2020高考数学概率统计(大题)

合集下载

高考数学概率统计专题题库

高考数学概率统计专题题库

高考数学概率统计专题题库概率统计是高考数学中的一大重点,对于学生来说是一个难点。

为了帮助同学们更好地掌握概率统计的知识,我们特地整理了一套专题题库,旨在提高同学们的题目解答能力。

以下是该题库中的一些典型题目,供同学们参考。

1. 事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.2,P(B)=0.3,求P(A∩B)。

解析:由于事件A与事件B相互独立,所以P(A∩B) = P(A) * P(B)= 0.2 * 0.3 = 0.06。

2. 已知事件A的概率为0.6,事件B的概率为0.4,事件A与事件B相互独立,求事件A或事件B发生的概率。

解析:由于事件A与事件B相互独立,所以P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.6 + 0.4 - (0.6 * 0.4) = 0.76。

3. 有一批产品,其中80%是合格品,20%是次品。

从中随机抽取3个产品进行检验,求恰好有1个次品的概率。

解析:使用组合数的知识,可以知道从总共的产品中选择1个次品和2个合格品的方法有C(1,1) * C(2,0) = 1种。

所以恰好有1个次品的概率为P = (0.2 * 0.8 * 0.8) = 0.128。

4. 某市共有100辆出租车,其中60辆汽车是空车,40辆汽车是有客人的。

一名乘客拦出租车时,随机选择一辆,发现是空车,求另一辆是空车的概率。

解析:由于已经知道选择的出租车是空车,所以可以将问题简化为从剩下的99辆车中选择一辆是空车的概率。

根据全概率公式,可知选择一辆是空车的概率为P = (60/100) * (59/99) = 0.3636。

5. 有一个罐子,里面有红球、黄球、蓝球各20个。

将这些球随机取出2个,求取出的两个球颜色相同的概率。

解析:首先计算红球颜色相同的概率,即取出两个红球的概率为P1 = (20/60) * (19/59) = 0.1153。

同理,黄球颜色相同的概率为P2 = (20/60) * (19/59) = 0.1153,蓝球颜色相同的概率为P3 = (20/60) * (19/59) =0.1153。

2024届新高考数学大题精选30题:概率统计(精选30题)(解析版)

2024届新高考数学大题精选30题:概率统计(精选30题)(解析版)

大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1,2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球,求取出的2个小球上的数字不同的概率;(2)若不放回地依次随机取出4个小球,记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122,则X=2),求X的分布列及数学期望E X.【答案】(1)1 2;(2)分布列见解析,1.【分析】(1)根据组合知识求得取球的方法数,然后由概率公式计算概率;(2)确定X的所有可能取值为0,1,2,然后分别计算概率得分布列,再由期望公式计算出期望.【详解】(1)设事件A=“取出的2个小球上的数字不同”,则P A=C12C12+C12C12C14C14=12.(2)X的所有可能取值为0,1,2.①当相邻小球上的数字都不同时,如1212,有2×A22×A22种,则P X=0=2×A22×A22A44=13.②当相邻小球上的数字只有1对相同时,如1221,有2×A22×A22种,则P X=1=2×A22×A22A44=13.③当相邻小球上的数字有2对相同时,如1122,有2×A22×A22种,则P X=2=2×A22×A22A44=13.所以X的分布列为X012P 131313所以X的数学期望E X=0×13+1×13+2×13=1.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲、乙两人进行某棋类比赛,每局比赛时,若决出输赢则获胜方得2分,负方得0分;若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为13,且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局,求甲共得3分的概率;(2)规定比赛最多进行五局,若一方比另一方多得4分,则停止比赛,求比赛局数X的分布列与数学期望.【答案】(1)7 27;(2)分布列见解析,31781.【分析】(1)写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出;(2)算出X为不同值时对应的概率并填写分布列,之后求出数学期望即可.【详解】(1)设“三局比赛后,甲得3分”为事件A,甲得3分包含以下情形:三局均为平局,三局中甲一胜一平一负,所以P A=133+A3313 3=727,故三局比赛甲得3分的概率为7 27 .(2)依题意知X的可能取值为2,3,4,5,P X=2=2×132=29,P X=3=2×C12133=427,P X=4=2×C12134+C1313 4=1081,P X=5=1-P X=2-P X=3-P X=4=1-29-427-1081=4181,故其分布列为:X2345P2942710814181期望E X=2×29+3×427+4×1081+5×4181=31781.3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队,其中甲、乙、丙、丁四位同学入选,该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长,甲不担任队长,共有多少种选法?(2)某次传球基本功训练,体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练,老师传给每位学生的概率都相等,每位学生传球给同学的概率也相等,学生传给老师的概率为17.传球从老师开始,记为第一次传球,前三次传球中,甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少?【答案】(1)9种(2)349.【分析】(1)法一,利用分步乘法计数原理集合组合数的计算,即可求得答案;法二,利用间接法,即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法,减去甲担任队长的选法,即可得答案;(2)考虑第一次传球,老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位,继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况,结合乘法公式以及互斥事件的概率求法,即可求得答案.【详解】(1)法一,先选出队长,由于甲不担任队长,方法数为C13;再选出副队长,方法数也是C13,故共有方法数为C13×C13=9(种).方法二先不考虑队长人选对甲的限制,共有方法数为A 24=4×3=12(种);若甲任队长,方法数为C 13,故甲不担任队长的选法种数为12-3=9(种)答:从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长,甲不担任队长的选法共有9种.(2)①若第一次传球,老师传给了甲,其概率为14;第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学,其概率为67;第三次传球,乙、丙、丁中的一位传球给老师,其概率为17,故这种传球方式,三次传球后球回到老师手中的概率为:14×67×17=398.②若第一次传球,老师传给乙、丙、丁中的任一位,其概率为34,第二次传球,乙、丙、丁中的一位传球给甲,其概率为27,第三次传球,甲将球传给老师,其概率为17,这种传球方式,三次传球后球回到老师手中的概率为34×27×17=398,所以,前三次传球中满足题意的概率为:398+398=349.答:前三次传球中,甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是349.4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺,努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”).新能源电动汽车作为战略新兴产业,对于实现“双碳目标”具有重要的作用.赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO 问界M 7的满意程度,对所有的意向客户发起了满意度问卷调查,将打分在80分以上的客户称为“问界粉”.现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计,得到如下的频率分布直方图:(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数);(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观,在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券.记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望E ξ .【答案】(1)73.3分(2)分布列见解析;期望为35【分析】(1)根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案;(2)确定抽取的“问界粉”人数,再确定ξ的取值,求解分布列,利用期望公式求解期望.【详解】(1)由频率分布直方图可知:打分低于70分的客户所占比例为40%,打分低于80分的客户的所占比例为70%,所以本次调查客户打分的中位数在[70,80)内,由70+10×0.50-0.400.70-0.40=2203≈73.3,所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分;(2)根据按比例的分层抽样:抽取的“问界粉”客户3人,“非问界粉”客户7人,则ξ的所有可能取值分别为0,1,2,其中:P (ξ=0)=C 03C 27C 210=715,P (ξ=1)=C 13C 17C 210=715,P (ξ=2)=C 23C 07C 210=115,所以ξ的分布列为:ξ012P715715115所以数学期望E (ξ)=0×715+1×715+2×115=35.5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程,为了有效推动课程实施,学校开展劳动课程知识问答竞赛,现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库,其中家政类占14,园艺类占14,民族工艺类占12.根据以往答题经验,选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25,25,45,选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题,甲答对的概率;(2)现进行甲、乙双人对抗赛,规则如下:两位选手进行三轮答题比赛,每轮只出1道题目,比赛时两位选手同时回答这道题,若一人答对且另一人答错,则答对者得1分,答错者得-1分,若两人都答对或都答错,则两人均得0分,累计得分为正者将获得奖品,且两位选手答对与否互不影响,每次答题的结果也互不影响,求甲获得奖品的概率.【答案】(1)35(2)4411000【分析】(1)利用全概率公式,即可求得答案;(2)求出乙答对的概率,设每一轮比赛中甲得分为X ,求出X 的每个值对应的概率,即可求得三轮比赛后,甲总得分为Y 的每个值相应的概率,即可得答案.【详解】(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件A i i =1,2,3 ,记随机任选1题,甲答对为事件B ,则P A 1 =14,P A 2 =14,P A 3 =12,P B |A 1 =25,P B |A 2 =25,P B |A 3 =45,则P B =P A1 P B |A 1 +P A2 P B |A 2 +P A3 P B |A 3=14×25+14×25+12×45=35;(2)设乙答对记为事件C ,则P C =P A 1 P C |A 1 +P A 2 P C |A 2 +P A 3 P C |A 3 =14×12+14×12+12×12=12,设每一轮比赛中甲得分为X ,则P X =1 =P BC =P B P C =35×1-12 =310,P X =0 =P BC ∪BC =P BC +P CB=35×12+1-35 ×1-12 =12,P (X =-1)=P B C =1-35 ×12=15,三轮比赛后,设甲总得分为Y ,则P Y =3 =3103=271000,P Y =2 =C 23310 2×12=27200,P Y =1 =C 13×310×122+C 23×3102×15=2791000,所以甲最终获得奖品的概率为P =P Y =3 +P Y =2 +P Y =1 =271000+27200+2791000=4411000.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下:超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ,B ,C ,D ,E 这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市个数为X ,求随机变量X 的分布列及期望E (X );(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程,并预测广告支出为10万元时的销售额.附:线性回归方程y =b x +a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2,a =y -b x .【答案】(1)X 的分布列见解析,期望E (X )=95(2)y=7x +17;预测广告费支出10万元时的销售额为87万元.【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解分布列,进而可求解期望,(2)利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】(1)从A ,B ,C ,D ,E 这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市有C ,D ,E 这3家超市,则随机变量X 的可能取值为1,2,3P (X =1)=C 13C 22C 35=310,P (X =2)=C 23C 12C 35=35,P (X =3)=C 33C 35=110,∴X 的分布列为:X123P31035110数学期望E (X )=1×310+2×35+3×110=95.(2)x =2+4+5+6+85=5,y =30+40+60+60+705=52,b=ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2=60+160+300+360+560-5×5×524+16+25+36+64-5×52=7,a=52-7×5=17.∴y 关于x 的线性回归方程为y=7x +17;在y =7x +17中,取x =10,得y =7×10+17=87.∴预测广告费支出10万元时的销售额为87万元.7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.记随机变量X i =1,第i 局乙当裁判0,第i 局甲或丙当裁判, i =1,2,⋅⋅⋅,n ,p i =P X i =1 ,X 表示前n 局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n =3且X =1”的概率;(2)求p i ;(3)求E X ,并根据你的理解,说明当n 充分大时E X 的实际含义.附:设X ,Y 都是离散型随机变量,则E X +Y =E X +E Y .【答案】(1)34;(2)p i =-13 ×-12i -1+13;(3)p i ,答案见解析。

高考数学统计与概率大题解题模板

高考数学统计与概率大题解题模板

统计与概率大题解题模板 一、随机抽样和用样本估计总体模板一、频率分布直方图1、频率分布直方图的性质:(1)小矩形的面积=组距×频率/组距=频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小; (2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1; (3)频数/相应的频率=样本容量.2、频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性.3、频率分布直方图中的纵坐标为频率组距,而不是频率值.例1-1.某城市100户居民月平均用电量(单位:度),以[160180),、[180200),、[200220),、[220240),、[240260),、[260280),、]280[300,分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220240),、[240260),、[260280),、]280[300,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220240),的用户中应抽取多少户? 【解析】(1)由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=得:0.0075x =,∴直方图中x 的值是0.0075;(2)月平均用电量的众数是2202402302+=,∵(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<,∴月平均用电量的中位数在[220240),内,设中位数为a , 由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=得:224a =, ∴月平均用电量的中位数是224;(3)月平均用电量为[220240),的用户有0.01252010025⨯⨯=户, 月平均用电量为[240260),的用户有0.00752010015⨯⨯=户, 月平均用电量为[260280),的用户有0.0052010010⨯⨯=户, 月平均用电量为]280[300,的用户有0.0025201005⨯⨯=户, 抽取比例11125151055==+++,∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取12555⨯=户.模板二、茎叶图1、绘制茎叶图的关键是分清茎和叶,如数据是两位数,十位数字为“茎”,个位数字为“叶”;如果是小数时,通常把整数部分作为“茎”,小数部分作为“叶”,解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.2、利用茎叶图进行数据分析时,一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑. 例1-2.某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来,每次数学考试成绩情况如下: 甲:95、81、75、91、86、89、71、65、76、88、94、110、107; 乙:83、86、93、99、88、103、98、114、98、79、78、106、101. 画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 【解析】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示:从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的, 中位数是98;甲同学的得分情况,也大致对称,中位数是88, 乙同学的成绩比较稳定,总体情况比甲同学好.模板三、散点图1、两个变量的关系2、散点图:将样本中n 个数据点()i i x y ,(1i =,2,…,n )描在平面直角坐标系中得到的图形.3、正相关与负相关:(1)正相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关.(2)负相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关. 4、最小二乘法:设x 、y 的一组观察值为()i i x y ,(1i =,2,…,n ),且回归直线方程为ˆˆˆybx a =+.当x 取值i x (1i =,2,…,n )时,y 的观察值为i y ,差ˆi i y y -(1i =,2,…,n )刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,通常是用离差的平方和,即21()ni i i Q y a bx ==--∑作为总离差,并使之达到最小.这样,回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方,所以这种使“离差平方和最小”的方法,叫做最小二乘法. 5、回归直线方程的系数计算公式例1-3.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下:(1)y 与x 是否具有线性相关关系?(2)如果y 与x 具有线性相关关系,求y 关于x 的回归直线方程. 审题路线图:→→→【解析】(1)画散点图如下:由图可知y 与x 具有线性相关关系;(2)列表、计算:1102211055950105591.70.66838500105520ˆ1iii ii x y x ybxx ==⋅-⋅⋅-⨯⨯==≈-⨯-⋅∑∑,91.70.668ˆ55.6ˆ549ay bx =-=-⨯=,即所求的回归直线方程为:0.66859ˆ 4.6y x =+.构建答题模板:第一步:列表i x 、i y 、i i x y ;第二步:计算x ,y ,21ni i x =∑,1ni i i x y =∑;第三步:代入公式计算ˆb 、ˆa 的值; 第四步:写出回归直线方程;第五步:反复回顾,查看是否有重复或遗漏情况,明确规范书写答题.模板四、古典概型例1-4.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号为1、2、3;蓝色卡片两张,标号为1、2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标点之和小于4的概率.审题路线图:确定概率模型→列出所有取卡片的结果(基本事件)→构成事件的基本事件→求概率. 规范解答:【解析】(1)标号为1、2、3的三张红色卡片分别记为A 、B 、C , 标号为1、2的两张蓝色卡片分别记为D 、E , 从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为:AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种,由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的, 从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:AD 、AE 、BD ,共3种,∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310;(2)记F 是标号为0的绿色卡片,从六张卡中任取两张的所有可能的结果为:AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、BC 、BD 、BE 、BF 、CD 、CE 、CF 、DE 、DF 、EF 共15种,用于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的, 从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:AD 、AE 、BD 、AF 、BF 、CF 、DF 、EF ,共8种, ∴这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815. 构建答题模板:第一步:列出所有基本事件,计算基本事件总数;第二步:将所求事件分解为若干个互斥的事件或转化为其对立事件(也许不用分解,但分解必要注意互斥);第三步:分别计算每个互斥事件的概率;第四步:利用概率的加法公式求出问题事件的概率;第五步:反复回顾,查看是否有重复或遗漏情况,明确规范书写答题.二、概率与统计之超几何分布与二项分布离散型随机变量的分布列、数学期望与方差1、关于离散型随机变量分布列的计算方法如下: (1)写出ξ的所有可能取值;(2)用随机事件概率的计算方法,求出ξ取各个值的概率; (3)利用(1)、(2)的结果写出ξ的分布列. 2、常见的特殊离散型随机变量的分布列:(1)两点分布,分布列为(0p -、1q -),其中01p <<,且1p q +=;(2)二项分布,分布列为(00p 、11p 、22p 、…、k kp 、…、n np ),其中k k n kk n p C p q -=,0k =、1、2、…、n ,且01p <<,1p q +=,k k n k k n p C p q -=可记为(,,)b k n p .3、对离散型随机变量的期望应注意:(1)期望是算术平均值概念的推广,是概念意义下的平均;(2)()E ξ是一个实数,由ξ的分布列唯一确定,即作为随机变量ξ是可变的,可取不同值,而()E ξ是不变的,它描述ξ取值的平均状态;(3)()1122n n E x p x p x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅直接给出了E ξ的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.4、对离散型随机变量的方差应注意:(1)()D ξ表示随机变量ξ对()E ξ的平均偏离程度,()D ξ越大表明平均偏离程度越大,说明ξ的取值越分散;反之()D ξ越小,ξ的取值越集中,在()E ξ来描述ξ的分散程度.(2)()D ξ与()E ξ一样也是一个实数,由ξ的分布列唯一确定.模板一、超几何分布——离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)超几何分布的特征:①在小范围内不放回的随机抽取;②每次抽取相互影响;③每次抽取的可能性一直变化;(2)超几何分布的题型:在含有M 件次品的N 件产品中任取n 件(n M N ≤≤),其中恰有X 件次品;(3)超几何分布的分布列、期望与方差:①分布列:()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==,012k n =⋅⋅⋅,,,,,k ∈N ;②期望:0()[()]nk nME X k P X k N ===⋅=∑; ③{}22()()()[()]()(1)nk nM N M N n D X k E x P X k N N =--==-⋅=-∑. 例2-1.已知一个袋中装有3个白球和3个红球,这些球除颜色外完全相同.(1)每次从袋中取一个球,取出后不放回,直到取到一个红球为止,求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ;(2)每次从袋中取一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取3次,求取出红球次数η的分布列、数学期望和方差()D η.审题路线图:取到红球为止→取球次数的所有可能1、2、3、4→求对应次数的概率→列分布列→求()E ξ.取出后放回,这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立重复试验→利用公式. 规范解答:【解析】(1)ξ的可能取值为1、2、3、4,31(1)62P ξ===,333(2)6510P ξ==⨯=, 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=,32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=,故ξ的分布列为:17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=;(2)取出后放回,取球3次,可看作3次独立重复试验,∴1~(2)2B η,,η的可能取值为0、1、2、3,0033111(0)()()228P C η==⋅⋅=,1123113(1)()()228P C η==⋅⋅=,2213113(2)()()228P C η==⋅⋅=,3303111(4)()()228P C η==⋅⋅=,故ξ的分布列为:∴()322E η=⨯=,113()3224D η=⨯⨯=. 构建答题模板:第一步:确定离散型随机变量的所有可能性; 第二步:求出每个可能性的概率; 第三步:画出随机变量的分布列; 第四步:求期望和方差;第五步:反复回顾,查看是否有重复或遗漏情况,明确规范书写答题.如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确;根据分布列性质检查概率是否正确.模板二、二项分布及其应用(1)二项分布的特征:①在小范围内有放回的随机抽取或在大范围内任意随机抽取;②每次抽取相互独立;③每次抽取的可能性保持不变;(2)二项分布的题型:在n 次独立重复试验中,设事件A 发生的次数为X ,在每次试验中事件A 发生的概率为p ;(3)二项分布的分布列、期望与方差:①分布列:~(,)X B n p ,n 为试验次数,p 为试验成功率,()(1)k kn k n P X k C p p -==-,0,1,2,,k n =⋅⋅⋅,k ∈N ;②期望:()E X np =; ③()(1)D X np p =-.例2-2.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X ,求3≤X 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?【解析】(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ,则事件A 的对立事件为“5X =”, ∵224(5)3515P X ==⨯=,∴11()1(5)15P A P X =-==, 即这两人的累计得分3≤X 的概率为1115; (2)设小明小红都选择方案甲抽奖中奖次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1()2E X ⨯, 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2()3E X ⨯,由已知可得12~(2)3X B ,,22~(2)5X B ,,∴124()233E X =⨯=,224()255E X =⨯=,从而18()23E X ⨯=,212()35E X ⨯=,∴12()2()3E X E X ⨯>⨯,∴他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.模板三、统计概率的综合应用例2-3.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为,(495500],,…,(510515],,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量.(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X 为重量超过505克的产品数量,求X 的分布列及期望.(3)在上述抽取的40件产品中任取5件产品,求恰有2件产品的重量超过505克的概率. 【解析】(1)重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12⨯⨯+⨯=件; (2)X 的所有可能取值为0、1、2,021********(0)130C C P X C ⋅===,11122824056(1)130C C P X C ⋅===,20122824011(2)130C C P X C ⋅===, X 的分布列为:X 的期望561139()01213013013065E X =⨯+⨯+⨯=; (3)设在上述抽取的40件产品中任取5件产品,恰有2件产品的重量超过505克为事件A ,则322812540231()703C C P A C ⋅==. 变式1:第三问改为:从流水线上任取5件产品,设Y 为重量超过505克的产品数量,求Y 的分布列、期望、方差.【解析】从流水线上任取5件产品服从二项分布:Y 可取:0、1、2、3、4、5;超过505克的产品发生的概率为0.3p =,则~(50.3)Y B ,, 005055(0)(1)0.70.16807P Y C p p -==-==, 115111455(1)(1)0.30.70.36015P Y C p p C -==-=⨯=,225222355(2)(1)0.30.70.3087P Y C p p C -==-=⨯=,335333255(3)(1)0.30.70.1323P Y C p p C -==-=⨯=,44544455(4)(1)0.30.70.02835P Y C p p C -==-=⨯=,555555(5)(1)0.30.00243P Y C p p -==-==,则Y 的分布列为:Y 的期望()50.3 1.5E Y =⨯=,方差()50.30.7 1.05D Y =⨯⨯=.变式2:某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条抽流水线上各抽取40件产品作为样本算出他们的重量(单位:克).重量落在(495510],的产品为合格品,否则为不合格.表一为甲流水线样本频率分布表,图一为乙流水线样本的频率分布直方图.(1)根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图;(2)若以频率作为概率,试估计从乙流水线上任取5件产品,恰有3件产品为合格品的概率;(3)由以上统计数据完成下面22⨯列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.附:下面的临界值表供参考:(参考公式:22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++,其中n a b c d=+++).在平面直角坐标系中做出频率分布直方图,甲流水线样本的频率分布直方图如下:(2)由图1知,乙样本中合格品为:(0.060.090.03)54036++⨯⨯=,故合格品的频率为360.940=, ∴可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率0.9P =,设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数,则~(50.9)B ξ,, ∴3325(3)0.90.10.0729P C ξ===,即从乙流水线上任取5件产品,恰有3件产品为合格品的概率为0.0729; (3)22⨯列联表如下:∵22()80(120360) 3.117 2.706()()()()66144040n ad bc K a b a c c d b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯, ∴有90%的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.课后作业1. 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)(1)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯;(2)根据以上数据完成下列22⨯列联表:(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析.【答案】(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主,50岁以下的人多以食肉为主;(2)表格见解析;(3)有,分析见解析.【解析】【分析】(1)根据茎叶图,分析题中数据即可得出结果.(2)根据茎叶图,补充完善列联表,计算观测值即可求解.【详解】(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主,50岁以下的人多以食肉为主;(2)补全22⨯列联表:(3)230(42168)10 6.63512182010K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.2. 某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票,暴雨后的投票收集了50份,暴雨前的投票也收集了50份,所得统计结果如下表:已知工作人员从所有投票中任取一个,取到“不支持投入”的投票的概率为25. (1)求列联表中的数据x 、y 、A 、B 的值;(2)绘制条形统计图,通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度?(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关? 【答案】(1)40x =,10y =,60A =,40B =;(2)条形统计图答案见解析,暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度;(3)有99.9%把握.【解析】【分析】(1)先求出y的值,再求,,B x A的值;(2)先求出暴雨前后的支持率和不支持率,画出条形统计图,再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.(3)利用独立性检验求解即可.【详解】(1)设“从所有投票中抽取一个,取到不支持投入的投票”为事件A,由已知得302()1005yP A+==,∴10y=,40B=,40x=,60A=;(2)由(1)知北京暴雨后支持为404505=,不支持率为41155-=,北京暴雨前支持率为202505=,不支持率为23155-=,条形统计图如图:由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度;(3)22100(30402010)5016.7810.828505040603K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯,故至少有99.9%把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.【点睛】方法点睛:独立性检验的解题步骤:(1)2*2列联表;(2)提出假设:设p与q没有关系;(3)根据列联表中的数据2K计算的值;(4)根据计算得到的随机变量2K的观测值作出判断.3. 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.(1)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关?(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.附:22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++【答案】(1)列联表答案见解析,没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关;(2)7 10 .【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图,计算体育迷的人数,再结合条件依次填入22⨯列联表,并计算2K ,并和临界值3.841比较后进行判断;(2)首先由频率分布直方图计算“超级体育迷”的人数,在通过编号列举的方法,利用古典概型的计算公式计算概率.【详解】(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而完成22⨯列联表如下:将22⨯列联表中的数据代入公式计算,得22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,∴没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关;(2)由频率分布直方图可知“超级体育迷”为5人,设123,,a a a 是3名男超级体育迷,12,b b 是2名女超级体育迷,从而一切可能结果所组成基本事件为:12()a a ,、13()a a ,、23()a a ,、11()a b ,、12()a b ,、 21()a b ,、22()a b ,、31()a b ,、32()a b ,、12()b b ,,则由10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的, 用A 表示“任选2人中,至少有1人是女性”这一事件,则A 由11()a b ,、12()a b ,、21()a b ,、22()a b ,、31()a b ,、32()a b ,、12()b b , 这7个基本事件组成,因而7()10P A =.4. 2015年7月9日21时15分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,给当地人民造成了巨大的财产损失,适逢暑假,大学生小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成[02000),、[2000,4000)、[4000,6000)、[6000,8000)、[800010000],五组作出频率分布直方图,如图:(1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小张调查的100户居民捐款情况如表格,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量受灾居民中,采用随机抽样方法每次抽取1户居民,抽取3次,记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ.若每次抽取的结果是相互独立的,求ξ的分布列,期望()E ξ和方差()D ξ.【答案】(1)答案见解析,有;(2)分布列见解析,()0.9E ξ=,()0.63D ξ=. 【解析】【分析】(1)由频率分布直方图可求出抽取的100户中,经济损失不超过4000元的户数,经济损失超过4000元的户数, 从而可补全列联表,进而可求出2K ,得出结论;(2)由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3,符合二项分布,则3~(3)10B ξ,,从而利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率,进而可得ξ的分布列,期望()E ξ和方差()D ξ. 【详解】(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100户中,经济损失不超过4000元的有1002000(0.000150.00020)70⨯⨯+=户,则经济损失超过4000元的有30户, 则表格数据如下:22100(60102010) 4.76280207030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,∵4.762 3.841>,2( 3.841)0.05P K ≥=,∴有95%以上把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关; (2)由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3,将频率视为概率,由题意知ξ的取值可能有0、1、2、3,符合二项分布,则3~(3)10B ξ,,003337343(0)()()10101000P C ξ==⋅⋅=,112337441(1)()()10101000P C ξ==⋅⋅=,221337189(2)()()10101000P C ξ==⋅⋅=,33033727(3)()()10101000P C ξ==⋅⋅=,从而ξ的分布列为:3()30.910E np ξ==⨯=,37()(1)30.631010D np p ξ=-=⨯⨯=. 5. 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:(1)完成被调查人员的频率分布直方图.(2)若从年龄在[15,25)([25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率.(3)在(2)在条件下,再记选中的4人中不赞成...“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)见解析(2(2275(3)见解析 【解析】【详解】试题分析:(1)根据频率等于频数除以总数,再求频率与组距之比得纵坐标,画出对应频率分布直方图.(2)先根据2人分布分类,再对应利用组合求概率,最后根据概率加法求概率,(3)先确定随机变量,再根据组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望. 试题解析:(1((2(由表知年龄在[)15,25内的有5人,不赞成的有1人,年龄在[)25,35 内的有10人,不赞成的有4人,恰有2人不赞成的概率为:()11122464442222510510C C C C C 4246666222C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==((3( ξ的所有可能取值为:0(1(2(3(()226422510C C 45150C C 22575P ξ==⋅==(()21112646442222510510C C C C C 415624102341C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==( ()124422510C C 461243C C 104522575P ξ==⋅=⋅==( 所以ξ的分布列是:所以ξ的数学期望5E ξ=( 6. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E(x).【答案】(1)(2)X的分布列为EX==4元【解析】【详解】(1)设A i表示摸到i个红球,B i表示摸到i个蓝球,则与相互独立(i=0,1,2,3)∴P(A1)==(2)X的所有可能取值为0,10,50,200P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=P(X=50)=P(A3)P(B0)==P(X=10)=P(A2)P(B1)==P(X=0)=1﹣=∴X的分布列为EX==4元7. 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树、乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.(1)如果8X=,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;(2)如果9X=,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.【答案】(1)平均数为354,方差为1116;(2)分布列答案见解析,数学期望:19.【解析】【分析】(1)利用平均数和方差公式求出即可;(2)根据题意可得Y 的可能取值为17,18,19,20,21,分别求出Y 取不同值的概率,即可得出分布列,求出期望.【详解】(1)当8X =时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, ∴平均数为889103544x +++==,方差为2222213535353511[(8)(8)(9)(10)]4444416s =-+-+-+-=;(2)当9X =时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11, 乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4416⨯=种可能的结果, 这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21,事件“17Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”, ∴该事件有2种可能的结果,21(17)168P Y ===, 事件“18Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树9棵”, ∴该事件有4种可能的结果,41(18)164P Y ===, 事件“19Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树10棵, 或甲组选出的同学植树11棵,乙组选出的同学植树8棵”, ∴该事件有224+=种可能的结果,41(19)164P Y ===, 事件“20Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵,乙组选出的同学植树9棵”, ∴该事件有4种可能的结果,41(20)164P Y ===, 事件“21Y =”等价于“甲组选出的同学植树11棵,乙组选出的同学植树10棵”, ∴该事件有2种可能的结果,21(21)168P Y ===,∴随机变量Y 的分布列为:∴11()17181920211984448E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.8. 语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ,数学成绩的频率分布直方图如图,如果成绩大于135的则认为特别优秀.(1)这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人?(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人,从(1)中的这些同学中随机抽取3人,设三人中两科都特别优秀的有X 人,求X 的分布列和数学期望.(附公式:若2~(,)X N μσ,则()0.68P X μσμσ-<≤+=,(22)0.96P X μσμσ-<≤+=).【答案】(1)语文有10人,数学有12人;(2)分布列见解析,98.【解析】【分析】(1)利用正态分布的对称性求出语文成绩特别优秀的概率,从而可估计出语文成绩特别优秀人数,由频率分布直方图可求出数学成绩特别优秀的频率,用频率来衡量概率,从而可求出数学成绩特别优秀的人数;(2)结合(1)可知数学语文单科优秀的有10人,则X 的所有可能取值为0、1、2、3,然后求出各自对应的概率即可列出分布列,求得数学期望【详解】(1)∵语文成绩服从正态分布2(10017.5)N ,,∴语文成绩特别优秀概率为11(135)(10.96)0.022P P X =≥=-⨯=, ∴数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244P =⨯⨯=, ∴语文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人,数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=人; (2)语文数学两科都优秀的有6人,单科优秀的有10人,X 的所有可能取值为0、1、2、3,3103163(0)14C P X C ===,2110631627(1)56C C P X C ⋅===, 1210631615(2)56C C P X C ⋅===,363161(3)28C P X C ===, ∴X 的分布列为:19()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 9. 张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会(选一题答一题),若答对4题即终止答题,直接进入下一轮,否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为12. (1)求张明进入下一轮的概率;(2)设张明在本次面试中答题的个数为ξ,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望. 【答案】(1)12;(2)分布列答案见解析,数学期望:9316. 【解析】 【分析】(1)分情况讨论张明进入下一轮的概率;(2)由条件可知4,5,6,7ξ=,理解随机变量对应的事件,写出概率分布列,计算数学期望.。

高考大题规范解答—概率统计

高考大题规范解答—概率统计

分)
8
xi--x yi--y
i=1

8
xi--x 2
8
yi--y 2
i=1
i=1
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
返回导航
由于|r|>0.75 且 r 非常接近 1,所以 y 与 x 具有很强的线性相关关系.(5 分)
8
^ i=1
经计算可得b=
xi--x
yi--y
8
11×335=670.(12 分)
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
返回导航
4.(2024·云南三校联考)(12分)某企业拥有甲、乙两条零件生产线, 为了解零件质量情况,采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零 件,测量其尺寸(单位:mm)得到如下统计表,其中尺寸位于[55,58)的零 件为一等品,位于[54,55)和[58,59)的零件为二等品,否则零件为三等品.
返回导航
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
返回导航
P(X=500)=P(A)P(C1)=185×CC2624=24285=7156,(9 分) 所以 X 的分布列是:
X 0 100 400 500
P
7 75
71 225
17 45
16 75
E(X)=0×775+100×27215+400×4157+500×7156=28913.(12 分)
x3
3
4
5
5
6
6
8
y 10 12 13 18 19 21 24 27
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布

高三数学大题专项训练 概率与统计(答案)

高三数学大题专项训练 概率与统计(答案)

1.【2012高考真题辽宁理19】(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查。

下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。

现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X 。

若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X 。

附:22112212211212(),n n n n n n n n n χ++++-=【答案】【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X 和方差()D X ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中。

准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。

9.【2012高考真题四川理17】(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p 。

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值; (Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ。

【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查实际问题的数学建模能力,数据的分析处理能力和基本运算能力.【解析】10.【2012高考真题湖北理】(本小题满分12分)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm )对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:(Ⅰ)工期延误天数Y 的均值与方差;(Ⅱ)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率. 【答案】(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=,降水量X 300X <300700X ≤< 700900X ≤<900X ≥工期延误天数Y2610(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为:于是,()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=;2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8. (Ⅱ)由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=,又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=.由条件概率,得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥.故在降水量X 至少是300mm 的条件下,工期延误不超过6天的概率是67.11.【2012高考江苏25】(10分)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,∴共有238C 对相交棱。

概率统计与期望方差分布列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)

概率统计与期望方差分布列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)

