数学史复习

9.微积分的创立
17世纪 牛顿 莱布尼茨 背景和动因
四类问题: 1)求变速运动的瞬时速度 2)求曲线的切线 3)求函数的最大值和最小值 4)求曲线的长度和曲线围成的面积
前驱工作: 开普勒与旋转体体积、 卡瓦列里不可 分量原理、笛卡儿求切线的“圆法”、 费马求极 值的代数方法、巴罗“微分三角形”、 沃利斯 “无穷算术”
亚里士多德学派
亚里士多德(公元前384—322 )是柏拉图的学生。 公元前335 年建立了自己的学派, 因讲学于雅典 吕园，又称吕园学派。
亚历山大时期的数学
这一阶段以公元前30 年罗马帝国吞并希腊为分界, 分为前后两期. 亚历山大前期出现了希腊数学的黄 金时期, 代表人物是名垂千古的三大几何学家:欧 几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯. 他们的成就标 志了古典希腊数学的颠峰.
圆面积)，得到圆周率的近似值157/50。
刘徽这种“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以 至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”的思 想体现了他的极限思想。
祖暅原理
“幂势既同, 则积不容异.” 这就是所谓的祖暅原 理.也就是“等高处横截面积常相等的两个立体, 其 体积也必然相等”. 这一原理在欧洲由意大利数学 家卡瓦列里于17世纪重新发现, 所以西文文献一 般称该原理为卡瓦列里原理.为了纪念祖冲之父子 发现这一原理的重大贡献, 人们也称该原理为 "祖 暅原理”.
（1）勾股定理的特例或普遍形式（中国最早关于 勾股定理的书面记载）
（2）测太阳高或远的“陈子测日法”
《九章算术》的编排形式和主要内容及其重大意义
《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非 常重要的地位. 它经过许多人整理而成, 大约成书 于东汉时期.
编排形式:全书采用问题集的形式，收有246个与 生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题 有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤， 但没有 证明), 有的是一题一术，有的是多题一术或—题 多术. 这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、 粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程 及勾股九章.
加、减、乘、除 分数运算 把分数化为单位分数 之和，利用数表进行。 古埃及人的几何知识 会计算正方形、矩形、等腰梯形和圆等图形的面 积；知道正四棱台体积的计算方法. 古埃及人的代数知识 会解一些特殊的一元一次方程和特殊的方程组
3.美索不达米亚数学
楔形文字泥板 古巴比伦的记数法
楔形文字 六十进位制 位值制 没有表示零的记号 古巴比伦的算术知识
毕达哥拉斯学派的主要数学成就
一)算术上的成就
二)几何上的成就
三)无理量的发现——第一次数学危机
伊利亚学派Βιβλιοθήκη Baidu以芝诺 (公元前490—前430) 为代表.
提出四个著名的悖论(二分说、追龟说、飞箭静止 说、运动场问题), 迫使哲学家和数学家深入思考 无穷的问题。
诡辩学派 主要代表人物有希比阿斯（约生于公
元前460 ）、安提丰 (约公元前480—411 )、布里 松(约公元前450 左右)等,均以雄辩著称. 诡辩学派 也称“ 智人学派” .
智人学派对几何作图的三大问题有很大贡献.
尺规作图的三大问题
化圆为方 作一正方形，使其与一给定的圆面积相 等。
倍立方体 求作一立方体的边，使该立方体的体积 为给定立方体的两倍。
分析、代数与几何并列成为数学的三大学科.
●微积分的发展
18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的. 他 在1748年出版的 《无限小分析引论》 以及随后 发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里 程碑式的著作。
在18世纪, 推进微积分及其应用, 贡献卓著的欧 洲大陆数学家中还特别要提到法国学派, 其代表 人物有克莱洛、 达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、 拉普拉斯和勒让德等.他们都在微积分发展史上 功不可没.
三等分任意角 分一个给定的任意角为三个相等的 部分。
雅典学院（柏拉图学派）
哲学家柏拉图 (公元前427— 前347 ) 在雅典创办 著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为 早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之 间联系的纽带。欧多克斯是该学园最著名的人物 之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约 量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德是形式 主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理 在严密的逻辑体系之中开辟了道路.
