《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计
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《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计
一、教材分析
1.教材的内容和地位
《正弦函数、余弦函数的性质》是人教A版数学必修4的第一章三角函数的内容,是学习了正弦函数、余弦函数的定义和图像之后,进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。该内容共两课时,这里讲的是第一课时,主要是探究正弦、余弦函数的定义域、值域(最值)和周期性,而对奇偶性、对称性和单调性的探究则放在第二节课。正弦函数、余弦函数的图象和性质是三角函数里的重要内容,也是高考热点考察的内容之一。本节课的学习过程中,数形结合的思想方法贯穿了本节内容的始终,利用图像研究性质,反过来再根据性质进一步地认识函数的图象,充分体现了数形结合的数学思想方法。
2.教学目标
根据《新课标》的具体要求,结合学生现有的认知水平,确定教学目标如下:
(1)知识与技能:通过观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质,并灵活应用性质解题;
(2)过程与方法:培养学生分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力,培养学生自主探究的能力,深化研究函数性质的思想方法;
(3)情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学的研究过程,感受数学的魅力。
3. 教学重点和难点
重点:通过观察正弦、余弦函数的图像研究正弦、余弦函数的性质;
难点:周期函数、最小正周期的意义。
二、学情分析
本课之前,学生已经学习了《必修一》,学习了函数的性质和研究函数的一般方法,学习了正弦函数、余弦函数的概念、图像以及诱导公式,这些都为本节课的学习打好了基础。函数的定义域、(最值)值域、奇偶性、单调性等性质,学生类比指数函数、对数函数、幂函数的研究方法不难由观察图像得出结论,但对于函数的周期性,学生是第一次接触,对概念的理解可能会有困难。
三、教法学法分析
1.教法分析
本节课以学生为主体,教师引导学生通过观察正弦函数图像,自主探究,总结规律,再类
比正弦函数得到余弦函数的相应结论,并能应用规律分析问题,解决问题。在教学中以引导启发为主,在学生观察比较的基础上,师生以问答形式共同研究探讨,让学生经历知识再发现、再创造的过程。
2. 学法分析
教师的“教”不仅要让学生“学会知识”,更重要的是要让学生“学会方法”,而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键。本节教学中通过观察函数图象,充分调动学生已有的学习经验,发现新的知识,把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。
四、教学过程分析
这节课的流程主要分为五个阶段:复习回顾;探究正弦函数的定义域、值域(最值);探究正弦函数的周期性;探究余弦函数的性质;巩固练习。
(一)、复习回顾,引入新知
师:回顾前面学习函数时,是如何研究它的性质?研究它的哪些性质?
生:(预计)先画图,通过观察图象得性质,主要研究函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、定点等
师:本节课我们只研究前三个问题,对其它性质的研究放在下节课。
PPT 展示画正弦函数图像
【设计意图】:通过复习,建立新旧知识间的联系,为通过观察函数图象研究函数性质做好准备,让学生对周期性有个直观的印象,为周期性的出现做好铺垫。
(二)、探究正弦函数的定义域、值域(最值)
师:观察正弦函数的图象,填写下表(学生回答,相互补充,师生一问一答间得出结论) 1(1)sin 1,(2)3sin 2,.
x y x x R y x x R =+∈=-∈例:求下列函数的最大值和最小值,并求出取最大值和最小值时的集合.; 【设计意图】:通过观察函数图像,结合已有知识和方法,学生自己归纳总结正弦函数的性质,培养学生自主探究、研究问题、解决问题的能力。
(三)、探究正弦函数的周期性
师:从正弦函数的作图过程中,我们发现正弦函数值具有“周而复始”的变化规律,这个规律是之前所学函数不具有的,我们用“周期性”来刻画这一规律。观察正弦函数的图象,发现将
正弦函数图象向左或向右平移2π个单位,图象保持不变,向左或向右平移4π个单位,图象也不变
(给出周期函数、周期的定义)
周期函数定义:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T 叫做这个函数的周期.
师:正弦函数的周期是多少?(2k π(k ∈Z 且k≠0))
师:概念中有哪些关键词?
(辨析概念) 思考:等式sin()sin 244π
+=π
π是否成立?如果成立,能不能说2π
是y=sinx 的周期?
判断下列说法是否正确:
(2)由诱导公式,所以的周期为2π;sin(2)sin 33x x +π=sin 3x
y =(1)时,则一定不是的周期;3x π=2sin()sin ,3
x x π+≠23π
sin y x =(
)(
)(3)若T(T≠0)是f(x) 的周期,则kT(k ∈Z 且k≠0)一定是f(x) 的周期;(
)
【设计意图】:引导学生关注定义中的关键词,从而加深对数学概念的理解.
例2:求下列函数的周期:
(1) y=3sinx(x ∈R); (2)y=sin2x(x ∈R); (2)y=2sin 1()26x π
-; (x ∈R)
变式练习:sin()(0,0)()y A x A x R =ω+ϕ≠ω≠∈ 结论:2sin(),(0,0)y A x A T π
=ω+ϕ≠ω≠=ω的周期是
【设计意图】:进一步加深对周期函数和周期的理解。
(四)、探究余弦函数的性质
PPT 展示正弦函数的性质(表格形式)
师:请画出余弦函数的图像,类比正弦函数的性质,试探究余弦函数的相关性质。 (学生活动:学生合作学习,得到余弦函数性质,完成表格)
(五)、巩固练习: