-,,).因此=(0,,-),=(-,-,),=(0,,0).设平面A1BD的法向量为m=(x1,y1,z1),平面B1BD的法向量为n=(x2,y2,z2).由即可取m=(0,,1).由即可取n=(,0,1),于是|cos<m,n>|==.由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,故二面角A1BD B1的平面角的余弦值为-.18.(本小题满分15分)(2015高考浙江卷,理18)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.(1)证明:由f(x)=x+2+b-,得对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得-≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(-1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)解:由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.19.(本小题满分15分)(2015高考浙江卷,理19)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解:(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得+x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①将线段AB中点M,代入直线方程y=mx+,解得b=-.②由①②得m<-或m>.(2)令t=∈-,0∪0,,则|AB|=·,且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|·d=≤.当且仅当t2=时,等号成立.故△AOB面积的最大值为.20.(本小题满分15分)(2015高考浙江卷,理20)已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:≤≤(n∈N*).证明:(1)由题意得a n+1-a n=-≤0,即a n+1≤a n,故a n≤.由a n=(1-a n-1)a n-1得a n=(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a1)a1>0.由0<a n≤得==∈(1,2],即1≤≤2.(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①由-=和1≤≤2得1≤-≤2,所以n≤-≤2n,因此≤a n+1≤(n∈N*).②由①②得≤≤(n∈N*).。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)
，y0=
，
|=
．
2
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ，b2﹣a2=r毘c2． （1）求 tanC 的值； （2）若△ABC 的面积为 3，求 b 的值．
பைடு நூலகம்
毘
19．（15 分）已知椭圆 毘 b t毘 （1）求实数 m 的取值范围；
r r 上两个不同的点 A，B 关于直线 y=mx+毘对称．
（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．
20．（15
分）已知数列{an}满足
r a1=毘且
an+1=an﹣an2（n∈N*）
（1）证明：1≤ ≤2（n∈N*）；
，f（x）的最小值是
．
毘 b r ， ＜r
11．（6 分）函数 f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是
，单调递减区间是
．
12．（4 分）若 a=log43，则 2a+2﹣a=
．
13．（4 分）如图，三棱锥 A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，
A．8cm3
B．12cm3
毘 C．
D．
3．（5 分）已知{an}是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3，a4，a8 成等比数列，则（ ） A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 4．（5 分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且 f（n）≤n”的否定形式是（ ） A．∀n∈N*，f（n）∉N*且 f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或 f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且 f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或 f（n0）＞n0 5．（5 分）如图，设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D 是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ． [0，1） B ． （0，2] C ． （1，2） D ． [1，2] 考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析： 求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答： 解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0， 解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2）， ∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2）， 故选：C ． 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ． 12cm 3C ．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2答： 的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ． 点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列． 分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号． 解答： 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ，由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B ．点评： 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分根据全称命题的否定是特称命题即可得到析： 结论． 解答： 解：命题为全称命题， 则命题的否定为：∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f（n 0）＞n 0， 故选：D ． 点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：直线与圆锥曲线的关系．专圆锥曲线的定义、性质与方程．题： 分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可． 解答： 解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于E ，交y 轴于M ， 由抛物线的定义知BF=BD ，AF=AE ， 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1， |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1， 则===，故选：A点评： 本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析： 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可． 解答： 解：命题①：对任意有限集A ，B ，若“A ≠B ”，则A ∪B ≠A ∩B ，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），故“d （A ，B ）＞0”成立，若d （A ，B ）＞0”，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），则A ∪B ≠A ∩B ，故A ≠B 成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A 点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答： 解：A ．取x=0，则sin2x=0，∴f （0）=0； 取x=，则sin2x=0，∴f （0）=1；∴f （0）=0，和1，不符合函数的定义； ∴不存在函数f （x ），对任意x ∈R 都有f （sin2x ）=sinx ；B ．取x=0，则f （0）=0； 取x=π，则f （0）=π2+π；∴f （0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；C ．取x=1，则f （2）=2，取x=﹣1，则f （2）=0；这样f （2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；D ．令|x+1|=t ，t ≥0，则f （t 2﹣1）=t ； 令t 2﹣1=x ，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f （x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析： 解：画出图形，分AC=BC ，AC ≠BC 两种情况讨论即可．解答： 解：①当AC=BC 时，∠A ′DB=α； ②当AC ≠BC 时，如图，点A ′投影在AE上，α=∠A ′OE ，连结AA ′， 易得∠ADA ′＜∠AOA ′，∴∠A ′DB ＞∠A ′OE ，即∠A ′DB ＞α 综上所述，∠A ′DB ≥α， 故选：B ．点评： 本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2 ，渐近线方程是 y=±x ． 考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=， ∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x ．故答案为：2；y=±x ． 点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= 0 ，f （x ）的最小值是 ．考函数的值．点： 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：根据已知函数可先求f （﹣3）=1，然后代入可求f （f （﹣3））；由于x ≥1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=lg （x 2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解 解答：解：∵f （x ）=，∴f （﹣3）=lg10=1，则f （f （﹣3））=f （1）=0， 当x ≥1时，f （x ）=，即最小值，当x ＜1时，x 2+1≥1，（x ）=lg （x 2+1）≥0最小值0，故f （x ）的最小值是． 故答案为：0；．点评： 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π+，k π+]（k ∈Z ） ． 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间． 解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的评： 周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log 43，则2a +2﹣a = ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析： 直接把a 代入2a +2﹣a ，然后利用对数的运算性质得答案．解答： 解：∵a=log 43，可知4a =3， 即2a =，所以2a +2﹣a =+=．故答案为：．点评： 本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析： 连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME 说明异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可． 解答： 解：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ， ∵AN=2，∴ME==EN ，MC=2， 又∵EN ⊥NC ，∴EC==，∴cos ∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆． 分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ， 如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评： 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x ，y ∈R ，，则x 0=1 ，y 0=2 ，|= 2 ． 考点： 空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t ），可得|﹣（|2=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1，由模长公式可得|．解答： 解：∵•=||||cos ＜•＞=cos ＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m ，n ，t ）， 则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t ）， ∵﹣（）=（﹣x ﹣y ，，t ）， ∴|﹣（|2=（﹣x ﹣y ）2+（）2+t 2 =x 2+xy+y 2﹣4x ﹣5y+t 2+7=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1， 此时t 2=1，故|==2故答案为：1；2；2 点评： 本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，b 2﹣a 2=c 2．（1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ． 解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π）， ∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评： 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可． 解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ； （2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评： 本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2； （2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a|+|b|的最大值． 