2）一次同余组的一般解法 中国剩余定理 秦九韶的大衍求一术
3）内插法 朱世杰“招差术”（即高次内插法)
4）高阶等差级数求和 垛积术
5）代数符号化的尝试
天元术
天元术是我国古代用专门的记号来表示未知数, 列一元高 次方程的方法. 用天元术列方程的方法与现代代数中列方 程法相类似,首先 “立天元一为某某”, 相当于 “设x为某 某”, 在筹算盘上列天元式,先确定未知数一次项系数的位 置,在其旁置一“元”字，其余各项按未知数幂次相对于 一次项上下递增或递减排列. 有时在常数项旁置一 “太” 字来代替在一次项旁置元.
《算经十书》
《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子 算经》《夏侯阳算经》《张丘建算 经》《缀术》 《五曹算经》、《五经算 术》《缉古算经》
宋元数学
中国传统数学的发展在宋元时代形成了高峰 宋元四大家 秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰 .
宋元数学的主要成就：
1）高次方程的数值解法 贾宪三角与增乘开方法 秦九韶的正负开方术
加、减、乘、除 能借助泥板的数表进行平方、立 方、开平方和开立方的运算。 古巴比伦的代数知识 会解二次方程、指数方程、给出了若干组素毕氏 三元数组(即勾股数组) ，还讨论了某些三次方程 和可化为二次方程的四次方程
古巴比伦的几何知识 有三角形相似及对应边成比例的知识，会计算简 单平面图形面积和简单立体体积.
数学史复习
1.数学史的意义与数学史的分期
数学史的科学意义 数学史的文化意义 数学史的教育意义
数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原 则 把数学史分成若干时期。通常采用的线索有： （1）按时代顺序； （2）按数学对象、方法等本身的质变过程; （3）按数学发展的社会背景.
2.古埃及的数学
莱茵德纸草书、莫斯科纸草书 古埃及人的记数法 用以10为基的象形数字记数 10进制 非位值制 古埃及人的算术知识
5. 中国古代的数学
中国数学从公元前后至公元14世纪,先后经历了三 次发展高潮,即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元 时期,其中宋元时期达到中国古典数学的顶峰.
记数法 10进制 位值制
《周髀算经》与《九章算术》
《周髀算经》编纂于西汉时期，它虽然是一本关 于 “盖天说”的天文学著作，但是至少包括两项 数学成就.
四元术
四元术是我国古代用专门的记号来表示未知数,列多元高 次方程组 (最多4元) 的方法和解法. 它由天元术发展而来. 四元术以 天、 地、人、物表示未知数. 在现存中国古算 书中，最早见于朱世杰著的《四元玉鉴》，书中以实际问 题为例，叙述列四元方程组和逐次消元，求解的方法.
中国数学的主要成就、特点
关于方程组理论
一是线性方程组与行列式的理论
主要内容 重大意义
阿基米德的数学成就
阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械 师.他在纯数学领域涉及的范围也很广, 其中一项 重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积 的精密求积法, 蕴含着微积分的思想.
阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线论》
阿波罗尼奥斯的《 圆锥曲线论》把前辈所得到的
圆锥曲线知识, 予以严格的系统化, 并做出新的贡 献, 对17 世纪数学的发展有着巨大的影响
18世纪微积分发展的一个历史性转折，是将函数 放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作 为微积分的主要对象。这一转折首先也归功于数 学家欧拉，是他首先明确宣布：“数学分析是关 于函数的科学，”微积分被看作是建立在微分基 础上的函数理论。
这一时期微积分深入发展的几个主要方面是：
（1）积分技术的推进和椭圆积分的产生与推
欧几里得与《几何原本》
欧几里得总结古典希腊数学， 用公理方法整理几 何学，写成13卷《几何原本》。这部划时代历史 巨著的意义在于它树立了用 公理法建立起演绎数 学体系的最早典范。
《几何原本》编排形式、主要内容及其重大意义
编排形式 欧几里得在前人的基础上, 选定了若干公理, 把当 时数学的几乎所有定理按逻辑顺序排列起来,并分 别给予论证, 使之成为一个完整的演绎体系, 它在 科学方法论上的意义已不仅限于数学.