概率统计与期望方差分布列大题基础练新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023·安徽宿州·统考一模)宿州号称“中国云都”,拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地,是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力,现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析,若一次抽取2个机房,全是小型机房的概率为1 3 .(1)求n的值;(2)若一次抽取3个机房,假设抽取的小型机房的个数为X,求X的分布列和数学期望.E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.则X的数学期望()012330102652.(2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末)某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间,统计了5个城市的专卖店销售数据如下:款式/专卖店甲乙丙丁戊男装606013080110女装120901306050(1)若分别从甲、乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查,求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率;(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动,用X表示其中男装销量超过女装销量的专E X.卖店个数,求随机变量X的分布列和数学期望()∴()1336 012 105105E X=⨯+⨯+⨯=.3.(2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)为提高学生的数学应用能力和创造力,学校打算开设“数学建模”选修课,为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关,学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查,其中认为感兴趣的人数占70%. (1)根据所给数据,完成下面的22⨯列联表,并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关?感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生,现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈,记选出高三女生的人数为X,求X的分布列与数学期望.附:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.4082 2.0721614219K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关;(2)由题意可知X 的取值可能为0,1,2,3,则3539C 5(0)C 42P X ===,124539C C 10(1)C 21P X ===,214539C C 5(2)C 14P X ===,3439C 1(3)C 21P X ===,故X 的分布列为X 0123P5421021514121510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.4.(2023秋·江苏·高三统考期末)为深入贯彻党的教䏍方针,全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校从2022年起积极推进劳动课程改革,先后开发开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育,该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查,统计数据如下表:月份x 246810满意人数y8095100105120(1)由表中看出,可用线性回归模型拟合满意人数y 与月份x 之间的关系,求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+,并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数;(2)10月份时,该校为进一步深化劳动教育改革,了解不同性别的学生对劳动课程是否满意,经调研得如下统计表:满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关?参考公式:()()()1122211ˆˆˆ,nni i i ii i nn iii i x y nxyx x yy bay bx xnx x x ====---===--∑∑∑∑.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k 2.7063.8415.0246.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.两人轮流进行点球训练(每人各踢一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲、乙两人在同一位置,一人踢球另一人扑球,甲先踢,每人踢一次球,两人有1人进球另一人不进球,进球者得1分,不进球者得1-分;两人都进球或都不进球,两人均得0分,设甲、乙每次踢球命中的概率均为12,甲扑到乙踢出球的概率为12,乙扑到甲踢出球的概率13,且各次踢球互不影响.(1)经过1轮踢球,记甲的得分为X,求X的分布列及数学期望;(2)求经过3轮踢球累计得分后,甲得分高于乙得分的概率.()101612412E X=-⨯+⨯+⨯=.(2)经过三轮踢球,甲累计得分高于乙有四种情况:甲3轮各得1分;甲3轮中有2轮各得1分,1轮得0分;甲3轮中有2轮各得1分,1轮得1-分;甲3轮中有1轮得1分,2轮各得0分,甲3轮各得1分的概率为3111464 P⎛⎫==⎪⎝⎭,甲3轮中有2轮各得1分,1轮得0分的概率为2223177C41264 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭,甲3轮中有2轮各得1分,1轮得1-分的概率为2233111C4632 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭,甲3轮中有1轮得1分,2轮各得0分的概率为21431749C412192 P⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭,所以经过三轮踢球,甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192 P=+++=.6.(2023·浙江·校联考模拟预测)某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量(单位:万吨)如下表:年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9(1)求y 关于x 的线性回归方程;(2)根据(1)中的回归方程,分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况,并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑,ˆˆay bx =-.参考数据7162.4i i x y =∑7.(2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末)为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求,某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛,规定:满分为100分,60分及以上为合格.该企业从甲、乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后,得到了如图所示的成绩频率分布直方图.(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率;(2)若将频率视为概率,以样本估计总体.从甲车间职工中,采用有放回的随机抽样方法抽取3次,每次抽1人,每次抽取的结果相互独立,记被抽取的3人次中成绩合格的人数为X .求随机变量X 的分布列;(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%,请根据所给数据,完成下面的22⨯列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?2×2列联表甲车间乙车间合计合格人数不合格人数合计附参考公式:①()()()()22()n ad bc a c b d a b c d χ-=++++,其中n a b c d =+++.②独立性检验临界值表【答案】(1)80%(2)分布列见解析(3)表格见解析,有【分析】(1)根据频率分布直方图的性质,可得答案;(2)根据二项分布的分布列的解题步骤,可得答案;(3)由题意,补全列联表,利用独立性检验的解题步骤,可得答案.【详解】(1)根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率0.02100.03100.02100.01100.8=⨯+⨯+⨯+⨯=,即80%.(3)根据题中统计数据可填写22⨯列联表如下,甲车间乙车间合计合格人数8060140不合格人数204060合计10010020022200(80402060)9.524 6.635,10010014060χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.8.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)云计算是信息技术发展的集中体现,近年来,我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知,我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下:年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得:51ln i i y =∑=36.33,51(ln )i i i x y =∑=112.85.(1)根据以上数据,建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆebxa y +=(e 为自然对数的底数).(2)云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前,单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4~(0,N mε,其中m 为单件产品的成本(单位:元),且(11)P ε-<<=0.6827;引入云计算后,单件产品尺寸与标准品尺寸的误差1~(0,)N mε.若保持单件产品的成本不变,则(11)P ε-<<将会变成多少?若保持产品质量不变(即误差的概率分布不变),则单件产品的成本将会下降多少?附:对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y ⋯其回归直线ˆˆˆyx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ=1221niii nii x ynx y xnx ==--∑∑,ˆˆy x αβ=-.若2~(,)XN μσ,则(||)0.6827P X μσ-<=,(|2)0.9545P X μσ-<=,(||3)0.9973.P X μσ-<=9.(2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试)近年来,各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、碎片化时间观看等特点深受人们喜爱,吸引了眼球赚足了流量,与此同时,也存在功能失范、网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题.为促使短视频、网络直播等文明、健康,有序发展,依据《网络短视频平台管理规范》、《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规,某市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管.(1)对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节,三个环节均通过审查才能通过整体审查.设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响,且各环节不能通过审查的概率分别为4131,,25485.①求该团不.能通过整体审查的概率:②设该团队通过整体审查后,还要进入技术技能检测环节,若已知该团队最终通过整体审查和技术技能检测的概率为35%,求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概率;(2)某团队为提高观众点击其视频的流量,通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质量,现有100条评论数据如下表:试问是否有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联?参考公式:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,n a b c d=+++()20P x χα≥=0.10.050.010.0050.001nx 2.7063.8416.6357.87910.82810.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)2023年3月的体坛属于“冰上运动”,速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行.中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击,向奖牌和金牌发起冲击.据了解,甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛,只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34;乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为34和45;丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和3 2p-,其中34p<<.(1)甲、乙、丙三队中,谁进入决赛的可能性最大;(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为3790,求p的值;(3)在(2)的条件下,设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ,求ξ的分布列・11.(2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模)某市从2020年5月1日开始,若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后,交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分,罚款200元的处罚,并在媒体上曝光.但作为交通重要参与者的行人,闯红灯通行却频有发生,带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据,得到行人闯红灯的概率为0.2,并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查,对是否存在闯红灯的情况进行统计,得到2×2列联表如下:45岁以下45岁以上合计闯红灯人数25未闯红灯数85合计200近期,为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为,交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上,50元以下的经济处罚.在试行经济处罚一段时间后,交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查,对是否存在闯红灯的情况进行统计,得到2×2列联表如下:45岁以下45岁以上合计闯红灯人数51520未闯红灯人9585180数合计100100200将统计数据所得频率视为概率,完成下列问题:(1)将2×2列联表填写完整(不需要写出填写过程),并根据表中数据分析,在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前,是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关;(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后,闯红灯现象是否有明显改善,请说明理由;(3)结合调查结果,请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议(至少提出两条建议).【答案】(1)列联表见解析,有(2)有明显改善,理由见解析(3)答案见解析K的值,结合附表,即可【分析】(1)根据题意,填写出2×2列联表,利用公式求得2得到结论;(2)求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后,行人闯红灯的概率,结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率,可得出结论;(3)结合表格中的数据,可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育;也可进行适因为()2220015752585253.125 2.706100100401608K⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯,所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关.(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后,行人闯红灯的概率为20=0.1 200,而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前,行人闯红灯的概率为0.2,因为0.10.2<,故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后,闯红灯现象有明显改善.(3)①根据调查数据显示,行人闯红灯与年龄有明显关系,故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育;②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率,故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚.12.(2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模)为了了解男、女学生对航天知识的了解情况,某调查机构进行了一个随机问卷调查(总分100分),调查的结果如下表所示.若本次问卷调查的得分不低于90分,则认为该学生非常了解航天知识.男学生女学生不低于90分82低于90分2228(1)判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关;(2)现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生,设获得纪念品的女生人数为X,求X的分布列以及数学期望.附:()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,n a b c d =+++.()2P k αχ=≥0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828所以()012.1515155E X =⨯+⨯+⨯=13.(2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试)千百年来,人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代,烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用;第二次工业革命后,科技的进步带动了电讯事业的发展,电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化;之后,计算机和互联网的出现则使得“千里眼”、“顺风耳”变为现实.现在,5G 的到来给人们的生活带来了颠覆性的变革.某科技创新公司基于领先技术的支持,5G 经济收入在短期内逐月攀升,该创新公司在1月份至5月份的5G 经济收入y (单位:百万元)关于月份x 的数据如表:时间(月份)12345收入(百万元)1015192328(1)根据上表中的数据,求出y 关于x 的线性回归方程,并预测该公司6月份的5G 经济收入;(2)从前5个月的收入中随机抽取3个月,记月收入超过15百万元的个数为X ,求X 的分布列和数学期望.参考公式:回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx =-.所以()123105105E X=⨯+⨯+⨯=.14.(2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习)一般来说,市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系.已知产品甲的年宣传费用(x百万元)和年销量(y万箱)的统计数据如下:年宣传费用(x百万元)35610131518年销量y(万箱)1.522.533.544.5(1)求y与x的相关系数(r精确到0.01),并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:0.75r≥);(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本,求恰有1个数据不少于4万箱的概率.附:①相关系数ni ix y nxyr-=∑;71246i iix y==∑②,721888iix==∑,72170iiy==∑,36.28≈36.41≈15.(2023春·河北·高三统考阶段练习)某电影院对观众按照性别进行了分层抽样调查,一共调查了900名观众对A影片和B影片的喜爱度,获得了以下数据:(1)哪个影片更受学生欢迎?(不用说明理由)(2)分别估计该电影院男观众和女观众对B影片表示“非常喜爱”的概率;(3)该电影院为了进一步调查观众对B影片的看法,对样本中的女观众用分层抽样抽取了6人,再从这6人中随机抽取2人参加座谈,求这两人均来自“一般喜爱”群体的概率.16.(2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末)冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情,掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况,从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试,并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”,否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”;否则该年级体能达标为“不合格”,.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组,其中甲组有24名学生,乙组有16名学生.经过预测后,两组各自将预测成绩统计分析如下:甲组的平均成绩为70,标准差为4;乙组的平均成绩为80,标准差为6.(数据的最后结果都精确到整数)(1)求这40名学生测试成绩的平均分x和标准差s;(2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N(μ,2σ),用样本平均数x作为μ的估计值μ,用样本标准差s作为σ的估计值σ.利用估计值估计,高二学生体能达标预测是否“合格”;(3)为增强趣味性,在体能达标的跳绳测试项目中,同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下:以4:0或4:1获胜队员积4分,落败队员积0分;以4:2或4:3获胜队员积3分,落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23,求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下,他前3局比赛都获胜的概率.附:①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑;②若随机变量Z ~N (μ,2σ),则()0.6826P Z μσμσ-<<+=,()220.9544P Z μσμσ-<<+=,()330.9974P Z μσμσ-<<+=.17.(2023·山东淄博·统考一模)某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出i x (万元)与年度销售量i y (万台)的数据,如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出x 1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中71279.4i i i x y ==∑,721708i i x ==∑(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系,求出y 关于x 的线性回归方程;(2)若用y c =+模型拟合得到的回归方程为1.63y =+,经计算线性回归模型及该模型的2R 分别为0.75和0.88,请根据2R 的数值选择更好的回归模型拟合y 与x 的关系,进而计算出年度广告费x 为何值时,利润200zy x =- 的预报值最大?参考公式:()()()1122211nniiiii i nniii i x ynx y xxy y bxnxxx====---==--∑∑∑∑ ,a y bx =-$$;18.(2023·山东济南·一模)为了切实加强学校体育工作,促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,某高中学校计划优化课程,增加学生体育锻炼时间,提高体质健康水平,某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试,得到如下表格:记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ,2s ,经计算()102111690i x x =-=∑,102133050ii x==∑.(1)求x ;(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格,从这10名学生中任取3名,记体质测试成绩不合格的人数为X ,求X 的分布列;(3)经统计,高中生体质测试成绩近似服从正态分布()2,N μσ,用x ,2s 的值分别作为μ,2σ的近似值,若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试,记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[]30,82的人数为Y ,求Y 的数学期望()E Y .附:若()2,N ξμσ ,则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈,(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈,330.9()973P μσξμσ-≤≤+≈.(3)因为()22111156,16901691010i x s x x===-=⨯=∑,所以56,13μσ==.因为(3082)(22)0.9545P X P μσξμσ≤≤=-≤≤+≈,所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545,故(100,0.9545)Y B ~,所以()1000.954595.45E Y =⨯=.19.(2023·江苏泰州·泰州中学校考一模)某公司对40名试用员工进行业务水平测试,根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级,测试分笔试和面试两个环节.笔试环节所有40名试用员工全部参加;参加面试环节的员工由公司按规则确定.公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析,得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表.男女合计优(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的22⨯列联表,并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关;(2)公司决定:85分的员工直接淘汰,得分不低于85分的员工都正式录用.笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节);笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级,但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级;笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级,但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级.若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试.已知甲、乙为该公司的两名试用员工,以频率视为概率.①若甲已被公司正式录用,求甲的最终岗位等级为一级的概率;②若乙在笔试环节等级初定为二级,求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率.参考公式:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,.n a b c d =+++()20P k χ0.150.100.050.0100k 2.0722.7063.8416.635所以20.317 2.706(84)(1612)(816)(412)χ=<++++,因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关;(2)不低于85分的员工的人数为:40(0.060.040.02)524⨯++⨯=,直接定为一级的概率为0.025401246⨯⨯=,岗位等级初定为二级的概率为:0.045401243⨯⨯=,岗位等级初定为三级的概率为:0.065401242⨯⨯=.①甲的最终岗位等级为一级的概率为:112363510+⨯=;②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为:2333390.0250.0450.0450.0655555525⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.20.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)为加快推动旅游业复苏,进一步增强居民旅游消费意愿,山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免,全省国有A 级旅游景区免首道门票,鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠.本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区,据统计,活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%.某市旅游局从游客中随机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的有60人)了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度,并按年龄(50周岁及以下和50周岁以上)分类统计得到如下不完整的22⨯列联表:不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表,并根据小概率值0.001α=的独立性检验,能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联?(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况,设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ,若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率.①求X 的分布列和数学期望;②求()11P X -≤.参考公式及数据:()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)补全的22⨯列联表见解析;有关;(2)①分布列见解析;() 2.7E X =;②0.271【分析】(1)由题意,抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人,则年龄在50周岁以上的有40人,即可补全22⨯列联表,再根据公式计算212.76χ=,即可判断;(2)①由题意可知(3,0.9)X B ,根据二项分布即可求解分布列及数学期望;②根据则2100(5251555)12.7610.82820806040χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.(2)①由题意可得,游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9,则(3,0.9)X B ,X 的所有可能取值为0,1,2,3,033(0)C 0.10.001P X ==⨯=,123(1)C 0.90.10.027P X ==⨯⨯=,223(2)C 0.90.10.243P X ==⨯⨯=,333(3)C 0.90.729X ==⨯=,所以X 的分布列如下:因为(3,0.9)X B ,所以数学期望()30.9 2.7E X =⨯=.②()(11)(0)(1)(2)13P X P X P X P X P X -≤==+=+==-=10.7290.271=-=.21.(2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末)皮影戏是一种民间艺术,是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种,已有千余年的历史.而皮影制作是一项复杂的制作技艺,要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧,以及持之以恒的毅力和韧劲.每次制作分为画图与剪裁,雕刻与着色,刷清与装备三道主要工序,经过以上工序处理之后,一幅幅形态各异,富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成,成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人.小李对学习皮影制作产生极大兴趣,师从名师勒学苦练,目前水平突飞猛进,三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为323,534,,三道序彼此独立,只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作,该皮影视为合格作品.(1)求小李进行3次皮影制作,恰有一次合格作品的概率;(2)若小李制作15次,其中合格作品数为X ,求X 的数学期望与方差;(3)随着制作技术的不断提高,小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中,聘其为单位制作演出作品,决定试用一段时间,每天制作皮影作品,其中前7天制作合格作品数y 与时间:如下表:(第1天用数字1表示)时间(t )1234567合格作品数(y )3434768其中合格作品数(y )与时间(t )具有线性相关关系,求y 关于t 的线性回归方程(精确到0.01),并估算第15天能制作多少个合格作品(四舍五入取整)?(参考公式()()()11222ˆnni i i ii i nn iix ynxyx x yybxnxx x ==---==--∑∑∑∑,ˆˆa y bx =-,参考数据:71163i i i t y ==∑).。

专题10 概率与统计 原卷版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解

专题10 概率与统计     原卷版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解

专题10 概率与统计【2020年】1.(2020·新课标Ⅲ)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( ) A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====2.(2020·山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( ) A. 120种 B. 90种 C. 60种D. 30种3.(2020·山东卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A. 62% B. 56% C. 46%D. 42%4.(2020·天津卷)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm ),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A. 10B. 18C. 20D. 365.(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.6.(2020·浙江卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则(0)P ξ==_______;()E ξ=______.7.(2020·江苏卷)已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4,则a 的值是_____.8.(2020·江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是_____.9.(2020·新课标Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种. 【2019年】1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A .0.5 B .0.6 C .0.7D .0.82.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( ) A .中位数 B .平均数 C .方差D .极差3.【2019年高考浙江卷】设0<a <1,则随机变量X 的分布列是( )则当a 在(0,1)内增大时, A .()D X 增大B .()D X 减小C .()D X 先增大后减小D .()D X 先减小后增大4.【2019年高考江苏卷】已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是______________. 5.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________.6.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是______________. 【2018年】1.【2018·全国Ⅱ卷】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A .112 B .114 C .115D .1182.【2018·全国Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3.【2018·全国Ⅲ卷】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,(4)(6)P X P X =<=,则p =A .0.7B .0.6C .0.4D .0.34.【2018·浙江卷】设01p <<,随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P12p- 122p 则当p 在(0,1)内增大时, A .D (ξ)减小 B .D (ξ)增大C .D (ξ)先减小后增大D .D (ξ)先增大后减小5.【2018·全国Ⅰ卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p 1,p 2,p 3,则A .p 1=p 2B .p 1=p 3C .p 2=p 3D .p 1=p 2+p 36.【2018·江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________.7.【2018·江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为______________. 【2017年】1.【2017·全国Ⅲ卷】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是A .月接待游客量逐月增加B .年接待游客量逐年增加C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D .各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳2.【2017·全国Ⅰ卷】如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14 B .π8 C .12D .π43.【2017·山东卷】从分别标有1,2,⋅⋅⋅,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A .518 B .49 C .59D .7912.【2017·浙江卷】已知随机变量i ξ满足P (i ξ=1)=p i ,P (i ξ=0)=1–p i ,i =1,2.若0<p 1<p 2<12,则A .1()E ξ<2()E ξ,1()D ξ<2()D ξB .1()E ξ<2()E ξ,1()D ξ>2()D ξC .1()E ξ>2()E ξ,1()D ξ<2()D ξD .1()E ξ>2()E ξ,1()D ξ>2()D ξ4.【2017·山东卷】为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y (单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+.已知101225i i x ==∑,1011600i i y ==∑,ˆ4b =.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为 A .160 B .163 C .166D .1705.【2017·全国Ⅱ卷】一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX =______________.6.【2017·江苏卷】记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是______________.7.【2017·江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取______________件. 【2016年】1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) (A )13 (B )12 (C )23 (D )342.【2016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒,B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒.下面叙述不正确的是( )(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ︒的月份有5个3.【2016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( ) (A )56(B )60(C )120(D )1404.【2016高考新课标2理数】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 (A )4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n5.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .7.【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是 .328.【2016高考新课标2理数】有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________▲________.10.【2016高考山东理数】在[1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆22x y相交”发生(5)9的概率为.。