考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析： （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明； （2）讨论a=b=0以及分析M （a ，b ）≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，进一步求出|a|+|b|的求值． 解答： 解：（1）由已知可得f （1）=1+a+b ，f （﹣1）=1﹣a+b ，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f （x ）在[﹣1，1]上单调， 所以M （a ，b ）=max{|f （1），|f （﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M （a ，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b ）﹣（1﹣a+b ）|≥|2a|≥|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x ∈[﹣1，1]．有﹣2≤x 2+ax+b ≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，易知|a|+|b|=max{|a ﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3． 点评： 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M （a ，b ）是|f（x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．可得△＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P ，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，可得S △OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答： 解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由题意，△=4m 2n 2﹣4（m 2+2）（n 2﹣2）=8（m 2﹣n 2+2）＞0， 设线段AB 的中点P （x 0，y 0），则．x 0=﹣m ×+n=， 由于点P 在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m 4+4m 2﹣4＞0， 解得m 2，∴或m ．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n 2（m 2﹣n 2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n 2=m 2﹣n 2+2，即2n 2=m 2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *），又∵a 2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a 1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）已知{an }是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nD．∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A． B．C． D．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f （x2+2x）=|x+1|8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a= ．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y∈R），则x=，y= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）P）∩Q=（）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RA．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），P=（0，2），∴∁R∵Q=（1，2]，P）∩Q=（1，2），∴（∁R故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）已知{an }是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{an }的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nD．∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A． B．C． D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card （A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B 成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B ∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f （x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x ．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= 0 ，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x ≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）若a=log3，则2a+2﹣a= ．4【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．3，可知4a=3，【解答】解：∵a=log4即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 3 ．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y∈R），则x= 1 ，y= 2 ，|= 2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（）|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故==2故答案为：1；2；2【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y），则．x=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜an ≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=an ﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，故an≤，1≤．由an =（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜an≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵an ﹣an+1=，∴an＞an+1，∴＞1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=an ﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，累加，得Sn =++…+=a1﹣an+1，①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，≤（n∈N*）②，因此≤an+1由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)试题与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科)及答案解析版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D+3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，成等比数列，得．，∴∴=**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．==，6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；x=t=∴=8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线，c=，渐近线方程是±；±10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．，=）的最小值是；11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin），易得最小正周期，解不等式+﹣可得函数的单调递减区间．（sin2x+1sin），T==≤+≤，+]，]12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．，+=故答案为：13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．，=EN MC=2EC===．故答案为：．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，）处取得最小值，）处取得最小值x=y=15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•，不妨设=（，，，，由已知可解（，|﹣（|）（x+）（由模长公式可得解：∵=|||＞＜＞，•＞，不妨设（，，，=n=2，，解得n=，∴=，∵﹣（）（﹣∴|﹣（|﹣x（）（）（，故=2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：=可得sinC=，即可得出tanC=）由=×A=，由余弦定理可得：bc=．∴=．∴c．可得﹣cosC=．==2）∵×c=2∴=317．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．•==0AC=2，=）（，，，﹣，，﹣，，，（﹣，﹣）（﹣，=∵•又∵•的法向量为，得，得=的法向量为，得，得=，，＞=，的平面角的余弦值为﹣．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以或≥||2a|19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．y=mx+可得=，代入椭圆方程，可得，则×+n=上，∴+∴2，∴===，AOB=，又∵取得最大值为20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．≤可得通过利用数学归纳法可证明（≥（﹣，∴=，∴∴≤）由已知，=a++=下面证明：≥（﹣，+=，﹣=≤∴≤，均有≥∴=≥，（。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．[1，2]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．323cm3D．403cm33．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．|BF|−1|AF|−1B ．|BF|2−1|AF|2−1C ．|BF|+1|AF|+1D ．|BF|2+1|AF|2+16．（5分）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立7．（5分）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ．f （sin2x ）=sinxB ．f （sin2x ）=x 2+xC ．f （x 2+1）=|x +1|D ．f （x 2+2x ）=|x +1|8．（5分）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A′CD ，所成二面角A′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ．∠A′DB ≤α B ．∠A′DB ≥αC ．∠A′CB ≤αD ．∠A′CB ≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线x 22﹣y 2=1的焦距是 ，渐近线方程是 ． 10．（6分）已知函数f （x ）={x +2x −3，x ≥1lg(x 2+1)，x ＜1，则f （f （﹣3））= ，f （x ）的最小值是 ．11．（6分）函数f （x ）=sin 2x +sinxcosx +1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．12．（4分）若a=log 43，则2a +2﹣a = ．13．（4分）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．14．（4分）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x +y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y |的最小值是 ．15．（6分）已知e →1，e →2是空间单位向量，e →1⋅e →2=12，若空间向量b →满足b →⋅e →1=2，b →⋅e →2=52，且对于任意x ，y ∈R ，|b →−(xe 1→+ye 2→)|≥|b →−(x 0e 1→+y 0e 2→)|=1（x 0，y 0∈R ），则x 0= ，y 0= ，|b →|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=π4，b 2﹣a 2=12c 2． （1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f （x ）=x 2+ax +b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a |≥2时，M （a ，b ）≥2；（2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a |+|b |的最大值．19．（15分）已知椭圆x 22+y 2=1上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx +12对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n }满足a 1=12且a n +1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤a n a n+1≤2（n ∈N *）； （2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)（n ∈N *）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x |x 2﹣2x ≥0}，Q={x |1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ）A ．[0，1）B ．（0，2]C ．（1，2）D ．