湖北省武汉市2018届高三四月调研测试数学理试题含答案
湖北省武汉市2018届高三毕业生四月调研测试数学(文)试卷(含答案)
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i - 2.已知集合2{|20}A x x x =-<，{|lg(1)0}B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．(0,2]3.曲线1C ：221259x y +=与曲线2C ：221259x y k k+=--(09)k <<的（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 4.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-5.若x 、y 满足约束条件31230x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．1D ．3-6.从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（ ） A ．1415 B ．45 C ．35 D ．157.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B CA +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．2610.已知()f x 是R 上的奇函数，且(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，2()2f x x =，则()2f 7=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ） A ．[2,4]ππ B ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.已知(2,0)A ，(0,1)B 是椭圆22221x y a b+=的两个顶点，直线(0)y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =u u u r u u u r，则斜率k 的值为（ ）A ．23 B ．38 C ．23或38 D ．23或34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．14.已知向量a r ，b r 满足条件2a =r ，3b =r ，a r 与b r 的夹角为60o，则a b -=r r ．15.过点(1,1)P 作曲线3y x =的切线，则切线方程为 ．16.在四面体ABCD 中，1AC CB AB AD BD =====，且平面ABC ⊥平面ABD ，则四面体ABCD 的外接球半径R = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21342n n S S +=+. （1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； （2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）求异面直线1A E 与1C F 所成角的余弦值. （2）求四面体11EFC A 的体积.19.已知直线2y x =与抛物线Γ：22y px =交于O 和E 两点，且5OE =（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点(2,0)Q 的直线交抛物线Γ于A 、B 两点，P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M 、N 两点，问M 、N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？合格优秀 合计 男生 720女生 1020合计4000附：20()p k k ≥0.010 0.005 0.001 0k6.6357.87910.82822()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.21.（1）求函数ln ()xf x x=的最大值； （2）若函数()xg x e ax =-有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）.（1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市2018届高中毕业生四月调研测试文科数学参考答案一、选择题1-5: CBDAC 6-10: BBABA 11、12：CC二、填空题13.25 15. 32y x =-，3144y x =+ 16. 6三、解答题17.解：（1）∵21342n n S S +=+，可知311342S S =+，421342S S =+， 两式相减得：4214a a =，∴214q =，而0q >，则12q =.又由311342S S =+，可知：12311342a a a a ++=+，∴111113(1)2442a a ++=+，∴11a =.（2）由（1）知11()2n n a -=.∵12n n nb -=， ∴21231222n n nT -=+++⋅⋅⋅+，21112122222n n n n n T --=++⋅⋅⋅++. 两式相减得11112222n n n n T =++⋅⋅⋅+-1222n n n=--.∴1242n n n T -+=-.18.解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，延长DC 至M ，使1CM =，则//AE CM . ∴11//A E C M .∴1FC M ∠为异面直线1A E 与1C F 所成的角.在1FC M ∆中，11C F C M ==2FM =，∴14cos 521010FC M ∠==⋅.（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =.∴1//A E FN ，从而1//A N EF ，1//A N 平面1EFC ， ∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=.19.解：（1）由22y px =与2y x =，解得交点(0,0)O ，(,)2pE p ， ∴22()52pOE p =+=2p =. ∴抛物线方程为：24y x =.（2）设AB ：2x ty =+，代入24y x =中，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则2480y ty --=，∴121248y y t y y +=⋅⋅⋅⎧⎨⋅=-⋅⋅⋅⎩①②.设0(2,)P y -，则PA ：1001(2)2y y y y x x --=++， 令0y =，得01011()2M y y x y x y -=+③ 同理由BP 可知：02022()2N y y x y x y -⋅=+④由③×④得0102()()M N y y y y x x --⋅011022(2)(2)y x y y x y =++201201221122()4y x x y y x y x y y =+++2222212210012122()44444y y y y y y y y y y =+⋅+⋅+⋅2221201201212124164y y y y y y y y y y +=⋅++（其中128y y =-.） 20120124[(()]y y y y y y =-++，从而4M N x x ⋅=为定值. 20.解：（1）由题意，得：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=. ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）224000(720102011801080)1800220019002100K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯284000(540000)1822192110⨯=⨯⨯⨯⨯ 2000545473.8210.82818221921⨯⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为有关. 21.解：（1）对ln ()x f x x =求导数，21ln '()xf x x-=. 在0x e <<时，()f x 为增函数，在x e >时()f x 为减函数，∴1()()f x f e e ≤=，从而()f x 的最大值为1e. （2）①在0a =时，()xg x e =在R 上为增函数，且()0g x >，故()g x 无零点. ②在0a <时， ()xg x e ax =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g x 在R 上只有一个零点. ③在0a >时，由'()0xg x e a =-=可知()g x 在ln x a =时有唯一极小值，()()ln 1ln g a a a =-.若0a e <<，()()1ln 0g x a a =->极小，()g x 无零点， 若a e =，()0g x =极小，()g x 只有一个零点， 若a e >，()()1ln 0g x a a =-<极小，而(0)10g =>. 由（1）可知，ln ()xf x x=在x e >时为减函数， ∴在a e >时，2a e e a a >>，从而()20ag a e a =->. ∴()g x 在(0,ln )a 与(ln ,)a +∞上各有一个零点. 综上讨论可知：a e >时，()f x 有两个零点.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d =05cos()10ϕϕ=--.其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤. 在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤； 在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解； 在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立， 而22(1)x ax a x +--≤+， 或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =. ∴a 的取值为1或1-.。
湖北省武汉市2018届高三毕业生四月调研测试理科数学试题(解析版)
故选：A．
【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键．
4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为2，1，1的长方体的体对角线，进而得到答案．
A. B.ห้องสมุดไป่ตู้C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出0=loga1＜logab＜logaa=1，由此利用对数函数的单调性能比较m，n，l的大小．
【详解】∵实数a，b满足a＞b＞1，m=loga（logab）， ， ，
∴0=loga1＜logab＜logaa=1，
∴m=loga（logab）＜loga1=0，
14.已知向量 , , 满足 ,且 , , ,则 _________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据已知得到 ，再计算出 ，再化简 得解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过观察想到消元消去 .
点睛:本题主要考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对三角函数的图像性质等基础知识的掌握能力,考查学生数形结合分析推理的能力.要注意 ，这里不等式的右边不能取等，否则有可能有三个零点，这样与已知就不符了，写不等式一定要注意取等的问题.
12.过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 , , , 分别交 轴于 , 两点, 为坐标原点,则 与 的面积之比为( )
2018高三数学试题(理科)第三次诊断性考试(有答案)
6
【答案】 【解析】由三视图知：几何体是长方体中挖去一个半径为 1 的圆柱，且圆柱与长方体的高都 是 1， 长方体的长为 2+1+1=4，宽为 0.5+2+0.5=3， ∴几何体的体积 V=V 长方体﹣V 圆柱=4×3×1﹣π×12×1=12﹣π．
2. 设向量
，则实数 x 的值是
A. 0 B. 【答案】D
C. 2 D. ±2
【解析】向量
因为 ，由向量平行的坐标运算得到
故答案为：D。
3. 己知实数 满足约束条件
的最大值为
A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】根据不等式组画出可行域，可得可行域是一个封闭的三角形区域，记 和
交于点 A（1，1），目标函数化为
个公共点，则实数 k 的取值范围是
5
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题意知道函数 是偶函数，且满足
，故函数还是周期为 4 的函
数，根据表达式画出图像是定义在 R 上的周期性的图像，一部分是开口向下的二次函数，
一部分是一次函数，当 k>0 时，根据题意知两图像有两个交点，当直线
和图像
,
,相切时是一种临界，要想至少有 4 个交点，斜率要变小；所得各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变 B. 向左平移至 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变 C. 向左平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变 D. 向左平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变 【答案】A
当 k<0 时，临界是过点（-6，1）时，此时 ,要想至少有 4 个交点需要逆时针继续旋转，
湖北省武汉市2018届高三毕业生四月调研测试数学（理）试卷（含答案）
湖北省武汉市2018届⾼三毕业⽣四⽉调研测试数学（理）试卷（含答案）武汉市2018届⾼中毕业⽣四⽉调研测试理科数学⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.复数52i -的共轭复数是（） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ?，则实数a 的取值集合为（）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}-3.执⾏如图所⽰的程序框图，如果输⼊的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-4.某⼏何体的三视图如图所⽰，则在该⼏何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最⼤值为（） A ．3 B ．6 C ．23 D ．26 5.⼀张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09:中任选⼀个，某⼈在银⾏⾃动提款机上取钱时，忘记了密码最后⼀位数字，如果任意按最后⼀位数字，不超过2次就按对的概率为（）A ．25 B ．310C ．15D ．110 6.若实数a ，b 满⾜1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的⼤⼩关系为（）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >>7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右⽀有两个交点，则k 的取值范围为（）A ．