高考数学概率统计大题综合试题含答案解析

高考数学概率统计大题综合试题含答案解析

概率统计大题综合知识点总结1.数字样本特征(1)众数:在一组数据中出现次数最多的数(2)中位数:将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果为奇数个,中位数为中间数;若为偶数个,中位数为中间两个数的平均数(3)平均数:x =x 1+x 2+⋯⋯+x nn ,反映样本的平均水平(4)方差:s 2=(x 1−x )2+(x 2−x )2+⋯⋯(x n −x )2n反映样本的波动程度,稳定程度和离散程度;s 2越大,样本波动越大,越不稳定;s 2越小,样本波动越小,越稳定;(5)标准差:σ=s 2,标准差等于方差的算术平方根,数学意义和方差一样(6)极差:等于样本的最大值−最小值2.求随机变量X 的分布列的步骤:(1)理解X 的意义,写出X 可能取得全部值;(2)求X 取每个值的概率;(3)写出X 的分布列;(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列:两点分布,二项分布,超几何分布,正态分布.3.求随机变量的期望和方差的基本方法:(1)已知随机变量的分布列,直接利用期望和方差公式直接求解;(2)已知随机变量X 的期望、方差,求aX +b a ,b ∈R 的期望与方差,利用期望和方差的性质E aX +b =aE X +b ,D aX +b =a 2D X 进行计算;(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如:两点分布、二项分布等),可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算,若ξ~B (n ,p ),则Eξ=np ,Dξ=np (1-p ).4.求解概率最大问题的关键是能够通过P ξ=k ≥P ξ=k +1P ξ=k ≥Pξ=k -1构造出不等关系,结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法:(1)计算x ,y,ni =1x i 2 ,ni =1x i y i 的值;(2)计算回归系数a ,b ;(3)写出回归直线方程y =b x +a.线性回归直线方程为:y =b x +a ,b=ni =1x i −x y i −yni =1x i −x2=ni =1x i y i −nx yni =1x i 2−nx2,a =y −b x其中x ,y为样本中心,回归直线必过该点(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)r=ni=1x i−xy i−yni=1x i−x2ni=1y i−y2=ni=1x i y i−nx yni=1x i2−nx 2ni=1y i2−ny 2r>0,正相关;r<0,负相关r ≤1,且r 越接近于1,线性相关性越强;r 越接近于0,线性相关性越弱,几乎不存在线性相关性6.独立性检验解题方法:(1)依题意完成列联表;(2)用公式求解;(3)对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验计算公式:K2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d模拟训练一、解答题1.(2023·福建三明·统考三模)在二十大报告中,体育、健康等关键词被多次提及,促进群众体育和竞技体育全面发展,加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动,加强学生体质健康,拟举行羽毛球团体赛,赛制采取3局2胜制,每局都是单打模式,每队有5名队员,比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的,每局比赛结果互不影响.经过小组赛后,最终甲、乙两队进入最后的决赛,根据前期比赛的数据统计,甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为34,甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注:比赛结果没有平局)(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率;(2)已知甲队2:1获得最终胜利,求种子选手M上场的概率.2.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)“英才计划”最早开始于2013年,由中国科协、教育部共同组织实施,到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生,为选拔培养对象,某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动.(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学,从这12名学员中选取3人,ξ表示选取的人中来自该中学的人数,求ξ的分布列和数学期望;(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动.规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利,假设每轮答题结果互不影响.已知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为p1,p2,且p1+p2=43,如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利,那么理论上至少要参加多少轮竞赛?3.(2023·福建宁德·校考二模)某科研团以为了考察某种药物预防疾病的效果,进行动物实验,得到如下列联表.患病未患病总计服用药物1045末服用药物50总计30(1)请将上面的列联表补充完整.(2)认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是多少?(3)为了进一步研究,现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只,设其中未服用药物的动物数为ξ,求ξ的分布列与期望.下面的临界值表供参考:P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d)4.(2023·江苏常州·校考一模)设X,Y是一个二维离散型随机变量,它们的一切可能取的值为a i,b j,其中i,j∈N*,令p ij=P X=a i,Y=b j,称p ij i,j∈N*是二维离散型随机变量X,Y的联合分布列,与一维的情形相似,我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式;X,Yb1b2b3⋅⋅⋅a1p11p12p13⋅⋅⋅a2p21p22p23⋅⋅⋅a3p31p32p33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有n n∈N*个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中,记落入第1号盒子中的球的个数为X,落入第2号盒子中的球的个数为Y.(1)当n=2时,求X,Y的联合分布列,并写成分布表的形式;(2)设p k=nm=0P X=k,Y=m,k∈N且k≤n,求nk=0kp k的值.(参考公式:若X~B n,p,则nk=0kC k np k1-pn-k=np)5.(2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测)某种疾病可分为A,B两种类型,为了解该疾病的类型与患者性别是否相关,在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查,发现女性患者人数是男性患者的2倍,男性患A型疾病的人数占男性患者的56,女性患A型疾病的人数占女性患者的13.A型病B型病合计男女合计(1)填写2×2列联表,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型'与‘性别'有关”的结论,求被调查的男性患者至少有多少人?(2)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验,试验期间至多安排2个周期接种疫苗,每人每个周期接种3次,每次接种费用为m m>0元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p0<p<1,如果一个周期内至少2次出现抗体,则该周期结束后终止试验,否则进入第二个周期.若p=23,试验人数为1000人,试估计该试验用于接种疫苗的总费用.K2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d,P K2≥k00.100.050.010.0050.001k0 2.706 3.841 6.6357.87910.8286.(2023·安徽蚌埠·统考三模)某校为了丰富学生课余生活,组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关,随机抽取了男、女同学各100名进行调查,部分数据如表所示:喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表,依据α=0.001的独立性检验,能否认为该校学生喜欢足球与性别有关?(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23,这名女生进球的概率为12,每人射门一次,假设各人射门相互独立,求3人进球总次数X的分布列和数学期望.附:χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+dα0.10.050.010.0050.001 xα 2.706 3.841 6.6357.87910.8287.(2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)在以视觉为主导的社交媒体时代,人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP 主要有两类:A 类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP ;B 类是图片编辑、精修等图片美化类APP .某机构为调查市民对上述A ,B 两类APP 的使用情况,随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过A 类APP 的占60%,使用过B 类APP 的占50%,设个人对美颜拍摄类APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人,求该人使用过美颜拍摄类APP 的概率;(2)从样本人群中任选5人,记X 为5人中使用过美颜拍摄类APP 的人数,设X 的数学期望为E X ,求P X =E X ;(3)在单独使用过A ,B 两类APP 的样本人群中,按类型分甲、乙两组,并在各组中随机抽取8人,甲组对A 类APP ,乙组对B 类APP 分别评分如下:甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为x 1 ,x 2 ,标准差分别为s 1,s 2,试判断哪组评价更合理.(设V i=s ix i (i =1,2),V i 越小,则认为对应组评价更合理.)参考数据:0.1925≈0.439,0.2325≈0.482.8.(2023·广东·统考模拟预测)某工厂车间有6台相同型号的机器,各台机器相互独立工作,工作时发生故障的概率都是14,且一台机器的故障由一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工,现有两种配备方案,方案一:由甲、乙、丙三人维护,每人负责2台机器;方案二:由甲乙两人共同维护6台机器,丙负责其他工作.(1)对于方案一,设X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数,求X 的分布列与数学期望E (X );(2)在两种方案下,分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率,并以此为依据来判断,哪种方案能使工厂的生产效率更高?9.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示,中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%,城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计,制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图(年龄为整数),其中将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类;图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图,其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”,15次及以下的会员称为“健身爱好者”,且已知在“健身达人”中有56是“年轻人”.(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本,根据图表数据,补全2×2列联表,并依据小概率值α=0.05的独立性检验,是否可以认为“健身达人”与年龄有关?年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动,预设有如下两种方案.方案1:按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中,健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.方案2:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中,有放回地摸三次球,每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2,则可获得100元奖励金;若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖励金;其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏;每位健身达人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据,请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由.附:χ2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d.α0.100.050.0250.0100.0050.001χα 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82810.(2023·云南昭通·校联考模拟预测)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内,一段时间后测量志愿者的某项指标值,按0,20 ,20,40 ,40,60 ,60,80 ,80,100 分组,绘制频率分布直方图如图所示.试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人,其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的2×2列联表,并根据列联表及小概率值α=0.05的独立性检验,判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性,对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗,结果又有m 名志愿者产生抗体.(i )用频率估计概率,已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率p =0.9,求m 的值;(ⅱ)以(i )中的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率,再进行另一组人体接种试验,记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ,求P X =k 最大时的k 的值.参考公式:χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d(其中n =a +b +c +d 为样本容量).α0.500.400.250.150.1000.0500.025x α0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02411.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)首批全国文明典范城市将于2023年评选,每三年评选一次,2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市,目前我市正全力争创首批全国文明典范城市,某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一(1)班一组有男生4人,女生2人,现随机选取2人作为志愿者参加活动,志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择,每名女生至多从中选择参加2项活动,且选择参加1项或2项的可能性均为12;每名男生至少从中选择参加2项活动,且选择参加2项或3项的可能性也均为12,每人每参加1项活动可获得综合评价10分,选择参加几项活动彼此互不影响,求:(1)在有女生参加活动的条件下,恰有一名女生的概率;(2)记随机选取的两人得分之和为X,求X的期望.12.(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)为了宣传航空科普知识,某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中,小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响,小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率;(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数,求X的分布列及数学期望;(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛,请你根据所学概率知识,判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好,并说明理由.13.(2023·广东·校联考模拟预测)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为23,第二关通过的概率为56,求甲可以进入第三关的概率;(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附:若随机变量Z∼Nμ,σ2,则Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827;Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545;Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.14.(2023·广东韶关·统考模拟预测)研究表明,如果温差本大,人们不注意保暖,可能会导致自身受到风寒刺激,增加感冒患病概率,特别是对于几童以及年老体弱的人群,要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系,他们记录了某六天的温差,并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数,得到数据如下:日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x (°C )47891412新增感就诊人数y (位)y 1y 2y 3y 4y 5y 6参考数据:6iy 2i=3463,6iy i -y 2=289(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生,从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位,其中男生人数记为X ,若抽取的2人中至少有一位女生的概率为56,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)已知两个变量x 与y 之间的样本相关系数r =1617,请用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程y =b x +a ,据此估计昼夜温差为15°C 时,该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据:r =n ix i -x y i -y n i =1x i -x 2 ⋅ni =1y i -y2,b =ni x i -x y i -yni =1x i -x 2 15.(2023·重庆·统考模拟预测)某地区由于农产品出现了滞销的情况,从而农民的收入减少,很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示,一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示,若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”,且“经常使用直播销售用户”中有34是“年轻人”.(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法,抽取一个容量为200的样本,请你根据图表中的数据,完成2×2列联表,依据小概率值α=0.05的χ2独立性检验,能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关?使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上,现有两种销售方案供选择:方案一:线下销售、根据市场调研,利用传统的线下销售,到年底可能获利30%,可能亏损15%,也可能不是不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,15,15;方案二:线上直播销售,根据市场调研,利用线上直播销售,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为12,310,15.针对以上两种销售方案,请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案,并说明理由.参考数据:独立性检验临界值表α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828其中χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.16.(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模)某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病A 与是否具有生活习惯B 的关系,从该市市民中随机抽查了100人,得到如下数据:疾病A 生活习惯B 具有不具有患病2515未患病2040(1)依据α=0.01的独立性检验,能否认为该市市民患有疾病A 与是否具有生活习惯B 有关?(2)从该市市民中任选一人,M 表示事件“选到的人不具有生活习惯B ”,N 表示事件“选到的人患有疾病A ”,试利用该调查数据,给出P N M的估计值;(3)从该市市民中任选3人,记这3人中具有生活习惯B ,且末患有疾病A 的人数为X ,试利用该调查数据,给出X 的数学期望的估计值.附:χ2=n (ad -bc )2a +b c +d a +c b +d,其中n =a +b +c +d .α0.100.050.0100.001 x α2.7063.8416.63510.82817.(2023·江苏扬州·统考模拟预测)随着网络技术的迅速发展,各种购物群成为网络销售的新渠道.在凤梨销售旺季,某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况,各购物群销售凤梨的数量情况如下:凤梨数量(盒)100,200 200,300 300,400 400,500 500,600购物群数量(个)12m2032m(1)求实数m的值,并用组中值估计这100个购物群销售风梨总量的平均数(盒);(2)假设所有购物群销售凤梨的数量X服从正态分布Nμ,σ2,其中μ为(1)中的平均数,σ2=12100.若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个,销售风梨的数量在266,596(单位:盒)内的群为“一级群”,销售数量小于266盒的购物群为“二级群”,销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”.该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元,每个“一级群”奖励200元,“二级群”不奖励,则该风梨基地大约需要准备多少资金?(群的个数按四舍五入取整数)附:若X服从正态分布X~Nμ,σ2,则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997.18.(2023·浙江·校联考模拟预测)某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所,甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼,近50天天气不下雨的情况下,选择体育锻炼情况统计如下:上下午体育锻炼项目的情况(上午,下午)(篮球,篮球)(篮球,乒乓球)(乒乓球,篮球)(乒乓球,乒乓球)甲20天15天5天10天乙10天10天5天25天假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立,用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率,以及甲上午选择篮球的条件下,下午仍旧选择篮球的概率;(2)记X 为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数,求X 的分布列和数学期望E (X );(3)假设A 表示事件“室外温度低于10度”,B 表示事件“某学生去打乒乓球”,P (A )>0,一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大,证明:P (A |B )>P (A |B).19.(2023·广东深圳·统考二模)某校体育节组织定点投篮比赛,每位参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示,每位选手投篮投进与否满足:若第k 次投进的概率为p (0<p <1),当第k 次投进时,第k +1次也投进的概率保持p 不变;当第k 次没能投进时,第k +1次能投进的概率降为p2.(1)若选手甲第1次投进的概率为p (0<p <1),求选手甲至少投进一次的概率;(2)设选手乙第1次投进的概率为23,每投进1球得1分,投不进得0分,求选手乙得分X 的分布列与数学期望.20.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)2021年春节前,受疫情影响,各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数(单位:万),得到如下表格:A 区B 区C 区D 区外来务工人数x /万3456就地过年人数y /万2.5344.5(1)请用相关系数说明y 与x 之间的关系可用线性回归模型拟合,并求y 关于x 的线性回归方程y =a +bx 和A 区的残差(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.①若该市E 区有2万名外来务工人员,根据(1)的结论估计该市政府需要给E 区就地过年的人员发放的补贴总金额;②若A 区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p ,2p -1,其中12<p <1,该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元,求p 的取值范围.参考公式:相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x 2i -nx 2ni =1y 2i -ny2,回归方程y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2,a =y -b x .21.(2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模)甲、乙两人进行象棋比赛,赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方,需将自己的一枚筹码给对方;若平局,双方的筹码不动,当一方无筹码时,比赛结束,另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知,在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.(1)第一局比赛后,甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望;(2)求四局比赛后,比赛结束的概率;(3)若P i i=0,1,⋯,6表示“在甲所得筹码为i枚时,最终甲获胜的概率”,则P0=0,P6=1.证明:P i+1-P ii=0,1,2,⋯,5为等比数列.22.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考三模)为倡导公益环保理念,培养学生社会实践能力,某中学开展了旧物义卖活动,所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与,1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品,用于拍照宣传,这些物品中,最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本,已知高三1,2,3班分别有12,13,14的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6:7:8.(1)现从三个班中随机抽取一位同学:(i)求该同学有购买意向的概率;(ii)如果该同学有购买意向,求此人来自2班的概率;(2)对于优秀毕业生的笔记本,设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式:统一以0元为初始叫价,通过掷骰子确定新叫价,若点数大于2,则在已叫价格基础上增加1元更新叫价,若点数小于3,则在已叫价格基础上增加2元更新叫价;重复上述过程,能叫到10元,即获得以10元为价格的购买资格,未出现叫价为10元的情况则失去购买资格,并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本,试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).23.(2023·广东茂名·统考二模)春节过后,文化和旅游业逐渐复苏,有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.某旅游景区为吸引更多游客,计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票,通过近。

2020高考数学解答题核心素养题型《专题11 概率与统计综合问题》+答题指导)(解析版)

2020高考数学解答题核心素养题型《专题11 概率与统计综合问题》+答题指导)(解析版)

专题11 概率与统计综合问题【题型解读】几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点,几何概型主要以客观题考查,求解的关键在于找准测度(面积,体积或长度);相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查,也是进一步求分布列、期望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,准确判定概率模型,恰当选择概率公式.【例1】 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16,现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. ①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望;②设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率. 【答案】见解析【解析】(1)由题意得,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人. (2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X =k )=C k 4C 3-k3C 37(k =0,1,2,3).所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=0×35+1×35+2×35+3×35=7.②设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A =B ∪C ,且B 与C 互斥. 由①知,P (B )=P (X =2),P (C )=P (X =1), 故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67.所以事件A 发生的概率为67.【素养解读】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式,考查分析问题和解决问题的能力,体现了数学运算和数据分析等核心素养.试题难度:中.【突破训练1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】见解析【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X =0)=⎝⎛⎭⎪⎫1-12×⎝⎛⎭⎪⎫1-13×⎝⎛⎭⎪⎫1-14=14,P (X =1)=12×⎝⎛⎭⎪⎫1-13×⎝⎛⎭⎪⎫1-14+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1-14+⎝⎛⎭⎪⎫1-12×⎝⎛⎭⎪⎫1-13×14=1124,P (X =2)=⎝⎛⎭⎪⎫1-12×13×14+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13×14+12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14=14,P (X =3)=12×13×14=124.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )=0×4+1×24+2×4+3×24=12.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P (Y +Z =1)=P (Y =0,Z =1)+P (Y =1,Z =0)=P (Y =0)P (Z =1)+P (Y =1)P (Z =0) =14×1124+1124×14=1148. 所以这2辆车共遇到了1个红灯的概率为1148.▶▶题型二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点,常有解答题的考查,属于中档题.复习中应强化应用类习题的理解与掌握,弄清随机变量的所有取值,它是正确求随机变量分布列和求均值与方差的关键,对概率模型的确定与转化是解题的基础,准确计算是解题的核心,在备考中应强化解答题的规范性训练.【例2】 (2018·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk =1”表示第k 类电影得到人们喜欢,“ξk =0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k =1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.【答案】见解析【解析】 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A . 因为第四类电影中获得好评的电影有200×0.25=50(部), 所以P (A )=50140+50+300+200+800+510=502 000=0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B ,则P (B )=0.25×(1-0.2)+(1-0.25)×0.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk =⎩⎪⎨⎪⎧0,第k 类电影没有得到人们喜欢,1,第k 类电影得到人们喜欢,则ξk 显然服从两点分布,故Dξ1=0.4×(1-0.4)=0.24,Dξ2=0.2×(1-0.2)=0.16, Dξ3=0.15×(1-0.15)=0.127 5,Dξ4=0.25×(1-0.25)=0.187 5, Dξ5=0.2×(1-0.2)=0.16, Dξ6=0.1×(1-0.1)=0.09.综上所述,Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.【素养解读】本题考查统计中的概率计算、随机变量的方差计算,考查运算求解能力,体现了数据分析、数学运算等核心素养.试题难度:中.【突破训练2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值? 【答案】见解析【解析】(1)由题意知,X 所有可能取值为200,300,500, 由表格数据知P (X =200)=2+1690=0.2,P (X =300)=3690=0.4, P (X =500)=25+7+490=0.4, 因此X 的分布列为当300≤n ≤500时,若最高气温不低于25,Y =6n -4n =2n ; 若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以当n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.▶▶题型三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体,已成为近几年高考的一大亮点.主要依托点是统计图表,正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫,把这些统计图表的含义弄清楚,在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下.(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;附:K 2=(a +b)(c +d)(a +c)(b +d).【答案】见解析【解析】(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”. 由题意知P (A )=P (BC )=P (B )P (C ). 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62, 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66, 故P (C )的估计值为0.66.因此,事件A 的概率估计值为0.62×0.66=0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得如下列联表.K 2=100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5, 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+0.5-0.340.068≈52.35(kg).【素养解读】本题考查频率分布直方图、独立性检验、中位数、相互独立事件的概率,考查学生的阅读理解能力、数据处理能力.主要体现了数据分析,数学运算等核心素养.【突破训练3】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;(2)从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E (ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小(只需写出结论). 【答案】见解析【解析】(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y 的值小于60的有15人. 所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为1550=0.3.(2)由题图知,A ,B ,C ,D 四人中,指标x 的值大于1.7的有2人:A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ=0)=C 22C 24=16,P (ξ=1)=C 12C 12C 24=23,P (ξ=2)=C 22C 24=16.所以ξ的分布列为故ξ的期望E (ξ)=0×6+1×3+2×6=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据方差. 题型四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程,了解独立性检验的基本思想、方法,在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差等)的考查,解答题中也有所考查.【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y ^=-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^=99+17.5t . (1)分析利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?请说明理由. 【答案】见解析【解析】(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施资源额的预测值为y ^=99+17.5×9=256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =-30.4+13.5t 上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势,2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^=99+17.5t 可以较好地描述2010年的数据建立基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠. (以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.)【素养解读】本题以统计图为背景,考查线性回归方程,考查运算求解能力和数形结合思想,体现了数学运算的核心素养.【突破训练4】 下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2019年我国生活垃圾无害化处理量. 附注:参考数据:∑i =17y i =9.32,∑i =17t i y i =40.17,∑i =17(y i -y)2=0.55,7≈2.646.参考公式:相关系数r =∑i =1n(t i -t)(y i -y )∑i =1n(t i -t )2∑i =1n(y i -y)2,回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^=∑i =1n(t i -t)(y i -y )∑i =1n(t i -t )2,a ^=y -b ^t .【答案】见解析【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t =4,∑i =17(t i -t )2=28,∑i =17(y i -y -)2=0.55,∑i =17(t i -t -)(y i -y -)=∑i =17t i y i -t -∑i =17y i =40.17-4×9.32=2.89,r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y -=9.327≈1.331及(1)得b ^=∑i =17(t i -t -)(y i -y -)∑i =17(t i -t -)2=2.8928≈0.103,a ^=y --b ^t -=1.331-0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^=0.92+0.10t .将2019年对应的t =9代入回归方程,得y ^=0.92+0.10×9=1.82.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.。

高考数学概率统计大题题型总结

高考数学概率统计大题题型总结

高考数学概率统计大题题型总结概率统计是数学的一个重要分支,它是理解和研究大量随机事件发生的概率规律的一门学科。

概率统计在高考中也有重要的地位,尤其是概率统计大题,给考生们带来了很大的难度和挑战。

下面,就从数学考试大题概率统计题型总结入手,详细介绍概率统计大题的结构和解题技巧,让考生们更好地应对数学考试。

一、概率统计大题的分类概率统计大题可以分成三大类:1、事件概率:事件概率是指某一事件发生的机会,也就是指某一事件发生的可能性,它是以概率的形式表示的。

这类题型常常会出现在数学考试中,包括随机事件、全概率公式的求解、条件概率、独立事件及其组合事件等。

2、概率分布:概率分布是指在一定的条件下,随机变量的取值和概率之间的关系,它是概率论的基础。

概率分布的种类很多,比较常见的有二项分布、泊松分布、正态分布、负倾斜分布等,考生们在复习时应该重点了解这些概率分布的性质及其应用。

3、抽样技术:抽样技术是指从总体中抽取一定量的样本,从而推断总体的特征。

抽样技术在数学考试中也有很多应用,比如抽样技术的基本原理、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。

二、概率统计大题的解题技巧1、了解考题:考生在解答概率统计大题之前,应该充分了解题目的内容,把握题意,明确给出的条件以及要求解的问题,以便找出合适的解题方法。

2、把握关键点:解答概率统计大题也要把握关键点,即找出问题中的关键信息,根据这些关键信息,结合相关的概念和公式,得出正确的结论。

3、注意计算准确性:数学考试要求结果是准确的,因此在计算概率统计大题时,应注意计算的准确性,避免出现因计算错误而导致结果错误的情况。

三、总结概率统计大题在数学考试中扮演着重要的角色,考生要想取得好成绩,就要深入了解概率统计的内容,重点掌握事件概率、概率分布和抽样技术等概率统计的基本概念;同时,要掌握一些有效的解题技巧,以有效的解决高考概率统计大题。

2020高考数学概率统计(大题)

2020高考数学概率统计(大题)

全国一卷真题分析---概率统计
1.(2011年)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的
概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.
(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率;
(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.
2.(2012年)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果
当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进16朵玫瑰花,求当天的利润y(单位:
n)的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求元)关于当天需求量n(单位:枝,N
量(单位:枝),整理得下表:
以100天记录的各需求量的频率作为
各需求量发生的概率.
(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;
(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.
3.(2013年)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中
优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,
1
,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为
2且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
1。

2020年高考文科数学(1卷):答案详细解析(最新)

2020年高考文科数学(1卷):答案详细解析(最新)

打开导航窗口(书签),可以直接找到各个题目.
第 8 页 共 27 页
2020 年高考文科数学(全国 1 卷)答案详解及试题
(一)必考题:共 60 分
17.(12 分)(概率统计)
某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为 A,B,C,
D 四个等级,加工业务约定:对于 A 级品、B 级品、C 级品,厂家每件分别收取
第 6 页 共 27 页
2020 年高考文科数学(全国 1 卷)答案详解及试题
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 2x y 2 0
13(. 线性规划)若 x,y 满足约束条件 x y 1 0 ,则 z=x+7y 的最大值为_____. y 1 0
【解析】由约束条件,作出可行域如图 A13 所示.
【答案】 y 2x
16. (数列)数列an 满足 an2 1n an 3n 1 ,前 16 项和为 540,则 a1 =____.
打开导航窗口(书签),可以直接找到各个题目.
第 7 页 共 27 页
2020 年高考文科数学(全国 1 卷)答案详解及试题
【解析】当 n 为偶数时,有 an2 an 3n 1,故
A. 1 16
B. 1 9
C. 1 8
D. 1 6
【解析】∵ a log3
4 log3 4a
2 ,∴ 4a
32
9 ,∴ 4a
1 4a
1. 9
【答案】B
9.(算法框图)执行右面的程序框图,则输出的 n
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
打开导航窗口(书签),可以直接找到各个题目.
第 4 页 共 27 页