[1，2]【解答】解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0，解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2），故选：C ．2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．8cm 3B ．12cm 3C ．323cm 3D ．403cm 3【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+13×2×2×2=323cm 3． 故选：C ．3．（5分）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞0【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ， 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+7d)，整理得：3a 1d =−5d 2．∵d ≠0，∴d =−35a 1，∴a 1d =−35a 12＜0， dS 4=−35a 1(4a 1+4×3(−35a 1)2)=−35a 1(4a 1−185a 1)=−6a 1225＜0． 故选：B ．4．（5分）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n”的否定形式是（ ）A ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞nB ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞nC ．∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0D ．∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0，故选：D ．5．（5分）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．|BF|−1|AF|−1B ．|BF|2−1|AF|2−1C ．|BF|+1|AF|+1D ．|BF|2+1|AF|2+1【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于D ，交y 轴于M ， 由抛物线的定义知BF=BD ，AF=AE ，则|BM |=|BD |﹣1=|BF |﹣1，|AN |=|AE |﹣1=|AF |﹣1，则S △BCF S △ACF =|BC||AC|=|BM||AN|=|BF|−1|AF|−1， 故选：A6．（5分）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立【解答】解：命题①：对任意有限集A ，B ，若“A ≠B”，则A ∪B ≠A ∩B ，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），故“d （A ，B ）＞0”成立，若d （A ，B ）＞0”，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），则A ∪B ≠A ∩B ，故A ≠B 成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立，故选：A7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=π2，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±√x+1；∴f(x)=√x+1；即存在函数f（x）=√x+1，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC ≠BC 时，如图，点A′投影在AE 上，α=∠A′OE ，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB ＞∠A′OE ，即∠A′DB ＞α综上所述，∠A′DB ≥α，故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线x 22﹣y 2=1的焦距是 2√3 ，渐近线方程是 y=±√22x ． 【解答】解：双曲线x 22−y 2=1中，a=√2，b=1，c=√3， ∴焦距是2c=2√3，渐近线方程是y=±√22x ． 故答案为：2√3；y=±√22x ．10．（6分）已知函数f （x ）={x +2x −3，x ≥1lg(x 2+1)，x ＜1，则f （f （﹣3））= 0 ，f （x ）的最小值是 2√2−3 ．【解答】解：∵f （x ）={x +2x −3，x ≥1lg(x 2+1)，x ＜1， ∴f （﹣3）=lg10=1，则f （f （﹣3））=f （1）=0，当x ≥1时，f （x ）=x +2x −3≥2√2−3，即最小值2√2−3，当x ＜1时，x 2+1≥1，f （x ）=lg （x 2+1）≥0最小值0，故f （x ）的最小值是2√2−3．故答案为：0；2√2−3．11．（6分）函数f （x ）=sin 2x +sinxcosx +1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [kπ+3π8，kπ+7π8]（k ∈Z ） ．【解答】解：化简可得f （x ）=sin 2x +sinxcosx +1=12（1﹣cos2x ）+12sin2x +1 =√22sin （2x ﹣π4）+32， ∴原函数的最小正周期为T=2π2=π，由2kπ+π2≤2x ﹣π4≤2kπ+3π2可得kπ+3π8≤x ≤kπ+7π8， ∴函数的单调递减区间为[kπ+3π8，kπ+7π8]（k ∈Z ） 故答案为：π；[kπ+3π8，kπ+7π8]（k ∈Z ）12．（4分）若a=log 43，则2a +2﹣a =4√33． 【解答】解：∵a=log 43，可知4a =3， 即2a =√3，所以2a +2﹣a =√3+√3=4√33． 故答案为：4√33．13．（4分）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 78．【解答】解：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ， ∵AN=2√2，∴ME=√2=EN ，MC=2√2，又∵EN ⊥NC ，∴EC=√EN 2+NC 2=√3， ∴cos ∠EMC=EM 2+MC 2−EC 22EM⋅MC=2×√2×2√2=78． 故答案为：78．14．（4分）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x +y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y |的最小值是 3 ． 【解答】解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y |=6﹣x ﹣3y ， 如图直线2x +y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x +y ﹣2≥0，即|2x +y ﹣2|=2x +y ﹣2， 此时|2x +y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y |=（2x +y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y +4，利用线性规划可得在A （35，45）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x +y ﹣2≤0， 即|2x +y ﹣2|=﹣（2x +y ﹣2），此时|2x +y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y |=﹣（2x +y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （35，45）处取得最小值3．综上可得，当x=35，y=45时，|2x +y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y |的最小值为3．故答案为：3．15．（6分）已知e →1，e →2是空间单位向量，e →1⋅e →2=12，若空间向量b →满足b →⋅e →1=2，b →⋅e →2=52，且对于任意x ，y ∈R ，|b →−(xe 1→+ye 2→)|≥|b →−(x 0e 1→+y 0e 2→)|=1（x 0，y 0∈R ），则x 0= 1 ，y 0= 2 ，|b →|= 2√2 ．【解答】解：∵e 1→•e 2→=|e 1→||e 2→|cos ＜e 1→•e 2→＞=cos ＜e 1→•e 2→＞=12， ∴＜e 1→•e 2→＞=π3，不妨设e 1→=（12，√32，0），e 2→=（1，0，0），b →=（m ，n ，t ），则由题意可知b →⋅e 1→=12m +√32n=2，b →⋅e 2→=m=52，解得m=52，n=√32，∴b →=（52，√32，t ），∵b →﹣（xe 1→+ye 2→）=（52﹣12x ﹣y ，√32−√32x ，t ），∴|b →﹣（xe 1→+ye 2→）|2=（52﹣12x ﹣y ）2+（√32−√32x ）2+t 2=x 2+xy +y 2﹣4x ﹣5y +t 2+7=（x +y−42）2+34（y ﹣2）2+t 2，由题意当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x +y−42）2+34（y ﹣2）2+t 2取最小值1，此时t 2=1，故|b →|=√(52)+(√32)+t =2√2故答案为：1；2；2√2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=π4，b 2﹣a 2=12c 2．（1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．【解答】解：（1）∵A=π4，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccos π4，∴b 2﹣a 2=√2bc ﹣c 2，又b 2﹣a 2=12c 2．∴√2bc ﹣c 2=12c 2．∴√2b=32c ．可得b =3√2c4，∴a 2=b 2﹣12c 2=58c 2，即a=√104c ． ∴cosC=a 2+b 2−c 22ab =58c 2+98c 2−c 22×√104c×3√24c =√55．∵C ∈（0，π）， ∴sinC=√1−cos 2C =2√55． ∴tanC=sinCcosC =2．或由A=π4，b 2﹣a 2=12c 2． 可得：sin 2B ﹣sin 2A=12sin 2C ，∴sin 2B ﹣12=12sin 2C ，∴﹣12cos2B=12sin 2C ，∴﹣sin (2B +π2)=sin 2C ，∴﹣sin [2(3π4−C)+π2]=sin 2C ，∴sin2C=sin 2C ， ∴tanC=2．（2）∵S △ABC =12absinC =12×√104c ×3√24c ×2√55=3，解得c=2√2．∴b =3√2c4=3．17．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点． （1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC=√2AC=2√2，A 1O=√AA 12−AO 2=√14，易知A 1（0，0，√14），B （√2，0，0），C （﹣√2，0，0）， A （0，√2，0），D （0，﹣√2，√14），B 1（√2，﹣√2，√14），A 1D →=（0，﹣√2，0），BD →=（﹣√2，﹣√2，√14），B 1D →=（﹣√2，0，0），BC →=（﹣2√2，0，0），OA 1→=（0，0，√14）， ∵A 1D →•OA 1→=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵A 1D →•BC →=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）解：设平面A 1BD 的法向量为m →=（x ，y ，z ），由{m →⋅A 1D →=0m →⋅BD →=0，得{−√2y =0−√2x −√2y +√14z =0，取z=1，得m →=（√7，0，1），设平面B 1BD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅B 1D →=0n →⋅BD →=0，得{−√2x −√2y +√14z =0−√2x =0，取z=1，得n →=（0，√7，1），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=2√2×2√2=18，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣18．18．（15分）已知函数f （x ）=x 2+ax +b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a |≥2时，M （a ，b ）≥2；（2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a |+|b |的最大值．【解答】解：（1）由已知可得f （1）=1+a +b ，f （﹣1）=1﹣a +b ，对称轴为x=﹣a2，因为|a |≥2，所以−a 2≤−1或−a2≥1， 所以函数f （x ）在[﹣1，1]上单调，所以M （a ，b ）=max {|f （1），|f （﹣1）|}=max {|1+a +b |，|1﹣a +b |}，所以M （a ，b ）≥12（|1+a +b |+|1﹣a +b |）≥12|（1+a +b ）﹣（1﹣a +b ）|≥12|2a |=|a |≥2；（2）当a=b=0时，|a |+|b |=0又|a |+|b |≥0，所以0为最小值，符合题意； 又对任意x ∈[﹣1，1]．有﹣2≤x 2+ax +b ≤2，得到﹣3≤a +b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，﹣2≤4b−a 24≤2，易知（|a |+|b |）max =max {|a ﹣b |，|a +b |}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意， 所以|a |+|b |的最大值为3．19．（15分）已知椭圆x 22+y 2=1上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx +12对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my +n ，代入椭圆方程x 22+y 2=1，可得（m 2+2）y 2﹣2mny +n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由题意，△=4m 2n 2﹣4（m 2+2）（n 2﹣2）=8（m 2﹣n 2+2）＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），则y 0=y 1+y 22=mn m 2+2．x 0=﹣m ×mn m 2+2+n=2n m 2+2，由于点P 在直线y=mx +12上，∴mn m 2+2=2mn m 2+2+12，∴n =−m 2+22m ，代入△＞0，可得3m 4+4m 2﹣4＞0，解得m 2＞23，∴m ＜−√63或m ＞√63．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，∴S △OAB =12|n||y 1−y 2|=12|n |•⋅√8(m 2−n 2+2)m 2+2=√2√n 2(m 2−n 2+2)(m 2+2)2， 由均值不等式可得：n 2（m 2﹣n 2+2）≤(n 2+m 2−n 2+22)2=(m 2+2)24，∴S △AOB ≤√2×√14=√22，当且仅当n 2=m 2﹣n 2+2，即2n 2=m 2+2，又∵n =−m 2+22m ，解得m=±√2，当且仅当m=±√2时，S △AOB 取得最大值为√22．20．（15分）已知数列{a n }满足a 1=12且a n +1=a n ﹣a n 2（n ∈N *）（1）证明：1≤a na n+1≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)（n ∈N *）． 【解答】证明：（1）由题意可知：a n +1﹣a n =﹣a n 2≤0，即a n +1≤a n ，故a n ≤12，1≤a na n+1．由a n =（1﹣a n ﹣1）a n ﹣1得a n =（1﹣a n ﹣1）（1﹣a n ﹣2）…（1﹣a 1）a 1＞0．所以0＜a n ≤12（n ∈N *），又∵a 2=a 1﹣a 12=12−14=14，∴a 1a 2=1214=2， 又∵a n ﹣a n +1=a n2，∴an ＞a n +1，∴a n a n+1＞1，∴a na n+1=a na n −a n 2=11−a n≤2，∴1≤a na n+1≤2（n ∈N *），综上所述，1＜a na n+1≤2（n ∈N *）；（2）由已知，a n 2=a n ﹣a n +1，a n−12=a n ﹣1﹣a n ，…，a 12=a 1﹣a 2，累加，得S n =a n 2+a n−12+…+a 12=a 1﹣a n +1，①由a n +1=a n ﹣a n 2两边同除以a n +1a n 得，1a n+1−1a n =a n a n+1和1≤a na n+1≤2，得1≤1a n+1−1a n≤2，累加得1+1+…1≤1a n+1−1a n +1a n ﹣1a n−1+…+1a 2﹣1a 1≤2+2+ (2)所以n ≤1a n+1﹣1a 1≤2n ，因此12(n+1)≤a n +1≤1n+2（n ∈N *） ②，由①②得12(n+2)≤S n n ≤12(n+1)（n ∈N *）．。
