湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中

华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三年级期中检测数学（理）试题第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数2z 1i=-，则下列命题中正确的个数为 ①2=z ②i z -=1 ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是A ．20()(cos )xf x tdt =òB ．223()f x x x =+C ．21()2f x x x =+ D ．()()x x f x x e e -=- 3．已知集合2lg 2x A x y x ⎧-⎫==⎨⎬+⎩⎭，集合{}21B y y x ==-，则集合{x x A B 稳且}x A B 锨为A ．[]()2,12,-+∞ B ．()()2,12,-+∞C ．()[),21,2-∞-D ．(](),21,2-∞-4．下列说法正确的是A ．“,x y R "?，若0x y +?，则1x ¹且1y ?”是真命题B ．在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称．C ．命题“x R $?，使得2230x x ++<”的否定是“x R "?，都有2230x x ++>”D ．a R Î，“11a< ”是“1a >”的充分不必要条件 5．如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+uu u r uu u r uuu r，则实数m 的值为A ．19 B ．13C ．1D ．3 第5题图6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有31天，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为A ．2930 B ．1615 C ．13D ．15 7．若13tan ,(,)tan 242ππααα-=∈，则sin(2)4πα+的值为 A．10±BC．10 D．5±8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，,k b 为常数），若该食品在0C 的保鲜时间是192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是( )小时．A ．22B ．23C ．24D ．33 9．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如所示，为了得到()y f x =的图像需将cos 2y x =的图像A ．向右平移3π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度 10．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()4(x f x f =+，且]2,0[∈x 时，()sin 2sin f x x xππ=+，则方程0lg )(=-x x f 在区间[0,10]上根的个数是A ．18B ．19C ．10D ．9 11．在ABC V 和AEF V 中，B 是EF的中点，16AB EF BC CA ====，，，若2A B A E A C A F ??uu u r uu u r uu u r uu u r ，则EF uu u r 与BC uu ur 的夹角的余弦值为第9题图A ．12 B ．23 C ．34 D ．13- 12．设函数()()x x f x e x ae =-（其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点12,x x 12()x x <，则下列说法中正确的是A ．103a <<B ．201x <<C ．1(0)02f -<< D ．12()()0f x f x +>第II 卷二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．函数2lg(23)y x x =--+的单调递增区间是________．14．已知向量(6,2)a =-，(1,)b m =，且a b ⊥，则2a b -= ． 15．已知数列{}n a 的通项公式为219104n a n n =-+-，当123234a a a a a a +345a a a + 12n n n a a a ++++L 取得最大值时，n 的值为_________．16．若函数()y f x =满足b x a f x a f 2)()(=-++（其中220a b +?），则称函数)(x f y =为“中心对称函数”，称点),(b a 为函数()f x 的“中心点”．现有如下命题：①函数()sin 1f x x =+是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”()y f x =在R 上的“中心点”为()(),a f a ，则函数()()()F x f x a f a =+-是R 上的奇函数；③函数()32362f x x x x =-+-是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为()1,2；④函数x x x f cos 2)(-=是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为(,)2ππ．其中正确的命题是___ _____．（写出所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知向量(,cos())a sinx x π=-，(2cos ,2cos )b x x =r ，函数()1f x a b =?r r．（Ⅰ）求()f x 的对称中心； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值，并求出相应x 的值．18．（本小题满分12分)已知函数()f x ＝4log (41)x +＋kx (k R ∈)． （Ⅰ）当12k =-时，若方程()f x －m ＝0有解，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）试讨论()f x 的奇偶性．19．(本小题满分12分)已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试问{}nb n能否为等差数列，请说明理由； （III ）若数列{}n c 的通项公式为,24n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T ．20．（本小题满分12分)已知函数()-xf x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，函数()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3,OA km=,OB =90AOB?o ．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上（,M N 不与,A B 重合，M 在,A N 之间），且30MON?o ．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点,M N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN V 的面积最小，并求出最小面积．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1n na t =+(,,3,)n t N t t n t *∈≥≤，为常数． （Ⅰ）设1121111nn i i nS a a a a ===+++åL ，*n N Î，证明：(1)ln(1)n S t n >++； （Ⅱ）证明：1n a na e -<（e 为自然对数底数）；（Ⅲ）设1231()=()()()()nttt t t n kn k T a a a a a ==+++∑ ，*n N Î，试比较与n T 与1的大小关系，并说明理由．第21题图1． C 2． D 3． D 4． B5． A 6． B 7． C 8． C 9． A 10． B 11． B 12． C第II 卷二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上． 13． (3,1]--或(3,1)--14． 15． 9n = 16．①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）因为()1f x a b =?r r=2sin cos cos(π)2cos 1x x x x +-⋅+22sin cos 2cos 1x x x =-+=sin 2cos 2x x -)4x p- ………4分 所以()f x 的对称中心为(,0)()28k k Z ππ+∈ ……………5分（II ）由（I ）得，()f x =sin 2cos 2x x -)4x π-， …………7分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3π2,444x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=时，即8x 3π=时，()f x当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 的最小值是1-． …………10分 18．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）由m ＝()f x ＝4log (41)x+－12x ，∴m ＝441log 2x x+＝41log (2)2xx +． ∵1222xx +?，∴m ≥12． ……………………………………6分 （Ⅱ）依题意得定义域为R ,关于原点对称∵()f x =4log (41)x +＋kx ，()f x -=4log (41)x -+－kx ，令()()f x f x =-，得441log 41x x -++＝2kx -，即4log 4x ＝2kx -，∴2x kx =-对一切k R ∈恒成立． ∴12k =-时()()f x f x =-，此时函数()f x 是偶函数……………………9分 ∵0441(0)log (41)0log 22f k =+-⨯==，∴函数()f x 不是奇函数， 综上，当12k =-时，函数()f x 是偶函数；当12k ?时，函数()f x 是非奇非偶函数． …………12分 19、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1n =时，111222S a a =-⇒=，当2n ≥时，由112222n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，得：122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2n n a =；………………3分 （Ⅱ）{}nb n是等差数列，理由如下： ∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，{}n b n 是公差为1，首项为1的等差数列，且211n n bn b n n=+-⇒=；…7分 （Ⅲ）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n ----⋅⋅=-+=-⋅=-⋅01212123123474114(41)443474114(45)4(41)4n n n nn T n T n n --⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①② ①-②，得：012121644334444444(41)43(41)414nn nn n T n n --⋅-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅-所以27127499n n n T -=+⋅． ……………… ………12分20．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()xf x e a '=-．当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()ln ,a +∞上为增函数……4分（Ⅱ）当1a =时，()()()2x x g x x m e x e x x =---++，∵()g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10xxg x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，即11x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分令()11xx xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()()2221x x xxe xe e h x e --'==-()()221x x xe e x e---，令()2xL x e x =--，()10xL x e '=->在()2,+∞上恒成立，即()2xL x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->，∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴()()222121e h x h e +>=-，∴22211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是2221,1e e ⎛⎤+-∞ ⎥-⎝⎦． ………………12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）在ABO V中，因为390OA OB AOB==?o ，，所以60OAB ?o ， 在OAM V 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-?，所以OM =所以222cos 2OA OM AM AOM AO AM +-?=× 在OAN V 中，sin sin()sin(90)ONA A AON AOM????o cos AOM=? 在OMN V 中，由sin 30sin MN OM ONA =Ðo，得1724MN =；… ………6分 （Ⅱ）解法1：设,060AOMq q ?<<o o ，在OAM V 中，由sin sin OM OA OAB OMA =行，得2sin(60)OM q =+o， 在OAN V 中，由sin sin ON OA OAB ONA =行，得ON ==， 所以11sin 22OMN S OM ON MON =仔=V12＝2716sin(60)cos θθ+6060)4θ<<+．当26090θ+=，即15θ=时，OMN S V 的最小值为27(24-．所以应设计15AOM?o ，可使△OMN 2…12分解法2：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9，所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9， 由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝33x 2－3x ＋96－x， 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3，令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则：S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t )≥334·(2t ·27t －9)＝27(2－3) 4．当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4，所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4km 2．22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）即证：12111ln(1)(1)(1)(1)nn t a t a t a +++>++++，即证：1111ln(1)23n n++++>+， 设()ln(1)g x x x =-+，1()111x g x x x '=-=++， ∵当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当10x -<<时，()0g x '<，()g x 在(1,0)-上单调递减， ∴()ln(1)(0)0g x x x g =-+≥=（当且仅当0x =时等号成立）， 即0x >时，有ln(1)x x >+， ∴1113411ln 2ln ln lnln(1)2323n n n n+++++>++++=+， ∴12111(1)ln(1)n t n a a a +++>++ ……………………………4分（用数学归纳法给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当1x >-且0x ≠时，有ln(1)x x >+，即当0x >且1x ≠时，有1ln x x ->， 因为0111n n t a t t <=≤<++，所以 1ln n n a a ->， 即1n a na e -< ………………………………………8分（Ⅲ）1231()=()()()()1nt t t t t n k n k T a a a a a ==++++<åL ，理由如下：解法一：由（Ⅱ）知：123()()()()t t t t n a a a a ++++3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e ----<++++L 3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e ----=++++L2111(1)1t tn t t t t e e e-+++-=-22211111(1)111t t t t t t t t t t e e e e e--+++++--≤=--，设 1t t eq +=，因为3142t t q ee +=≥>，21111t t t t ee-++-∴=-1111111t t q q q q q ----=<<---， 所以1231()=()()()()1nttt t t n kn k T a a a a a ==++++<∑ ………………12分解法二：因为,*n t N ∈， 且n t ≤，所以1231231()=()()()()()()()()nt t t t t t t t t n k n t k T a a a a a a a a a ==++++?+++åL L12()()()111t t tt t t t=++++++L 下面用数学归纳法证明：*3,t tN 澄时，12()()()1111t t tt t t t+++<+++L ，即12(1)t t t t t t +++<+L ， ①当3t =时，左边333312336(13)=++=<+，即当3t =时不等式成立； ②假设当(3)t k k =?时不等式成立，即12(1)k k k kk k +++<+L ， 则当1t k =+时，111112(1)k k k k k k +++++++++L11122(1)kkkk k k k +=??+?+L1(1)(12)(1)kkkk k k k +<++++++L11(1)(1)(1)2(1)kk k k k k k ++<++++=+，11111112111()(1)1()()1111k k k k k k k C C k k k k +++++++=+=+++++++Q L 111121k C k +>+?+，11(2)2(1)k k k k ++\+>+， 1111112(1)2(1)(2)k k k k k k kkk k ++++++\+++++<+<+L， 所以当1t k =+时，不等式也成立； 综合①②*3,t t N 澄时，12(1)t t t t t t +++<+L ，即12()()()1111t t tt t t t+++<+++L 成立， 所以1231()=()()()()1nt tt t t n kn k T a a a a a ==++++<∑．。