高考数学概率大题专项题型

高考数学概率大题专项题型

高考概率大题专项题型一.解答题1.某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的概率分布表与数学期望E(X).2.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;(II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.3.某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.4.某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率;(Ⅱ)用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求X的分布列和数学期望.5.集成电路E由3个不同的电子元件组成,现由于元件老化,三个电子元件能正常工作的概率分别降为,,,且每个电子元件能否正常工作相互独立,若三个电子元件中至少有2个正常工作,则E能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路E所需费用为100元.(Ⅰ)求集成电路E需要维修的概率;(Ⅱ)若某电子设备共由2个集成电路E组成,设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用,求X的分布列和期望.6.某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种,方案一:每满200元减50元:方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)(Ⅰ)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率;(Ⅱ)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算?7.为丰富中学生的课余生活,增进中学生之间的交往与学习,某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛.比赛规则如下,双方各出3名队员并预先排定好出场顺序,双方的第一号选手首先对垒,双方的胜者留下进行下一局比赛,负者被淘汰出局,由第二号选手挑战上一局获胜的选手,依此类推,直到一方的队员全部被淘汰,另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等)(Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下,求甲队获胜的概率.(Ⅱ)记双方结束比赛的局数为ξ,求ξ的分布列并求其数学期望Eξ.8.M公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在180分以上者到“甲部门”工作;180分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”.(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?(Ⅱ)若从所有“甲部门”人选中随机选3人,用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出X的分布列,并求出X的数学期望.9.生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,(ⅰ)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.10.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)11.某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为;(1)求该小组中女生的人数;(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为,每个男生通过的概率均为;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.12.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:(Ⅰ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率;(Ⅱ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,设来自医学院的学生数为ξ,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.13.甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)如下表:(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算);(Ⅱ)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,90分以上的个数为X,求随机变量X的分布列和期望EX.14.某公司有10万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利10%,可能损失10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为,,;如果投资乙项目,一年后可能获利20%,也可能损失20%,这两种情况发生的概率分别为α和β(α+β=1).(1)如果把10万元投资甲项目,用ξ表示投资收益(收益=回收资金﹣投资资金),求ξ的概率分布及Eξ;(2)若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求α的取值范围.15.袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚,从中任取2枚棋子都是白色的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸,乙后取,然后甲再取,…,取后均不放回,直到有一人取到白棋即终止.每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.(1)求随机变量X的概率分布列和数学期望E(X);(2)求甲取到白球的概率.16.小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图(如图)及相应的消耗能量数据表(如表).(Ⅰ)求小王这8天“健步走”步数的平均数;(Ⅱ)从步数为16千步,17千步,18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X,求X的分布列.17.某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生,统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为120分),成绩的频率直方图如图所示,其中成绩分组间是:[80,90),[90,100),[100,110),[110,120](1)在这36名学生中随机抽取3名学生,求同时满足下列条件的概率:(1)有且仅有1名学生成绩不低于110分;(2)成绩在[90,100)内至多1名学生;(2)在成绩是[80,100)内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷,设成绩在[90,100)内的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望EX.18.一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取5件作检验,这5件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取2件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;如果n=5,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为200元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为x(单位:元),求x的分布列.概率大题专项题型参考答案一.解答题1.某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的概率分布表与数学期望E(X).【解答】解:(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为.…(4分)(2)由题意得,.…(6分)所以X的概率分布表为:…(8分)所以,X的数学期望为.…(10分)2.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;(II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.【解答】解:(I)“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个,乙猜对2个”,“甲猜对2个,乙猜对1个”,“甲猜对2个,乙猜对2个”三个基本事件,故概率P=++=++=,(II)“星队”两轮得分之和为X可能为:0,1,2,3,4,6,则P(X=0)==,P(X=1)=2×[+]=,P(X=2)=+++=,P(X=3)=2×=,P(X=4)=2×[+]=P(X=6)==故X的分布列如下图所示:∴数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×==3.某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.【解答】解:(1)从10人中选出2人的选法共有=45种,事件A:参加次数的和为4,情况有:①1人参加1次,另1人参加3次,②2人都参加2次;共有+=15种,∴事件A发生概率:P==.(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2.P(X=0)==P(X=1)==,P(X=2)==,∴X的分布列为:∴EX=0×+1×+2×=1.4.某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率;(Ⅱ)用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求X的分布列和数学期望.【解答】解:(Ⅰ)设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A,…(1分)由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是,…(3分)则.…(6分)(Ⅱ) X的可能取值为0,1,2,3,4,…(7分)由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为,且每个人下电梯互不影响,所以,.…(9分)…(11分).…(13分)5.集成电路E由3个不同的电子元件组成,现由于元件老化,三个电子元件能正常工作的概率分别降为,,,且每个电子元件能否正常工作相互独立,若三个电子元件中至少有2个正常工作,则E能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路E所需费用为100元.(Ⅰ)求集成电路E需要维修的概率;(Ⅱ)若某电子设备共由2个集成电路E组成,设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用,求X的分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)三个电子元件能正常工作分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.依题意,集成电路E需要维修有两种情形:①3个元件都不能正常工作,概率为P1=P()=P()P()P()=××=.②3个元件中的2个不能正常工作,概率为P2=P(A)+P(B)+P(C)=++×=.所以,集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=.(Ⅱ)设ξ为维修集成电路的个数,则ξ服从B(2,),而X=100ξ,P(X=100ξ)=P(ξ=k)=••,k=0,1,2.X的分布列为:∴EX=0×+100×+200×=.6.某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种,方案一:每满200元减50元:方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)(Ⅰ)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率;(Ⅱ)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算?【解答】解:(Ⅰ)记顾客获得半价优惠为事件A,则P(A)==,两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率:P=1﹣P()P()=1﹣(1﹣)2=.…(5分)(Ⅱ)若选择方案一,则付款金额为320﹣50=270元.若选择方案二,记付款金额为X元,则X可取160,224,256,320.P(X=160)=,P(X=224)==,P(X=256)==,P(X=320)==,则E(X)=160×+224×+256×+320×=240.∵270>240,∴第二种方案比较划算.…(12分)7.为丰富中学生的课余生活,增进中学生之间的交往与学习,某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛.比赛规则如下,双方各出3名队员并预先排定好出场顺序,双方的第一号选手首先对垒,双方的胜者留下进行下一局比赛,负者被淘汰出局,由第二号选手挑战上一局获胜的选手,依此类推,直到一方的队员全部被淘汰,另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等)(Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下,求甲队获胜的概率.(Ⅱ)记双方结束比赛的局数为ξ,求ξ的分布列并求其数学期望Eξ.【解答】解:(Ⅰ)在已知乙队先胜一局的情况下,相当于乙校还有3名选手,而甲校还剩2名选手,甲校要想取胜,需要连胜3场,或者比赛四场要胜三场,且最后一场获胜,所以甲校获胜的概率是(Ⅱ)记双方结束比赛的局数为ξ,则ξ=3,4,5所以ξ的分布列为数学期望.8.M公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在180分以上者到“甲部门”工作;180分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”.(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?(Ⅱ)若从所有“甲部门”人选中随机选3人,用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出X的分布列,并求出X的数学期望.【解答】解:(I)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率为=,根据茎叶图,有“甲部门”人选10人,“乙部门”人选10人,所以选中的“甲部门”人选有10×=4人,“乙部门”人选有10×=4人,用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”,则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”,则P(A)=1﹣P()=1﹣=1﹣=.因此,至少有一人是“甲部门”人选的概率是;(Ⅱ)依据题意,所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.因此,X的分布列如下:所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=.9.生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,(ⅰ)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.【解答】解:(Ⅰ)元件A为正品的概率约为.元件B为正品的概率约为.(Ⅱ)(ⅰ)∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况:两件正品,A次B正,A正B次,A次B次.∴随机变量X的所有取值为90,45,30,﹣15.∵P(X=90)==;P(X=45)==;P(X=30)==;P(X=﹣15)==.∴随机变量X的分布列为:EX=.(ⅱ)设生产的5件元件B中正品有n件,则次品有5﹣n件.依题意得 50n﹣10(5﹣n)≥140,解得.所以 n=4或n=5.设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A,则P(A)==.10.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)【解答】解:(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1解得a=0.03;又由最高矩形中点的横坐标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为20,而50个样本小球重量的平均值为:=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克)故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克.(2)利用样本估计总体,该盒子中小球的重量在[5,15]内的0.2;则X~B(3,),X=0,1,2,3;P(X=0)=×()3=;P(X=1)=×()2×=;P(X=2)=×()×()2=;P(X=3)=×()3=,∴X的分布列为:即E(X)=0×=.11.某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为;(1)求该小组中女生的人数;(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为,每个男生通过的概率均为;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.【解答】解:(1)设该小组中有n 个女生,根据题意,得解得n=6,n=4(舍去),∴该小组中有6个女生;(2)由题意,ξ的取值为0,1,2,3;P(ξ=0)=P(ξ=1)=P(ξ=3)=P(ξ=2)=1﹣∴ξ的分布列为:∴Eξ=1×12.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:(Ⅰ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率;(Ⅱ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,设来自医学院的学生数为ξ,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【解答】解:(Ⅰ)从20名学生随机选出3名的方法数为,选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为:所以(Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2,3,,所以ξ的分布列为所以13.甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)如下表:(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算);(Ⅱ)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,90分以上的个数为X,求随机变量X的分布列和期望EX.【解答】解:(Ⅰ)茎叶图如图所示,由图可知,乙的平均成绩大于甲的平均成绩,且乙的方差小于甲的方差,因此应选派乙参赛更好.(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.,,,随机变量X的分布列是:.14.某公司有10万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利10%,可能损失10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为,,;如果投资乙项目,一年后可能获利20%,也可能损失20%,这两种情况发生的概率分别为α和β(α+β=1).(1)如果把10万元投资甲项目,用ξ表示投资收益(收益=回收资金﹣投资资金),求ξ的概率分布及Eξ;(2)若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求α的取值范围.【解答】解:(1)依题意,ξ的可能取值为1,0,﹣1,P(ξ=1)=,P(ξ=0)=,P(ξ=﹣1)=,∴ξ的分布列为:Eξ=﹣=.…(6分)(2)设η表示10万元投资乙项目的收益,则η的可能取值为2,﹣2,P(η=2)=α,P(η=﹣2)=β,η的分布列为∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2,∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,∴4α﹣2≥,解得.…(12分)15.袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚,从中任取2枚棋子都是白色的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸,乙后取,然后甲再取,…,取后均不放回,直到有一人取到白棋即终止.每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.(1)求随机变量X的概率分布列和数学期望E(X);(2)求甲取到白球的概率.【解答】解:设袋中白球共有x个,则依题意知:=,即=,即 x2﹣x﹣6=0,解之得x=3,(x=﹣2舍去).…(1分)(1)袋中的7枚棋子3白4黑,随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(x=1)==,P(x=2)==,P(x=3)==,P(x=4)==,P(x=5)==,…(5分)(注:此段(4分)的分配是每错1个扣(1分),错到4个即不得分.)随机变量X的概率分布列为:所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=2.…(6分)(2)记事件A=“甲取到白球”,则事件A包括以下三个互斥事件:A1=“甲第1次取球时取出白球”;A2=“甲第2次取球时取出白球”;A3=“甲第3次取球时取出白球”.依题意知:P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==,…(9分)(注:此段(3分)的分配是每错1个扣(1分),错到3个即不得分.)所以,甲取到白球的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=…(10分)16.小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图(如图)及相应的消耗能量数据表(如表).(Ⅰ)求小王这8天“健步走”步数的平均数;(Ⅱ)从步数为16千步,17千步,18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X,求X的分布列.【解答】(本小题满分13分)解:(I)小王这8天“健步走”步数的平均数为:(千步).…..(4分)(II)X的各种取值可能为800,840,880,920.,,,,X的分布列为:…..(13分)17.某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生,统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为120分),成绩的频率直方图如图所示,其中成绩分组间是:[80,90),[90,100),[100,110),[110,120](1)在这36名学生中随机抽取3名学生,求同时满足下列条件的概率:(1)有且仅有1名学生成绩不低于110分;(2)成绩在[90,100)内至多1名学生;(2)在成绩是[80,100)内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷,设成绩在[90,100)内的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望EX.【解答】解:(1)由频率分布直方图,得;10a=1﹣(++)×10=,解得a=;∴成绩在[80,90)分的学生有36××10=3人,成绩在[90,100)分的学生有36××10=6人,成绩在[100,110)分的学生有36××10=18人,成绩在[110,120)分的学生有36××10=9人;记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”,包括事件A1=“抽取3名学生中,1人成绩不低于110分,0人在[90,100)分之间”,事件A2=“抽取3名学生中,1人成绩不低于110分,1人在[90,100)分之间”,且A1、A2是互斥事件;∴P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=+=;(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3;∴P(X=0)==,p(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==;∴X的分布列为数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2.18.一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取5件作检验,这5件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取2件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;如果n=5,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为200元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为x(单位:元),求x的分布列.【解答】解:(1)由题意知:第一次取5件产品中,恰好有k件优质品的概率为:P(k)=,k=0,1,2,3,4,5,∴这批产品通过检验的概率:p==+5×+()5=.(2)由题意得X的可能取值为1000,1200,1400,P(X=1000)=()5=,P(X=1200)==,P(X=1400)=++=,X的分布列为:。

二轮复习高考大题专项(六)概率与统计课件(81张)

二轮复习高考大题专项(六)概率与统计课件(81张)
中等或中等偏上的程度,多放在解答题的第18或19题位置,近两年难度有所
提升,甚至放在后两道解答题位置,综合性较强.但实施新高考后,因为文理
同卷,难度又回到中等.
【典例剖析】
题型一
相关关系的判断及回归分析
【例1】 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种
植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示,该基地
周光照量X(单位:小时)都在30小时以上,其中不
6
=
C 24
P(ξ=0)= 2
C6
=
6
15
=
2
C 12 C 14
,P(ξ=1)= 2
5
C6
1
,
15
故 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
P(ξ)
2
5
8
15
1
15
=
8
,
15
^
^
^
(2)由散点图可知 = bz+更适合于此模型.其中
6
^
∑ -6
= =16
2
∑ 2 -6
=
^
-1.07
参考数据:
α