最新2015年高考浙江理科数学试题及答案解析
12015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）1 数学（理科）2 第Ⅰ卷（选择题 共40分）3 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一4 项符合题目要求．5 （1）【2015年浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ）6 （A ）[0,1) （B ）(0,2] （C ）(1,2) （D ）[1,2]7 【答案】C8 【解析】(][),02,P =-∞+∞，()0,2R P =，()()1,2R P Q ∴=，故选C ．9 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10 （2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的11 体积是（ ）12（A ）38cm （B ）312cm （C ）332cm 3 （D ）340cm 313 【答案】C14 【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱15 锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积3213222233V =+⨯⨯=，故选C ． 16【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能17 力．18 （3）【2015年浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成192等比数列，20 则（ ） 21 （A ）10,0n a d dS >>（B ）10,0n a d dS <<（C ）10,0n a d dS >< （D ）10,0n a d dS <>22 【答案】B23 【解析】因为245,,a a a 成等比数列，所以()()()211134a d a d a d +=++，化简得2150a d d =-<，24 ()224114646140dS d a d a d d d =+=+=-<，故选B ．25 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． 26 （4）【2015年浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ） 27 （A ）**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > （B ）**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > 28 （C ）**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > （D ）**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 29 【答案】D30 【解析】全称命题:p x M ∀∈，()p x 的否定是0:p x M ⌝∃∈，()0p x ⌝，所以命题31 的否定为：*0n N ∃∈，()*0f n N ∉ 或()00f n n >，故选D ．32 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．33 （5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不34 同的35 点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则n a 与ACF ∆的面积之比是（ ）36（A ）11BF AF --（B ）2211BF AF --（C ）11BF AF ++（D ）2211BF AF ++373【答案】A38 【解析】如图所示，抛物线的准线DE 的方程为1x =-，又由抛物线定义知39 BF BD =，AF AE =，11BM BD BF ∴=-=-，11AN AE AF =-=-，40 11BCF ACF BMBF S BC S AC AN AF ∆∆-∴===-，故选A ． 41【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键． 42 （6）【2015年浙江，理6】设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 43 表示有限44 集A 中的元素个数（ ）45 命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；46 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．47 （A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立 48 （C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立 49 【答案】A50 【解析】由题意，()()()(),20d A B card A card B card A B =+-≥，命题①：51 ()()(),0A B card AB card AB d A B =⇔=⇔=，(),0A B d A B ∴≠⇔>，命题①成立．52 命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：53 ()()(),,,d A C d A B d B C ≤+54()()()()()()()()()222card A card C card A C card A card B card AB card B cardC card BC ⇔+-≤+-++-55 ()()()()card A C card A B card B C card B ⇔≥+-56 ()()()()card AC card AC B card ABC card B ⇔≥--⎡⎤⎣⎦，因为574()0card A C ≥且()()()0card A C B card ABC card B --≤⎡⎤⎣⎦，故命题②成立，故选A ．58 【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各59 集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合60 的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题． 61 （7）【2015年浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）62 （A ）(sin 2)sin f x x = （B ）2(sin 2)f x x x =+ （C ）2(1)1f x x +=+ （D ）2(2)1f x x x +=+ 63 【答案】D64【解析】选项A ：当4x π=时，()21f =；当54x π=时，()21f =-； 65 选项B ：当4x π=时，()21164f ππ=+；当54x π=时，()22551164f ππ=+； 66选项C ：当1x =-时，()20f =；当1x =时，()22f =；或()21f x +为偶函数，然而1y x =+67 并不是偶函数；68 选项D ：()()222111f x x f x x +=+-=+，令1t x =+得()21f t t -=，0t ≥，再令21t m -=，69 则1t m =+，()1f m m =+，故函数()1f x x =+可以满足要求，故选D ． 70 【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解71 决问题的方法比较难．72 （8）【2015年浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆73 折成A CD '∆，74 所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）75 （A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥ （C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤765【答案】B 77 【解析】解法一：78 考查特殊值，用排除法，若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ，当0α=79 时，80 0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A ，C ，故选B ．81 解法二：82 ①当AC BC =时，A DB α'∠=；83 ②当AC BC ≠时，如图，点A '投影在AE 上，A OE α'=∠，连接AA '，易得ADA AOA ''∠<∠，84 A DB A OE ''∴∠>∠，即A DB α'∠>．85 综上所述，A DB α'∠≥，故选B ．86 【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．87 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）88 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．89（9）【2015年浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．90【答案】23；22y x =±91 【解析】2a =，1b =，焦距223c a b =+=，∴焦距为23，渐近线2b y x x a=±=±． 92 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．936（10）【2015年浙江，理10】已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小94值是 ． 95 【答案】0；396【解析】()()((3))log1011230f f f f -===+-=；当1x ≥时，()233f x x x=+-≥97（当x =时取最小值）当x =时取最小值，当1x <时，()()2log 1log10f x x =+≥=，98 2230-<，()fx ∴的最小值为3．99 【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．100 （11）【2015年浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调101 递减区间是 ． 102【答案】π；37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦103【解析】()21cos 213sin sin cos 1sin 2122242x f x x x x x x π-⎛⎫=++=++-+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期T π=； 104 单调递减区间：3222242k x k πππππ+≤-≤+，化简得3788k x k ππππ+≤≤+， 105 ∴单调递减区间：37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．106【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． 107 （12）【2015年浙江，理12】若2log 3a =，则22a a -+= ．1081097【解析】由2log 3a =可知43a =，即23a =，所以432233a a -+=+=． 110【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．111 （13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，112 点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 __．113【答案】78114 【解析】取ND 的中点E ，因为//ME AN ，则EMC ∠为异面直线AN ，CM 所115 成的角．22AN =，2ME NE ∴==，22MC =，又EN NC ⊥，116 223EC EN NC ∴=+=，7cos 82222EMC ∴∠==⨯⨯． 117【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．118 （14）【2015年浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值119 是 ． 120 【答案】3121 【解析】221x y +≤，630x y ∴-->，即6363x y x y --=--，122 如图，直线220x y +-=将直线221x y +=分成了两部分：123 ①在阴影区域内的(),x y 满足220x y +-≥，即2222x y x y +-=+-， 124 此时()()2263226324x y x y x y x y x y +-+--=+-+--=-+，125利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3；1268②在阴影区域外的(),x y 满足220x y +-≤，即()2222x y x y +-=-+-， 127 此时()()22632263834x y x y x y x y x y +-+--=-+-+--=--，128利用线性规划可知在34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值3． 129综上，当35x =，45y =时，2263x y x y +-+--的最小值为3．130 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方131 法，属于中档题．