长方体正方体专题练习

长方体正方体专题练习

芸桥培训学校 Eva 2018年5月18日

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长方体和正方体专题练习

第一部分：重点知识理解背诵

1、 长方体和正方体的特征

形体 面

顶点 棱 关系 长方体

6个 至少4个面

是长方形

相对面 完全相同 8个

12 条 相对的棱 长度相等 正方体 是特殊 的长方 体

正方体

6个 正方形

6个面 完全相同

8个 12 条

12条长度 都相等

2、表面积概念及计算 【长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积】

算法：长方体 （长×宽+长×高+宽×高）×2 （ab+ah+bh ）×2

正方体 棱长×棱长×6

a ×a ×6=62

a

注：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸

盒等。

3、体积概念及计算

体积（容积）

定义 形体 体积（容积） 计算方法 体积单位 进率

物体所占空间的 大小叫做它们的 体积；容器所能 容纳其它物体的 体积叫做它的容 积。

长方 体

V=ab h

V=S h

立方米 立方分米 立方厘米

13m =10003

dm 13

dm =1000

3

cm

=1L=1000mL

正方 体 V=

3

a

手指头的体积大约是1 cm ³，粉笔盒的体积大约是1 dm ³. 表面积的变化规律：（立方体的个数－1）×2＝少几个面

4、正方体的11种平面展开图

正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。 口诀：需背诵

正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141）

中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132、231） 中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222) 中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）

“田”“凹”应弃之

第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。

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口诀：中间四个面，上下各一面（上下面随便放）

第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。

口诀：中间三个面，一二隔河见（二三位置是固定的）

第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成

一排的正方形，只有1种。

口诀：中间二个面，楼梯天天见

第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的

正方形，只有1种。

口诀：中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）

第五：巧排除“7”、“凹”、“田” （这是错误的，没有这种展开图）

5、阿基米德原理：（求不规则物体的体积）

只要牢记水面上升是由于被放入的体积所引起的问题，就容易解决了。

(现高－原高)×底面积＝阿基米德的体积 6、物体浸液问题分三种情况：

阿基米德的体积＝(现高－原高)×底面积 V 物＝(h 现－h 原)×S 表

现高＝水体积÷改变后的底面积 现高＝水体积

改变后的底面积 h 现＝ V 水

S 新

h 现＝h 容

7、表面涂色的正方体的个数

（1） 3面涂色的小正方体都在大正方体顶点的位置，因此都是8个。

(2) 2面涂色的小正方体的都在大正方体的棱上，一条棱上至少2个，所以个数是12的倍数。 如果用n 表示把大正方体的棱平均分的份数，用a 表示2面涂色的小正方体的个数，公式为 a=(n-2)×12

(3) 1面涂色的小正方体的个数都是6的倍数。用表示b 一 面涂色的正方体的个数， 公式为 b=(n-2)(n-2)×6 （4）没有涂色的小正方体的个数，用表示b 没有涂色的正方体的个数公式为 b=(n-2)(n-2)×(n-2)

第二部分：专题巩固

1、长方体正方体展开图

1 2 3

4 5

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例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）

例2（2004扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.

(注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示.)

例3如图是3个完全相同的正方体的三种不同放置方式，下底面依次是＿＿＿＿＿＿。

例4小丽制作了一个如下左图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是 （ ）

例5 下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，•则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是_______。

2、长方体和正方体的转换问题

例1 一个长方体底面是一个边长为20cm 的正方形，高为40cm 。如果把它的高增加5m ，它的表面积会增加多少？

例2一个底面是正方形的长方体纸盒，将它的侧面展开正好是一个边长为6分米的正方形。做这个纸盒至少需要多少纸板？

例3 一块长方体木块，沿着高锯掉2cm 后，成为一个正方体，表面积减少40平方厘米。求原来长方体木块的体积。

例4 有一个长方体，从上面截下一个高是2cm 的长方体后正好得到一个正方体。正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了48平方厘米。求原来长方体的体积。

例5 一个长方体的高减少了2厘米后，它就变成了一个正方体，表面积比原来减少了32平方厘米。长方体的体积是多少？

B

A

C