B ．C ．(D ． 8.在ABC ?中，⾓A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B C A +≤，那么条件p 是条件q 成⽴的（）A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（） A ．6 B ．6- C ．24 D ．24-10.若x ，y 满⾜1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最⼩值为（）A ．2-B ．211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最⼤值点，则ω的取值范围为（） A ．[2,4]ππ B ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F两点，O 为坐标原点，则PEF ?与OAB ?的⾯积之⽐为（）A ．2B ．3C ．12D ．34⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．14.已知向量a r ，b r ，c r 满⾜20a b c ++=r r r ，且1a =r ，3b =r ，2c =r ，则22a b a c b c ?+?+?=r r r r r r ．15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为．16.在四⾯体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四⾯体体积最⼤时，它的外接球半径R = ．三、解答题：共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第22题～第23题为选考题，考⽣根据要求作答.（⼀）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满⾜：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥. （1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满⾜22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a . 18.如图，在棱长为3的正⽅体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）已知M 为棱1DD 上⼀点，且11D M =，求证：1B M ⊥平⾯11A EC .（2）求直线1FC 与平⾯11A EC 所成⾓的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜⾓互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的⽅程；（2）记AB CDλ=，求λ的取值范围. 20.在某市⾼中某学科竞赛中，某⼀个区4000名考⽣的参赛成绩统计如图所⽰.（1）求这4000名考⽣的竞赛平均成绩x （同⼀组中数据⽤该组区间中点作代表）；（2）由直⽅图可认为考⽣竞赛成绩z 服正态分布2(,)N µσ，其中µ，2σ分别取考⽣的平均成绩x 和考⽣成绩的⽅差2s ，那么该区4000名考⽣成绩超过84.41分（含84.81分）的⼈数估计有多少⼈？（3）如果⽤该区参赛考⽣成绩的情况来估计全市的参赛考⽣的成绩情况，现从全市参赛考⽣中随机抽取4名考⽣，记成绩不超过．．．84.81分的考⽣⼈数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②2(,)z N µσ:，则()0.6826P z µσµσ-<<+=，(22)0.9544P z µσµσ-<<+=；③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，a R ∈.（1）当a e =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围. （⼆）选考题：共10分.请考⽣在22、23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数⽅程]在平⾯直⾓坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，l 的极坐标⽅程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数⽅程为3cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通⽅程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最⼩，并求出最⼩值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成⽴，求实数a 的取值范围.武汉市2018届⾼中毕业⽣四⽉调研测试理科数学参考答案⼀、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12： CC⼆、填空题 13. 25 14. 13- 15. (0,)2π16. 6三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，⽽12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=.⽽20a >，则23a =. ⼜由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=.⽽30a >，则34a =.∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--，则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a ==--222(1)1a =--0=，⽽22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列.∴22(1)n a n -=.⽽0n a >，故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =.易证：111AA E A B T ，于是111AA E A B T ∠=∠.由111190A B T ATB ∠+∠=o ，知11190AA E ATB ∠+∠=o ，∴11A E B T ⊥.显然MT ⊥⾯11AA B B ，⽽1A E ?⾯11AA B B ，∴1MT A E ⊥，⼜1B T MT T =I ，∴1A E ⊥⾯MTB ，∴11A E MB ⊥.连11B D ，则1111B D A C ⊥.⼜111D M A C ⊥，1111B D D M D =I ，∴11A C ⊥⾯11MD B ，∴111AC MB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E A C A =I ，∴1B M ⊥⾯11A EC .（2）在11D C 上取⼀点N ，使11ND =，连接EF . 易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ?=??==.对于11A EC ?，11AC =，1A E =⽽1EC =由余弦定理可知11cos EAC ∠==. ∴11A EC ?的⾯积11111sin 2S AC A E EAC =?∠12=?=. 由等体积法可知F 到平⾯11A EC 之距离h 满⾜111113A EC A EFC S h V ?-?=，则133h =，∴h =，⼜1FC ，设1FC 与平⾯1AEC 所成⾓为θ，∴sin θ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，⽅程为1(1)y k x -=-，代⼊2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ?=--+--28(321)k k =++.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则 12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -?+=??+?--?=?+?. ∵AB 中点为(1,1)，∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB ⽅程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知12AB x =-==. 设直线的CD ⽅程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =.∴0)ABk CD λ==≠. ∴2241312k k k λ=++-41132k k=++-. 令13t k k=+，则4()12g t t =+-，(,)t ∈-∞-+∞U . ()g t在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1g t -<或1()2g t <≤+故221λ-≤<或212λ<≤+即λ∈U . 20.解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =?+?+?+?850.15950.170.5+?+?=，∴4000名考⽣的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N µσ，其中70.5x µ==， 2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N µσ=，⽽()(56.1984.81)0.6826P z P z µσµσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==. ∴竞赛成绩超过84.81分的⼈数估计为0.158********.8?=⼈634≈⼈.（3）全市竞赛考⽣成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.⽽(4,0.8413)B ξ:，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-?10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=. ∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈.∴()(ln )x f x xe a x x =-+()te at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点.①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t ⽆零点；②在0a <时，'()t g t e a =-在R 上单增，⼜(0)10g =>，11()10a g e a =-<，故()g t 在R 上只有⼀个零点；③在0a >时，由'()0t g t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯⼀的⼀个极⼩值(ln ) (1ln )g a a a =-. 若0a e <<，(1ln )0g a a =->最⼩，()g t ⽆零点；若a e =，0g =最⼩，()g t 只有⼀个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最⼩，⽽(0)10g =>，由于ln ()x f x x=在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>.从⽽2()0a g a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有⼀个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρ?+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的⽅程为2100x y +-=. 由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ??，则d=05cos()10??=--. 其中003cos 54sin 5=?=??，当0??=时，d此时093sin 3cos 5??==，0082sin 2cos 5??==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x ⽆解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成⽴，⽽22(1)x ax a x +--≤+，或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成⽴，或(1)44a x -+≤恒成⽴，∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.。
湖北省武汉市2018届高三四月调研测试数学文试题含答案
此文档为Word 文档，可任意修改编辑 武汉市2018届高中毕业生四月调研测试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i +B ．2i -+ C ．2i --D ．2i -2.已知集合2{|20}A x x x =-<，{|lg(1)0}B x x =-≤，则A B = （ ） A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．(0,2]3.曲线1C ：221259x y +=与曲线2C ：221259x y k k+=--(09)k <<的（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 4.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-5.若x 、y 满足约束条件31230x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．1D ．3-6.从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（ ） A ．1415B ．45C ．35D ．157.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b ca +≤，条件q ：2B CA +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A ．C ．．10.已知()f x 是R 上的奇函数，且(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，2()2f x x =，则()2f 7=（ ） A ．12B ．12- C ．1D ．1- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.已知(2,0)A ，(0,1)B 是椭圆22221x y a b+=的两个顶点，直线(0)y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =，则斜率k 的值为（ ）A ．23 B ．38 C ．23或38 D ．23或34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=．14.已知向量a ，b 满足条件2a = ，3b = ，a 与b 的夹角为60，则a b -= ．15.过点(1,1)P 作曲线3y x =的切线，则切线方程为．16.在四面体ABCD 中，1AC CB AB AD BD =====，且平面ABC ⊥平面ABD ，则四面体ABCD 的外接球半径R =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21342n n S S +=+. （1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； （2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）求异面直线1A E 与1C F 所成角的余弦值. （2）求四面体11EFC A 的体积.19.已知直线2y x =与抛物线Γ：22y px =交于O 和E 两点，且OE =（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点(2,0)Q 的直线交抛物线Γ于A 、B 两点，P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M 、N 两点，问M 、N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++. 21.（1）求函数ln ()xf x x=的最大值； （2）若函数()xg x e ax =-有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）.（1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市2018届高中毕业生四月调研测试文科数学参考答案一、选择题1-5: CBDAC 6-10: BBABA 11、12：CC 二、填空题13.2532y x =-，3144y x =+ 16.6三、解答题17.解：（1）∵21342n n S S +=+，可知311342S S =+，421342S S =+， 两式相减得：4214a a =，∴214q =，而0q >，则12q =.又由311342S S =+，可知：12311342a a a a ++=+，∴111113(1)2442a a ++=+，∴11a =.（2）由（1）知11()2n n a -=.∵12n n n b -=，∴21231222n n nT -=+++⋅⋅⋅+， 21112122222n n n n n T --=++⋅⋅⋅++. 两式相减得11112222n n n n T =++⋅⋅⋅+-1222n n n=--.∴1242n n n T -+=-.18.解：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，延长DC 至M ，使1CM =，则//AE CM . ∴11//A E C M .∴1FC M ∠为异面直线1A E 与1C F 所成的角.在1FC M ∆中，11C F C M =，2FM =， ∴14cos 5FC M ∠==.（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =.∴1//A E FN ，从而1//A N EF ，1//A N 平面1EFC ， ∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=.19.解：（1）由22y px =与2y x =，解得交点(0,0)O ，(,)2pE p ，∴OE ==2p =. ∴抛物线方程为：24y x =.（2）设AB ：2x ty =+，代入24y x =中，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则2480y ty --=，∴121248y y t y y +=⋅⋅⋅⎧⎨⋅=-⋅⋅⋅⎩①②. 设0(2,)P y -，则PA ：1001(2)2y y y y x x --=++， 令0y =，得01011()2M y y x y x y -=+③ 同理由BP 可知：02022()2N y y x y x y -⋅=+④由③×④得0102()()M N y y y y x x --⋅011022(2)(2)y x y y x y =++201201221122()4y x x y y x y x y y =+++ 2222212210012122()44444y y y y y y y y y y =+⋅+⋅+⋅2221201201212124164y y y y y y y y y y +=⋅++（其中128y y =-.） 20120124[(()]y y y y y y =-++，从而4M N x x ⋅=为定值. 20.解：（1）由题意，得：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=. ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）224000(720102011801080)1800220019002100K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯284000(540000)1822192110⨯=⨯⨯⨯⨯ 2000545473.8210.82818221921⨯⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99%的把握认为有关. 21.解：（1）对ln ()x f x x =求导数，21ln '()xf x x -=. 在0x e <<时，()f x 为增函数，在x e >时()f x 为减函数， ∴1()()f x f e e ≤=，从而()f x 的最大值为1e. （2）①在0a =时，()xg x e =在R 上为增函数，且()0g x >，故()g x 无零点.②在0a <时，()xg x e ax =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g x 在R 上只有一个零点.③在0a >时，由'()0x g x e a =-=可知()g x 在ln x a =时有唯一极小值，()()ln 1ln g a a a =-.若0a e <<，()()1ln 0g x a a =->极小，()g x 无零点， 若a e =，()0g x =极小，()g x 只有一个零点， 若a e >，()()1ln 0g x a a =-<极小，而(0)10g =>. 由（1）可知，ln ()xf x x=在x e >时为减函数， ∴在a e >时，2a e e a a >>，从而()20ag a e a =->.∴()g x 在(0,ln )a 与(ln ,)a +∞上各有一个零点. 综上讨论可知：a e >时，()f x 有两个零点.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤. 在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤； 在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立， 而22(1)x ax a x +--≤+， 或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =. ∴a 的取值为1或1-.。
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科试题及答案world版