132（15）【2015年浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足133 1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，134 0y = ，b = ．135【答案】01x =，02y =，22b ==．136【解析】121212121cos ,cos ,2e e e e e e e e⋅===，12,3e e π∴=，不妨设11,2e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()21,0,0e =，137(),,b m n t =，则由题意知1122be m ⋅=+=，252b e m ⋅==，解得52m =，n，53,2b t ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 138()1251,22b xe yex y t ⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，139()2222125122b xe ye x y t ⎫⎛⎫∴-+=--++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭140 ()22222243457224y x xy y x y t x y t -⎛⎫=++--++=++-+ ⎪⎝⎭，由题意，当1e x x ==，2e y y ==时，141()22243224y x y t -⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭取到最小值1，此时21t =，故252b ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 1429【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．143 三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．144 （16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在()nf n n ≤中，内角**,()n N f n N ∀∈∉145 所对边分别为**,()n N f n N ∀∈∉．已知4A π=，22212b ac -=-．146（Ⅰ）求tan C 的值；147 （Ⅱ）若()nf n n ≤的面积为7，求b 的值．148 解：（Ⅰ）由22212b ac -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos2sin B C -=．又由4A π=，即34B C π+=，149得cos2sin22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =．150 （Ⅱ）由tan 2C =得25sin C =，5cos C =，又()sin sin sin 4B AC C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故310sin B =，151 由正弦定理得22c b =，又4A π=，1sin 32bc A =，故62bc =，故3b =．152【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公153 式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．154 （17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，155 090BAC ∠=，2AB AC ==，156 14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点．157（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；158 （Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值．15910解：解法一：160 （Ⅰ）设E 为BC 的中点，连1,A E AE ．由题1A E ⊥平面ABC ，故1A E AE ⊥．因AB AC =，故161 AE BC ⊥， 从而AE ⊥平面1A BC ．由,D E 分别11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且162 1DE B B =，163 从而1//DE A A ，且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ．又AE ⊥平164 面1A BC ，165 故1A D ⊥平面1A BC ．166 （Ⅱ）作1A F BD ⊥于F ，连1B F ，由题2AE EB ==，01190A EA A EB ∠=∠=，得114A B A A ==．167 由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆．由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠ 168 为二面角11A BD B --的平面角．由12A D =，14A B =，0190DA B ∠=，得32BD =，1691143A F B F ==，由余弦定理得111cos 8A FB =-． 170解法二：171 （Ⅰ）如图，以BC 中点为原点O ，CB 方向为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，1OA 为172 z 轴正方173 向，建立空间直角坐标系．2BC =，22AC =，221114AO AA AO =+=，易知 174 ()10,0,14A ，()2,0,0B，()2,0,0C -，()0,2,0A ，()0,2,14D -，()12,2,14B -，175()10,2,0A D =-，()2,2,14BD =--，()12,0,0B D =-，()22,0,0BC =-，176()10,0,14OA =，110A D OA ∴⋅=，11A D OA ∴⊥，又10A D BC ⋅=，1A D BC ∴⊥，又177111OA BC O =，1A D ∴⊥平面1A BC ．178 （Ⅱ）设平面1A BD 的法向量为()1111,,n x y z =，知11120n A D ⋅=-=，111120n BD ⋅=--+=，179 则180 取()17,0,1n =，设平面1B BD 的法向量为()2222,,n xy z =，则2122220n B D ⋅=-+=，1812220n BD ⋅=-=，则取()20,n =，1212121cos ,82n n n n n n ⋅∴===⋅，182又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为18-．183 【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法184 的积累，属于中档题．185 （18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记186 (),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值．187 （Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；188 （Ⅱ）当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值．189解：（Ⅰ）由()2224a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得||12a -≥，190故()f x 在[]1,1-上单调，因此()()(){},max |1|,|1|M a b f f =-．191 当2a ≥时，()()1124f f a --=≥，故()()4|1||1|f f ≤+-，()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即192 (),2M a b ≥；当2a ≤-时，()()1124f f a --=-≥，故()()4|1||1|f f ≤-+，193 ()(){}max |1|,|1|2f f ∴-≥，即(),2M a b ≥．综上，当||2a ≥时，(),2M a b ≥．19412（Ⅱ）由(),2M a b ≤得()|1||1|2a b f ++=≤，()|1||1|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，195 由()()||0||||||0a b ab a b a b ab ⎧+≥⎪+=⎨-<⎪⎩，得||||3a b +≤．当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在196 []1,1-197 的最大值为2，即()2,12M -=，故||||a b +的最大值为3．198 【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解199 (),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值，以及利用三角不等式变形．200（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两201 个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．202（Ⅰ）求实数m 的取值范围；203 （Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．204 解：（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB ：1y x b m=-+，代入椭圆方程并整理得205 ()()222224210m x mbx m b +-+-=． 因直线AB 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，故206 ()2222820m m m b ∆=+-> ①．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+得2072222m b m+=- ②．由①②得6m <-或6m >． 208（Ⅱ）令2130,2t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则21886||t t t AB +⋅-++=，且O 到AB 的距离为121t d t +=+，故AOB ∆209的面积()21112||22222S t AB d t ⎛⎫=⋅=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时，等号成立，故AOB ∆面积的最大21013． 211 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程212 联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、213 弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．214（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且215 ()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明：216（Ⅰ）()112nn a n N a ++≤≤∈； 217 （Ⅱ）()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 218 解：（Ⅰ）由题210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤．219由()111n n n a a a --=-得()()()12111110n n n a a a a a --=--->， 220故102n a <≤，从而(]111,21n n n a a a +=∈-，即112n n aa +≤≤． 221（Ⅱ）由题21n n n a a a +=-，故11n n S a a +=- ①．由1111=n n nn a a a a ++-和112n n aa +≤≤得，11112n na a +≤-≤，222故11112n n n a a +≤-≤，因此()()111212n a n N n n ++≤≤∈++ ②， 223由①②得()()()112221n S n N n n n +≤≤∈++． 224 【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形225 是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．226。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．[1，2]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1| 8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y0∈R），则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card （A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B 成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B ∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x ≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y0∈R），则x0=1，y0=2，|=2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（）|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故==2故答案为：1；2；2【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）【分析】y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．=，再利用均值（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB不等式即可得出．（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，【解答】解：可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，==|n|•=，∴S△OAB由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，△AOB解得m=，取得最大值为．当且仅当m=时，S△AOB【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=a1﹣a n+1，对a n+1=a n﹣a n2两边同除以a n+1a n采用累积法可求出a n+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：a n+1﹣a n=﹣a n2≤0，即a n+1≤a n，故a n≤，1≤．由a n=（1﹣a n﹣1）a n﹣1得a n=（1﹣a n﹣1）（1﹣a n﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴＞1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1，①由a n=a n﹣a n2两边同除以a n+1a n 得，和1≤≤2，+1得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n ≤﹣≤2n，≤（n∈N*）②，因此≤a n+1由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．第21页（共21页）。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析