主要成就 10进位值制,正负数,比例算法,四则运算,线性方程 组的解法一次同余式组的解法.高次方程的数值解 法, 设未知数列方程高阶等差级数, 极限理论,内插 公式, 圆周率,球体积求法,二项式系数 画法几何等 方面都是领先于世界的.
特点
1）以算法为中心，重视数学的应用。
2）具有较强的社会性。
3）寓理于算，理论高度概括。
（2）偏微分方程
达朗贝、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯等
（3）变分法
变分法的奠基人是数学家欧拉和拉格朗日
●18世纪的几何 微分几何的形成
克莱洛 欧拉 蒙日
● 18世纪的的代数
18世纪的代数学的主题仍是代数方程。 18世纪代数方程论发展的一个方向是关于代数基 本定理的证明，另一个方向是高次方程根式可解 性问题探讨，第三个方向是方程组理论。
关于代数基本定理的证明 代数基本定理（n次方程恰有n个根）最早是由荷 兰数学家吉拉尔于1629年提出的。
欧拉、拉格朗日等都先后试着证明都未成功。
代数基本定理的第一个实质性证明是由数学家高 斯（1799年）完成的.
关于高次方程根式可解性问题探讨
拉格朗日作了非常重要的工作:他在1770年发表长篇论文 《关于代数方程的思考》发 现了一般三、 四次方程的解 的“预解函数”,并猜测高次方程一般不能根式求解. 拉格 朗日最有启发性的思想是研究根的对称函数并考虑一个有 理函数当其变量置换时取值的个数.这蕴含了置换群的概 念.
主要内容 重大意义
刘徽、祖冲之的数学成就
刘徽割圆术的要领和思想
刘徽割圆术的要领是: 取半径为1尺的圆, 作其 内接正6边形, 然后逐渐倍增边数, 计算出同圆 内接正12边形、正24边形、正48边形、正96 边形和正192边形的面积. 并由不等式
s192 s s192 (s192 s96 ) (其中S为
古希腊数学的主要成就、特点与意义
希腊数学在世界数学史上首屈一指。希腊的创造 对现代西方文化及今日数学的基础都起了重要的 作用.主要成就有： 1)使数学成为抽象化学科. 这一重大贡献有其不可 估量的意义和价值. 2)坚持演绎证明. 3)完成了初等数学的主体. 4)视数学等同于物理世界的实质. 5)重视数学的美学价值.
4.古代希腊数学
几个人物 学派 观点
泰勒斯(约公元前625-前547)
创立爱奥尼亚学派 爱奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明,为
建立几何的演绎体系迈出了第一步. 毕达哥拉斯 (约公元前580-前500)
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派以 “万物皆数”作为信条，将数 学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊 独立的地位。
10、18世纪的数学
微积分的创立,被誉为“人类精神的最高胜利”. 在18世纪, 微积分进一步深入发展, 这种发展与 广泛的应用紧密交织在一起, 刺激和推动了许多 数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样 一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领 域. 在数学史上,18世纪可以说是分析的时代,也 是向现代数学过渡的重要时期.
6.印度数学的主要成就
印度数码的历史和传播 7.阿拉伯数学的主要成就
花拉子米与他的 《还原与对消计算概要》（即 《代数学》） 8.近代数学的兴起 三、四次方程求解 意大利数学家斐波那契 法国数学家韦达 法国数学家笛卡儿与费尔马 数学符号系统化 三角学、射影几何、计算技术与对数 解析几何的诞生
（2）微积分向多元函数的推广； （3）无穷级数理论进一步研究； （4）函数概念的深化； （5）微积分严格化的尝试。
● 微积分的应用与新分支的形成
18世纪数学的鲜明特征之一是微积分应用与力 学的有机结合. 一系列新数学分支在18世纪成 长起来，有常微分方程、偏微分方程和变分法.
（1）常微分方程 莱布尼茨 伯努利兄弟 欧拉 克莱洛 拉格朗日