0.05
3.841
0.01
6.635
2
(
-
)
参考公式:χ2=
.
(+)(+)(+)(+)
0.005
7.879
0.001
10.828
解 (1)由统计表可得,低于45岁人数为70人,不低于45岁人数为30人,
可得列联表如下
是否使用手机支付
年龄低于45岁
使用
60
不使用
X>70时,只有1台光照控制仪运行,此时周总利润

高考理科数学(2卷):答案详细解析(最新)

高考理科数学(2卷):答案详细解析(最新)

故 O1A
2 3
33 2
3 ,∴ O 到平面 ABC 的距离 OO1
R2 O1A2 1.
图 A10
【答案】C
11. (函数,同文 12)若 2x 2 y 3 x 3 y ,则
A. ln( y x 1) 0
B. ln( y x 1) 0
C. ln | x y | 0
D. ln | x y | 0

a5 a1
1(k
1)
,因此可推出 C(1)
C (4)
1 5

C(2) C(3) 0 ,故 C 选项符合题意.
解法三(答案验证法):
按照题设的定义 C(k)
1 m
m i 1
aiaik (k
1, 2,...m 1) ,逐个验证答案,使用
排除法,即可得到正确选项. 如 A 选项,C(2) 1 (0 1 0 1 0)= 2 1 ,
A. 2,3
B. 2, 2, 3 C. 2, 1, 0,3 D. 2, 1, 0, 2, 3
【解析】∵ A B {1,0,1, 2},∴ CU A B 2,3 .
【答案】A
2. (三角函数)若 为第四象限角,则
A. cos 2 0
B. cos 2 0
C. sin 2 0
D. sin 2 0
C.是偶函数,且在 (, 1) 单调递增 2
B.是奇函数,且在 ( 1 , 1) 单调递减 22
D.是奇函数,且在 (, 1) 单调递减 2
【解析】∵ f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1| f (x) ,
∴ f (x) 是奇函数,
2020 年高考理科数学(全国 2 卷)答案详解及试题

(完整版)新高考概率与统计 大题专题训练最新

(完整版)新高考概率与统计 大题专题训练最新

概率与统计(解答题)1.【2021·全国高考真题(理)】某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为21s和22s.(1)求x,y,21s,22s;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x-≥高,否则不认为有显著提高).2.【2021·北京高考真题】为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为111,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).3.【2021·全国高考真题】某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分,己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.4.【2021·全国高考真题】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,()(0,1,2,3)i P X i p i ===.(1)已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====,求()E X ;(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p 是关于x 的方程:230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根,求证:当()1E X ≤时,1p =,当()1E X >时,1p <;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.5.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为1 2,(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.6.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得20160i i x ==∑,2011200i i y ==∑,2021)8(0ii x x =-=∑,2021)9000(i i y y =-=∑,201)(800(i i i y y x x =--=∑.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(x i ,y i )(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数)((iinx y r x y --=∑1.414≈7.【2020年高考全国III卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):锻炼人次(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附:K2=()()()()2)n ad bca b c d a c b d-++++,P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828.8.【2020年高考山东】为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位:3μg/m ),得下表:2SO PM 2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的22⨯列联表:2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.841 6.63510.8289.【2020年高考北京】某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(Ⅰ)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;(Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(Ⅲ)将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ,假设该校年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ,试比较0p 与1p 的大小.(结论不要求证明)10.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).11.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.12.【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.13.【2019年高考北京卷理数】改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.14.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X .(1)求X 的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ,其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==.假设0.5α=,0.8β=.(i)证明:1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列;(ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.。

三年 (2020-2022 ) 新高考数学真题汇编专题08计数原理及概率与统计

三年 (2020-2022 ) 新高考数学真题汇编专题08计数原理及概率与统计

新高考专题08计数原理及概率与统计【2022年新高考1卷】1.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( ) A .16B .13C .12D .23【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有27C 21=种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有:()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8,共7种, 故所求概率2172213P -==. 故选:D.【2022年新高考2卷】2.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有( ) A .12种 B .24种C .36种D .48种【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁,用插空法安排甲,利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看做一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有:3!2224⨯⨯=种不同的排列方式,故选:B【2021年新高考1卷】3.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A .甲与丙相互独立B .甲与丁相互独立C .乙与丙相互独立D .丙与丁相互独立【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲,乙,丙,丁, ,1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙,甲丁甲丁, 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙,丙丁丁丙, 故选:B 【点睛】判断事件,A B 是否独立,先计算对应概率,再判断()()()P A P B P AB =是否成立【2021年新高考2卷】4.某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ,下列结论中不正确的是( )A .σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B .该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C .该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D .该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【解析】 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A ,2σ为数据的方差,所以σ越小,数据在10μ=附近越集中,所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大,故A 正确;对于B ,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B 正确;对于C ,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C 正确;对于D ,因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同,所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同,故D 错误. 故选:D.【2020年新高考1卷(山东卷)】5.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( ) A .120种 B .90种 C .60种 D .30种【答案】C 【解析】 【分析】分别安排各场馆的志愿者,利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆,方法数有16C ; 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆,方法数有25C ; 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算,属于基础题. 【2020年新高考1卷(山东卷)】6.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A .62% B .56% C .46% D .42%【答案】C 【解析】 【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ,“该中学学生喜欢游泳”为事件B ,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅,然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果. 【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ,“该中学学生喜欢游泳”为事件B ,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅, 则()0.6P A =,()0.82P B =,()0.96P A B +=,所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选:C. 【点睛】本题考查了积事件的概率公式,属于基础题. 【2020年新高考2卷(海南卷)】7.要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法共有( ) A .2种 B .3种C .6种D .8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组,然后将2组学生安排到2个村即可. 【详解】第一步,将3名学生分成两个组,有12323C C =种分法第二步,将2组学生安排到2个村,有222A =种安排方法所以,不同的安排方法共有326⨯=种 故选:C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略. 【2021年新高考1卷】8.有一组样本数据1x ,2x ,…,n x ,由这组数据得到新样本数据1y ,2y ,…,n y ,其中i i y x c=+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数,则( ) A .两组样本数据的样本平均数相同 B .两组样本数据的样本中位数相同 C .两组样本数据的样本标准差相同 D .两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =,即可判断正误;根据中位数、极差的定义,结合已知线性关系可判断B 、D 的正误. 【详解】A :()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠,故平均数不相同,错误;B :若第一组中位数为i x ,则第二组的中位数为i i y x c =+,显然不相同,错误;C :()()()()D y D x D c D x =+=,故方差相同,正确;D :由极差的定义知:若第一组的极差为max min x x -,则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-,故极差相同,正确;【2021年新高考2卷】9.下列统计量中,能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( )A .样本12,,,n x x x 的标准差B .样本12,,,n x x x 的中位数C .样本12,,,n x x x 的极差D .样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC 【解析】 【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度,哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项. 【详解】由标准差的定义可知,标准差考查的是数据的离散程度; 由中位数的定义可知,中位数考查的是数据的集中趋势; 由极差的定义可知,极差考查的是数据的离散程度; 由平均数的定义可知,平均数考查的是数据的集中趋势; 故选:AC.【2020年新高考1卷(山东卷)】10.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ,且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑,定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.( )A .若n =1,则H (X )=0B .若n =2,则H (X )随着1p 的增大而增大C .若1(1,2,,)i p i n n==,则H (X )随着n 的增大而增大D .若n =2m ,随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ,且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=,则H (X )≤H (Y ) 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A 选项,求得()H X ,由此判断出A 选项;对于B 选项,利用特殊值法进行排除;对于C 选项,计算出()H X ,利用对数函数的性质可判断出C 选项;对于D 选项,计算出()(),H X H Y ,利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项,若1n =,则11,1i p ==,所以()()21log 10H X =-⨯=,所以A 选项正确. 对于B 选项,若2n =,则1,2i =,211p p =-, 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦, 当114p =时,()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭,当13p 4=时,()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭,两者相等,所以B 选项错误. 对于C 选项,若()11,2,,i p i n n==,则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭,则()H X 随着n 的增大而增大,所以C 选项正确.对于D 选项,若2n m =,随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ,且 ()21j m j P Y j p p +-==+( 1,2,,j m =).()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=,所以2111i i m i p p p +->+,所以 222111log log i i m ip p p +->+, 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+, 所以()()H X H Y >,所以D 选项错误. 故选:AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用,考查分析、思考和解决问题的能力,涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用,属于难题.【2020年新高考2卷(海南卷)】11.我国新冠肺炎疫情进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B.这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量;C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分,可判定A错误;注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小,可判定B错误;根据图象,结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知,第1天到第2天复工指数减少,第7天到第8天复工指数减少,第10天到第11复工指数减少,第8天到第9天复产指数减少,故A错误;由图可知,第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差,所以这11天期间,复产指数增量小于复工指数的增量,故B错误;由图可知,第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确;由图可知,第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量,故D 正确; 【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解,考查理解能力,识图能力,推理能力,难点在于指数增量的理解与观测,属中档题. 【2022年新高考1卷】12.81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答).【答案】-28 【解析】 【分析】()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +-+,结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x x ⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭,所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x -=-,()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为-28 故答案为:-28【2022年新高考2卷】13.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ,且(2 2.5)0.36P X <≤=,则( 2.5)P X >=____________. 【答案】0.14##750. 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出. 【详解】 因为()22,XN σ,所以()()220.5P X P X <=>=,因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=.故答案为:0.14.【2022年新高考1卷】14.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.(|) (|)P B A P B A 与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(ⅰ)证明:(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅;(ⅰ)利用该调查数据,给出(|),(|)P A B P A B的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值.附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,【答案】(1)答案见解析(2)(i)证明见解析;(ii)6R=;【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K 的值,将其与临界值比较大小,由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异;(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明;(ii)根据(i )结合已知数据求R . (1)由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯, 又2( 6.635)=0.01P K ≥,24 6.635>,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2) (i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅,所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅ 所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅,(ii)由已知40(|)100P A B =,10(|)100P A B =,又60(|)100P A B =,90(|)100P A B =, 所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅【2022年新高考2卷】15.在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001).【答案】(1)47.9岁;(2)0.89;(3)0.0014.【解析】【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出;(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)},根据对立事件的概率公式=-即可解出;P A P A()1()(3)根据条件概率公式即可求出.(1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(岁). (2)设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)},所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=.(3)设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”,C =“从该地区中任选一人患这种疾病”, 则由已知得:()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈.【2021年新高考1卷】16.某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A ,B 两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B 类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分,已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答B 类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A 类问题,记X 为小明的累计得分,求X 的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)B 类. 【解析】 【分析】(1)通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值,逐一求概率列分布列即可.(2)与(1)类似,找出先回答B 类问题的数学期望,比较两个期望的大小即可. 【详解】(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,20,100.()010.80.2P X ==-=; ()()200.810.60.32P X ==-=;()1000.80.60.48P X ==⨯=.所以X 的分布列为(2)由(1)知,()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=.若小明先回答B 问题,记Y 为小明的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,80,100.()010.60.4P Y ==-=; ()()800.610.80.12P Y ==-=; ()1000.80.60.48P X ==⨯=.所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=. 因为54.457.6<,所以小明应选择先回答B 类问题.【2021年新高考2卷】17.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,()(0,1,2,3)i P X i p i ===.(1)已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====,求()E X ;(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p 是关于x 的方程:230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根,求证:当()1E X ≤时,1p =,当()1E X >时,1p <;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义. 【答案】(1)1;(2)见解析;(3)见解析.【解析】 【分析】(1)利用公式计算可得()E X .(2)利用导数讨论函数的单调性,结合()10f =及极值点的范围可得()f x 的最小正零点. (3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【详解】(1)()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2)设()()3232101f x p x p x p x p =++-+,因为32101p p p p +++=,故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++,若()1E X ≤,则123231p p p ++≤,故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++,因为()()20300f p p p '=-++<,()230120f p p p '=+-≤, 故()f x '有两个不同零点12,x x ,且1201x x <<≤,且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时,()0f x '>;()12,x x x ∈时,()0f x '<; 故()f x 在()1,x -∞,()2,x +∞上为增函数,在()12,x x 上为减函数, 若21x =,因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =,而当()20,x x ∈时,因为()f x 在()12,x x 上为减函数,故()()()210f x f x f >==,故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根,若21>x ,因为()10f =且在()20,x 上为减函数,故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根,综上,若()1E X ≤,则1p =.若()1E X >,则123231p p p ++>,故2302p p p +>. 此时()()20300f p p p '=-++<,()230120f p p p '=+->, 故()f x '有两个不同零点34,x x ,且3401x x <<<,且()()34,,x x x ∈-∞+∞时,()0f x '>;()34,x x x ∈时,()0f x '<;故()f x 在()3,x -∞,()4,x +∞上为增函数,在()34,x x 上为减函数, 而()10f =,故()40f x <,又()000f p =>,故()f x 在()40,x 存在一个零点p ,且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根,此时1p <,故当()1E X >时,1p <.(3)意义:每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1. 【2020年新高考1卷(山东卷)】18.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位:3μg/m ),得下表:(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的22⨯列联表:(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,【答案】(1)0.64;(2)答案见解析;(3)有. 【解析】 【分析】(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果; (2)根据表格中数据可得22⨯列联表; (3)计算出2K ,结合临界值表可得结论. 【详解】(1)由表格可知,该市100天中,空气中的 2.5PM 浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天,所以该市一天中,空气中的 2.5PM 浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=; (2)由所给数据,可得22⨯列联表为:(3)根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>,因为根据临界值表可知,有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,考查了完善22⨯列联表,考查了独立性检验,属于中档题.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

全国一卷真题分析---概率统计
1.(2011年)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的
概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.
(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率;
(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.
2.(2012年)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果
当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进16朵玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,N
n )的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
以100天记录的各需求量的频率作为
各需求量发生的概率.
(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;
(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.
3.(2013年)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中
优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,
这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为1 2,
且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
1。

相关文档
最新文档