2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．A ．B ．C ．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D 是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ． [0，1） B ． （0，2] C ． （1，2） D ． [1，2] 考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析： 求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答： 解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0， 解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2）， ∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2）， 故选：C ． 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ． 12cm 3C ．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥， 所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号．解解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，答： a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ，由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0． 故选：B ． 点评： 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0考点：命题的否定．专简易逻辑．题： 分析： 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答： 解：命题为全称命题， 则命题的否定为：∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f（n 0）＞n 0， 故选：D ． 点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可． 解答： 解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于E ，交y 轴于M ， 由抛物线的定义知BF=BD ，AF=AE ， 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1， |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1， 则===，故选：A点评： 本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析： 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答： 解：命题①：对任意有限集A ，B ，若“A ≠B ”，则A ∪B ≠A ∩B ，则card（A ∪B ）＞card （A ∩B ），故“d （A ，B ）＞0”成立，若d （A ，B ）＞0”，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），则A ∪B ≠A ∩B ，故A ≠B 成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答： 解：A ．取x=0，则sin2x=0，∴f （0）=0； 取x=，则sin2x=0，∴f （0）=1；∴f （0）=0，和1，不符合函数的定义； ∴不存在函数f （x ），对任意x ∈R 都有f （sin2x ）=sinx ；B ．取x=0，则f （0）=0； 取x=π，则f （0）=π2+π；∴f （0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；C ．取x=1，则f （2）=2，取x=﹣1，则f （2）=0；这样f （2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；D ．令|x+1|=t ，t ≥0，则f （t 2﹣1）=t ； 令t 2﹣1=x ，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f （x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析： 解：画出图形，分AC=BC ，AC ≠BC 两种情况讨论即可．解答： 解：①当AC=BC 时，∠A ′DB=α； ②当AC ≠BC 时，如图，点A ′投影在AE上，α=∠A ′OE ，连结AA ′， 易得∠ADA ′＜∠AOA ′，∴∠A ′DB ＞∠A ′OE ，即∠A ′DB ＞α 综上所述，∠A ′DB ≥α， 故选：B ．点评： 本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2 ，渐近线方程是 y=±x ． 考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=， ∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x ．故答案为：2；y=±x ． 点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= 0 ，f （x ）的最小值是 ．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：根据已知函数可先求f （﹣3）=1，然后代入可求f （f （﹣3））；由于x ≥1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=lg （x 2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解 解答：解：∵f （x ）=，∴f （﹣3）=lg10=1， 则f （f （﹣3））=f （1）=0，当x ≥1时，f （x ）=，即最小值，当x ＜1时，x 2+1≥1，（x ）=lg （x 2+1）≥0最小值0，故f （x ）的最小值是．故答案为：0；．点评： 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π+，k π+]（k ∈Z ） ． 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间．解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点评： 本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log 43，则2a +2﹣a = ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析： 直接把a 代入2a +2﹣a ，然后利用对数的运算性质得答案．解答： 解：∵a=log 43，可知4a =3， 即2a =，所以2a +2﹣a =+=．故答案为：．点评： 本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析： 连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME说明异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可． 解答： 解：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ， ∵AN=2，∴ME==EN ，MC=2， 又∵EN ⊥NC ，∴EC==，∴cos ∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专不等式的解法及应用；直线与圆．题： 分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评： 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x ，y ∈R ，，则x 0=1 ，y 0=2 ，|= 2 ． 考点： 空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t ），可得|﹣（|2=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1，由模长公式可得|．解答： 解：∵•=||||cos ＜•＞=cos ＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m ，n ，t ）， 则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t ），∵﹣（）=（﹣x ﹣y ，，t ）， ∴|﹣（|2=（﹣x ﹣y ）2+（）2+t 2 =x 2+xy+y 2﹣4x ﹣5y+t 2+7=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1， 此时t 2=1，故|==2故答案为：1；2；2 点评： 本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，b 2﹣a 2=c 2．（1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值． 考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ． 解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π）， ∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2． ∴=3． 点评： 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可． 解（1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原答：点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D⊥OA1，又∵•=0，∴A 1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A 1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评： 本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2； （2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a|+|b|的最大值． 考二次函数在闭区间上的最值．点： 专题：函数的性质及应用．分析： （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明； （2）讨论a=b=0以及分析M （a ，b ）≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，进一步求出|a|+|b|的求值． 解答： 解：（1）由已知可得f （1）=1+a+b ，f （﹣1）=1﹣a+b ，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f （x ）在[﹣1，1]上单调， 所以M （a ，b ）=max{|f （1），|f （﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M （a ，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b ）﹣（1﹣a+b ）|≥|2a|≥2； （2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x ∈[﹣1，1]．有﹣2≤x 2+ax+b ≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，易知|a|+|b|=max{|a ﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3． 点评： 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M （a ，b ）是|f（x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．可得△＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P ，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，可得S △OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答： 解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由题意，△=4m 2n 2﹣4（m 2+2）（n 2﹣2）=8（m 2﹣n 2+2）＞0， 设线段AB 的中点P （x 0，y 0），则．x 0=﹣m ×+n=，由于点P 在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m 4+4m 2﹣4＞0， 解得m 2，∴或m ．（2）直线AB 与x 轴交点纵坐标为n ，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n 2（m 2﹣n 2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n 2=m 2﹣n 2+2，即2n 2=m 2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评： 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *），又∵a 2=a 1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a 1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，第41页（共42页） 即（n ∈N *）． 点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；qiss；sxs123；maths；whgcn；cst；刘长柏；吕静；lincy；双曲线；孙佑中；changq（排名不分先后）菁优网2015年7月12日第42页（共42页）。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析
