通信原理作业详解章

习题1.3 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms 。传送字母的符号速率为

Bd 10010

521

3

B =⨯⨯=-R 等概时的平均信息速率为

b 2004log log 2B 2B b ===R M R R

（2）平均信息量为

符号比特977.15

16

log 165316log 1634log 414log 412222=+++=H

则平均信息速率为 b 7.197977.1100B b =⨯==H R R

习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us 。试求码元速率和信息速率。

解：B 6B 11

8000 Bd 125*10

R T -=

== 等概时，s kb M R R B b /164log *8000log 22===

1.7 设一个接收机输入电路的等效电阻等于600欧姆，输入电路的带宽等于6MHz ，环境温度为23℃，试求该电路产生的热噪声电压有效值。 解：66231067.7106600)27323(1038.144--⨯≈⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==

kTRB V V

习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m ，试求其最远的通信距离。

解：由28D rh =，得

63849 km D =m 习题2.3 设有一信号可表示为：

4exp() ,t 0

(){0, t<0

t X t -≥=

试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。X (t )的傅立叶变换为：

(1)004

()()441j t t j t j t

X x t e dt e e dt e

dt j ωωωωω

+∞-+∞--+∞-+-∞====+⎰⎰⎰ 则能量谱密度 G(f)=2

()X f =2

22

416

114j f ωπ=

++ 注意：以后的作业都要求将ω展开为f π2。

习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)()f f πδ2cos 2+； (2)()a f a -+δ； (3)()2

ex p f

a -

解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )0≥，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6 试求X (t )=A cos t ω的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。

解：⎰-∞

→+⋅=2

22)(cos cos 1)(lim

T T T dt t t A T

R τωωτ ωτcos 2

2

A = 22

1)0(A R P =

= 下面的答案有疑问，最好是用课本中的式 2.2-40（该公式是针对确知信号

的），而用课本中的式2.6-3（该公式是针对随机信号的）是有疑问的。

解：R (t ，t+τ)=E [X (t )X (t+τ)] =E [[]cos *cos()E A t A t ωωτ+)](τω+t []2

21cos cos (2)cos ()22A A E t R ωτωτωττ=++== 功率P =R(0)=22

A

习题2.4 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。试求：

(1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t 解：(1)]2sin 2cos [)]([21t x t x E t X E ππ-= t x E t x E ππ2sin ][2cos ][21-= =0

])2sin 2cos [()]([2212t x t x E t X E ππ-=

]2sin 2sin 2cos 22cos [22

2

21221t x t t x x t x E ππππ+-= t x E t x E x E t x E πππ2sin ][4sin ][][2cos ][22

2

21221+-= )2sin 2(cos 222t t ππσ+= 2σ=

(2)因为21x x 和服从高斯分布，()21x x t X 和是的线性组合，所以()t X 也服从高

斯分布，其概率分布函数()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=222exp 21

σσπx x p 。 (3)

()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--==

[]212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+= ()1222cos t t -=πσ

习题2.10 已知噪声()t n 的自相关函数()τ

τk -e 2

k R n =

，k 为常数。 (1)试求其功率谱密度函数()f P n 和功率P ；(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。 解：(1)222

()()2(2)k j j n n k k P f R e

d e e d k f τωτ

ωττττπ-+∞-+∞--∞

-∞

===+⎰

⎰