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数52i -的共轭复数是（ ）A ．2i +B ．2i -+C ．2i --D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}-3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A C ．． 5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A ．25 B ．310 C ．15 D ．1106.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,2 B ．[1,]2C ．(22-D ．(1,2 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B CA +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ）A ．6B ．6-C ．24D ．24- 10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ）A ．2-B ．211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ）AC ．12D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，则22a b a c b c ⋅+⋅+⋅= ．15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为 ．16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥.（1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC .（2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）记ABCDλ=，求λ的取值范围.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)zN μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a R ∈.（1）当a e =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC二、填空题13.25 14. 13- 15. (0,)2π三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=.而20a >，则23a =.又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=.而30a >，则34a =.∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--，则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=--222(1)1a =--0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列.∴22(1)n a n -=.而0n a >，故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =.易证：111AA E A B T ∆≅∆，于是111AA E A B T ∠=∠.由111190A B T ATB ∠+∠=，知11190AAE ATB ∠+∠=，∴11A E B T ⊥.显然MT ⊥面11AA B B ，而1AE ⊂面11AA B B ，∴1M T A E ⊥，又1B T MT T =，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥.连11B D ，则1111B D AC ⊥.又111D M A C ⊥，1111B D D M D =，∴11A C ⊥面11MD B ，∴111AC MB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E A C A =，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF .易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=.对于11A EC ∆，11AC =，1A E =1EC =，由余弦定理可知11cos EAC ∠==.∴11A EC ∆的面积11111sin 2S AC A E EAC =⋅∠12=⨯=.由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则133h =，∴h =，又1FC =，设1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴sin 95θ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩.∵AB 中点为(1,1)，∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知12AB x =-==. 设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =.∴0)ABk CD λ==≠.∴2241312k k k λ=++-41132k k=++-.令13t k k =+，则4()12g t t =+-，(,[23,)t ∈-∞-+∞.()g t 在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1gt ≤<或1()2g t<≤+故221λ≤<或212λ<≤.即6(1,λ+∈. 20.解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=，∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=.∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈.∴()(ln )x f x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点.①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点；②在0a <时，'()tg t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a =-<，故()g t 在R 上只有一个零点； ③在0a >时，由'()0tg t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-. 若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点；若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>，由于ln ()x f x x =在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>.从而2()0a g a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤.综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤.（2）∵224x ax +--≤恒成立，而22(1)x ax a x +--≤+，或22(1)4x ax a x +--≤-+， 故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立，∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.。
湖北省武汉市2018届高三毕业生四月调研测试数学(理)(答案打印版)
S (0) 0, S (1) 2, S (2) 2 ，所以当 0 t 2 时， S (t ) [2, 2] ；
综上，输入的 t [ 2, 2] ，则输出的 S [ 4, 2] . 4．答案：B
C1 A1 B1 C A
D1
解析：该几何体为如图所示的四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 ， 任取两个顶点，它们之间距离最大的为线段 A1 D ，
D B
A1 D 12 12 2 2 6 .
5．答案：C 解析：所求概率 P
1 9 1 1 . 10 10 9 5
6．答案：B 解析：不妨取 a 4, b 2 ，则
m log 4 (log 4 2) log 4
1 1 1 1 , n (log 4 2)2 , l log 4 22 1 ，所以 l n m 2 2 4 2
所以 M 的最小值为 2d
2
1 1 1 4 ． 2 18 2 9
P0 O A
B
C
D
11． 答案： C 解析： 当 0 时， x
3
3
， 令x
3
2
， 得x
5 13 ， 令x ， 得x ， 6 3 2 6
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1 a
2．答案：D 解析： M {x | x 2 1} {1,1} ，当 a 0 时， N ，满足 N M ，当 a 0 时， N ， 因为 N M ，可得
1 1 或 1 ，解得 a 1 或 1 ，所以实数 a 的取值集合是 {1, 1, 0} . a
1 1 5 (1) 6 x ． x
湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学试题(精编含解析)
∴S△PEF= 解方程①可得 x=2k， ∴A（2+2 ，3+2 ），B（2﹣2 ，3﹣2 ）， ∴直线 AB 方程为 y=x+1，|AB|=8，
原点 O 到直线 AB 的距离 d= ，
∴S△OAB=
，
∴△PEF 与△OAB 的面积之比为 ． 故答案为：C
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水
A.
B.
【答案】D
【解析】
C.
D.
【分析】 画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．
【详解】令
，
，
，作出可行域，如图所示：
表示可行域上的动点到定点
距离的平方，然后减去 ，故其最小值为
定点
到直线 AB 的距离的平方减去 。
AB：
定点
到直线 AB 的距离：
∴ 故选： 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次 确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
15. 已知
，
【答案】 【解析】 【分析】
为奇函数，
，则不等式
的解集为_________．
令 g（x）= ，
，根据函数的单调性求出 g（x）＞g（0），从而求出不等式的解集即可．
【详解】∵y=f（x）﹣1 为奇函数，
∴f（0）﹣1=0，即 f（0）=1，
令 g（x）= ，
，
则 g′（x）=
＞0，
故 g（x）在 f（x）＞cosx，
【答案】 【解析】 【分析】
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（ 1）求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 x （同一组中数据用该组区间中点作代表） ；
（ 2）由直方图可认为考生竞赛成绩
z 服正态分布 N( , 2 ) ，其中
2
， 分别取考生的平均
成绩 x 和考生成绩的方差 s2 ，那么该区 4000 名考生成绩超过 84.41 分（含 84.81 分）的人数
a b 2a c 2b c
．
15. 已知 x ( , ) ， y f ( x) 1为奇函数， f '(x) f ( x) tan x 0 ，则不等式 22
f (x) cos x 的解集为
．
16. 在四面体 ABCD 中， AD DB AC CB 1，则四面体体积最大时，它的外接球半径
R
．
三、解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
. 第 17 题～第 21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答 . 第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答 .
（一）必考题：共 60 分 .
17. 已知正数数列 { an} 满足： a1 2 ， an an 1 2n 1 2 (n 2) . an an 1
（ 1）求 a2 ， a3 ；
于 E ， F 两点， O 为坐标原点，则 PEF 与 OAB 的面积之比为（
）
A． 3 2
B
．3
C
．1
D
3
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .
．3 4
13. 已知 sin 2cos ，则 sin cos
．
14. 已知向量 a ， b ， c 满足 a b 2c 0 ，且 a 1 ， b 3 ， c 2 ，则
A． 3
B
．6
C ．2 3 D ．2 6
5. 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可以从 0 9 中任选一个，某人在银行自动提 款机上取钱时， 忘记了密码最后一位数字， 如果任意按最后一位数字， 不超过 2 次就按对的概
率为（ ）
2
A．
5
3
1
B
．
C
．
10
5
1
D
．
10
6. 若实数 a， b 满足 a b 1 ， m log a (log a b) ， n (log a b)2 ， l log a b2 ，则 m ， n ，
BC
A
，那么条件 p 是条件 q 成立的（ ）
2
bc ，条件 q ：
2
A．充分而不必要条件
B
．必要而不充分条件
C．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
9. 在 ( x 1 1)6 的展开式中，含 x5 项的系数为（
）
x
A． 6
B
．6
C
பைடு நூலகம்
． 24
D
． 24
10. 若 x ， y 满足 x 1 2 y 1 2 ，则 M 2 x2 y2 2x 的最小值为（ ）
2
4
A． 2
B
．
C
．4
D
．
11
9
11. 函数 f (x) 2sin( x )( 3
为（ ）
0) 的图象在 [0,1] 上恰有两个最大值点，则
的取值范围
A． [2 , 4 ]
9
13 25
25
B
． [2 , ) C ． [ , ) D ． [2 , )
2
66
6
12. 过点 P(2, 1) 作抛物线 x2 4y 的两条切线，切点分别为 A ， B ， PA ， PB 分别交 x 轴
z
) 0.6826 ， P( 2 z
③ 0.84134 0.501.
21. 已知函数 f ( x) xex a(ln x x) ， a R .
（ 1）当 a e时，求 f ( x) 的单调区间；
2 ) 0.9544 ；
（ 2）若 f (x) 有两个零点，求实数 a 的取值范围 .
（二）选考题：共 10 分. 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
估计有多少人？ （ 3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生
中随机抽取 4 名考生，记成绩不超．过．． 84.81 分的考生人数为 ，求 P ( 3) . （精确到 0.001 ）
附：① s2 204.75 ， 204.75 14.31；
② z N ( , 2) ，则 P(
19. 已知椭圆
： x2 4
y2 1 ，过点 P(1,1) 作倾斜角互补的两条不同直线 2
l1， l2 ，设 l1 与椭圆
交于 A 、 B 两点， l2 与椭圆 交于 C ， D 两点 .
（ 1）若 P(1,1) 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程；
（ 2）记
AB
，求 的取值范围 .
CD
20. 在某市高中某学科竞赛中，某一个区 4000 名考生的参赛成绩统计如图所示 .
武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试
理科数学
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 .
5
1. 复数
的共轭复数是（
）
i2
A． 2 i
B
．2 i
C
．2 i
D ．2 i
2. 已知集合 M { x | x2 1} ， N { x | ax 1} ，若 N M ，则实数 a 的取值集合为（
（ 2）设数列 { bn} 满足 bn (an 1)2 n2 ，证明： 数列 { bn} 是等差数列， 并求数列 { an} 的通项
an .
18. 如图，在棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C 1D1 中， E ， F 分别在棱 AB ， CD 上，且
AE CF 1 .
（ 1）已知 M 为棱 DD1上一点，且 D1M 1，求证： B1M 平面 A1EC1 . （ 2）求直线 FC1 与平面 A1EC1 所成角的正弦值 .
）
A． {1}
B
． { 1,1}
C ． { 1,0}
D ． { 1, 1,0}
3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 t [ 2,2] ，则输出的 S 属于（ ）
A． [ 4, 2] B ． [ 2, 2] C ． [ 2, 4] D ． [ 4,0]
4. 某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的 最大值为（ ）
l 的大小关系为（
）
A． m l n B ． l n m C ． n l m D ． l m n
7. 已知直线 y kx 1 与双曲线 x2 y2 4 的右支有两个交点，则 k 的取值范围为（
）
A． (0,
5 )
B
． [1,
5 ]
C
．(
55 ,)
5 D ． (1, )
2
2
22
2
8. 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对应边分别为 a， b ， c ，条件 p ： a