20１５年浙江省高考数学试卷（理科)一、选择题:本大题共８小题,每小题5分,共４0分2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学（理科)1.（5分)（2０1５•浙江）已知集合Ｐ=｛x|x２﹣2ｘ≥0｝,Q=｛x｜1＜ｘ≤2},则(∁RＰ）∩Q=（）Ａ. ［0，１) B. (0，2]C．(１，２）D．[１,2]2．(5分）(201５•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cｍ),则该几何体的体积是（）Ａ. ８cm3B．12cm３ C. D．3.(5分)（201５•浙江)已知{ａn｝是等差数列，公差ｄ不为零,前ｎ项和是S n,若a3，a4，a8成等比数列,则（）A. a1d＞0,dS4>0 B．a１ｄ<0,ｄS4<0 C. a1d＞0,dS４＜０D．a1d＜０,ｄS4>０4．（5分）(２015•浙江)命题“∀n∈N＊,ｆ(n)∈Ｎ*且f（n）≤n"的否定形式是( ) A．∀n∈N＊,f(n）∉N＊且f(n)>ｎB．∀n∈N*,f(ｎ)∉N*或ｆ(n)＞nC．∃n0∈N*,f(n０）∉Ｎ*且f(n0)>n0 D. ∃n0∈Ｎ*,f（n０）∉Ｎ*或f(n０)＞ｎ0５.(５分)（2015•浙江)如图,设抛物线ｙ2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,Ｂ,C，其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上,则△BＣＦ与△AＣＦ的面积之比是（）Ａ． B. C． D.６.(5分）（2015•浙江）设A,B是有限集,定义：d（A,B）=ｃａｒd(A∪B)﹣ｃard（A∩Ｂ），其中caｒｄ（A)表示有限集A中的元素个数（）命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d（A,Ｂ）＞0”的充分必要条件；命题②:对任意有限集A，B,C，d（A，C)≤d(A,B）+d(B，Ｃ）Ａ．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7.（5分）（201５•浙江)存在函数f(x)满足，对任意x∈R都有()Ａ．f(sin２x)=sｉｎx B. f(sin2x）=x2+ｘC. f(x2+1）=｜ｘ+1｜Ｄ. f（x２+2x)＝|x＋１|8．(5分）（2０15•浙江)如图,已知△ABC,D是AＢ的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则()A．∠Ａ′DＢ≤αB．∠A′ＤB≥α C. ∠A′CB≤α D. ∠Ａ′CB≥α二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．９.(6分）(２01５•浙江)双曲线=1的焦距是,渐近线方程是．1０.(6分)(2０１５•浙江)已知函数ｆ(ｘ）=,则ｆ（f（﹣3））=,ｆ(x）的最小值是．1１.（６分)(２0１５•浙江）函数f（x)=ｓin2x+sinxcosx＋1的最小正周期是,单调递减区间是．12．（４分）(２015•浙江）若a=ｌog４3，则2a+2﹣a＝．13.（4分)（2015•浙江)如图，三棱锥Ａ﹣BＣD中，AＢ=ＡC＝BD=CD=3,AD＝ＢC=2，点M，N分别是AD,ＢＣ的中点,则异面直线AN，ＣＭ所成的角的余弦值是．14.(4分）（2０15•浙江)若实数x,y满足x2+ｙ2≤1,则｜２x+y﹣２｜+｜6﹣x﹣3ｙ|的最小值是.15．(6分）(2０１5•浙江)已知是空间单位向量，,若空间向量满足,且对于任意ｘ，y∈Ｒ,，则ｘ０＝,ｙ0=，｜＝.三、解答题:本大题共５小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(1４分)(2０15•浙江）在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b,c，已知A＝，b2﹣a2=c２.（1）求tanC的值;（2)若△ABC的面积为3,求ｂ的值．１７．(15分)（2015•浙江)如图,在三棱柱ABC﹣A1Ｂ1Ｃ1中，∠BＡC=90°，AB=AC=2，A1Ａ=4，A１在底面ABC的射影为ＢC的中点，D是Ｂ1C1的中点．（１）证明:A1D⊥平面A1BC;（2)求二面角A1﹣BD﹣Ｂ１的平面角的余弦值.18.（１５分）(２０15•浙江)已知函数ｆ(x)=ｘ2＋ａx+b（ａ,b∈R）,记M(ａ，b)是｜ｆ（x)|在区间[﹣1,1]上的最大值．（1）证明：当｜a｜≥２时,M(a,b)≥2；(2)当ａ，ｂ满足M（a,b)≤２时，求｜a｜+|b|的最大值.19．(１5分)(２015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=ｍx+对称.（１)求实数m的取值范围;（2)求△ＡOB面积的最大值（O为坐标原点）.20.（1５分)(2０１5•浙江）已知数列{ａn}满足a1=且a n＋1=a n﹣aｎ2(n∈N*）(1)证明:1≤≤2(n∈N*）;(2)设数列{a n2｝的前n项和为Sｎ，证明（n∈Ｎ＊)．20１5年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题５分，共40分２015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学(理科）1．(5分)考点：交、并、补集的混合运算．专题: 集合．分析:求出P中不等式的解集确定出Ｐ,求出P补集与Ｑ的交集即可.解答：解：由Ｐ中不等式变形得:ｘ（x﹣2)≥0,解得:x≤0或x≥2，即Ｐ=(﹣∞,０］∪［2,+∞)，∴∁ＲP＝（０,2），∵Q=(1,2］,∴(∁R P)∩Q=(1,2）,故选:C．点评:此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.2．(5分)考点：由三视图求面积、体积.专题：空间位置关系与距离.分析:判断几何体的形状，利用三视图的数据,求几何体的体积即可．解答:解：由三视图可知几何体是下部为棱长为２的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：2３+×2×2×2=.故选:C.点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法,考查计算能力．3．(5分)考点：等差数列与等比数列的综合．专题: 等差数列与等比数列．分析:由ａ3，a4，a8成等比数列,得到首项和公差的关系，即可判断a1d和ｄS4的符号.解答:解:设等差数列{a}的首项为ａ1,则a3=ａ1+2d,a4=a1＋3ｄ,a８=a1+7d,ｎ由ａ3，a４，a８成等比数列，得,整理得:.∵ｄ≠0,∴,∴，=<0.故选:B.点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和，是基础题.4．(5分)考点: 命题的否定．专题：简易逻辑．分析:根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答:解:命题为全称命题,则命题的否定为:∃n０∈N*,f（n0)∉N*或f(n0)>n0,故选:Ｄ．点评:本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．(5分）考点: 直线与圆锥曲线的关系．专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可.解答：解:如图所示，抛物线的准线ＤＥ的方程为x=﹣1，过Ａ,B分别作AE⊥DE于Ｅ,交y轴于N,BD⊥ＤE于E,交y轴于Ｍ,由抛物线的定义知BF＝BD，ＡF=AE，则|BM|＝|BＤ|﹣１=｜BＦ|﹣1,|AN|＝|AE|﹣1=|AF｜﹣1，则===,故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.6.（5分)考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析:命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义,根据集合的运算,判断即可.解答:解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠Ａ∩B,则ｃaｒd（A∪B)>card（Ａ∩B）,故“d（Ａ，B)＞0”成立,若ｄ（A,B)＞0”，则ｃａrd（A∪B)>card(A∩B），则A∪B≠A∩B,故A≠B成立,故命题①成立，命题②，d(A,B)＝carｄ（A∪Ｂ）﹣carｄ（A∩B),d(B,Ｃ)=cａｒｄ(B∪C）﹣card（B∩C),∴d（A,Ｂ）+d(B，Ｃ)＝card（A∪B)﹣card（A∩Ｂ)+cａrd(Ｂ∪Ｃ)﹣caｒd（B∩C)=[ｃard(A∪Ｂ)＋card(Ｂ∪C）］﹣[card（A∩Ｂ)+caｒｄ(B∩C)］≥ｃａrd(A∪C)﹣caｒd(A∩C）=d(Ａ,C）,故命题②成立,故选:A点评:本题考查了,元素和集合的关系，以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分)考点: 函数解析式的求解及常用方法.专题: 函数的性质及应用.分析：利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.解答:解:Ａ.取ｘ=0,则ｓｉn2ｘ=0,∴f(0）=０;取x=，则siｎ2x=0,∴ｆ(0）=1；∴f(0）=0,和1，不符合函数的定义；∴不存在函数ｆ(x）,对任意x∈Ｒ都有f（sｉｎ2ｘ）=sinｘ;B．取x=0，则ｆ(0）＝0;取x=π，则f(０)=π2+π;∴f（０)有两个值,不符合函数的定义；∴该选项错误；C.取x=1,则ｆ（2）＝２，取x=﹣1,则f(2）=0;这样ｆ(2)有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误;D．令|x+1｜=t,t≥0,则f(t2﹣1）=t；令ｔ2﹣1=ｘ,则t=；∴;即存在函数ｆ（x)＝，对任意ｘ∈R，都有f（x2+2x)=｜x＋1|;∴该选项正确．故选:D.点评:本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8.（5分)考点: 二面角的平面角及求法．专题: 创新题型;空间角．分析:解：画出图形,分AC=ＢC,AC≠BC两种情况讨论即可．解答:解：①当AC=ＢC时,∠A′DB=α；②当AC≠BC时,如图，点Ａ′投影在AE上，α=∠Ａ′OE,连结AA′，易得∠ＡDA′＜∠AＯA′,∴∠A′DB>∠A′OE,即∠Ａ′DＢ>α综上所述,∠A′ＤB≥α,故选：Ｂ.点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累,属于中档题．二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9．（6分）考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答:解:双曲线=１中，ａ=,ｂ=1，c=，∴焦距是２ｃ＝2，渐近线方程是y=±x.故答案为:２;y=±ｘ.点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力,比较基础．10.（6分)考点: 函数的值．专题: 计算题；函数的性质及应用．分析:根据已知函数可先求ｆ(﹣３)＝1,然后代入可求f（f(﹣3)）;由于x≥1时，f(ｘ）=,当x<1时,f(ｘ)=lg（x2+1）,分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f(ｘ）＝，∴f(﹣3）=lｇ１0=1,则f（f(﹣3））＝ｆ（1)=0,当x≥1时，ｆ(x）=,即最小值,当x＜1时,x2+1≥1,（x）=ｌg(x２+1）≥0最小值０,故f(x）的最小值是．故答案为：0；．点评:本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题.１1．（6分）考点：两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题: 三角函数的求值.分析：由三角函数公式化简可得f（x)=ｓiｎ(2x﹣)+,易得最小正周期，解不等式2kπ＋≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答:解：化简可得ｆ(ｘ)＝sｉn２x+sinｘcｏsx+1=(1﹣ｃoｓ2ｘ）＋ｓin2ｘ＋１=sin（2x﹣)+，∴原函数的最小正周期为Ｔ＝=π,由2kπ+≤2x﹣≤2kπ＋可得kπ+≤x≤ｋπ＋,∴函数的单调递减区间为[kπ+,ｋπ+]（ｋ∈Ｚ)故答案为：π；［kπ+,ｋπ+]（k∈Z）点评:本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.12．(４分）考点: 对数的运算性质．专题: 函数的性质及应用．分析:直接把a代入2ａ+２﹣ａ，然后利用对数的运算性质得答案.解答:解:∵a=log43，可知4ａ=3，即2a=，所以2ａ+２﹣ａ=＋=.故答案为:.点评:本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13.（４分)考点: 异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析:连结ND,取ND 的中点为：Ｅ，连结ＭE说明异面直线AN，CM所成的角就是∠ＥＭC通过解三角形，求解即可．解答:解:连结ＮD,取ND 的中点为：E，连结ＭE,则MＥ∥AN，异面直线AＮ，ＣM所成的角就是∠EＭC,∵AN=２，∴ME==ＥＮ,MＣ＝２,又∵EN⊥NC，∴EC=＝，∴cｏs∠EＭC===．故答案为：.点评:本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.14．(４分)考点：函数的最值及其几何意义.专题: 不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x,y的范围,可得|6﹣x﹣3y｜=6﹣ｘ﹣3y，再讨论直线2ｘ+y﹣２=0将圆x２+y2=1分成两部分,分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值.解答:解:由ｘ２+ｙ2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|６﹣x﹣3y|＝6﹣ｘ﹣3y，如图直线2ｘ+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方(含直线),即有２ｘ+y﹣２≥０,即｜2＋y﹣2|=2ｘ＋y﹣2,此时|２x+ｙ﹣2|+|6﹣x﹣３y|=（２ｘ+y﹣2)+(6﹣x﹣３y）=x﹣2ｙ+４,利用线性规划可得在Ａ(，)处取得最小值3;在直线的下方(含直线)，即有2ｘ+y﹣2≤0,即｜2＋ｙ﹣2|=﹣(2x+y﹣2），此时|2x+y﹣２｜+|６﹣x﹣３y|=﹣（２x＋y﹣2)+(6﹣x﹣3ｙ)=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A(,)处取得最小值３.综上可得,当x=，y=时,|2x+y﹣２|＋|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为:3.点评：本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分)考点: 空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析:由题意和数量积的运算可得<•＞=，不妨设=（，,0),=(1,０,0),由已知可解=（，,t）,可得|﹣（｜２=（x＋)２+（y﹣2)2+t2，由题意可得当x＝ｘ0＝1,y=y０=2时,(ｘ+）2＋（ｙ﹣2)２+t２取最小值１,由模长公式可得｜．解答：解：∵•=｜||｜coｓ＜•>=ｃｏｓ＜•＞=，∴＜•＞＝，不妨设=(，，0）,=（1,0,0）,=(m，n，t),则由题意可知＝m+n=２,=m=，解得m=，ｎ＝,∴=(,，ｔ）,∵﹣（)=（﹣x﹣y,，t),∴｜﹣（|2=（﹣ｘ﹣y)2+（)２+ｔ2=ｘ2+xｙ+y2﹣４x﹣5y+ｔ2＋7=(ｘ+)２+（ｙ﹣2)２+t2，由题意当x=x0=1,y＝y0＝2时,(ｘ+)2+（ｙ﹣2）2+t2取最小值1，此时ｔ2=1，故|=＝2故答案为：1；２;2点评:本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式,属中档题.三、解答题：本大题共5小题,共7４分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（1４分)考点: 余弦定理.专题：解三角形．分析:(1)由余弦定理可得：，已知b２﹣a２=c2.可得,a＝.利用余弦定理可得coｓＣ.可得siｎＣ＝,即可得出taｎC=．(２)由=×=３,可得c，即可得出b．解答:解：(１）∵A=，∴由余弦定理可得:,∴ｂ2﹣a2=bc﹣c２，又ｂ２﹣a2=c2．∴bｃ﹣c2=c2．∴b= c.可得,∴a2=b2﹣=,即a＝．∴cosC＝==.∵C∈(0,π),∴sinＣ＝=．∴ｔanC＝=２．(２）∵＝×＝３,解得ｃ=2.∴=3．点评:本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．(1５分)考点: 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题: 空间位置关系与距离;空间角.分析:（１)以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过•＝•=0及线面垂直的判定定理即得结论；(２）所求值即为平面A１BD的法向量与平面B１BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可．解答：(1)证明:如图，以BＣ中点O为坐标原点,以OB、OA、OＡ1所在直线分别为ｘ、y、z轴建系.则BC=AC=２,A１O==，易知Ａ1（0,0,)，B（，0，0）,C(﹣，0,0）,Ａ（0，，0）,D（０，﹣,),B1（,﹣，),＝（0,﹣，0）,=(﹣，﹣,)，=（﹣,０，0）,=(﹣２，0,0）,＝（0，０，),∵•=0，∴A１Ｄ⊥OA1,又∵•=0，∴A1D⊥ＢＣ，又∵ＯＡ1∩ＢC＝O,∴Ａ1D⊥平面A1BC;(２）解:设平面A1BＤ的法向量为=（x,y，z)，由,得，取z=１,得=(,0,1),设平面B1BD的法向量为=（x,ｙ,z),由,得,取z=１，得=(0,，1)，∴coｓ<,>＝==,又∵该二面角为钝角,∴二面角Ａ１﹣ＢD﹣Ｂ1的平面角的余弦值为﹣.点评:本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累,属于中档题.１8．(15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题: 函数的性质及应用．分析:(1)明确二次函数的对称轴，区间的端点值,由ａ的范围明确函数的单调性,结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2)讨论ａ=b=0以及分析M（a，b)≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤ｂ﹣a≤１，进一步求出｜ａ|＋｜b|的求值.解答：解:(１）由已知可得f(1）=1+a+b,f（﹣1）＝１﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为｜ａ|≥2，所以或≥１,所以函数ｆ（ｘ)在[﹣1,1]上单调,所以M（a,b）=max｛|ｆ（１）,|ｆ(﹣1）｜}=max｛|１＋a＋ｂ|,|1﹣a＋b｜｝，所以Ｍ（a,b)≥（|1+a+b|＋|１﹣a+b｜）≥|(1+a＋ｂ)﹣(1﹣a+b）|≥｜2ａ|≥２;(2)当a=b=0时,｜a｜+｜b|=0又|a|+|ｂ|≥0,所以０为最小值，符合题意;又对任意x∈[﹣1,1］．有﹣２≤ｘ2+ax+b≤２得到﹣３≤a+ｂ≤1且﹣3≤ｂ﹣ａ≤１，易知|a｜+|b｜＝mａｘ{｜a﹣b｜,|a+ｂ｜}＝3，在b=﹣1,a=2时符合题意，所以｜ａ|+｜b|的最大值为3．点评:本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M(ａ,ｂ)是|f（x）|在区间［﹣１，１］上的最大值,以及利用三角不等式变形.１９．（15分)考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析：(1）由题意,可设直线AB的方程为ｘ=﹣my+n,代入椭圆方程可得（ｍ2＋2）y２﹣2mny+ｎ２﹣2＝０，设Ａ（x１，ｙ1),Ｂ(x2,ｙ２).可得△>0，设线段ＡB的中点P（x０，ｙ0)，利用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y＝mx＋，可得,代入△＞0，即可解出.(2）直线AB与x轴交点横坐标为n,可得S△OAB＝,再利用均值不等式即可得出．解答:解：(1）由题意,可设直线AB的方程为ｘ＝﹣mｙ+n,代入椭圆方程，可得（m2+2)y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1),B（x２，y2）.由题意,△＝4ｍ2ｎ２﹣4（m2＋２)(n2﹣2）=8（m2﹣n2+2)＞0,设线段AB的中点Ｐ（ｘ0,y0),则．x０=﹣m×＋n=，由于点Ｐ在直线ｙ=mx+上,∴=+，∴,代入△＞0，可得3m4+4m２﹣４>０，解得m2,∴或m．（2)直线AB与x轴交点纵坐标为n,∴Ｓ△OAＢ＝＝|n｜•＝，由均值不等式可得：n2(ｍ2﹣n2＋2）＝,∴S△AOB＝,当且仅当n２＝m2﹣n２+2,即2ｎ2=m２＋2，又∵,解得m=,当且仅当ｍ=时，S△AOB取得最大值为.点评:本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.(1５分）考点: 数列的求和；数列与不等式的综合．专题: 创新题型;点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1)通过题意易得0<a n≤(n∈N*),利用a n﹣a n+1=可得≥1,利用=＝≤2，即得结论；（２）通过=a n﹣ａn+1累加得S n=﹣a n+1,利用数学归纳法可证明≥a n≥(ｎ≥２)，从而≥≥，化简即得结论.解答:证明:（１）由题意可知：0<ａn≤(n∈Ｎ*）,又∵a2＝a1﹣=,∴==2,又∵aｎ﹣a n＋1=,∴aｎ＞a n＋１，∴≥１,∴==≤２,∴1≤≤2(n∈Ｎ*);(２）由已知,=a n﹣a n＋１,=aｎ﹣1﹣a n，…，=a1﹣a２,累加,得S n=++…＋=a１﹣ａｎ+1＝﹣ａn+１,易知当n=1时，要证式子显然成立；当ｎ≥2时，=.下面证明:≥ａｎ≥(n≥2）．易知当n＝2时成立,假设当n=ｋ时也成立，则a k＋１＝﹣+，由二次函数单调性知:a n+1≥﹣＋=≥,a n＋1≤﹣+=≤,∴≤≤，即当n＝k+1时仍然成立,故对n≥２，均有≥a n≥,∴=≥≥=，即(ｎ∈Ｎ＊）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.。
浙江省高考数学试卷(理科)试题与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科)及答案解析版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）+3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，成等比数列，得．，∴，=**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．==，6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card （A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；x=t==8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线，c=，渐近线方程是±；±10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．，=）的最小值是；11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin）++可得函数的单调递减区间．（sin2x+1sin），=≤+≤，，]，]12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．，+=故答案为：13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．AN=2ME=MC=2，EC==，EMC===故答案为：．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，）处取得最小值，）处取得最小值x=y=15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•，不妨设=（，，，=，由已知可解（，|﹣（|）（x+）（由模长公式可得解：∵=||||cos•＜•=•＞，不妨设（，，==n=2，=m=，m=n=∴（，﹣（）（﹣，|﹣（|﹣x）（）（，故=2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：c可得sinC=，即可得出tanC=）由=×A=，∴由余弦定理可得：=．∴c b=．可得，﹣，即cosC=．=tanC=）∵=×c=2=317．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．•==0AC=2，=）（，，，﹣，，﹣，），，（﹣，﹣）（﹣，，=••=0的法向量为，得，得=的法向量为，得，得=，，＞==．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以或≥||2a|19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．，可得=，代入椭圆方程，可得，则×+n=上，∴+2，∴m=|n|=，AOB=，又∵．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．≤可得通过﹣≥（≥，化简即得结论．（﹣，∴=2，∴≤）由已知，=a++=下面证明：≥（﹣，+=，﹣=≤≤，即当，均有≥=≥，（。
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2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】D点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ．12cm 3 C ．D ．考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ） A ． a 1d ＞0，dS 4＞0 B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点： 等差数列与等比数列的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号． 解答： 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ， 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C 在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转析：化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d （A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card （A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A 点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ．f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f（x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α 考点： 二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．考函数的值．点：专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x ）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间．解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点评： 本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a =．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R ，，则x0= 1，y 0=2，|=2．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y ，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π），∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2． ∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，）， =（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ； （2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f （x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m ×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m 2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB ==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB =，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB 取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *）， 又∵a 2=a 1﹣=，∴==2，又∵a n ﹣a n+1=，∴a n ＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n ∈N *）；（2）由已知，=a n ﹣a n+1，=a n ﹣1﹣a n ，…，=a 1﹣a 2， 累加，得S n =++…+=a 1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立； 当n ≥2时，=．下面证明：≥a n ≥（n ≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k 时也成立，则a k+1=﹣+， 由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥， a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n ≥2，均有≥a n ≥， ∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ．[0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．8cm 3 B ．12cm 3 C ．D ．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ． f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= ，f （x ）的最小值是 ．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n ，证明（n∈N*）．41。